大学数学专业 微分几何复习题

一、 填空题：（每小题2分）

⒈ 向量{}(),3,r t t t a = 具有固定方向，则a =_______________。

⒉ 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''= 的充要条件是__________________。

⒊ 设曲线在P 点的切向量为α ，主法向量为β ，则过P 由,αβ 确定的平面

是曲线在P 点的_______________________。

⒋ 曲线()r r t = 在点0()r t 的单位切向量是α ，则曲线在0()r t 点的法平面方

程是__________________________。

⒌ 曲线()r r t = 在t = 1点处有2γ

β= ，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率 (1)τ=___________________。

⒏ 在旋转曲面{}()cos ,()sin ,()r t t t ?θ?θψ= 中，____________________

是旋转曲面的经线。

⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。

⒑ 直纹面的参数表示总可以写成 r =

______________________。

11、向量函数()r r t = 使(,,)0r r r '''= 的充要条件是()r r t = 。 12、若0()r t 是曲线()r r t = 的正则点，则曲线()r r t = 在0()r t 的密切平面方程

是 。

13、一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率τ 。

15、曲面上一族坐标曲线是测地线，另一族为它的正交轨线坐标网是

16、已知曲面(,)r r u v = 的第一类基本量为E 、F 、G ，则两方向du:dv 与:u v δδ垂

直的充要条件是 。

17、对曲面(,)r r u v = 有22243dr du dv =+ ，则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从0

t 到t （t >0t ）的弧长s = 。

18、若曲面(,)r r u v = 在（0，1）点处的第二基本形式223du dv II =-+，则在

（0，1）点处，u u r n ?= 。其中n 为曲面的单位法向量。

19、已知曲面(,)r r u v = 的第二类基本量L 、M 、N ，则曲面上渐近曲线的微分

方程是 。

20、若曲面(,)r r u v = 的第一基本形式为222ds Edu Gdv =+，曲面在一点的切

向dr 与u —线的夹角为θ，则曲面在这点沿切向dr 的测地曲率g k = 。

21 ()r t 具有固定方向的充要条件是______________________。

22 挠率______________________的曲线其副法向量是常矢。

23 曲线()r r t = 在0()P t 点的主法向量是β ，则曲线在P 点的从切面方程是 。

25 曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是________________。

26．曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为 ____________。

27．半径为R 的球面的高斯曲率K= .

28. 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的______________恒等于零。

30．在可展曲面上，测地三角形的三内角之和 π。

31.向量函数()r r t = 使(,,)0r r r '''= 的充要条件是()r r t = 。

32、若0()r t 是曲线()r r t = 的正则点，则曲线()r r t = 在0()r t 的密切平面方程

是 。

33、一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率τ 。

35、球面{cos cos ,cos sin ,sin }r R R R θ?θ?θ= 上， 线是球面

上的纬圆。

36、已知曲面(,)r r u v = 的第一类基本量为E 、F 、G ，则两方向du:dv 与:u v

δδ垂直的充要条件是 。

37、对曲面(,)r r u v = 有22243dr du dv =+ ，则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从0

t 到t （t >0t ）的弧长s = 。

38、若曲面(,)r r u v = 在（0，1）点处的第二基本形式223du dv II =-+，则在

（0，1）点处，u u r n ?= 。其中n 为曲面的单位法向量。

39、已知曲面(,)r r u v = 的第二类基本量L 、M 、N ，则曲面上渐近曲线的微分

方程是 。

40、若曲面(,)r r u v = 的第一基本形式为222ds Edu Gdv =+，曲面在一点的

切向dr 与u —线的夹角为θ，则曲面在这点沿切向dr 的测地曲率

g k = 。

二、

选择填空题：（每小题3分）

1、圆柱螺线cos ,sin ,x t y t z t ===在点()1,0,0的切线为______。

A 、

1011

x y z -== B 、0y z += C 、1100

x y z -== D 、0y z -= 2、曲面的三个基本形式之间的关系为______。

A 、Ⅲ+2H Ⅱ+K Ⅰ=0

B 、Ⅲ-2H Ⅱ+K Ⅰ=0

C 、Ⅲ-2K Ⅱ+H Ⅰ=0

D 、Ⅲ-2H Ⅱ-K Ⅰ=0

3、曲面的坐标网是正交网的充要条件是_____。

A 、M = 0

B 、L = N = 0

C 、M = F = 0

D 、F = 0

4、下列曲面中_____不是可展曲面。

A 、柱面

B 、锥面

C 、一条曲线的切线曲面

D 、正螺面

5、曲面上， 不是曲面的内蕴量。

A 、两曲线的夹角

B 、曲线的弧长

6、曲线()r r s = 在P(s)点的基本向量是,,αβγ ，曲率k(s)，挠率()s τ，则下式 不正确。

A 、k αβ=-

B 、k βατγ=-+

C 、k αβ=

D 、γτβ=-

7、曲面(,)r r u v = 在P 点的第一、第二基本形式分别为,I II ，曲面上曲线(C )

在P 点的曲率k 、沿切向dr 的法曲率为n k ，(C )在P 点的主法向量与曲面的单

位法向量n 的夹角为θ，则下式 正确。

A 、n k II =±I

B 、cos n k k θ=

C 、||n k II =I

D 、sin n k k θ= 8、L = N = 0 是曲面的曲纹坐标网为 的充要条件。

A 、正交网

B 、渐近网

C 、曲率网

D 、 半测地坐标网

9、在圆柱面上，圆柱螺线是 。

A 、平面曲线

B 、曲率线

C 、测地线

D 、渐近线

10、以下各项中， 不一定是测地线。

A 、球面上的大圆

B 、圆柱面上的螺旋线

C 、旋转曲面上的经线

D 、旋转曲面上的纬线 11、设曲面在一点的单位法向量n ，切向量为dr ，则dn dr λ= 的充分必要条件是 。 A 、 存在方向r δ 使0dn r δ?= B 、存在方向r δ 使0dr r δ?=

C 、存在方向r δ 使0dn r δ?= 且0dr r δ?=

D 、沿dr 有n k = 0

12、对于球面{cos sin ,cos sin ,sin }r R R R θ?θ?θ= ，以下判断中 不正确。

A 、沿其上任何曲线的球面的法线曲面是可展曲面

B 、其上大圆是渐近线

C 、高斯曲率为正常数 21R

D 、其上大圆的每一点的测地曲率为零

13、曲面(,)r r u v = 上，曲线(C )在P 点的基本向量是,,αβγ ，曲面在P 点

的单位法向量n ，则在P 点沿切向α 的测地曲率g κ≠ 。

A 、n κβ?

B 、（,,k n αβ ）

C 、(,,)r r n

D 、(,,)n καβ

14、若在曲面上一点20LN M - ,则曲面在该点的高斯曲率K 。

A 、>0

B 、< 0

C 、= 0

D 、符号不确定

15、下列直纹面中， 是可展曲面。

A 、双曲抛物面

B 、挠曲线的副法线曲面

C 、挠曲线的切线曲面

D 、单叶双曲面

16、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是______。

A 、 直线

B 、平面曲线

C 、球面曲线

D 、圆柱螺线

17、曲线()r r t = 在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ，则下列式子______不正确。

A 、2r r k r '''?='

B 、3r r k r '''?='

C 、k r =

D 、()()

2r r r r r τ''''''='''? 18、对于曲面的第一基本形式2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-_____。

A 、0>

B 、0<

C 、0≤

D 、0≥

19、对于圆柱面{}cos ,sin ,r R R z θθ= ，以下结论_____是不正确的。

A 、坐标网是正交网

B 、沿同一直母线的切平面是同一个

C 、其上高斯曲率为零

D 、其上没有抛物点

20、以下结论正确的是_____。

A 、法曲率是法截线的曲率

B 、法曲率是曲率向量r

在主法向量β

上的投影 C 、法曲率≥0 D 、法曲率的绝对值是法截线的曲率

21、设曲面(,),r r u v n = 是其单位法向量，下列第二类基本量的计算中，____

是不正确的。

A 、uv M r n =?

B 、uv M r n =-?

C 、u v M r n =-?

D 、v u M r n =-?

22、球面上的大圆不可能是球面上的_____。

A 、测地线

B 、曲率线

C 、法截线

D 、渐近线

23、正螺面{}cos ,sin ,r u v u v bv = 的坐标网不是_____。

A 、正交网

B 、共轭网

C 、渐近网

D 、半测地坐标网

24、曲面上每一点处的主方向_______。

A 、只有一个

B 、至少两个

C 、只有两个

D 、也可能不存在

25、下列直纹曲面中，_______是可展曲面。

A 、双曲抛物面

B 、挠曲面的副法线曲面

C 、挠曲面的切线曲面

D 、单叶双曲面

三、计算题

1、设曲线Γ：r = { cht , sht , t }，求

①Γ在点(1,0,0 )的曲率和挠率；

②Γ的切线曲面的高斯曲率。

2、已知圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t = ，试求

⑴ 在点0,1,2π?? ??

?的切线和法平面。 ⑵ 曲率和挠率。

3、对于圆柱面{}:cos ,sin ,r u ρθρθ∑= ，试求

⑴ ∑的第一、第二基本形式；

⑵ ∑在任意点处沿任意方向的法曲率；

⑶ ∑在任意点的高斯曲率和平均曲率；

⑷ 试证∑的坐标曲线是曲率线。

4、求曲面{}2cos ,sin ,r v u v u v = 的u 线的测地曲率。

5、设点P 是曲面∑上一个固定点，试证明∑在P 点沿任意互相垂直的两个方向的法曲率之和是常数。

6、设曲面∑：r = { t cos θ , t sin θ , t }，求

① ∑的第一、第二基本形式；

② ∑在点(1,0,1)处沿任意方向的法曲率；

③ 试证∑的坐标曲线是曲率线。

7、求螺线cos ,sin ,x t y t z t ===上点()1,0,0的曲率和挠率。

8、确定螺旋面cos ,sin ,x u v y u v z cv ===上的曲率线和在任一点的高斯 曲率。

9、求曲线r (t) = { t , t 2 , e t } 在t = 0点的密切平面和主法线。

10、求曲线r (t) = {a (1－sint) , a (1－cost) ，b t } 的曲率和挠率。

求抛物面z = a ( x 2 + y 2 ) 在 ( 0 ,0 ) 点的高斯曲率和平均曲率。

11、求平面族cos sin sin 1x y z ααα+-=的包络。

三、 证明题：

1、 证明：如果曲线的所有密切平面垂直于某个固定直线，那么它是平面曲

线。

2、 证明：如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，则此曲线是平面曲线。

3、试证锥面是可展曲面，并证明它与平面成等距对应。

4设曲线Γ：r =r (t)上每上点的切线都平行于同一个固定平面，试证明Γ是

平面曲线。

5、设点P 是曲面∑上一个固定点，试证明∑在P 点沿任意互相垂直的两个方向的法曲率之和是常数。

6、证明曲面{}:cos ()sin ,sin ()cos ,2r v u v v v u v v u v ∑=-++++ 是可

展曲面。

7、证明：曲面上的曲线是曲率线的充分必要条件是沿此曲线的曲面的法 线组成一可展曲面。

8、证明；如果曲面上非直线的测地线为平面曲线，则它必为曲率线

9、证明：如果一条曲线的所有法平面包含常向量e ，那么这条曲线是直线或平面曲线。

10、证明挠曲线（C ）的主法线曲面不是可展曲面。

一、填空题

1. 曲线x =cos t ，y=sin t , z=t 在t =0处的切线方程是__________。

2. 曲面上曲线的弧长，交角，曲面域的面积等都是__________不变量。

3. 若点(u 0, v 0)为曲面的正常点，则u v r r ? 在(u 0, v 0)满足__________。

4. 两个曲面之间的一个变换是保角变换的充要条件是它们的__________。

5. 若向量函数()r t 满足()()0r t r t '?= ，则()r t 具有固定的__________ .

6. 曲线()r r t = 的正常点是指满足__________ 的点.

7. 椭圆点对应的杜邦指标线是椭圆,双曲点对应的是一对共轭双曲线,抛物点对应的是

__________ .

8. 平均曲率H =0的曲面称为 __________ 曲面.

9. 曲面上的直线必是__________曲线.

10.向量函数()r t

具有固定方向的充要条件是 .

11.曲线的主法向量的正向总是指向 .

12.在曲面上圆点，其第一、第二类基本量满足关系 .

13.曲面三个基本形式之间有关系式 .

14.曲线()r r s = 的曲率定义是_____________。

15.空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量_____________。

16.曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件是_____________。

17.曲线()r t ={t 3-t 2-t , t 2-2t +2, 2}上的点不是正常点的是t =_____________。

18.曲面的曲纹坐标网是渐进网的充分必要条件是_____________。

19.极小曲面是指_____________的曲面。

20.向量函数()r t 具有固定长的充要条件是_____________。

21.曲线()r r t = 的挠率是_____________。

22.曲面上曲纹坐标网是渐近网的充要条件_____________。

23.向量函数()r t 平行于固定平面的充要条件是_____________.

24.以杜邦(Dupin)指标线为分类标准,曲面上的点分为椭圆点,双曲点,_____________,平点.

25.曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的_____________的最大值和最小值.

26.球面r ={a cos v cos u , a cos v sin u , a sin v } 的坐标曲线就是_____________。

27.曲面上曲纹坐标网是正交网的充要条件是_____________。

28.两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是_____________。

29.在曲面的椭圆点处，高斯曲率_____________。(这个空填符号，即填“大于零”、“等于零”、“小于零”)

30.一般螺线的曲率和挠率的关系是_______。

31.曲面上曲线的交角作为曲面的内蕴量是_______参数变换下的不变量。

32. 曲面域的面积作为曲面的内蕴量是_____参数变换下的不变量。

33. 设曲面在点P 处有两个同号的主曲率，则按高斯曲率的符号分类，此点是曲面的_____。

34. 曲面的曲纹坐标网是渐近网的充分必要条件是_____。

35. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的_____曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的_____方向.

36. 距离单位球面球心距离为d (0

37. 曲面的坐标曲线网正交的充要条件是 , 坐标曲线网成为曲率线网 的充要条件是 .

38. 曲率为0的曲线是______________, 挠率为0的曲线是______________________.

39. 半径为R 的圆的曲率为___________, 半径为R 的球面的法曲率为____________.

40. 曲面的坐标曲线网正交的充要条件是_____________, 坐标曲线网成为曲率线网 的充要条件是___________________.

41. 圆柱面的高斯曲率为___________, 极小曲面的平均曲率为____________.

42. 在脐点处曲面的第一, 第二类基本量满足____________________, 把第二类基本 量L =M =N =0的脐点称为____________.

43. 法曲率的最大值和最小值正好是_____________, 使法曲率达到最大值和最小值

的方向是________________方向.

二、单项选择题

1. 下面各量中, 不是内蕴量的是( )

A. 曲面上曲线的曲率

B. 曲面上曲线的测地曲率

C. 曲面上测地三角形的内角和

D. 曲面的高斯曲率

3. 曲面上一点处的两个主方向之间的夹角θ为( )

4. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的( )

A. 曲率

B. 挠率

C. 法曲率

D. 测地曲率

5. 过空间曲线C上点P（非逗留点）的切线和P点的邻近点Q的平面π，当Q沿曲线C趋于点P 时，平面π的极限位置称为曲线C在P点的( )

A. 法平面

B. 密切平面

C. 从切平面

D. 不存在

6. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是( )

A. 直线

B. 圆

C. 圆柱螺线

D. 平面曲线

7. 下面关于曲面上主方向的说法，不正确的一项是( )

A. 脐点处，任何方向都是主方向

B. 非脐点处，主方向垂直

C. 脐点处，无主方向

D. 非脐点处，有且仅有两个主方向

8. 下面各量中, 不是内蕴量的是( )

A. 曲面上曲线的曲率

B. 曲面域的面积

C. 曲线的弧长

D. 高斯曲率

9. 下面说法不正确的是( )

A. 等距变换一定是保角变换

B. 保角变换一定是等距变换

C. 平面与圆柱面成等距对应

D. 平面与除去北极外的球面成保角对应

10. 平面曲线的密切平面与曲线所在平面（）

A. 相交

B. 平行

C. 重合

D. 垂直

11. 两个曲面等距等价的充要条件是经过适当的参数选择后，（）

A. 第一基本型相同

B. 第一基本型成比例

C. 第二基本型相同

D. 第二基本型成比例

12. 在选取曲率线网作为参数曲线网时，曲面的两个主曲率k1, k2为（）

13. 设曲面:(,),(,)S r r u v u v D =∈ 的第一、二类基本量为,,E F G 和,,L M N ，则曲面的面积为

A. 2D EG F dudv σ=

-??； B. 2D LN M dudv σ=-??； C. 2D F EGdudv σ=-??； D. 2D

M LN dudv σ=-??

14. 下面曲线中是一般螺线的是 （ ）

A. 平面曲线

B. 圆柱螺线

C. 直线

D. 以上全是

15. 下列关于主方向, 正确的说法是 ( )

A. 曲面上一点处至少有两个主方向

B. 除脐点处外, 主方向是互相垂直的

C. 沿主方向, 法曲率达到最大值或最小值

D . 以上全正确

16. 下面各量中, 不是内蕴量的是 ( )

A. 曲面上曲线的曲率

B. 曲面上曲线的法曲率

C. 曲面的平均曲率

D. 曲面的高斯曲率

17. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 ( )

A . 直线

B . 圆

C . 圆柱螺线

D . 平面曲线

18. 在椭圆点处，曲面的第二类基本量满足 ( )

19. 在不含脐点的曲面上，坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是 （ ）

20．反映法曲率随方向而变化的变化规律的欧拉(Euler)公式是 （ ）

三、判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。

1. 曲线上的正常点是指曲率不为零的点。( )

2. 如果两条曲线在对应点的主法线互相平行，则在对应点处的切线互相平行。( )

3. 高斯曲率和平均曲率都是曲面的内蕴量。( )

4. 密切面固定的曲线是挠率等于零的曲线。( )

5. 若给出闭区间上的任意两个连续函数(),()s s ?ψ,则必存在曲线以(),()s s ?ψ分别为它的曲率和挠率.( )

6. 曲面上的曲纹坐标网为曲率线网的充要条件为F =M =0.( )

7. 若曲线的主法线与固定方向成定角,则该曲线为一般螺线。( )

8. 空间曲线穿过法平面和从切平面,不穿过密切平面。( )

9. 如果所有法平面互相平行,那么这曲线是直线。( )

10. 曲面上抛物点对应的杜邦指标线是一条抛物线。( )

11. 曲面上的曲纹坐标网为渐进网的充要条件为L=N=0。( )

12. 在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。( )

13. 空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状与位置。( )

14. 在曲面的非脐点处，最多有二个渐近方向。( )

15.曲线的主法向量正向总是指向曲线的凹侧。( )

16.曲面上平点对应的杜邦指标线是一条直线。( )

17.在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一。()

18.圆的曲率、挠率特征是：k=常数，τ=0。()

19.在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。()

20.若曲线的所有切线都经过定点,则该曲线一定是直线.()

21.球面曲线的主法线必过球心.()

22.曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0.()

23.平面曲线挠率特征为τ=0。( )

24.如果曲面上有直线，则它一定是曲面的渐近曲线。( )

25.设曲面的第一基本形式为I=Edu2+Gdv2，则u曲线和v曲线的位置关系为正交。( )

26. 圆的曲率和挠率特征是k=常数，τ=0。( )

27. I=2du2+6dudv+3dv2可以作为曲面的第一基本形式。( )

28.一般螺线的主法线与固定直线一定垂直.( )

29.曲面的第一基本型是正定的. ( )

微分几何练习题库及参考答案(已修改)

《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 2 12 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+． 23．已知{}r(,)cos cos , cos sin ,sin a a a ?θ?θ?θ?=，其中t =?，2t =θ，则

微分几何试题库

微分几何 一、判断题 1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22 u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲A(,)2B(,)B(,)0 线. （?） 3、若() s t均在[a,b]连续，则他们的和也在该区间连续（√）r t和() 4、向量函数() s t具有固定长的充要条件是对于t的每一个值， s t平行（×） s t的微商与() () 5、等距变换一定是保角变换.（√） 6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（?） 7、常向量的微商不等于零（×） 8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1，0，0）的切线为X=Y=Z（×） 9、对于曲线s=() s t上一点（t=t0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（×） 10、曲线上的正常点的切向量是存在的（√） 11、曲线的法面垂直于过切点的切线（√） 12、单位切向量的模是1（√） 13、每一个保角变换一定是等距变换（×） 14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（√） F=，这里F是第一基本量.（√）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是0

二、填空题 16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___ y+z=0, . 18.设给出1 c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --， β= {sin ,cos ,0}x x ，γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.任何两个向量q p ,的数量积=?q p )cos(～ pq q p 24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为____等距(保长)变换__. 25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_____常数____数(填“常数”或“非常数”). 26.若曲线(c)用自然参数表示)(t r r =,则曲线(c)在)(0s P 点的密切平面的方程是 0))(),(),((000=-s r s r s r R 27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面 28.杜邦指标线的方程为1222±=++Ny Mxy Lx 29、已知曲面{cos ,sin ,6}r u v u v v =，0u >，02 v π ≤<，则它的第一基本形式 为 222(36)du u dv ++ ，第二基本形式为 dv ，高斯曲率

微分几何期末复习题

微分几何复 习题 一、填空题 1. 向量具有固 ()(,3,)r t t t a =定方向，则a = 。 2. 非零向量满 ()r t 足的充要条 (),,0r r r '''=件是 。 3. 若向量函数 ()r t 满足()()0r t r t '?=，则具有固定 ()r t 。 4. 曲线的正常 ()r r t =点是指满足 的点. 5. 曲线在任意 3()(2,,)t r t t t e =点的切向量 为 。 6. 曲线在点的 ()(cosh ,sinh ,)r t a t a t at =0t =切向量为 。 7. 曲线在点的 ()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =0t =切向量为 。 8. 设曲线在P 点的切向量 为α，主法向量为 β，则过P 由确 ,αβ定的平面 是曲线在P 点的 。 9. 若是曲线的 0()r t ()r r t =正则点，则曲线在的 ()r r t =0()r t 密切平面方 程是 。 10. 曲线在点的 ()r r t =0()r t 单位切向量 是α，则曲线在点 0()r t 的法平面方 程是 。 11. 一曲线的副 法向量是常 向量，则这曲线的 挠率τ= 。 12. 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点 处其挠率 (1)τ= 。 13. 曲线x =cos t ，y =sin t , z =t 在t =0处的切线 方程是 。 14. 曲线的主法 向量的正向 总是指向 。 15. 空间曲线为 一般螺线的 充要条件是 它的副法向 量 。 16. 曲线()r t ={t 3-t 2-t , t 2-2t +2, 2}上的点不是 正常点的是 t = 。 17. 曲线的曲率 ()r r t =是 。 18. 曲线的挠率 ()r r t =是 。 19. 一般螺线的 曲率和挠率 的关系是 。 20. 曲率为0的 曲线是 , 挠率为0的 曲线是 。 21. 设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当时的切线 1t =方程为 。

微分几何期终试题

《微分几何》 期终考试题（A） 班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____ 一、 填空题（每空1分, 共20分） 1. 半径为R 的球面的高斯曲率为 ；平面的平均曲率为 . 2. 若的曲率为，挠率为)(t r )(t k )(t τ，则关于原点的对称曲线的曲率为 )(t r ；挠率为 . 3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向. 4. 距离单位球面球心距离为)10(<

二、 单项选择题（每题2分，共20分） 1. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的 【 】 A. 曲率 B. 挠率 C. 法曲率 D. 测地曲率 2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是 【 】 A. 球面与柱面 B. 柱面与平面 C. 平面与伪球面 D. 伪球面与可展曲面 3. 过空间曲线C 上点P （非逗留点）的切线和P 点的邻近点Q 的平面π，当Q 沿曲线趋于点C P 时，平面π的极限位置称为曲线C 在P 点的 【 】 A. 法平面 B. 密切平面 C. 从切平面 D. 不存在 4. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 【 】 A. 直线 B. 圆 C. 圆柱螺线 D. 平面曲线 5. 下列关于测地线，不正确的说法是 【 】 A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线 B. 测地线具有等距不变性 C. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小 D. 平面上测地线必是直线 6. 设曲面的第一、第二基本型分别是,则曲面的两个主曲率分别是 【 】 2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= A．G N k E L k ==21, B. N G k L E k ==21, C. v E G k k ???==ln 21 21 D. u G E k k ??==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是 【 】 k g k n k

12-13(二)微分几何期末复习题

一， 填空 1. 若曲线C 能与另一条曲线1C 的点之间建立一一对应关系, 而且在对应点, C 的主法线与1C 的副法线重合, 则曲线C 称为 孟恩哈姆曲线 . 2. 曲线C 在正则点邻近的近似曲线*C 为x ¤(s ) = s; y ¤(s ) = k (0)2 s 2; z ¤(s ) = k (0)?(0)6 s 3; 3. 曲线在一点邻近和它的近似曲线有相同的 曲率和挠率 . 4.“采柴罗"不动条件是 dx ¤ds = ky ¤ ? 1, dy ¤ds = ?kx ¤ + ?z¤ dz ¤= ??y¤ . 5.空间曲线C : r = r (s ) 是球面曲线的充要条件是: 曲率k (s ) 和挠率? (s ) 满 足 . 6. 设C : r = r (s ) 是一条曲率处处不为零的一般柱面螺线, 则C 的曲率与挠率有 固定比值 . 7.半径为R 的圆的曲率为_____ R 1 ______. 8. 圆柱螺线x = 3a cos t; y = 3a sin t; z = 4at 从它与xy 平面的交点到意点M (t ) 的弧长是 5at . 9. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 圆柱螺线 。 10，曲面的坐标曲线网正交的充要条件是__F=0___________, 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是___F=M=0________________. 11，距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的法曲率为 1± ， 12. 距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的测地曲率为 . 13.全脐点曲面（即曲面上的点全部是脐点）只有两个，它们是 平面，球面 . 14，沿渐近曲线的切方向，法曲率=____0___________；沿曲率线的切方向，法曲率=_________N/G_____________；沿测地线的切方向，法曲率=_______K ±______________. 15．曲面上非脐点处的两个主方向之间的夹角θ为 2π ． 16．曲面上曲线的曲率K ，测地曲率K g ，法曲率K n 之间的关系是 K 2=K 2g +K 2n 。

微分几何试题库

二.单项选择题 1.0()P t 就是曲线r r =()r t r 上一点,1P 就是曲线上P 点附近的一点,S ?为弧?1PP 的长,??为曲线在P 点与1P 点的切向量的夹角,k(s) 就是曲线在P 点的曲率。则下面 不等于0 lim | |s s ? ?→??。 ① 0()k t ② |0()r t r &&| ③ 0|()|t αr & ④ 0()t τ 2.曲线r r =()r s r 在P 点的基本向量为αr ,βr ,γr 。 在P 点的曲率 k(s),挠率为()s τ,则βr & = 。 ① k(s)αr ② -k(s)αr +()s τγr ③ -()s ταr ④ k(s)αr -()s τγr 3.曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。 在P 点的曲率k(s),挠率为()s τ,则γr &= 、 ① k(s)βr ② ()s τβr ③-k(s)αr +()s τγr ④ -()s τβr 4、 曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。 在P 点的曲率k(s),挠率为()s τ,则下式 不正确。 ①αr &=- k(s) βr ②βr &= -k(s)αr +()s τγr ③αr &= k(s)βr ④γr &=-()s τβr 5.曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。 在P 点的曲率k(s),挠率为()s τ,则k(s)= 。 ① αr &βr & ② βr &αr ③ α r &βr ④ γr &βr 6.曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。则下式 不正确。 ① αr &=2βr ② βr &= 3αr -2γr ③βr &= -3αr +2γr ④γr & =2βr

微分几何练习题库及答案

《微积分几何》复习题 本科 第一部分:练习题库及答案 一、填空题(每题后面附有关键词;难易度;答题时长) 第一章 1.已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,则这两个向量的夹角的余弦θcos = 3 6 2.已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,求这两个向量的向量积?=a b (－1,－1,-1)、 3、过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z ＝０ 4.求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2 1 131--= -=+z y x 5、计算2 3 2 lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k 、 6、设()(sin )t t t =+f i j ,2()(1)t t t e =++g i j ,求0 lim(()())t t t →?=f g 0 . 7.已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ,其中2 t u =,t v sin =,则d d t =r (2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8.已知t =?,2 t =θ,则 d (,) d t ?θ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+ 9、已知4 2 ()d (1,2,3)t t =-?r ,6 4 ()d (2,1,2)t t =-? r ,求 4 6 2 2 ()d ()d t t t t ?+??=??a r b a r )5,9,3(-,其中(2,1,1)=a ,(1,1,0)=-b 1０.已知()t '=r a (a 为常向量),求()t =r t +a c 11、已知()t t '=r a ,(a 为常向量),求()t =r 2 12 t +a c 12、已知()(2)(log )t t t =++f j k ,()(sin )(cos )t t t =-g i j ,0t >,则4 d ()d d t t ?=?f g 4cos 62-. 第二章 13、曲线3 ()(2,,)t t t t e =r 在任意点的切向量为2 (2,3,)t t e 1４、曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15、曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b

(整理)大学数学专业 微分几何复习题

一、 填空题：（每小题2分） ⒈ 向量{}(),3,r t t t a =v 具有固定方向，则a =_______________。 ⒉ 非零向量()r t v 满足(),,0r r r '''=v v v 的充要条件是__________________。 ⒊ 设曲线在P 点的切向量为αu r ，主法向量为βu r ，则过P 由,αβu r u r 确定的平面 是曲线在P 点的_______________________。 ⒋ 曲线()r r t =v v 在点0()r t v 的单位切向量是αu r ，则曲线在0()r t v 点的法平面方 程是__________________________。 ⒌ 曲线()r r t =v v 在t = 1点处有2γβ=r v &，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率 (1)τ=___________________。 ⒏ 在旋转曲面{}()cos ,()sin ,()r t t t ?θ?θψ=v 中，____________________ 是旋转曲面的经线。 ⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。 ⒑ 直纹面的参数表示总可以写成 r =v ______________________。 11、向量函数()r r t =r r 使(,,)0r r r '''=r r r 的充要条件是()r r t =r r 。 12、若0()r t r 是曲线()r r t =r r 的正则点，则曲线()r r t =r r 在0()r t r 的密切平面方程是 。 13、一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率τ 。 15、曲面上一族坐标曲线是测地线，另一族为它的正交轨线坐标网是 16、已知曲面(,)r r u v =r r 的第一类基本量为E 、F 、G ，则两方向du:dv 与:u v δδ垂 直的充要条件是 。 17、对曲面(,)r r u v =r r 有22243dr du dv =+r ，则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从0 t 到t （t >0t ）的弧长s = 。 18、若曲面(,)r r u v =r r 在（0，1）点处的第二基本形式223du dv II =-+，则在 （0，1）点处，u u r n ?=r r 。其中n r 为曲面的单位法向量。 19、已知曲面(,)r r u v =r r 的第二类基本量L 、M 、N ，则曲面上渐近曲线的微分 方程是 。 20、若曲面(,)r r u v =r r 的第一基本形式为222ds Edu Gdv =+，曲面在一点的切

微分几何练习题库及参考答案(已修改)

> 《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 【 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． \ 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则 dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．

福师《微分几何》期末复习题

(单选题)1.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项D: 选择图中D选项 正确答案: C (单选题)2.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项D: 选择图中D选项 正确答案: B (单选题)3.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项D: 选择图中D选项 正确答案: C (单选题)4.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项D: 选择图中D选项 正确答案: D (单选题)5.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项D: 选择图中D选项 正确答案: D (单选题)6.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项

D: 选择图中D选项 正确答案: D (单选题)7.（） A: 选择图中A选项 B: 选择图中B选项 C: 选择图中C选项 D: 选择图中D选项 正确答案: C (单选题)8.（） A: 选择图中A选项 B: 选择图中B选项 C: 选择图中C选项 D: 选择图中D选项 正确答案: C (单选题)9.（） A: 选择图中A选项 B: 选择图中B选项 C: 选择图中C选项 D: 选择图中D选项 正确答案: D (单选题)10.（） A: 选择图中A选项 B: 选择图中B选项 C: 选择图中C选项 D: 选择图中D选项 正确答案: A (单选题)11.高斯曲率为零的曲面称为（）A: 极小曲面 B: 球面 C: 常高斯曲率曲面 D: 平面 正确答案: A

(单选题)12.对于空间曲线C，挠率为零是曲线是直线的（）A: 充分不必要条件 B: 必要不充分条件 C: 既不充分又不必要条件 D: 充要条件 正确答案: B (单选题)13.对于曲线，曲率恒等于0是曲线是直线的（）A: 充分不必要条件 B: 必要不充分条件 C: 既不充分又不必要条件 D: 充要条件 正确答案: D (单选题)14.球面上的大圆不可能是球面上的（） A: 测地线 B: 曲率线 C: 法截线 D: 渐近线 正确答案: D (单选题)15.曲线在每一点的主方向（） A: 至少两个 B: 只有一个 C: 只有两个 D: 可能没有 正确答案: A (单选题)16.曲线C是一般螺线，以下命题不正确的是（）A: 切线与固定方向成固定角 B: 副法线与固定方向成固定角 C: 主法线与固定方向垂直 D: 副法线与固定方向垂直 正确答案: D (单选题)17.题面见图片： A: 选择图中A选项 B: 选择图中B选项 C: 选择图中C选项

微分几何练习题库及答案

《微积分几何》复习题 本科 第一部分:练习题库及答案 一、填空题(每题后面附有关键词;难易度;答题时长) 第一章 1.已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,则这两个向量的夹角的余弦θcos = 3 6 2.已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,求这两个向量的向量积?=a b (-1,-1,-1). 3.过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z=0 4.求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2 1 131--= -=+z y x 5.计算2 3 2 lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k . 6.设()(sin )t t t =+f i j ,2()(1)t t t e =++g i j ,求0 lim(()())t t t →?=f g 0 . 7.已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ,其中2 t u =,t v sin =,则d d t =r (2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8.已知t =?,2 t =θ,则 d (,) d t ?θ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+ 9.已知4 2 ()d (1,2,3)t t =-?r ,6 4 ()d (2,1,2)t t =-? r ,求 4 6 2 2 ()d ()d t t t t ?+??=??a r b a r )5,9,3(-,其中(2,1,1)=a ,(1,1,0)=-b 10.已知()t '=r a (a 为常向量),求()t =r t +a c 11.已知()t t '=r a ,(a 为常向量),求()t =r 2 12 t +a c 12.已知()(2)(log )t t t =++f j k ,()(sin )(cos )t t t =-g i j ,0t >,则4 d ()d d t t ?=?f g 4cos 62-. 第二章 13.曲线3 ()(2,,)t t t t e =r 在任意点的切向量为2 (2,3,)t t e 14.曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15.曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b

(整理)《微分几何》陈维桓第六章习题及答案.

§ 6.1 测地曲率 1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。 证明： 设旋转面方程为{()cos ,()sin ,()} r f v u f v u g v =， 22222 ()()(()())()f v du f v g v dv ''I =++， 222(),()() E f v G f v g v ''==+ 纬线即u —曲线：0 v v =（常数）， 其测地曲率为2 u g k == =为常数。 2、 证明：在球面S (cos cos ,cos sin ,sin )r a u v a u v a u =， ,0222 u v ππ π- <<<< 上，曲线 C 的测地曲率可表示成 ()()sin(())g d s dv s k u s ds ds θ=- ， 其中((),())u s v s 是球面S 上曲线C 的参数方程， s 是曲线C 的弧长参数， ()s θ是曲线C 与球面上经线（即u -曲

线）之间的夹角。 证明 易求出2 E a =, 0 F =,2 2 cos G a u =, 因此 g d k ds θθθ= 221ln(cos )sin 2d a u ds a u θθ?=+? sin sin cos d u ds a u θθ= -， 而1sin cos dv ds a u θθ ==， 故 sin g d dv k u ds ds θ= -。 3、证明：在曲面S 的一般参数系(,)u v 下，曲线:(),()C u u s v v s ==的测地曲率是 ()()()()()())g k Bu s Av s u s v s v s u s ''''''''=-+-， 其中s 是曲线C 的弧长参数，2 g EG F =-， 并且 12 112 11 12 22 (())2()()(())A u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ， 2222 2111222(())2()()(())B u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ 特别是，参数曲线的测地曲率分别为 2 3 11(())u g k u s '，1322(()) v g k v s '= 。 证明 设曲面S 参数方程为12(,)r r u u =，1122:(),()C u u s u u s ==

微分几何练习题库与答案

《微积分几何》复习题 本科 第一部分：练习题库及答案 一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长） 第一章 1．已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，则这两个向量的夹角的余弦θcos = 3 6 2．已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，求这两个向量的向量积?=a b (-1,-1,-1)． 3．过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z=0 4．求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2 1 131--= -=+z y x 5．计算2 3 2 lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k ． 6．设()(sin )t t t =+f i j ，2()(1)t t t e =++g i j ，求0 lim(()())t t t →?=f g 0 ． 7．已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ，其中2 t u =，t v sin =，则d d t =r (2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8．已知t =?，2 t =θ，则 d (,) d t ?θ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+ 9．已知4 2 ()d (1,2,3)t t =-?r ，6 4 ()d (2,1,2)t t =-? r ，求 4 6 2 2 ()d ()d t t t t ?+??=??a r b a r )5,9,3(-，其中(2,1,1)=a ，(1,1,0)=-b 10．已知()t '=r a （a 为常向量），求()t =r t +a c 11．已知()t t '=r a ，（a 为常向量），求()t =r 2 12 t +a c 12．已知()(2)(log )t t t =++f j k ，()(sin )(cos )t t t =-g i j ，0t >，则4 d ()d d t t ?=?f g 4cos 62-． 第二章 13．曲线3 ()(2,,)t t t t e =r 在任意点的切向量为2 (2,3,)t t e 14．曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15．曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b

微分几何试题库(选择题)

二．单项选择题 1．0()P t 是曲线r r =()r t r 上一点， 1P 是曲线上P 点附近的一点，S ?为弧?1PP 的长，??为曲线在P 点和1P 点的切向量的夹角，k(s) 是曲线在P 点的曲率。则下面 不等于0 lim | |s s ? ?→??。 ① 0()k t ② |0()r t r &&| ③ 0|()|t αr & ④ 0()t τ 2．曲线r r =()r s r 在P 点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的 曲率k(s)，挠率为()s τ，则βr & = 。 ① k(s)αr ② -k(s)αr +()s τγr ③ -()s ταr ④ k(s)αr -()s τγr 3．曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则γr &= . ① k(s)βr ② ()s τβr ③-k(s)αr +()s τγr ④ -()s τβr 4. 曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则下式 不正确。 ①αr &=- k(s) βr ②βr &= -k(s)αr +()s τγr ③αr &= k(s)βr ④γr &=-()s τβr 5．曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则k(s)= 。 ① αr &βr & ② βr &αr ③ αr &βr ④ γr &βr 6．曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 则下式 不正确。 ① αr &=2βr ② βr &= 3αr -2γr ③βr &= -3αr +2γr ④γr & =2βr 7．曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则()s τ= 。

微分几何期末复习题

微分几何复习题 一、填空题 1. 向量()(,3,)r t t t a =具有固定方向，则a = 。 2. 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是 。 3. 若向量函数()r t 满足()()0r t r t '?=，则()r t 具有固定 。 4. 曲线()r r t =的正常点是指满足 的点. 5. 曲线3()(2,,)t r t t t e =在任意点的切向量为 。 6. 曲线()(cosh ,sinh ,)r t a t a t at =在0t =点的切向量为 。 7. 曲线()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =在0t =点的切向量为 。 8. 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ确定的平面 是曲线在P 点的 。 9. 若0()r t 是曲线()r r t =的正则点，则曲线()r r t =在0()r t 的密切平面方程是 。 10. 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面方程是 。 11. 一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率τ= 。 12. 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率 (1)τ= 。 13. 曲线x =cos t ，y =sin t , z =t 在t =0处的切线方程是 。 14. 曲线的主法向量的正向总是指向 。 15. 空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量 。 16. 曲线()r t ={t 3-t 2-t , t 2-2t +2, 2}上的点不是正常点的是t = 。 17. 曲线()r r t =的曲率是 。 18. 曲线()r r t =的挠率是 。 19. 一般螺线的曲率和挠率的关系是 。 20. 曲率为0的曲线是 , 挠率为0的曲线是 。 21. 设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 。

微分几何习题解答(曲线论)

微分几何主要习题解答 第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向 量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固 定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ ≠ 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2 'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使 )(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向 量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直 于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、 )(t μ，使''r = r λ +μ'r ①

微分几何习题与答案解析

第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t )(t e 的形式，其中)(t e 为单位向 量函数，)(t 为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t )(t e ，若)(t r 具有固 定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t e ，所以 r ×'r = ' （e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t )(t e 求微商得'r =' e + 'e ，于是r × 'r =2 （e ×'e ）=0 ，则有 = 0 或e ×'e =0 。当)(t = 0时，)(t r =0 可与任意 方向平行；当 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因 为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固 定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量， 且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r r ，'r ，''r 垂 直于同一非零向量n ，因而共面，即（r r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×' r 0 。若r ×'r =0 ，由上题

微分几何复习题

第一章 曲线论 一、单项选择题 1、过点0r 且以非零向量a 为方向的直线方程为 A 、 00 =-?r a r B 、0)(0 =?-r a r C 、0)(0=?-a r r D 、0)(0 =?-a r r 2、已知向量b a ⊥，则必有 ； A 、 0 =?b a B 、 b a λ= C 、0 =?b a D 、 0=?b a 3、设s , r 分别是可微的向量函数,则以下运算正确的是 ； A 、s r s r ?'='?)( B 、s r s r s r '?+?'='? )( C 、s r s r ?'='?)( D 、r s r s s r '?+?'='? )( 4、过0r 且垂直于非零向量n 的平面方程是 A 、0)(0=?-n r r B 、 0)(0 =?-n r r C 、n v r r =-0 D 、0)(0=?-r n r 5、设)(),(),(t u t s t r 分别是可微的向量函数,则='),,(u s r ； A 、u s r '?? )( B 、u s r '?? )( C 、)',','(u s r D 、),,(),,(),,(u s r u s r u s r '+'+' 6、单位向量函数)(t r 关于t 的旋转速度等于 A 、)('t r B 、)(''t r C 、)('t r D 、 )(''t r 7、向量函数)(t r r =具有固定方向的充要条件是 ； A 、1)(=t r B 、1)('=t r C 、 0)(')( =?t r t r D 、 o t r t r =?)(')( 8、向量函数)(t r r =具有固定长的充要条件是 ； A 、0)(')(=?t r t r B 、0)()(' =?t r t r C 、1)(=t r D 、1)('=t r 9、星形线t a y t a x 3 3sin ,cos ==上对应于t 从0到π的一段弧的长等于 ； A 、a B 、a 2 C 、a 3 D 、 a 6 10、已知向量b a //，则必有 ； A 、 0 =?b a B 、 b a λ= C 、0 =?b a D 、 0=?b a 11、在曲线的正常点处,曲线的切线和主法线所确定的平面是曲线上该点的 ； A 、法平面 B 、切平面 C 、密切平面 D 、从切平面 12、平面曲线的曲率或挠率特征是 ； A 、曲率0≡κ B 、曲率∞≡κ C 、挠率)0(≠=c c τ D 、挠率0≡τ 13、设圆的半径为R ，则圆上每一点的曲率都是 ； A 、0 B 、1 C 、R D 、R 1 14、如果一条曲线的密切平面固定，则此曲线是 ； A 、平面曲线 B 、挠曲线 C 、一般螺线 D 、直线 15、设曲线)(t r r =的自然参数方程为)(s r r =，则曲线在任一点的单位切向量是 ；