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高考数学椭圆与双曲线重要规律定理

椭圆与双曲线性质--（重要结论）

清华附中高三数学备课组

椭圆

1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.

2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的

两个端点.

3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5. 若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.

6. 若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程

是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22

221x y a b

+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点

角形的面积为122

tan

F PF S b γ

?=.

8. 椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：

10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).

9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦

点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P

和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.

11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2

2OM AB b k k a ?=-，

即020

2y a x b K AB -=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.

13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y

x y a b a b

+=+.

双曲线

1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.

2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长

轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）

5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y

a b -=.

6. 若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则

切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y

a b

-=.

7. 双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，

则双曲线的焦点角形的面积为122

F PF S b co γ

?=.

8. 双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c -,2(,0)F c

当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.

当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--

9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别

交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.

10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于

点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.

11. AB 是双曲线22

221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则

0202y a x b K K AB OM =?，即020

2y a x b K AB =。

12. 若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是

00002222x x y y x y a b a b

-=-. 13. 若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是

22002222x x y y x y a b a b

-=-.

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

高三数学备课组

椭圆

1. 椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时

A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22

221x y a b

-=.

2. 过椭圆22

221x y a b

+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，

则直线BC 有定向且20

20BC b x k a y =（常数）.

3. 若P 为椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,

21PF F β∠=，则

tan t 22

a c co a c αβ

-=+. 4. 设椭圆

1x y

a b +=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有

sin sin sin c

e a

αβγ==+.

5. 若椭圆

1x y

a b +=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e

1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.

6. P 为椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则

2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.

7. 椭圆

0022

()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++. 8. 已知椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）

2222

1111||||OP OQ a b

+=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ?的最小值是2222a b a b +. 9. 过椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x

轴于P ，则

||||2PF e

MN =. 10. 已知椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点

0(,0)P x ,则2222

0a b a b x a a ---<<.

11. 设P 点是椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则

(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2)122

tan 2

PF F S b γ?=.

12. 设A 、B 是椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,

PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有

(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2)2

tan tan 1e αβ=-.(3)222

2cot PAB a b S b a

γ?=-. 13. 已知椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交

于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线

垂直.

15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

高三数学备课组

双曲线

1. 双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于

P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22

221x y a b

+=.

2. 过双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于

B,C 两点，则直线BC 有定向且20

20BC b x k a y =-（常数）.

3. 若P 为双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,

21PF F β∠=，则

tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22

c a co c a βα

-=+）. 4. 设双曲线

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有

sin (sin sin )c

e a αγβ==±-. 5. 若双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜e

时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.

6. P 为双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则

21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立.

7. 双曲线

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A a B b C -≤.

8. 已知双曲线22

221x y a b

-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.

（1）2222

1111||||OP OQ a b

+=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ?的最小值是2222a b b a -. 9. 过双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂

直平分线交x 轴于P ，则

||||2PF e

MN =. 10. 已知双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相

交于点0(,0)P x ,则220a b x a +≥或22

0a b x a

+≤-.

11. 设P 点是双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，

则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2)122

cot 2PF F S b γ?=.

12. 设A 、B 是双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=,

PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)222

22|cos |

|||s |

ab PA a c co αγ=-. (2)2

tan tan 1e αβ=-.(3)22

2cot PAB

a b S b a γ?=+. 13. 已知双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与

双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线

必与切线垂直.

15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂

直.

16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条技巧归纳总结

职高高考数学公式(最全)

职高高考数学公式(最全) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

职高高考数学公式预备知识：（必会） 1. 相反数、绝对值、分数的运算 2. 因式分解（1） ?十字相乘法如：)2)(13(2532-+=--x x x x （2）两根法如：)2 5 1)(251(12--+- =--x x x x 3. ?配方法如：8 25 )41(23222-+=-+x x x 4. 分数（分式）的运算 5. 一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组的解法（1）代入法（2）消元法 6.完全平方和（差）公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+- 7.平方差公式：))((22b a b a b a -+=- 8.立方和（差）公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 9. ?注：所有的公式中凡含有“=”的，注意把公式反过来运用。第一章集合 1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。 2. 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。注：?描述法 },| 取值范围元素性质元素｛?∈?=x x x ；另重点类型如：｝｛]3,1(,13|y 2-∈+-=x x x y 3. 常用数集：N （自然数集）、Z （整数集）、Q （有理数集）、R （实数集）、*N （正整数集）、+Z （正整数集） 4. 元素与集合、集合与集合之间的关系：（1）元素与集合是“∈”与“?”的关系。（2）集合与集合是“?” “”“=”“?/”的关系。注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做题时多考虑φ是否满足题意）

高中高考数学公式大全

高中高考数学公式大全 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高考基础知识（公式）一、集合元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ? ?≠? 子集：一般地，,A A A ???,若,A B B C ??则A C ? 真子集：一般地，A ??,若,A B B C ?? 则A C ? 交集：一般地，A A A =,A B B A =,A A ?=?=? 并集：一般地，A A A =,A B B A =,A A A ?=?= 集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个子集（包括空集）；非空子集有 21n -个；即真子集有21n -个；非空的真子集有22n -个. 充要条件：1、p q ?，则p 是q 的充分条件；反之（若q p ?），q 是p 的必要条件； 2、p q ?，且q p ?，则p 是q 的充要条件； 3、p q ?，且q ≠>p ，则p 是的q 充分不必要条件； 4、p ≠>q ，且q p ?，则p 是q 的必要不充分条件； 5、p ≠>q ，且q ≠>p ，则是p 是q 的既不充分又不必要条件。二、指数与对数指数性质：(1)1、1 p p a a -= ；（2）、01a =（0a ≠）； (3)、()mn m n a a = (4)、(0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈ ；(5)、n a =（0,,a m n N *>∈， 1n >）(6)、m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >） (7)当n a =；当n ,0 ||,0a a a a a ≥?==?-≠>>∈且2n ≥则

高考数学双曲线

第51讲双曲线 1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的__距离的差的绝对值__等于常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做__双曲线的焦点__，两焦点间的距离叫做__双曲线的焦距__．集合P ＝{}M ||| ||MF 1－||MF 2＝2a ，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0. (1)当__a ＜c __时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当__a ＝c __时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当__a ＞c __时，点P 不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R y ≤－a 或y ≥a ，x ∈R

3．常用结论(1)双曲线的焦点到渐近线x a 2－y b 2＝0(a ＞0，b ＞0)的距离为b .如右图△OFH 是分别以边a ，b ，c 为边长的直角三角形． (2)如下图： x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0) 则有：P 1，P 2两点坐标都为????c ，b 2 a ，即||FP 1＝||FP 2＝b 2 a . 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)平面内到点F 1 (0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) (3)方程x 2m －y 2 n ＝ 1(mn ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × ) (4)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n ＝ 0.( √ ) 解析 (1)错误．由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部． (2)错误．因为||||MF 1－||MF 2＝8＝||F 1F 2，表示的轨迹为两条射线． (3)错误．当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时则表示焦点在y 轴上的双曲线．

高级中学数学公式定理汇总

高中数学公式结论大全 1. ,. 2.. 3. 4.集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式;当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式 (3)零点式；当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设为此式 4切线式：。当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时，设为此式 6.解连不等式常有以下转化形式 . 7.方程在内有且只有一个实根,等价于或。 8.闭区间上的二次函数的最值二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若，则；，，. (2)当a<0时，若，则，若，则，. 9.一元二次方程＝0的实根分布 1方程在区间内有根的充要条件为或； 2方程在区间内有根的充要条件为或或； 3方程在区间内有根的充要条件为或 . 10.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间的子区间形如，，不同上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。 (2)在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。

(3) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)的有解充要条件是。 (4) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)有解的充要条件是。对于参数及函数.若恒成立，则；若恒成立，则；若有解，则；若有解，则；若有解，则 . 若函数无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论 11.真值表 12.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个至多有个小于不小于至多有个至少有个对所有，成立存在某，不成立或且对任何，不成立存在某，成立且或ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假

高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条经典法则

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）高三数学备课组椭圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-，即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2 的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和 A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.

(完整版)高职高考数学主要知识点最新版

高职高考数学主要知识点： 1.集合的子集个数：集合{a1,a2,a3, ,a n}的子集个数为2n个;子集个数为2n个;真子集个数为2n1个。满足{a1,a2,a3, ,a m} A {a1,a2,a3, , a n }关系的集合A有2n m个。 2.集合的运算：交集；A B {x| x A且x B} 并集：A B {x| x A或x B} 补集：C U A {x| x U,A U且x A} 3.命题的充分条件：、原命题成立，逆命题不成立命题的必要条件：逆命题成立，原命题不成立。命题的充要条件：原命题成立，逆命题成立。 4.函数的定义域的求法：分式要保证分母不为0；开二次方根要保证补开方数大于或等于0；对数的真数大于0，底数大于0 且不等于1。值域的求法：二次函数用配方法、换元法、一次分式函数用求反函数的定义域的方法、二次分式函数用判别式法。二次根式函数要保证函数值大于或等于0，指数函数值大于0 等等。 5.增函数：函数值随自变量的增大而增大，减少而减小。减函数：函数值随自变量的增大而减小，减少而增大。奇函数：定义域关于原点对称，自变量取相反值时函数值与原函数值相反。图象关于原点对称。偶函数：定义域关于原点对称，自变量取相反值时函数值与原函数值相同。图象关于y 轴对称。

反函数：原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。图象关于直线y＝x 轴对称指数的运算法则： m n m n m n m n a a a ,a a a m n mn m m m (a ) a ,(ab ) a b b b m m (b)m b m,a n n a m(n a )m a a m m 1 0 a m m,a 01(a 0) a 8. 对数的运算法则： 1如果a b N，那么b叫做以a为底N的对数，记为 b log N 2 a loga N N 3 log a a b b 4 log a x n nlog a x y 5 log a ( xy) log a x log a y 6 log a log a y log a x 1 log c b 7 log a b 8 log a b c log b a log c a 9. 指数函数的图象及性质：

高考数学双曲线

2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》双曲线 1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，P点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程 x2 a2－ y2 b2＝1 (a>0，b>0) y2 a2－ x2 b2＝1 (a>0，b>0) 图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝± b a x y＝± a b x 离心率e＝ c a，e∈(1，＋∞)，其中c＝a 2＋b2 实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 概念方法微思考

1．平面内与两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示不一定．当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在；当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线． 2．方程Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是什么？提示若A >0，B <0，表示焦点在x 轴上的双曲线；若A <0，B >0，表示焦点在y 轴上的双曲线．所以Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是AB <0. 3．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a ，b 只限制a >0，b >0，二者没有大小要求，若a >b >0，a ＝b >0,0b >0时，10时， e ＝2(亦称等轴双曲线)，当0 2. 题组一思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × ) (3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n ＝0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ ) (5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22 ＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ ) 题组二教材改编 2．若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 答案 A 解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±y b ＝0，即bx ±ay ＝0，