2003_～2009工科数学分析,高等数学(A,B)(上册)试卷

03～09级高等数学（A ）（上册）试卷

东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）

课程名称 工科数分 考试学期 04－05－2（期中） 得分

适用专业 选修数分各专业 考试形式

闭 考试时间长度 120分钟

2． 设数列}{},{},{n n n c b a 满足

+∞===∞

→∞

→∞

→n n n n n n c b a lim ,

1lim ,0lim ，则必有 （ ）

（A ）)(,

+∈?

（C ）n n n c a ∞

→lim 不存在 （D ）+∞=∞

→n n n c b lim

3．若)(x f 与)(x g 可导，,0)(lim )(lim ==→→x g x f a

x a

x 且A x g x f a

x =→)

()

(lim

（A 为有限数）则 （ ） （A ）必有A x g x f a

x =''→)

()(lim （B ）必有B x g x f a x =''→)()

(lim 存在，且B A ≠

（C ）若B x g x f a

x =''→)

()(lim

存在，则B A = （D ）若B x g x f a x =''→)()

(lim 存在，未必B A =

4．设2

21

sin 1)(x

x x f =

（ ） （A ）当0→x 时，)(x f 是无穷小 （B ）当0→x 时，)(x f 是无穷大 （C ）

)(x f 在)1,0(内有界 （D ）)(x f 在)1,0(内无界

三．（每小题7分，共28分） 1． 计算极限x x

x x cot )1

sin 1lim 0

-→（

2．计算极限])23()1ln(1

sin

[

lim sin 1

220x x x x

e x x x +-++→ 3． 设函数)(x y y =是由方程0sin 2

=-y xe y

确定的隐函数，求dy

4． 设)(y x f y +=，其中f 具有二阶导数，且其一阶导数不等于1，求2

2dx

y

d 。 四．（每小题7分，共21分） 1． 用δε－语言证明11

21

lim

1=-→x x 。

2． 证明函数2

cos )(x x f =在),(∞+-∞上不一致连续。 3． 证明数列3

33cos 22cos 11cos n n

a n +

++=

是收敛的。 五．（8分）设,101<

1 =+-=+n x x x n n n ，证明数列}{n x 收敛，并求出极限。

六．（7分）证明方程0)!

12(!3!211

232=+++++

++n x x x x n 有且仅有一个实根，其中n 为正整数。

东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）

课程名称 工科数分 考试学期 04－05－2（期中） 得分

适用专业 选修数分各专业 考试形式

闭 考试时间长度 120分钟 2.设数列}{},{},{n n n c b a 满足

)1(f ' （ D ）

（A ）)1(?= （B ）)1(?-= （C ）0= （D ）不存在

+∞===∞

→∞

→∞

→n n n n n n c b a lim ,

1lim ,0lim ，则必有 （ D ）

（A ）)(,

+∈?

（C ）n n n c a ∞

→lim 不存在 （D ）+∞=∞

→n n n c b lim 3．若)(x f 与)(x g 可导，,0)(lim )(lim ==→→x g x f a

x a

x 且A x g x f a

x =→)

()

(lim

（A 为有限数）则 （ C ） （A ）必有A x g x f a

x =''→)

()(lim （B ）必有B x g x f a x =''→)()

(lim 存在，且B A ≠

（C ）若B x g x f a

x =''→)

()(lim

存在，则B A = （D ）若B x g x f a x =''→)()

(lim 存在，未必B A =

4．设2

21

sin 1)(x

x x f =

（ D ） （A ）当0→x 时，)(x f 是无穷小 （B ）当0→x 时，)(x f 是无穷大 （C ）

)(x f 在)1,0(内有界 （D ）)(x f 在)1,0(内无界

三．（每小题7分，共28分） 2． 计算极限x x

x x cot )1

sin 1lim 0

-→（

解：原式＝x

x x x

x x tan sin sin lim

-→-------------------------------------1分

3

sin lim x x

x x -=→-----------------------------------------2分 203cos 1lim x

x

x -=→-----------------------------------------3分 6

1

=

---------------------------------------------------1分 3． 计算极限])23()1ln(1

sin

[

lim sin 1

220x x x x

e x x x +-++→ 解：x

x x x x x x x 2

2

02201sin lim )1ln(1sin

lim →→=+-------------------------------1分

01

sin

lim 20

==→x

x x ---------------------------------------------1分 x x e x x

x

x x

x

x x

x e

x

e

x x

e

sin )2(1lim

sin 10

sin 10

0)211(lim )23(

lim +--→→→=+--+

=+------------------2分

e

e

e

x e x x e x x x x x 1

221lim

)2(1lim

00=

==+--+--→→------------------------2分 所以，原式=e

e 1

10=+

------------------------------------------1分 5． 设函数)(x y y =是由方程0sin 2

=-y xe y

确定的隐函数，求dy . 解：在方程两边同时求微分得：

0cos 22=-+y ydy dy xe dx e y y --------------------------4分

所以dx xe

y y e dy y

y

-=2cos 2-------------------------------3分 6． 设)(y x f y +=，其中f 具有二阶导数，且其一阶导数不等于1，求2

2dx

y

d 。 解：在方程两边同时对x 求导数得

)1)((y y x f y '++'='---------------------------------------2分

所以f f y '

-'

='1------------------------------------------------1分 所以2

)1()

1)((f y y x f y '-'++''=

''-------------------------------------3分

3

2

)

1()1()11)((f f f f

f y x f '-'

'=

'-'-'+

+''=

--------------------－-1分 四．（每小题7分，共21分） 4． 用δε－语言证明11

21

lim 1=-→x x 。

证明：先不妨设41|1|<

-x ，则4

5

43<?ε，要使ε<--|1121|x ，即ε<--|1

2)

1(2|x x ， 因为当

4543<

2)

1(2|-<--x x x ，----------------2分 所以只须ε<-|1|4x ，所以取}4

1

,4min{εδ=，

则当δ<-|1|x 时，ε<--|11

21

|x ，---------------------------2分 所以11

21

lim

1=-→x x --------------------------------------------1分

5． 证明函数2

cos )(x x f =在),(∞+-∞上不一致连续。

证明：取2

1

0=

ε-------------------------------------------------1分 则构造两数列2

2,2)

2()

1(π

ππ+

==n x n x n

n ------------------2分

则0||lim )

2()

1(=-∞

→n

n

n x x ，------------------------------------1分

所以对0>?δ，都能找到某个+∈N n ,使得δ<-||)

2()

1(n

n x x

而0)2()

1(1|)()(|ε>=-n

n x f x f ------------------------------2分

所以，2

cos )(x x f =在),(∞+-∞上不一致连续---------------1分 6． 证明数列3

33cos 22cos 11cos n n

a n +

++=

是收敛的。 证明：，因为对+∈?N p n ,，有

|)

1()

1cos()1()1cos()()cos(|

||3

33+++-+-++++=-+n n p n p n p n p n a a n p n |)

)(1(1)2)(1(11)n(n 1|

p n p n n n +-+++++++≤ -------------2分

n

p n n 1

11<+-≤

-----------------------------------2分 所以对0>?ε，取]1

[ε

=N ，则当+∈?>N p N n ,有ε<-+||n p n a a ，

所以数列n a 收敛。-----------------------------------------------------------------3分

五．（8分）设,101<

1 =+-=+n x x x n n n ，证明数列}{n x 收敛，并求出极限。

证明：因为,101<

1<-=+-=<+k k k k k x x x x x ，

所以对+∈?N n 有10<

121

>-=+n n

n x x x ，数列n x 单调增加，所以}{n x 收敛。------------------3分 设其极限为,l 则l l l 22

+-=，

所以1=l 或0=l （舍），所以1lim =∞

→n n x ----------------------------------2分

六．（7分）证明方程0)!

12(!3!211

232=+++++

++n x x x x n 有且仅有一个实根，其中n 为正整数。

证明：令)!

12(!3!21)(1232++++++=+n x x x x x f n ， 则-∞==-∞

→)(lim ,1)0(x f f x ，所以)(x f 在)0,(-∞上有一零点，

很显然)(x f 在),0(+∞上无零点。----------------------------------------------------------3分 假设)(x f 在)0,(-∞上至少有两个零点，设)(,2121x x x x <为其两零点， 则对函数)()(x f e

x F x

-=在],[21x x 上应用Rolle 定理，

得至少存在)0,(),(21-∞?∈x x ξ，使得0)(='ξF ，-------------------------------2分 而)!

12())()(()(1

2+-=-'='+--n x e

x f x f e x F n x

x

在)0,(-∞上无零点，矛盾，

所以)(x f 在),(+∞-∞上有且仅有一个零点，即原方程有且仅有一个实根。--2分

东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）

课程名称 工科数分（期中） 考试学期 05－06－2

得分

适用专业 选修数分各专业 考试形式

闭卷 考试时间长度 120分钟 （A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点 （C ）无穷间断点 （D ）振荡间断点

0()U x →（D ） 若存在0>δ，对于),(δa U x ∈?，都有1)(

7.设 0 3213 0 1arctan 2

)(11

?

??????>+-<=x x x x f x

x

π,则间断点0=x 的类型为 （ ）

8．设|)3()2)(1(|)(3

2---=x x x x f ， 则)(x f '不存在的点的个数为 （ ） （A ）0， （B ）1， （C ）2， （D ）3 9．设)(x f 在0x x =处可导，则h

bh x f ah x f h 3sin )

()(lim

000

--+→等于 （ ）

（A ）)()(31

0x f b a '+ （B ）)()(310x f b a '- （C ）)(3

1

0x f ' （D ）)()(0x f b a '- 三．（每小题7分，共28分）

10.计算极限

3

0lim x x +→ 11. 设???=+=t

y t x cos 12，求22d d y x 。

12．设函数1

(e sin ) 0() 0

x x x x f x a x ??

+≠=??=?在0=x 处连续，求常数a 。

13.设,)

21(1

)(x x x f -=

求)()

(x f

n 。

四．（每小题7分，共21分）

14.用定义证明2

1

2cos lim

33=-+∞→n n n n n 。 15.证明函数x x f sin

)(=在),0(∞+上一致连续。

16.数列}{n a 收敛，证明数列n

n n q a q a q a b +++= 221是收敛的。

五．（8分）设,01>x 且有)3,2,1(61 =+=+n x x n n ，证明数列}{n x 收敛，并求出极

限。

六．（7分）设函数)(x f 在),0[+∞上可导，在(0,)+∞内二阶可导，且(0)0f +'<，

()

lim

1x f x x

→+∞

=，证明：存在),,0(+∞∈ξ使得ξξξ)()(f f '-=''.

东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）

课程名称 工科数分（期中） 考试学期 05－06－2

得分

适用专业 选修数分各专业 考试形式

闭卷 考试时间长度 120分钟 0()U x →（G ） 若存在0>δ，对于),(δa U x

∈?，都有1)(>x f ，则1>K （H ） 若存在0>δ，对于),(δa U x ∈?，都有1)(

7.设 0 3213 0 1arctan 2

)(11

?

??????>+-<=x x x x f x

x

π,则间断点0=x 的类型为 （ B ） （A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点 （C ）无穷间断点 （D ）振荡间断点

8．设|)3()2)(1(|)(3

2---=x x x x f ， 则)(x f '不存在的点的个数为 （ B ）

（A ）0， （B ）1， （C ）2， （D ）3 9．设)(x f 在0x x =处可导，则h

bh x f ah x f h 3sin )

()(lim

000

--+→等于 （ A ）

（A ）)()(31

0x f b a '+ （B ）)()(310x f b a '- （C ）)(3

1

0x f ' （D ）)()(0x f b a '- 三．（每小题7分，共28分）

10.计算极限

3

0lim x x +→

解：3

0lim x x +→x x x x x x x cos 13lim 22

sin lim 2030-=-=++→→12= -------3+3+1分 11. 设???=+=t

y t x cos 12，求22d d y x 。

解：

t t dx dy 2sin -=------3分 3

2

2

4cos sin )

(

t t t t dx dx dy

d dx y d -==

-------------4分 12．设函数1

(e sin ) 0() 0

x x x x f x a x ??

+≠=??=?在0=x 处连续，求常数a 。

解：2sin 1lim

1

0)sin (lim e e

x e a x x e x

x

x x x ==+=+-→→--------------------------1+4+2分

13.设,)

21(1

)(x x x f -=求)()

(x f

n 。

解：x

x x f 2121)(-+=, 所以1

1

1)()21(1!21!)1()(+++-+-=n n n n n x n x n x f ----2+5分

四．（每小题7分，共21分）

14.用定义证明2

1

2cos lim

33=-+∞→n n n n n 。

证明： 0>?ε，取]}1

[

,2max {ε

=N ,则当N n >时，恒有------------2分

ε<≤+≤-+=--+23

3331

22|)2(2cos 2||212cos |n

n n n n n n n n n n ---------------4分 所以2

1

2cos lim

33=-+∞→n n n n n ----------------------------------------1分 15.证明函数x x f sin

)(=在),0(∞+上一致连续。

证明：任取0>ε,取,21εδ=，则对时且 ||),,1[,12121δ<-+∞∈?x x x x

恒有εξ

ξ<-≤

-=-||2

1

|||2cos |

|sin sin

|212121x x x x x x ----------3分 (其中ξ在1x 与2x 之间) 又因为x sin

在闭区间]2,0[上连续，所以在]2,0[上一致连续，对此0>ε，

时，恒有且使得对221212||],2,0[,,0δδ<-∈?>?x x x x

ε<-|sin sin |21x x ------------------------------------2分

所以取},,1m in{21δδδ＝，则当时，恒有且 ||),,0(,2121δ<-+∞∈?x x x x

ε<-|sin sin |21x x ----------------------------------------2分

所以函数x x f sin

)(=在),0(∞+上一致连续。

16.数列}{n a 收敛，证明数列)1|(|221<+++=q q a q a q a b n

n n 是收敛的。

证明：因为数列}{n a 收敛，所以数列}{n a 有界，

所以,0>?M 使得)(||+∈?≤N n M a n ------------------------------2分

则对0>?ε，取||

|ln |)|1(ln

|

q M q N -=ε，则当+∈?>N p N n ,时恒有

ε<-≤--≤++=-+++++++|

|1||||1||1|

| ||||1

1

11q q M q q q M q a q a b b n p n p n p n n n n p n ---------------------4分 所以数列}{n b 收敛。-----------------------------------------------1分 五．（8分）设,01>x 且有)3,2,1(61 =+=+n x x n n ，证明数列}{n x 收敛，并求出极

限。

证明：因为,01>x 所以)(,0+∈?>N n x n

当31≤x 时，则当3≤n x ，33661=+≤+=+n n x x ，

所以 )(,3+∈?≤N n x n ，

此时06)2)(3(6662

1≥+++-=

++-+=

-+=-+n

n n n n

n n

n n n n n x x x x x x x x x x x x

所以数列}{n x 单调增加有上界，所以}{n x 收敛。 当31>x 时，则当3>n x ，33661=+>+=+n n x x ，

所以 )(,3+∈?>N n x n ， 此时06)2)(3(6662

1<+++-=

++-+=

-+=

-+n

n n n n

n n

n n n n n x x x x x x x x x x x x

所以数列}{n x 单调减少有下界，所以}{n x 收敛。 所以}{n x 收敛 设a x n n =∞

→lim ，则6+=

a a ,所以,3=a 即3lim =∞

→n n x

六．（7分）设函数)(x f 在),0[+∞上可导，在(0,)+∞内二阶可导，且(0)0f +'<，

()

lim

1x f x x

→+∞

=，证明：存在),,0(+∞∈ξ使得ξξξ)()(f f '-=''. 证明：因为(0)0f +'<，所以01>?x ，使得)0()(1f x f <，

又因为()

lim

1x f x x

→+∞

=，所以+∞=+∞→)(lim x f x ，

因此12x x >?，使得)0()(1f x f >.

所以),(213x x x ∈?，使得)0()(1f x f =-------------------------------------------------2分 所以),0(31x ∈?ξ，使得0)(1='ξf .-----------------------------------------------------2分 构造函数)()(x f x x F '=，在],0[1ξ区间上应用Rolle 定理得：

),0(),0(1+∞?∈?ξξ使得0)(='ξF ，

即ξ

ξξ)

()(f f '-

=''--------------------------------------------------------------------------3分

东 南 大 学 考 试 卷

课程名称 工科数分 考试学期 06－07－2 得分

适用专业 选修数分各专业 考试形式

闭卷

考试时间长度 120分钟

2．设函数()e bx

x

f x a =

+在),(+∞-∞内连续，且0)(lim =-∞→x f x ，

则常数b a ,满足 [ C ] （A ）0,0<>b a （C ）0,0<≥b a （D ）0,0>≤b a

一.填空题（前三题每题4分，第4题8分,共20分） 1．设arctan ()y f x =，其中()f x 为可微函数，则微分2

()

d d 1()

f x y x f x '=

+； 2．已知21lim 01x x ax b x →∞

??

+--= ?+??

，则1a =，1b =-；

3．设函数x x x f 2cos )(2

=,则(10)

9(0)245f

=?；

4． 举出符合各题要求的一例，并将其填写在横线上：

（1）在0x =处不连续，但当0x →时，极限存在的函数有sgn y x =， （2）在0x =处连续，但在0x =时不可导的函数有y x =，

（3）在0x =处导数为0，但0x =不为极值点的连续函数有3y x =， （4）属于“

00”或“∞

∞

”未定型，且存在有限极限，但极限不能用洛必达法则求得的有201sin

lim

ln(1)

x x x x →+. 二.选择题（每小题4分，共12分）

1.设()f x 是单调增函数，()g x 是单调减函数，且复合函数()()(),()f

f x f

g x ，

()()(),()g f x g g x 都有意义，则下列函数组中全为单调减函数的是 [ C ]

(A ) ()()(),()f

f x f

g x (B ) ()()(),()g f x g g x

(C ) ()()(),()f g x g f x (D ) ()()(),()g g x f f x

3．关于数列}{n x 的子列，下列叙述错误的是 [ C ] （A ）若}{n x 是Cauchy 数列，则}{n x 的任一子列都收敛. （B ）若}{n x 是有界数列 ，则}{n x 必有一子列收敛. （C ）若}{n x 是无界数列 ，则}{n x 的任一子列都不收敛.

（D ）若当∞→n 时}{n x 是无穷大量 ，则}{n x 的任一子列都不收敛. 三．（每小题7分，共35分） 1． 0sin lim

(1cos )ln(1)

x x x

x x →--+

解：30031sin 16lim lim 1(1cos )ln(1)32x x x

x x x x x

→→-==-+ （3+2+2分）

2. 21

2lim 1x x x x -→∞-??

?+??

解： 13(21)21

21313lim

61

23lim lim 1e

e 11x x x x x x x x x x x x →∞+-??

--

?-- ?+-??

-+→∞→∞

-???

?=-== ? ?++??

??

（3+2+2分）

3．设()2

arctan ln 1x t t y t =+???=+??

，求 211

2

d d ,

d d t t y y

x x ==.

解：21112

2

2d 22

11d 23

11t t t t y t t x t t ===+==

=

++

+（3分） 222112

23d 2(2)(1)4

d (2)27

t t y t t x t ==-+=

=

+（4分） 4.设)(x f y =是由方程4

ln 2y x xy =+所确定的隐函数，求曲线 )(x f y =在点)1,1( 处的切线方程.

解：对方程关于x 求导得：32

4y xy y y x

''++

=，（4分）将1,1x y ==代入得(1)1y '=，（1分）于是所求切线方程为y x =.（2分） 5. 设数列}{n x

满足3

20n n x x ++

=，证明数列}{n x 收敛并求极限。 解：首先0n x <，（2分）

由此可得n x >

，（3分）由夹逼定理得数列}{n x 收敛，且lim 0n n x →∞

=.（2分）

四．（7分）设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有一阶连续导数，且,0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值。

解：由()(2)(0)(1)(0)(2)(0)(),0af h bf h f a b f a b f h h h ο'+-=+-+++→（4分） 得2,1a b ==-.（3分）

五．（每小题7分，共14分） 1. 用N －ε定义证明2

1

12lim 33=-∞→n n n .

证：333311112122(21)2n n n n n -=≤≤--，（4分）0ε?>，取1N ε??

=????，当n N >时， 331

212

n n ε-<-（3分）

2. 利用Cauchy 收敛准则证明：数列111

ln 2ln 3ln(1)

n a n =+++

+发散.

证：11

1ln(2)ln(3)ln(1)ln(1)n p n p p

a a n n n p n p n p

+-=++

+

>≥+++++++，

（4分）取01

2ε=

，对n +?∈N ，取p n =，则20n n a a ε-≥，由Cauchy 收敛准则得：数列111ln 2ln 3ln(1)

n a n =++++发散. （3分） 六. (6分)设函数()f x 在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，(0)0f =，试证：存在一点

(0,1)ξ∈，使得

3()

()1f f ξξξ

'=- 证：设3

()(1)()F x x f x =-，（2分）()F x 在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且

(0)(1)0F F ==，由罗尔定理知(0,1)ξ?∈，使得

()2()(1)(1)()3()0F f f ξξξξξ''=---=，由于10ξ-≠，得

3()

()1f f ξξξ

'=-（4分） 七.(6分)设()f x 在(0,)+∞上可导，且lim ()x f x →+∞

'=∞，证明：()f x 在(0,)+∞内非一致

连续.

证：用反证法。设()f x 在(0,)+∞内一致连续.对1ε=，0δ?>，对(0,)x ?∈+∞， 有()()1f x f x δ+-< （*），（2分）由lim ()x f x →+∞

'=∞，知对

1

0δ

>，0X ?>，当x X >

时，1

()f x δ

'>

，（2分）于是当x X >时，(,)x x ξδ?∈+，使得

()()

1

()f x f x f δξδ

δ

+-'=>

，与（*）式矛盾，所以()f x 在(0,)+∞内非一

致连续. （2

东 南 大 学 考 试 卷

课程名称

工科数学分析(期中)

考试学期 08-09-2

得分

适用专业 选修数分的各专业 考试形式 闭卷

考试时间长度 120分钟

1．2lim ln 121x x

x x →∞

?

?

-

= ?+??

；

2．当0x →时，1cos(1cos )x --与kx α

是等价无穷小，则k = ，α= ；

3．设sin x

y x

=，则2

d x y

π

=

=______________；

4．设()y y x =是由方程e tan()xy

xy y +=所确定的隐函数，则(0)y '= ； 5．设()ln(12)f x x x =+，则(5)

(0)f

=_____ ______；

6．已知曲线2

y x ax b =--和2

4

2y x y =-+在点(1,1)-处相切，则a = ，b = . 二.单项选择题（每小题4分，本题满分12分）

7．设()()()()()f x x a x b x c x d =----,其中常数a 、b 、c 、d 互不相等,且

()()()()f k k a k b k c '=---, 则k 的值等于 [ ]

(A ) a (B ) b (C ) c (D ) d

8．设函数3()sin()

x x

f x x π-=，则()f x [ ]

(A ) 有无穷多个第一类间断点 (B ) 仅有一个可去间断点 (C) 有两个跳跃间断点 (D ) 有三个可去间断点

9． 已知(

)f a '存在,则220(2)()

lim

h f a h f a h h

→+--= [ ] (A )()2

()f a ' (B ) 2()()f a f a ' (C ) 6()()f a f a ' (D ) 3()()f a f a ' 三.计算题（本题满分27分） 10．（7分） 0

x

→ 11. （6分） 2ln sin lim

ln cos x x x

x x

→+∞++

12．（7分）设12

3arctan e 6x t t y t t

π+??=++??=+?，求21

2

d d t y x =.

13. （7分）用εδ-定义证明：13lim

321

x x

x →=-.

四(14).（7分）已知函数2e cos ,0()sin(),0x a x x f x bx x x x

?+≤?

=?+>?

?可导，试求常数a 和b 的值.

五(15).（7分）设函数f 在区间[,]a b 上连续，()()f a f b =，证明存在,[,]a b αβ∈，且

2

b a

βα--=

，使得()()f f αβ=. 六(16). (8分)

证明函数()f x =(,)(0)c c +∞>上一致连续.

七(17)．(7分) 设函数()f x 在区间[1,)+∞上可导，且满足21

()f x x

'≤

，令()n x f n =， 1,2,

n =，证明数列{}n x 收敛.

东 南 大 学 考 试 卷

课程名称 工科数学分析（期中）

考试学期 10-11-2

得分

适用专业

工科类

考试形式 闭卷

考试时间长度 120分钟

一.填空题（每个空格4分，本题满分24分） 1．0

lim

x x

→-=

；

2．已知()3

sin (12),0e ,

0x x x x f x a x ??

+>=??≤?在0x =处连续,则a =

；

3．设()arctan e x

f x =,则微分d ()f x =_____________ __； 4．设2010

()cos f x x

x =，则(2010)(0)f =_________ ______；

5．设()y y x =是由方程21e

y

y x =-所确定的隐函数，则(0)y '= ；

6．曲线332

2

16x y +=在点(4,4)处的切线方程为 ____. 二.单项选择题（每小题4分，本题满分12分）

7．当0x →时，sin x ax -与2

ln(1)x bx -是等价无穷小，则 [ ]

(A) 11,6a b ==-

(B) 11,6a b == (C) 11,6a b =-=- (D) 11,6a b =-= 8．函数1arctan

2

1()sin

2

x x f x x ππ-=的间断点 [ ] （A ）都是可去间断点 （B ）都是跳跃间断点

（C ）都是无穷间断点 （D ）分别是可去间断点、跳跃间断点与无穷间断点 9．设()f x 在x a =的邻域内有定义，则()f x 在x a =可导的一个充分条件是 [ ] (A) 1lim ()h h f a f a h →+∞??

??+

- ? ?????

存在 (B ) 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 (C) 0

()()lim

2h f a h f a h h →+--存在 (D ) 0()()lim h f a f a h h

→--存在

三.计算题（每小题8分，本题满分32分）

10．求极限 1

0lim 1e x

x x +

→??+ ???

11.求极限 222

12

lim 12n n n n n n n n n →∞+++??

++

+

?+++?

?

12．设函数()y y x =由参数方程32arctan 3x t t t y t

=-???=-??

所确定，试求d d y x 、2

2d d y x . 13. 写出函数()ln f x x =在1x =处的带有Lagrange 余项的3阶Taylor 公式.

四(14).（13分）设a 和b 都是实常数,0b <，定义()sin ,0

()0,

0a b

x x x f x x ?>?=?≤??，

回答下列问题，并说明理由。

（1）当a 、b 满足什么条件时，()f x 不是连续函数？ （2）当a 、b 满足什么条件时，()f x 连续，但不可导？

安徽大学高等数学3期末考试试卷

安徽大学2011—2012学年第一学期 《高等数学A （三）》考试试卷（A 卷） 院/系 年级 专业 姓名 学号 答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线---------------------------------------- （闭卷 时间120分钟） 考场登记表序号 题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分 阅卷人 得分 一、选择题（每小题2分，共10分） 1.设A 为阶可逆矩阵，则下列各式正确的是（ ）。 n （A）； （B）1(2)2A ?=1A ?11(2)(2)T T A A ??=； （C）； （D）。 1111(())(())T T A A ????=11(())(())T T T A A ???=1 2.若向量组12,,,r αα α可由另一向量组12,,,s ββ β线性表示，则下列说法正确的是 （ ）。 （A）； （B）r ； r s ≤s ≥（C）秩(12,,,r ααα )≤秩(12,,,s ββ β)； （D）秩(12,,,r ααα ≥)秩(12,,,s ββ β)。 3.设,A B 为阶矩阵，且n A 与B 相似，E 为阶单位矩阵，则下列说法正确的是（ ）。 n （A）E A E B λλ?=?； （B）A 与B 有相同的特征值和特征向量； （C）A 与B 都相似于一个对角矩阵； （D）对任意常数，与k kE A ?kE B ?相似。 4.设123,,ααα为3R 的一组基，则下列向量组中，（ ）可作为3R 的另一组基。 （A）11212,,3ααααα??； （B）1212,,2αααα+； （C）12231,,3αααααα++?； （D）12231,,3αααααα+++。 5.设，，()0.8P A =()0.7P B =(|)0.8P A B =，则下列结论正确的是（ ）。 （A）事件A 与B 互不相容； （B）A B ?； （C）事件A 与B 互相独立； （D）。 ()()()P A B P A P B =+∪

同济大学版高等数学期末考试试卷

同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???

高数-下-期末考试试卷及答案

2017学年春季学期 《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ） 注意： 1、本试卷共 3 页； 2、考试时间110分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方 一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中． 1．已知a 与b 都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0?=a b (D)?=0a b 2.极限2 2 22 00 1 lim()sin x y x y x y →→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =?的是( ). （A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数 （C ）(,)f x y = （D ）(,)e x y f x y += 4．函数(,))f x y y ，原点(0,0)是(,)f x y 的( ). （A ）驻点与极值点 （B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域2 2 :(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+= ??，2D I σ=，3D I σ=，则有（ ）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I << 6．设椭圆L ：13 42 2=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=??（ ）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12 7．设级数 ∑∞ =1 n n a 为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）. (A)该级数收敛 (B)该级数发散 (C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（ ）. （A ）若级数 1n n a ∞ =∑发散，则级数21n n a ∞ =∑也发散 （B ）若级数 21n n a ∞=∑发散，则级数1n n a ∞=∑也发散 （C ）若级数 21n n a ∞ =∑收敛，则级数 1n n a ∞ =∑也收敛 （D ）若级数 1 ||n n a ∞=∑收敛，则级数2 1 n n a ∞=∑也收敛 二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)． 1.直线34260 30 x y z x y z a -+-=?? +-+=?与z 轴相交，则常数a 为 . 2．设(,)ln(),y f x y x x =+则(1,0)y f '=______ _____. 3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 . 4．设2 2 :2D x y x +≤，二重积分 ()d D x y σ-??= . 5．设()f x 是连续函数，22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--，22()d f x y v Ω +???在柱面坐标系下 的三次积分为 . 6.幂级数11 (1)!n n n x n ∞-=-∑ 的收敛域是 . 7.将函数2 1,0 ()1,0x f x x x ππ --<≤??=?+<≤??以2π为周期延拓后，其傅里叶级数在点x π=处收敛 于 . 三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名 ……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………

历年高等数学期末考试试题

2008-2009学年第一学期期末试题 一、填空题（每题5分，共30分） 1．曲线1ln()y x e x =+的斜渐近线方程是________________________ 2．若函数)(x y y =由2cos()1x y e xy e +-=-确定，则在点(0,1)处的法线方程是________ 3．设()f x 连续，且21 40 ()x f t dt x -=? ，则(8)______f = 4．积分 20 sin n xdx π =? ___________________ 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为_____________ 6 ．曲边三角形y = 0,1y x ==绕x 轴旋转所得的旋转体体积为_________ 二．选择题（每题3分，共15分） 1．当0x +→ ） () A 1- () B () C 1 () D 1-2. 若1()(21)f x x x ??=-???? ，则()f x 在（ ）处不连续 ()A 3x = ()B 2x = ()C 12x = ()D 13 x = 3．若()sin cos f x x x x =+，则（ ） ()A (0)f 是极大值，()2f π是极小值， ()B (0)f 是极小值，()2f π 是极大值 ()C (0)f 是极大值，()2f π 也是极大值 ()D (0)f 是极小值，()2 f π 也是极小值 4．设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解， 12,c c 是任意常数，则该方程的通解为（ ） ()A 11223c y c y y ++， ()B 1122123()c y c y c c y +-+， ()C 1122123(1)c y c y c c y +---， ()D 1122123(1)c y c y c c y ++--， 5．极限2 1 33lim ( )n n i i n n n →∞=-∑可表示为（ ） ()A 2 2 13x dx -? ()B 1 2 03(31)x dx -? ()C 2 2 1 (31)x dx --? () D 1 20 x dx ?

(完整word版)同济大学版高等数学期末考试试卷

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.

《高等数学B》本科期末考试试卷A卷

西南科技大学2013-2014-2学期《高等数学B2》本科期末考试试卷（A卷） 2、设y z x =，求dz=__________。

3、求曲线23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的切线方程________。 4、求函数3u xy z =在点(1,1,2)-处的梯度__________。 5、设,αβ为有向曲线弧L 在点(,)x y 处的切向量的方向角，则平面曲线L 上的两类曲线积分的关系(________________)L L Pdx Qdy ds +=??。 三、解答题（1-2小题每题8分，3-8小题每题9分，共70分） 1、 求曲面22214x y z ++=上平行于平面2320x y z ++=的切平面方程。 2、 设2 2 (,),z f x y xy = -，其中 f 具有连续的二阶偏导数，求2z x y ???。 3、 求函数4242z x xy y =-+的极值。 4、 计算|1|D I x y dxdy =+-??，其中[0,1][0,1]D =?。 5、 把二次积分4 2200 )dx x y dy +?化为极坐标形式，并计算积分值。

1、解：令222(,,)14F x y z x y z =++-， 在点000(,,)P x y z 处的法向量为000(,,)n x y z =r 000 123 x y z k ===令 ，代入方程22214x y z ++=中可得1k =±---————--4分， 在点（1，2，3）处的切平面为2314x y z ++=-————----2分， 在点（-1，-2，-3）处的切平面为23140x y z +++=----————-2分。 2、解：122(3)z xf yf x ?'' =+?分。 3、解：3440,440x y z x y z x y =-==-+=求得驻点为（0，0），（1，1），（-1，-1）。（3分） 212,4,4xx xy yy A z x B z C z ====-==，在点（0，0）处2160AC B -=-<没有极值，（3分） 在点（1，1）和（-1，-1）处2320,0AC B A -=>>，所以有极小值(1,1) 1.z ±±=-（3分） 4、解： 5 、解3334 4cos 22 3 4 2 200 )64cos 12dx x y dy d r dr d π π θ θθθπ+===??? ?分 分 分 。 6、解：131 lim 3 31n n n n n ρ+→∞==+，所以收敛半径为3，收敛区间为323x -<-<，即15 x -<<（3分） 当5x =时1131 3n n n n n n ∞ ∞ ===∑∑g 发散（2 分），当1x =-时11(3)(1)3n n n n n n n ∞ ∞ ==--=∑∑ g 收敛，（2分） 因此原级数的收敛域为[1,5)-。（2分） 7、解：42332,4,24Q P P xy y Q x xy x y x y ??=-=-==-??，所以该曲线积分和积分路径无关。（4分） 11 4 2 3 30 (23)(4)314)=3L xy y dx x xy dy dx y dy -++-=+-???（（5 分） 8、解：由高斯公式得22322 ()2=()xy dydz x y z dzdx xydxdy x y dxdy ∑ Ω +-++????? ò（4分） 由柱面坐标224 22300 28()3 r x y dxdydz d r dz π π θΩ +== ?????（5分）

高等数学二期末考试试题

华北科技学院12级《电子商务专业》高等数学二期末考试试题 一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。 1、 .设函数25x y e =+，则'y = A.2x e B.22x e C. 225x e + D.25x e + 2、设y x =+-33，则y '等于（ ） A --34x B --32x C 34x - D -+-334x 3、设f x x ()cos =2，则f '()0等于（ ） A －2 B －1 C 0 D 2 4. 曲线y x =3的拐点坐标是（ ） A （－1，－1） B （0，0） C （1，1） D （2，8） 5、sin xdx ?等于（ ） A cos x B -cos x C cos x C + D -+cos x C 6、已知()3x f x x e =+，则'(0)f = A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7、下列函数在(,)-∞+∞内单调增加的是 A.y x = B.y x =- C. 2y x = D.sin y x = 8、1 20x dx =? A.1- B. 0 C. 13 D. 1 9、已知2x 是()f x 的一个原函数，则()f x = A.2 3 x C + B.2x C.2x D. 2 10. 已知事件A 的概率P （A ）＝0.6，则A 的对立事件A 的概率P A ()等于（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7

二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分。把答案填写在题中横线上。 11、lim()x x x →-+=13 2____________________。 12、lim()x x x →∞-=13____________________。 13、函数y x =+ln()12的驻点为x ＝____________________。 14、设函数y e x =2，则y "()0=____________________。 15、曲线y x e x =+在点（0，1）处的切线斜率k ＝____________________。 16、()12 +=?x dx ____________________。 17、2031lim 1 x x x x →+-=+ 。 18、设函数20,()02,x x a f x x ≤?+=?>? 点0x =处连续，则a = 。 19、函数2 x y e =的极值点为x = 。 20、曲线3y x x =-在点（1,0）处的切线方程为y = 。 三、解答题：21～24小题，共20分。解答应写出推理、演算步骤。 21、（本题满分5分） 计算lim x x x x →-+-122321

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求20ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设y =求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>?

5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞??+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →?= 5分 53 = 1分 2 解 22l n l n l n (1),12 x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?

4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .

期末高等数学(上)试题及答案

第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限　lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 2、(本小题5分) .d )1(22x x x ?+求 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数　的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设　dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分)

同济大学版高等数学期末考试试卷

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 分，共 ?分） ．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ） （?）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （ ）()||f x x = 和 ( )g x = （ ）()f x x = 和 ( )2 g x = （ ）()|| x f x x = 和 ()g x = ．函数( )() 20ln 10 x f x x a x ≠=+?? =? 在0x =处连续，则a = （ ） （?） （ ） 1 4 （ ） （ ） ．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ） （?）1y x =- （ ）(1)y x =-+ （ ）()()ln 11y x x =-- （ ） y x = ．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ） （?）连续且可导 （ ）连续且可微 （ ）连续不可导 （ ）不连续不可微 ．点0x =是函数4 y x =的（ ） （?）驻点但非极值点 （ ）拐点 （ ）驻点且是拐点 （ ）驻点且是极值点

．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ） （?）只有水平渐近线 （ ）只有垂直渐近线 （ ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （ ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 ． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ） （?）1f C x ?? -+ ??? （ ）1f C x ?? --+ ??? （ ）1f C x ?? + ??? （ ）1f C x ?? -+ ??? ． x x dx e e -+?的结果是（ ） （?）arctan x e C + （ ）arctan x e C -+ （ ）x x e e C --+ （ ） ln()x x e e C -++ ．下列定积分为零的是（ ） （?）424arctan 1x dx x π π-+? （ ）44 arcsin x x dx ππ-? （ ）112x x e e dx --+? （ ）()1 2 1 sin x x x dx -+? ?．设()f x 为连续函数，则 ()1 2f x dx '?等于（ ） （?）()()20f f - （ ）()()11102f f -????（ ）()()1 202f f -????（ ）()()10f f - 二．填空题（每题 分，共 ?分） ．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = ．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '= ．21 x y x =-的垂直渐近线有条 ． ()21ln dx x x = +?

高等数学上期末考试试题原题

一．选择与填空题（每小题3分, 共18分） 1．)(x f 在0x 处可微是)(x f 在0x 处连续的（ ）条件. （A ）必要非充分； （B ）充分非必要； （C ）充分必要； （D ）无关条件. 2． ① 2sin 1a a x dx x -?+= +??___________ ②设32a i j k =--r r r r ，2 b i j k =+-r r r r ，数量积a b r r g = ，向量积2a b ?r r = ． 3．下列反常积分中收敛的是（ ）. A ．1+∞ ?； B ．1 2016 01dx x ?； C ．dx x ?101； D ．201611dx x +∞?. 4．比较积分值的大小： 1 20x dx ? 130 x dx ?;（注填：），=,<). 5. 曲线222016410x y z ?+=?=? 分别绕x 轴及y 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程分别 为 和 ． 6. 设函数()ln f x x =，则()f x 的可去间断点为（ ）． （A ）仅有一点0x =； （B ）仅有一点1x =-； （C ）有两点0x =及1x =-； （D ）有三点0x =，1x =及1x =-． 二．计算题（每小题6分，共60分） 1. ①求极限0tan sin lim arcsin ln(1) x x x x x x →-??+. ②11lim ln 1x x x x →??- ?-?? ． ③011lim 1ln(1)x x e x →??- ?-+? ? 2. ①讨论函数1ln 2+=x y 的单调性，极值点，及其图形的凹凸性与拐点. ②求曲线) (sin 12-= x x x y 的水平和垂直渐近线

大学高等数学期末考试试题与答案

（一）填空题（每题2分，共16分） 1 、函数ln(5)y x = +-的定义域为 . 2、2()12x e f x x a ?? =??+? 000x x x <=> ，若0 lim ()x f x →存在，则a = . 3、已知 3 lim (1)m x x x e →+=，那么m = . 4、函数21 ()1x f x x k ?-? =-??? 11x x ≠= ，在(),-∞+∞内连续，则k = . 5、曲线x y e =在0x =处的切线方程为 . 6、()F x dx '=? . 7、sec xdx =? . 8、2 0cos x d tdt dx ??=? ???? . （二）单项选择（每题2分，共12分。在每小题给出的选项中，选出正确答案） 1、下列各式中，不成立的是（ ）。 A 、lim 0x x e →+∞ = B 、lim 0x x e →-∞ = C 、2 1 lim 1x x e →∞ = D 、1 lim 1x x e →∞ = 2、下列变化过程中，（ ）为无穷小量。 A 、 ()sin 0x x x → B 、 ()cos x x x →∞ C 、 ()0sin x x x → D 、 ()cos x x x →∞ 3、0 lim ()x x f x →存在是)(x f 在0x 处连续的（ ）条件。 A 、充分 B 、必要 C 、充要 D 、无关 4、函数3 y x =在区间[]0,1上满足拉格朗日中值定理的条件，则ξ=（ ）。 A 、 B C 、3 - D 、 3 5、若曲线()y f x =在区间(),a b 内有()0f x '<，()0f x ''>，则曲线在此区间内（ ）。 A 、单增上凹 B 、单增下凹 C 、单减上凹 D 、单减下凹 6、下列积分正确的是（ ）.

高等数学下册期末考试试题及答案

高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】 考试日期：2009年 1、求曲线222222239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1) ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4．设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5. 计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2 222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 6. 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值． 7. 计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑ =++-??，其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧 8. 设 () f x 为连续函数， (0)f a =， 222()[()]t F t z f x y z dv Ω=+++???，其中 t Ω是由曲 面 z = 与 z =所围成的闭区域，求 3 () lim t F t t + →． 高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】 参考解答与评分标准 2009年6月 1、解：方程两边对x 求导，得323dy dz y z x dx dx dy dz y z x dx dx ?+=-????-=-??， 从而54dy x dx y =- ， 74dz x dx z = …………..【4】 该曲线在 ()1,1,2-处的切向量为571 (1, ,)(8,10,7).488 T ==…………..【5】 故所求的切线方程为 112 8107 x y z -+-== ………………..【6】 法平面方程为 ()()()81101720x y z -+++-= 即 810712x y z ++= (7)

哈尔滨工业大学高等数学期末考试试题和答案.doc

高等数学期末考试试题（4） 一、填空题：（本题共5小题 ,每小题4分 ,满分20分 ,把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b += ,2a = ,2b = ,则a b ?= ． 2、设ln()z x xy = ,则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数 ,它在[,)ππ-上的表达式为()f x x = ,则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ,在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段 ,则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答 ,答题时必须写出详细的解答过程 ,并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题 ,每小题7分 ,满分35分） 1、 求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、 求由曲面2 2 22z x y =+及2 2 6z x y =--所围成的立体体积． 3、 判定级数1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的 ,是绝对收敛还是条件收敛？ 4、 设(,)sin x z f xy y y =+ ,其中f 具有二阶连续偏导数 ,求2, z z x x y ?????．

5、 计算曲面积分,dS z ∑ ??其中∑是球面2222 x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面2 2 z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆 ,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值． 四、 （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? , 其中m 为常数 ,L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 五、（本题满分10分） 求幂级数13n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数． 六、（本题满分10分） 计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑ = ++-?? , 其中∑为曲面2 2 1(0)z x y z =--≥的上侧． 七、（本题满分6分） 设()f x 为连续函数 ,(0)f a = ,2 22()[()]t F t z f x y z dv Ω= +++??? ,其中t Ω 是由曲面z = 与z = ,求 3 () lim t F t t + →．

高等数学期末考试试题与答案(大一考试)

（ 2010 至 2011 学年第一学期） 课程名称： 高等数学 ( 上 )(A 卷) 考试 (考查 )： 考试 2008年 1 月 10 日 共 6 页 题 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 评阅 (统分 ) 一 总分 师 号 教 得 线 分 注意事项： 1、 满分 100 分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 名 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 姓 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 题 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题 卷分别一同交回，否则不给分。 答 号 试 题 学 要 得分 评阅教师 封 不 班 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题 3 分，共 15 分） 内 级 线1. lim sin( x 2 1) ( ) x 1 x 1 封 1； (B) 0； (C) 2； 1 (A) (D) 2 业 密 F ( x) ，则 e x f (e x )dx 为 ( ) 专 2.若 f ( x) 的一个原函数为 (A) F (e x ) c ； (B) F (e x ) c ； 密 F (e x ) (C) F (e x ) c ； (D ) c x 3.下列广义积分中 ( ) 是收敛的 . (A) sin xdx ； (B) 1 1 (C) x dx ； 0 x dx 。 系 dx ； (D) e 1 x 1 x 2 4. f (x) 为定义在 a, b 上的函数，则下列结论错误的是 ( ) (A) f (x) 可导，则 f ( x) 一定连续； (B) f (x) 可微，则 f ( x) 不一定

《高等数学》期末试卷及答案

《高等数学》试卷（同济六版上） 一、 选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 1、若函数x x x f =)(，则=→)(lim 0 x f x （ ）. A 、0 B 、1- C 、1 D 、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）. A 、1ln (0)x x +→ B 、ln (1)x x → C 、cos (0)x x → D 、22(2)4 x x x -→- 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）. A 、极大值点 B 、极小值点 C 、驻点 D 、间断点 4、函数)(x f 在0x x =处连续是)(x f 在0x x =处可导的（ ）. A 、必要但非充分条件 B 、充分但非必要条件 C 、充分必要条件 D 、既非充分又非必要条件 5、下列无穷积分收敛的是（ ）. A 、?+∞ sin xdx B 、dx e x ?+∞ -0 2 C 、dx x ? +∞ 1 D 、dx x ?+∞01 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 6、当k= 时，2 , 0(), x e x f x x k x ?≤?=?+>??在0=x 处连续. 7、设x x y ln +=,则 _______________dx dy =. 8、曲线x e y x -=在点（0，1）处的切线方程是 .

9、若?+=C x dx x f 2sin )(，C 为常数，则()____________f x =. 10、定积分dx x x x ?-+5 54231 sin =____________. 三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分） 11、求极限 x x x 2sin 2 4lim 0 -+→. 12、求极限 2 cos 1 2 0lim x t x e dt x -→? . 13、设)1ln(25x x e y +++=，求dy . 14、设函数)(x f y =由参数方程???=+=t y t x arctan )1ln(2所确定，求dy dx 和22dx y d .

高等数学-期末考试题及答案

高等数学 (下册)期末考试试题 院（系）别 班级 学号 姓名 成绩 一、 填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量、满足 ， ， ，则 ． 2、设 ，则 ． 3、曲面在点 处的切平面方程为 ． 4、设是周期为的周期函数，它在 上的表达式为 ，则 的傅里叶级数 在 处收敛于 ，在 处收敛于 ． 5、设 为连接 与 两点的直线段，则 ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、 解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线 在点 处的切线及法平面方程． 2、求由曲面 及 所围成的立体体积． 3、判定级数 是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设 ，其中 具有二阶连续偏导数，求． 5、计算曲面积分 其中 是球面 被平面 截出的顶部． 三、（本题满分9分）

抛物面被平面截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．

------------------------------------- 备注：①考试时间为2小时； ②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。 四、（本题满分10分） 计算曲线积分， 其中为常数，为由点至原点的上半圆周． 五、（本题满分10分） 求幂级数的收敛域及和函数． 六、（本题满分10分） 计算曲面积分， 其中为曲面的上侧． 七、（本题满分6分） 设为连续函数，，，其中是由曲面 与所围成的闭区域，求． 高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】 参考解答与评分标准 一、填空题【每小题4分，共20分】1、；2、；3、；4、3，0；5、. 二、试解下列各题【每小题7分，共35分】