《数学分析》第十一章反常积分复习自测题[1]

第十一章 反常积分复习自测题

一、体会各类反常积分（无穷积分、瑕积分和混合反常积分）的特点，能准确地判定所给反常积分的类型；熟习并熟练掌握各类反常积分收敛和发散的含义，并用各类反常积分收敛和发散的含义解决下面的问题：

1、正确地判断下列反常积分的敛散性：

（1）1d p a

x x

+∞?（0a >）；（2）01d a p x x ?（0a >）；（3）01

d p x x +∞?（0a >）。 2、正确地判断下列反常积分的敛散性：

（1）1d (ln )

p

a

x x x +∞?

（1a >）；（2）1

1d (ln )

a p

x x x ?

（1a >）；（3）1

1d (ln )

p

x x x +∞?

。

3、探索下列反常积分的敛散性，若收敛，并求其值： （1）

2

1d 1x x

+∞+?

；

（2）2

1d 1x x

+∞-∞

+?；

（3）10

x ?；（4）11

x -?

。

4、用定义据理说明下面的关系：（反常积分的牛顿—莱布尼茨公式、分部积分法、换元法、奇偶

函数的积分特征）

（1）若函数()f x 在[,)a +∞上连续，()F x 为()f x 在[,)a +∞上的原函数，记

()lim ()x F f x →+∞

+∞=，

则无穷积分()d a

f x x +∞?

收敛?()lim ()x F f x →+∞

+∞=存在，且

()d ()

a

f x x F x a

+∞+∞=?

。

（2）若函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，()F x 为()f x 在(,)-∞+∞上的原函数，记

()lim ()x F f x →+∞

+∞=，()lim ()x F f x →-∞

-∞=，

则无穷积分()d f x x +∞-∞

?

收敛?()lim ()x F f x →+∞

+∞=和()lim ()x F f x →-∞

-∞=都存在，且

()d ()

a

f x x F x a

+∞+∞=?

。

（3）若函数()f x 和()g x 都在[,)a +∞上连续可微，且l i m ()()x f x g x →+∞

存在，则无穷积分

()()d a

f x

g x x +∞'?

收敛?

()()d a

f x

g x x +∞'?

收敛，且

()

()()d ()()()()d a

a

f x

g x x f x g x f x g x x a

+∞+∞+∞''=

-

?

?

，

其中()()lim ()()x f g f x g x →+∞

+∞+∞=。

（4）若函数()f x 在[,)a +∞上连续，()x t ?=在[,)αβ（其中β为有限数或+∞）上连续可导，且严格单调递增，([,))[,)a ?αβ=+∞，则无穷积分()d a

f x x +∞?收敛?积分(())()d f t t t βα

??'?

收

敛，且

()d (())()d a

f x x f t t t β

α

??+∞'=

?

?。

（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续， 若()f x 为偶函数，则()d f x x +∞-∞

?

收敛?

()d f x x +∞?

收敛，且

()d 2()d f x x f x x +∞+∞

-∞

=?

?

；

若()f x 为奇函数，则()d f x x +∞-∞

?

收敛?

()d f x x +∞?

收敛，且()d 0f x x +∞-∞

=?

。

提示：注意由换元法可得

000

()d ,()d ()d ()d ()d ,x t

f t t f f x x f t t f t t f t t f +∞=-+∞+∞

-∞

+∞

??=-

-=

-=?

?-???

?

?

?为偶函数

为奇函数。 二、举例说明下面关系不一定成立：

1、瑕积分()d b a

f x x ?

收敛不一定能推出瑕积分2

()d b a

f x x ?

；无穷积分()d a

f x x +∞?

收敛也不

一定能推出无穷积分2

()d a

f x x +∞?

收敛；

注：定积分的乘法性对反常积分不一定成立。 2、无穷积分()d a

f x x +∞?

收敛不一定能推出无穷积分()d a

f x x +∞?

收敛；

注：注意与定积分的绝对值性质的区别。 3、设函数()f x 在[,)a +∞上连续，且()d a

f x x +∞?

收敛，则lim ()0x f x →+∞

=不一定成立；

三、通过下面的问题探索lim ()x f x →+∞

的情况：

1、设函数()f x 定义在[,)a +∞上，且在任何[,][,)a u a ?+∞上可积，()d a

f x x +∞?

收敛，若

lim ()x f x A →+∞

=存在，则lim ()0x f x →+∞

=；

2、利用1探索：

（1）设函数()f x 在[,)a +∞上单调，且()d a

f x x +∞?

收敛，则lim ()0x f x →+∞

=；

（2）设函数()f x 在[,)a +∞上连续可导，且()d a

f x x +∞?

与()d a

f x x +∞'?

都收敛，则

lim ()0x f x →+∞

=；

3、设函数()f x 在[,)a +∞上连续，且()d a

f x x +∞?收敛，

则lim ()0x f x →+∞

=?()f x 在[,)a +∞上一致连续；

4、设函数()f x 在[,)a +∞上连续，且()d a

f x x +∞?收敛，试探索下面的问题：

（1）证明：当u a >时，lim

()d 0u c u

u f x x +→+∞

=?

（其中c 为任意给定的正数）

，从而 1lim

()d 0a n a n

n f x x +++→∞

=?

；

提示：注意到无穷积分的定义即可。

（2）利用（1）和积分第一中值公式证明：在[,)a +∞中，存在严格递增的数列{n x }满足：

lim n n x →∞

=+∞，lim ()0n n f x →∞

=；

（3）类似于（1）方法证明：若函数()f x 在[,)a +∞上单调递增（减），且()d a

f x x +∞?收敛，

则还有lim ()0x xf x →+∞

=。

注：注意到第三大题的第2小题（1），（3）表明：1()()f x o x

=（x →+∞）。

提示：不妨设()f x 在[,)a +∞上单调递增，注意到下面的积分不等式以及无穷积分的定义即可：

当2u a >时，2122()d ()()d u u u

u

f x x uf u f x x ≤≤

?

?

。

5、若函数()f x 在[,)a +∞（0a >）上连续可微，且单调递增（减），则

()d a

f x x +∞?

收敛?

()d a

x f x x +∞'?

收敛。

提示：利用第三大题的第4小题（3）以及反常积分的分部积分公式

()d d ()()

()d a

a

a

x f x x x f x xf x f x x a

+∞+∞+∞+∞'=

=-

?

?

?

。

四、仔细体会并熟练掌握无穷积分和瑕积分的线性性、区间可加性和绝对值性质（注意体会性质的内容、含义以及在反常积分敛散性判别中的作用）；理解反常积分绝对收敛和条件收敛的含义；用适当性质解决下面的问题：

1、若无穷积分()d a

f x x +∞?

收敛，无穷积分()d a

g x x +∞?

发散，则无穷积分

()()()d a

f x

g x x +∞±?

发散；

提示：反证法。 2、判断2

2

11d ln x x x x +∞??

+ ???

?

的敛散性；

3、利用适当性质说明：在无穷积分()d a

f x x +∞?中，当()f x 同号时，()d a

f x x +∞?

收敛等价于

与()d a

f x x +∞?

收敛（即()d a

f x x +∞?

绝对收敛）

，因此，当()f x 同号时，()d a

f x x +∞

?敛散性的

判别等价于()d a

f x x +∞?

敛散性的判别。

五、仔细体会无穷积分和瑕积分收敛的柯西准则，并用柯西准则解决下面的问题：

设函数()f x ，()g x 和()h x 都定义在[,)a +∞上，且它们在任何[,][,)a u a ?+∞上可积，若对任意[,)x a ∈+∞，有()()()g x f x h x ≤≤，则

（1）当()d a g x x +∞?和()d a h x x +∞?都收敛时，()d a

f x x +∞?也收敛； （2）当()d a

g x x +∞

?和()d a

h x x +∞

?

都收敛，且()d ()d a

a

g x x h x x +∞+∞=

?

?

时，()d a

f x x +∞?

收

敛，且()d ()d ()d a

a

a

g x x f x x h x x +∞+∞+∞=

=

?

?

?

。

提示：（1）用柯西准则；（2）可直接用定义和极限的迫敛性。

六、仔细体会并熟练掌握无穷积分和瑕积分绝对收敛的各种常用判别方法，熟悉柯西判别法中适当幂函数的两种常见的选择手段（等价量的代换手段、与幂函数变化快慢进行比较的手段）；养成在选择判别法之间，先观察反常积分的类型，被积函数是否同号的习惯。试用绝对收敛的判别法解决下面的问题：

判断下列反常积分的敛散性：

1、20sin d 1kx x x +∞+?，20cos d 1kx x x +∞+?，0sin d 1kx x x α+∞+?（2α≥），0

c o s

d 1kx x x

α+∞+?（2α≥）； 2

、1

n

x +∞?

（0m >）

，1

n

x +∞?

（0m >）

，1

1(+)

d n

x

x

+∞?

（0m >）

，1

1s i n )

d n

x x

α

+∞?（0α>，0m >）；

3、1

d x

x e x α

+∞-?，10

d x

x e

x α

-?

，1

ln(1)d p

x x x

+∞+?

，10

ln(1)d p

x x x

+?

；

4

、10

x ?

，21

x ?

。

七、仔细体会并熟练掌握无穷积分收敛性的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法，理解这两个判别法之间的内在关系（阿贝尔判别法可用狄利克雷判别法及无穷积分的性质导出），熟悉如何选择适当的变换将瑕积分转化为无穷积分。试解决下面的问题：

1、判断下面反常积分的收敛性（在收敛的情况下，如有可能，还要尽可能判断出是绝对收敛，还是条件收敛）

（1）1

sin d p

x x x

+∞?

，1

cos d p

x x x

+∞?

，1

sin()

d p

m x n x

x

+∞+?

1

cos()

d p

mx n x x

+∞+?

，

（其中0p >，0m ≠和n 为常数）

； （2）1

sin d x x x

+∞?

，1

1

2

sin d x

x x

+∞?

，2

1

sin d x x +∞?

，2

1

cos d x x +∞?

，4

1

sin d x x x +∞?

；

提示：利用（1）或变量替换后再用（1）。

（3）1011

sin d x x x

α?；

提示：作变量替换1

t x

=化为无穷积分后再用（1）。

2、设函数()f x 在[,)a +∞上单调递减，且lim ()0x f x →+∞

=（注意此条件蕴含了()0f x ≥，为什

么？），则

（1）()sin d a

f x x x +∞?

与()cos d a

f x x x +∞?

都收敛；

提示：用狄里克雷判别法。 （2）若进一步有()d a

f x x +∞?收敛，则()sin d a

f x x x +∞?

与()cos d a

f x x x +∞?

都绝对收敛；若

进一步有()d a

f x x +∞?

发散，则()sin d a

f x x x +∞?与()cos d a

f x x x +∞?

都条件收敛。

提示：类似于第七大题第1小题（1）的方法。

（3）若把函数()f x “在[,)a +∞上单调递减”改为“在[,)a +∞上单调递增”，上述结果是否有变化？

注：此问题为第七大题第1小题（1）的一般情形。

3、设函数()f x 在[,)a +∞（0a >）上连续，且()d a

xf x x +∞?

收敛，探索

()d a

f x x +∞?

和ln ()

d a

x f x x x

+∞?

的收敛性。

提示：用阿贝尔判别法。

八、试讨论下列反常积分的敛散性（注意：先正确地判断类型；再注意混合反常积分敛散性的含义）：

1、10

()d 1x

I x x

α

α-+∞=

+?

；

2、0ln(1)()d p

x I p x x

+∞+=?；

3、0

sin ()d p x I p x x

+∞=

?

（其中0p >）

。

九、反常积分的典型计算问题：（注意：在反常积分值的计算中经常采用线性性、区间可加性、以及第一大题中涉及的牛顿—莱布尼茨公式、换元法和分部积分法）

1、计算瑕积分()()220

ln sin d ln cos d I x x x x ππ

=

=

?

?

（ln 22

π=-

）的值；

提示：先用线性性，

()()()()2220

20

12ln sin d ln cos d ln

sin 2d 2

ln 2ln sin 2d 2

I x x x x x x

x x

π

π

π

π

π

=

+

=

=-

+

?

?

?

?

对()20

ln sin 2d x x π

?

用适当换元法和区间可加性，

()()()()2220

2

11ln sin 2d ln sin d ln sin d ln sin d 2

2t x

x x t t t t t t π

π

π

π

π

=?

?

=

=+

??

?

?

?

?

?

其中对()2

ln sin d t t ππ

?

再用适当换元，()()20

2

ln sin d ln sin d t u

t t u u π

πππ

=-=

?

?

。

2、利用1计算下列反常积分的值： （1）()0

ln sin d x x x π

?

；（2）0

sin d 1cos x x x x

π

-?

；

（3）()20

ln tan d x x π

?；（4）2

ln d 1x x x

+∞+?

。

提示：（1）用适当换元x t π=-和区间可加性推出

()()()20

2

ln sin d ln sin d ln sin d 2x x x x x x x π

π

π

π

π?

?

=

+

??

?

?

??。

（2）用分部积分法推出，

()()

()0

sin d dln 1cos ln 1cos ln 1cos d 0

1cos x x x x x x x x x x

π

π

π

π=

-=--

--?

?

?

，

其中

()

()0

ln 1cos lim ln 1cos 0x x x x x →-=-=，

()()2

ln 1cos d ln2sin d ln 22ln sin d x x x x x x π

π

π

π-=

=+?

?

?

。

（3）用线性性及1，并注意到()()()ln tan ln sin ln cos x x x =-。 （4）用换元tan x t =及（3）。 3、通过计算的方法探索无穷积分2

1

d (1)(1)

x x x α

+∞++?与α的关系，并计算出它的值。

提示：先用区间可加性得，

12

2

2

1

1

1

1

d d d (1)(1)

(1)(1)

(1)(1)

x x x x x x x x x α

α

α

+∞+∞=

+

++++++?

?

?

，

再用换元1x t

=

得，2

112

2

1

2

1

1

d d d 11(1)(1)

(1)(1)

(1)(1)

t

t x t t x x t t t

t

α

α

α

α

+∞+∞

=-=+++++

+?

?

?

，

从而

2

2

1

1

1d d arctan 1

(1)(1)

14

x x x

x x x

α

π+∞+∞+∞=

==

+++?

?

，

表明2

1

d (1)(1)

x x x α

+∞++?

与α无关。

4、计算无穷积分0

cos d ax

e

bx x +∞-?

和0

sin d ax

e

bx x +∞-?

的值，其中0a >。

提示：用分部积分法。

5、伏如兰积分问题：设函数()f x 在[0,)+∞上连续，0b a >>，按下面的步骤探索反常积分

()()

d f ax f bx x x

+∞-?

（称为伏如兰积分）的值：

（1）若lim ()x f x k →+∞

=存在，则()0

()()

d (0)ln

f ax f bx b x f k x

a

+∞-=

-?； （2）若无穷积分()d a

f x x x

+∞?

收敛，则0

()()

d (0)ln f ax f bx b x f x

a

+∞-=?

。

提示：首先可断定此积分为混合反常积分，因此，取01<<+∞，

10

1

1

1

11

00

()()

()()

()()

d d d ()()

()()

lim d lim

d ()()

()()

lim d d ()()

lim d u u u u u

u f ax f bx f ax f bx f ax f bx x x x

x

x

x

f ax f bx f ax f bx x x

x

x f ax f bx f ax f bx x x x x

f ax f bx x

x

ε

εεεε

ε+

++

+∞+∞→+∞

→→→+∞→→+∞

---=

+

--=+--??

=+

???

-=?

?

?

??

??

?

再对()()

d u

f ax f bx x x

ε

-?

用线性性，变量替换t ax =，t bx =和区间可加性，

()()

()()d d d ()()d d ()()()()d d d d ()()d d u

u

u

au bu

a b b au au bu a b b au

b bu a au

f ax f bx f ax f bx x x x

x

x x f t f t t t

t t f t f t f t f t t t t t t t t

t

f t f t t t

t

t

ε

εε

εεεεεε

εε

-=-

=-??=+-+

???

=

-

?????????

?

?

（1）注意到1

0t >，()f t 连续，对()d b a f t t t

εε

?

和()d bu au

f t t t

?

用推广的积分第一中值公式，存

在[,]x a b εεε∈，[,]u x au bu ∈，使得

()1d ()d ()ln

b b a a f t b t f x t f x t t a εεεεε

ε

==?

?

， ()

1

d ()d ()ln

bu bu u u au

au

f t b

t f x t f x t

t

a

==?

?

，

（2）对()d b a f t t t εε

?用推广的积分第一中值公式，并注意到由无穷积分()d a

f x x x

+∞?

收敛，可

推出()

lim

d 0bu au

u f t t t

→+∞

=?

。

第十一章第一节《功》教学设计教学设计

章第一节《功》教学设计 、学习目标1知识与技能 (1)结合实例知道机械功的概念。 (2)能用生活、生产中的实例解释机械功的含义。 (3)理解功的概念，知道使用任何机械功都不省功。 2.过程与方法：通过观察和实验了解功的物理意义。 3.情感、态度与价值观：具有对科学的求知欲，乐于探索自然现象和日常生活中的物理学道理，有将科学技术应用于日常生活、社会实践的意识。 二、教材分析 功的概念比较复杂、抽象，?学生常常容易会把生活中的“工作” “做工”与物理学中的功相混淆，分不清有没有做功，是哪个力在做功，因此本节内容是初中物理学习过程中的一个“难”点。这节课是在前两节所学简单机械知识的基础上综合地应用力与运动关系等知识来展开的，它既符合了由易到难、由简到繁的认知规律，又保持了知识的结构性和系统性。可以说是前面所学的知识的延伸，又为以后学习功率、机械效率、机械能等知识奠定基础，起到承上启下的作用。 因此这一节是本章的重点和关键，并且功的知识对人们的日常生活, 生产技术和科学研究有着较大的现实意义。 三、学生分析 15岁左右的初中生抽象思维还不成熟，在学习过程仍需一些感 性认识作为依托，因此在教学中可以借助实验和实例分析加强直观性和形象性，以便学生理解和掌握。本节之前学生还没有学习关于能的知识，在没有能的转化的知识的情况下，功的定义是很难下的；但学生已有一定的力学基础知识，可以引导学生充分利用已有认知水平来构建“功”的概念。 四、学习方法 根据本节课特点，尽量使用身边常见的实物进行探究活动和实例分析，拉近教学内容与生活的距离，让学生深切地感受到科学的真实性，感受到科学和

社会、科学和日常生活的关系。因此这节课可综合应用学生体验和分组讨论、交流展示，质疑等方法，提高课堂效率, 培养学生学习物理的兴趣，激发学生的求知欲望，充分体现以学生为主体的原则。 五、教学重点 功的概念和做功的两个必要因素，功的计算公式。 六、教学难点 功的概念。 七、教学过程 、引人新课: 提问：平时，我们常用力去移动物体，使其位置改变。下面请同学们 起做三个小实验。 1学生实验：用手匀速将放在桌旁地面上的书包和4本书分别提到桌面上。 问：两次移动的距离怎样？哪次“累”一些呢？为什么? 答：两次移动的距离相同，提书包“累”一些，因为提书包需较大的拉力。［移动相同的距离，需要的力越大越“累”］2.学生实验：用手将放在桌旁地面上的书包分别匀速提到凳子上和桌面上。 问：哪次“累”一些呢？为什么? 答：提到桌面上“累”一些，因为移动的距离较大。［用同样的力移动物体，移动的距离越大越“累”。 3.学生实验：用手将书包提5厘米左右和将4本书从地面提到桌面上。 问：哪次“累” 一些？为什么? 答：无法比较，因为两种情况需要的拉力大小不同，移动的距离也不同。力的大小不同，移动的距离不同，无法比较哪次更“累”。 讲述：由此，人提物体“累”的程度，不能仅仅单独由力的大小或单独由移动的距离大小来比较或表示，所以我们引人一个新的物理量一—功。

《数学分析》第十一章反常积分复习自测题[1]

《数学分析》第十一章 反常积分复习自测题 [1] -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第十一章 反常积分复习自测题 一、体会各类反常积分（无穷积分、瑕积分和混合反常积分）的特点，能准确地判定所给反常积分的类型；熟习并熟练掌握各类反常积分收敛和发散的含义，并用各类反常积分收敛和发散的含义解决下面的问题： 1、正确地判断下列反常积分的敛散性： （1）1d p a x x +∞?（0a >）；（2）01d a p x x ?（0a >）；（3）01 d p x x +∞?（0a >）。 2、正确地判断下列反常积分的敛散性： （1）1d (ln )p a x x x +∞? （1a >）；（2）11 d (ln )a p x x x ?（1a >）；（3）1 1 d (ln ) p x x x +∞? 。 3、探索下列反常积分的敛散性，若收敛，并求其值： （1） 2 1d 1x x +∞+? ；（2）2 1 d 1x x +∞-∞+?；（3）10x ?；（4）11 x -? 。 4、用定义据理说明下面的关系：（反常积分的牛顿—莱布尼茨公式、分部积分法、换元法、奇偶函数的积分特征） （1）若函数()f x 在[,)a +∞上连续，()F x 为()f x 在[,)a +∞上的原函数，记 ()lim ()x F f x →+∞ +∞=， 则无穷积分()d a f x x +∞? 收敛?()lim ()x F f x →+∞ +∞=存在，且 ()d () a f x x F x a +∞+∞=? 。 （2）若函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，()F x 为()f x 在(,)-∞+∞上的原函数，记 ()lim ()x F f x →+∞ +∞=，()lim ()x F f x →-∞ -∞=， 则无穷积分()d f x x +∞-∞ ? 收敛?()lim ()x F f x →+∞ +∞=和()lim ()x F f x →-∞ -∞=都存在，且 ()d () a f x x F x a +∞+∞=? 。 （3）若函数()f x 和()g x 都在[,)a +∞上连续可微，且lim ()()x f x g x →+∞ 存在，则无穷积 分()()d a f x g x x +∞'? 收敛?()()d a f x g x x +∞'? 收敛，且

习题反常积分的收敛判别法

习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(. 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞ +a dx x f )(发散 时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有

数学分析试题集锦

June21,2006 2002 1.(10) lim x→0( sin x1?cos x . 2.(10)a≥0x1=√2+x n n=1,2,... lim n→∞ x n 3.(10)f(x)[a,a+α]x∈[a,a+α]f(x+α)?f(x)= 1 1?x2+arcsin x f′(x). 5.(10)u(x,y)u ?2u ?x?y + ?2u x2+y2dx dy dz,?z=

x2+y2+z2=az(a>0) 8.(10) ∞ n=1ln cos1 ln(1+x2) 2 √ (2).{n . ?x (4). L(e y+x)dx+(xe y?2y)dy.L O(0,0),A(0,1),B(1,2) O B OAB. √ 2.(15)f(x)=3

4. 15 f (x )[0,1] sup 01 | n ?1 i =0 f (i n ? 1 f (x )dx |≤ M a n 6.(15 ) θ θ(x )= +∞ n =?∞ e n 2 x x >0 7.(15 ) F (α)= +∞ 1 arctan αx x 2?1 dx ?∞<α>+∞ 8.(21 ) R r r 2004 1.( 6 30 ) (1).lim n →?∞ ( 1 n +2 +...+ 1 f (x ) ) 1 3 sin(y 1+n

(5).e x=1+x+x2 n1 4≤e x+y?2. 5.(12)F(x)= Γf(xyz)dxdydy,f V={(x,y,z)|0≤x≤t,0≤y≤t,0≤z≤t}(t>0), F′(t)=3 a+n √ 2 n(a>0,b>0) (2).lim n→∞ 10x n√ 2 0dx 3 . (5).F(t)= x2+y2+z2=t2f(x,y,z)dS, f(x,y,z)= x2+y2,z≥ x2+y2

人教版八年级物理下册第11章第1节功说课稿

第11章第1节功 教材分析 《功》是人教版八年级物理上册第11章第三节课。功是物理学中最基本、最重要的概念、又是与能密切联系的一个物理量，它虽然是在力学中引入的，但却贯穿在整个物理学中。对功这一节内容的研究是在学习了杠杆和滑轮知识的基础上综合地应用力与运动关系等知识来展开的。这一节是本章的重点和关键，对功的研究为以后学习功率、机械效率、能量的知识奠定了基础。 二、教学目标： 1、知识与技能: （1）理解做功的两个必要因素。能从生产、生活的实例中，判断那些力做功，那些力不做功。 （2）理解功的计算公式W＝FS中各符号代表的物理意义、单位，并能用来进行简单计算。 2、过程与方法： （1）组织学生通过对实例的分析、讨论总结出做功的两个必要因素。（2）利用对生活中具体事例的分析，加强对功的概念的理解。 3、情感、态度和价值观：． 培养学生对抽象概念的学习方法，初步了解科学概念跟生活术语的区别。树立学生将科学技术应用于日常生活、社会实践的意识；结合教材和联系生活实际，培养学生的学习兴趣和热爱生活的情感。三、教学重点难点：功概念的建立和功的计算。四、教法： 根据本节课特点，尽量使用身边常见的物品进行探究活动和和实例分析，拉近教学内容与生活的距离，让学生深切地感受到科学的真实性，感受到科学和社会、日常生活的关系。因此这节课可综合应用学生体验、讲授和分组讨论和实例演示等多种形式的教学方法，提高课堂效率，培养学生对物理的兴趣，激发学生的求知欲望，充分调动学生学习的积极性、主动性，使学生在参与过程中自主学习，获得知识，并培养了学生的创新意识和创新能力。 五、学法： 学生是教学活动主体，要使学生从“学会”转化成“会学”，教师在教学中要注意学生学法的指导，根据本节的内容特征，教师在做好演示实验时，引导学生如何去观察实验？并由他们总结和发现规律，同时注意学生的非智力因素培养，通过手势、眼神、表情等形体语言来激发学生的积极性。使学生通过观察总结规律，联系实际、运用规律解决问题。 六、教学过程设计：

数学分析三试卷及答案

《数学分析》(三)――参考答案及评分标准 .计算题(共8题，每题9分，共72分)。 因为 lim 3 xsin — 3 ysin —与 lim 3 xsin — 3 ysin -均不存在， x 0 y x y 0 y x 故二次极限均不存在。 4.要做一个容积为1m 3的有盖圆桶，什么样的尺寸才能使用料最省？ 解：设圆桶底面半径为r ,高为h,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的 最小值，其中 目标函数：S 表2 rh 2 r 2, 1. 解: 1 1 求函数f (x, y) V^sin — 济sin-在点(0,0)处的二次极限与二重极限. y x f (x, y) Vxs in 丄 羽 si n 丄 y x |3X |3y|，因此二重极限为0.……(4分) (9分) 2. 解: 设y y(x)，是由方程组z xf(x z z(x) F(x, y,z) 具有连续的导数和偏导数,求空. dx 对两方程分别关于x 求偏导： y 0'所确定的隐函数’其中f 和F 分别 dz 丁 f (x dx F F 矽 x y dx y) xf (x y)(dX 1 ), 解此方程组并整理得竺 dx F z dz 0 dx F y f(x y) xf (x y)(F y F x ) (4分) 3. 取，为新自变量及 2 z x y x y 2 解: 2 z 2 x x y J 2 z 看成是 w z y F y xf (x y)F z w( ,v)为新函数，变换方程 ze y (假设出现的导数皆连续) x, y 的复合函数如下： / 、 x y w w(,), , 2 代人原方程，并将x, y, z 变换为，，w 2 2 w W c 2 2w 。 x y 。 2 整理得: (9分) (4分) (9分)

人教版初中物理第十一章第一节＜功＞教案

人教版初中物理"第十一章第一节功"教学设计 【教学目标】 1、初步理解功的概念，理解做功的两个必要因素。 2、初步理解功的计算公式、功的单位，学会用功的公式，进行简单的计算，对 1焦耳的功形成一个具体的观念。 【教学重点】做功的两个必要因素、功的计算公式。 【教学难点】做功的两个必要因素 【教学器具】尝试题投影片、投影仪、钩码、示教板（自制） 【教学过程】 一、新课引入 师：本节课我们学习力学中的一个重要概念--功 板书：第一节功 师：下面请同学们先来完成下面的尝试题 投影出示尝试题（一）： 1、如图，放在水平桌面上的木块受到几个力的作用？画出它的受力示意图。 2、如图，用细绳拉着木块在水平桌面前进时，木块受到几个力的作用，什么力对木块的移动作出了贡献？ 3、你对"功"这个词怎样理解的？哪些人可以评功受奖？你知道"劳而无功"的含义吗？ 学生练习、讨论，教师巡视。请一位学生板演题1木块受力示意图，然后请学生

举手回答题2、题3并给予指正和肯定。然后归纳小结： 师：力学中"功"，主要吸收了"贡献"、"成效"的意思，指一个力作用物体上，物体在这个力的作用下移动了一段距离，这个力对物体的移动作出了贡献，取得成效，就说这个力对物体做了功。如题2中绳子的拉力对木块做了功。 二、新课教学 板书：一、功 （一）功的两个必要因素 师：下面请同学们阅读课本第一部分的内容，然后再完成尝试题（二），体会一下力学中"功"的含义。 投影出示尝试题（二） 1、下列各图所展示的现象中，什么力对物体移动有贡献？什么力对物体做了功？ ①人推小车前进②马拉车前进③起重机吊起重物 2、当你端着一盆水不动时，你累吗？你有没有做功？为什么？ 3、当你使劲地用力拉（固定在地面上的）讲台，讲台移动了吗？你累吗？你做了功没有？ 4、人推木箱前进时，重力和支持力对木箱有没有做功？为什么？ 5、人提前水桶沿水平地面前进时，提力有没有做功，为什么？ 6、抛出的小球，在水平地面上滚动时，有没有力对它做功？ 学生看书、讨论，教师巡视，3分钟后，师生一起讨论完成试题二的解答。 师：题1展示的三个现象中，有什么共同点？ 生：都有力作用在物体上，都使物体在力的方向移动了一段距离，力都对物体做了功。 师：你们中谁能归纳出做功的两个必要因素？ 学生代表回答，教师板书： 1、做功的两个必要因素：一是作用在物体上的力，二是物体在力方向上移动的

§_5_定积分习题与答案

第五章 定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数

dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+?

? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx

【八年级】2017春人教版物理八年级下册第十一章第一节功word教案

【关键字】八年级 第十一章功和机械能 第一节功 ●教学目标： 1．知识与技能 （1）结合实例知道机械功的概念。 （2）能用生活、生产中的实例解释机械功的含义。 （3）理解功的概念，知道使用任何机械功都不省功。 2．过程与方法：通过观察和实验了解功的物理意义。 3．情感、态度与价值观：具有对科学的求知欲，乐于探索自然现象和日常生活中的物理学道理，有将科学技术应用于日常生活、社会实践的意识。 ●教学重点：功的概念和做功的两个必要因素，功的计算公式。 ●教学难点：功的概念。 ●教学过程： 一、引人新课： 提问：平时，我们常用力去移动物体，使其位置改变。下面请同学们一起做三个小实验。1．学生实验：用手匀速将放在桌旁地面上的书包和4本书分别提到桌面上。 问：两次移动的距离怎样？哪次“累”一些呢？为什么？ 答：两次移动的距离相同，提书包“累”一些，因为提书包需较大的拉力。［移动相同的距离，需要的力越大越“累”］ 2．学生实验：用手将放在桌旁地面上的书包分别匀速提到凳子上和桌面上。 问：哪次“累”一些呢？为什么？ 答：提到桌面上“累”一些，因为移动的距离较大。［用同样的力移动物体，移动的距离越大越“累”。］ 3．学生实验：用手将书包提左右和将4本书从地面提到桌面上。 问：哪次“累”一些？为什么？答：无法比较，因为两种情况需要的拉力大小不同，移动的距离也不同。力的大小不同，移动的距离不同，无法比较哪次更“累”。 讲述：由此，人提物体“累”的程度，不能仅仅单独由力的大小或单独由移动的距离大小来比较或表示，所以我们引人一个新的物理量——机械功（简称功）。 板书: 一、功

2、讲授新课： 功这个物理量和什么因素有关呢？ 请同学们看图： 这两幅图中有什么共同的地方或者共同的要素。 答：都有力，物体都移动了一段距离。 问：移动的距离和力之间有何关系？ 答：是在力的作用下，沿力的方向上移动的距离。 讲述：在物理学中就说图中的力对物体做了功。 请同学们看图：甲：用力而未移动距离；乙：水平方向移动的距离但水平方向上却没有力。2．物理学中，力与物体在力的方向上通过的距离的乘积叫做功。即 功＝力×距离用 功的公式：W＝FS。W－功－焦耳（J），F－力－牛顿（N），s－距离－米（m）。3．功的单位：焦耳（J） l焦耳＝l牛顿·米1J=1N·m 〔例题l〕一台拖拉机耕地时，牵引力是28500牛，前进了l，此拖拉机的牵引力做了多少功？ ［例题2] 马拉着重为19600牛的车在水平路面上前进了，做了3×105焦耳的功。车受的重力有没有做功？马的水平拉力是多少牛？分析：因为马在水平路面上前进，竖直方向上没有通过的距离，所以车受的重力不做功。求马的水平拉力，可从已知拉力做功和车前进的距离，由W＝F·S公式求得。答：车受的重力没有做功，马的水平拉力是750牛。 学生阅读课本，小结：使用机械时，人们所做的功，都不会少于不用机械时所做的功，也就是功的原理：使用任何机械都不省功。 三、巩固检测：［例题3］回忆上课起始做的三个实验，若匀速提书包和4本书所需的力分别为30牛和5牛，课桌高，计算下面情况下拉力做功的大小：（1）把书包和4本书从地面提到桌面上，拉力分别做功多少？（2）把书包提高，把4本书从地面提到桌面上，拉力做功分别为多少？ 小结：功的大小是由力和在力的方向上移动的距离大小共同决定的，作用力大的做的功不一定多，距离长的过程做的功也不一定多。解题时要注意单位统一。 ［例题4］小刚把重为1000牛的箱子沿着水平地板推动，小刚对箱产做的功（）A．1000焦B．l焦 C．0焦D．无法确定引导学生分析物体受到几个力，画出力的示意图。

第十一章 反常积分

第十一章反常积分 教学要点 反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。 教学时数 8学时 教学内容 §1 反常积分的概念（4学时） 反常积分的引入，两类反常积分的定义反常积分的计算。 §2 无穷积分的性质与收敛判别（4学时） 无穷积分的性质，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，反常积分的Dirichlet判别法 与Abel判别法。 §3 瑕积分的性质与收敛判别 瑕积分的性质，绝对收敛，条件收敛，比较法则。 考核要求 掌握反常积分敛散性的定义，奇点，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛 和条件收敛的概念，并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别 法，以及一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分。 §1 反常积分概念 一问题的提出

例1（第二宇宙速度问题）在地球表面初值发射火箭，要是火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度至少多大？ 解设地球半径为，火箭质量为 地面重力加速度为，有万有引力定理，在距地心处火箭受到的引理为 于是火箭上升到距地心处需要做到功为 当时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功 在由能量守恒定律，可求得处速度至少应使 例2 从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？

解由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为时，水从小孔里流出的速度为 设在很短一段时间内，桶里水面降低的高度为，则有下面关系： 由此得 所以流完一桶水所需的时间应为 但是，被积函数在上是无界函数，，所一我们取 相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分。 二反常积分的定义 1无穷限反常积分的定义， .

数学分析三试卷及答案

数学分析三试卷及答案-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

《数学分析》(三)――参考答案及评分标准 一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。 1. 求函数11 (,)f x y y x =在点(0,0)处的二次极限与二重极限. 解： 11 (,)f x y y x = =，因此二重极限为0.……(4分) 因为11x y x →+ 与11 y y x →+均不存在， 故二次极限均不存在。 ……(9分) 2. 设(),()y y x z z x =??=? 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+??=? 所确定的隐函数,其中f 和F 分别 具有连续的导数和偏导数,求dz dx . 解： 对两方程分别关于x 求偏导: ， ……(4分) 。 解此方程组并整理得 ()()() ()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '?+++-= '++. ……(9分) 3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程 222z z z z x x y x ???++=????。 设,,22 y x y x y w ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）. 解：z 看成是,x y 的复合函数如下： ,(,),,22 y w x y x y z w w e μνμν+-==== 。 ……(4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得： 2222w w w μμν ??+ =???。 ……(9分) 4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 5. 解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中 ()()(1)0x y z dz dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ?'=++++????++=??

第十一章反常积分习题课教学总结

第十一章 反常积分习题课 一 概念叙述 1．叙述()dx x f a ? +∞ 收敛的定义． 答： ()dx x f a ? +∞ 收敛? ()()lim +∞ →+∞=? ? u a a u f x dx f x dx 存在． ?()lim 0+∞ →+∞=?u u f x dx ． ?()()0,0,,εε+∞ ?>?>?>-?>?>?>当δ<<+a u a ， 有()()ε-，存在0M >，只要12,u u M >， 便有 ()()()2 1 2 1 u u u a a u f x dx f x dx f x dx ε-= ，存在0δ>，只 要()12,,u u a a ∈+δ，总有 ()()()2 1 2 1 b b u u u u f x dx f x dx f x dx -=<ε??? ． 二 疑难问题 1．试问 ? +∞ a dx x f )(收敛与0)(lim =+∞ →x f x 有无联系？ 答：首先，0)(lim =+∞ →x f x 肯定不是 ? +∞ a dx x f )(收敛的充分条件，例如01 lim =+∞→x x ，但 ? +∞ 11 dx x 发散．那么0)(lim =+∞→x f x 是否是?+∞a dx x f )(收敛的必要条件呢？也不是！例如 ? +∞ 1 2 sin dx x ，?+∞ 1 2 cos dx x ，? +∞ 1 4sin dx x x 都收敛，因为前两个无穷积分经换元2t x =得

第三学期 数学分析(3)试卷

一、填空题(每空3分，共24分) 1、 设z x u y tan =，则全微分=u d __________________________。 2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则 =x u _________________________。 3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。 4、 设,d ),()(sin 2y y x f x F x x ?=),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。 5、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分?=L s x yd _____________。 6、 在xy 面上，若圆{} 122≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。 7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=??dxdy z S 2_______。 二、计算题(每题8分，共56分) 1、 讨论y x y x y x f 1sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。

2、 设),(2x y y x f u =具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数xx u 和xy u 。 3、 求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值。

华中师范数学分析第十一章反常积分复习自测题2

第十一章 反常积分复习自测题 一、体会各类反常积分（无穷积分、瑕积分和混合反常积分）的特点，能准确地判定所给反常积分的类型；熟习并熟练掌握各类反常积分收敛和发散的含义，并用各类反常积分收敛和发散的含义解决下面的问题： 1、正确地判断下列反常积分的敛散性： （1） 1 d p a x x +∞? （0a >）；（2）01d a p x x ?（0a >）；（3）01d p x x +∞?（0a >）。 2、正确地判断下列反常积分的敛散性： （1） 1d (ln )p a x x x +∞? （1a >）；（2）11d (ln )a p x x x ?（1a >）；（3）11 d (ln )p x x x +∞?。 3、探索下列反常积分的敛散性，若收敛，并求其值： （1） 2 1d 1x x +∞+? ；（2）21d 1x x +∞-∞+?；（3）10 x ?； （4）11 x -?。 4、用定义据理说明下面的关系：（反常积分的牛顿—莱布尼茨公式、分部积分法、换元法、奇偶 函数的积分特征） （1）若函数()f x 在[,)a +∞上连续，()F x 为()f x 在[,)a +∞上的原函数，记 ()lim ()x F f x →+∞ +∞=， 则无穷积分 ()d a f x x +∞? 收敛?()lim ()x F f x →+∞ +∞=存在，且 ∞ +∞-+∞ ∞ -=? )()(x F dx x f 。 （2）若函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，()F x 为()f x 在(,)-∞+∞上的原函数，记 ()lim ()x F f x →+∞ +∞=，()lim ()x F f x →-∞ -∞=， 则无穷积分 ()d f x x +∞-∞ ? 收敛?()lim ()x F f x →+∞ +∞=和()lim ()x F f x →-∞ -∞=都存在，且 ()d ()a f x x F x a +∞+∞=? 。 （3）若函数()f x 和()g x 都在[,)a +∞上连续可微，且lim ()()x f x g x →+∞ 存在，则无穷积分 ()()d a f x g x x +∞'? 收敛?()()d a f x g x x +∞'? 收敛，且 () ()()d ()()()()d a a f x g x x f x g x f x g x x a +∞+∞+∞ ''=-? ?， 其中()()lim ()()x f g f x g x →+∞ +∞+∞=。

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数学分析(3)期末试卷 2005年1月13日 班级_______ 学号_________ 姓名__________ 考试注意事项： 1.考试时间：120分钟。 2.试卷含三大题，共100分。 3.试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！ 4.遵守考试纪律。

一、填空题(每空3分，共24分) 1、 设z x u y tan =，则全微分=u d __________________________。 2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则 =x u _________________________。 3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。 4、 设,d ),()(sin 2y y x f x F x x ? =),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。 5、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分?=L s x yd _____________。 6、 在xy 面上，若圆{} 12 2≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关 于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。 7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=??dxdy z S 2 _______。 二、计算题(每题8分，共56分) 1、 讨论y x y x y x f 1 sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。

数学分析试题及答案

（二十一）数学分析期终考试题 一 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分） 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(2 2 2 b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2220 0-+++→→y x y x y x 5、2 2 ),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续， 但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[)1( 1 1 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。 四 证明题：（每小题10分，共20分） 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ? 内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件： ''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。 参考答案 一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。

数学分析(华东师大)第十一章反常积分

数学分析(华东师大)第十一章反常积分

r mg R ∫ ∫ 第 十 一 章 反 常 积 分 §1 反常积分概念 一 问题提出 在讨论定积分时有两个最基本的限 制 : 积分 区间 的有穷 性和 被积函 数的 有 界性 .但 在 很多实 际 问题中往 往 需 要突 破这 些限制 , 例 1 ( 第二宇宙速度问题 ) 在地球表面垂直发射火箭 ( 图 11 - 1 ) , 要使火 箭克服地球引力无限远离地球 , 试问初速度 v 0 至少要多大 ? 设地球半径为 R, 火箭质量为 m, 地面上的重力加速度为 g .按万有引力定律 , 在距地心 x( ≥ R ) 处火箭所受的引力为 mg R 2 F = . x 2 于是火箭从地面上升到距离地心为 r ( > R) 处需作的功为 2 ∫ d x = mg R 2 1 - 1 . R x 2 R r 当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”: 图 11 - 1 + ∞ mg R 2 d x = lim r mgR 2 R x 2 r → + ∞ R d x = mg R . x 2 最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使 1 2 2 mv 0 = m g R . 用 g = 9 .81 ( m 6s /2 ) , R = 6 .371× 106 ( m ) 代入 , 便得 v 0 = 2 g R ≈ 11 .2( k m 6s /) . 例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图 11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间 ?

数学分析3期末试题

2012 –2013学年第一学期期末考试题 11数学教育《数学分析》（三） 一、单项选择（将正确答案的序号填在括号内，每题2分，共20分） 1. 下列数项级数中收敛的是 （ ） A. 211 n n ∞ =∑； B. 2 1n n n ∞ =+∑； C. 1 1 n n ∞ =∑； D. 0 1 23n n n ∞ =++∑. 2. 下列数项级数中绝对收敛的是 （ ） A. 1(1)n n n ∞ =-∑ B. 1n n n ∞=1n n n n ∞= D. 1 sin n n n ∞ =∑ 3.函数项级数1n n x n ∞ =∑的收敛域是 （ ） A. (1,1)- B. (1,1]- C. [1,1)- D. [1,1]- 4.幂级数0 21n n n x n ∞ =+∑的收敛半径是 （ ） . A B C D 1 ．2　．1 ．02 5. 下列各区域中，是开区域的是 （ ） 2. {(,)|}A x y x y > . {(,)|||1}B x y xy ≤ 22.{(,)|14}C x y x y <+≤ .{(,)|1}D x y x y +≥ 6.点集11{,|}E n N n n ?? =∈ ??? 的聚点是 （ ） A. (){0,0} B.()0,0 C. 0,0 D.{}{}0,0 7.点函数()f P 在0P 连续，是()f P 在0P 存在偏导数 （ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微，则(,)f x y 在()00,x y 不一定 ( ) A.偏导数连续 B.连续 C. 偏导数存在 D. 存在方向导数 9. 设函数)()(y v x u z =，则 z x ??等于 （ ） A. ()()u x v y x y ???? B. ()()du x v y dx y ?? C. () ()du x v y dx D. ()()u x v y x y ??+?? 10. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微的充分必要条件是 ( ) A. 偏导数连续; B. 偏导数存在; C.存在切平面; D. 存在方向导数. 二、填空题（将正确答案填在横线上，每题2分，共20分） 11. 若数项级数1 1n p n n ∞ =-∑（） 绝对收敛，则p 的取值范围是 ； 12. 幂级数0(1)n n n x ∞ =+∑的和函数是 ； 13．幂级数2 01 (1)n n x n ∞ =-∑ 的收敛域是 . ； 14．平面点集22{(,)|14}E x y x y =<+≤的内点是_________ ___ __ _______； 15．函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值点是 ______________________. 16．曲面221z x y =+-在点（2,1,4）的切平面是 ______________________ 17．函数y z x =，则 z y ?=? ______________________； 18．函数u xyz =在（1,1,1）沿方向(cos ,cos ,cos )l αβγ= 的方向导数是 ___________； 19．设cos sin x r y r ? ?=??=?，则 x x r y y r ?? ????=???? ； 20．若22arctan y x y x +=，则dy dx =______________________。 题号 一 二 三 四 五 总分 复核人 分值 20 20 10 32 18 100 得分 评卷人 得分 得分

人教版八年级物理下册第十一章第1节功教案

第1节功 通过这一章的学习，使学生进一步了解能量可以从一个物体转移到另一个物体，不同形式的能量可以互相转化，知道做功的过程就是能量转化或转移的过程。 本章教材围绕“机械能”的概念展开，重视学生生活经验的作用，而把“功”的概念放在相对次要的位置。因此，要认真分析其特点，注意培养学生的概括归纳能力和分析解决实际问题的能力。 第一节功 （一）教学目标 1、知识与技能目标 （1）知道做功的两个必要因素。 （2）理解功的定义、计算公式和单位，并会用功的公式进行简单计算。 （3）知道功的原理。 2、过程与方法目标 （1）通过思考和讨论，判断在什么情况下力对物体做了功，在什么情况下没有做功？（2）通过观察和实验，了解功的含义，学会用科学探究的方法研究物理问题。 （3）学会从物理现象中归纳简单的物理规律。 3、情感、态度价值观目标 （1）乐于探索自然现象和物理规律，乐于参与观察、实验、探索活动。 （2）有将科学技术应用于日常生活、社会实践的意识。 （3）培养学生的综合学习能力，激发学生的求知欲。 (二)教学重难点 1、重点：理解功的概念。 2、难点：判断力对物体是否做功，以及做功的计算。 (三)教学准备 木块、木板、细绳、弹簧测力计、小车，杠杆和支架、钩码、滑轮、细线、刻度尺（两个）。提问学生回答日常生活中“功”的含义。思考力学里所说的“功”含义。 演示实验：在水平长木板用相同大小的力分别拉一木块和小车。 在实验基础上引入本课内容。 (四)教学过程 一、进行新课 1．由课前的演示实验引导学生总结出力学中关于“功”的确切含义： 如果一个力作用在物体上，并且使物体在力的方向上通过一段距离，这个力的作用就有了成效，力学里面就说这个力做了功。 2．请学生观察教材图15．1-1中力做功和15．1-2中力不做功的实例，分析、总结一下力学中的做功有哪些共同特点？分组讨论总结。 板书：力学中做功的两个必要因素： 一是作用在物体上的力 二是物体在这个力的方向上移动的距离 3．实例分析（突破难点） 举例说明在你的周围你发现有哪些做功的例子？比一比，看谁对生活观察得最仔细？学生可能举很多的例子？如起重机吊起重物、火箭升空、马拉车前进等等。教师对正确的例子予以肯定，对错误的例子引导改正。 接下来看老师这里的几个例子是否有做功的情况存在？