2010年考研真题北京大学数学分析高等代数几何
北大数学系本科课程
基础和专业基础必修课1301301数学分析(Ⅰ) 1301301 数学分析1301301 数学分析(Ⅲ) 1301302 高等代数(Ⅰ) 1301302 高等代数1301303 解析几何1301304 常微分方程1301305 近世代数1301306 复变函数1301307 微分几何1301308 拓扑学1301309 实变函数1301310 概率统计1301311 数学模型1301312 泛函分析1301313 偏微分方程 专业限定选修课1301401 整体微分几何1301402 计算方法1301403 运筹学1301404 组合学1301405 初等数学教学研究1301406 微分流形1301407 计算机应用(Ⅰ) 1301408 多复变变函数引论 专业任意选修课1301501图论1301502 模糊数学1301503 中学数学竞赛1301504 数学史1301505 数学软件1301506 计算代数1301507 初等数论1301508 交换代数1301509 偏微分方程数值计算1301510 数学方法论1301511 数学学习论1301512 模糊控制与模糊决策
1301513 矩阵论 1301514 微分方程定性及分岔理论基 础 1301515 代数几何 1301516 李群与李代数 1301517 控制论 另外一个版本： 北大数学科学学院本科生课程 课程号 00130011 课程名数学分析(一) 课程号 00130012 课程名数学分析(二) 课程号 00130013 课程名数学分析(三) 课程号 00130031 课程名高等代数(上) 课程号 00130032 课程名高等代数(下) 课程号 00130051 课程名解析几何 课程号 00130061 课程名解析几何习题课 课程号 00130072 课程名初等数论 课程号 00130081 课程名常微分方程 课程号 00130091 课程名计算机原理与算法语言 课程号 0013010. 课程名计算机实习 课程号 00130110 课程名复变函数 课程号 00130120 课程名微分几何学 课程号 00130130 课程名抽象代数(A) 课程号 00130140 课程名实变函数论 课程号 00130150 课程名偏微分方程 课程号 00130161 课程名拓朴学(一) 课程号 00130162 课程名拓朴学(二) 课程号 00130170 课程名泛函分析
北京大学数学分析考研试题及解答
判断无穷积分 1 sin sin( )x dx x +∞ ?的收敛性。 解 根据不等式31|sin |||,||62 u u u u π -≤≤， 得到 33 sin sin 1sin 11 |sin()|||66x x x x x x x -≤≤， [1,)x ∈+∞； 从而 1sin sin (sin())x x dx x x +∞-?绝对收敛，因而收敛， 再根据1sin x dx x +∞?是条件收敛的， 由sin sin sin sin sin()(sin())x x x x x x x x =-+ ， 可知积分1sin sin()x dx x +∞?收敛，且易知是是条件收敛的。 例5.3.39 设2()1...2!! n n x x P x x n =++++，m x 是21()0m P x +=的实根， 求证：0m x <，且lim m m x →+∞ =-∞。 证明 （1）任意* m N ∈，当0x ≥时，有21()0m P x +>； , 当0x <且x 充分大时，有21()0m P x +<，所以21()0m P x +=的根m x 存在， 又212()()0m m P x P x +'=>，21()m P x +严格递增，所以根唯一，0m x <。 （2） 任意(,0)x ∈-∞，lim ()0x n n P x e →+∞ =>，所以21()m P x +的根m x →-∞，（m →∞）。 因为若m →∞时，21()0m P x +=的根，m x 不趋向于-∞。 则存在0M >，使得(,0)M -中含有{}m x 的一个无穷子列，从而存在收敛子列0k m x x →，（0x 为某有限数0x M ≥-）； 21210lim ()lim ()0k k k M m m m k k e P M P x -++→+∞ →+∞ <=-≤=，矛盾。 例、 设(1)ln(1)n n p a n -=+，讨论级数2 n n a ∞ =∑的收敛性。 解 显然当0p ≤时，级数 2 n n a ∞ =∑发散； 由 20 01 1ln(1) 1lim lim 2x x x x x x x →→- -++=011lim 21x x →=+ 12=，
北大数学分析实数理论参考资料
实数理论 §1.1 从自然数到有理数 实数是在有理数基础上定义的，有理数又是在整数的基础上定义的，而整数又是在自然数的基础上定义的，那么自然数如何定义呢？ 有两个集合A 和B ，我们称它们为等价的，如果存在一个从A 到B 的映射，它是的，又是满的．这时我们说f 11?A 和B 具有相同的势．我们首先承认空集φ是存在的，考虑一个集合}{φ，它不是空集，凡与}{φ等价的集合都有相同的势，我们把}{φ简写为0．再考虑集合}}{,{φφ，它与}{0φ=是不等价的，我们把它简写为1．一般地如果有了之后，可以定义它的跟随n },{n φ，简写为1+n ．这样我们就得到了自然数N ．在N 上可以定义加法：},,,2,1,0{ n =111++++=+ n m n ，还可以证明加法满足结合律和交换律：p m n p m n ++=++)()(，n m m n +=+．这样我们就从空集出发，定义出自然数N ．这是一个最抽象的定义，比如说1，它不指一个人，也不指一个物，而是指一个集合}}{,{φφ，这个集合有两个不同的元素{}φ和φ．凡是与它等价的集合，都与它有相同的势，于是一个人，一个物……，都具有相同的势，按我们的理论，用}}{,{φφ作为它们的代表． 在集合{}中，考虑一个关系N ∈n m n m ,:),(~：),(n m ~),(n m ′′当且仅当，容易证明n m n m +′=′+~是一个等价关系． 整数Z 现在定义为： Z =~ },:),{(N ∈n m n m ． 在Z 上可以定义加法：),(),(),(n n m m n m n m ′+′+=′′+，还可以定义减法：．可以验证它们在Z 中封闭，而且互为逆运算．在Z 中我们用0表示N }，即),(),(),(n m n m n m n m +′′+=′′?∈n n n :),({ =?=?=22110，这就是作为整数的0. 用表示 k ∈+k n n )k n ,:,({
北大计算机系考研_历年高等数学真题附答案
北大计算机考研 高等数学真题解答 2008年（5题60分） 1 （12分）)(x f 有连续的二阶导数，0)(≠a f ，求) (1 )()(1lim a f a f a x f a x '---→。 2 （12分）)(x f 在[]b a ,上连续且0)()(==b f a f ，0)()(>''b f a f ，证明：在()b a ,上必有一点u 使得0)(=u f 。 3 （12分）求不定积分? --dx x x x 2 ) ln (ln 1。 4 （12分）0)0(=f 且0)0(='f ，)(x f 有连续的导数，求dx x t x tf x x ? -→0 4 220) (lim 。 5 （12分）)(x f 在0附近可导且导数大于0，证明无穷级数)1 (n f 发散，无穷级 数)1 ()1(n f n -收敛。 2007年（5题60分） 1 （12分）求不定积分?+dx x e x 22)1(tan 。 解：=+?dx x e x 22)1(tan +?xdx e x 22sec =?xdx e x tan 22 +?x d e x tan 2-x e x tan 2=? x d e x tan 2C x e x +tan 2。 2 （12分）求连续函数)(x f ，使它满足0)0(,sin )()(1 0=+=?f x x x f dt tx f 。 解：令,tx u =则0=t 时，0=u ，1=t 时，x u =，xdt du =； ? =1 )(dt tx f ?=x du u f x 0 )(1? +x x x f sin )(? =x du u f 0 )(?+x x x xf sin )(2 ?++'+=x x x x x f x x f x f cos sin 2)()()(2?--='x x x x f cos sin 2)(
2017年北大数学分析考研试题(Xiongge)
北京大学2017年硕士研究生招生考试试题 (启封并使用完毕前按国家机密级事项管理) 考试科目：数学基础考试1(数学分析)考试时间:2016年12月25日上午 专业：数学学院各专业(除金融学和应用统计专业) 方向：数学学院各方向(除金融学和应用统计方向) ————————————————————————————————————————说明：答题一律写在答题纸上(含填空题、选择题等客观题),写在此试卷上无效. 1.(10分)证明lim n !+1Z 2 sin n x p 2x dx =0.2.(10分)证明1X n =111+nx 2sin x n ?在任何有限区间上一致收敛的充要条件是?>12.3.(10分)设1X n =1a n 收敛.证明lim s !0+1X n =1a n n s =1X n =1a n . 4.(10分)称 (t )=(x (t );y (t )),(t 2属于某个区间I )是R 2上C 1向量场(P (x;y );Q (x;y ))的积分曲线,若x 0(t )=P ( (t )),y 0(t )=Q ( (t ));8t 2I ,设P x +Q y 在R 2上处处非0,证明向量场(P;Q )的积分曲线不可能封闭(单点情形除外). 5.(20分)假设x 0=1;x n =x n 1+cos x n 1(n =1;2; ),证明:当x !1时,x n 2=o ?1n n ?.6.(20分)假如f 2C [0;1];lim x !0+f (x ) f (0)x =?<ˇ=lim x !1 f (x ) f (1)x 1 .证明:8 2(?;ˇ);9x 1;x 22[0;1]使得 =f (x 2) f (x 1)x 2 x 1 .7.(20分)设f 是(0;+1)上的凹(或凸)函数且 lim x !+1xf 0(x )=0(仅在f 可导的点考虑 极限过程).8.(20分)设 2C 3(R 3), 及其各个偏导数@i (i =1;2;3)在点X 02R 3处取值都是0.X 0点的?邻域记为U ?(?>0).如果 @2ij (X 0) á3 3是严格正定的,则当?充分小时,证明如下极限存在并求之: lim t !+1t 32? U ?e t (x 1;x 2;x 3)dx 1dx 2dx 3: 9.(30分)将(0; )上常值函数f (x )=1进行周期2 奇延拓并展为正弦级数: f (x ) 4 1X n =112n 1 sin (2n 1)x:该Fourier 级数的前n 项和记为S n (x ),则8x 2(0; );S n (x )=2 Z x 0sin 2nt sin t dt ,且lim n !1S n (x )=1.证明S n (x )的最大值点是 2n 且lim n !1S n 2n á=2 Z 0sin t t dt .考试科目：数学分析整理：Xiongge ，zhangwei 和2px4第1页共??页
2015年数学考研数学分析各名校考研真题及答案
2015年考研数学分析真题集 目录 南开大学 北京大学 清华大学 浙江大学 华中科技大学
2014年浙江大学数学分析试题答案 一、,,0N ?>?ε当N n >时，ε<->>?m n a a N n N m ,, 证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列 }{k n a ，a a k n k =∞ →lim ， 所以， ε2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n 二 、,,0N ?>?ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时， ε<-)''()'(x f x f 对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g 当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时 ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},min{21δδδ=即可。 三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)('
2020年数学分析高等代数考研试题参考解答
安徽大学2008年高等代数考研试题参考解答 北京大学1996年数学分析考研试题参考解答 北京大学1997年数学分析考研试题参考解答 北京大学1998年数学分析考研试题参考解答 北京大学2015年数学分析考研试题参考解答 北京大学2016年高等代数与解析几何考研试题参考解答 北京大学2016年数学分析考研试题参考解答 北京大学2020年高等代数考研试题参考解答 北京大学2020年数学分析考研试题参考解答 北京师范大学2006年数学分析与高等代数考研试题参考解答北京师范大学2020年数学分析考研试题参考解答 大连理工大学2020年数学分析考研试题参考解答 赣南师范学院2012年数学分析考研试题参考解答 各大高校考研试题参考解答目录2020/04/29版 各大高校考研试题参考解答目录2020/06/21版 各大高校数学分析高等代数考研试题参考解答目录2020/06/04广州大学2013年高等代数考研试题参考解答 广州大学2013年数学分析考研试题参考解答 国防科技大学2003年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2004年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2005年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2006年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2007年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2008年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2009年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2010年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2011年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2012年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2013年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2014年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2015年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2016年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2017年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2018年实变函数考研试题参考解答 哈尔滨工程大学2011年数学分析考研试题参考解答
北京大学数学分析考研试题及解答复习进程
北京大学数学分析考研试题及解答
判断无穷积分1sin sin( )x dx x +∞ ?的收敛性。 解 根据不等式31|sin |||,||62 u u u u π -≤≤， 得到 33 sin sin 1sin 11 |sin()|||66x x x x x x x -≤≤， [1,)x ∈+∞； 从而 1sin sin (sin())x x dx x x +∞-?绝对收敛，因而收敛， 再根据1sin x dx x +∞?是条件收敛的， 由sin sin sin sin sin()(sin())x x x x x x x x =-+ ， 可知积分1sin sin()x dx x +∞?收敛，且易知是是条件收敛的。 例5.3.39 设2()1...2!! n n x x P x x n =++++，m x 是21()0m P x +=的实根， 求证：0m x <，且lim m m x →+∞ =-∞。 证明 （1）任意*m N ∈，当0x ≥时，有21()0m P x +>； 当0x <且x 充分大时，有21()0m P x +<，所以21()0m P x +=的根m x 存在， 又212()()0m m P x P x +'=>，21()m P x +严格递增，所以根唯一，0m x <。 （2） 任意(,0)x ∈-∞，lim ()0x n n P x e →+∞ =>，所以21()m P x +的根m x →-∞， （m →∞）。 因为若m →∞时，21()0m P x +=的根，m x 不趋向于-∞。 则存在0M >，使得(,0)M -中含有{}m x 的一个无穷子列，从而存在收敛子列 0k m x x →，（0x 为某有限数0x M ≥-）； 21210lim ()lim ()0k k k M m m m k k e P M P x -++→+∞ →+∞ <=-≤=，矛盾。 例、 设(1)ln(1)n n p a n -=+，讨论级数2 n n a ∞ =∑的收敛性。 解 显然当0p ≤时，级数2 n n a ∞ =∑发散； 由 20 01 1ln(1) 1lim lim 2x x x x x x x →→- -++=011lim 21x x →=+ 12=，
北大版高数答案
习题 1.1 22 22222222222222 22. ,,.3,3.3, ,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,. ,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b ====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,, .,..,: (1)|||1| 3.\;(2)|3| 2. 0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-?数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解 (1)222(1,3/2). (2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ?-<-<<<<<<<=?-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4. ,| 1.(1)|6|0.1;(2)||. 60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,). 1 1,01,. 1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-?-+∞>=++∞?-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.: 6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|}, 10 {|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a m A A m A a b A B C B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈?=?=?=?≥=?≤-∈-≤-Z L 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合 = 若则中有最小数-=证 7.(,),(,).1/10.|}.10n n n n a b a b m n b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.2
1.1高数(北大版)
习题 1.1
证明 3为无理数. 1. 证 若 3不是无理数,则 3 = p p2 , p, q为互素自然数.3 = 2 , p 2 = 3q 2 .3除尽p 2 , q q
必除尽p, 否则p = 3k + 1或p = 3k + 2. p 2 = 9k 2 + 6k + 1, p 2 = 9k 2 + 12k + 4, 3除 p 2 将余1.故p = 3k , 9k 2 = 3q 2 , q 2 = 3k 2 , 类似得3除尽q.与p, q互素矛盾. 设 2. p是正的素数, 证明 p是无理数. 证 设 p= a a2 , a, b为互素自然数,则p = 2 , a 2 = pb 2 , 素数p除尽a 2 , 故p除尽a, b b 2 2 2 2 2 a = pk . p k = pb , pk = b .类似得p除尽b.此与a, b为互素自然数矛盾.
解下列不等式 : 3. (1) | x | + | x ? 1|< 3.\; (2) | x 2 ? 3 |< 2. 解 (1)若x < 0, 则 ? x + 1 ? x < 3, 2 x > ?2, x > ?1, (?1, 0); 若0 < x < 1, 则x + 1 ? x < 3,1 < 3, (0,1); 若x > 1, 则x + x ? 1 < 3, x < 3 / 2, (1,3 / 2). X = (?1, 0) ∪ (0,1) ∪ (1,3 / 2). (2) ? 2 < x 2 ? 3 < 2,1 < x 2 < 5,1 <| x |2 < 5,1 <| x |< 5, x = (1, 5) ∪ (? 5, ?1). 设 4. a, b为任意实数,(1)证明 | a + b |≥| a | ? | b |;(2)设 | a ? b |< 1, 证明 | a |<| b | +1. 证(1) | a |=| a + b + (?b) |≤| a + b | + | ?b |=| a + b | + | b |,| a + b |≥| a | ? | b | . (2) | a |=| b + (a ? b) |≤| b | + | a ? b |<| b | +1. 解下列不等式 : 5. (1) | x + 6 |> 0.1;(2) | x ? a |> l. 解(1)x + 6 > 0.1或x + 6 < ?0.1.x > ?5.9或x < ?6.1. X = (?∞, ?6.1) ∪ (?5.9, +∞). (2)若l > 0, X = (a + l , +∞) ∪ (?∞, a ? l ); 若l = 0, x ≠ a; 若l < 0, X = (?∞, +∞). 若 6. a > 1, 证明0 < n a ? 1 < a ?1 , 其中n为自然数. n
n
证若a > 1, 显然 n a = b > 1.a ? 1 = n a ? 1 = ( n a ? 1)(b n ?1 + b n ? 2 + L + 1) > n( n a ? 1). 设 7. (a, b)为任意一个开区间, 证明(a, b)中必有有理数. 证取自然数n 满足1/10 n < b ? a.考虑有理数集合 m A=An = { n | m ∈ Z}. 若An ∩ (a, b) = ?, 则A = B ∪ C , B = A ∩ {x | x ≥ b}, 10 C = A ∩ {x | x ≤ a}.B中有最小数m0 /10n , (m0 ? 1) /10n ∈ C , b ? a ≤ m0 /10 n -(m0 ? 1) /10 n =1/10n ,此与n的选取矛盾. 设 8. (a, b)为任意一个开区间, 证明(a, b)中必有无理数. 证取自然数n 满足1/10 n < b ? a.考虑无理数集合An = { 2 + m | m ∈ Z}. 以下仿8题. 10n
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2015北京大学考研专业课历年考研真题及参考答案
2015年北京大学702数学基础全套资料 温馨提示：点击蓝色字体访问原文||【Ctrl+H】搜索所需科目 ◇资料构成 本专业课考试科目的全套资料主要包括： 1．历年真题 本全套资料提供北京大学1996—2001、2005—2010年数学分析考研真题，供参考。 ·北京大学2010年数学分析考研真题 ·北京大学2009年数学分析考研真题 ·北京大学2008年数学分析考研真题 ·北京大学2007年数学分析考研真题 ·北京大学2006年数学分析考研真题 ·北京大学2005年数学分析考研真题（含答案） ·北京大学1996—2001年数学分析考研真题 注：考研真题或答案如有补充，会第一时间予以上传，并在详情中予以标注，请学员留意。 2．指定教材配套资料 北京大学702数学基础近年不指定参考书目，但根据往年指定教材情况，建议参考书目为：①《数学分析新讲》（张筑生，北京大学出版社）；②《数学分析》（一、二、三册）（方企勤等，北京大学出版社）。 ·教材：方企勤《数学分析（第一册）》（PDF版） ·教材：方企勤《数学分析（第三册）》（PDF版） ·《数学分析习题集》(林源渠方企勤等著) ·教材：张筑生《数学分析新讲》（第一、二、三册）（PDF版） 3．北京大学老师授课讲义（含指定教材高校老师授课讲义） 本全套资料提供北京大学老师的授课资源，及建议参考书目的相关课件。具体包括： ·北京大学彭立中老师《数学分析》教学资源汇总（含电子教案、例题习题等，仅提供免费浏览网址） ·《数学分析》教学课件（上册） 4．兄弟院校考研真题详解 本全套资料提供的兄弟院校历年考研真题（含详解）部分，提供其他同等高校历年考研真题详解，以便学员复习备考。所列的高校考研真题非常具有参考性！这部分内容包括： ·中山大学数学分析与高等代数考研真题：2011 2010 2009 2008 2006 2005 2004 2003 ·华东师范大学数学分析与高等代数考研真题：2005 2004 ·华东师范大学数学分析考研真题：2010 2009 2008（含答案） 2007（含答案） 2006 2005（含答案） 2004 2003（含答案） 2002 2001（含答案） 2000（含答案） 1999 1998 1997 ·华东师范大学高等代数考研真题：2008（含答案） 2007 2006 2005 2004 2003 2002 2001 2000 ·北京师范大学数学分析与高等代数考研真题：2007 2006 ·浙江师范大学数学分析与高等代数考研真题：2011 2006 2005 2004 5．其他相关精品资料 ·数学分析同步辅导及习题全解（华东师大第三版）（上、下册）（PDF版，586页） 附注：全套资料尤其是真题会不断更新完善，待更新完善后会及时上传并予以说明标注，学员可下载学习！
2013年北京大学高等数学考研真题及答案解析
1 / 5 全国统一咨询热线：400-6998-626 育明教育官方网址： https://www.wendangku.net/doc/b710190112.html, 育明教育 育明教育：中国考研专业课辅导第一品牌 。由北京大学、中国人民大学、中央财经大学、北京外国语大学、中国传媒大学的教授投资创办！【5大优势】 【信息·最权威】：北大、人大、中财、北外、中传教授创办 【经验·最丰富】： 七年专注考研专业课辅导培训 【考点·最精准】：连续七年考点命中率高达85%以上 【规划·最可行】：协助学员制定个性化全程复习指导规划 【咨询·最专业】：北大、清华、北外、人大、中传师资全天候进行答疑解惑 北京大学360考研数学历年真题 一、2002年真题 说明：本试题由育明教育考研专业课团队汇编整理，更多资料、真题和辅导班可以咨询育明教育全国统一咨询热线：400-6998-626 考试科目：高等数学 考试时间：2002.1.27—下午2点 招生专业：理科各专业 一、（12分）求下列各式的极限： （1），其中a ＞0； （2） （3） ； （4） 二、（12分）求下列函数的指定阶导数，或在指定点的切线与法线方程： （1）y=f(lnx)，其中f(x)二阶可导，求y ’，y ’’； （2） 求f ’(x)； （3）求由方程ysinx+xlny=0所确定的平面曲线在x=π处的切线与法线方程；
（4），求f’(x) 二、2003年真题 说明：本试题由育明教育考研专业课团队汇编整理，更多资料、真题和辅导班可以咨询育明教育全国统一咨询热线：400-6998-626 考试科目：高等数学考试时间：2003.1.19—8:30 招生专业：理科各专业 注意事项：答案必须答在答题纸上。答在试题上一律无效。填空题和单选题不必抄题目，但必须标明大题号和小题号。填空题写明答案（不要写计算过程），单选题写明选项。 一、求下列极限： （1）（2） （3）（4） 二、（28分）求下列函数的指定阶导数、偏导数： （1）y=(1+x)1/x，求y’； （2），求f’(x)； （3）设δ=δ（x，y）是由方程δ3-2xδ+y=0所确定的隐函数，求，， （4）设δ=f（x2-y2,e xy）,其中f(u,v)有二阶连续的偏导数，求， 2 / 5 全国统一咨询热线：400-6998-626 育明教育官方网址：https://www.wendangku.net/doc/b710190112.html,
北京大学数学系《高等代数》考研配套考研真题库
北京大学数学系《高等代数》考研配套考研真题库 第一部分名校考研真题 第1章多项式 一、判断题 1．设Q是有理数域，则P＝{α＋βi|α，β∈Q}也是数域，其中．（）[南京大学研] 【答案】对查看答案 【解析】首先0，1∈P，故P非空；其次令a＝α1＋β1i，b＝α2＋β2i其中α1，α2，β1，β2为有理数，故 a±b＝（α1＋β1i）±（α2＋β2i）＝（α1±α2）＋（β1±β2）i∈P ab＝（α1＋β1i）（α2＋β2i）＝（α1α2－β1β2）＋（α1β2＋α2β1）i∈P 又令c＝α3＋β3i，d＝α4＋β4i，其中α3，α4，β3，β4为有理数且d≠0，即α4≠0，β4≠0，有 综上所述得P为数域． 2．设f（x）是数域P上的多项式，a∈P，如果a是f（x）的三阶导数f?（x）的k 重根（k≥1）并且f（a）＝0，则a是f（x）的k＋3重根．（）[南京大学研] 【答案】错查看答案
【解析】反例是f（x）＝（x－a）k＋3＋（x－a）2，这里f（a）＝0，并且f?（x）＝（k＋3）（k＋2）（k＋1）（x－a）k满足a是f（x）的三阶导数f?（x）的k重根（k≥1）． 3．设f（x）＝x4＋4x－3，则f（x）在有理数域上不可约．（）[南京大学研] 【答案】对查看答案 【解析】令x＝y＋1，则f（y）＝y4＋4y3＋6y2＋8y＋2，故由艾森斯坦因判别法知，它在有理数域上不可约． 二、计算题 1．f（x）＝x3＋6x2＋3px＋8，试确定p的值，使f（x）有重根，并求其根．[清华大学研] 解：f′（x）＝3（x2＋4x＋p）．且（f（x），f′（x））≠1，则 （1）当p＝4时，有（f（x），f′（x））＝x2＋4x＋4 所以x＋2是f（x）的三重因式，即f（x）（x＋2）3，这时f（x）的三个根为－2，－2，－2． （2）若p≠4，则继续辗转相除，即
2015北京大学考研数学线性代数重点内容与题型总结
2015北京大学考研数学线性代数重点内容与题型总结 经过暑假强化阶段学习以后，从九月开始进入复习巩固阶段，也是提高阶段的尾端，也就是说，如果考生顺利完成了提高阶段的复习，将为冲刺阶段提供足够空间，反之则可能打乱整个复习进程.这段时间，考生还是要坚持两条腿走路，即知识点总结和题型总结,也就是要把书由厚读到薄，把知识转化成自己的东西，这样才会越学越轻松。线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视。和高数与概率统计相比，由于线性代数的学科特点，同学们更应该要注重对知识点的总结。线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，同学们必须注重计算能力。线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型做总结，希望对同学们后期的复习有所帮助。 一行列式 行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式。如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现。所以要熟练掌握行列式常用的计算方法。 1重点内容:行列式计算 (1)降阶法 这是计算行列式的主要方法，即用展开定理将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。 (2)特殊的行列式 有三角行列式、范德蒙行列式、行和或列和相等的行列式、三线型行列式、爪型行列式等等，必须熟练掌握相应的计算方法。 2常见题型 (1)数字型行列式的计算 (2)抽象行列式的计算 (3)含参数的行列式的计算 (4)代数余子式的线性组合
北京大学数学分析考研试题及解答
1 2 判断无穷积分 1 解 根据不等式|sinu sin x 、 sin x i 得到 |sin( ) | x x sin x sin x 从而 (s in (叱)叱)dx 绝对收敛，因而收敛, 1 x x sin x 再根据1〒dx 是条件收敛的， 丄 sin x sin x sin x sin x 由 sin( ) (sin( ) ) x x x x sin x 可知积分 sin( )dx 收 敛，且易知是是条件收敛的。 1 x 2 x 例5339设巳(x) 1 x 2! n x ，X m 是P ?m 1(x) 0的实 根, n! 求证：x m 0，且 lim x m m N ，当 x 0 时，有 F 2m 1( x) 0 ； 又 P>m 1 (x) F 2m (x) 0，F 2m1(x)严格递增，所以根唯一， X m 0。 任意 x ( ,0)， lim F n (x) e x 0，所以 F 2m1(x)的根 X m n 因为若m 时，Rm1(x) 0的根，X m 不趋向于 则存在M 0 ,使得(M ,0)中含有｛ X m ｝的一个无穷子列，从而存在收敛子列X m k X 。， ( X 。 为某有限数M )； 0 e M lim F 2m k 1( M) lim F 2叫 1 (X m k ) 0，矛盾。 K K (1)n 例、设a n ln(1 右)，讨论级数 a n 的收敛性。 n P n 2 1 .3 . u| |u | ,| u | 6 2 1, 1 sin , 3 1 1 “ r 1 1 3 ， x L 1, 6 X 6 X 证明(1)任意m 当x 0且x 充分大时，有F 2m1(x) 0,所以F 2m 1(X ) 0的根X m 存在, (2) ，(m )。 sin(Sin x )dx 的收敛性。 x ) ；
2019年数学考研数学分析各名校考研真题及答案
考研数学分析真题集 目录 南开大学 北京大学 清华大学 浙江大学 华中科技大学 一、,,0N ?>?ε当N n >时，ε<>?m a N m , 证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列 }{k n a ，a a k n k =∞ →lim ， 所以， ε 2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n 二 、,,0N ?>?ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时， ε<-)''()'(x f x f 对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g 当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时 ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},m in{21δδδ=即可。 三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)(' 又2))((''2 1 ))((')()(a x f a x a f a f x f -+ -+=ξ，所以-∞=+∞→)(lim x f x ，且0)(>a f ，所以 )(x f 必有零点，又)(x f 递减，所以有且仅有一个零点。 四、? ?==1 ,)(1)()(x dt t f x dt xt f x ?2 )()()('x dt t f x x f x x ? -=?， 2 2)(lim )(lim ) (lim )0('0 2 A x x f x dt t f x x x x x x ====→→→???， 2 )(lim ) (lim )() (lim )('lim 2 002 00A x dt t f x x f x dt t f x x f x x x x x x x = -=-=? ? →→→→?，)('x ?在0=x 连续。 五、当k m ≠时，不妨设k m <， ??--+--=1 111) (2)(2])1[(])1[(!!21)()(dx x x k m dx x P x P k k m m k m k m = --? -dx x x k k m m 1 1 )(2)(2])1[(])1[(dx x x x x m m k k k k m m ?-+--------1 1 )1(2)1(211 ) 1(2)(2])1[(])1[(])1[(])1[(= 0])1][()1[()1(])1[(])1[(11 )(221 1 )1(2)1(2=---==---??-+-+-dx x x dx x x k m m k k m m k k Λ 当k m =时， ?? ----= 1 11 1 )(2)(22 2])1[(])1[(!21)()(dx x x m dx x P x P m m m m m k m ?? -+---------=--1 1 )1(21211 1 221 1 )(2)(2])1[(])1[(])1[(])1[(])1[(])1[(dx x x x x dx x x m m m m m m m m m m m m =?-+----1 1)1(212])1[(])1[(dx x x m m m m =?----=1 1 )2(22])1][()1[()1(dx x x m m m m Λ= ? ---1 1 2])1[()!2()1(dx x m m m =?--1 2])1[()!2()1(2dx x m m m 六、J 是实数，,0,0>?>?δε当δ 2011年北京大学研究生入学考试 数学分析试题解答 SCIbird 说明：印象中根据当初论坛上的讨论，北大2011年试题的回忆版与原题多少有些出入，这里根据自己的理解来确定试题。因为对试卷回忆版第5题搞不清楚，所以略去此题。其它试题解答，比较基础的试题就写得相对简略一些，难一些的试题就写得详细一些。试题后的评注是个人对试题的看法。 1. 用确界存在定理证明，如果函数()f x 是区间I 上的连续函数，则()f I 是一个区间。 证明：为证明()f I 是一个区间，实际上只需要证明连续函数具有价值性质即可。 不妨只考虑()()f a f b <情形，其它情况同理。 任取实数c ，满足()()f a c f b <<下面利用确定存在定理证明(,)a b ξ?∈，使得()f c ξ=. 所用方法非常经典，读者最好熟记此方法。 记集合[,]:{()}S t f a b t c ∈=<，因为()f a c <，所以a S ∈，因此如此定义的集合非空。由确界存在定理知，上确界sup S ξ=存在且。由()f x 连续函数，所以()f c ξ≤且a b ξ<<. 下证()f c ξ=： 采用反证法。假设()f c ξ<，因为ξ是内点，所以由连续函数的局部保号性可知存在ξ的一个邻域(,)[,]U a b ξδξδ=?+?，使得在U 上满足()f x c <，特 别地1 2 ()f c ξδ+<，这与sup S ξ=是上确界的定义矛盾！所以()f c ξ=. 评注：上面的证明是标准的，读者应该熟练掌握“连续函数取上确界”这种技巧，2009年北大数学分析压轴题的证明方法也取上确界。印象中北大考研的数学分析试题必有一道试题涉及实数系那几个基本定理的等价性证明或者应用，属于送分题，但前提是你认真准备过。 实数系基本定理有好几个，但在解题或科研中，最常用的是确界存在原理和闭区间套定理。特别在处理涉及连续函数的1维问题时，确界存在原理往往起到奇兵作用。2011年北京大学数学分析试题解答
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