平方根与立方根_培优专题训练
平方根与立方根
【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x
时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。因此：
1.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；
2.当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x
±=。 3.当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
例1.
（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；16的平方根是
（4）当x 时，x 23－有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？
【算术平方根】：
（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，
a 称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。
（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：
a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。 例2.
（1）下列说法正确的是 （ ）
A ．1的立方根是1±；
B ．
24±=； （C ）、81的平方根是3±； （ D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ）
A 、
981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235=- （3）2)3(-的算术平方根是 。（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足
0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。 （6）已知：A=y x y x -++3是3++y x 的算术平方根，B=322+-+y x y x 是y x 2+的立方根。求A －B 的平方根。
（7）（提高题）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。求x － y 的值.
【立方根】
（1）如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。记做：3a ，读作，3次根号a 。注意：这里的3表示的是
根指数。一般的，平方根可以省写根指数，但是，当根指数在两次以上的时候，则不能省略。
（2）平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。 例3.
（1）64的立方根是
（2）若9.28,89.233==ab a ，则b 等于（ ） A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000
（3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±。
其中正确的有 （ ）A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 追踪练习：
一.选择
1、若a x =2，则（ ） A 、x>0 B 、x≥0 C 、a>0 D 、a≥0
2、一个数若有两个不同的平方根，则这两个平方根的和为（ ）
A 、大于0
B 、等于0
C 、小于0
D 、不能确定
3、一个正方形的边长为a ，面积为b ，则（ ）
A 、a 是b 的平方根
B 、a 是b 的的算术平方根
C 、b a ±=
D 、a b =
4、若a≥0，则24a 的算术平方根是（ ） A 、2a B 、±2a C 、a 2 D 、| 2a |
5、若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ） A 、0
6、若n 为正整数，则
121+-n 等于（ ） A 、-1 B 、1 C 、±1 D 、2n+1 7、若a<0，则a a 22
等于（ ） A 、21
B 、21-
C 、±21
D 、0
8、若x-5能开平方，则x 的取值范围是（ ） A 、x≥0 B 、x>5 C 、x≥5 D 、x≤5
9、下列说法：①一个数的平方根一定有两个；②一个正数的平方根一定是它的算术平方根；③负数没有立方根．其中正确的个数有（）
A ， 0个
B ，1个
C ，2个
D ，3个
10、若一个数的平方根与它的立方根完全相同，则这个数是（） A ， 1 B ， －1 C ， 0 D ，±1, 0
11、 若ｘ使（ｘ－1）2＝4成立，则ｘ的值是（ ）A ，3 B ，－1 C ，3或－1 D ，±2
12、如果a 是负数，那么2a 的平方根是（ ）．A ．a B ．a - C ．a ± D ．a ±
13、使得2a -有意义的a 有（ ）．A ．0个 B ．1个 C ．无数个 D ．以上都不对
14、下列说法中正确的是（ ）．
A ．若0a
<，则20a < B ．x 是实数，且2x a =，则0a > C ．x -有意义时，0x ≤ D ．0.1的平方根是0.01±
15、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是（ ）．A ．2 B ．±2 C ．4 D ．±4
16、若22(5)a =-，33(5)b =-，则a b +的所有可能值为（ ）
． A ．0 B ．-10 C ．0或-10 D ．0或±10 17、若10m -<<，且3n m =，则m 、n 的大小关系是（ ）．
A ．m n >
B ．m n <
C ．m n =
D ．不能确定
18、27-的立方根与
81的平方根之和是（ ）．A ．0 B ．6 C ．－12或6 D ．0或－6 19、若a ，b 满足23|
1|(2)0a b ++-=，则ab 等于（ ）．A ．2 B ．12 C ．-2 D ．-12
20、下列各式中无论x 为任何数都没有意义的是（ ）．
A ． 7x -
B ．31999x -
C ．20.11x --
D ．3265x --
二，填空 1、2(4)-的平方根是 ，35
±是 的平方根． 2、在下列各数中0，254，31()3--，2(5)--，222x x ++，|1|a -，||1a -，16有平方根的个数是 个． 3、 144的算术平方根是 ，
16的平方根是 ； 4、 327= ， 64-的立方根是 ； 5、 7的平方根为 ，21.1= ；
6、一个数的平方是9，则这个数是 ，一个数的立方根是1，则这个数是 ；
7、平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ；
8、当x= 时，
13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义； 9、若164=x
，则x= ；若813=n ，则n= ； 10、若
3x x =，则x= ；若x x -=2，则x ； 11、若0|2|1=-++y x ，则x+y= ；
12、计算：381264
273292531+-+= ； 13、代数式3a b --
+的最大值为 ，这是,a b 的关系是 ． 14、若
335x =-，则x = ，若3||6x =，则x = ． 15、若33(4)4k k -=-，则k 的值为 ．
16、若101n n <<+，81m m <-<+，其中m 、n 为整数，则m n += ．
17、若m 的平方根是51a +和19a -，则m = ．
三、解答题
18、解方程：（1）0324)
1(2=--x （2） 125－8ｘ3＝0 （3 ） 264(3)90x --=
（4）
2(41)225x -= （5 ） 31(1)802x -+= （ 6 ） 3125(2)343x -=-
（7） 233(1)8|13|-+--- （8）23151()(1)(1)393
----
（9） 3712 1.758-÷- （10） 3331513432782125
--+--
11、已知312x -，332y -互为相反数，求代数式12x y
+的值．
12、已知a b x M +=
是M 的立方根，36y b =-是x 的相反数，且37M a =-，请你求出x 的平方根．
13、若22
442
x x y x -+-=+，求2x y +的值．
14、已知
34x =，且2(21)30y x z -++-=，求x y z ++的值．
15、已知：ｘ－2的平方根是±2, 2ｘ+ｙ+7的立方根是3，求ｘ2+ｙ2的平方根．
16、若
12112--+-=x x y ，求x y 的值。
(完整版)平方根与立方根一对一辅导讲义(可编辑修改word版)
教学目标1.了解一个数的平方根和算术平方根的意义，理解和掌握平方根的性质； 2.会求一个非负数的平方根、算术平方根； 3.掌握立方根的意义，会求一个数的立方根； 4.理解开立方与立方的关系。 重点、难点重点：算术平方根、平方根以及立方根的概念和性质。 难点：算术平方根与平方根的区别与联系。 考点及考试要求以考查对平方根、算术平方根、立方根的概念的理解程度和估算为主 教学内容 第一课时平方根与立方根知识梳理 课前检测 1、求下列各数的算术平方根： ⑴100 ⑵49 ⑶1 7 ⑷0.0001 ⑸0 64 9 2、求下列各式的值： （1） 4 （2）49 （3）( 11)2（4）62 81
a + 1 b - 1 a 知识梳理 3、算术平方根等于本身的数有 。 4、求下列各数的算术平方根. 0.0025 ， 121， 42 ， (- 1 )2 ，1 9 2 16 5、已知 + = 0, 求a + 2b 的值. 一. 平方根： 1. 算术平方根的概念及表示方法 如果一个正数 x 的平方等于a ，即 x 2 = a ，那么这个正数 x 叫做a 的算术平方根。当a ≥ 0 时， a 的算术平方根记为 ，读作“根号a ”， a 叫做被开方数。 2. 平方根的概念及其性质 （1） 平方根的定义 如果一个数的平方等于a ，即 x 2 = a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。即如果 x 2 = a ，那
a 典型例题 么 x 叫做a 的平方根。 （2） 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是0；负数没有平方根。当a ≥ 0 时，a 的平方根表示为± 。 （3） 求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数。 3. 用计算器求一个正数的算术平方根 用计算器可以求出任何一个正数的算术平方根（或其近似值）。 二. 立方根： 1. 立方根的概念及表示方法 如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。即如果 x 3 = a ，那么 x 叫做a 的立方根，记作 3 a 。正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0 的立方根是 0。 2. 开立方的概念 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算。 3. 用计算器求立方根 很多有理数的立方根是无限不循环小数，我们可用计算器求出它们的近似值。 第二课时 平方根与立方根典型例题 知识点一：算术平方根 例 1. 下列各数有算术平方根吗？如果有，求出它的算术平方根；如果没有，请说明理由。 （1）81； （2） -16 ； （3）0； （4） 25 ； （5） (-2)2 ； （6） (-2)3 。 4 思路分析：根据“正数和 0 都有算术平方根，负数没有算术平方根”知，（1）、（3）、（4）、（5）
实数培优题
实数培优题 【知识点精讲】 1，有关平方根、立方根的概念及运算中稍加综合的题目。 2，一些较为简单的关于平方根、立方根的应用问题。 【解题方法指导】 例1，已知 a ?b +1 + 2a ?3b ?4=0，求4a +b 2的立方根。 例2，计算： ?2 3× ?4 2+ ?4 33× ?12 2 ? 81 例3，求10×11×12×13+1的平方根。 【典型例题分析】 例1，已知M = a +32a ?b+4是a +3的算术平方根，N = b ?3a +2b ?3的立方根，试 求M-N 的值。
例2，一个自然数的一个平方根是m，求比它大1的自然数的平方根。例3，已知3x+16的立方根是4，求2x+4的平方根。 例4，已知10404=102，x=0.102。则x等于（） A 10.404 B 1.0404 C 0.10404 D 0.010404 例5，（1）已知a是m（m≠0）的平方根，求m的算术平方根。 3=n2，那么x有意义吗？如果有意义，数值等于多少？（2）如果x （3）已知?90x是一个正整数，那么x可取的最大整数值是多少？ 例6，求5? ?x2+4的最大值和最小值。
【综合测试】 A 卷 1，等式 a+3 2a+3=?1成立的条件是 。 2，当x 为 时，它的算术平方根比x 大。 3，计算： ?183 ? 0.25 3+ ? 2.89 2? 1 64?13 4，代数式11? a 在实数范围内有意义的条件是 。 5，如果a 是非零实数，则下列格式中一定有意义的是（ ） A a B 2 ?a C 2 D 1 a 2 6，若x ?12+ =x ?12+x ?5，则x 的取值范围是 。 7，一个等腰三角形的两条边长分别为5 3和3 2，则此等腰三角形的周长是多少？ B 卷 1，下列说法错误的是（ ） A a 2和 ?a 2相等 B a 2和 ?a 2互为相反数 C a 3和 ?a 3是互为相反数 D a 和 ?a 互为相反数 2，若 a 2=?a ，则实数a 在数轴上的对应点一定在（ ） A 原点左侧 B 原点右侧 C 原点或原点左侧 D 原点或原点右侧 3，一个正方形的面积变为原来的m 倍，则边长变成原来的 倍；一个立方体的体积变为原来的n 倍，则棱长变为原来的 倍。 4，已知a ，b 满足 2a +8+ b ? 3 =0，解关于x 的方程 a +2 x +b 2=a ?1. 5，已知y =2+1.求xy 的平方根。 6，（1）当a<0时，化简： a 2?a a 的结果是 。 （2）化简 m ?1 ?1 m ?1的结果是 。 7，当x<2时， 2?4x +4= ；若x>1时， 1x 2+x 2?2= 。
平方根和立方根培优练习题
平方根和立方根 典例剖析 1． 请你观察思考下列计算过程： 211121= ，11=；同样，211112321= ；111=；… 2．（1）比较2，3 （2 2.3的大小 3．（1）一个正方体盒子棱长为6cm ，现在要做一个体积比原正方体体积大1273 cm 的新盒子，求新盒子的棱长。 （2）一个正方体的体积变为原来的8倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的1000倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的n 倍呢？ 4的大小。
5a ，小数部分为b ，求22 a b -的值。 培优训练 1．计算：（124++-+ （2）81214150232-+- 2．已知21a -的平方根是3±，31a b +-的算术平方根是4，求2a b +的平方根。 3．已知m ，n 是有理数，且2)(370m n +-+=，求m ，n 的值。 4．设a ，b 是有理数，且满足(21a +=，求b a 的值。 5．已知a ，b ，c 满足等式：16(,0)a b c =≥≥，且x =，求x 的取值范围。
6 ．已知19932(4a x a -=+，求x 的个位数字。 7 ．已知9 9x ，y ，你能求出32x y +的值吗？试试看。 8 6y =，试求x y 的平方根。 9．△ABC 的三边长为a 、b 、c ，a 和b 2440b b -+=，求c 的取值范围。 10．有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1或0。其中错误的是哪几个？并简要说明原因。 11 0=，求7()20x y +-的立方根。 12． 已知x A =3x y ++ 的算术平方根，2x B -=是2x y +的立方根，试求B A -的立方根。
平方根与立方根基础练习题(B卷)
平方根与立方根练习题（B 卷） 一、填空题： 1、144的算术平方根是 ，16的平方根是 ； 2、3 27= ， 64-的立方根是 ； 3、7的平方根为 ，21.1= ； 4、一个数的平方是9，则这个数是 ，一个数的立方根是1，则这个数是 ； 5、平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ； 6、当x= 时，13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义； 7、若164 =x ，则x= ；若813=n ，则n= ； 8、若3x x =，则x= ；若x x -=2，则x ； 9、若0|2|1=-++y x ，则x+y= ； 10、计算： 381264 27 3292531+-+= ； 二、选择题 11、若a x =2，则（ ） A 、x>0 B 、x ≥0 C 、a>0 D 、a ≥0 12、一个数若有两个不同的平方根，则这两个平方根的和为（ ） A 、大于0 B 、等于0 C 、小于0 D 、不能确定 13、一个正方形的边长为a ，面积为b ，则（ ） A 、a 是b 的平方根 B 、a 是b 的的算术平方根 C 、b a ±= D 、a b = 14、若a ≥0，则24a 的算术平方根是（ ） A 、2a B 、±2a C 、a 2 D 、| 2a | 15、若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ） A 、0
9平方根与立方根 (一对一)
师：大家从小学就开始接触正方形，同学们知道它们的面积怎么算吗？ 生：回答 师：大家都知道已知边长的正方形面积如何计算，那么给大家面积同学们能够告诉老师它的 边长吗？请说出面积为4cm 2、16cm 2、25cm 2正方形的边长吗？ 生：回答 师：前面给出的数据都是有规律的平方数，如果正方形面积是10cm 2、20cm 2，同学们怎么去计算正方形的边长？这就是下面我们要学习的内容 1．算术平方根 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2 x a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方 根. a 的算术平方根记为______，读作________，a 叫做__________. 规定：0的算术平方根是 _____. 平方根及立方根
2. 平方根 一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根. 这就是说，如果2x a =，那么______叫做_________的平方根. a 的算术平方根记为______，读作________，a 叫做__________. 求一个数a 的平方根的运算，叫做_________. 3．立方根 （1）定义： 一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根. 这就是说，如果3x a =，那么______叫做_________的平方根. 求一个数的立方根的运算，叫做_________. 一般地，33a a -=-. （2）性质： 正数的立方根是_____数；负数的立方根是_____数；0的立方根是_____ （20-40分钟） 平方根与算数平方根 【典题导入】【亮点题】 例一、1.44的算术平方根为 ，13的算术平方根为 ，2(7)-的算术平方根为 ； 例二、若一个数的算术平方根是6，则这个数为 ；6是 的算术平方根 例三、求下列各数的算术平方根: （1） 6449 （2）917 （3）43- （4） |-25 24 1| 【小试牛刀】 考点1
华师大版八年级数学上培优状元笔记11.1平方根与立方根(含答案)
第11章 数的开方 11.1平方根与立方根 专题一 算术平方根与绝对值的综合运用 1. 20b -=，则2013()a b +=______. 2. 已知a 、b 满足7b =，求a b -的平方根. 3. 如果1x y -+3x y +的算术平方根. 专题二 被开方数中字母的取值问题 4. 已知△ABC 的三边长分别为a b c ，，，2690b b -+=，求c 的取值范围. 5.在学习平方根知识时，老师提出一个问题： 中的m 的取值范围相同吗？小明说相同，小刚说不同，你同意谁的说法？说出你的理由. 6.
专题三（算术）平方根与立方根的规律探究 6. === n≥的代数式表示出来. 的规律用含自然数n(1) 7. n>）的等式来表示你发现的规律吗？（1）你能用含有n（n为整数，且1 （2的关系.
状元笔记： [知识要点] 1. 平方根与立方根 =，那么x就叫做a的平方根. （1）一般地，如果2x a （2）一个正数a a的算术平方根. =，那么x就叫做a的立方根. （3）一般地，如果3x a 2. 性质 （1）平方根的性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②0只有一个平方根，是0本身；③负数没有平方根. （2 a≥； ①被开方数a非负，即0 ≥. （3）立方根的性质： ①一个正数有一个正的立方根； ②一个负数有一个负的立方根； ③0的立方根是0. [温馨提示] 1. 负数没有平方根，但是它有立方根. 2. 注意利用绝对值、算术平方根的非负性求解. [方法技巧] 体会从一般到特殊的数学思想，从中得到规律.
参考答案 1. 1- 【解析】 0=，20b -=，即3a =-，2b =. ∴2013()a b +=2013(32)1-+=-. 2. 解：根据算术平方根的意义，得9090a a -≥?? -≥?， ∴9a =，7b =-， ∴16a b -=. 故a b - 的平方根是4±. 3. 解：根据题意得10x y -+=，即1050x y x y -+=?? +-=?，解得23x y =??=?. ∴33239x y +=?+=， ∴3x y +的算术平方根是3. 4. 0，2269(3)0b b b -+=-≥2690b b -+=， 0=，2(3)0b -=， ∴1a =，3b =.由三角形三边关系得a b c a b -<<+， ∴24c <<. 5. 解：同意小刚的说法.中，020 m m ≥??->?，得2m >； 020m m ≥??->?，或020m m ≤??-，或0m ≤. m 的取值范围是不同的，故小刚的说法正确.
平方根和立方根知识点
平方根: 概括1：一般地，如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根(或二次方根)。就是 说，如果x 2 ＝a,那么x 就叫做a 的平方根。 如：23与－23都是529的平方根。 因为(±23)2 ＝529，所以±23是529的平方根。 问：（1）16，49，100，1 100都是正数，它们有几个平方根?平方根之间有什么关系? （2）0的平方根是什么? 概括2：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没 有平方根。 知识点二： 概括3：求一个数a(a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方。 开平方运算是已知指数和幂求底数。平方与开平方互为逆运算。一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0的平方是0。但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0的平方根是0。负数没有平方根。 因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。 知识点三： （1）625的平方根是多少？这两个平方根的和是多少？ －7和7是哪个数的平方根？ 正数m 的平方根怎样表示？ （2）下列各数的平方根各是什么？ 64； 0； (－0.4)2 ； )3 21(-（3）已知正方形的面积等于a, 3、例题讲解： 例1、求下列各数的平方根： (1)81； (2)1916； (3)0.09 例2、下列各数有平方根吗? 如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由。 (1)－64； (2)0； (3)( - 例3、求下列各式的值： (1)10000； (2)144-；(4)0001.0-； (5)81 49±
平方根与立方根培优专题训练
平方根与立 方根 【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。因此： 1.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身； 2.当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。 3.当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。 例1. （1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。 （3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （4）当x 时，x 23－有意义。 （5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 【算术平方根】： （1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中， a 称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。 （2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。 （3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为： a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。 例2. （1）下列说法正确的是 （ ） A ．1的立方根是1±； B ． 24±=； （C ）、81的平方根是3±； （ D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ） A 、 981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235=- （3）2)3(-的算术平方根是 。（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。 （5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足 0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。 （6）已知：A=y x y x -++3是3++y x 的算术平方根，B=322+-+y x y x 是y x 2+的立方根。求A －B 的平方根。 （7）（提高题）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。求x － y 的值. 【立方根】 （1）如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。记做：3a ，读作，3次根号a 。注意：这里的3表示的是 根指数。一般的，平方根可以省写根指数，但是，当根指数在两次以上的时候，则不能省略。 （2）平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。 例3. （1）64的立方根是??????????? （2）若9.28,89.233==ab a ，则b 等于（ ） A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000 （3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±。 其中正确的有 （ ）A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
平方根和立方根培优练习题汇编
学习-----好资料 平方根和立方根 姓名：分数： 1?请你观察思考下列计算过程： 7112=121，. V2A =11 ;同样，；1112 =12321 ； . ,12321 =111 ;??? 由此猜想.12345678987654321的值是多少？ 2?不用计算器（1）比较2, 3, 3 20的大小（2）比较与2.3的大小（3）试比较315与6的大小。*3 .已知.29的整数部分为a，小数部分为b，求3a-2b的值。 *4 ?计算：|运+ 石—2〔+|—4 + 72+73 5?已知2a -1的平方根是-3 , 3a b -1的算术平方根是4，求a 2b的平方根。 6.已知m , n是有理数，且C-5 2）m ? （3 -2、、5）n ^0，求m , n的值。 7.已知实数m满足2009-m +Jm - 2010 =m那么m-2009 2=( ) A 2008 B 2009 C 2010 D 2007 —2a xi a —3+J3—a 1993 8.已知x=（寸），求x的个位数字。
9.已知9 ■7与9 - -、7的小数部分分别为x , y，你能求出3x 2y的值吗?
学习-----好资料 10. 若.2 -x -2 -y =6，试求y x 的平方根。 11. 已知一个自然数的算术平方根是 a,则该自然数 的下一个自然数的算术平方根是( ) 13.已知x y 3是x y - 3的算术平方根，B = x ^y 3 x 2y 是x 2y 的立方根，试求B - A 的 立方根。 *13.观察右图，每个小正方形的边长均为 1, (1) 图中阴影部分的面积是多少？边长是多少? (2) 估计边长的值在哪两个整数之间。 *12 .已知实数 5 5 5 5的小数部分为a , 7 5 7 — 小数部分为b ，求7a+5b 的值。 12.已知 J y 2x +x 求7(x ? y) -20的立方根。
平方根和立方根知识点总结及练习
【基础知识巩固】 一、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 （1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即： 如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根． （2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。 （3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3 （4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算 （5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根； 正数a 的负的平方根可用-a 表示． （6）a x =2 <—> a x ±= a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x 2、算术平方根 （1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，2 个正数x 叫做a 的算术平方根．a “根号 a”，a 叫做被开方数． 规定：0的算术平方根是0. 也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。 （2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数； 当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。 （3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大； 当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。 一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如错误!未找到引用源。=5，错误!未找到引用源。=50。 （4）夹值法及估计一个（无理）数的大小 （5）a x =2 (x≥0) <—> a x = a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x （6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a
平方根和立方根培优练习题
平方根和立方根 1.请你观察思考下列计算过程： 211121=Q ，11=；同样，211112321=Q ；111=；… 2.不用计算器（1）比较2，3 （2） 2.3的大小 （3）的大小。 *3的整数部分为a ，小数部分为b ，求3a-2b 的值。 *424+-+-+ 5．已知21a -的平方根是3±，31a b +-的算术平方根是4，求2a b +的平方根。 6．已知m ，n 是有理数，且2)(370m n +-+=，求m ，n 的值。 7．已知实数m 满足m -2009+2010-m =m ,那么m -20092=（ ） A 2008 B 2009 C 2010 D 2007 8．已知19932(4a x a -=+，求x 的个位数字。 9．已知9+9x ，y ，你能求出32x y +的值吗？
10．若226x x y -+--=，试求x y 的平方根。 11.已知一个自然数的算术平方根是a,则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ） 12．已知 222505y x x x -+-=-，求7()20x y +-的立方根。 13．已知3x y A x y -=++是3x y ++的算术平方根，232x y B x y -+=+是2x y +的立方根，试求B A -的立方根。 *12．已知实数755+的小数部分为a ，7 5-5小数部分为b ，求7a+5b 的值。 *13.观察右图，每个小正方形的边长均为1， （1）图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？ （2）估计边长的值在哪两个整数之间。 14设333200320042005x y z ==，0xyz >， 且2223333200320042005200320042005x y z ++=++， 求111x y z ++的值。
(完整版)平方根和立方根经典讲义
内容 基本要求 略高要求 较高要求 平方根、算术平方根 了解平方根及算术平方根的概念， 会用根号表示非负数的平方根及算术平方根 会用平方运算求某些非负数的平方根 立方根 了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根 会用立方根运算求某些数的立方根 实数 了解实数的概念 会进行简单的实数运算 实数可按下图进行详细分类： 0?????????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ????? ????? 正整数整数负整数有理数 有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 实数与数轴上的点一一对应 . (以下概念均在实数域范围内讨论 ) 平方根的定义及表示方法： 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根． 也就是说，若 2x a =，则x 就叫做a 的平方根． 一个非负数 a 的平方根可用符号表示为 “ a ”． 算术平方根： 一个正数a 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a 的算术平方根，可用符号表示为 a ； 有一个平方根，就是0， 0的算术平方根也是0 ，负数没有平方根，当然也没有算术平方根 . 知识点睛 中考要求 平方根和立方根
一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若0a ≥0a . 平方根的计算： 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方． 开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根． 通过验算我们可以知道： ⑴ 当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)． ⑵ 平方根和算术平方根与被开方数之间的关系： ①若0a ≥，则2()a a =；②不管a 2(0) ||(0)a a a a a a ≥?==?-
平方根与立方根培优练习题
平方根与立方根培优练习题 一、 选择题 1、一个正方形的边长为a ，面积为b ，则（ ） A 、a 是b 的平方根 B 、a 是b 的的算术平方根 C 、b a ±= D 、a b = 2、若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ） A 、0
人教七年级下册平方根与立方根的知识要点归纳
人教版七年级下册平方根与立方根的知识要点归纳 【知识要点】 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。 2. 如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±a” （a称为被开方数）。 3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 4. 平方根和算术平方根的区别与联系： 区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。 联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。（3）0的算术平方根与平方根同为0。 5. 如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“3a” （a称为被开方数）。 6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 8. 立方根与平方根的区别： 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0. 9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小）倍，算术平方根扩大（或缩小）倍，例如. 10.平方表：（自行完成） 题型规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 30有意义的条件是a≥0。 4、公式：⑴2=a（a≥0）=a取任何数）。 5、区分)2=a（a≥0），与2a=a
6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
人教版 七年级下册第六章 实数— 平方根立方根讲义设计
平方根；立方根 一、学习目标： 1. 了解一个数的平方根和算术平方根的意义，理解和掌握平方根的性质； 2. 会求一个非负数的平方根、算术平方根； 3. 掌握立方根的意义，会求一个数的立方根； 4. 理解开立方与立方的关系。 二、重点、难点： 重点：算术平方根、平方根以及立方根的概念和性质。 难点：算术平方根与平方根的区别与联系。 三、考点分析： 中考命题以考查对平方根、算术平方根、立方根的概念的理解程度和估算为主，多以选择题和填空题的形式出现，试题的难度不大，只要对平方根、算术平方根、立方根的有关概念和性质熟练掌握，就能解决中考试题，比较容易得分。 一. 平方根： 1. 算术平方根的概念及表示方法 如果一个正数x的平方等于a，即2x a a≥ =，那么这个正数x叫做a的算术平方根。当0 时，a a”，a叫做被开方数。 2. 平方根的概念及其性质 （1）平方根的定义 如果一个数的平方等于a，即2x a =，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即如果2 =，那么x叫做a的平方根。 x a （2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。当 a≥时，a的平方根表示为。
（3）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。 3. 用计算器求一个正数的算术平方根 用计算器可以求出任何一个正数的算术平方根（或其近似值）。 二. 立方根： 1. 立方根的概念及表示方法 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果3x a =，那 么x叫做a的立方根，记作0的立方根是0。 2. 开立方的概念 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算。 3. 用计算器求立方根 很多有理数的立方根是无限不循环小数，我们可用计算器求出它们的近似值。 知识点一：算术平方根 例1.下列各数有算术平方根吗？如果有，求出它的算术平方根；如果没有，请说明理由。 （1）81；（2）16 -；（3）0； （4）25 4 ；（5）2 (2) -；（6）3 (2) -。 思路分析：根据“正数和0都有算术平方根，负数没有算术平方根”知，（1）、（3）、（4）、（5）有算术平方根，（2）、（6）没有算术平方根。 解答过程：（1）因为81是正数，所以它有算术平方根。又因为2981 =，所以81的算术平方根是9； （2）因为16 -是负数，所以它没有算术平方根； （3）0有算术平方根，就是0； （4）因为25 4 是正数，所以它有算术平方根。又因为2 525 () 24 =，所以 25 4 的算术平方根 是5 2 ；
2020-2021学年沪科版七年级数学下册6.1平方根、立方根专题培优训练卷(有答案)
2020-2021沪科版七年级数学下册第6章6.1平方根、立方根 专题培优训练卷 一、选择题 1、下列说法正确的是（ ） A ．﹣6是36的算术平方根 B ．±6是36的算术平方根 C ．6是36的算术平方根 D ．6 是36的算术平方根 2、下列语句、式子中①4是16的算术平方根，即164±=②4是16的算术平方根，即164= ③-7是49的算术平方根，即2(7)7.-=④7是2 (7)-的算术平方根，即2(7)7.-= 其中正确的是（ ） A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．①④ 3、（﹣0.09）2 的平方根是________ 4、下列各式正确的是（ ） A ．2(5)5-=- B ．2(15)15--=- C ．2(5)5-=± D ．38-2= 5、一个自然数的立方根为a ，则下一个自然数的立方根是（ ） A ．a +1 B ．3 1a + C ．331a + D ．a 3+1 6、38的算术平方根是（ ） A ．2 B ．±2 C ．2 D ．2± 7、下列说法：①±3都是27的立方根；② 116的算术平方根是±1 4 ；③﹣38-＝2；④16的平方根是±4；⑤﹣9是81的算术平方根，其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8、已知x 没有平方根，且|x|=125，则x 的立方根为（ ） A. 25 B. ﹣25 C. ±5 D. ﹣5 9、下列各组数中，互为相反数的一组是( ) A ．－3与（－3）2 B.（－3）2与－13 C ．－3与3－27 D.3 27与|－3| 10、下列说法错误的是( ) A ．a 2与(－a )2相等 B.a 与－a 互为相反数 C.3 a 与3－a 互为相反数 D ．|a |与－|a |互为相反数 二、填空题 11、16的算术平方根是_______，0.64-的算术平方根是_______ 12、若某数的两个平方根是a +1与a ﹣3，则这个数是 13、如果一个正数a 的两个不同平方根分别是2x ﹣2和6﹣3x ，则a ＝ ． 14、如果2a ﹣1和5﹣a 是一个数m 的平方根，则m 的值为 ． 15、若331a -与312b -互为相反数，则a b =_____． 16、若（x ﹣3）2+＝0，则x ﹣y ＝ ． 17、64 1 - 的立方根是 ． 18、计算：(1)3－127＝__________；(2)－31－7 8 ＝________ 19、－27的立方根与81的平方根之和是___________ 20、已知2a b -的平方根是3±，3a b +的立方根是1-，则a b += ． 三、解答题 21、计算： (1) 49144 1449 (2) 1681 (3) 13 16 4 (4) 4-+(－1) 2013 9 (5)－3278； (6)3 0.027； (7)34＋1727 .
数的开方(培优复习)
数的开方(培优复习)
数的开方（培优复习） 知识点睛 一、平方根 1. 平方根的含义 ２.平方根的性质与表示 a a =2=? ??-a a 0 <≥a a () a a =2 （0≥a ） a 的双重非负性 ≥a 且 ≥a （应用较广） Eg ：y x x =-+-44 得知0,4==y x （此题虽简单，但非 常典型，注意题目的特点） 区分：４的平方根为____ 4 的平方根为____ ____ 4= ４开平方后，得____ ３.计算a 的方法????? ? ???精确到某位小数 ＝非完全平方类 ＝ 完全平方类 773294 *若0>>b a ，则 b a > 二、立方根和开立方 １．立方根的定义
２. 立方根的性质 ３. 开立方与立方 ()a a =3 3 a a =3 3 33 a a -=- （a 取任何数） *０的平方根和立方根都是０本身。 三. 实数和数轴上的点的对应关系： 实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示． 数轴上的每一个点都可以表示一个实数． 在数轴上表示无理数通常有两种情况： 如；2 尺规可作的无理数 π 尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示 经典例题 例1．已知实数a 、b 、c 满足，2|a-1|+2b c +2 )2 1(-c =0,,求a+b+c 的值. 例2.若1 2112--+-=x x y ，求x ，y 的值。 例3.若 3 1 2-a 和 3 31b -互为相反数，求b a 的值。
例4.已知3 - - =x,求x取何值时，y有最大值。 y2+ 25 及时练习： 1．5 + =x x x，求x y的平方根和算术平方根。 - - 2 2 + y2+ 2．若a、b互为相反数，c、d互为负倒数，求33 3cd + a+ 8 b 的值。 3.已知2 -+++-=求的平方根。 x y x y z xz 2(4)20,()y
(完整版)平方根与立方根典型题大全
平方根与立方根典型题大全 一、填空题 1．如果9=x ，那么x ＝________；如果92=x ，那么=x ________ 2．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________； 3．算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________． 4.x ==则 ，若,x x =-=则 。 4．81的平方根是_______，4的算术平方根是_________，210-的算术平方根是 ； 5．当______m 时，m -3有意义；当______m 时，33-m 有意义； 6．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ； 7．21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________． 二、选择题 8.若2x a =，则（ ） A.0x > B. 0x ≥ C. 0a > D. 0a ≥ 8．2)3(-的值是（ ）． A ．3- B ．3 C ．9- D ．9 9．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ） A 、1 B 、9 C 、4 D 、5 10．如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 11．一个等腰三角形的两边长分别为25和32， 则这个三角形的周长是（ ） A 、32210+ B 、3425+ C 、32210+或3425 + D 、无法确定 12.若5x -能开偶次方，则x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥ B.5x > C. 5x ≥ D. 5x ≤
13.若n 为正整数,则2 ） A ．-1 B.1 C.±1 D.21n + 14.若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ） A.01a << B.0a > C. 1a < D. 1a > 三、解方程 12. 8)12(3-=-x 13．4(x+1)2=8 14. 2(23)2512x x -=- 四、解答题 15．已知：实数a 、b 满足条件0)2(12=-+-ab a 试求)2004)(2004(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab ΛΛ的值
实数典型例题培优)
实数典型问题精析（培优） 例1．（2009的相反数是（ ） A ． B C ．2- D ．2 分析：本题考查实数的概念――相反数，要注意相反数与倒数的区别，实数a 的相反数是-a ，选A .要谨防将相反数误认为倒数，错选D. 例2．（2009年江苏省中考题）下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：11122-??-+ ???；第2个数：2311(1)(1)1113234????---??-+++ ??? ??????? ； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456????????-----??-+++++ ??????? ??????????? ； ……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -??????----??-++++ ??? ? ?+???????? ． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（A ） A ．第10个数 B ．第11个数 C ．第12个数 D ．第13个数 解析：许多考生对本题不选或乱选，究其原因是被复杂的运算式子吓住了，不善于从复杂的式子中寻找出规律，应用规律来作出正确的判断.也有一些考生尽管做对了，但是通过写出第10个数、第11个数、第12个数、第13个数的结果后比较而得出答案的，费时费力，影响了后面试题的解答，造成了隐性失分.本题貌似复杂，其实只要认真观察，就会发现，从第二个数开始，减数中的因数是成对增加的，且增加的每一对数都是互为倒数，所以这些数的减数都是21，只要比较被减数即可，即比较14 1131121111、、、的大小，答案一目了然. 例3（荆门市）定义a ※b ＝a 2－b ，则(1※2)※3＝＿＿＿. 解 因为a ※b ＝a 2－b ，所以(1※2)※3＝(12－2)※3＝(－1)※3＝(－1)2－3＝－2.故应填上－2. 说明：求解新定义的运算时一定要弄清楚定义的含义，注意新定义的运算符号与有理数运算符号之间的关系，及时地将新定义的运算符号转化成有理数的运算符号. 例4（河北省）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、…，这样的数称为“正方形数”.从如图所示中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.下列等式中，符合这一规律的是（ ） A.13＝3+10 B.25＝9+16 C.36＝15+21 D.49＝18+31
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