2015年山东省高考文科数学试题及答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

数学（文科）

第I 卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、已知集合{}24A x x =<< ，()(){}

130B x x x =--< ，则A B =I

（A ）()1,3 （B ）()1,4 （C ）()2,3 （D ）()2,4 2、若复数z 满足1z i i

=- ，其中i 为虚数单位，则z = （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+

3、设0.6 1.50.60.6,0.6, 1.5a b c === ，则,,a b c 的大小关系是

（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）b a c << （D ）b c a <<

4、要得到函数sin 43y x π??=-

???的图象，只需将函数sin 4y x =的图象 （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右12

π平移个单位 （C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3

π个单位 5、设m R ∈ ，命题“若0m > ，则方程2

0x x m +-= 有实根”的逆否命题是

（A ）若方程20x x m +-=有实根，则0m >

（B ） 若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤

（C ） 若方程20x x m +-=没有实根，则0m >

（D ） 若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤

6、为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图。考虑以下结论:

①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气

温；

②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气

温；

③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气

温的标准差；

④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.

其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为

（A ） ①③ （B ） ①④ （C ） ②③ （D ） ②④

7、在区间[]0,2上随机地取一个数x ，则事件“1211log 12x ??-≤+≤ ??? ”发生的概率为 （A ）34 （B ）23 （C ）13 （D ）14

8、若函数()212x x f x a

+=- 是奇函数，则使()3f x > 成立的x 的取值范围为 （A ）(),1-∞- （B ）()1,0- （C ）()0,1 （D ）()1,+∞

9. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为

（A ）223π （B ）423

π （C ）22π （D ）42π 10.设函数()3,1,2,1,x x b x f x x -

若546f f ????= ? ????? ，则b = （A ）1 （B ）78 （C ）34 （D ）12

第II 卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）执行右边的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的y 的值是 .

（12）若,x y 满足约束条件1,3,1,y x x y y -≤??+≤??≥?

则3z x y =+ 的最

大值为 .

（13）过点()1,3P 作圆22

1x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA PB ?=u u u r u u u r .

（14）定义运算“? ”：()22

,,0x y x y x y R xy xy

-?=∈≠.当0,0x y >> 时，()2x y y x ?+?的最小值

为 .

（15）过双曲线()2222:10,0x y C a b a b

-=>> 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P ，若点P 的横坐标为2a 则C 的离心率为 .

16．（本小题满分12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的请况，数据如下表：

参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团

8 5 未参加演讲社团 2 30

（I ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；

（II ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学54321,,,,A A A A A ，3名女同学321,,B B B ，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求1A 被选中且1B 未被选中的概率。

17．（本小题满分12分）

AB C ?中，角C B,A,所对的边分别为c b a ,,，已知33cos =

B ， 32,96)sin(==

+ac B A ，求A sin 和c 的值. 18．（本小题满分12分）

如图，三棱台AB C -DEF 中，

2,,AB DE G H =分别为BC AC ,的中点，

（I ）求证：//BD 平面FGH ；

（II ）若BC AB BC CF ⊥⊥,，求证：平

面⊥BCD 平面FGH .

19．（本小题满分12分）

已知数列}{n a 是首项为正数的等差数列，

数列}1{1+n n a a 的前n 项和为1

2+n n 。 （I ）求数列}{n a 的通项公式；

（II ）设n a

n n a 2)1(b ?+=，求数列}{n b 的前n 项和n T .

20．（本小题满分13分）

设函数x e

x x g x a x x f 2

)(,ln )()(=+=，已知曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线02=-y x 平行，

（I ）求a 的值；

（II ）是否存在自然数k ，使的方程)()(x g x f =在)1,(+k k 内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；

（III ）设函数),)}(min((),(min{)(q p x g x f x m =表示q p ,中的较小值），求)(x m 的最大值.

21. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的离心率为23，且点)2

1,3(在椭圆C 上， （I ）求椭圆C 的方程；

（II ）设椭圆144:22

22=+b

y a x E ，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线m kx y +=交椭圆E 于B A ,两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ，

（i ）求OP OQ

的值；

（ii ）求ABQ ?面积的最大值。