直线与圆专题讲义 教师版
一、 知识梳理
1．点到直线距离公式：
点),(00y x P 到直线:0l ax by c ++=的距离为：002
2
ax by c d a b
++=+
2.已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为
1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，
则1l 与2l 的距离为2
2
21B
A C C d +-=
3．两条直线的位置关系：
直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注
2
22111::b x k y l b x k y l +=+= 21,21b b k k ≠= 121-=?k k 21,l l 有斜率
4. 已知l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0，则l 1 ⊥l 2的充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0。 5．圆的方程：
⑴标准方程：①222)()(r b y a x =-+- ；②222r y x =+ 。 ⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x （)0422>-+F E D
注：Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆?A=C≠0且B=0且D 2+E 2－4AF>0； 6．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。 7．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法） ⑴点与圆的位置关系：（d 表示点到圆心的距离）
①?=R d 点在圆上；②?
①?=R d 相切；②? 9. 过圆x 2+y 2=r 2上的点M(x 0,y 0)的切线方程为：x 0x+y 0y=r 2; 10. 以A(x 1，y 2)、B(x 2,y 2)为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)+(y －y 1)(y －y 2)=0; 教学内容 二、课堂训练 1.（最值问题）已知实数x 、y 满足方程01422=+-+x y x ， （1）求 x y 的最大值和最小值； （2）求y x -的最大值和最小值； （3）求22y x +的最大值和最小值。 【小结】：方程求最值首推几何法，几何法应用的前提是要熟练的掌握所求表达式的几何含义。 2.（位置关系）设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(2 2 =-+-y x 相切，则n m +的取值范围是（） 【小结】：直线与圆锥曲线相切条件一般情况下需要联立方程令，而对于圆可特殊的表示为点到直线 的距离。 3.（对称问题）圆4)1()3(:2 21=++-y x C 关于直线0=-y x 对称的圆2C 的方程为:( ) A. 4)1()3(22=-++y x B. 4)3()1(2 2=-++y x C. 4)3()1(2 2 =++-y x D. 4)1()3(2 2 =++-y x 【思考】：圆关于直线的对称问题实际上是求圆心关于直线的对称点，那直线关于直线的对称问题？ 4.（图像法）若曲线21x y -=与直线b x y +=始终有两个交点，则b 的取值范围是__________. 5.（定点问题）圆C ：(x －1)2＋(y －2)2 ＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4 (m ∈R)． (1)证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒相交于两点； (2)求⊙C 与直线l 相交弦长的最小值． [解析] (1)将方程(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4，变形为(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0. 直线l 恒过两直线2x ＋y －7＝0和x ＋y －4＝0的交点， 由? ???? 2x ＋y －7＝0x ＋y －4＝0得交点M (3,1)． 又∵(3－1)2＋(1－2)2 ＝5<25，∴点M (3,1)在圆C 内，∴直线l 与圆C 恒有两个交点． (2)由圆的性质可知，当l ⊥CM 时，弦长最短． 又|CM |＝(3－1)2＋(1－2)2 ＝5， ∴弦长为l ＝2r 2－|CM |2 ＝225－5＝4 5. 【小结】：求直线与圆锥曲线相交弦长一般情况下需要联立方程计算 ，而对于圆可特殊的利用 进行计算。 6.已知过点()3,3M --的直线l 与圆224210x y y ++-=相交于,A B 两点， （1）若弦AB 的长为215，求直线l 的方程； （2）设弦AB 的中点为P ，求动点P 的轨迹方程． 解：（1）若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为3x =-，此时有24120y y +-=，弦 ()||||268 A B AB y y =-=--= ，所以不合题意． 故设直线l 的方程为()33y k x +=+，即330kx y k -+-=． 将圆的方程写成标准式得()2 2 225x y ++=，所以圆心()0,2-，半径5r =． 圆心()0,2-到直线l 的距离2 |31|1 k d k -= +，因为弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形，所以 () ()2 2 23115 251 k k -+ =+，即()2 30k +=，所以3k =-． 所求直线l 的方程为3120x y ++=． （2）设(),P x y ，圆心()10,2O -，连接1O P ，则1O P ⊥AB ．当0x ≠且3x ≠-时，11O P AB k k ?=-，又(3) (3) AB MP y k k x --== --， 则有()()()23103y y x x ----?=----，化简得2 2 355222x y ????+++= ? ????? ． ．．．．．（1） 当0x =或3x =-时，P 点的坐标为()()()()0,2,0,3,3,2,3,3------都是方程（1）的解，所以弦AB 中点P 的轨迹方程为22 355222x y ? ???+++= ? ?? ???． 【切点弦方程： 过圆2 2 2 )()(:r b y a x C =-+-外一点),(00y x P 作圆C 的两条切线方程，切点分别为 B A ,,则切点弦AB 所在直线方程为：200))(())((r b y b y a x a x =--+--】 7．过点C (6，－8)作圆x 2 ＋y 2 ＝25的切线于切点A 、B ，那么C 到两切点A 、B 连线的距离为( ) A ．15 B ．1 C.15 2 D ．5 【切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项， 即 PD PC PT ?=2 】 8. 自动点P 引圆1022=+y x 的两条切线PB PA ,，直线PB PA ,的斜率分别为21,k k 。 （1）若12121-=++k k k k ，求动点P 的轨迹方程； （2）若点P 在直线m y x =+上，且PB PA ⊥，求实数m 的取值范围。 〖解析〗 （1）由题意设),(00y x P 在园外，切线101 ), (:2 0000=+--=-k y kx x x k y y l ， 102)10(2 000220=-+--∴y k y x k x 由12121-=++k k k k 得点P 的轨迹方程为052=±+y x 。 （2）),(00y x P 在直线m y x =+上，m y x =+∴00 又PB PA ⊥，110 10,1202 021-=---=∴x y k k ，即202 020=+y x ，将m y x =+代入化简得 02022202 0=-+-m mx x 又0≥? ，102102-≤≤∴m 又102 02 0>+y x 恒成立，522-<>∴m m 或 [](] 102,5252,102?--∴的取值范围是m 【小结】：求动点的轨迹方程是圆锥曲线部分的重要题型，解题思路为先假设动点坐标再找相关关系式。 三、综合强化 1.已知圆x2+y2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b对称， （1）求k、b的值； （2）若这时两圆的交点为A、B，求∠AOB的度数. 2.若动圆C与圆(x-2)2+y2=1外切，且和直线x+1=0相切.求动圆圆心C的轨迹E的方程. 3.已知圆C：x2+y2－2x+4y－4=0,是否存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点.若存在，求出直线l的方程;若不存在，说明理由. 4.设圆满足(1)y轴截圆所得弦长为2.(2)被x轴分成两段弧，其弧长之比为3∶1，在满足(1)、(2)的所有圆中，求圆心到直线l:x－2y=0的距离最小的圆的方程． 第 1 次课后作业 学生姓名： 一、填空题 （1）曲线y=|x-2|-3与x 轴转成的面积是 . （2）已知M={(x,y)|x 2 +y 2 =1,0 （3）圆(x －3)2 +(y +1)2=1关于直线x +2y －3=0对称的圆的方程是_____. （4）直线x －2y －2k =0与2x －3y －k =0的交点在圆x 2 +y 2 =25上，则k 的值是_____. 二、选择题 （1）由曲线y =|x |与x 2 +y 2 =4所围成的图形的最小面积是( ) A. 4 π B.π C. 4 3π D. 2 3π （2） 圆12 2 =+y x 与直线01sin =-+y x θ的位置关系为 （ ） A 、相交 B 、相切 C 、相离 D 、相切或相交 （3）已知二元二次方程Ax 2 +Cy 2 +Dx+Ey+F=0，则???>-+≠=0 4, 02 2F E D C A 是方程表示圆的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 （4）圆x 2 +y 2 －2x +4y －20=0截直线5x －12y +c =0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34 D ．－68 （5）过点(2，1)并与两坐标轴都相切的圆的方程是( ) A.(x －1)2 +(y －1)2 =1 B.(x －1)2 +(y －1)2 =1或(x －5)2 +(y －5)2 =5 C.(x －1)2 +(y －1)2 =1或(x －5)2 +(y －5)2 =25 D.(x －5)2 +(y －5)2 =5 圆B 卷突破 四川成都 刘承树 1．（2017·锦江一诊22题）如图，把正ABC ?的外接圆对折，使点A 落在弧BC 的中点F 上，若6=BC ， 则折痕在ABC ?内的部分DE 长为. 【答案】4. 【解析】连接AF ，交BC 于点G ，连接OB . ∵AF 与DE 交于圆心O ，AF ⊥BC ，AF ⊥DE ，DE //BC .设OG =x . 由题意可得∠OBG =30°，∠OGB =90°，OA =OB =2x .∴AG =3x ∵△ADE ∽△ABC ∴ DE OA BC AG =即263DE x x = ∴DE =4. 2．（2018·锦江一诊25题）如图，⊙O 的半径为6，?=∠90AOB ，点C 是 AB 上一动点(不与点B ，A 重合),过点C 作OB CD ⊥于点D ，OA CE ⊥于点E ，连接ED ，点F 是OD 的中点，连接CF 交DE 于点P ，则223CP CE +等于． 【答案】48. 【解析】连接OC ，设DF =OF =x ，则CE =2x .∵BO ⊥AO ，CE ⊥AO ，∴CE //BO ∴△DFP ∽△ECP ，∴ 12DF PF CE CP ==，即2 3 CP CF =. 在Rt △COD 中，222364CD OC OD x =-=-. 在Rt △CDF 中，22222364363CF CD DF x x x =+=-+-.∴2 23633x CP -=， ∴2 22 2236334843x CP x ?- ==- ?? ? .∵CE =2x ，则CE 2=4x 2∴CE 2+3CP 2=4x 2+48-4x 2=48. 【特值法】当C 为弧AB 中点时，DE =OC =6 23218CE CD OD OE CE ，=====2323102 10303 CF CF CP CF CP ，，= ====∴CE 2+3CP 2=48. 新人教版九年级上册《第24章圆》2020年单元测试卷 一、选择题（本大题共13小题，共39.0分） 1.如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB， AD，BD，若∠ADB=70°，则∠ABC的度数是() A. 20° B. 70° C. 30° D. 90° 2.如图所示，矩形纸片ABCD中，AD=6cm，把它分 割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁 出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥 的底面和侧面，则AB的长为() A. 3.5cm B. 4cm C. 4.5cm D. 5cm 3.如图，在△AOC中，OA=3cm，OC=1cm，将△AOC绕 点O顺时针旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过 程中所扫过的图形的面积为()cm2． A. π 2 B. 2π π C. 17 8 π D. 19 8 4.如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下 列三角形中，外心不是点O的是() A. △ABE B. △ACF C. △ABD D. △ADE 5.已知某直线到圆心的距离为5cm，圆的周长为10πcm，请问这条直线与这个圆的公 共点的个数为() A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 6.如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A=90°，∠ABC=105°，若上面圆锥的 侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为() A. 2 B. √3 C. 3 2 D. √2 7.如图，在一个圆内有AB?、CD?、EF?，若AB?+CD?=EF?，则AB+ CD与EF的大小关系是() A. AB+CD=EF B. AB+CD 章节复习题 一、单选题（选择一个正确的选项） 1 、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110°，则∠BAD为（） A、140° B、110° C、90° D、70° 2 、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D．若∠CDB=30°，⊙O的半径为3，则弦CD的长是（） A、3 2 B、3 C、23 D、9 3 、先作半径为 3 2 的第一个圆的外切正六边形，接着作上述外切正六边形的外接圆，再作上述外接圆的外切正 六边形，则按以上规律作出的第8个外切正六边形的边长为（） A、(2 3 3 )7B、( 2 3 3 )8C、( 3 )7D、( 3 )8 4 、设⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离OP=m，且m使得关于x的方程2x2-22x+m-1=0有实数根，则直线l与⊙O的位置关系为（） A、相离或相切 B、相切或相交 C、相离或相交 D、无法确定 5 、如图，半径分别为r1，r2的⊙O1、⊙O2相外切，AB为两圆的外公切线，O1O2为连心线，若∠AO1O2=60°，r1=6，则r2等于（） A、3 B、2 C、1.5 D、1 6 、截面直径为100 cm的圆形下水道横截面如图所示，水面宽60 cm，则下水道中水的最大深度为（） A、90cm B、80cm C、60cm D、50cm 7 、已知⊙O的半径是6cm，P是⊙O外一点，则OP的长可能是（） A、4cm B、5cm C、6cm D、7cm 8 、如图，在平面直角坐标系中，过点O的⊙O1与两坐标轴分别交于A、B两点，A（5，0），B（0，3），点C 在弧OA上，则tan∠BCO=（） A、3 4 B、 4 3 C、 4 5 D、 3 5 9 、若线段AB、AC的长分别是一元二次方程x2-3x+2=0的两根，且A、B、C三点共线，则分别以线段AB、 AC为直径的两圆的位置关系为（） A、内切 B、外切 C、内含 D、内切或外切 10 、圆锥的母线长5cm，底面半径长3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是（） A、180° B、200° C、225° D、216° 二、填空题（在空白处填写正确的答案） 11 、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠BCA=60°，则∠ABO=__________°． 12 、要制造一个圆锥形的烟囱帽，如图，使底面半径r与母线l的比r：l=3：4，那么在剪扇形铁皮时，圆心角应取__________度． 中考内容 中考要求 A B C 圆的有关概念理解圆及其有关概 念 会过不在同一直线 上的三点作圆；能利 用圆的有关概念解 决简单问题 圆的性质知道圆的对称性，了 解弧、弦、圆心角的 关系 能用弧、弦、圆心角 的关系解决简单问 题 能运用圆的性质解 决有关问题 圆周角了解圆周角与圆心 角的关系；知道直径 所对的圆周角是直 角 会求圆周角的度数， 能用圆周角的知识 解决与角有关的简 单问题 能综合运用几何知 识解决与圆周角有 关的问题 垂径定理会在相应的图形中 确定垂径定理的条 件和结论 能用垂径定理解决 有关问题 点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系了解直线与圆的位 置关系；了解切线的 概念，理解切线与过 切点的半径之间的 关系；会过圆上一点 画圆的切线；了解切 线长的概念 能判定直线和圆的 位置关系；会根据切 线长的知识解决简 单的问题；能利用直 线和圆的位置关系 解决简单问题 能解决与切线有关 的问题 圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置 关系 能利用圆与圆的位 置关系解决简单问 题 中考内容与要求 圆的概念及性质 弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题 扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题 圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积 和全面积 能解决与圆锥有关 的简单实际问题 圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。 要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。 年份2010年2011年2012年 题号11，20 20，25 8，20，25 分值9分13分17分 考点垂径定理的应用； 切线判定、圆与解 直角三角形综合 圆的有关证明，计 算（圆周角定理、 切线、等腰三角形、 相似、解直角三角 形）；直线与圆的 位置关系 圆的基本性质，圆 的切线证明，圆同 相似和三角函数的 结合；直线与圆的 位置关系 中考考点分析 “圆”形毕露(二) 考纲要求： 江苏省咼考考试说明中圆的方程是C级考点，近几年在各地模考和咼考中出现频率较高,在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中的，要通过分析、转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题. 考点解读： 在平面上给定相异两点A,B,设点P在同一平面上且满足PA PB (或PA2PB2是 定值)，则点P的轨迹是个圆? 小题热身 (1) 平面内到原点距离为1的点的轨迹方程为__________ . (2) 从圆O:x2 y2 1外一点P向圆引两条切线，切点分别是A、B,使得/ APB= 60°,则点P 的轨迹方程为 __________ . (3) 已知两点A(-2,0), B(2,0)，若存在点P,使得/ APB=90°,则点P的轨迹方程为___________ uuu uuu ⑷已知两点A( 2,0),B(2,0),若存在点P,使得APcBP 2 0,则点P的轨迹方程 为 _________ . (5)已知两点A( 2,0), B(2,0),若存在点P,使得PA2 PB2 10,则点P的轨迹方程 为 _________ . 题型一利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆 例1(1)如果圆(x —2a)2+ (y—a —3)2= 4上总存在两个点到原点的距离为1,则实数a的取值 范围是 __________ .- 6 < a < 0 5 略解；和原点的距离为I的点的轨迹是以原点为鬪心的单位鬪，转化到此单位圆与已知 圆相交求解* 2 (2016南京二模)已知圆O：x2 y2 1,圆M:x a 2 y a 4 2 1 .若圆M上存在 点P,过点P作圆O的两条切线，切点为A,B,使得/ APB = 60°,则a的取值范围 为 _________ . 5 圆的极坐标方程 主备： 审核： 学习目标： 1. 能写出不同位置的圆的极坐标方程，已知圆的极坐标方程，能在极坐标系中画出圆的图形； 2. 会将圆的极坐标方程与圆的直角坐标方程互化. 学习重点：圆的极坐标方程的求法. 学习难点：一般形式下圆的极坐标方程的推导. 学习过程： 一、课前准备 阅读教材1213P P -的内容，并思考下面的问题： 1．直角坐标系中，单位圆2 2 1x y +=在极坐标系中如何表示？ 答：1ρ= 2．极坐标系中，圆心在极点，半径等于2的圆，能否用方程表示？ 答：可以，可以表示为2ρ=. 二、新课导学： （一）新知： 1. 已知圆C 的半径为a ，圆心在不同的位置上，试求出圆的极坐标方程 . 图3 图2 图1 O 设圆上的动点P 的坐标为(,)ρθ， （1）图1中，动点P 不论运动到什么位置，到极点的距离始终是a ，所以圆的极坐标方程是：a ρ=. （2）图2中，设圆与极轴交于点A ，在直角三角形OPA 中，cos 2a ρ θ= ，即 2cos a ρθ=，即为所求圆的极坐标方程. （3）图3中，设圆与垂直于极轴的直线交于点B ，则PBO θ∠=，在直角三角形PBO 中， sin 2PBO a ρ ∠= ，即2sin a ρθ=，即为所求圆的极坐标方程. 按照上面的思路，写出下面两种情况的圆的极坐标方程： 图5 图4 （4）图4中，设直线OC 与圆交于点A ，则32 POA πθ∠=-， 在Rt POA ?中，3cos()22a ρπθ- =，化简得2sin a ρθ=-，即为所求圆的方程. （5）图4中，设极轴的延长线与圆交于点A ，则POA πθ∠=-， 在Rt POA ?中，cos()2a ρ πθ-=，化简得2cos a ρθ=-，即为所求圆的方程. （二）典型例题： 【例1】已知圆心在)0,(a M ，半径为R ，试写出圆的极坐标方程． 【解析】设圆上动点P 的坐标为(,)ρθ，如图 ，在OPM ?中，||OP ρ=，||PM R =，||OM a =， POM θ∠=，由余弦定理可得： 222cos 2a R a ρθρ +-=， 即 0cos 22 2 2 =-+-R a a θρρ.即为所求圆的极坐标方程. 动动手：在圆心的极坐标为)0,4(A ，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹. 【解析】如图，设弦OP 的中点为(,)M ρθ，连MA ， 在Rt AMO ?中，cos 4 ρ θ= ，所以，所求方程为 4cos ρθ=. 【例2】（1）化在直角坐标方程082 2 =-+y y x 为极坐标方程， （2）化极坐标方程)3 cos( 6π θρ-= 为直角坐标方程. 【解析】(1)由互化公式cos sin x y ρθ ρθ =?? =?，得： 2 2 2 2 cos sin 8sin 0ρθρθρθ+-=，因为ρ不恒为0，所以8sin ρθ=. (2) 将)3 cos( 6π θρ-=展开，得6cos cos 6sin sin 33ππρθθ=+， 圆的前四小节专项训练（到圆内接四边形） 1、（2020·杭州）如图，已知BC 是 O 的直径，半径OA BC ⊥，点D 在劣弧AC 上（不与点A ，点C 重合），BD 与OA 交于 点E ．设AED α∠=，AOD β∠=，则（ ） A ．3α＋β＝180° B ．2α＋β＝180° C ．3α－β＝90° D ．2α－β＝90° {答案}D {解析}本题考查了同圆的半径相等，三角形的内角和定理以及三角形的外角．因为OA ⊥BC ，所以∠AOB ＝90°．因为OB ＝ OD ，所以∠B ＝∠D ．在△OBD 中，∠B ＋∠D ＋∠BOD ＝180°，即2∠D ＋90°＋β＝180°，所以2∠D ＋β＝90°．因为∠AED 是△ODE 的外角，所以∠D ＝∠AED －∠AOD ＝α－β，所以2（α－β）＋β＝90°，整理，得2α－β＝90°，因此本题选D ． 2、（2020·常州）如图，AB 是⊙O 的弦，点C 是优弧AB 上的动点（C 不与A 、B 重合），CH ⊥AB ，垂足为H ，点M 是BC 的中点．若⊙O 的半径是3，则MH 长的最大值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 {答案}A {解析}{解析}本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半，因为∠BHC ＝90°，M 为BC 的中点，所以MH ＝ 1 2 BC ，而 BC的最大值是直径，所以MH的最大值等于3． 3、（2020·黔东南州）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5， 则AB的长为（） A．8 B．12 C．16 D．291 {答案}C{解析}如图，连接OA， ∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5，∴OD＝10，OM＝6． ∵AB⊥CD，∴AM＝√OA2?OM2＝√102?62＝8，∴AB＝2AM＝16． 4、（2020·武汉）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD 的中点，则AC的长是（） A B．C．D． {答案}D {解析}本题考查了圆的垂径定理，弧线圆心角关系，全等判定，中位线等定理，连接OD，交AC于点F，由D是弧AC的中点，易证出OD⊥AC，AF＝CF，又∵O是AB的中点，∴2OF＝BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，又∵E是BD的中点，∴易证出△EFD≌△ECB（AAS）∴DF＝BC，又∵半径为3，∴2OF＝DF＝BC＝2，在Rt△ABC中， F “等时圆”模型 =点或终点的各条光滑弦运动到另一端点具有等时性,运动时间与弦的倾角、“等时圆”模型 1．如图所示,位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M 点,与竖直墙相切于A 点。竖直墙上另一点B 与M 的连线和水平面的夹角为60°,C 是圆环轨道的圆心。已知在同一时刻a 、b 两球分别由A 、B 两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道AM 、BM 运动;c 球由C 点自由下落。则( ) A ．a 球最先到达M 点 B ．b 球最先到达M 点 C ．c 球最先到达M 点 D ．b 球和c 球都可能最先到达M 点 解析 设圆轨道半径为R ,据“等时圆”理论,t a = =2,t b >t a ,c 球做自由落体运t c =,C 项正确。答案 C 2．(多选)如图所示，一物体从竖直平面内的圆环的最高点A 处由静止开始沿光滑弦轨道AB 下滑至B 点，那么( ) A ．只要知道弦长，就能求出运动时间 B ．只要知道圆半径，就能求出运动时间 C ．只要知道倾角θ，就能求出运动时间 D ．只要知道弦长和倾角，就能求出运动时间 解析 物体沿AB 弦轨道下滑，加速度为a ＝ mg cos θ m ＝g cos θ，弦长l ＝2R · cos θ，则t ＝2l a ＝ 2·2R cos θg cos θ ＝2 R g ．可见，物体沿任何一条弦轨道下滑所用时间均相等，且等于沿直径自由下落的时间．答案 BD 3．(多选)如图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平轨道面相切于M 点，与竖直墙相切于A 点，竖直墙上另一点B 与M 的连线和水平面的夹角为60°，C 是圆轨道的圆心．已知在同一时刻，a 、b 两球分别由A 、B 两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到 M 点；c 球由C 点自由下落到M 点．则( ) A ．a 球最先到达M 点 B ．b 球最先到达M 点 C ．c 球最先到达M 点 D ．c 、a 、b 三球依次先后到达M 点 圆锥曲线与方程 考纲导读 1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程．2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质． 3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质． 4．了解圆锥曲线的初步应用． 高考导航 圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点： 1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容： ①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解． ②圆锥曲线的几何性质的应用． 2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法． 3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现． 4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势． 第1课时椭圆 基础过关 1．椭圆的两种定义 (1) 平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距． 注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 ． ②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在． (2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的 ，定直线l 是 ，常数e 是 ． 2．椭圆的标准方程 (1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12 22 2=+ b y a x ，其中 ( > >0，且=2a ) (2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12 22 2=+b x a y ，其中a ，b 满 足： ． （3）焦点在哪个轴上如何判断？ 3．椭圆的几何性质(对 12 22 2=+b y a x ,a > b >0 进行讨论) (1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤ (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ． (3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： ． (4) 离心率：=e ( 与 的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越 ；e 越接近0，椭圆越接近于 ． (5) 焦半径公式：设21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上一点，则 =1PF ，1 22PF a PF -== 。 4．焦点三角形应注意以下关系补充画出图形）： (1) 定义：r 1＋r 2＝2a 2013年中考压轴题复习(三)----圆篇(1) 1．（2012上海市14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB 上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC=1时，求线段OD的长； （2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； （3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域． 【答案】解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=1 2BC=1 2 。 又∵OB=2，∴ 2 222 115 OD=OB BD2 2 ?? -=-= ? ?? 。 （2）存在，DE是不变的。 如图，连接AB，则22 AB=OB+OA22 =。 ∵D和E是中点，∴DE=1 AB=2 2 。 （3）∵BD=x，∴2 OD4x =-。 ∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900。 ∴∠2+∠3=45°。 过D作DF⊥OE，垂足为点F。∴DF=OF= 2 4x 2 -。 由△BOD∽△EDF，得BD OD = EF DF ，即 22x 4x = EF 4x 2 --，解得EF =2x 。 ∴OE =2 x+4x 2 -。 ∴ 2222 114x x+4x 4x +x 4x y DF OE =0x 22222 <<----=?=??（） 。 2．(2011山东潍坊,23,11分) 如图．AB 是半圆O 的直径．AB=2．射线AM 、BN 为半圆O 的切线．在AM 上取一点D ．连接BD 交半圆于点C ．连接AC ，过O 点作BC 的垂线OF ．垂足为点E ．与BN 相交于点F 。过D 点作半圆O 的切线DP ，切点为P ，与BN 相交于点 Q 。 (I) 求证：△ABC'∽△OFB ； (2) 当△ABD 与△BFO 的面积相等时，求BQ 的长； 直线与圆 教案 1、直线的倾斜角： （1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0； （2）倾斜角的范围[)π,0。 如（1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是5[0][ )66 ，，π π π ； （2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],3 2,3[π πα∈值的范围是 _42≥-≤m m 或_ 2、直线的斜率： （1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率； （2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212 12 1x x x x y y k ≠--=；（3）直线的 方向向量(1,)a k = ，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？ （4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。 如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的既不充分也不必要条件； （2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则 x y 的最大值、最小值分别为_2 ,13-__ 3、直线的方程： （1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。 （2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。 （3）两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为1 21 121x x x x y y y y --= --，它不包括垂直于坐标轴的直线。 （4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为 1=+b y a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 （5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式。 如（1）经过点（2，1）且方向向量为v =(－1,3)的直线的点斜式方程是13(2)y x -=--； （2）直线(2)(21)(34)0m x m y m +----=，不管m 怎样变化恒过点(1,2)--； （3）若曲线||y a x =与(0)y x a a =+>有两个公共点，则a 的取值范围是1a > (4)过点(1,4)A ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有__3_条 4.设直线方程的一些常用技巧： （1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+； （2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)； 研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积． 圆的面积2πr =；扇形的面积2π360n r =?； 圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360n r =?． 一、 跟曲线有关的图形元素： ①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、16 圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360 n ． 比如：扇形的面积=所在圆的面积360 n ? ； 扇形中的弧长部分=所在圆的周长360 n ? 扇形的周长=所在圆的周长360n ?+2?半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) ②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积． 一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆) ③”弯角”：如图：弯角的面积=正方形-扇形 ④”谷子”：如图：“谷子”的面积=弓形面积2? 二、 常用的思想方法： ①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法) ④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”) 板块一平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用 【例 1】 下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平 方厘米？ quati EMBED 【解析】 割补法．如右图，格线部分的面积是36平方厘米． 【巩固】下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？ 【解析】 割补法．如右图，格线部分的面积是36平方厘米． 【例 2】 如图，在18?8的方格纸上，画有1，9，9，8四个数字．那么，图中的阴影 面积占整个方格纸面积的几分之几？ 【解析】 我们数出阴影部分中完整的小正方形有8+15+15+16=54个，其中部分 有6+6+8=20个，部分有6+6+8=20(个)，而1个和1个正好组成一个完整的小正方形，所以阴影部分共包含54+20=74(个)完整小正方形，而整个方格纸包含8?18=144(个)完整小正方形．所以图中阴影面积占整个方格纸面积的74144，即3772 ． 【巩固】在4×7的方格纸板上面有如阴影所示的”6”字，阴影边缘是线段或圆弧．问 阴影面积占纸板面积的几分之几？ 【解析】 矩形纸板共28个小正方格，其中弧线都是14圆周，非阴影部分有3个完整的 小正方形，其余部分可拼成6个小正方格．因此阴影部分共28－6－3=19个小正方格．所以，阴影面积占纸板面积的 1928． 【例 3】 (2007年西城实验考题)在一个边长为2厘米的正方形内，分别以它的三条边 为直径向内作三个半圆，则图中阴影部分的面积为平方厘米． 【解析】 采用割补法．如果将阴影半圆中的2个弓形移到下面的等腰直角三角形中， 那么就形成两个相同的等腰直角三角形，所以阴影部分的面积等于两个等腰 直角三角形的面积和，即正方形面积的一半，所以阴影部分的面积等于21222 ?=平方厘米． 【巩固】如图，在一个边长为4的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆．求阴影部分的面积． 【解析】 阴影部分经过切割平移变成了一个面积为正方形一半的长方形，则阴影部分 面积为4428?÷=． 【例 4】 (人大附中分班考试题)如图，正方形边长为1，正方形的4个顶点和4条边分 别为4个圆的圆心和半径，求阴影部分面积．(π取3.14) 【解析】 把中间正方形里面的4个小阴影向外平移，得到如右图所示的图形，可见， 阴影部分的面积等于四个正方形面积与四个90?的扇形的面积之和，所以， 2214 44441π14π7.14S S S S S =?+?=?+=?+?=+=W W 圆阴影圆． 【例 5】 图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中 心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？ 【解析】 如下图所示： 教学辅导教案 1． 二次函数2 47y x x =--的顶点坐标是( A ) A ．(2，－11) B ．（－2，7） C ．（2，11） D ． （2，－3） 2． 二次函数2 241y x x =--的图象是由2 2y x bx c =++的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b = -8 ，c = 7 。 3．函数2 y kx k =-和(0)k y k x = ≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( A ) 4．已知二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ B ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．二次函数2 3y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_-4___。 6．已知抛物线y =-2（x +3）2+5，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是 __x >-3___． 7．已知二次函数图象的对称轴是30x +=，图象经过(1，-6)，且与y 轴的交点为(0，52 - )． (1)求这个二次函数的解析式; (2)当x 为何值时，这个函数的函数值为0? (3)当x 在什么范围内变化时，这个函数的函数值y 随x 的增大而增大? 解：（1）设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c ， 由题意可得，解得a =-，b =-3，c =-， 所以y =-x 2 -3x -． 答：这个二次函数的解析式y =-x 2-3x -． （2）令y =0，得-x 2 -3x -=0， 解得：x =-1或-5． 答：当x 为-1或-5时，这个函数的函数值为0． （3）由于对称轴是x =-3，开口向下， 所以当x ＜-3时，函数的函数值y 随x 的增大而增大． 答：当x ＜-3时，函数的函数值y 随x 的增大而增大． 1．已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点D C ,（如图）。 （1）求证：BD AC =。 （2）若大圆的半径10=R ，小圆的半径8=r ，且点O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长。 【解析】（1）过O 作OE ⊥AB ，根据垂径定理得到AE =BE ，CE =DE ，从而得到AC =BD ； （2）由（1）可知，OE ⊥AB 且OE ⊥CD ，连接OC ，OA ，再根据勾股定理求出CE 及AE 的长，根据AC =AE -CE 即可得出结论． 试题解析：（1）过O 作OE ⊥AB 于点E ， 则CE =DE ，AE =BE ， ⊥BE -DE =AE -CE ，即AC =BD ； （2）解：由（1）可知，OE ⊥AB 且OE ⊥CD ，连接OC ，OA ， ⊥OE =6， 椭圆讲义与练习 题型一：椭圆的第一定义与标准方程 例1 、椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：1142 2=+y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116 42 2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 变式练习：求适合条件的椭圆的标准方程． ^ （1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-， ； （2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联线互相垂直，且焦距为6． 分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482 =a ， 372 =b ，在得方程 13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程137 1482 2=+x y ． 解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或122 22=+b x a y ． 由已知b a 2=． ① 又过点()62-， ，因此有 ()16222 22=-+b a 或()12622 22 =+-b a ． ② 由①、②，得1482=a ，372= b 或522=a ，132 =b ．故所求的方程为 \ 13714822=+y x 或113 522 2=+x y ． （2）设方程为12222=+b y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182 =a ．故所求方程 第5讲圆 圆 半径 圆的认识 圆心 圆的周长πd或2πr 直径 圆的面积 圆环的面积 πr 2 πR2－πr2或π(R2－r2) 知识点一：圆的认识 1. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。 2. 一个圆有无数条半径，有无数条直径。圆有无数条对称轴。 3. 在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等。 4. 在同圆或等圆中，r=1 2 d或d=2r。 知识点二：圆的周长及圆周率的意义 1.测量圆的周长的方法：绕绳法和滚动法。 2.圆的周长除以直径的商是一个固定的数。我们把它叫做圆周率，用字母π表示。 3.圆的周长的计算公式：C=πd，C=2πr 知识点三：圆的面积公式的推导及应用 1.圆的面积计算公式是：S＝πr2 2.求圆的面积，要根据圆的面积计算公式来求。 3.圆环面积的计算方法：S＝πR2－πr2或S＝π(R－r)2。 4.“外方内圆”图形中，圆的直径等于正方形的边长。如果圆的半径为r，那么正方形和圆之间部分的面积为0.86r2。 5.“外圆内方”图形中，这个正方形的对角线等于圆的直径。如果圆的半径为r，那么圆和正方形之间部分的面积为1.14r2。 知识点四：扇形的认识 1.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形； 2.顶点在圆心的角叫做圆心角； 3.扇形的大小和半径的长短、圆心角的大小有关。 考点一：圆的认识 【例1】（2017秋?龙华区期末）圆有无数条半径，圆半径的长度是它直径的一半；半圆有一条对称轴 【思路分析】根据轴对称图形的性质分析：一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义可知：圆有无数条对称轴，半圆有一条对称轴； 根据圆周率的含义：圆周率等于圆的周长和它直径的比值，用字母“π”表示；同圆中，圆的直径是半径的2倍；由此解答即可． 【规范解答】解：圆有无数条半径，圆半径的长度是它直径的一半；半圆有一条对称轴； 故答案为：无数，一半，一． 【名师点评】本题主要考查了轴对称图形的定义以及圆的基础知识． §2.3 圆的方程 2．3.1 圆的标准方程 一、基础过关 1． (x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心与半径分别为 ( ) A ．(－1,2)，2 B ．(1，－2)，2 C ．(－1,2)，4 D ．(1，－2)，4 2． 点P (m 2,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是 ( ) A ．在圆内 B ．在圆外 C ．在圆上 D ．不确定 3． 圆的一条直径的两个端点是(2,0)，(2，－2)，则此圆的方程是 ( ) A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1 4． 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝ 3 3 x 的距离为 ( ) A.12 B. 3 2 C ．1 D. 3 5． 圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________． 6． 圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝1关于直线x ＋2y －3＝0对称的圆的方程是________________． 7．求满足下列条件的圆的方程1，经过点P (5,1)，圆心为点C (8，-3)；2，经过点P (4,2)，Q (-6，-2)，且圆心在y 轴上． 8． 求经过A (6,5)，B (0,1)两点，并且圆心在直线3x ＋10y ＋9＝0上的圆的方程． 二、能力提升 9． 方程y ＝9－x 2表示的曲线是 ( ) A ．一条射线 B ．一个圆 C ．两条射线 D ．半个圆 10．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．如果直线l 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是______． 12．平面直角坐标系中有A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)，D (－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？ 三、探究与拓展 13．已知点A (－2，－2)，B (－2,6)，C (4，－2)，点P 在圆x 2＋y 2＝4上运动，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2的最值． 圆的方程专项复习（教师版） 一、知识点归纳： 1.圆的标准方程 平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆。定点是圆心，定长是半径。 如果圆心坐标为(a ,b )，半径等于r ,根据两点间距离公式可得圆的标准方程(x -a )2+(y -b )2=r 2。如果圆心恰好为原点时，方程为x 2+y 2=r 2。圆心在原点（0，0），半径为1的圆称为单位圆，其方程为x 2 ＋y 2 =1, 由圆心坐标(a ,b )及半径r 的值，可以直接写出圆的标准方程。由圆的标准方程也可直接读出圆心坐标和半径r 的大小。 2.圆的一般式方程 任何一个圆的方程都可以写成下面形式：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，但方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0不一定表示圆方程。 一般方程 x 2 ＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋F=0，配方22224()()224 D E D E F x y +-+++= （1）当D 2 +E 2 -4F ＞0时，方程表示圆，称为圆的一般式方程，其圆心(,)22D E --. （2）当D 2+E 2-4F =0时，方程仅表示一个点； （3）当D 2+E 2-4F ＜0时，方程没有实数解，方程不表示任何图形。 3.参数方程的概念 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数，即() ,()x f t y g t =?? =? 且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上，则此方程组就叫这条曲线的参数方程，联系x ,y 之间关系的变数叫做参数。相对于参数方程而言，直接给出曲线上点的坐标关系的方程叫做曲线的普通方程。 4.圆的参数方程： 若圆心坐标为C (a ,b )，半径为r ，则cos ,sin x a r y b r θ θ=+?? =+? 称为圆的参数方程。其中θ是以x 轴正方向为始边方向，CP 方 向为终边方向的角。C 是圆心，P 是圆上与θ对应的点。 特别地，以(0，0)为圆心，以r 为半径的圆的参数方程为)(sin cos 为参数θθ θ ???==r y r x 5.点与圆的位置关系 几何法——利用距离来判断：设点到圆心的距离为d ，圆的半径为r ． （1）点在圆外;r d >? （2）点在圆上;r d =? （3）点在圆内;r d 0） （1）点P 在圆外22020)()(r b y a x >-+-?；（2）点P 在圆上;)()(2 2020r b y a x =-+-?； 圆的方程(1)（教师版） 【教学目标】： 1．认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法； 2．掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径； 3．能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程． 【课前问题导引】 1. 在前面我们学习了直线的方程，只要给出适当的条件就可以写出直线的方程．那么，一个圆能不能用方程表示出来呢？ 2.要求一个圆的方程需要哪些条件？如何求得呢？ 【课上新知讲授】 1．圆的标准方程的推导过程： 2． 圆的标准方程：（1）. 以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程：222()()(0)x a y b r r -+-=>. （2）. 圆心在原点(0,0)，半径为r 时，圆的方程则为：222(0)x y r r +=>； （3）. 单位圆：圆心在原点且半径为１的圆,其方程为：221x y +=． 注意：交代一个圆时要同时交代其圆心与半径． 3． 点在圆内、圆上、圆外的等价条件 例1：分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径： (1)22(2)(3)7x y -+-=； (2)22(5)(4)18x y +++= (3)22(1)3x y ++= (4)22144x y += （5）22(4)4x y -+= 【解】（如下表） 点评：本题考察了对圆的标准方程的认识，根据圆的标准方程，可以写出相应的圆的圆心与半径． 例2：（1）写出圆心为(2,3)A -，半径长为5的圆的方程，并判断点(5,7)M -，(5,1)N --是否在这个圆上； （2）求圆心是(2,3)C -，且经过原点的圆的方程． 分析：通过圆心，半径可以写出圆的标准方程． 解;(1)∵圆心为(2,3)A -，半径长为5，∴该圆的标准方程为：22(2)(3)25x y -++=． 把点(5,7)M -代入方程的左边，2222(52)(73)3425-+-+=+=＝右边,即点(5,7)M -的坐标适合方程， ∴点(5,7)M -是这个圆上的点； 把点(5,1)N --的坐标代入方程的左边，22(52)(13)134525--+-+=+≠．即点(5,1)N --坐标不适合圆的方程， (2)法一：∵圆C 的经过坐标原点，∴圆C 的半径为：22(20)(30)r =-+--222313=+=， 因此所求的圆的方程为：22(2)((3))13x y -+--=，即22(2)(3)13x y -++=． 法二：∵圆心为(2,3)C -，∴设圆的方程为222(2)(1)x y r -++=， ∵原点在圆上即原点的坐标满足圆方程即222(02)(01)r -++=，所以213r =， ∴所求圆的标准方程为：22(2)(3)13x y -++=． 点评：本题巩固了对圆的标准方程的认识，第二小题的解题关键在于求出半径，这里提供了两种方法． 例3：(1)求以点(1,2)A 为圆心，并且和x 轴相切的圆的方程； (2)已知两点(4,9)P ，(6,3)Q ，求以线段PQ 为直径的圆的方程． 分析：（1）已知与圆心坐标和该圆与x 轴相切即可求出半径．（2）根据PQ 为直径可以得到相应的圆心与半径． 解：(1)∵圆与x 轴相切∴该圆的半径即为圆心(1,2)A 到x 轴的距离2； 所以圆的标准方程为：22(1)(2)4x y -+-=． （2）∵PQ 为直径，∴PQ 的中点M 为该圆的圆心即(5,6)M ， 又因为22||(64)(39)436PQ =-+-=+210=，所以||102 PQ r ==， ∴圆的标准方程为：22(5)(6)10x y -+-=． 点评:本题的解题关键在于由已知条件求出相应的圆心与半径．对圆的标准方程的有一个加深认识的作用． 例4：已知隧道的截面是半径为4m 的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为3m ，高为3.5m 的货车能不能驶入这个隧道？ 分析：建立直角坐标系，由图象可以分析，关键在于写出 半圆的方程，对应求出当3x =时的值，比较得出结论． 解：以某一截面半圆的圆心为原点，半圆的直径 AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，如图所示， 那么半圆的方程为：2216(0)x y y +=≥ 将3x =代入得2163793 3.5y =-=<=<， 即离中心线3m 处，隧道的高度低于货车的高度，因此，该货车不能驶入这个隧道． 点评：本题的解题关键在于建立直角坐标系，用解析法研究问题．圆B卷突破(教师版)
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