最新职高数学基础模块各章节复习提纲
第一章集合与充要条件
一、集合的概念
（一）概念
1. 集合的概念：将某些的对象看成一个就构成一个集合，简称
为。
一般用表示集合。
组成集合的对象叫做这个集合的。
一般用表示集合中的元素。
2. 集合与元素之间关系：
如果a是集合A的元素，就说a A，记作；
如果a不是集合A的元素，就说a A，记作。
3. 集合的分类：
含有的集合叫做有限集；
含有的集合叫做无限集；
的集合叫做空集，记作。
（二）常用的数集：数集就是由组成的集合。
1. 自然数集：所有组成的集合叫做自然数集，记作；
2. 正整数集：所有组成的集合叫做正整数集，记作；
3. 整数集：所有组成的集合叫做整数集，记作；
4. 有理数集：所有组成的集合叫做有理数集，记作；
5. 实数集：所有组成的集合叫做实数集，记作。
（三）应知应会：
1.自然数：由和构成的实数。
2.整数：由和构成的实数。
偶数：被2整除的数叫做偶数；
奇数：被2整除的数叫做奇数。
3.分数：把平均分成若干份，表示这样的或
的数叫做分数。分数中间的叫做分数线。分数线的数叫做分母，表示把一个物体；分数线的数叫做分子，表示
。
4.有理数：和统称有理数。
5.无理数：的小数叫做无理数。
6.实数：和统称实数。
【几个常用集合的表示方法】
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四、集合的运算 （一） 交集
1. 定义：一般地，对于两个给定的集合A 、B ，由 的 所有元素组成的集合叫做A 与B 的交集。
2. 记作：A B ；读作：A B 。
3. 集合表示：______}__________|{_______=B A 。
4. 图示：用阴影表示出集合A 与B 的交集。
5. 性质：由交集的定义可知，对任意的两个集合A 、B ，有
（1） __________=B A I ； （2） _________,=?=I I A A A ； （3）B B A A B A ____,____I I 。 （二）并集
1. 定义：一般地，对于两个给定的集合A 、B ，由 的 所有元素组成的集合叫做A 与B 的并集。
2. 记作：A B ；读作：A B 。
3. 集合表示：______}__________|{_______=B A 。
4. 图示：用阴影表示出集合A 与B 的并集。
5. 性质：由并集的定义可知，对任意的两个集合A 、B ，有
（1）__________=B A Y ； （2）_________,=?=Y Y A A A ； （3）B A B B A A Y Y ____,____。
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
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（二） 补集 1. 全集：
（1）定义：在研究某些集合时，这些集合常常是一个给定集合的 ， 这个给定的集合叫做全集。 （2）表示：一般用 来表示全集。
（3） 在研究数集时，经常把 作为全集。
2. 补集的定义：如果集合A 是全集U 的 ，那么，由U 中 A 的所有元素组成的集合叫做A 的补集。
3.记作： ；读作： 。
4. 集合表示：______}__________|{_______=
5. 图示：用阴影表示出集合A 在全集U 中的补集。
6. 性质：由补集的定义可知，对任意的集合A ，都有
（1） _______=A C A U Y ； （2） _______=A C A U I ； （3） _______)(=A C C U U ；
（4） ________________)(Y I =B A C U ； （5） ________________)(I Y =B A C U 。 五、充要条件 （一）相关概念：
1. 命题：判断一件事情的语句叫做命题。
2. 命题的表示方法：使用小写英语字母p 、q 、r 、s 等表示命题。
3. 真命题：成立（正确）的命题是真命题。
4. 假命题：不成立（错误）的命题是假命题。
5. “如果......，那么......”命题：一般形式为“如果p ，那么q ”。
6. 题设（条件）：“如果”后接的p 。
7. 结论：“那么”后接的q 。 （二）充要条件： 1. 充分条件：
“如果p ，那么q ”是 命题，而“如果q ，那么p ”是 命题，则称p 是q 的充分条件。
记作：p q ；读作：由条件p 结论q 。
2. 必要条件：
“如果p ，那么q ”是 命题，而“如果q ，那么p ”是 命题，则称p 是q 的必要条件。
记作：p q ；读作：由结论q 条件p 。 3. 充要条件：
如果 ，并且 ，那么称p 是q 的 且 条件，简称充要条件。
记作：p q ；读作：p 与q 。 4. 既不充分又不必要条件：
如果 ，并且 ，那么称p 是q 的既不充分又不必要条件。
第二章 不等式
一、比较实数大小的方法 （一）实数的大小与正负
1. 正数 零，负数 零，正数 负数。
2. 两个正数，绝对值大的数 ；两个负数，绝对值大的数 。
3. 正数的和为 数，负数的和为 数。
4. 同号相乘（除）得 数；毅号相乘（除）得 数。
5. 互为相反数的两个数之和为 ；互为倒数的两个数之积为 。 （二）数轴
1. 定义：数轴是一条规定了 、 、 的直线。
2. 意义：数轴上的点与实数是 的关系。
3. 在数轴上，原点所代表的实数是 ，原点右边的点所代表的实数是 数，原点左边的点所代表的实数是 数。
4. 在数轴上，右边的点代表的数总比左边的点代表的数 ，
即，越往右的点代表的数越 ，越往左的点代表的数越 。 5. 在数轴上，表示下列数的范围： （1）x ≥ 3； （2）x < 2； （3）1- ≤ x < 3。
U
A
（三）比较两个实数大小的方法：比较法。
一般地，对于两个任意的实数a和b，有
0_______;0_______;0_______.
a b a b a b
->?-=?-
二、不等式的基本性质
1. 对称性：a b
>?。
2. 传递性：,___________
a b b c
>>?。
3. 加法性质：___________________
a b
>?；
,_________________
a b c d
>>?。
4. 乘法性质：,0____________________
a b c
>>?，；
,0____________________
a b c
>
0,0_____________
a b c d
>>>>?；
0____________(N*)
a b n
>>?∈；
0____________(N*)
a b n
>>?∈。
三、区间
（一）区间表示的对象：。
由上两点间的一切所组成的集合叫做区间。
这两个点叫做区间。
（二）区间的分类及定义：
1. 有限区间
（1）开区间：端点的区间。
（2）闭区间：端点的区间。
（3）右半开区间：端点的区间。
（4）左半开区间：端点的区间。
2. 无限区间：至少有一个端点的区间。
（1）不存在右端点时，可以用符号表示，读作；（2）不存在左端点时，可以用符号表示，读作。（三）区间、集合与图像的关系
设a、b为任意实数，且a < b，则各种区间表示的集合如下表：
区间集合图像
(,)
a b
[ a, b ]
( a, b ]
[ a, b )
(,)b
-∞
(,]b
-∞
(,)
a+∞
[,)
a+∞
(,)
-∞+∞
四、一元一次不等式
1. 定义：含有个未知数且未知数的最高次数是的不等式。
2. 一般形式：0
ax b
+>(≥0)或0
ax b
+<(≤0)，其中0
a≠。
3. 一元一次不等式在各种情况下的解集：
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五、一元二次不等式
1. 定义：含有个未知数且未知数的最高次数是的不等式。
2. 一般形式：或，其中。
3.一元二次不等式在各种情况下的解集：
4.解一元二次不等式的基本步骤：
（1）将不等式化为一元二次不等式的形式，并；
（2）设20
ax bx c
++=，并解方程；
（3）根据上表，写出一元二次不等式的解集。
六、含绝对值的不等式
（一）绝对值的概念
1. 绝对值的含义：在上，任意一个数所对应的点到的叫做该数的绝对值。
2. 正数的绝对值是，负数的绝对值是它的数，0的绝对值是。
3. 任意实数的绝对值是数，任意两个相反数的绝对值。
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4. 绝对值的符号表示： ||____0,x ____,(____0)||____,(____0)____,(____0)
x x x x ??
=???
5. 将方程||2x =的解表示在数轴上：
将不等式||2x <的解表示在数轴上： 将不等式||2x >的解表示在数轴上： （二）含绝对值的不等式 1. 解题步骤：
（1）将不等式化为含有绝对值的不等式的一般形式，即
①||x c <或||x c >；②||x b c +<或||x b c +>；③||ax b c +<或||ax b c +>。 一般形式为：不等号左侧是 ，右侧是 。 第三章 函 数
一、函数的概念 （一）函数的概念
1. 概念：在某一个变化过程中有 个变量 和 ，设变量 的取值范围为 ，如果对于 内的每一个 值，按照某个 ， 都有
的值与它对应，那么把 叫做 ，把 叫做 的 。
记作： 。 2. 明确：
（1）x 叫做 ，它的取值范围是 叫做函数的 ； （2）y = f ( x ) 叫做 ；
0x x =时，函数()y f x =对应的值0y 叫做函数在点0x 处的 ； 记作： 。
的集合 叫做函数的 。 （3）函数定义中的两个要素是 和 。
3. 函数定义域的求法：
如果函数的对应法则是用代数式表示的，那么函数的定义域就是使得这个代数式 的 的取值范围。
（1）当()f x 为整式时，函数的定义域是 ；
（2）当()f x 为分式时，函数的定义域是 ； （3）当()f x 为偶次根式时，函数的定义域是 ；
（4）分段函数的定义域是各段自变量取值集合的 ；
（5）当函数是实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使解析式有意义，还要考虑自变量的 。
4. 函数值及值域的求法：
（1）求函数值：只要将x 的各个值 函数解析式中进行 即可； （2）求函数的值域：所有函数值组成的集合。
（二）函数的表示法
1. 解析法：利用 表示函数的方法叫做解析法。
x
–1–2–3123
0x –1–2–312
3
0x
–1–2–3123
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这个 叫做函数的 。
【明确】求函数解析式的常用方法：待定系数法：已知函数的类型，可根据函数类型设其解析式，再由其他已知条件确定其系数。
正比例函数的一般形式： ； 反比例函数的一般形式： ； 一次函数的一般形式： ； 二次函数的一般形式： 。 2. 列表法：利用 表示函数的方法叫做列表法。 3. 图像法：利用 表示函数的方法叫做图像法。
（1）函数的图像：在 中，以函数()y f x =的自变量x 为 坐标，函数值y 为 坐标的点 的集合。
【明确】①图像上每一点的坐标(,)x y 都 函数解析式()y f x =；
②以()y f x =的每一组对应值x ，y 为坐标的点(,)x y 都 。 （2）作函数图像常用的方法： 。
其步骤是：① ；② ；③ 。 二、函数的性质 A ．函数的单调性
（一）函数的单调性的概念：
随着 的 而 （或 ）的性质叫做函数的单调性。
设函数()y f x =在 (,)a b 内有意义。 如果对任意的1x ，2(,)x a b ∈，当 时，
（1）都有 成立，那么函数()y f x =叫做 内的增函数， 叫做函数()y f x =的 ；
（2）都有 成立，那么函数()y f x =叫做 内的减函数， 叫做函数()y f x =的 ；
如果函数()y f x =在区间(,)a b 内是增函数或减函数，那么称函数在区间(,)a b 内具有 ，区间(,)a b 叫做函数()y f x =的 。 （二）函数的单调性的理解：
1. 函数的单调性是与 紧密相关的，即函数的 。一个函数在定义域内的不同区间内可以有 的单调性。
2. 注意关键词：
（1）对“任意”的“1x ，2(,)x a b ∈”，即 取特殊值，且必须 ； （2）“都有”即只要 就一定有 或 。 3. 不是所有函数都有单调性： 函数是没有单调性的；
有些函数在整个定义域内是单调性 的；
有些函数在整个定义域的不同区间上的单调性 ； 有些函数在整个定义域的不同区间上的单调性 。 （三）函数的单调性的图像特点：
对于给定区间上的函数()y f x =，
1. 函数图像从 到 ， 则称函数在该区间上单调递增是增函数；
2. 函数图像从 到 ， 则称函数在该区间上单调递减是减函数。 （四）判断函数的单调性：
1. 图像法：作出函数的 ，根据图像的 判断函数的单调性。
2. 定义法：根据函数的单调性的定义判断函数的单调性。其步骤为： （1）设定自变量：设 ；
（2）作差变形：作 ，并通过 、 等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；
（3）确定大小：确定 与 的大小； （4）得出结论：根据 得出结论。 （五）函数的单调性的应用：
1. 根据 比较 的大小；
2. 根据 比较 的大小；
3. 在给定区间内求函数的 值或 值。 B ．函数的奇偶性
（一）函数的奇偶性的概念：
设函数()y f x =的定义域为D ，如果对于任意的x D ∈，都有 ，则 （1） ，那么函数()y f x =叫做偶函数； （2） ，那么函数()y f x =叫做奇函数。
（二）函数的奇偶性的理解：
1. 函数按奇偶性可分为：、、和
。
2. 讨论函数的奇偶性的一个前提条件：函数的。（1）若函数的，再讨论；（2）若函数的，则这个函数。（3）函数是既奇又偶函数。
（三）函数的奇偶性的图像特点：
1. 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图像；
如果一个函数的图像，则这个函数是偶函数。
2. 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像；
如果一个函数的图像，则这个函数是奇函数。
3. 一般地，设点(,)
P a b为平面内的任意一点，则
（1）点(,)
P a b关于x轴的对称点的坐标为；
（2）点(,)
P a b关于y轴的对称点的坐标为；
（3）点(,)
P a b关于原点O的对称点的坐标为。
（四）判断函数的奇偶性：
1. 图像法：作出函数的，根据图像的判断函数的奇偶性。
2. 定义法：根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性。其步骤为：
（1）求出函数的；
（2）判断定义域的对称性：
①若定义域，则函数为；
②若定义域，则进行；
（3）比较()
f x
-与()
f x：确定，则函数为；
或，则函数为；
或，则函数为。
3. 在公共定义域内：
（1）若函数解析式中只含有x的偶次方，则函数为函数；
（2）若函数解析式中只含有x的奇次方，且，则函数为函数；
若函数解析式中只含有x的奇次方，且，则函数为函数。（五）函数的奇偶性的应用：
1. 利用函数图像的对称性解决问题；
2. 求函数关于原点对称的区间上的函数值或解析式；
3. 函数的奇偶性与单调性的综合问题：主要体现在两个重要的性质；
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性；
（2）偶函数在关于原点对称的区间上的单调性。
三、函数的实际应用举例
（一）分段函数
1. 定义：函数在自变量的取值范围内，需要用的来表示，这种函数叫做分段函数。
2. 分段函数的定义域：就是自变量的各个不同取值范围的。
3. 分段函数的图像：在同一个坐标系中，分别在自变量的各个不同的取值范围内，根据相应的式子作出相应部分的图像。
（二）函数的实际应用
1. 关键问题：
（1）根据已知条件建立；
（2）进行最值计算。
（3）函数的定义域要受到的制约。
2. 主要类型：
（1）图形的面积：
矩形的面积：S=；
圆的面积：S=。
（2）营销问题：成本= ；
收入= ；
利润= 。
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第四章 指数函数与对数函数
一、实数指数幂
（一）n 次方根：一般地，如果 （*N ∈n 且1>n ），那么x 叫做a 的n 次方根。
1. 当n 为偶数时：
正数a 的偶次方根有 个，分别用 和 表示，其中 叫做a 的n 次算术根；
负数的n 次方根 。 2. 当n 为奇数时：
实数a 的奇次方根只有 个，记作 。 3. 无论n 为奇数还是偶数，零的n 次方根是 。
（二）n 次根式：形如 （*N ∈n 且1>n ）的式子叫做a 的n 次根式， 其中，n 叫做 ，a 叫做 。 （三）整数指数幂：当*N ∈n 且0≠a 时， ______________=n a ；________=-n
a
；
______0=a ；______1=-a ；______2=-a 。 （四）分数指数幂：利用分数指数幂来表示 。 1. 规定：________=n
m a ；当n
m a 有意义，且0≠a 时，________=-
n
m a 。
其中：*N ,∈n m ，且1>n . ______2
1=a ；______3
1=a ；______2
1=-a
；______3
1=-
a
。
2. 当n 为奇数时，a 的取值范围是 ； 当n 为偶数时，a 的取值范围是 。 （五）实数指数幂的运算法则：0>a ，R ,∈q p
________=?q
p
a a ；_________=q p
a
a ；________)(=q p a ；________)(=p a
b 。
二、对数
（一）对数定义：如果N a b =（1,0≠>a a ），那么b 叫做 ，记作 ，其中a 叫做 ，N 叫做 。 （二）指数式与对数式：
形如 的式子叫做指数式；形如 的式子叫做对数式。 当0>a 且1≠a ，0>N 时，在下式中标出相应字母与名称：
___________= ? ________log ____=
（三）常用对数与自然对数：
1. 常用对数：以 为底的对数叫做常用对数， 简记为 ；
2. 自然对数：以 为底的对数叫做自然对数， 简记为 。 （四）对数的性质：0>a 且1≠a
1. ____1log =a ，____log =a a ，____log =n a a ；
2. ____1lg =，____10lg =，____10lg =n ；
3. ____1ln =，____e ln =，____e ln =n ；
4. 0____N ，即 和 没有对数.
（五）对数的运算法则：0>a 且1≠a ，0>M ，0>N
1. ____________________)lg(=?N M ，____________________lg =N M
，
____________________lg =n M ，____________________1
lg =N ；
2. ____________________)ln(=?N M ，____________________ln =N M
， ____________________ln =n M ，____________________1
ln =N
；
3. ____________________)(log =?N M a ，____________________log =N M
a
， ____________________log =n a M ，____________________1
log =N a ， ____________________log =m a a n 。
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三、幂函数、指数函数、对数函数 （一）幂函数
1. 概念：形如 （a ）的函数称为幂函数。 【明确】幂函数的自变量是 数， 数是常数。
2. 性质：
（1）定义域：看 。
① 当a 是正整数时， ；② 当a 是负整数时， ； ③ 当a 是正分数，且分母为偶数，分子为奇数时， ； 当a 是正分数，且分母为偶数，分子为偶数时， ； 当a 是正分数，且分母为奇数时， ；
④ 当a 是负分数时， 。 （2）值域：由 和 决定。
（3）单调性和奇偶性：看 ，具体问题，具体分析。 （二）指数函数
1. 概念：形如 （a ）的函数称为指数函数。 【明确】指数函数的自变量是 数， 数是常数。 函 数
定义域
值 域
底 数
10< 1>a 图 像 指数函数的图像一定经过点 。 单调性 在 上是 函数； 当0 在 上是 函数； 当0 奇偶性 指数函数是 函数。 （三）对数函数 1. 概念：形如 （a ）的函数称为对数函数。 【明确】对数函数的自变量是 数， 数是常数。 函 数 定义域 值 域 底 数 10< 1>a 图 像 对数函数的图像一定经过点 。 单调性 在 上是 函数； 当10< 在 上是 函数； 当10< 奇偶性 对数函数是 函数。 （四）指数函数与对数函数的应用 1. 指数模型： ，其中c 为 ， a 为 。 一般情况下，已知起始数据，变化百分数和变化的时间求结果时，用指数模型。 2. 对数的应用： 一般情况下，已知起始数据，变化百分数和变化后的数据或数据变化的倍数，用对数求变化的时间。即数据变化的倍数变化百分数 log 。 第五章三角函数 一、角的概念的推广 （一）任意角的概念 1. 角的概念：一条绕着它的旋转到另一位置形成的图形叫做角。 旋转开始的位置叫做角的，终止的位置叫做角的，端点叫做角的。 正角：按方向旋转所形成的角； 负角：按方向旋转所形成的角； 零角：旋转所形成的角。 2. 终边相同的角： 与角α终边相同的角（包括角α在内）都可以写成。 与角α终边相同的角有个。 与角α终边相同的角所组成的集合为。3. 象限角和界限角：将角的与重合，与 重合。 （1）象限角：角的在的角就叫做第几象限的角； 第一象限的角的集合是：； 第二象限的角的集合是：； 第三象限的角的集合是：； 第四象限的角的集合是：； 锐角：，钝角；【明确】锐角是第一象限的角，而第一象限的角是锐角； 钝角是第二象限的角，而第二象限的角是钝角。（2）界限角：角的在的角就叫做界限角； 直角：的角，平角：的角，周角：的角。 ①终边在x轴正半轴上的角的集合是：； 终边在x轴负半轴上的角的集合是：； 终边在x轴上的角的集合是：； ②终边在y轴正半轴上的角的集合是：； 终边在y轴负半轴上的角的集合是：； 终边在y轴上的角的集合是：。（二）弧度制 1. 弧度制： （1）弧度：把等于长的所对的叫做1弧度的角。 记作：或。 【规定】正角的弧度为，负角的弧度为，零角的弧度为。（2）弧度制：以为单位来度量角的单位制叫做弧度制。 （3）弧度的计算： ①公式：= α； ②角度与弧度的转换：，； __ __________ __________ ) (1, __________ __________ 1= = ?rad。 2.常用特殊角的弧度与角度之间的转换： 二、三角函数 （一）三角函数的定义 1. 定义：一般地，设角α是平面直角坐标系中的一个任意角，点为角α 上任意一点，点P到的距离为且，那么角α的正弦、余弦和正切分别定义为： ________ tan ________, cos ________, sin= = =α α α。 2. 三角函数包括：、和。 精品文档 α所在的象限 点P的坐标 α sinα cosα tan x y 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 【记忆要点】 第一象限正，第二象限正， 第三象限正，第四象限正。 α?0? 30? 45? 60? 90? 180? 270? 360弧度 α sin α cos α tan （二）同角三角函数的基本关系式 1. 平方关系：。 （1）转化一：； ①当角α是第、象限的角时，取号，即； ②当角α是第、象限的角时，取号，即； ③若没有说明角α终边所在象限，则。（1）转化二：； ①当角α是第、象限的角时，取号，即； ②当角α是第、象限的角时，取号，即； ③若没有说明角α终边所在象限，则。2.比例关系：。 转化：、。【明确】 （1）单位圆：在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径的圆叫做单位圆。 （2）必须是同角才具备以上关系式。 （3）角α的终边与单位圆的交点P的坐标为。（三）诱导公式 1.终边相同的角的同名三角函数值。 2.设角α是第一象限的角（一般为? < < ?90 0α），则有 精品文档 （四）三角函数的图像和性质 1. 正弦函数： （1）解析式：； （2）定义域：； （3）值域：； （4）周期性：周期性，最小正周期是； （5）单调性： ①正弦函数在每一个区间) (Z k∈上分别是增函数，函数值 由增大到； 正弦函数在每一个区间) (Z k∈上分别是减函数，函数值 由减小到； ②当= x) (Z k∈时，y取最大值，______ max = y； 当= x) (Z k∈时，y取最小值，______ min = y； （6）奇偶性：由诱导公式可知正弦函数是函数； （7）函数图像：“五点法”作图。 ①x的取值范围是：； ②五个关键点： x x y sin = ③正弦函数的图像： 2.余弦函数： （1）解析式：； （2）定义域：； （3）值域：； （4）周期性：周期性，最小正周期是； （5）单调性： ①余弦函数在每一个区间) (Z k∈上分别是增函数，函数值 由增大到； 余弦函数在每一个区间) (Z k∈上分别是减函数，函数值 由减小到； ②当= x) (Z k∈时，y取最大值，______ max = y； 当= x) (Z k∈时，y取最小值，______ min = y； （8）奇偶性：由诱导公式可知余弦函数是函数； （9）函数图像：“五点法”作图。 ①x的取值范围是：； x x y cos = ③余弦函数的图像： 精品文档 精品文档 3. 正切函数： （1）解析式： ； （2）定义域： ； （3）值 域： ； （4）周期性： 周期性，最小正周期是 ； （5）单调性：正切函数在每一个区间??? ??++-ππππk k 22,22)(Z k ∈上分别是增函数； （6）奇偶性：正切函数是 函数。 三、已知三角函数值求角 1. 终边相同的角的三角函数值 ； 2. 已知角的大小，则相应的三角函数值是 的； 3. 已知三角函数值，则相应的角有 个，可根据终边相同的角求出所要求范围内的角。 第六章 数 列 一、基本概念 （一）数列的概念： 按照 排成的 叫做数列； 数列中的 叫做数列的 。 从开始的项起，自左至右排序，各项按照其 依次叫做数列的 （或 ）， ， ，Λ， ，Λ。 其中反映各项在数列中的 的 分别叫做 对应的项的 ，取值范围是 。 （二）数列的分类：有穷数列：具有 的数列； 无穷数列：具有 的数列。 （三）数列的表示：一般形式是 ，简记作 。 通常把第n 项叫做数列的 或 。一个数列的第n 项n a 如果能够用关于 的一个 来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式。 二、等差数列 （一）等差数列的定义： 如果一个数列从第 项起，每一项与 一项的 都等于 ，那么这个数列叫做等差数列。 这个 叫做等差数列的 ，一般用字母 表示。 可知：____1=-+n n a a ，则________1=+n a 。 （二）等差数列的通项公式： 。 【明确】等差数列的通项公式中，可以把 看作 的函数。 （三）等差数列的前n 项和公式： ； 。 （四）等差数列的应用： 1. 已知三个数成等差数列，一般可以将这三个数设为 。 2. 银行存款的年利率与月利率的关系是：月利率 = 。 三、等比数列 （一）等比数列的定义： 如果一个数列从第 项起，每一项与 一项的 都等于 ，那么这个数列叫做等比数列。 这个 叫做等比数列的 ，一般用字母 表示。 可知： ____1 =+n n a a ，则________1=+n a 。 （三）等比数列的通项公式： 。 【明确】在等比数列中， 和 都不能为 。 （四）等比数列的前n 项和公式： ； 。 （五）等比数列的应用： 1. 已知三个数成等比数列，一般可以将这三个数设为 。 2. 贷款一般采用 ，含义是将前期的本金及利息的和（简称本利和）作 精品文档 为后一期的本金来计算利息，俗称“利滚利”。 第七章 平面向量 一、平面向量的有关概念 （一）向量的概念 1. 向量的定义：既有 又有 的量叫向量。 2. 向量的要素： 和 。 3. 向量的表示方法： （1）图形表示： ，即带有 的线段来表示向量。 （2）字母表示：以点A 为起点，点B 为终点的向量记作： ， 也可以记作： 。 4. （即有向线段的 ）叫做向量的模。 的模记作： ；向量a ? 的模记作： 。 （二）特殊的向量： 1. 零向量： 为 的向量叫做零向量，记作： ； 零向量的方向是 的。 2. 单位向量： 为 的向量叫做单位向量。 3. 非零向量a ?的负向量：与非零向量a ? 的模 ，且方向 的向量叫做向量a ? 的负向量，记作： 。 【规定】零向量的负向量为 。 （三）相等的向量与共线向量： 1. 相等的向量：当向量a ?与向量b ?的模 ，且方向 时，称向量a ? 与向量b ? 相等，记作 。 2. 共线向量： （1）互相平行的向量：方向 或 的两个 向量叫做互相平行的 向量，向量a ? 与向量b ?平行记作 。 （2）向量的平移：在同一平面内，保持向量的 和 不变，可以将向量平移至任何需要的位置。 （3）共线向量：任意一组互相平行的向量都可以平移到 上，所以互相平行的向量又叫做共线向量。 （4）规定： 与任何一个向量都平行。 二、平面向量的线性运算 （一）向量的加法 1. 向量的加法运算：求向量的 的运算叫做向量的加法。运算的结果是 。 2. 向量的加法运算法则： （1）向量加法的三角形法则：已知向量a ?、b ?， 在平面上任取一点A ，作a AB ? =，b BC ?=，作向量AC ，则向量AC 叫做向量a ?与b ?的和，记作a ?b ? +。 b ? （2）向量加法的平行四边形法则：已知向量a ?、b ?，在平面上任取一点A ，作a AB ? =， b AD ?=，以AB ，AD 为邻边平行四边形ABCD ，则以A 为起点的对角线b a AC ? ?+=。 b ? 3. 向量加法运算律： （1）零向量：_______________0==+? ?a ； （2）交换律：__________=+b a ? ?； （3）结合律：____)(________)(++=++c b a ? ??。 （二）向量的减法 1. 向量的减法运算：求向量的 的运算叫做向量的减法。运算的结果是 。 2. 向量的减法运算法则： （1）起点相同的两个向量，它们的差向量是由 向量的终点指向 向量的 终点，即若设a AB ?=，b AC ?=，则______=-=-AC AB b a ? ?； （2）终点相同的两个向量，它们的差向量是由 向量的起点指向 向量的 起点，即若设a AC ?=，b BC ?=，则______=-=-BC AC b a ? ?。 3. 向量减法运算律：减去一个向量等于加上它的 。 a ? a ? 精品文档 即(______)____+=-b a ? ?。 （三）向量的数乘运算 1. 向量的数乘运算： 与 的 运算叫做向量的数乘运算。 λ与 a ? 的 仍然是一个 ，记作 。 2. 向量的数乘运算法则： （1）a ? λ的大小：即它的 为_________________=； （2）a ?λ的方向：当0||≠a ? λ时， ① 若0>λ，a ?λ与a ? ；② 若0<λ，a ?λ与a ? 。 3. 向量数乘运算的运算律：若λ、μ为实数，则 （1）____(________))(?=?a ? μλ； （2）________________)(+=?+a ? μλ； （3）________________)(+=+?b a ? ?λ。 4. 5. 向量的数乘运算的集合意义：就是把向量a ? 沿它的 方向或 方向 放大或缩小到原来的 倍。 （四）平面向量的线性运算 1. 2. 平面向量的线性运算包括：向量的 、向量的 和向量的 运算。 3. 向量的线性组合：b a ?? μλ+叫做向量 与 的一个线性组合，其中λ、μ均为 。 三、 四、平面向量的内积 （一）两个向量的夹角 1. 2. 向量夹角的定义：设向量a ?与向量b ?都是非零向量，作a OA ? =，b OB ?=，则 叫 做向量a ? 与向量b ?的夹角，记作 。 3. 明确： （1） （2）作向量的夹角时，两个向量必须在 起点出发； （3） （4）向量的夹角的取值范围是 。 （二）向量的内积 1. 2. 向量的内积的定义：两个向量a ? 与向量b ?的 与它们的 的 的 叫做向量a ? 与向量b ?的内积，记作 。 【明确】向量的内积的运算结果是 量。 2. 运算公式：__________________________??=?b a ? ?。 3. 几个重要的结果： （1） （2） ______ _______________,cos +>= （3）22(_____))(==?a a a ρ ??； （4）____________________||==a ? ； （5） （6）__________0?=?b a ? ?。 四、平面向量的坐标表示 （一）用坐标表示平面向量 1. 用起点与终点的坐标表示：设起点为),(11y x A ，终点为),(22y x B ，则向量AB 的坐标可以表示为_________),(_________=AB ，即 坐标 - 坐标。 2. 用单位坐标表示：设i ?、j ? 分别是平面直角坐标系内x 轴和y 轴上的单位向量，对任 何一个平面向量 a ? 都存在着一对有序实数对 ),(y x 使得 j y i x a ??? +=，则这个有序 实数对 就叫做向量a ?的坐标，记作________=a ? 。 （二）向量运算的坐标表示 在平面直角坐标系中，设),(11y x a =? ，),(22y x b =?，则 精品文档 1. 向量的模的运算：____________||= a ? ；=||b ? 。 2. 向量的线性运算的坐标表示： ________)(________,=+b a ??；________)(________,=-b a ??；______)(______,=a ? λ。 3. 向量内积的坐标表示：_____________=?b a ? ?； 若向量a ? 与向量b ?都是非零向量，则__________ _______________ __________,cos +>= 可以用这个公式求两个向量的 的大小。 4. 向量的平行（共性向量）与垂直：若向量a ? 与向量b ?都是非零向量 （1）a ?//b ? ? ； （2）b a ? ?⊥? 。 第八章 直线和圆的方程 一、直线方程 （一）两点间距离公式：设平面直角坐标系中有任意两点),(111y x P 和),(222y x P ： 1. 两点间的距离公式：______________________________||21=P P ； 2. 当这两个点都在x 轴上时，_____21==y y ，所以____________||21=P P ； 3. 当这两个点都在y 轴上时，______21==x x ，所以____________||21=P P 。 （二）线段中点坐标公式 设线段AB 的两个端点分别为),(11y x A ，),(22y x B ，线段的中点为),(00y x M ，则 ____________,__________00==y x 。 （三）直线的重要参数 1. 直线的倾斜角：直线 的方向与 轴 的夹角称为直线的倾斜角，记作：角 。 【规定】（1）直线与x 轴平行时，其倾斜角为 ； （2）直线与x 轴垂直时，其倾斜角为 ； （3）直线倾斜角α的取值范围是 。 2. 直线的斜率： （1）直线的斜率的定义：直线倾斜角的 值就叫做直线的斜率，记作 。 （2）直线的斜率的计算方法： 【明确】当直线的倾斜角为 时，其正切值 ， 故当直线的倾斜角为 时，其斜率 ， 即当直线与x 轴 时，其斜率 。 斜率的计算方法一：根据倾斜角计算。 即当直线的倾斜角为α时，其斜率__________=k ； 斜率的计算方法二：根据直线上任意两点的坐标计算。 即当直线上有任意两点),(111y x P 和),(222y x P 时，其斜率为 __________ __________ =k ； 斜率的计算方法三：根据直线的方程计算。 若直线方程为b kx y +=时，其斜率为 ； 若直线方程为0=++C By Ax 时，其斜率________=k 。 3. 直线的截距： （1）直线在x 轴上的截距： 即直线与x 轴的 的 坐标，一般用 表示； 直线在y 轴上的截距： 即直线与y 轴的 的 坐标，一般用 表示。 （2）截距的计算： 直线的斜截式方程中：________________,==b a ； 直线的一般式方程中：________________,==b a 。 （四）直线的方程 【引课】 师生共同欣赏图片“中国所有的大熊猫”、“我们班的所有同学” 师：“物以类聚”；“人以群分”；这些都给我们以集合的印象 引入课题 【新授】 课件展示引例： (1) 某学校数控班学生的全体；(2) 正数的全体； (3) 平行四边形的全体；(4) 数轴上所有点的坐标的全体。 1. 集合的概念 (1) 一般地，把一些能够确定的对象看成一个整体，我们就说，这个整体是由这些对象的全体构成的集合(简称为集)； (2) 构成集合的每个对象都叫做集合的元素； (3) 集合与元素的表示方法：一个集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示，它的元素通常用小写英文字母a，b，c，…表示。 2. 元素与集合的关系 (1) 如果a 是集合A 的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A” (2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a?A读作“a不属于A” 3. 集合中元素的特性 (1)确定性：作为集合的元素，必须是能够确定的这就是说，不能确定的对象，就不能构成集合 (2) 互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素是互异的这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象 4. 集合的分类 (1) 有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集 (2) 无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集 5. 常用数集及其记法 (1) 自然数集：非负整数全体构成的集合，记作N； (2) 正整数集：非负整数集内排除0的集合，记作N＋或N*； (3) 整数集：整数全体构成的集合，记作Z； (4) 有理数集：有理数全体构成的集合，记作Q； (5) 实数集：实数全体构成的集合，记作R。 【巩固】 例1判断下列语句能否构成一个集合，并说明理由 (1) 小于10 的自然数的全体；(2) 某校高一(2)班所有性格开朗的男生； (3) 英文的26 个大写字母；(4) 非常接近1 的实数。 练习1判断下列语句是否正确： (1) 由2，2，3，3构成一个集合，此集合共有4个元素； (2) 所有三角形构成的集合是无限集； (3) 周长为20 cm 的三角形构成的集合是有限集； (4) 如果a ∈Q，b ∈Q，则a＋b ∈Q。 例2用符号“∈”或“?”填空： (1) 1N，0N，－4N，0.3N；(2) 1Z，0Z，－4Z，0.3Z； (3) 1Q，0Q，－4Q，0.3Q；(4) 1R，0R，－4R，0.3R。 练习2用符号“∈”或“?”填空： 第六章：数列 1. ： （1） 已知数列 {a n } 的通 公式 a n =2n-5，那么 a 2n =（ ）。 A 2n-5B 4n-5 C2n-10 D 4n-10 （ 2）等差数列 -7/2， -3， -5/2， -2， ·第 n+1 （ ） A 1 ( n 7) B 1 (n 4) C n 4 D n 7 2 2 2 2 （3）在等差数列 { a n } 中，已知 S 3=36 ， a 2=（ ） A 18 B 12 C 9 D 6 （4）在等比数列 {a n 2 5 8 ） } 中，已知 a =2 ， a =6， a =（ A 10 B 12 C 18 D 24 2．填空 ： （ 1）数列 0， 3， 8， 15， 24，? 的一个通 公式 _________________. （ 2）数列的通 公式 a n =（ -1） n+1 ? 2+n, a 10=_________________. （ 3）等差数列 -1， 2， 5， ? 的一个通 公式 ________________. （ 4）等比数列 10，1， 1 ， ?的一个通 公式 ______________. 10 3.数列的通 公式 a n =sin n , 写出数列的前 5 。 4 4.在等差数列 { a n } 中， a 1=2， a 7=20 ，求 S 1 5. 5.在等比数列 { a n } 中， a 5= 3 ， q= 1 ,求 S 7. 4 2 6. 已知本金 p=1000 元，每期利 i=2% ，期数 n=5,按复利 息，求到期后的本利和 7. 在同一根 上安装五个滑 ，它 的直径成等差数，最小与最大的滑 直径分 120 厘米与 216 厘米，求中 三个滑 的直径 . 第六章：数列 1. 选择题： （1） 已知数列{a n }的通项公式为a n =2n-5，那么a 2n =（ ）。 A 2n-5 B 4n-5 C 2n-10 D 4n-10 （2）等差数列-7/2，-3，-5/2，-2，··第n+1项为（ ） A )7(21-n B )4(2 1-n C 42-n D 72-n （3）在等差数列{ a n }中，已知S 3=36，则a 2=（ ） A 18 B 12 C 9 D 6 （4）在等比数列{a n }中，已知a 2=2，a 5=6，则a 8=（ ） A 10 B 12 C 18 D 24 2．填空题： （1）数列0，3，8，15，24，…的一个通项公式为_________________. （2）数列的通项公式为a n =（-1）n+1?2+n,则a 10=_________________. （3）等差数列-1，2，5，…的一个通项公式为________________. （4）等比数列10，1， 10 1，…的一个通项公式为______________. 3.数列的通项公式为a n =sin ,4πn 写出数列的前5项。 4.在等差数列{ a n }中，a 1=2，a 7=20，求S 1 5. 5.在等比数列{ a n }中，a 5=43，q=2 1-,求S 7. 6. 已知本金p=1000元，每期利i=2%，期数n=5,按复利计息，求到期后的本利和 7. 在同一根轴上安装五个滑轮，它们的直径成等差数，最小与最大的滑轮直径分别为 120厘米与216厘米，求中间三个滑轮的直径. 第七章：向量 1. 选择题： （1）平面向量定义的要素是（ ） A 大小和起点 B 方向和起点 C 大小和方向 D 大小、方向和起点 （2）--等于（ ） A 2 B 2 C D 0 （3）下列说法不正确的是（ ）. A 零向量和任何向量平行 B 平面上任意三点A 、B 、 C ，一定有AC BC AB =+ C 若)(R m m ∈=，则// D 若2211,e x e x ==，当21x x =时，= （4）设点A （a 1,a 2 ）及点B （b 1,b 2），则的坐标是（ ） A （2211,b a b a --） B （2121,b b a a --） C （2211,a b a b --） D （1212,b b a a --） （5）若?=-4，||=2，||=22，则<,>是（ ） A ο0 B ο90 C ο180 D ο 270 （6）下列各对向量中互相垂直的是（ ） A )5,3(),2,4(-== B )3,4(),4,3(=-= C )5,2(),2,5(--== D )2,3(),3,2(-=-= 2. 填空题： （1）BC CD AB ++=______________. （2）已知2（+）=3（-），则=_____________. （3）向量,的坐标分别为（2，-1），（-1，3），则b a +的坐标_______， 23+的坐标为__________. （4）已知A （-3，6），B （3，-6），则=__________,||=____________. （5）已知三点A （3+1，1），B （1，1），C （1，2），则<,>=_________. 数学竞赛二年级试卷 分值：120分 时间：120分 姓名： 班级： 一、选择题 1. 在正方体ABCD-A ’B’C’D’中,与棱AA ’异面的直线共有几条（ ） A.4 B.6 C.8 D.10 2.已知直线()021:1=-++y x a l 与直线()0122:2=+++y a ax l 互相垂直，则实数 a 的值为（ ） A. -1或2 B. -1或-2 C. 1或2 D. 1或-2 6．如果直线ax +2y+2=0与直线3x －y －2=0平行，则a 等于 （ ） A ．－3 B ．－6 C ．2 3- D ．3 2 3． 4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 3.. 正方体ABCD-A ’B’C’D’中,异面直线CD ’和BC ’所成的角的度数是（ ） A.45° B.60° C.90° D.120° C C' D D'B' A' A B 、已知直线ax+by+c=0)0(≠abc 与圆x 2+y 2=1相切，则三条边长分别为|a|、|b|、|c|的三角形是 （ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、 钝角三角形 D 、不存在 67. 直线a 是平面α的斜线，b 在平α内，已知a 与b 成60°的角，且b 与a 在平α内的射影成45°角时，a 与α所成的角是（ ） A.45° B.60° C.90° D.135° 5. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 8. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，， 分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与 GH 所成的角等于（ ） Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．90° Ｄ．120° 9. 已知两个平面垂直，下列命题 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D. αb a O C B A A F D B C G E 1B H 1 C 1D 1A 中职数学基础模块上册（人教版）全套教案 目录 第一章集合 (3) 1.1.1 集合的概念 (3) 1.1.2 集合的表示方法 (7) 1.1.3 集合之间的关系(一) (11) 1.1.3 集合之间的关系(二) (15) 1.1.4 集合的运算(一) (18) 1.1.4 集合的运算（二) (23) 1.2.1 充要条件 (26) 1.2.2 子集与推出的关系 (30) 第二章不等式 (33) 2.1.1 实数的大小 (33) 2.1.2 不等式的性质 (37) 2.2.1 区间的概念 (41) 2.2.2 一元一次不等式(组)的解法 (45) 2.2.3 一元二次不等式的解法(一) (49) 2.2.3 一元二次不等式的解法(二) (52) 2.2.4 含有绝对值的不等式 (56) 2.3 不等式的应用 (59) 第三章函数 (62) 3.1.1 函数的概念 (62) 3.1.2 函数的表示方法 (67) 3.1.3 函数的单调性 (71) 3.1.4 函数的奇偶性 (75) 3.2.1 一次、二次问题 (80) 3.2.2 一次函数模型 (83) 3.2.3 二次函数模型 (87) 3.3 函数的应用 (92) 第四章指数函数与对数函数 (95) 4.1.1 有理指数(一) (95) 4.1.1 有理指数(二) (99) 4.1.2 幂函数举例 (104) 4.1.3 指数函数 (108) 4.2.1 对数 (113) 4.2.2 积、商、幂的对数 (116) 4.2.3 换底公式与自然对数 (120) 4.2.4 对数函数 (123) 4.3 指数、对数函数的应用 (127) 第五章三角函数 (130) 集合测试题 一选择题： 1.给出四个结论： ①｛1，2，3，1｝是由4个元素组成的集合 ②集合｛1｝表示仅由一个“1”组成的集合 ③｛2，4，6｝与｛6，4，2｝是两个不同的集合④集合｛大于3的无理数｝是一个有限集 其中正确的是( ); A.只有③④ B.只有②③④ C.只有① D.只有② 2.下列对象能组成集合的是( ); A.最大的正数 B.最小的整数 C. 平方等于1的数 D.最接近1的数 3.I =｛0,1,2,3,4｝,M=｛0,1,2,3｝,N=｛0,3,4｝, M C ) (N I A.｛2,4｝ B.｛1,2｝ C.｛0,1｝ D.｛0,1,2,3｝ 4.I =｛a,b,c,d,e ｝ ,M=｛a,b,d ｝,N=｛b ｝,则N M C I )( A.｛b ｝ B.｛a,d ｝ C.｛a,b,d ｝ D.｛b,c,e ｝ 5.A =｛0,3｝ ,B=｛0,3,4｝,C=｛1,2,3｝则 =A C B )(( ); A.｛0,1,2,3,4｝ B.φ C.｛0,3｝ D.｛0｝ 6．设集合M =｛-2,0,2｝,N =｛0｝,则( ); A.φ=N B.M N ∈ C.M N ? D.N M ? 7.设集合{}0),(>=xy y x A ，{},00),(>>=y x y x B 且则正确的是( ); A.B B A = B.φ=B A C.B A ? D.B A ? 8.设集合{}{},52,41<≤=≤<=x x N x x M 则 =B A A.{}51< D.{}4,3,2 9.设集合{}{},6,4<=-≥=x x N x x M 则=N M ; A.R B.{}64<≤-x x C.φ D. {}64<<-x x 10.下列命题中的真命题共有( ); ① x =2是022 =--x x 的充分条件 ② x≠2是022 ≠--x x 的必要条件 ③y x =是x=y 的必要条件 ④ x =1且y =2是0)2(12=-+-y x 的充要条件 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二 填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 1.用列举法表示集合 {}=<<-∈42x Z x ; 2.｛m,n ｝的真子集共3个，它们是 ; 3.如果一个集合恰由5个元素组成，它的真子集中有两个分别是B =｛a,b,c ｝,C = 中职数学（基础模块）教案 1．1集合的概念 知识目标：（1）理解集合、元素及其关系；（2）掌握集合的列举法与描述法，会用适当的方法表示集合． 能力目标：通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.教学重点：集合的表示法． 教学难点：集合表示法的选择与规范书写． 课时安排：2课时． 1.2集合之间的关系 知识目标：（1）掌握子集、真子集的概念；（2）掌握两个集合相等的概念；（3）会判断集合之间的关系. 能力目标：通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.教学重点：集合与集合间的关系及其相关符号表示． 教学难点：真子集的概念． 课时安排：2课时． 1.3集合的运算（1） 知识目标：（1）理解并集与交集的概念；（2）会求出两个集合的并集与交集．能力目标：（1）通过数形结合的方法处理问题，培养学生的观察能力；（2）通过交集与并集问题的研究，培养学生的数学思维能力． 教学重点：交集与并集． 教学难点：用描述法表示集合的交集与并集． 课时安排：2课时． 1.3集合的运算（2） 知识目标：（1）理解全集与补集的概念；（2）会求集合的补集． 能力目标：（1）通过数形结合的方法处理问题，培养学生的观察能力；（2）通过全集与补集问题的研究，培养学生的数学思维能力． 教学重点：集合的补运算． 教学难点：集合并、交、补的综合运算． 课时安排：2课时． 1.4充要条件 知识目标：了解“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”． 能力目标：通过对条件与结论的研究与判断，培养思维能力． 教学重点：（1）对“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”的理解．（2）符号“”，“”，“”的正确使用． 教学难点：“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”的判定． 课时安排：2课时． 2.1不等式的基本性质 知识目标：⑴理解不等式的基本性质；⑵了解不等式基本性质的应用．能力目标：⑴了解比较两个实数大小的方法；⑵培养学生的数学思维能力和计算技能． 教学重点：⑴比较两个实数大小的方法；⑵不等式的基本性质． 教学难点：比较两个实数大小的方法． 课时安排：1课时． 2．2区间 知识目标：⑴掌握区间的概念；⑵用区间表示相关的集合． 职高数学（基础模块上）期末考试附答案 （ 考试内容：第三、第四、第五章） （考试时间120分钟，满分150分） 学校 姓名 考号 一、选择题：每题4分，共60分（答案填入后面表格中，否则不得分） 1.设集合{}{},52,41<≤=≤<=x x N x x M 则=B A I ( ); A.{}51< 1.1.1 集合的概念 【教学目标】 1. 初步理解集合的概念；理解集合中元素的性质． 2. 初步理解“属于”关系的意义；知道常用数集的概念及其记法． 3. 引导学生发现问题和提出问题，培养独立思考和创造性地解决问题的意识． 【教学重点】 集合的基本概念，元素与集合的关系． 【教学难点】 正确理解集合的概念． 【教学方法】 本节课采用问题教学和讲练结合的教学方法，运用现代化教学手段，通过创设情景，引导学生自己独立地去发现、分析、归纳，形成概念． 【教学过程】 环节教学内容师生互动设计意图 导入 师生共同欣赏图片“中国所有的大 熊猫”、“我们班的所有同学”． 师：“物以类聚”；“人以 群分”；这些都给我们以集合的 印象． 引入课题． 联系实际； 激发兴趣． 新课课件展示引例： (1) 某学校数控班学生的全体； (2) 正数的全体； (3) 平行四边形的全体； (4) 数轴上所有点的坐标的全体． 师：每个例子中的“全体” 是由哪些对象构成的？这些对 象是否确定？ 你能举出类似的几个例子 吗？ 学生回答． 教师引导学生阅读教材，提 出问题如下： (1) 集合、元素的概念是如 何定义的？ (2) 集合与元素之间的关 系为何？是用什么符号表示 的？ (3) 集合中元素的特性是 什么？ (4) 集合的分类有哪些？ (5) 常用数集如何表示？ 教师检查学生自学情况，梳 从具体事例直观 感知集合，为给出集 合的定义做好准备． 老师提出问题， 放手让学生自学，培 养自学能力，提高学 生的学习能力． 检查自学、梳理 知识阶段，穿插讲解 1 新课1. 集合的概念． (1) 一般地，把一些能够确定的对 象看成一个整体，我们就说，这个整体 是由这些对象的全体构成的集合(简称 为集)． (2) 构成集合的每个对象都叫做集 合的元素． (3) 集合与元素的表示方法：一个 集合，通常用大写英文字母A，B，C，… 表示，它的元素通常用小写英文字母 a，b，c，…表示． 2. 元素与集合的关系． (1) 如果a 是集合A 的元素，就 说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A”． (2)如果a不是集合A的元素，就说 a不属于A，记作a?A．读作“a不属 于A”． 3. 集合中元素的特性． (1) 确定性：作为集合的元素，必 须是能够确定的．这就是说，不能确定 的对象，就不能构成集合． (2) 互异性：对于一个给定的集合， 集合中的元素是互异的．这就是说，集 合中的任何两个元素都是不同的对象． 4. 集合的分类． (1) 有限集：含有有限个元素的集 合叫做有限集． (2) 无限集：含有无限个元素的集 合叫做无限集． 5. 常用数集及其记法． (1) 自然数集：非负整数全体构成 的集合，记作N； (2) 正整数集：非负整数集内排除0 的集合，记作N＋或N*； 理本节课知识，并强调要注意的 问题． 教师要把集合与元素的定 义分析透彻． 请同学举出一些集合的例 子，并说出所举例子中的元素． 教师强调：“∈”的开口方 向，不能把a∈A颠倒过来写． 教师强调集合元素的确定 性．师：高一(1)班高个子同学 的全体能否构成集合？ 生：不能构成集合．这是由 于没有规定多高才算是高个子， 因而“高个子同学”不能确定． 教师强调：相同的对象归入 同一个集合时只能算作集合的 一个元素． 请学生试举有限集和无限 集的例子． 师：说出自然数集与非负整 数集的关系． 生：自然数集与非负整数集 是相同的． 师：也就是说，自然数集包 括数0． 解难点、强调重点、 举例说明疑点等环 节，使学生真正掌握 所学知识． 2 第三章函数单元测试题 姓名___________学号_____ 一、选择题 1．下列函数中为奇函数的是 A ．22y x =+ Ｂ．y =Ｃ．1y x x =- Ｄ．22y x x =- 2．设函数(),f x kx b =+若()()12,10f f =--=则 Ａ．1,1k b ==- Ｂ．1,1k b =-=- Ｃ．1,1k b =-= Ｄ．1,1k b == 1．函数4)(2-=x x f 的定义域是 Ａ．(-2,2) Ｂ．[-2,2] Ｃ．()()+∞-∞-,22,Y Ｄ．()),2[2,+∞-∞-Y ２．已知函数1()1 x f x x += =-，则=-)2(f A ． 31- Ｂ．31 Ｃ．1 Ｄ．3 ３．函数2()43f x x x =-+ Ａ．在(),2-∞内是减函数 Ｂ．在(),o -∞内是减函数 Ｃ．在(),4-∞内是减函数 Ｄ．在(),-∞+∞内是减函数 ４．下列函数即是奇函数又是增函数的是 Ａ．3y x = Ｂ．1y x = Ｃ．22y x = Ｄ．13 y x =- ５．设点（3,4）为奇函数()()y f x x R =∈图像上的点，则下列各点在函数图像上的是 Ａ．（-3,4） Ｂ．（3，-4） Ｃ．（-3，-4） Ｄ．（-4，-3） ４．函数1y x =的定义域为 Ａ．[]1,+∞ Ｂ．()1,-+∞ Ｃ．[1,)-+∞ Ｄ．[1,0)(0,)-+∞U 5．下列各函数中，既是偶函数，又是区间),0(+∞内的增函数的是 Ａ．y x = Ｂ．3y x = Ｃ．22y x x =+ Ｄ．2 y x =- 二、填空题 1.设()2 54,f x x =-则f(2)＝ ,f(x+1)= ２．设()31,f x x =-则()1f t +＝ ３．点()2,3p -关于坐标原点的对称点的坐标为 ４．函数15 y x =-的定义域为 5．函数22y x =-的增区间为 6．已知函数()22f x x x =+，则1 (2)()2 f f ?= 7．已知? ??--=33)(2x x x f 00x x ≤>，则f(-2)＝ 三、简答题 1．判断下列函数中那些是奇函数？哪些是偶函数？ （１）()3f x x = （2）()221f x x =- + ２．求下列函数的定义域 （１）( )21f x = - （２）( )2f = 3. 写出函数y= f (x )的增区间______________，y= g (x )的减区间______________ (y=g (x - 集合测试题 一 选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求，把正确选项写在表格中。 1.给出 四个结论： ①｛1，2，3，1｝是由4个元素组成的集合 ② 集合｛1｝表示仅由一个“1”组成的集合 ③｛2，4，6｝与｛6，4，2｝是两个不同的集合 ④ 集合｛大于3的无理数｝是一个有限集 其中正确的是 ( ); A.只有③④ B.只有②③④ C.只有①② D.只有② 2.下列对象能组成集合的是( ); A.最大的正数 B.最小的整数 C. 平方等于1的数 D.最接近1的数 3.I =｛0,1,2,3,4｝,M =｛0,1,2,3｝ ,N =｛0,3,4｝,)(N C M I =( ); A.｛2,4｝ B.｛1,2｝ C.｛0,1｝ D.｛0,1,2,3｝ 4.I =｛a,b,c,d,e ｝ ,M=｛a,b,d ｝,N=｛b ｝,则N M C I )(=( ); A.｛b ｝ B.｛a,d ｝ C.｛a,b,d ｝ D.｛b,c,e ｝ 5.A =｛0,3｝ ,B=｛0,3,4｝,C=｛1,2,3｝则=A C B )(( ); A.｛0,1,2,3,4｝ B.φ C.｛0,3｝ D.｛0｝ 6．设集合M =｛-2,0,2｝,N =｛0｝,则( ); A.φ=N B.M N ∈ C.M N ? D.N M ? 7.设集合{}0),(>=xy y x A ，{} ,00),(>>=y x y x B 且则正确的是( ); A.B B A = B.φ=B A C.B A ? D.B A ? 8.设集合{}{} ,52,41<≤=≤<=x x N x x M 则=B A ( ); A.{}51< 二. 选择题 1、下列选项能组成集合的是（ ）。 A 、著名的运动健儿 B 、英文26个字母 C 、非常接近0的数 D 、勇敢的人 2、给出下列四个结论： ①｛1，2，3，1｝是由4个元素组成的集合； ② 集合｛1｝表示仅由一个元素“1”组成的集合； ③｛2，4，6｝与｛6，4，2｝是两个不同的集合； ④ 集合｛大于3的无理数｝是一个有限集； 四个结论中，正确的是( )。 A.只有③④ B.只有①②③ C.只有①② D.只有② 3、A =｛0,3｝,B =｛0,3,4｝,C =｛1,2,3｝则=A C B )(( )。 A.｛0,1,2,3,4｝ B.? C.｛0,3｝ D.｛0｝ 4、设集合N =｛0｝，M =｛-2,0,2｝，则( )。 A.N =? B.M N ∈ C.N M ? D.M N ? 5、设集合{}{}14,25M x x N x x =<≤=≤<，则=B A ( )。 A.{}51< ① x =2是022=--x x 的充分条件； ② x≠2是022≠--x x 的必要条件； ③ y x =是x=y 的必要条件； ④ x =1且y =2是2(1)(2)0x y -+-=的充要条件； A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9、设a 、b 、c 均为实数，且a b <，下列结论正确的是( )。 A.a c b c ?-x 的解集为（ ）。 A.5>x B.5 师生共同欣赏图片“中国所有的大熊猫”、“我们班的所有同学” 师：“物以类聚”；“人以群分”；这些都给我们以集合的印象 引入课题 【新授】 课件展示引例： (1) 某学校数控班学生的全体； (2) 正数的全体； (3) 平行四边形的全体； (4) 数轴上所有点的坐标的全体。 1. 集合的概念 (1) 一般地，把一些能够确定的对象看成一个整体，我们就说，这个整体是由这些对象的全体构成的集合(简称为集)； (2) 构成集合的每个对象都叫做集合的元素； (3) 集合与元素的表示方法：一个集合，通常用大写英文字母 A ，B ，C ，…表示，它的元素通常用小写英文字母 a ，b ，c ，… 表示。 2. 元素与集合的关系 (1) 如果 a 是集合 A 的元素，就说a 属于A ，记作a ?A ，读作“a 属于A ” (2)如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ? A 读作“a 不属于A ” 3. 集合中元素的特性 (1) 确定性：作为集合的元素，必须是能够确定的这就是说，不能确定的对象，就不能构成集合 (2) 互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素是互异的这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象 4. 集合的分类 (1) 有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集 (2) 无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集 5. 常用数集及其记法 (1) 自然数集：非负整数全体构成的集合，记作 N ； (2) 正整数集：非负整数集内排除0的集合，记作 N ＋或 N*； (3) 整数集：整数全体构成的集合，记作 Z ； (4) 有理数集：有理数全体构成的集合，记作 Q ； (5) 实数集：实数全体构成的集合，记作 R 。 【巩固】 例1 判断下列语句能否构成一个集合，并说明理由 (1) 小于 10 的自然数的全体；(2) 某校高一(2)班所有性格开朗的男生； (3) 英文的 26 个大写字母； (4) 非常接近 1 的实数。 练习1 判断下列语句是否正确： (1) 由2，2，3，3构成一个集合，此集合共有4个元素； (2) 所有三角形构成的集合是无限集； (3) 周长为20 cm 的三角形构成的集合是有限集； (4) 如果a ? Q ，b ? Q ，则 a ＋b ? Q 。 例2 用符号“?”或“?”填空： (1) 1 N ，0 N ，－4 N ，0.3 N ；(2) 1 Z ，0 Z ，－4 Z ，0.3 Z ； (3) 1 Q ，0 Q ，－4 Q ，0.3 Q ；(4) 1 R ，0 R ，－4 R ，0.3 R 。 练习2 用符号“?”或“?”填空： (1) －3 N ；(2) 3.14 Q ；(3) 13 Z ； (4) －12 R ；； (6) 0 Z 。 【小结】 1. 集合的有关概念：集合、元素 2. 元素与集合的关系：属于、不属于 3. 集合中元素的特性 4. 集合的分类：有限集、无限集 5. 常用数集的定义及记法 【作业】 教材P4，练习A 组第1~3题 集合测试题 班级 座号 姓名 分数 一 选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求，把正确选项写在表格中。 1.给出 四个结论： ①｛1，2，3，1｝是由4个元素组成的集合 ② 集合｛1｝表示仅由一个“1”组成的集合 ③｛2，4，6｝与｛6，4，2｝是两个不同的集合 ④ 集合｛大于3的无理数｝是一个有限集 其中正确的是 ( ); A.只有③④ B.只有②③④ C.只有①② D.只有② 2.下列对象能组成集合的是( ); A.最大的正数 B.最小的整数 C. 平方等于1的数 D.最接近1的数 3.I =｛0,1,2,3,4｝,M =｛0,1,2,3｝ ,N =｛0,3,4｝,)(N C M I =( ); A.｛2,4｝ B.｛1,2｝ C.｛0,1｝ D.｛0,1,2,3｝ 4.I =｛a,b,c,d,e ｝ ,M=｛a,b,d ｝,N=｛b ｝,则N M C I )(=( ); A.｛b ｝ B.｛a,d ｝ C.｛a,b,d ｝ D.｛b,c,e ｝ 5.A =｛0,3｝ ,B=｛0,3,4｝,C=｛1,2,3｝则=A C B )(( ); A.｛0,1,2,3,4｝ B.φ C.｛0,3｝ D.｛0｝ 6．设集合M =｛-2,0,2｝,N =｛0｝,则( ); A.φ=N B.M N ∈ C.M N ? D.N M ? 7.设集合{}0),(>=xy y x A ，{} ,00),(>>=y x y x B 且则正确的是( ); A.B B A = B.φ=B A C.B A ? D.B A ? 8.设集合{}{} ,52,41<≤=≤<=x x N x x M 则=B A ( ); A.{}51< 复习题6 1. 选择题： （1） 已知数列{a n }的通项公式为a n =2n-5，那么a 2n =（ B ）。 A 2n-5 B 4n-5 C 2n-10 D 4n-10 （2）等差数列-7/2，-3，-5/2，-2，··第n+1项为（ A ） A )7(21-n B )4(21-n C 42-n D 72 -n （3）在等差数列{ a n }中，已知S 3=36，则a 2=（ B ） A 18 B 12 C 9 D 6 （4）在等比数列{a n }中，已知a 2=2，a 5=6，则a 8=（ C ） A 10 B 12 C 18 D 24 2．填空题： （1）数列0，3，8，15，24，…的一个通项公式为an=n^2-1. （2）数列的通项公式为a n =（-1）n+1?2+n,则a 10=8. （3）等差数列-1，2，5，…的一个通项公式为an=3n-4. （4）等比数列10，1， 10 1，…的一个通项公式为an=10^(2-n) 3.数列的通项公式为a n =sin ,4πn 写出数列的前5项。 解：sin π/4=根号2/2 sin π/2=1 sin 3π/4=根号2/2 sin π =0 sin 5π/4=-根号2/2 4.在等差数列{ a n }中，a 1=2，a 7=20，求S 1 5. 解：an=a1+(n-1)d a1=2 a7=a1+(7-1)d 20=2+6d 所以d=3 sn=na1+n(n-1)/2*d 所以s15=15*2+15*14/2*3=345 5.在等比数列{ a n }中，a 5=43，q=2 1-,求S 7. 解：a5=a1*q^(5-1),∴a1=12 人教版中职数学教材基础模块上册全册教案 目录 第三章函数 (1) 3.1.1 函数的概念 (1) 3.1.2 函数的表示方法 (5) 3.1.3 函数的单调性 (8) 3.1.4 函数的奇偶性 (13) 3.2.1 一次、二次问题 (17) 3.2.2 一次函数模型 (20) 3.2.3 二次函数模型 (24) 3.3 函数的应用 (28) 第四章指数函数与对数函数 (30) 4.1.1 有理指数(一) (30) 4.1.1 有理指数(二) (34) 4.1.2 幂函数举例 (38) 4.1.3 指数函数 (41) 4.2.1 对数 (45) 4.2.2 积、商、幂的对数 (48) 4.2.3 换底公式与自然对数 (52) 4.2.4 对数函数 (54) 4.3 指数、对数函数的应用 (57) 第五章三角函数 (60) 5.1.1 角的概念的推广 (60) 5.1.2 弧度制 (64) 5.2.1 任意角三角函数的定义 (67) 5.2.2 同角三角函数的基本关系式 (71) 5.2.3 诱导公式 (75) 5.3.1 正弦函数的图象和性质 (80) 5.3.2 余弦函数的图象和性质 (84) 5.3.3 已知三角函数值求角 (87) . 第三章函数 3.1.1函数的概念 【教学目标】 1. 理解函数的概念，会求简单函数的定义域． 2. 理解函数符号y＝f (x)的意义，会求函数在x＝a处的函数值． 3. 通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点． 【教学重点】 函数的概念及两要素，会求函数在x＝a处的函数值，求简单函数的定义域． 【教学难点】 用集合的观点理解函数的概念． 【教学方法】 这节课主要采用问题解决法和分组教学法．运用现代化教学手段，通过两个实例，分析抽象出函数概念，使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素．然后通过求函数值与定义域的两类题目，深化对函数概念的理解． 概率与统计初步 例1、某商场有4个大门，若从一个门进去，购买商品后再从另一个门出去，不同的走法共有多少种 解：4×3=12 例2.指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件 ①某乒乓球运动员在某运动会上获得冠军。 ②掷一颗骰子出现8点。 ③如果0 a=。 a，则b -b = ④某人买某一期的体育彩票中奖。 解：①④为随机事件，②是不可能事件，③是必然事件。 例3.某活动小组有20名同学，其中男生15人，女生5人，现从中任选3人组成代表队参加比赛， A表示“至少有1名女生代表”，求) P。 (A 解：) P=15×14×13/20×19×18=273/584 (A 例4.在50件产品中，有5件次品，现从中任取2件。以下四对事件哪些是互斥事件哪些是对立事件哪些不是互斥事件 ①恰有1件次品和恰有2件次品互斥事件 ②至少有1件次品和至少有1件正品不是互斥事件 ③最多有1件次品和至少有1件正品不是互斥事件 ④至少有1件次品和全是正品对立事件 例5.从1,2,3,4,5,6六个数字中任取两个数，计算它们都是偶数的概率。 解：P(A)=3×2/6×5=1/5 例6.抛掷两颗骰子，求：①总点数出现5点的概率；②出现两个相同点数的概率。 解：容易看出基本事件的总数是6×6=36(个),所以基本事件总数n=36. (1)记“点数之和出现5点”的事件为A,事件A 包含的基本事件共6个：(1,4)、(2,3)、(3,2)、 (4,1)、,所以P(A)=.4/36=1/9 (2)记“出现两个相同的点”的事件为B,则事件B 包含的基本事件有6个：（1，1）、（2，2）、（3，3）、(4,4)、（5，5）、（6，6）.所以P(B)=6/36=1/6 例7.甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是，计算： ①两人都未击中目标的概率； ②两人都击中目标的概率； ③其中恰有1人击中目标的概率； ④至少有1人击中目标的概率。 解：A={甲射击一次，击中目标}，B={乙射击一次，击中目标} （1）16 .04.04.0)()()(=?==B P A P B A P （2） 36.06.06.0)()()(=?==B P A P AB P （3）48.04.06.06.04.0)()(=?+?=+B A P B A P (4)84.016.01)(1=-=-B A P 例8.种植某种树苗成活率为，现种植5棵。试求： ①全部成活的概率； ②全部死亡的概率； ③恰好成活4棵的概率； ④至少成活3棵的概率。 解：（1）××××=中职数学基础模块上册
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