高等数学下册试题及答案解析
高等数学下册试题及答案解析
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、 z =
)
0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分??
≤++1
||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值
为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),
()()(βαψ?≤≤?
?
?==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为92
2
=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则
=
++??
∑
ds y x )122
（ 。
6、微分方程x y
x
y dx dy tan
+=的通解为 。 7、方程04)
4(=-y y 的通解为 。 8、级数∑
∞
=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）
1、二元函数),(y x f z =在)
,(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在)
,(00y x 处连续；
（B ）
)
,(y x f x '，
)
,(y x f y '在
)
,(00y x 的某邻域内存在；
（C ） y
y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当
0)()(2
2→?+?y x 时，是无穷小；
（D ）0)()(),(),(lim 2
200000
0=?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。
2、设
),
()(x y
xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,12
2
2
≥≤++z z y x 则三重积分
???Ω
=zdV
I 等于（ ）
（A ）4
???20
20
1
3cos sin π
π
???θdr
r d d ；
（B ）
?
??20
1
2sin π
π??θdr
r d d ；
（C ）
???ππ
???θ20
2
1
3cos sin dr
r d d ； （D ）
?
??ππ???θ200
1
3cos sin dr
r d d 。
4、球面2
2
2
2
4a z y x =++与柱面ax y x 22
2
=+所围成的立体体积V=（ ）
（A ）??
-20
cos 20
2244π
θθa dr
r a d ； （B ）??
-20
cos 202244π
θθa dr r a r d ； （C ）
??
-20
cos 20
2248π
θθa dr
r a r d ；
（D ）
??
--22
cos 20
224π
πθθa dr
r a r d 。
5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续
偏导数，则
?=+L
Qdy Pdx )
(
（A ）
????-??D
dxdy x Q y P )(
； （B ）????-??D dxdy x P y Q )(； （C ）????-??D
dxdy y Q x P )(
； （D ）????-??D dxdy y P x Q )(。
6、下列说法中错误的是（ ）
（A ） 方程
022
=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； （B ） 方程x y dx dy x dx dy y
sin =+是一阶微分方程； （C ） 方程
0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； （D ） 方程x y x dx dy 22
1=
+是伯努利方程。 7、已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ，则曲线的方程为=y （ ）
（A ）x e x 2sin -； （B ）)2cos 2(sin x x e x -； （C ）)2sin 2(cos x x e x -； （D ）x e x 2sin 。
8、设0
lim =∞
→n n nu , 则∑∞
=1
n n
u
（ ）
（A ）收敛； （B ）发散； （C ）不一定； （D ）绝对收敛。 三、求解下列问题（共计15分）
1、（7分）设g f ,均为连续可微函数。)(),,(xy x g v xy x f u +==，求y u x u ????,
。
2、（8分）设?+-=t x t x dz
z f t x u )(),(，求
t u
x u ????,。
四、求解下列问题（共计15分）。
1、计算=I ?
?-20
2
2
x
y dy
e dx 。（7分）
2、计算???Ω
+=dV
y x I )(22，其中Ω是由
x 21,222===+z z z y 及所围成的空间闭区域（8分）。
五、（13分）计算
?
+
+-=L y x ydx
xdy I 22，其中L 是xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点)
0,0(O 的封闭曲线的逆时针方向。
六、（9分）设对任意)(,,x f y x 满足方程)()(1)
()()(y f x f y f x f y x f -+=
+，且)0(f '存在，求)(x f 。
七、（8分）求级数∑∞
=++--1
1
212)2()1(n n n
n x 的收敛区间。 高等数学（下册）试卷（二）
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，则=
??+??y z
x z 。
2、=+-→→xy
xy y x 93lim 00 。
3、设
??
=20
2),(x x
dy
y x f dx I ，交换积分次序后，=I 。
4、设)(u f 为可微函数，且,0)0(=f 则
??
≤+→=
++
2
22)(1
lim 223
t y x t d y x f t σπ 。
5、设L 为取正向的圆周
422=+y x ，则曲线积分 ?
=
-++L
x x dy x ye dx ye y )2()1( 。
6、设→
→
→
+++++=k xy z j xz y i yz x A )()()(2
2
2
，则=A div 。
7、通解为x
x e c e c y 221-+=的微分方程是 。
8、设
??
?<<<≤--=π
πx x x f 0,10,1)(，则它的Fourier 展开式中的
=
n a 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）。
1、设函数??
???=+≠++=0
,00,),(22224
22
y x y x y
x xy y x f ,则在点（0，0）处（ ） （A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在。 2、设),(y x u 在平面有界区域D 上具有二阶连续偏导数，且满足
02≠???y x u 及 +??2
2x u 022=??y u ，
则（ ）
（A ）最大值点和最小值点必定都在D 的内部； （B ）最大值点和最小值点必定都在D 的边界上；
（C ）最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上； （D ）最小值点在D 的内部，最大值点在D 的边界上。 3、设平面区域D ：1)1()2(2
2
≤-+-y x ，若??+=D
d y x I σ
21)(，
??+=D
d y x I σ
32)(
则有（ ）
（A ）21I I <； （B ） 21I I =； （C ）21I I >； （D ）不能比较。 4、设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间区域，则
???Ω
dxdydz z xy 32 =（ ）
（A ）3611； （B ）3621； （C ）3631 ； （D ）3641
。
5、设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为?
?
?==)()(t y t x ψ? )(βα≤≤t ，其中)(),(t t ψ?在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψ?， 则曲线积分?=
L ds y x f ),(（ ）
(A)
?β
α
ψ?dt
t t f ))(),((； (B)
?'+'α
β
ψ?ψ?dt t t t t f )()())(),((22 ；
(C) ?'+'β
α
ψ?ψ?dt
t t t t f )()())(),((22； (D)?α
β
ψ?dt t t f ))(),((。
6、设∑是取外侧的单位球面
12
22=++z y x ， 则曲面积分 ??∑
++zdxdy
ydzdx xdydz =（ ）
(A) 0 ； (B) π2 ； (C)π ； (D)π4。
7、下列方程中，设21,y y 是它的解，可以推知21y y +也是它的解的方程是（ ）
(A) 0)()(=++'x q y x p y ； (B) 0)()(=+'+''y x q y x p y ； (C) )()()(x f y x q y x p y =+'+''； (D) 0)()(=+'+''x q y x p y 。
8、设级数∑∞
=1
n n
a
为一交错级数，则（ ）
(A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；
(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若
)
0(0→→n a n ，则必收敛。
三、求解下列问题（共计15分）
1、（8分）求函数
)ln(2
2z y x u ++=在点A （0，1，0）沿A 指向点B （3，-2，2）
的方向的方向导数。
2、（7分）求函数
)4(),(2
y x y x y x f --=在由直线0,0,6===+x y y x 所围成的闭区域D 上的最大值和最小值。
四、求解下列问题（共计15分）
1、（7分）计算
???
Ω
+++=3)1(z y x dv
I ，其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的立体
域。
2、（8分）设)(x f 为连续函数，定义
???Ω
++=dv
y x f z t F )]([)(222，
其中
{}2
22,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω，求dt dF
。
五、求解下列问题（15分） 1、（8分）求
?-+-=L
x x dy
m y e dx my y e I )cos ()sin (，其中L 是从A （a ，0）经2
x ax y -=到
O （0，0）的弧。
2、（7分）计算??∑
++=dxdy
z dzdx y dydz x I 222，其中∑是
)0(2
22a z z y x ≤≤=+ 的外侧。
六、（15分）设函数)(x ?具有连续的二阶导数，并使曲线积分
?
'++-'L
x dy
x ydx xe x x )(])(2)(3[2???与路径无关，求函数)(x ?。
高等数学（下册）试卷（三）
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、设?=yz
xz
t dt
e u 2
， 则=??z u 。
2、函数)2sin(),(y x xy y x f ++=在点（0，0）处沿)2,1(=的方向导数
)
0,0(l
f
??= 。
3、设Ω为曲面0,12
2
=--=z y x z 所围成的立体，如果将三重积分
???Ω
=dv
z y x f I ),,(化为先对z
再对y 最后对x 三次积分，则I= 。
4、设),(y x f 为连续函数，则=
I ??=
+
→D t d y x f t σπ),(1
lim 2
，其中2
22:t y x D ≤+。
5、?=+L
ds y x )(22 ，其中222:a y x L =+。
6、设Ω是一空间有界区域，其边界曲面Ω?是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数),,(z y x P ，
),,(z y x Q ，),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系
式： ， 该关系式称为 公式。
7、微分方程96962+-=+'-''x x y y y 的特解可设为=*
y 。 8、若级数∑∞
=--11)1(n p
n n 发散，则p 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）
1、设),(b a f x '存在，则x b x a f b a x f x )
,(),(lim
0--+→=（ ）
（A ）),(b a f x '；（B ）0；（C ）2),(b a f x '；（D ）21
)
,(b a f x '。
2、设2
y
x z =，结论正确的是（ ）
（A ）022>???-???x y z y x z ； （B ）022=???-???x y z
y x z ； （C ）022
y x z 。
3、若),(y x f 为关于x 的奇函数，积分域D 关于y 轴对称，对称部分记为21,D D ，),(y x f 在D 上连
续，则
??=
D
d y x f σ),(（ ）
（A ）0；（B ）2??1
),(D d y x f σ
；（C ）4??1
),(D d y x f σ
； (D)2??2
),(D d y x f σ
。
4、设Ω：2
2
2
2
R z y x ≤++，则
???Ω
+dxdydz
y x
)(22
=（ ）
（A ）538R π； （B ）534R π； （C ）5158R π； （D ）51516R
π。
5、设在xoy 面内有一分布着质量的曲线L ，在点),(y x 处的线密度为),(y x ρ，则曲线弧Ｌ的重心的x
坐标x 为（ ）
（Ａ）x =?L ds
y x x M
),(1
ρ； （B ）x =?L dx y x x M ),(1
ρ；
（C ）x =?L ds y x x ),(ρ； （D ）x =?L xds M 1
, 其中M 为曲线弧Ｌ的质量。
６、设∑为柱面
12
2=+y x 和1,0,0===z y x 在第一卦限所围成部分的外侧，则 曲面积分??∑
++ydxdz
x xzdydz zdxdy y 2
2＝（ ）
（A ）0； （B ）4π-
； （C ）245π； （D ）4π
。
７、方程)(2x f y y ='-''的特解可设为（ ）
（A ）A ，若1)(=x f ； （B ）x Ae ，若x e x f =)(；
（C ）E Dx Cx Bx Ax ++++234，若
x x x f 2)(2-=； （D ）)5cos 5sin (x B x A x +，若x x f 5sin )(=。
８、设
??
?≤<<≤--=ππx x x f 010,
1)(，则它的Fourier 展开式中的n a 等于（ ） （A ）]
)1(1[2n n --π； （B ）0； （C ）πn 1； （D ）πn 4。
三、（１２分）设
t
t x f y ),,(=为由方程 0),,(=t y x F 确定的y x ,的函数，其中F f ,具有一阶连续偏
导数，求dx dy
。
四、（８分）在椭圆
4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短。
五、（８分）求圆柱面y y x 22
2=+被锥面22y x z +=和平面0=z 割下部分的面积Ａ。
六、（１２分）计算
??∑
=xyzdxdy
I ，其中∑为球面
1222=++z y x 的0,0≥≥y x 部分 的外侧。
七、（10分）设x
x d x df 2sin 1)(cos )
(cos +=，求)(x f 。
八、（10分）将函数)1ln()(3
2
x x x x f +++=展开成x 的幂级数。
高等数学（下册）试卷（四）
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、由方程
22
22=+++z y x xyz 所确定的隐函数),(y x z z =在点（1，0，-1）处的全微分
=dz 。 2、椭球面
632222=++z y x 在点（1，1，1 ）处的切平面方程是 。 3、设D 是由曲线2,2
+==x y x y 所围成，则二重积分??=+=D dxdy x I )1(2 。 4、设Ω是由
4,0,42
2===+z z y x 所围成的立体域，则三重积分 ???Ω
+=dv
y x I )(22= 。
5、设∑是曲面22y x z +=介于1,0==z z 之间的部分，则曲面积分
??∑
=
+=ds y x I )(22 。
6、???
?=++=++=
2
2222z y x a z y x ds x
。
7、已知曲线)(x y y =上点M(0,4)处的切线垂直于直线052=+-y x ，且)(x y 满足微分方程
02=+'+''y y y ，则此曲线的方程是 。
8、设)(x f 是周期T=π2的函数，则)(x f 的Fourier 系数为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分）
1、函数xy
x y
z +=arcsin 的定义域是（ ）
（A ）{}0,|),(≠≤x y x y x ； （B ）
{}
0,|),(≠≥x y x y x ；
（C ）
{}0,0|),(≠≥≥x y x y x {}0,0|),(≠≤≤x y x y x Y ；
（D ）{}{}0,0|),(0,0|),(<<>>y x y x y x y x Y 。
2、已知曲面2
24y x z --=在点P 处的切平面平行于平面0122=-++z y x ，则点P 的坐标是
（ ）
（A ）（1，-1，2）； （B ）（-1，1，2）；（C ）（1，1，2）； （D ）（-1，-1，2）。
3、若积分域D 是由曲线2x y =及2
2x y -=所围成，则??D d y x f σ
),(=（ ）
（A ）
?
?--22
211
),(x x dy
y x f dx ； （B ）
?
?--22
211
),(x x dy
y x f dx ；
（C ）
?
?
-y y
dx
y x f dy 210
),(； （D ）
??
--1
1
2),(22
dx
y x f dy x x 。
4、设;0,:22221≥≤++Ωz R z y x
0,0,0,:2
2222≥≥≥≤++Ωz y x R z y x ， 则有（ ） （A ）??????ΩΩ=1
24xdv
xdv ； （B ）??????ΩΩ=1
2
4ydv
ydv ；
（C ）
??????ΩΩ=1
2
4xyzdv
xyzdv ； （D ）
??????ΩΩ=1
2
4zdv
zdv 。
5、设∑为由曲面2
2y x z +=及平面1=z 所围成的立体的表面，则曲面积分
??∑
+ds y x )(2
2=
（ ）
（A ）π
221+； （B ）2π
； （C ）π22； （D ）0 。
６、设∑是球面2222a z y x =++表面外侧，则曲面积分
??∑
++dxdy z dzdx y dydz x 3
33＝（ ）
（A ）3512a π； （B ）5512a π； （C ）554a π； （D ）5
512
a π-。
７、一曲线过点(e,1)，且在此曲线上任一点),(y x M 的法线斜率
x y x x
x k ln ln +-
=，则此曲线方程为（ ）
（A ）)ln(ln x x e x y +=
； （B ）x x e x
y ln +=；
（C ）)ln(ln x x ex y +=； （D ）)
ln(ln x e x
y +=。
８、幂级数∑∞
=+1
)1(n n
x
n 的收敛区间为（ ）
（A ）（-1，1）； （B ）),(+∞-∞； （C ）（-1，1）； （D ）[-1，1]。
三、（１０分）已知函数
)
()(x y
xg y x yf u +=，其中g f ,具有二阶连续导数，求 y x u y
x
u x ???+??222的值。
四、（１０分）证明：曲面
)0(3
>=c c xyz 上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的体积为一定值。
五、（１４分）求抛物面2
24y x z ++=的切平面π，使得π与该抛物面间并介于柱面
1)1(22=+-y x 内部的部分的体积为最小。
六、（１０分）计算
?-++=L
x x dy
x y e dx y y e I )cos ()sin (，其中Ｌ为2
4x y --=由Ａ（２，０）
至Ｂ（－２，０）的那一弧段。
七、（８分）求解微分方程2
12
y y y '-+
''=0 。
八、（８分）求幂级数∑
∞
=1n n
n x 的和函数)(x S 。
高等数学（下册）试卷（五）
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、设),(y x f z =是由方程
0=+----x
y z xe x y z 所确定的二元函数，则 =dz 。
２、曲线??
?=-+-=-++0
453203222z y x x z y x 在点（１，１，１）处的切线方程是 。
３、设Ω是由
12
22≤++z y x ，则三重积分???Ω
dv
e z
＝ 。
４、设)(x f 为连续函数，m a ,是常数且0>a ，将二次积分
?
??-a y
x a m dx
x f e dy 0
)()(
化为定积分为 。
５、曲线积分
?+)
(AB L Qdy
Pdx 与积分路径)(AB L 无关的充要条件为 。
６、设∑为2
22y x a z --=，则??
∑=++ds z y x )(2
22 。
７、方程x
e y y 23=+'的通解为 。
８、设级数∑∞
=1n n
a
收敛，∑∞
=1n n
b
发散，则级数∑∞
=+1
)
(n n n
b a
必是 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）
１、设??
???=≠+=)
0,0(),(,0)0,0(),(,),(2
22y x y x y
x y
x y x f ，在点（０，０）处，
下列结论（ ）成立。
（Ａ）有极限，且极限不为0； （Ｂ）不连续； （Ｃ）
)0,0()0,0(='='y x f f ； （Ｄ）可微。
２、设函数),(y x f z =有222=??y f
，且1)0,(=x f ，x x f y =')0,(，则),(y x f =（ ）
（Ａ）21y xy +-； （Ｂ）21y xy ++； （Ｃ）221y y x +-； （Ｄ）2
21y y x ++。
３、设Ｄ：4122≤+≤y x ，f 在D 上连续，则??+D
d y x f σ
)(22在极坐标系中等于（ ）
（Ａ）
dr
r rf ?2
1)(2π； （Ｂ）
dr
r rf ?2
1
2)(2π；
（Ｃ）
??-10
220
2]
)()([2dr r f r dr r f r π； （Ｄ）
??-10
22
2]
)()([2dr r rf dr r rf π。
４、设Ω是由0,0,0===z y x 及12=++z y x 所围成，则三重积分
???Ω
=)
(
),,(dv z y x xf
（Ａ）
?
?
?---y x y
dy
z y x xf dz dx 210
210
10
),,(；
（Ｂ）
?
??--y
x dz
z y x xf dy dx 210
10
10),,(； （Ｃ）
?
?
?---y x x
dz
z y x xf dy dx 210
210
10
),,(；
（Ｄ）
???10
1
10
),,(dz
z y x xf dy dx 。
５、设∑是由1,11,0,0,0======z y x z y x 所围立体表面的外侧，则曲面积分
??∑=++)
(
zdxdy ydzdx xdydz
（Ａ）0； （Ｂ）1； （Ｃ）3； （Ｄ）2。
６、以下四结论正确的是（ ）
（Ａ）
???≤++=++2
2225
22234)(a z y x a dv z y x π；
（Ｂ） ()
;
44222
2
222
a ds z y x a z y x
π=++??=++
（Ｃ） ??
=++=++外侧
2
2
2
24
2224)(a z y x a dxdy z y x π；
（Ｄ） 以上三结论均错误。
７、设)(x g 具有一阶连续导数，1)0(=g 。并设曲线积分?-L
dy
x g xdx x yg )(tan )( 与积分路
径无关，则
?=-)
4,4()
0,0()
()(tan )(π
πdy x g xdx x yg
（Ａ）π22； （Ｂ）
π22-； （Ｃ）π82； （Ｄ）π
82-。 ８、级数∑∞
=---11
12)1(n n n 的和等于（ ）
（Ａ）2/3；（Ｂ）1/3； （Ｃ）1； （Ｄ）3/2。
三、求解下列问题（共计１５分）
１、（８分）设,z
y
x u =求y u x u ????,z u ??。
、（７分）设
)
,(z y y x f u =，f 具有连续偏导数，求du 。
四、求解下列问题（共计１５分）
１、（８分）计算??
++=D
d y f x f y bf x af I σ)()()
()(，其中2
22:R y x D ≤+。
、（７分）计算???Ω
+++=dv
z y x I )1(，其中2
222:R z y x ≤++Ω。
五、（１５分）确定常数λ，使得在右半平面0>x 上，
?
+-+L
dy
y x x dx y x xy λλ)()(224224与积分路径无关，并求其一个原函数),(y x u 。
六、（８分）将函数3)1(1)(x x
x f -+=
展开为x 的幂级数。
七、（７分）求解方程096=+'-''y y y 。
高等数学（下册）试卷（六）
一、单选题（共15分，每小题3分）
1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)
y f x y 都存在，则 ( )
A ．(,)f x y 在P 连续
B ．(,)f x y 在P 可微
C ．
0lim (,)
x x f x y →及
0lim (,)
y y f x y →都存在 D ．
00(,)(,)
lim (,)
x y x y f x y →存在
2．若x
y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .
x y y B x
ln ln ln .ln x x
y y C y ydx dy
x + ln ln ln ln .x x y y y x D dx dy x y +
3．设Ω是圆柱面22
2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则
(
),,(=???Ω
dxdydz z y x f ）．
21
2
cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz
π
θ
θθθ?
?
?
21
2
00
cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz
π
θ
θθθ?
?
? 21
20
02
cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz
π
θ
πθθθ-??
?
21
cos .(cos ,sin ,)x
D d rdr f r r z dz
π
θθθ??
?
4． 4．若1(1)
n
n
n a x ∞
=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．
A ． 条件收敛
B ． 绝对收敛
C ． 发散
D ． 敛散性不能确定
5．曲线222x y z z x y -+=??=+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）.
A. （-1，3，4）
B.（3，-1，4）
C. （-1，0，3）
D. （3，0，-1）
二、填空题（共15分，每小题3分）
1．设220x y xyz +-=，则'(1,1)x z = .
2．交 换
ln 1
(,)e x
I dx f x y dy
=??
的积分次序后，I =_____________________．
3．设2
2z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .
4. 已知
0!n x
n x e n ∞
==∑，则x
xe -= . 5. 函数3322
33z x y x y =+--的极小值点是 .
三、解答题（共54分，每小题6--7分）
1.（本小题满分6分）设
arctan
y z y x =, 求z x ??,z
y ??.
2.（本小题满分6分）求椭球面
222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程
3. （本小题满分7分）求函数22
z x y =+在点(1,2)
处沿向量122l i j =+r r r 方向的方向导数。
4. （本小题满分7分）将x x f 1
)(=
展开成3-x 的幂级数，并求收敛域。
5．（本小题满分7分）求由方程
08822222=+-+++z yz z y x 所确定的隐函数),(y x z z =的极值。
6．（本小题满分7分）计算二重积分
1
,1,1,)(222
=-=--=+??y y y x D d y x
D
由曲线σ及2-=x 围
成.
7.（本小题满分7分）利用格林公式计算
?-L
x
y x y xy d d 22，其中L 是圆周2
22a y x =+（按逆时针方
向）.
8.（本小题满分7分）计算???Ω
z y x xy d d d ，其中Ω是由柱面
12
2=+y x 及平面0,0,1===y x z 所围成且在第一卦限内的区域. .
四、综合题（共16分，每小题8分）
1．（本小题满分8分）设级数1
1
,n
n
n n u v
∞∞
==∑∑都收敛，证明级数2
1
()n
n n u
v ∞
=+∑收敛。
2．（本小题满分8分）设函数),(y x f 在2R 内具有一阶连续偏导数，且2f
x x ?=?，
证明曲线积分 2(,)L xydx f x y dy +?与路径无关．若对任意的t 恒有
(,1)
(1,)
(0,0)
(0,0)
2(,)2(,)t t xydx f x y dy xydx f x y dy
+=+?
?
，求),(y x f 的表达式．
高等数学（下册）试卷（一）参考答案
一、1、当10<a 时，
12
2≥+y x ；
2、负号；
3、
2
3
;
110
???
?-+=D
y e e
y
dx dy d σ； 4、dt t t )()(22ψ?'+'；
5、180π；
6、
Cx x y
=sin
；
7、
x
x
e C e C x C x C y 2423212sin 2cos -
+++=； 8、1；
二、1、D ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、D ； 6、B ； 7、A ； 8、C ；
三、1、21f y f x u '
+'=??；)(xy x g x y u +'=??；
2、)()(t x f t x f x u --+=??；)()(t x f t x f t u -++=??； 四、1、)1(21420200220222-----===?????e dy ye dx e dy dy e dx y y y x y ； 2、??????=+=πππ
θθ2020212022132233142r dz r dr d dz r dr d I 柱面坐标； 五、令
2
222,y x x
Q y x y P +=+-=则
x Q
y x x y y P ??=+-=??22222)(，)0,0(),(≠y x ； 于是①当L 所围成的区域D 中不含O （0，0）时，
x Q y P ????,在D 内连续。所以由Green 公式得：I=0；②当L 所围成的区域D 中含O （0，0）时，x Q y P ????,在D 内除O （0，0）外都连续，此时作曲线+
l
为
)10(222<<=+εεy x ，逆时针方向，并假设*D 为+L 及-l 所围成区域，则 πε2)(
2
22*
=+??-??+=+-=?????
???
=+++-
++++
y x D l
l L l
l
L dxdy y P
x Q Green I 公式
六、由所给条件易得：
0)0()0(1)
0(2)0(2
=?-=
f f f f
又x x f x x f x f x ?-?+='→?)
()(lim
)(0 =x x f x f x f x f x f x ?-?-?+→?)
()()(1)
()(lim 0 x f x f x f x f x f x ?-???-+=→?)
0()()()(1)(1lim 20 )](1)[0(2x f f +'= 即 )0()(1)
(2
f x f x f '=+'
c x f x f +?'=∴)0()(arctan 即 ])0(tan[)(c x f x f +'= 又 0)0(=f 即Z k k c ∈=,π ))0(tan()(x f x f '=∴
七、令t x =-2，考虑级数∑∞
=++-1
1
212)1(n n n
n t
Θ2
1
23
21232lim t n t n t n n n =++++∞→ ∴当
12
1 当 1 当1-=t 即1=x 时，级数∑∞ =++-1 1 121 ) 1(n n n 收敛； 当1=t 即3=x 时，级数∑∞ =+-1 121 )1(n n n 收敛； ∴级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。 高等数学（下册）试卷（二）参考答案 一、1、1； 2、-1/6； 3、 ???? +20 2 /4 2 22 /),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy ； 4、) 0(32 f '； 5、π8-； 6、)(2z y x ++； 7、02=-' +''y y y ； 8、0； 二、1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、D ； 5、C ； 6、D ； 7、B ； 8、C ； 三、1、函数 )ln(2 2z y x u ++=在点A （1，0，1）处可微，且 ) 1,0,1(2 21z y x x u A ++= ??2/1=； 1) 1,0,1(2 22 2=+? ++= ??z y y z y x y u A ； 2 /11) 1,0,1(2 22 2 =+? ++= ??z y z z y x z u A 而),1,2,2(-==所以 ) 31,32,32(-=ο l ,故在A 点沿=方向导数为： =??A l u A x u ??αcos ?+A y u ??βcos ?+A z u ??γcos ? . 2/131 21)32(03221=?+-?+?= 2、由?????=--==-+--='0)24(0)1()4(22y x x f xy y x xy f y x 得D 内的驻点为),1,2(0M 且4 )1,2(=f ， 又0)0,(,0),0(==x f y f 而当0,0,6≥≥=+y x y x 时，)60(122),(2 3≤≤-=x x x y x f 令 0)122(2 3='-x x 得4,021==x x 于是相应2,621==y y 且.64)2,4(,0)6,0(-==f f ),(y x f ∴在D 上的最大值为4)1,2(=f ，最小值为.64)2,4(-=f 四、1、Ω的联立不等式组为??? ??--≤≤-≤≤≤≤Ωy x z x y x 101010: 所以?? ? ---++++=1 010103)1(x y x z y x dz dy dx I ??--++=x dy y x dx 10210]41 )1(1[21 ?- =--+=101652ln 21)4311(2 1dx x x 2、在柱面坐标系中 ? ??+=π θ20 002 2 )]([)(t h rdz r f z dr d t F ?+=t dr r h r r hf 0 32 ]31)([2π 所以 ]31)([232t h t t hf dt dF +=π] 31 )([222h t f ht +=π 五、1、连接→ OA ，由Green 公式得： 2017学年春季学期 《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ） 注意： 1、本试卷共 3 页； 2、考试时间110分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方 1．已知a 与b 都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0?=a b (D)?=0a b 2.极限2 2 22 00 1 lim()sin x y x y x y →→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =?的是( ). （A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数 （C ）(,)f x y = （D ）(,)e x y f x y += 4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ). （A ）驻点与极值点 （B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域2 2 :(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+= ??，2D I σ=，3D I σ=，则有（ ）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I << 6．设椭圆L ： 13 42 2=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=?（ ）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12 7．设级数 ∑∞ =1 n n a 为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）. (A)该级数收敛 (B)该级数发散 (C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（ ）. （A ）若级数 1n n a ∞ =∑发散，则级数 21n n a ∞ =∑也发散 （B ）若级数 21 n n a ∞ =∑发散，则级数 1 n n a ∞=∑也发散 （C ）若级数 21n n a ∞ =∑收敛，则级数 1 n n a ∞ =∑也收敛 （D ）若级数 1 ||n n a ∞=∑收敛，则级数2 1 n n a ∞=∑也收敛 二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)． 1.直线3426030x y z x y z a -+-=??+-+=? 与z 轴相交，则常数a 为 . 2．设(,)ln(),y f x y x x =+则(1,0)y f '=______ _____. 3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 . 三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名 ……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．……………………………… 北京邮电大学2009-2010学年第二学期《高等数学》（下）期末试题（A2） 1．极限2 221lim 1x x y x y x +→∞→??+= ? ? ?2e ． 2．设()2y z x y x ?=++，其中?具有连续二阶偏导数， 则2z x y ???=2x ()''21()ln 1y x y x y x ?-+++． 3．曲面arctan()z xy =在点(1,1,)4 P π处的法线方程为 4112 2 1 1 1 z x y π ---= = -． 4．函数z (,,)21f x y z z e xy =-++在点（2,1,0 ）处的方向导数的最大值为 5．设2x u v z y u vz ?=-++?=+? 确定u=u(x,y,z),v=(x,y,z),则u x ?=?12z zu -+． 6．幂函数21 (1)9n n n x ∞ =-∑的收敛区域是 (2,4)- ． 7．设2 ,10 ()1,01x x f x x x --<≤?=?-<≤?，是周期为2的周期函数，则其傅里叶级数 在点x=4处收敛于 12 ． 8．设2222y z R ++=∑：x 外侧，则2223/2 ()xdydz ydzdx zdxdy x y z ++=++∑ ??4π． 9．已知22A=y +2z +xy ,=x +y +z ,i j k B i j k ，则div (A )B ? =3224x y z x z ---． 10．设L 为取正向的圆周x 2+y 2=9，则曲线积分 2 (22)(4)L xy y dx x x dy -+-?= 18π- ．（用格林公式易） 二（8分）．将函数f(x)= 2 12565x x x ---在点x 0=2处展开成泰勒级数，并指出其收敛域． 解：若用泰勒级数 2() 0000 000''()()()()()()'()()2! ! n n f x x x f x x x f x f x f x x x n --=+-++++ 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+ 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2） 高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数． 《 高等数学》 一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） 模拟试卷一 一、单项选择题（每题3分，共24分） 1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线1 1 1231: -+=+=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上 （C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1 123lim 0xy xy y x （ ） （A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞ 3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ???2及x y z ???2在区域D 内连续是这两个二阶混合 偏导数在D 内相等的（ ）条件. （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设 ??≤+=a y x d 224πσ，这里0 a ，则a =（ ） （A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知 ()()2 y x ydy dx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）1 6、曲线积分=++?L z y x ds 2 22（ ），其中.1 10:222???==++z z y x L （A ） 5 π （B ）52π （C ）53π （D ）54π 7、数项级数 ∑∞ =1 n n a 发散，则级数 ∑∞ =1 n n ka （k 为常数）（ ） （A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散 （C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ） （A ）21C x C y += （B ）C x y +=2 （C ）22 1C x C y += （D ）C x y += 2 2 1 二、填空题（每空4分，共20分） 1、设xy e z sin =，则=dz 。 ( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. 《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22 2≤+内的那部分面 积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρ ρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2 大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） １．函数 2 2 111arcsin x x y -+ -=的定义域为______________________。 ２．函数 2e x y += 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。 ３．设ｆ（X ）在0x 可导,且A (x)f'=，则h h x f h x f h ) 3()2(l i m 000--+→ ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（x ，y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是 ____________。 ５．=-?dx x x 4 1_____________。 ６．=∞→x x x 1 sin lim __________。 ７．设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。 ９．微分方程 22 233)(3dx y d x dx y d +的阶数为____________。 ∞ ∞ １０．设级数 ∑ ａn 发散，则级数 ∑ ａn _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题。(１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） １．设函数 x x g x x f -== 1)(,1 )(则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ） ①x 1 1- ②x 1 1- ③ x -11 ④x ２．11 sin +x x 是 （ ） ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量 ３．下列说法正确的是 （ ） ①若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 连续， 则ｆ（ X ）在X ＝Xo 可导 ②若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可导，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不连续 ③若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可微，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有 0)(",0)('> 四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B ) (A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分） 高等数学(下册)期末考试试题 考试日期：2012年 院（系）别 班级 学号姓名 成绩 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?=-4． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=??-(1/y2)． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 2 (x-1)+4(y-2)+z-4=0． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于，在x π=处收敛于． 5、设L 为连接(1,0) 与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=?√2． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 故所求的体积为V dv Ω =???22 2620 20 2(63)6d d dz d πρρθρπρρπ-==-=?? (7) 3、判定级数 1 1 (1) ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????． 高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 （2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人 课程名称 高等数学I （A ）解答 一 选择题（4小题，每题4分，共16分） 1． 下列数列收敛的是（ C ）。 (A) n n x n n 1] 1)1[(++-= (B) n n n x )1(-= (C) n x n n 1)1(-= (D) n n x n 1-= 2．已知函数231)(22+--=x x x x f 下列说法正确的是（ B ）。 (A) )(x f 有2个无穷间断点 (B) )(x f 有1个可去间断点，1个无穷间断点 (C) )(x f 有2个第一类间断点 (D) )(x f 有1个无穷间断点，1个跳跃间断点 3．设 ?????>≤=1,1,3 2)(23x x x x x f ，则)(x f 在x =1处的（ B ）。 (A) 左右导数都存在 (B) 左导数存在，右导数不存在 (C) 左导数不存在，右导数存在 (D) 左、右导数都不存在 4．函数 2)4(121++ =x x y 的图形（ B ） (A) 只有水平渐近线 (B) 有一条水平渐近线和一条铅直渐近线 (C) 只有铅直渐近线 (D) 无渐近线 二 填空题（4小题，每题4分，共16分） 1．x x x 23sin lim 0→＝__3/2_________ 2. x x e y x sin ln 2-+=则='y _2e x +1/x －cos x _ 3． 已知隐函数方程：024=-+y xe x 则='y －(4+e y ) / （x e y ） 4． 曲线332x x y +=在 x = 1 处对应的切线方程为： y =11x -6 . 三 解答题（5小题,每题6分，共30分） 《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2 >+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||2 2)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() ()(βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )12 2 （ 。 6、微分方程 x y x y dx dy tan += 的通解为 。 7、方程04)4(=-y y 的通解为 。 8、级数∑ ∞ =+1 ) 1(1n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2 2 22 y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 22≥≤++z z y x 则三重积分??? Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4? ? ?20201 3 cos sin ππ ???θdr r d d ； （B ）???20 1 2 sin π π??θdr r d d ； 南京邮电大学2010/2011学年第二学期 《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z += 在柱面x y x 222≤+内的那部分面 积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数)()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平 面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2 范文范例参考 《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 3 分，共 30 分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）f x ln x2和 g x2ln x（ B） （C ）f x x 和g x 2 x（D ） f x| x | 和 g x x2 f x | x | g x1 和 x sin x 4 2 x0 2．函数f x ln 1x在 x 0 处连续，则a（） . a x0 （A ）0（ B）1 （D）2 （C）1 4 3．曲线y x ln x 的平行于直线 x y 1 0 的切线方程为（） . （A ）y x 1（ B）y( x 1)（C ）y ln x 1x 1（D）y x 4．设函数f x| x |，则函数在点x0 处（） . （A ）连续且可导（ B）连续且可微（ C ）连续不可导（ D）不连续不可微 5．点x0 是函数y x4的（）. （A ）驻点但非极值点（B）拐点（C）驻点且是拐点（D）驻点且是极值点 6．曲线y 1 ） . 的渐近线情况是（ | x | （A ）只有水平渐近线（ B）只有垂直渐近线（ C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．f 11 ）. x x2 dx 的结果是（ （A ） 1 C 1 C 1 C （D） f 1 f（ B）f（ C ）f C x x x x 8． dx x e e x 的结果是（）. （A ）arctan e x C （） arctan e x C （ C ）x e x C （ D ）x e x )C B e ln( e 9．下列定积分为零的是（） . （A ）4arctanx dx （B）4x arcsin x dx （C） 1 e x e x 1x2x sin x dx 1x212 dx （D） 44 1 10 ．设f x为连续函数，则1 f 2x dx 等于（） . 0 （A ）f 2f0（B）1 f 11 f 0 （C） 1 f 2 f 0 （D） f 1 f 0 22 二．填空题（每题 4 分，共 20 分） f x e 2x1 x0 在 x 0处连续，则 a 1．设函数x. 1.（4分）级数U n收敛的必要条件是 ____________________ n 1 1 y 2.（4分）交换二次积分的次序0dy °f （x, y）dx= ________________ 3. （4分）微分方程y 4y 4y 2xe2x的一个特解形式可以设 为__________________ . 4. （4分）在极坐标系下的面积元素d ____________________ . 二、选择题（每题4分，共16分） 2 2 1. （4分）已知曲面z 4 x y上点P处的切平面平行于平面 2x 2y z 1 0,则点P 的坐标是（ ). A. (1,-1,2)； B. (-1,1,2); 1 2. (4分)级数 (1)n1 3为( n 1 n 2 B.条件收敛; 是锥面x 2 A.绝对收敛; 3. （4分）若 （ y 2)dS ( ). C. (1,1,2)； C.发散; D. (-1,-1,2). D.收敛性不确定. z 2被平面z 0与z 1所截下的部分，则曲面 1 2 A. 0 d 0r rdr ; B. 0 r 2 rdr ; C. ^2 0d 0r 2 rdr ; D. d 0 「2 rdr . 4. （4分）幕级数 （1）n —的收敛半径为（ 、n ). A. 1. R 2; B. R -; 2 解答题(每题7分，共63分) (7 分)设 z sin(x y) e xy ,求 dz . C.R 3; D. R 2. （7分）计算三重积分I xdxdydz 其中 为三个坐标面及平面 x 2y z 1所围成的闭区域? 3. (7分)求I (1 y z)dS ,其中 是平面y z 5被圆柱面 x 2 y 2 25截出的有限部分. 4. (7分)求幕级数 (1) (x 1)"的收敛域. n 1 n 1 5. (7分)将f(x) 2展开为麦克劳林级数? 2 x x 6. (7 分)求曲线积分 I L (e x siny y)dx (e x cosy 1)dy ,其中 L 为 x 2 y 2 ax 上从A(a,0)到0(0,0)的上半圆周. 7. (7分)求微分方程y 2xy 4x 在初始条件y x 0 3下的特解. 8. (7 分)求曲面积分 I Q (X 1)dydz (2y 2)dzdx (3z 3)dxdy , 其中为 曲面x 2 y 2 z 2 4的内侧. 9. (7 分)计算曲线积分 I (x y)ds ,其中 L 是以 0(0,0) ,A(1,0),B(0,1) L 为顶点的三角形折线. 四、(5分)试确定参数t 的值，使得在不含直线y 0上点的区域上，曲线积分 2( 2 2) t x (x 2 y ) dy 与路径无关，其中C 是该区域上一条 y 评分标准 1 1 光滑曲线，并求出当 C 从 A(1,1)到 B(0,2)时 I 的值. / 2 2、t ,x(x y ), I dx C y 1.lim u n 0; n高数 下 期末考试试卷及答案
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