《线性代数》期末练习试卷答案
《线性代数》 期末练习试卷答案
一、单项选择题
1.三阶行列式11
1
10121
λ
λλ≠的充分必要条件是( B ) .A 0λ≠ .B 0λ≠且1λ≠
.C 1λ≠ .D 0λ≠且-1λ≠
2.
1111121314
12131435
2111
5
,,,11112413
=A A A A A A A A -----+++设
中第一行元素的代数余子式为则（A ）
.A 0 .B 2
.C 3 .D 7
3. 已知行列式210
11424
x
中，代数余子式120A =，则||A =( .C ) . A -8 .B 8 .C 4 .D 0 4.下列结论正确的是（.C ）
. A ,AB AC B C ==若则 .B ()1
11
AB A B ---= .C ()T
T T AB B A = .D 20=0
A A =若，则
5.向量组12(0,1,1),(1,1,0)αα==和1(1,0)β=-，1，()23(1,2,1),=3,21ββ=-， 则向量组间的关系是（C ）
. A 向量组12αα,能被123βββ,，线性表示，但123βββ,，不能被12αα,线性表
示
. B 向量组123βββ,，能被12αα,线性表示，
但12αα,不能被123βββ,，线性表示 . C 向量组123βββ,，和12αα,等价
.D 向量组123βββ,，不能被12αα,线性表示，且12αα,不能被123βββ,，线性表
示
6. 下列不是矩阵n n A ?可逆的充分必要条件的是（ . B ）
. A 矩阵A 为非奇异矩阵 . 0B A ≠ . C 齐次线性方程组0Ax =有唯一解 . R()D A n =
7. 已知()4=(3,1,1),=(11,3)=(0,24)=21,4αααα---123向量组，，，，，，则向量组的
秩(.B )
. A 1 .B 2 .C 3 .D 4
8. 下面结论错误的是( C )
.A 若n 维向量组123456,,,,,αααααα线性无关，则356,,ααα也线性无关
.B 若n 维向量组3456,,,αααα线性相关，则13456,,,,ααααα也线性相关 .C 含零向量的向量组线性无关
.D 向量组 12,,,m αααL （当m>1 时）线性相关的充分必要条件是
12,,,m αααL 中至少有一个向量可由其余向量线性表示
9.线性方程组m n A x b ?=无解的充分必要条件是（ A ）
.A ()(,)R A R A b ≠ .B ()=(,)R A R A b
.C ()=(,)R A R A b n < .D ()=(,)=R A R A b n
10.下列四个矩阵中，哪个是行最简形（.B ）
. A 102201120012A ?? ?=- ? ??? .B 010*********A ??
?
= ? ???
.C 132201120000A ?? ?=- ? ??? .D 110001120000A ?? ?
=- ? ???
1.
1235
012000300004
=12
2. n 元排列()2311n n -L 的逆序数是 -1n
3. 设A 为三阶矩阵，1A =，则2A *-=8-
4. 矩阵24533642481711-?? ?- ? ?-??的标准形为100001000000?? ?
? ???
5.若齐次线性方程组()()()1231231
23-62-20
2-340-24-30
x x x x x x x x x λλλ+=??
+-=??-+=?有非零解，则常数λ应满足条件
14k k =-=或
6.若向量(1,1,1)α=，(0,,2)k β=，(0,2,)k γ=线性无关，则k 满足 2k ≠±
7. 3
1220=()21,()1301P PA P f x x x f A ????=Λ=Λ=-+=
? ?????
设，，，则
1530510??
?--?? 三、计算证明题
1、 计算n 阶行列式
x a a a x a a a x
L
L
M M M
L
解
(1)1(1)1==[(1)](1)1x a a x n a a a a a a x a x n a
x a x a x n a a a x x n a a x
a x +-+-+-+-L
L L
L
L L
M M M
M
M
M M M
M
L
L
L
….5分
11
00[(1)]
[(1)]()0
n a a x a x n a x n a x a x a
--=+-=+---L L
M M M L
….10分
2、解矩阵方程：已知0 2 1 1 2 3
2 1
3 2 3 13 3 4X ???? ?-= ? ?-?
? ?--??
.
解1
0 2 11 2 32 1 12 1 32 3 1 4 7 43 3 4X -??--???? ?
=-= ? ? ?--????
?--??
….10分
3、设向量1
23(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2),(0,3,3)αααβ=-=-=-=-，
问：向量β是否可由向量组123,,ααα线性表示？若能，求出一个相应的表示式.
()12321101123=1213~033611230000r αααβ---???? ?
?-- ? ? ? ?--????
解：，，，….6分
当()()12312323R R αααβααα==<，，，，， ....9分 所以向量β可由向量组123,,ααα线性表示，12=2βαα--， . (10)
分
4、求向量组1234(1,0,2,1),(1
2,01),(2,1,3,0),(2,51,4)αααα====-，,， 的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.
解()1234112
2100
10
2150
103=2031
00111
1040000αααα???? ?
?
? ?
→ ? ?-- ?
?
????
，，，….6分
123ααα，，是一个极大无关组， ….8分
4123=+3-αααα ….10分
5. 设向量组1234αααα，，，线性无关，证明： 向量组12233441++++αααααααα，，，线性相关. 证明 ：设有一组数1234k k k k ,,,使
()112223334441(+)(+)(+)++0k k k k αααααααα++= （1）…1分
成立，整理得141122233344(+)(+)(+)+(+)0k k k k k k k k αααα++=
由1234αααα，，，线性无关，故
1412
2334+0000
k k k k k k k k =??+=??
+=??+=? （2） ….3分
因为
1001
1100001100011
=，故方程组（2）有非零解。 ….5分.
因而12233441++++αααααααα，，，线性相关. ….6分
线性代数B复习题
线性代数B 复习资料 (一)单项选择题 1．设A ，B 为n 阶方阵，且()E AB =2 ，则下列各式中可能不成立的是（ A ） (A )1-=B A (B)1-=B ABA (C)1-=A BAB (D)E BA =2 )( 2．若由AB=AC 必能推出B=C （A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（ C ） (A)A ≠O (B)A=O (C )0≠A (D) 0≠AB 3．A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使AB=BA=A ，则（ D ） (A) B 为单位矩阵 (B) B 为零方阵 (C) A B =-1 (D ) 不一定 4．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A) 《线性代数》课程教案大纲 课程代码：课程性质：专业基础理论课必修 适用专业：工科类各专业总学分数： 总学时数：修订年月： 编写年月：执笔：韩晓卓、李锋 课程简介(中文)： 线性代数是理、工、经管各专业重要的基础课之一。它是以讨论有限维空间线性理论为主，具有较强的抽象性与逻辑性，是数学的一个重要分支，其理论与方法已广泛应用于其它科学领域中。主要包括：矩阵、行列式、线性方程组、秩问题、矩阵的特征值和特征向量、二次型等内容。 课程简介(英文)： , . , , . . , , , , , , . 一、课程目的 《线性代数》是高等院校工科专业学生必修的一门基础理论课。它是以讨论有限维空间线性理论为主，具有较强的抽象性与逻辑性。通过本课程的学习，使学生比较系统地获得线性代数中的行列式、矩阵、线性方程组、矩阵和向量组的秩，矩阵的特征值和特征向量等方面的基本概念、基本理论和基本方法，培养学生独特的代数思维模式和解决实际问题的能力，同时使学生了解线性代数在经济方面的简单应用,并为学生学习后继课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 二、课程教案内容及学时分配 (一）教案内容 第一章行列式(学时) 教案内容： 二阶三阶行列式；阶行列式的定义；行列式的性质（证明选讲）；行列式按行(列)展开（定理证明选讲，行列式按某行（列）展开选讲）；克莱姆法则。 本章的重点与难点： 重点：行列式的性质；行列式按一行（列）展开定理；克莱姆法则的应用。 难点：阶行列式的定义的理解；阶行列式计算。 第二章矩阵(学时) 教案内容： 矩阵的概念；矩阵的运算（矩阵的加、减法；数乘；乘法；矩阵转置；方阵的幂；方阵的行列式）；几种特殊的矩阵（对角矩阵，数量矩阵，三角形矩阵，单位矩阵，对称矩阵与反对称矩阵）；分块矩阵（分块阵及其运算，分块对角阵）；逆矩阵（可逆阵的定义；奇异阵，伴随阵与逆阵的关系；逆阵的性质，二阶上三角分块阵的求逆方法）；本章的重点与难点： 重点：矩阵的运算规律；逆矩阵的性质以及求法； 难点：矩阵的乘积及分块矩阵的乘积；逆矩阵（抽象矩阵的逆矩阵）的求法。 第三章矩阵的初等变换与线性方程组(学时) 教案内容： 矩阵的初等变换（初等矩阵定义；初等矩阵与矩阵初等变换的关系。用初等变换求矩阵的逆）；矩阵的秩（矩阵的秩的定义；矩阵的秩与其子式的关系；初等变换求矩阵的秩）。线性方程组的消元解法（消元解法与初等行变换的关系；线性方程组有唯一解、无穷多组解和无解的讨论；线性方程组有解的判别定理；齐次线性方程组有非零解的充分和必要条件）； 本章的重点与难点： 重点：利用初等变换求矩阵的逆矩阵与矩阵的秩；利用初等变换求线性方程组的通解。 难点：利用初等变换求线性方程组的通解。 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a 【 】5.设矩阵A 与B 等价，则有 __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ _____ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ …… …… … … … … … … … … （ 密 ） … … … … … … … … … … … … （ 封 ） … … … …… … … … … … … … （ 线 ） … … … … … … … … … … … … (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系， 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组0S 的秩=0s R 。 5.设λ是方阵A 的特征值，则 是2 A 的特征值 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λ s αs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（） 线性代数试题（B ） 一．选择或填空（3’x10） 1. 已知 2231 =l n m c b a ，则 =+++c l b n a m c b a 231222 2. 若 ??? ? ??=-11541A ， 则 =A 3. 2)(,11111 111=???? ? ??---=A r t A ， 则=t 4. 设A 为3阶方阵，且3=A ，则*1A A -+=_____________。 5．设向量组321,,ααα线性无关，11αβ=，212ααβ+=，3213αααβ++=， 则321,,βββ为 （填线性相关，或线性无关） 6．已知矩阵B A , 且n m ij c C ?=)(满足CB AC = 则B 是（ ）阶矩阵。 A. m m ? B. n m ? C. m n ? D. n n ? 7．若A 为n 阶方阵且2=A ， 则 ()=-*1A （ ） A. A 2 B. 2A C. A n 12- D. 12 -n A 8. 一个n 维向量组 )1(.......,21>m m ααα，线性相关的充要条件为 （ ） A. 含有零向量 B. 有两个向量相应成比例 C. 向量组中至少有一向量可由其余向量线性表示 D. 向量组中任一个向量均可由其余向量线性表示 9．设21,ηη是某个齐次线性方程组的一个基础解系，则下列结论不成立的是（ ） A. 211,ηηη+ 也是其基础解系 B. 2121,ηηηη-+ 也是其基础解系 C. 213,2ηη 也是其基础解系 D. 212122,ηηηη++ 也是其基础解系 10. 若 1001002000 01000 -=-a a ，则 =a （ ） A. 2 1- B. 21 C. 1- D. 1 二．计算题（6x10’） 1．设 3 111131 1113 1111 3----=A 求： 14131211A A A A +++ 2． ()2121=A ，而A A B T = （1）求 B, (2) 求 B （3） 求5B 3．设n 阶方阵A 和X 满足条件E AX A =-2，且已知???? ? ??--=100110111A 求矩阵X 。 4. 求向量组的最大无关组，并求出剩余向量用最大无关组的线性表示 ??????? ??=34121α， ??????? ??--=12102α， ??????? ??--=63213α， ?????? ? ??=41014α 5. 求齐次方程的一组基础解向量，并求出通解 ??? ????=++=+++=-+-=+++02062220204324324321 3314321x x x x x x x x x x x x x x 6. 方程组 ?????-=-+-=-+=+-121321 321321x x x x x x x x x λλ 问λ为何值时，方程组 （1）有唯一解？ （2）无解？ （3）有无穷多解？并解出通解。 “线性代数”课程教学大纲 一、课程基本信息 开课单位：经济学院 课程名称：线性代数 课程编号：201003 英文名称：Linear Algebra 课程类型：学科基础课 总学时：54 理论学时： 54 实验学时： 0 学分：3 开设专业：经济学 先修课程：无 二、课程任务目标 （一）课程任务 本课程是高等学校理工科本科学生一门必修的重要学科基础理论课，是讨论代数学中线性关系的一门经典理论课程。它具有较强的抽象性与逻辑性，可以广泛应用于科学技术的各个领域。本课程的任务是通过教学的各个环节，运用各种教学手段与方法，使学生掌握该课程的基本理论与计算方法。培养学生分析问题、解决问题的能力。提高学生的抽象思维能力、逻辑思维能力以及运用计算机解决与线性代数相关的实际问题的能力，为学生学习后继课程奠定坚实的数学基础。 （二）课程目标 在学完本课程之后，学生能够： 1.能较好地掌握行列式、矩阵特有的分析概念； 2. 能够用行列式、矩阵的方法解决与线性代数相关的实际问题； 三、教学内容和要求 （一）理论教学的内容及要求 第一章行列式 第一节行列式的概念 1．了解行列式的概念； 2．会求二阶与三阶行列式。 第二节行列式的性质 1．了解余子式与代数余子式的概念； 2．掌握行列式的性质。 第三节行列式的计算 1．了解三角形行列式与对角形行列式的概念； 2．掌握范德蒙（Vandermonde）行列式； 3．掌握行列式的计算方法。 第四节行列式的应用 1．了解线性方程组的概念； 2．掌握克拉默法则。 第二章矩阵 第一节矩阵的概念 1．了解矩阵的概念； 2．理解几类特殊的矩阵。 第二节矩阵的运算 1．理解矩阵的加法，数乘，乘法与转置运算； 2．了解可交换矩阵，对称矩阵与反对称矩阵的概念； 3．掌握矩阵的加法，数乘，乘法，转置与方阵的运算规律。 第三节矩阵的分块 1．了解分块矩阵的概念； 2．掌握分块矩阵的加法，数乘与乘法的运算。 第四节逆矩阵 1．了解逆矩阵，伴随矩阵，奇异矩阵与非奇异矩阵的概念； 2．掌握可逆矩阵的判定定理与逆矩阵的求法； 3．理解可逆矩阵的性质。 第五节矩阵的初等变换 1．了解矩阵初等变换，初等矩阵与矩阵等价的概念； 2．了解行阶梯形矩阵，行最简形矩阵与标准形矩阵的概念，掌握用初等变换将矩阵转换成阶梯形矩阵，行最简形矩阵与标准形矩阵的方法； 3．掌握用初等变换求逆矩阵与矩阵方程的方法。 第六节矩阵的秩 1．理解矩阵的秩的概念； 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。 三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分） 四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 27．已知向量组α1，α2，α3线性无关，证明向量组α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1线性无关. 28．设A，B都是正交矩阵，证明AB也是正交矩阵. 试卷说明：表示矩阵的转置矩阵，表示矩阵的伴随矩阵，是单位矩阵，| |表示方阵的行列式。 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．排列53142的逆序数τ（53142）=（） A．7 B．6 C．5 D．4 2．下列等式中正确的是（） A．B． C．D． 3．设k为常数，A为n阶矩阵，则|kA|=（） A．k|A| B．|k||A| C．|A| D．|A| 4．设n阶方阵A满足，则必有（） A．不可逆B．可逆 C．可逆D． 5．设，，，则关系式（） 的矩阵表示形式是 A．B． C．D． 6．若向量组（Ⅰ）：可由向量组（Ⅱ）：线性表示，则必有（） A．秩（Ⅰ）≤秩（Ⅱ）B．秩（Ⅰ）>秩（Ⅱ） C．r≤s D．r>s 7．设是非齐次线性方程组的两个解，则下列向量中仍为方程组解的是（） A．B． C．D． 8．设A，B是同阶正交矩阵，则下列命题错误的是（） A．也是正交矩阵B．也是正交矩阵 C．也是正交矩阵D．也是正交矩阵 9．下列二次型中，秩为2的二次型是（） A．B． C．D． 10．已知矩阵，则二次型（） A．B． C．D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11．已知A，B为n阶矩阵，=2，=－3，则=_________________. 12．已知，E是3阶单位矩阵，则＝_________________. 13．若线性无关，而线性相关，则向量组的一个最大线性无关组为_________________. 14．若向量组线性无关，则t应满足条件_________________. 15．设是方程组的基础解系，则向量组的秩为_________________. 16．设，，则的内积（）＝________________. 17．设齐次线性方程组＝的解空间的维数是2，则a＝______________. 18．若实二次型正定，则t的取值范围是_________________. 19．实二次型的正惯性指数p＝_________________. 20．设A为n阶方阵，，若A有特征值λ，则必有特征值_________________. 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 21．计算行列式 . 22．设实数满足条件＝，求及 . 23．求向量组 ，，， 的一个最大线性无关组，并把其余向量用该最大线性无关组表示. 2019年春季《线性代数》在线作业 一、单选题（共35 道试题，共70 分。）V 1. 若三阶行列式D的第三行的元素依次为3，它们的余子式分别为4，则D=（） A. -8 B. 8 C. -20 D. 20 正确答案：B 满分：2 分 2. 用一初等矩阵左乘一矩阵B，等于对B施行相应的( )变换 A. 行变换 B. 列变换 C. 既不是行变换也不是列变换 正确答案：A 满分：2 分 3. 设a1a2a3a4a5是四维向量，则（） A. a1a2a3a4a5一定线性无关 B. a1a2a3a4a5一定线性相关 C. a5一定可以由a1a2a3a4线性表示 D. a1一定可以由a2a3a4a5线性表出 正确答案：B 满分：2 分 4. 设二阶矩阵A与B相似，A的特征值为-1，2，则|B|= A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 正确答案：C 满分：2 分 5. 设A，B，C均为n阶非零方阵，下列选项正确的是( ). A. 若AB=AC，则B=C B. (A-C)2 = A2-2AC+C2 C. ABC= BCA D. |ABC| = |A| |B| |C| 正确答案：D 满分：2 分 6. 设A为三阶方阵，|A|=2，则|2A-1| = . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 正确答案：D 满分：2 分 7. 设A是n阶方阵，若对任意的n维向量x均满足Ax=0,则（） A. A=0 B. A=E C. r(A)=n D. 0 A. A=0 B. A=E C. r(A)=n D. 0 《线性代数》模拟试题八 一、填空题(每小题3分，共15分) 1．设矩阵A = ??? ? ? ??100012021，B = ??? ? ? ??310120001，则A + 2B = .2．设向量????? ??=1111α，????? ??=0112α，????? ??=0013α，??? ? ? ??=110β，则β由α1，α2，α3线性表出的表示式为 ( ). 3．设α1，α2是非齐次线性方程组Ax = b 的解，k 1，k 2为常数，若k 1α1+ k 2α2也是Ax = b 的一 个解，则k 1+k 2 = ( ). 4．设A 为n 阶可逆矩阵，已知A 有一个特征值为2，则(2A )-1必有一个特征值为( ). 5．若实对称矩阵A = ??? ? ? ??a a a 000103为正定矩阵，则a 的取值应满足( ). 二、单选题(每小题3分，共15分) 1．设行列式 2 2 11b a b a = 1， 2 2 11c a c a = 2，则 2 22 111c b a c b a ++ = ( D ). (A) -3 (B) -1 (C) 1 (D) 3 2．设A 为2阶可逆矩阵，且已知(2A )-1 =??? ? ??4321，则A = ( D ). (A) 2???? ??4321 (B) 21 4321-???? ?? (C) ??? ? ??432121 (D) 1 432121-??? ? ?? 3．设向量组α1，α2，…，αs 线性相关，则必可推出( C ). (A) α1，α2，…，αs 中至少有一个向量为零向量 (B) α1，α2，…，αs 中至少有两个向量成比例 (C) α1，α2，…，αs 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合 (D) α1，α2，…，αs 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合 线性代数B 期末试题 一、判断题(正确填T ，错误填F 。每小题2分，共10分) 1． A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。 （ ） 2． A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则111)(---=A B AB 。 （ ） 3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。 ( ) 4．若B A ,均为n 阶方阵，则当B A >时，B A ,一定不相似。 ( ) 5．n 维向量组{}4321,,,αααα线性相关，则{}321,,ααα也线性相关。 （ ） 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。 （A ）001010100????????? ? (B)100000010?????????? (C) 100020001??????????(D) 100012001????-?????? 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。 （A ）122331,,αααααα--- （B ）1231,,αααα+ （C ）1212,,23αααα- （D ）2323,,2αααα+ 3．设A 为n 阶方阵，且250A A E +-=。则 1(2)A E -+=（ ） (A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1()3A E + 4．设A 为n m ?矩阵，则有（ ）。 （A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解； （B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量； （C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； （D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。 5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（ ） （A ）A 与B 相似 （B ）A B ≠，但|A-B |=0 线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 2013年春 西南大学《线性代数》作业及答案(共5次,已整理) 第一次作业 【单选题】9.下列n 阶(n>2)行列式的值必为0的有： B:行列式非零元素的个数小于n 个。 【单选题】1.有二阶行列式，其第一行元素是（1，3），第二行元素是（1，4），该行列式的值是: B:1 【单选题】2.有二阶行列式，其第一行元素是（2，3），第二行元素是（3，-1），则该行列式的值是：A:-11 【单选题】3.有三阶行列式，其第一行元素是（0，1，2），第二行元素是（-1，-1，0），第三行元素是（2，0，-5），则该行列式的值是：B:-1 【单选题】4.有三阶行列式，其第一行元素是（1，1，1），第二行元素是（3，1，4），第三行元素是（8，9，5），则该行列式的值是：C:5 【单选题】5. 行列式A 的第一行元素是（k,3,4)，第二行元素是(-1,k,0)，第三行元素是(0,k,1)，如果行列式A 的值等于0，则k 的取值应是：C:k=3或k=1 【单选题】6. 6.排列3721456的逆序数是：C:8 【单选题】7. .行列式A 的第一行元素是（-3，0，4），第二行元素是（2，a ，1),第三行元素是（5，0，3），则其中元素a 的代数余子式是：B:-29 【单选题】8.已知四阶行列式D 中第三行元素为（-1，2，0，1），它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则D 的值等于. C:-15 【论述题】行列式部分主观题 行列式部分的填空题 1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符号应取 + 号。 2．排列45312的逆序数为 5 。 3．行列式25 1 122 1 4---x 中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式1 02325 4 3 --中元素-2的代数余子式是 —11 。 2008 – 2009学年第二学期《线性代数B 》试卷 2009年6月22日 1、 设?? ??? ?? ?? ???-=* 8030010000100001A ,则A ＝ 、 2、 A 为n 阶方阵,T AA =E 且=+ 二、单项选择题(共6小题,每小题3分,满分18分) 1、设D n为n阶行列式,则D n＝0的必要条件就是[ ]、 (A) D n中有两行元素对应成比例; (B) D n中各行元素之与为零; (C) D n中有一行元素全为零; (D)以D n为系数行列式的齐次线性方程组有非零解. 2.若向量组α,β,γ线性无关,α,β,σ线性相关,则[ ]、 (A)α必可由β,γ,σ线性表示; (B) β必可由α,γ,σ线性表示; (C)σ必可由β,γ,α线性表示; (D)γ必可由β,α,σ线性表示、 ３.设3阶方阵A有特征值0,－1,1,其对应的特征向量为P1,P2,P3,令P＝(P1,P2,P3),则P－1AP＝[ ]、 (A) 100 010 000 ?? ?? - ?? ?? ?? ; (B) 000 010 001 ?? ?? - ?? ?? ?? ; (C) 000 010 001 ?? ?? ?? ?? ?? － ; (D) 100 000 001 ?? ?? ?? ?? ?? － . ４.设α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的就是[ ]、 (A)α1,α2,α3 - α1; (B)α1,α1+α2,α1+α3; (C)α1+α2,α2+α3,α3+α1; (D)α1-α2,α2-α3,α3-α1、 ５.若矩阵A3×4有一个3阶子式不为0,则A的秩Ｒ(A) =[ ]、 (A) 1; (B)2; (C)3; (D) 4. ６.实二次型f＝x T Ax为正定的充分必要条件就是[ ]、 (A) A的特征值全大于零; (B) A的负惯性指数为零; (C) |A| > 0 ; (D) R(A) = n、 三、解答题(共5小题,每道题8分,满分40分) 线性代数（B 类）课程教学大纲 理解矩阵的特征值与特征向量的概念并掌握其性质与求法。 理解相似矩阵的概念及性质以及n 阶方阵能相似于对角矩阵的充要条件。掌握求矩阵的相似对角矩阵的方法。 理解正交矩阵的概念及其性质。 了解实对称矩阵的特征值与特征向量的性质。掌握实对称矩阵正交相似于对角矩阵的方法。 对于相似于对角矩阵的方阵，能由方阵的特征值与特征向量构造出对应的方阵。 6.第六章实二次型（学时数：2.5 次课5 学时，对应代码：A3、A4、A5、B1、B2、 B3、C1、C2、C4 ） 理解实二次型和它的矩阵、秩等概念。了解实二次型经非退化的线性代换仍为二次型且秩不变的性质。 知道矩阵的合同的概念及简单性质。 理解二次型的标准形与规范标准形的概念。熟练掌握用正交代换化二次型为标准形。会用配方法化二次型为标准形。能用非退化的线性代换化二次型的标准形为规范标准形。 了解惯性定理。理解正定二次型与正定矩阵的概念及其性质。掌握正定二次型的判别方法。 7.第七章线性变换（学时数：4 ～6，对应代码：A3、A4、A5、B1、B2、B3 C1、C2、C4 ）（由于课时所限，课堂教学不讲授该章的内容） 了解线性变换、变换的象与原象等概念。知道线性变换的简单性质。 了解线性变换与矩阵之间的关系，知道线性变换的矩阵。 掌握Ｒ^n 中线性变换在一组基下的矩阵的求法与已知向量在一组基下的坐标求向量在线性变换下的象的坐标的方法。 了解线性变换在不同基下的矩阵之间的关系。掌握在Ｒ^n 中利用过渡矩阵求线性变换在不同基下的矩阵的方法。 了解在一般的线性空间中线性变换在一组基下的矩阵的求法与已知向量在一组基下的坐标求向量在线性变换下的象的坐标的方法。了解线性变换在不同基下的矩阵的求法。 线性代数期末试卷及参考答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。 （A ）001010100?????????? (B)100000010?? ?? ?? ???? (C) 100020001????????? ?(D) 100012001????-?????? 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。 （A ）122331,,αααααα--- （B ）1231,,αααα+ （C ）1212,,23αααα- （D ）2323,,2αααα+ 3．设A 为n 阶方阵，且2 50A A E +-=。则1(2)A E -+=（ ） (A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1() 3A E + 4．设A 为n m ?矩阵，则有（ ）。 （A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解； （B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量； （C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； （D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。 5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则 （） （A ）A 与B 相似（B ）A B ≠，但|A-B |=0 （C ）A=B （D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B| 二、判断题(正确填T ，错误填F 。每小题2分，共10分) 1．A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。（） 2．A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则 111)(---=A B AB 。（） =================================================================================================== 1：[论述题]线性代数模拟试题三 参考答案：线性代数模拟试题三参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题四 参考答案：线性代数模拟试题四参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题五 参考答案：线性代数模拟试题五参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题六 一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 行列式3 32 31 332221 23 1211 1b a b a b a b a b a b a b a b a b a = ( ). 2. 设A 是4×3矩阵，R (A ) = 2，若B = ??? ?? ??300020201，则R (AB ) = ( ). 3. 设矩阵A = ??? ? ? ??54332221t ，若齐次线性方程组Ax = 0有非零解，则数t = ( ). 4. 已知向量,121,3012???? ?? ? ??-=??????? ??=k βαα与β的内积为2，则数k = ( ). 5. 已知二次型2 3 2221321)2()1()1(),,(x k x k x k x x x f -+-++=正定，则数k 的取值范围为( ). 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 设A 为m ×n 矩阵，B 为n ×m 矩阵，m ≠n , 则下列矩阵中为n 阶矩阵的是( ). (A) B T A T (B) A T B T (C) ABA (D) BAB 2. 向量组α1，α2，…，αS (s >2)线性无关的充分必要条件是( ). (A) α1，α2，…，αS 均不为零向量 (B) α1，α2，…，αS 中任意两个向量不成比例 (C) α1，α2，…，αS 中任意s -1个向量线性无关 (D) α1，α2，…，αS 中任意一个向量均不能由其余s -1个向量线性表示 中山大学软件学院2011级软件工程专业(2011学年秋季学期) 《S E -103+线性代数》期末试题(B 卷) (考试形式：闭 卷 考试时间: 2小时 ) 《中山大学授予学士学位工作细则》第六条 考试作弊不授予学士学位 方向： 姓名： ______ 学号： 出卷： 伍丽华 复核： 高成英 1. Fill in the blank （5×4=20 Pts ） (1) If T is the linear transformation from to whose matrix relative to is 2P 2P },t t ,1{2B = , then =_________________________________. ???? ????????=421130012][B T )(2210t a t a a T ++ (2) If the row space of a 4×7 matrix is 4-dimentional, then the dimension of the null space of is _______________. Is ?__________________ (Yes or No). A A 4 Col R A = (3) Let ，，and be eigenvectors of a 3×3 matrix , with corresponding eigenvalues 3, 2, and 1. Compute . =_______________________. ??????????=0221v ??????????=2222v ???? ??????=2203v A A A (4) Determine the value(s) of a such that the system is inconsistent. =_____________________________________. ???? ??????=?????????????????????+03121232121321x x x a a a (5) For x in 3R , Let , this quadratic form as is _________________________________________________________. 32212221853)(x x x x x x x Q +?+=Ax x T 2011-2012-2线性代数46学时期末试卷(A) 考试方式：闭卷 考试时间： 一、单项选择题（每小题 3分，共15分） 1.设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。 (A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型 ()222 123123 (,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型． (A ) 1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥． 4．初等矩阵（A ）； (A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,, ,n ααα线性无关，则（C ） A. 12231,, ,n n αααααα-+++必线性无关； B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； D. 以上都不对。 二、填空题（每小题3分，共15分） 6．实二次型()2 3 2221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t 7．设矩阵020003400A ?? ? = ? ??? ，则1A -=《线性代数》课程教学大纲
线性代数考试题及答案3
最新大学线性代数练习试题及答案
线性代数试题B
线性代数课程教学大纲
线性代数试题
西安交通大学2019年春季《线性代数》在线作业
2013春西南大学《线性代数》第三次作业答案
线性代数B期末试题
线性代数试题和答案(精选版)
2013年春-西南大学《线性代数》作业及答案
线性代数B期末试卷及答案
《线性代数(B)》课程大纲
线性代数期末试题及参考答案
西南大学《线性代数》网上作业及参考答案
2011线性代数期末试题(B)
线性代数试题及答案