(完整版)线性代数试题及答案
线性代数习题和答案
第一部分选择题(共28分)
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有
一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。
1.设行列式a a
a a
1112
2122
=m，
a a
a a
1311
2321
=n，则行列式
a a a
a a a
111213
212223
+
+
等于（）
A. m+n
B. -(m+n)
C. n-m
D. m-n
2.设矩阵A=
100
020
003
?
?
?
?
?
?
?
，则A-1等于（）
A.
1
3
00
1
2
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
B.
100
1
2
00
1
3
?
?
?
?
?
?
?
?
??
C.
1
3
00
010
00
1
2
?
?
?
?
?
?
?
??
D.
1
2
00
1
3
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3.设矩阵A=
312
101
214
-
-
-
?
?
?
?
?
?
?
，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）
A. –6
B. 6
C. 2
D. –2
4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）
A. A =0
B. B≠C时A=0
C. A≠0时B=C
D. |A|≠0时B=C
5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）
A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0
B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0
C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0
D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+
λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0
7.设矩阵A的秩为r，则A中（）
A.所有r-1阶子式都不为0
B.所有r-1阶子式全为0
C.至少有一个r阶子式不等于0
D.所有r阶子式都不为0
8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）
A.η1+η2是Ax=0的一个解
B.1
2
η1+
1
2
η2是Ax=b的一个解
C.η1-η2是Ax=0的一个解
D.2η1-η2是Ax=b的一个解
9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）
A.秩(A) B.秩(A)=n-1 C.A=0 D.方程组Ax=0只有零解 10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（） A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量 B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2， λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关 11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必 有（） A. k≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（） A.|A|2必为1 B.|A|必为1 C.A-1=A T D.A的行（列）向量组是正交单位向量组 13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（） A.A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（） A. 23 34 ? ? ? ? ? B. 34 26 ? ? ? ? ? C. 100 023 035 - - ? ? ? ? ? ? ? D. 111 120 102 ? ? ? ? ? ? ? 第二部分非选择题（共72分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每 小题的空格内。错填或不填均无分。 15.111 356 92536 =. 16.设A= 1 1 1 1 1 1 - - ? ? ? ? ?，B= 1 1 2 2 3 4 -- ? ? ? ? ?.则A+2B= . 17.设A=(a ij)3×3，|A|=2，A ij表示|A|中元素a ij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则 (a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= . 18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= . 19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它 的通解为. 20.设A是m×n矩阵，A的秩为r( 数为. 21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= . 22.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为 . 23.设矩阵A =010********---?? ? ? ??? ，已知α=212-?? ??? ??是它的一个特征向量，则α所对应的特征值 为 . 24.设实二次型f(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 . 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分） 25.设A =120340121-?? ? ? ? ?? ，B =223410--?? ???.求（1）AB T ； （2）|4A |. 26.试计算行列式31125134 20111533 ------. 27.设矩阵A =423110123-?? ?? ? ??，求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B . 28.给定向量组α1=-?? ?? ???? 2103，α2=1324-?? ??????，α3=3021-?? ??????，α4=0149-?? ??? ???. 试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。 29.设矩阵A =121 02242 66210233 3334-----?? ? ? ?? ? ?. 求：（1）秩（A ）； （2）A 的列向量组的一个最大线性无关组。 30.设矩阵A=022234243----?? ?? ? ??的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ，使T -1AT =D . 31.试用配方法化下列二次型为标准形 f(x 1,x 2,x 3)=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--， 并写出所用的满秩线性变换。 四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 32.设方阵A 满足A 3=0，试证明E -A 可逆，且（E -A ）-1=E +A +A 2. 33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 （1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解； （2）η0，η1，η2线性无关。 答案： 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分） 1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B 11.A 12.B 13.D 14.C 二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分） 15. 6 16. 337137--?? ? ? ? 17. 4 18. –10 19. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c 为任意常数 20. n -r 21. –5 22. –2 23. 1 24. z z z z 12223242++- 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分） 25.解（1）AB T =120340*********-?? ?????--?? ?? ? ?? =861810310?? ?? ???. （2）|4A |=43|A |=64|A |，而 |A |=1 20 3 40121 2-=-. 所以|4A |=64·（-2）=-128 26.解 3112513420111 5 3 3 51111113100105 5 3 ------=----- =51111 11550---- =5 11 6 2 0550 62 55 301040---= ---=+=. 27.解 AB =A +2B 即（A -2E ）B =A ，而 （A -2E ）-1=2231101211431531641 --?? ?? ? ? ?=-----?? ?? ???-. 所以 B =(A -2E )-1A =143153164423110123-----?? ?????-?? ?? ? ?? = 386 296 2129 -- --- ? ? ? ? ? ? ? . 28.解一 - -- - ? ? ? ? ? ? ? ? ?→ ? -- -- - ? ? ? ? ? ? ? ? 2130 1301 0224 3419 0532 1301 0112 013112 ?→ ? -- ? ? ? ? ? ? ? ? ?→ ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1035 0112 0088 001414 1035 0112 0011 0000 ?→ ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1002 0101 0011 0000 , 所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）. 解二考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3， 即 -++= -=- += +-= ? ? ? ? ? ? ? 230 31 224 349 123 12 23 123 x x x x x x x x x x. 方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）. 29.解对矩阵A施行初等行变换 A?→ ? -- - - -? ? ? ? ? ? ? ?12102 00062 03282 09632 ?→? -- - - - ? ? ? ? ? ? ? ? ?→ ? -- - - ? ? ? ? ? ? ? ?12102 03283 00062 000217 12102 03283 00031 00000 =B. （1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3. （2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一 个最大线性无关组。 （A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是） 30.解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为 ξ1=（2，-1，0）T，ξ2=（2，0，1）T. 经正交标准化，得η1= 255 55 / / - ? ? ? ? ? ? ? ，η2= 2515 4515 53 / / / ? ? ? ? ? ? ? . λ=-8的一个特征向量为 ξ3= 1 2 2- ? ? ? ? ? ? ? ，经单位化得η3= 13 23 23 / / / . - ? ? ? ? ? ? ? 所求正交矩阵为T= 2552151513 55451523 05323 /// /// // - - ? ? ? ? ? ? ? . 对角矩阵D= 100 010 008-? ? ? ? ? ? ? . （也可取T= 2552151513 05323 55451523 /// // /// - -- ? ? ? ? ? ? ? .） 31.解f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32 =（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32. 设 y x x x y x x y x 1123 223 33 22 =+- =- = ? ? ? ? ? ? ? ，即 x y y x y y x y 112 223 33 2 =- =+ = ? ? ? ? ? ， 因其系数矩阵C= 120 011 001 - ? ? ? ? ? ? ? 可逆，故此线性变换满秩。 经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形 y12-2y22-5y32 . 四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 32.证由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E， 所以E-A可逆，且 （E-A）-1= E+A+A2 . 33.证由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0. （1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2个解。 （2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0， 即（l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0. 则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0. 又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而l0=0 . 所以η0，η1，η2线性无关。