结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案

量子力学基础习题

一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）

1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。 1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值

_______________。 1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数ψ1， ψ2， ψ3，…。正交性的数学表达式为 ，

归一性的表达式为 。 1106、│ψ (x 1， y 1， z 1， x 2， y 2， z 2)│2代表______________________。 1107、物理量xp y - yp x 的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为 m 的一个粒子在长为l 的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________， 最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时， 粒子出现在0 ─ l /2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长， 其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l 、宽为2l 的长方形势箱中运动， 则其本征函数集为____________，本征值谱为 _______________________________。

1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ211(x ，y ，z )=

_________________________；当粒子处于状态ψ

211

时，概率密度最大处坐标是

_______________________；若体系的能量为2

247m a h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E =2

2

43m a

h 的简并度是_____，E '=2

2827m a

h 的简并度是______________。

1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ=

2

12

1m m m m +的一维谐振子，其势能为

V =kx 2/2，它的薛定谔方程是_____________________________。

1112、1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。欲使电子射线产生的衍射环纹与Cu 的K α线(波长为154 pm 的单色X 射线)产生的衍射环纹相同， 电子的能量应为___________________J 。

1113、对于波函数ψj 、ψj ，其归一性是指 ，正交性是指 。

1114、若算符F

?满足 或满足 , 则算符F ?为厄米算符。

1115、一个质量为m 的微观粒子在箱长为a 的一维势箱中运动时，体系的势能为 ，体系的零点能为 。

1116、质量为 m 的一个粒子在长为l 的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ； 1117、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ211(x ，y ，z )=

_________________________；当粒子处于状态ψ

211

时，概率密度最大处坐标是

_______________________；若体系的能量为2

247m a

h ，其简并度是_______________。 1118、对于立方箱中的粒子，考虑E < 15h 2/(8ml 2)的能量范围。在此范围内有 个态？在此范围内有 个能级？

1119、对氢原子 1s 态：

(1)

2ψ在 r 为_______________处有最高值；

(2) 径向分布函数 22

4ψr

π在 r 为____________处有极大值；

(3) 电子由 1s 态跃迁至 3d 态所需能量为_____________。

1120、对于立方势箱中的粒子，考虑出2

2

815m a

h E <的能量范围，在此范围内有 个能级？ 在此范围内有 个状态？

二、选择填空题（选择正确的答案，填在后面的括号内）

1201、首先提出能量量子化假定的科学家是：---------------------------( ) (A) Einstein (B) Bohr (C) Schrodinger (D) Planck

1202、任一自由的实物粒子，其波长为λ，今欲求其能量，须用下列哪个公式---------------( )

(A) λc

h E = (B) 2

2

2λ

m h E = (C) 2) 25

.12

(λ

e E = (D) A ，B ，C 都可以

1203、下列哪些算符是线性算符----------------------------------------------------- ( ) (A)

dx

d

(B) ?2 (C) 用常数乘 (D)

1204、下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx

(C) e -ikx

(D) 2

e kx -

(1) 哪些是

dx

d

的本征函数；--------------------------------------------------------------- ( ) (2) 哪些是的22

dx d 本征函数；------------------------------------------------------------- ( )

(3) 哪些是22

dx

d 和dx d 的共同本征函数。----------------------------------------------- ( )

1205、线性算符R

?具有下列性质 R

?(U + V ) = R ?U +R ?V R ?(cV ) = c R ?V 式中c 为复函数，下列算符中哪些是线性算符？ -----------------------------------( )

(A) A

?U =λU ， λ=常数 (B) B

?U =U * (C) C

?U =U 2

(D) D

?U = x

U d d (E) E

?U =1/U 1206、电子自旋存在的实验根据是：--------------------------------------------------------------- ( ) (A) 斯登--盖拉赫(Stern-Gerlach)实验 (B) 光电效应 (C) 红外光谱 (D) 光电子能谱 1207、一个在一维势箱中运动的粒子， (1) 其能量随着量子数n 的增大：------------------------ ( )

(A) 越来越小 (B) 越来越大 (C) 不变 (2) 其能级差 E n +1-E n 随着势箱长度的增大：-------------------( ) (A) 越来越小 (B) 越来越大 (C) 不变

1208、立方势箱中的粒子，具有E =2

2

812m a h 的状态的量子数。 n x n y n z 是--------- ( )

(A) 2 1 1 (B) 2 3 1 (C) 2 2 2 (D) 2 1 3 1209、处于状态ψ (x )=sin x a π的 一维势箱中的粒子，出现在x =4

a

处的概率为----- ( ) (A) P =ψ (

4a ) = sin(a π·4a ) = sin 4π = 22 (B) P =[ψ (

4a )]2= 2

1

(C) P = a

2

ψ (4a ) =

a

1

(D) P =[

a

2 ψ ( 4a )]2= a 1 (E) 题目提法不妥，所以以上四个答案都不对

1210、在一立方势箱中，2

2

47m l

h E ≤的能级数和状态数分别是(势箱宽度为l ，粒子质量为m )：-----------------------------------------------------------------( )

(A) 5，11 (B) 6，17 (C) 6，6 (D) 5，14 (E) 6，14 1211、关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ---------------------------（ ）

(A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比

(C)光电流大小与入射光强度成正比

(D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大

1212、提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：----------------------------（）

(A) de Br?glie (B) A. Einstein

(C) W. Heisenberg (D) E. Schr?dinger

1213、微粒在间隔为1eV的二能级之间跃迁所产生的光谱线的波数v~应为：--------------------------------（）

(A) 4032 cm-1(B) 8065cm-1

(C) 16130cm-1(D) 2016cm-1

(1eV=1.602×10-19J)

1214、普朗克常数是自然界的一个基本常数，它的数值是：-------------------（）

(A) 6.02×10-23尔格(B) 6.625×10-30尔格·秒

(C) 6.626×10-34焦耳·秒(D) 1.38×10-16尔格·秒

1215、首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：-----------------（）

(A) 薛定谔(B) 狄拉克

(C) 海森堡(D) 波恩

1216、下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：-------------------（）(Ａ)电子自旋(保里原理)

(Ｂ)微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征

(Ｃ)描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的

(Ｄ)微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理

1217、描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：----------------------------------（）

(A) 由经典的驻波方程推得(B) 由光的电磁波方程推得

(C) 由经典的弦振动方程导出(D) 量子力学的一个基本假设

1218、一电子被1000V的电场所加速，打在靶上，若电子的动能可转化为光能，则相应的光波应落在什么区域？

（A）X光区（B）紫外区

（C）可见光区（D）红外区

1219、由戴维逊－革末的衍射实验，观察某金属单晶（晶面间距d为104pm）上反射，若一级衍射的布拉格角控制为45o，则此实验要用多大的加速电压来加速电子（单位：V）？

--- ( )

（A ）<10 （B ）25 （C ）70 （D ）150

1220、一维势箱的薛定谔方程求解结果所得的量子数n ，下面论述正确的是 ？

（A ）可取任意整数 （B ） 与势箱宽度一起决定节点数 （C ） 能量与n 2成正比例 （D ） 对应于可能的简并态 三、判断题（对判断给出的命题的对错，正确的题号后画√，错误的题号后画×） 1301、根据测不准原理，任一微观粒子的动量都不能精确测定，因而只能求其平均值。 1302、波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的。

1303、任何波函数ψ (x ， y ， z ， t )都能变量分离成ψ (x ， y ， z )与ψ (t )的乘积。 1304、ψ=cos x ， p x 有确定值， p 2x 没有确定值，只有平均值。

1305、一维势箱中的粒子，势箱长度 为l ， 基态时粒子出现在x =l /2处的概率密度最小。 1306、波函数本身是连续的，由它推求的体系力学量也是连续的。 1307、测不准关系式是判别经典力学是否适用的标准。

1308、光照射到金属表面时，金属中有光电子产生，且照射光的强度越大，电子逸出金属表面的动能越大。

1309、量子力学中力学量算符都是线性的、厄米的。

1310、在电子的衍射实验中采用单个电子穿过晶体粉末，在足够长的时间后，在屏上得到了衍射环纹，这说明单个电子也可以产生波。 四、简答题

1401、对一个运动速率v<

mv v E v h h

p mv 2

1

===

=

=νλ

A B C D E 结果得出2

1

1=

的结论。问错在何处？ 说明理由。 1402、简述一个合格的波函数所应具有的条件？

1403、被束缚在0

1404、一维势箱中一粒子的波函数ψn (x )=(2/l )1/2sin(n πx /l )是下列哪些算符的本征函数，并求出相应的本征值。

（A ）x p ? （Ｂ） 2?x p （Ｃ） x ? （Ｄ）H ?= m h 2)2/(2π2

2

d d x

1405、说明下列各函数是H

?，M ?2， M ?z 三个算符中哪个的本征函数？ ψ

2pz ，

ψ2px 和ψ2p1

1406、一维势箱中运动的一个粒子，其波函数为

a

x

n a πsin

2，a 为势箱的长度，试问当粒子处于n =1或n =2的状态时，在0 ～a /4区间发现粒子的概率是否一样大，若不一样，

n 取几时更大一些，请通过计算说明。

1407、θθcos 3cos 53

-是否是算符)d d sin cos d d (?222

θ

θθθF +-= 的本征函数，若是，本征值是多少？

1408、下列休克尔分子轨道中哪个是归一化的？若不是归一化的，请给出归一化系数。（原子轨道

???321,,是已归一化的）

a.

()??2112

1+=ψ

b.

()???321224

1

+-=

ψ 1409、已知一函数f (x )=2e 2x

，问它是否是x p

?的本征函数？相应的本征值是多少？ 1410、有一粒子在边长为a 的一维势箱中运动。

(1)计算当n =2时，粒子出现在0≤x ≤a /4区域中的概率；

(2)根据一维势箱的2

ψ图，说明0≤x ≤a/4区域中的概率。

五、证明题

1501、已知一维运动的薛定谔方程为:

m h 228[π-2

2

d d x

+V （x ）] ψ=E ψ ψ1和ψ2是属于同一本征值的本征函数， 证明: ψ

1

x d d 2ψ-ψ2x

d d 1

ψ=常数 1502、试证明实函数Φ2 (φ)=(1/π)1/2cos2φ和Φ2’(φ)=(2/π)1/2sin2φcos φ都是Φ方程

[2

2

d d φ

+ 4] Φ (φ)=0 的解。 1503、证明函数x +i y ，x -i y 和z 都是角动量算符z

M ?的本征函数，相应的本征值是多少？ 1504、已知有2n 个碳原子相互共轭的直链共轭烯烃的π分子轨道能量可近似用一维势阱的能级公式表示为

E k = 2

22

2)

12(8+n mr h k k =1，2，…，2n 其中，m 是电子质量，r 是相邻碳原子之间的距离，k 是能级序号。试证明它的电子光谱第一吸收带(即电子基态到第一激发态的激发跃迁)波长λ与n 成线性关系。假定一个粒子在台阶式势阱中运动，势阱宽度为l ，而此台阶位于l /2～l 之间。 1505、证明同一个厄米算符的、属于不同本征值的本征函数相互正交。 1506、证明厄米算符的本征值是实数。

1507、已知A

?和B ?是厄米算符，证明(A ?+B ?)和A ?2也是厄米算符。 1508、证明描述在一球面上运动的粒子（刚性转子）的波函数θψcos 212

1??

?

??π3=是三维

空间中运动的自由粒子（势能V=0）的薛定谔方程的解，并求粒子的能量。

已知)]sin 1)(sin sin 1)(1[22

2

2222222

φθr θθθθr r r r r m ??+????+????-=? 。

1509、证明描述在一球面上运动的粒子（刚性转子）的波函数

φ

θθψi 1e sin cos 21-??

? ??2π15=是在三维空间中运动的自由粒子（势能V =0）的薛定谔方程

的解，并求粒子的能量。

已知)]sin 1)(sin sin 1)(1[22

2

2222222

φ

θr θθθθr r r r r m ??+????+????-=? 。 1510、证明波函数φ

θθψi 2

1e sin cos 21-??

? ??2π15=是角动量平方的本征函数，并求粒子的

角动量。已知角动量平方算符)sin 1sin cos (?2

222222φθθθθθM ??+??+??-= 。 六、计算题

1601、波长λ=400 nm 的光照射到金属铯上，计算金属铯所放出的光电子的速率。已知

铯的临阈波长为600 nm 。 1602、光电池阴极钾表面的功函数是2.26 eV 。当波长为350 nm 的光照到电池时，发射

的电子最大速率是多少？ (1 eV=1.602×10-19J ， 电子质量m e =9.109×10-31 kg) 1603、设体系处在状态ψ=c 1ψ

211+ c 2

ψ210中， 角动量M 2和M z 有无定值。其值为多少？

若无，则求其平均值。 1604、函数ψ (x )= 2

a 2sin a x π - 3a

2

sin a x π2 是不是一维势箱中粒子的一种可能状

态？ 如果是， 其能量有没有确定值(本征值)？ 如有， 其值是多少？ 如果没有确定值， 其平均值是多少？

1605、在长为l 的一维势箱中运动的粒子， 处于量子数为n 的状态， 求： (1) 在箱的左端1/4区域内找到粒子的概率； (2) n 为何值时， 上述概率最大？ (3) 当n →∞时， 此概率的极限是多少？ (4) (3)中说明了什么？

1606、(1) 写出一维简谐振子的薛定谔方程； (2) 处于最低能量状态的简谐振子的波函数是

ψ0= (π

2α)1/4

exp[-α2x 2/2]

此处，α=(4π2k μ/h 2)1/4，试计算振子处在它的最低能级时的能量。

(3) 波函数ψ在x 取什么值时有最大值？ 计算最大值处ψ2的数值。

1607、氢分子在一维势箱中运动，势箱长度l =100nm ，计算量子数为n 时的de Broglie 波

长以及n =1和n =2时氢分子在箱中49nm 到51nm 之间出现的概率，确定这两个状态的节面数、节面位置和概率密度最大处的位置。

1608、限制在一个平面中运动的两个质量分别为m 1和m 2的质点 ， 用长为R 的、没有质

量的棒连接着，构成一个刚性转子。

(1) 建立此转子的Schr ?dinger 方程， 并求能量的本征值和归一化的本征函数；

(2) 求该转子基态的角动量平均值。

已知角动量算符 M

?=M ?z =-i π2h φ

??

。

1609、氢原子中，归一化波函数：

（

和

都是归一化的）所描述的状态，其能量平均值是（a ）R ；能量 出现的概率

是（b ）；角动量平均值是（c ） ；角动量 出现的概率是（d ）；角动量Z

分量的平均值是（e ）

；角动量Z 分量

出现的概率是（f ）。

1610、已知类氢离子 的某一状态波函数为：

则（a ）此状态的能量为； （b ）此状态的角动量的平方值；

（c ）此状态角动量在Z 方向的分量为；（d ）此状态的 值分别为；

(e)此状态角度分布的节面数为；

2125、多电子原子的一个光谱支项为 3D 2， 在此光谱支项所表征的状态中，原子的总轨

道角动量等于（a ）； 原子总自旋角动量等于（b ）；原子总角动量等于（c ）； 在磁场中 ， 此光谱支项分裂出（d ）个蔡曼 ( Zeeman ) 能级 。 2403、一个电子主量子数为 4， 这个电子的 l ， m ， m s 等量子数可取什么值？这个电子共有多少种可能的状态？

量子力学基础习题参考答案

1100、填填空题（在题中的空格处填上正确答案）

1101、E =h ν p =h /λ

1102、,mv

h

p h ==λ 小

1103、电子概率密度

1104、?x ·?p x ≥ π

2h

微观物体的坐标和动量不能同时测准, 其不确定度的乘积不小于π

2h

。

1105、(a) ∫ψ

*i ψi d τ = 0, i ≠j

(b) ∫ψ*i

ψi d τ = 1

1106、电子1出现在x 1,y 1,z 1, 同时电子2出现在x 2, y 2, z 2处的概率密度 1107、-i ·

π2h (x y

?? - y x ??)

1108、(1)ψ =

l

2sin l x n π n =1, 2, 3,…

(2) E = 2228m l h n ; 2

2

8m l h

(3) 1/2 (4) 增长

(5) ψ= l 2

sin l x n x πl 22 sin l y n y 2π

E = 22

28m l h

n x + 2

22)

2(8l m h n y 1109、(1)ψ

211(x ,y ,z ) =

3

8

a sin a π2 x sin a πy sin a π z

(2)(a /4, a /2, a /2) (3a /4, a /2, a /2)

(3)6

1110、3, 4 1111、

[]

ψψμπE x k h

=+?-

2212822

1112、T = ()

λh m m p 22122==1.016×10-17 J 1113、(），j i d j i ==??1*τψψ（），j i d j i ≠=??0*

τψψ

1114、（ττd F d F ψψ=ψψ??Λ

Λ*

*

)(）（ττd F d F 2*

12*1

)(ψψ=ψψ??Λ

Λ）

1115、零，2

28m a

h 1116、(1) ψ =

l

2sin l x n π n =1, 2, 3,…

(2) E = 2228m l h n ; 2

2

8m l h

1117、 (1) ψ

211(x ,y ,z ) =

3

8a sin a π2 x sin a πy sin a π z

(2) (a /4, a /2, a /2) (3a /4, a /2, a /2)

(3) 6

1118、17，5

1119、(1) O 或核附近 (2) a 0 或 52.3 pm (3) 8×13.6/9 eV

1120、E = )(222z

y

x

n n n ++ 2

2

8m a

h 共有17个状态, 这些状态分属6个能级。

1200、选择填空题（选择正确的答案，填在后面的括号内） 1201、(D) 1202、（B ）

1203、(D)

1204、(1) B, C (2) A, B, C (3) B, C 1205、(A), (D)

1206、(A)

1207、(1) B (2) A 1208、（C ） 1209、（E ） 1210、（B ） 1211、(C),(D) 1212、(A) 1213、（B ） 1214、(C) 1215、(C)

1216、(A) ,(B) 1217、(D) 1218、(A) 1219、(C) 1220、(C)

1300、判断题（对判断给出的命题的对错，正确的题号后画√，错误的题号后画×）

1301、× 1302、× 1303、× 1304、× 1305、× 1306、× 1307、× 1308、× 1309、√ 1310、×

1400、简答题

1401、A,B 两步都是对的, A 中v 是自由粒子的运动速率, 它不等于实物波的传播速率u ,

C 中用了λ= v /ν, 这就错了。 因为λ= u /ν。 又

D 中

E =h ν是粒子的总能量, E 中E =

2

1mv 2

仅为v <

1402、(1) 单值的。 (2) 连续的, 一级微商也连续。

(3) 平方可积的, 即有限的。

1403、P = a a

a

275.025.0?sin 2(a x π) d x = 0.5+ π

1

= 0.818 1404、(A).不是 (B).是,本征值为 n 2h 2/(4l 2)

(C).不是 (D).是,本征值为 n 2h 2/(8ml 2)

1405、p p z 022= 是M z

?,M ?,H ?2

共同的本征函数 p x 2为p 12和p 12-的线性组合,是M

?,H ?2

共同 的本征函数

p 12 是M z ?,M ?,H

?2

共同的本征函数 1406、P =??π=???? ?

?π4022

4

0d sin 2d sin 2a/a/x a x n a x a x n a =2

sin 2141π

π-n n

n =1，P =πn 21

41-

n =2，P =4

1

.

n =2时，粒子出现在0—a /4区间概率更大些。

1407、

θθθ

sin cos d d

-= θθθc o s c o s d d 22

-= θθθθ2

3c o s s i n 3c o s d d -= θθθθθ

c o s s i n 6c o s 3c o s

d d 2

3322+-=

(

)

=-θθF c o s 3c o s 5?3

(

)

θθθθθθcos 3cos 15cos 3cos sin 30cos 153232+-++--

=()

θθθθcos 6cos sin 30cos 302

32++--

=()

θθθθθθcos 6cos sin 30cos 30cos 30cos 302

3332+++---

=()

θθcos 36cos 603

2+--

=12(

)

θθcos 3cos 53

2-

是，本征值为122

1408、归一化条件：11

2=∑=n

i i c

A

=∑=2

1

2i i c 2(

1)21

2=,a 是归一化的。

B 23

)42()41(2)(223

1

2=-+=∑=i i c ,b 不是归一化的。

归一化因子

32即61。 1409、x x x x f p

2e 2d d

i )(? -= x

2e i 4 -= )(i 2x f -=

)(i x f h

π

= f (x )是x p ?的本征函数，本征值为π

i h 。 1410、x a

x n a a d )sin 2(

240

π? （当n =2时） =??????ππ-044sin 882a a x a a a

=4

182=?a a (2)

2ψ

1500、证明题

1501、11ψ2

12d d x ψ = 21ψ22

2d d x

ψ ψ

1222d d x ψ - ψ2

2

1

2d d x ψ = 0

x d d [ψ1x d d 2

ψ - ψ2x

d d 1ψ] = 0 [ψ1x d d 2ψ - ψ2x

d d 1

ψ] = 常数

1502、将

()()

φφ2cos /12

/12

πΦ=代入()φΦ方程

()()()()

()()02c o s 42

c o s 42c o s 42s i n 22c o s 4/1/1/1/1/12

/12/12

/12

/12

/122=+-=+-=

???

???+πππφφφ

φφφ

φφφ

d d

d d

说明

()φΦ2

是()φΦ方程的解。

将()()φφφcos sin /22

/12

πΦ'=代入()φΦ方程

()()()()

()

()[]()0

cos sin 4cos sin 2cos sin 2cos sin 4cos sin 4/2/2/2sin cos /2/22

/12

/12

/12

22

/12

/12

2

=+--=

+-=??

?

??

?+πππππφφφφφφφ

φφφφφφφd

d

d

d 说明()φΦ'2也是()φΦ方程的解。

1503、()()()[]()()()()()()[]iy x y iy x x i iy x y x i y h z x y h z M

M +-+-=+--=π????π????π22?? 故x +i y 是

M

z ?本征函数,本征值为 π

2h ()()()[]()()()()()()[]iy x y iy x x i iy x y x i y

h

z

x

y h

z M

M ----=---=π

??

??

π

??

??

π

22?? 故x -i y 是M z ? 本征函数,本征值为 π2h - ()()()()[]z z y z x i z y

h

z

M

?==--=π

??

??

π

002?

故z 是M

z

? 本征函数,本征值为 0

1504、第一吸收带是由HOMO 到LUMO 跃迁产生。 对本题HOMO k =n ; LUMO k =n +1;

()()[]

()

()()

1282

2

81222228212121++=

=-+=?++n mr mr n mr h

n h n h n n E

E hc ?=λ 所以 ()()h n mrc h

hc

n mr E

hc

/1282

128+==

=

?+?λ

即h mrc h mrcn /8/16+=λ

1505、设u 1,u 2,...,u n ,...是算符A

?的分别属于本征值λ,,λ,λn 21.的本征函数，则有 ,?u u A

m m m λ= ,?u u A

n n n λ= ()

****?m m m m m u λu λu A ==

可得

τu u λτu A u n

m

n

n

m

d d ?*

*

?

?= ()τu u λτu u A n

m

m

n m d d ?**

?

?= 根据 的厄米性,从上式可得

τu u λτu u λn m m n m n d d *

*?

?=

()0d *

=-?

τu u λλn m m n

λλm n ≠ 0d *

=∴?

τu u n m

1506、按厄米算符的定义,有()ud τu A ud τA u ??=??*

*

同时下列本征方程成立:()*

**

??u λu A λu,u A

==

代入上式,得: τu u λτu u λd d *

**?

?=

由此可得 *

λλ= 故λ必为实数。

1507、(1). ∫u *

(B A ??+)v d τ=∫u *A ?v d τ+∫u *B ?v d τ =∫(A

?u )*v d τ+∫(B ?u )*v d τ =∫[(A

?u )*+(B ?u )*]v d τ =∫[(A ?u )+(B ?u )]*v d τ =∫[(B A

??+)]*v d τ 由此得证

(2). ∫u *A A ?

?v τd =∫u *A

?(A ?v )τd =∫(A

?u )*(A ?v )τd =∫(A

?u )*A ?v τd =∫(A A

??u )*v τd =∫(

A

?2

u )*

v τd 由此得证

1508、三维空间自由粒子的薛定谔方程

ψψE H

=? 222??-=m

H 当r 为常数，ψ与r,φ无关。

???? ????+??-=θθθθmr H sin cos 2?2222 θN θθθθmr H cos sin cos 2?2222???

? ????+??-= ψ =()θθmr N cos cos 222

---

=ψ22

22cos mr θN mr = 2

2

m a

E =∴ 当ψ与

φ无关，?

??

? ????+??-=θθθθsin cos ?222

2

M

2?2=ψM

2=M

1509、三维空间自由粒子的薛定谔方程 ψψE H =? 2

22??-

=m

H 当r 为常数，ψ与r 无关,

???? ?

???+??+??-=222222

2s i n 1s i n c o s 2?φθθθθθmr H

)e s i n c o s (??i φθθN H H

-=ψ

=???

? ????+??+??-2222222sin 1sin cos 2φθθθθθmr N φθθi e sin cos - =2

22m r

N -(ψ-φθθi e sin cos -+φφφ

θθθθθθi i i 2

e sin cos e cos sin e sin cos -----) =222m r N φθθi e sin cos ???

? ??++-θθθψ222sin 11sin cos 式中θθθ222sin 1

sin cos +-=1 =ψH ?m r N 262 N φθθi e sin cos =m r

262 ψ,2226m r E =∴

1510、φθθN φθθθθθM ψi 2222222e sin cos sin 1sin cos ?-???

? ????+??+??-= =2

N -(ψ-φ

θθi e

sin cos -+

φ

φφθ

θθθθθi i i 3e sin cos e cos sin e sin cos -----)

=2

N φ

θθi e sin cos ???

?

??++-θθθψ222sin 11sin cos

式中θ

θθ2

22sin 1

sin cos +-=1 226? =ψM

N φθθi e sin cos -=ψ26 ,26 为一常数，证毕。 6=M 1600、计算题

1601、1-241-9

--34

s kg m 10626.6s kg m 100.1106.626???=????==-λh

p T = m p 22 = 31

23410

109.92)10626.6(--??? J = 2.410×10-17

J 1602、T = h ν- h ν0= λhc -0

λhc

T = (1/2) mv 2

v =

)1

1(20

λλ-m hc = 6.03×105 m ·s -1 1603、(1)ψ是M

?2属于同一本征值2(π2h )2的本征函数的线性组合, 所以，ψ是M ?2的本征函数, 其本征值亦为2(π

2h )2

(2)ψ是M

?z 属于本征值h 和0的本征函数的线性组合, 它不是M ?z 的本征函数, 其M z 无确定值, 其平均值为= 2

2

.2121)

2/(c c h c +π 1604、(1). 该函数是一维箱中粒子的一种可能状态, 因

a 2sin a x π及a

2sin a x π2是方程

的解，其任意线性组合也是体系可能存在的状态。

(2). 其能量没有确定值, 因该状态函数不是能量算符的本征函数。

(3). = 2

2

135m a

h 1605、(1) ψn =l

2

sin l x n π

P 1/4=∫4/0l 2

n ψd x =41 - πn 21sin 2

πn

(2) n =3, P 1/4,max =

41 + π61 (3) lim ∞→n P 1/4 = lim ∞→n (4

1 - πn 21sin 2πn ) =41

(4) (3)说明随着粒子能量的增加, 粒子在箱内的分布趋于平均化。

1606、(1) [ - μ2

28πh 22

dx

d + 21kx 2] ψ=E ψ (2) E = μα22

28πh =

π4h μ

K

=

2

1

h ν (3) x =0时 ，

dx

d

ψ= 0， 有最大值 ψ

0(0) = (π

2α)1/4

最大值处 x =0 ψ02

=(πα2)1/2 = π

α 1607、E k

m

h p h 2=

=

λ 势箱中

??

? ??==l

h

n E m k

E

22

28

故λ= 2l /n =(200/n )nm

()()[]()()π

-π?π-=π==??

n n n dx

l x n l dx p 98.0sin 02.1sin 02.0//2212

51

9

51

49

2

sin

ψ

n =1 P 1=0.0400

n =2 P 2=0.0001

n =1时 无节面,概率密度最大在50nm 处。 n =2时 节面数=n -1=1,节面在50nm 处,概率密度最大在25nm 和75nm 处。

1608、(1) Schr?dinger 方程为 - I h 22

8π2

2d d φ

φψ）

（ = E ψ (φ) E = I h m 2228π, ψ (φ) =π21e im φ

m =0,±1,±2,...

(2)

?> = 0 1609、（a ）

； （b ）

；

（c ）

； （d ）1

（e ）

（f ）0

1610、（a ）－13.6eV ；（b ）0；（c ）0；（d ）2,0,0；(e)0

量子力学教程课后习题答案

量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ

量子力学思考题及解答

1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于η不能忽略的体系，而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或η可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ? ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r ? 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。

喀兴林高等量子力学习题6、7、8

练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}i a 展开的（6.1）式中，证明若ψ 是归一化的，则 1=∑*i i i c c ，即A 取各值的概率也是归一化的。（杜花伟） 证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。根据(6.1)式 ∑=i i i c a ψ, ψi i a c = 可得 1===∑∑* ψψψψ i i i i i i a a c c 即A 取各值的概率是归一化的。 # 练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变. (2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美） (1)证明：在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则 ()t E i i i i t η -=ψ 所以 i A i e i A e A t E i t E i i i ==-η η ψψ. 即所有物理量的平均值不随时间变化. (2)两个定态的叠加不一定是定态.例如 ()()()t E i t E i e x v e x u t x 21,η η --+=ψ 当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. # 6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立： ) (]),([)()](,[X f X i P X f P f P i P f X ?? =?? =ηη （解答：玉辉 核对：项朋） 证明：（1）

) ()()()()()()()()](,[P f P i P i P f P i P f P f P i P i P f P f P i X P f P Xf P f X ??=??-??+??=??-??=-=ηηηηηηψψ ψψψ ψψ ψψ 所以 )()](,[P f P i P f X ?? =η （2） ) () ()())(())(()()())(()()(]),([X f X i X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ??=?? --??--??-=?? --??-=-=ηηηηηηψψψψψ ψψ ψψ 所以 )(]),([X f X i P X f ?? =η # 练习6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f P i P X f X ?? =η 解：不正确。 因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 # 练习6.5 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海） （1）00=?=?L X ,L P （2）[]0=?P X L, （3）()()P X X P P X P X L ?-??-=ηi 22 2 2 证明： （1）∑∑∑∑=== ?ijk k j i ijk k j jk ijk i i i i i P X P P X P L P εε L P

量子力学习题答案

量子力学习题答案 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ?） ，故： 2e E P /(2)=μ 69h /p h /hc /1.2410/0.7110m 0.71nm --λ====?=?= 1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为 J 102.07K 1K J 10381.12 3 2323123---?=????== kT E 于是有 一维谐振子处于22 /2 ()x x Ae αψ-=状态中，其中α为实常数，求： 1.归一化系数； 2.动能平均值。 （22 x e dx /∞-α-∞ = α?） 解：1.由归一化条件可知：

22 *2x (x)(x)dx A e dx1 A/1 ∞∞ -α -∞-∞ ψψ== =α= ?? 取相因子为零，则归一化系数1/21/4 A/ =απ 2. 2222 2222 2222 2222 22 2 *2x/2x/2 22 2x/2x/2 2 2x/22x/2 22 22x2x/2 22 242x2 T(x)T(x)dx A e(P/2)e dx d A e()e dx 2dx d A e(xe)dx 2dx A{xe(xe)dx} 2 A x e dx A 22 ∞∞ -α-α -∞-∞ ∞ -α-α -∞ ∞ -α-α -∞ ∞∞ -α-α -∞ -∞ ∞ -α -∞ =ψψ=μ =- μ =--α μ =--α--α μ =α= μμ ?? ? ? ? ? ＝（）＝＝ 22 2222 4x 2 2 24x x 2 22 222 24 2 1 ()xd(e) 2 1 A(){xe e dx} 22 1A A() 24 2 ∞ -α -∞ ∞∞ -α-α -∞ -∞ α- α =α--- μα ππαα α-- μμ α ? ? 若α，则该态为谐振子的基态，T 4 ω = 解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H定理是非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为： 22 22 d 1 H x 2dx2 =-+μω μ 它的基态能量 1 E 2 =ω选择为参量，则:

量子力学期末考试题解答题

1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即：

高等量子力学习题汇总(可编辑修改word版)

2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2

量子力学课后答案第一二章

量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1、1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b(常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ, (1) 以及 λνc =, (2) ||λνρρλd d v =, (3) 有 (),1 18)(| )(|| 5 2-?=?===kT hc v v e hc c d c d d dv λνλλ πλλρλ λλρλ ρρ 这里的λρ的物理意义就是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的就是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的就是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值就是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就就是要求的,具体如下: 01151186=??? ? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc d d λλλλλ πλρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这就是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解就是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4、97,经过验证,此解正就是所要求的,这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??≈-3109.2λ 这便就是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。

量子力学习题集及答案

09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为

高等量子力学习题.

高等量子力学习题 1、 对于一维问题，定义平移算符()a D x ，它对波函数的作用是() ()()a x x a D x -=ψψ，其中a 为实数。设()x ψ的各阶导数存在，试证明()dx d a x e i p a a D -=?? ? ??= ?exp 。 2、 当体系具有空间平移不变性时，证明动量为守恒量。 3、 若算符()x f 与平移算符()a D x 对易，试讨论()x f 的性质。 4、 给定算符B A ,，证明[][][]....,,! 21 ,++ +=-B A A B A B Be e A A ξξ。 5、 给定算符C B A 和、，存在对易关系[]C B A =,，同时[][]0,,0,==C B C A 。证明Glauber 公式C A B C B A B A e e e e e e e 2 12 1 ==-+。 6、 设U 为幺正算符，证明U 必可分解成iB A U +=，其中A 和B 为厄密算符，并满足 122=+B A 和[]0,=B A 。试找出A 和B ，并证明U 可以表示为iH e U =，H 为厄密 算符。 7、 已知二阶矩阵A 和B 满足下列关系：02 =A ，1=+++AA A A ，A A B + =。试证明 B B =2，并在B 表象中求出矩阵A 、B 。 8、 对于一维谐振子，求湮灭算符a ?的本征态，将其表示为谐振子各能量本征态n 的线性叠加。已知1?-=n n n a 。 9、 从谐振子对易关系[ ]1,=+ a a 出发，证明a e ae e a a a a λλλ--=+ +。 10、 证明谐振子相干态可以表示为 0*a a e ααα-+=。 11、 谐振子的产生和湮灭算符用a 和+ a 表示，经线性变换得+ +=va ua b 和 ++=ua va b ，其中u 和v 为实数，并满足关系122=-v u 。试证明：对于算符b 的任 何一个本征态，2 =???p x 。 12、 某量子体系的哈密顿量为，() 223 2 35++++= a a a a H ，其中对易关系[]1,=-≡++ + a a aa a a 。试求该体系的能量本征值。 13、 用+ a ?和a ?表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本对易式

2011量子力学期末考试题目

第一章 ⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。 ⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说： 表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=h ν。 表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点： ①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。⒑爱因斯坦光量子假说： 光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理： 当光射到金属表面上时，能量为E= hν的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点： ①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。 ⒔康普顿效应：高频率的X射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律： ①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ； ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性

量子力学习题答案

量子力学习题答案

2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论 （一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数 （二）的情形 令,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为

由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 E 0 x 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数 2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1） ∞∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得

∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） ∞∞ 左 中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 当，为任意整数， 则 当，为任意整数， 则 综合得 ∴ 当时，， 波函数 归一化后 当时，， 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左右 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中

量子力学课后习题答案

第一章 绪论 1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b b T m 0 3109.2 ,??==-λ。 证明：由普朗克黑体辐射公式： ννπνρννd e c h d kT h 1 1 83 3 -= ， 及λ νc = 、λλ νd c d 2 - =得 1 185 -= kT hc e hc λλλπρ， 令kT hc x λ= ，再由0=λρλd d ，得λ.所满足的超越方程为 1 5-=x x e xe 用图解法求得97.4=x ，即得 97.4=kT hc m λ，将数据代入求得C m 109.2 ,03??==-b b T m λ 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长. 解：010 A 7.09m 1009.72=?≈= =-mE h p h λ # 1.3. 氦原子的动能为kT E 2 3 = ，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。 解：010 A 63.12m 1063.1232=?≈== =-mkT h mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-??=m ，1 23K J 1038.1--??=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。 （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123 T J 10 923.0--??=B μ，求动能的量子化间隔E ?，并与K 4=T 及 K 100=T 的热运动能量相比较。 解：（1）方法1：谐振子的能量2222 1 2q p E μωμ+= 可以化为 ( ) 1222 222 2=??? ? ??+ μωμE q E p 的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为2 2,2μω μE b E a = =，相空间面积为 ,2,1,0,2=== = =?n nh E E ab pdq ν ω ππ 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E ν 方法2：一维谐振子的运动方程为02 =+''q q ω，其解为 ()?ω+=t A q sin 速度为 ( )?ωω+='t A q c o s ，动量为()?ωμωμ+='=t A q p cos ，则相积分为

量子力学典型例题分析解答1

浅谈多媒体课件制作与中学物理教学 计算机技术的普及和发展，冲击着教育观念的改变和教学手段的提高。也成为新贯彻新课改的有力工具。为教育的现代化改革开拓了一个广阔的前景与空间，给优化课堂教学，构建新型的教学模式，提供了丰富的土壤。多媒体集文字、图形、图象、声音、动画、影视等各种信息传输手段为一体,具有很强的真实感和表现力，可以激发学生学习兴趣，可以动态地、对比地演示一些物理现象，极大地提高教与学的效率，达到最佳的教学效果。 随着计算机技术的迅猛发展及计算机的大量普及，很多中学配备了微机室、专用多媒体教室，建立电教中心，为计算机辅助教学（CAI）打下了硬件基础。CAI在现代教学中有着重要的地位，如何充分发挥CAI在中学教学中的作用，是摆在广大中学教育工作者面前的一个重要课题。笔者就CAI在中学物理教学中的应用以及对中学物理教学中的影响谈几点拙见。 一个优秀的CAI课件应充分地发挥计算机多媒体的特点，在制作过程中应注重视听教学的特征，突出启发教学，还应注重教学过程的科学性和合理性，应做到构图合理、美观，画面清晰、稳定，色彩分明、色调悦目，动画流畅，真实感强，解说清晰动听，功能丰富，演播运行安全可靠。 一．在制作多媒体CAI课件时应具备以下几点： ⒈加强课前研究，建立素材资源库 课前研究是教学的准备，只有课前进行充分的研究，才能取得理想的教学效果。在备课过程中，走素材资源库和制作平台相结合的思路。物理教师应根据教学实际，充分利用现有条件下的网络信息资源素材库和教学软件，以及相关的CD、VCD资源，选取适合教学需要的内容来制作自己的课件，从而适应不同教学情境的需要。同时，教师可在Internet上建立自己的网站，把以网页浏览形式制作的CAI课件、教案、论文等放在该网站中，并把在教学过程中制作的每一个课件链接起来，从而逐步建立一个完整的教学课件体系。 2.选择合适的制作工具 为了创作出一个成功的多媒体CAI课件，工具选择得好可以大大地加快开发进程，节省开发人力和资金，有利于将主要精力投入到脚本和软件的设计中去。选择多媒体制作工具，主要应从以下几个方面综合考虑：编程环境、超级链接能力、媒体集成能力、动画创作能力、易学习性、易使用性、文档是否丰富等 3.应充分发挥交互作用

吉林大学高等量子力学习题答案共11页word资料

高等量子力学习题和解答 ? 量子力学中的对称性 1、 试证明：若体系在线性变换Q ?下保持不变，则必有0]?,?[=Q H 。这里H ?为 体系的哈密顿算符，变换Q ?不显含时间，且存在逆变换1?-Q 。进一步证明，若Q ?为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。 解：设有线性变换Q ?，与时间无关；存在逆变换1?-Q 。在变换 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ?''?t t i H i H ?ψ=ψ?ψ=ψ h h 进而有 2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R z e ρ的矩阵表示。 解： 'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z z θθθθθ -=+=-+=考虑坐标系绕轴转角 用矩阵表示 '10'10'00 1x d x y d y z z θθ?????? ? ???=- ? ??? ? ?????? ??? 还可表示为 '()z e r R d r θ=r 3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n ρ 转θ d 角， 在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψρ =。试导出转动算符),(θd n U ρ 的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U ρ 下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。 解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符

()z e U d θr 利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψr r 可得 ()1z e z i U d d L θθ=-r h 通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符 绕任意轴n 转θ角的转动算符为 1U U U -+=? 为幺正算符 若 (')()()z e r U d r θψ=ψr r r 则必有 1 (')()()()()[,] z z e e z H r U d H r U d i H r d H L θθθ-==+r r r r r h 若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒 4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋 1=S 。 解：矢量函数在旋转变换下 后式代入前式 '(')(')[](')[](')x x y y x y z z r r e d e r d e e r e θθψ=ψ++ψ-++ψr r r r r r r r r r 又 '(')'(')'(')'(')x x y y z z r r e r e r e ψ=ψ+ψ+ψr r r r r r r r 比较得 '(')(')(') ?[1]()[1]()[1]()() x x y z x z y z x y r r d r i i d L r d d L r i d L r d r θθ θθθθψ=ψ-ψ=-ψ--ψ=-ψ-ψr r r r r h h r r h 类似可得 ?'(')()[1]()?'(')[1]()y x z y z z z i r d r d L r i r d L r θθθψ=ψ+-ψψ=-ψr r r h r r h

量子力学教程课后习题答案高等教育

量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量） ； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ

? 0115=-?+ --kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λh P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ

量子力学教程第二版答案及补充练习

第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ

量子力学思考题和讨论题

量子力学思考题 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于η不能忽略的体系，而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或η可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学， 二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数 )(r ?ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函 数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21*2 1ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r ? 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。

量子力学教程周世勋_课后答案

量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 '=???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ