03动量与角动量习题解答
03动量与角动量习题解答D
2. 两大小和质量均相同的小球，一为弹性球，另一为非弹性球，它们从同一高度落下与地面碰撞时，则有： （ ）
A. 地面给予两球的冲量相同；
B. 地面给予弹性球的冲量较大；
C. 地面给予非弹性球的冲量较大； A.
无法确定反冲量谁大谁小。 解：答案是B 。
简要提示：)
(12
v v
-=m I
3. 质量为m 的铁锤竖直向下打在桩上而静止，设打击时间为?t ，打击前锤的速率为v ，则打击时铁锤受到的合外力大小应为：（ ）
A ．mg t m +?v
B ．mg
C ．mg
t
m -?v
D ．t
m ?v
解：答案是D 。 简要提示：v m t F =??
4. 将一长木板安上轮子放在光滑平面
上，两质量不同的人从板的两端以相同速率相向行走，则板的运动状况是： （ ）
A. 静止不动；
B. 朝质量大的人行走的方向移动；
C. 朝质量小的人行走的方向移动；
D.
无法确定。
解：答案是B 。 简要提示：取m 1的运动方向为正方
向，由动量守恒：
2211='+-v v v M m m ，得：M
m m
/)(21
v v --='
如果m 1> m 2，则v ′< 0。
5. 一只猴子用绳子拉着一个和它质量相同的石头，在一水平的无摩擦的地面
选择题4图
M
m 1 v m 2 v
上运动，开始时猴子和石头都保持静止，然后猴子以相对绳子的速度u 拉绳，则石头的速率为： （ ）
A. u
B. u /2
C. u /4
D. 0 解：答案是B 。
简要提示：由动量守恒：0
v v
=+221
1m m ，
u
=-12v v ；得2
/2
u =v
。
6. 高空悬停一气球，气球下吊挂一软梯，梯上站一人，当人相对梯子由静止开始匀速上爬时，则气球： （ ） A.仍静止； B.匀速上升； C.匀速下降； D.匀加速上升。 解：答案是C 。
简要提示：由质心运动定理，系统的质心位置不变。
7. 一背书包的小学生位于湖中心光
滑的冰面上，为到达岸边，应采取的正确方法是： （ ）
A.
用力蹬冰面
B.
不断划动手臂
C. 躺在冰面上爬行
D.
用力将书包抛出 解：答案是D 。
二 填空题
1. 两个飞船通过置于它们之间的少量炸药爆炸而分离开来，若两飞船的质量分别为1200kg 和1800kg ，爆炸力产生的冲量为600N ?s ，则两船分离的相对速率为 m ?
s –1。
解：答案为：5/6 m ?
s –1
简要提示：由动量定理：1
1v m I =，2
2
v m I =
得：1
1
s m 2/1-?=v
，1
2
s m 3/1-?=v
所以分离速度为1
2
1
12
s m 6/5-?=+=v v v
2. 一小车质量m 1 = 200 kg ，车上放一装有沙子的箱子，
质量m 2 = 100 kg ，已知小车与砂箱以v 0 = 3.5 km ?
h –1的速率一起在光滑的直线轨道
上前进，现将一质量m 3 = 50 kg 的物体A 垂直落入砂箱中，如图所示，则此后小车的运动速率为 km ?
h –1。
解：答案为： 3.0 km ?
h –1
简要提示：系统在水平方向上不受力的作用，所以水平方向的动量守恒：
v
v )()(321021m m m m m ++=+， 1
h km 0.3-?=∴ v
3. 初始质量为M 0的火箭在地面附近空间以相对于火箭的速率u 垂直向下喷射燃料，每秒钟消耗的燃料d m /d t 为常数，设火箭初始速度为0，则火箭上升的速率v
A
m
m 1
填空题2图
与时间函
数关系
为 。 解：答案为：gt M
M u -=0
ln v 简要提示：由动量定理得到： m u m t mg d d d +=-v
两边积分： ???+=-M
M t
m m
u t g 0
d d d 0
v
v ，得到
ln
M M
u gt +=-v ，
即
gt M
M u -=0
ln
v ， 式中t t
m M
M d d 0
-
=
4. 机关枪每分钟发射240发子弹，每颗子弹的质量为10g ，出射速度为900 m ?
s –1，则机关枪的平均反冲力为 。 解：答案为：36 N
简要提示：每个子弹受到的冲量为：v
m I =
单位时间内子弹受到的平均冲力，即
机关枪的平均反冲力：
)N (3660
90010102403=???=?=-∑t
I F 5. 乐队队长的指挥棒，是由长为l 的细杆，其两端分别附着两个质量为m 1和m 2的物体所组成，将指挥棒抛入空中，其质心的加速度为 ，质心的轨迹为 。 解：答案为：g ； 抛物线。 简要提示：根据质心运动定理。 6. 质量为m =0.2kg 的小球系于轻绳的一端，并置于光滑的平板上，绳的另一端穿过平板上的光滑小孔后下垂用手握住。开始时，小球以速率v 1=2.0 m ?
s –1作
半径为r 1 = 0.5m 的圆周运动；然后将手缓慢下移，直至小球运动半径变为r 2=0.1m 。此时小球的运动速率为 。 解：答案为：10 m ?
s –1
简要提示：由角动量守恒定律得：
2
211r m r m v v =，2
112
/r r v v
=
7. 哈雷彗星在椭圆轨道上绕日运行，其近日点距离太阳8.9?1010m ，远日点距离太阳5.3?1012m ，则哈雷彗星在近日点时的速率与远日点时的速率之比为 。 解：答案为：595.5 简要提示：角动量守恒定律 三 计算题
1. 一位高尔夫球运动员打击高尔夫球，给球以大小为50m ?
s –1、方向与水平面成
30? 向上的初速度，设球的质量为0.025 kg ，棒与球接触时间为0.01s ，试求棒、球各受到的冲量大小，球受到的平均冲力大小。
解：以球为对象，由动量原理，球受到的冲量大小为
I = m v - 0= m v = 0.025 ? 50 = 1.25
(N.S)
S
N 25.1 ?==-=I I ′，大小仍为′棒受到的冲量是I I
N)(12501
.025
.1 ==?=
t I F 为：球受到的平均冲力大小
2. 一股水流从水管中喷射到墙上，若水的速率为 5 m ?
s –1，水管每秒喷出的水为3?10-4m 3，若水不溅散开来，其密度ρ为103 kg ?
m –3，试求水作用于墙上的平均冲力。
解：以质量为?m 的水流为对象，有
0)(v v v m m t F ?-=-?=?
00v v t
V t m F ??-=??-
=ρ
由牛顿第三定律，墙受到的冲力大小
N)
(5.151
1031043
0=???=??=-=-v t V F F ρ′
方向与水流速同向。
3. 一辆质量为M 的铁路平板车静止于一条无摩擦的水平直线轨道上，车上站
有n 个质量均为m 的人，为使车获得向前的速度，一是n 个人均以相对车为u 的速率一起向后跳下，另一种是n 个人依次以相对车为u 的速率先后跳下车，求证依次跳比一起跳使车获得的速度更大。
解：取平板车和n 个人为研究对象，由于在水平方向上无外力作用，故系统在该方向上动量守恒。选平板车运动方向为正方向，则有
)(=-+u nm M v v
所以n 个人同时跳下时，平板车的速
度为
u
nm
M nm
+=
v
若一个人、一个人依次跳下，情况就不同了。第一个人跳下时，有动量守恒定律
)(])1([11=-+-+u m m n M v v
第二个人跳下时有
1
22])1([)(])2([v v v m n M u m m n M -+=-+-+
m
N M mu
)1(12-+=
-v v
以次类推，得到当第n 个人跳下时，
有
1
)()(-+=-+n n n m M u m M v v v ，
m
M mu n n +=
--1v v 联立解
得
：
)1
211(nm
M m M m M mu n
++++++= v 因为
nm
M m M m M +>
>+>+1
211 ，所以
v
v =+>nm
M n
mu
n 。
4．三物体A 、B 、C 的质量均为m ，连接如图，开始时B 和C 紧依靠，两者之间有长为0.5m 的绳相连，忽略绳和滑轮质量，不计所有摩擦。求：（1）
A 、
B 开始运动后经多少时间
C 也开始运
计算题4图
A
C B
动？（2）B 和C 拉紧后C 开始运动时的速度大小。 解：（1）以A ，B 为对象，由牛顿第二定律得
mg - T = ma T = ma 解得 g a 2
1= 得由2
2
1at s =
s 45.042===
g
S a s t
( 2 ) 以 A ，B ，C 系统内力远大于外力，
动量守恒
v v v '=+m m m 3， 其中1
s m 2.22
1
-?===gt at v 所以
1s m 47.13
2
-?==
v v ′
5．质量为M 的人，手握一质量为m 的物体，此人沿与地面成α角的方向以初速率v 0跳出，当他到达最高点时，将m 以相对速率u 水平向后抛出，试求其跳出距离的增加量。
解：在最高点，抛物瞬间人和物体在水
平方向上无外力作用，由水平方向的系统动量守恒
αcos )(0
v v v M m M m +=+′ 其
中 u -=v v ′
代入求得人到达最高点时的速率
u M
m m
++=αcos 0
v v 人的水
平速度增量
u m
M m
+=
-=?αcos 0v v v
由运动学可求出人从最高点到落地的跳跃
时间 g
g H t αsin 20
v == 故
增
加距离
α
sin )(0
g
M m mu t x +=
?=?v v
6. 将一空盒放在秤盘上，并将秤的读数归零。然后从高出盒底4.9米处，将小石子流以每秒100个的速率注入盒中。假设每一石子的质量为20克，都从同一高度落下，且落入盒内就停止运动，求石子从开始注入到10秒时秤的读数
解：单位时间内石子对盒子的平均冲力为： 其中
v t
m F ??=
其中gh
2=
v
所以10秒时秤的读数为盒内石子的重量与该平均冲力的和，即：
N)(6.2151966.19=+=??+??=
+=tg t m
t m Mg F F 2gh
7. 一质量为6000 kg 的火箭竖直发射，设喷气速率为1000m ?
s –1，试问要产生克服火
箭重力所需推力和要使火箭获得最初向上的加速度20m ?
s –2，这两种情况下火箭每秒
应分别喷出多少气体？
解：在气体d m 喷出前后，系统的动量变化为
m
u m m u m m m p d d ))(d ()d )(d (d +=---+++=v v v v v
考虑到重力作用，
t
mg t F d d -=
由系统的动量定理，p t F d d =，得到：
m
u m t mg d d d +=-v ，即
mg t
m u t m
--=d d d d v
要产生克服火箭重力所需的最小推力
(无向上加速度)，可由0d d =t v
求出 )s kg (8.581000
8
.96000d d 1-?-=?-=-=u mg t m
要使火箭获得最初向上的加速度a ，可由a t
=d d v 求出 ma mg t
m u =--d d )s kg (4.1761000
)208.9(6000)(d d 1-?-=+?-=+-=u a g m t m
8. 求半圆形均匀薄板的质心，薄板的半径为R 。 解：设薄板质量为m ，面密度ρ = 2m / (πR 2)。如图所
示，由质量分布的对称性易知，板的质心在x 轴上，根据连续质量分布物体的质心公式
π
ρ34d 21d 0
22C
R
x x R x m m
m x x R
=
-=
=??
x
R x d
9. 如图所示，m 1和m 2
用质量可略去不计的刚
性细杆相连接，m 1和m 2分别为10kg 和6kg 。开始
时它们静止在xy 上平面上，它们受到如图所示的外力作用，F 1=8i N ，F 2=6j N 。试求：（1）它们的质心坐标与时间的函数；（2）系统总动量与时间的函数。 解：（1）由题意可知，当系统没有受到外力作用，处于静止状态，其质心坐标为
)
m (5.16104
621202212021010C =+?=+=++=m m x m m m x m x m x )
m ( 875.16
103
1021101212021010C =+?=+=++=
m m y m m m y m y m y
而质心速度为 0
00
C 0
C ==y x v v
根据质心运动定理，
1
2
C
2
2
1d d )(F F t
x
m m x ==+ 2
2
C 221d d )
(F F t
y m m y ==+
m 3
m x
4
o F
F 1 计算题9图
解上述方程，并利用初始条件，得到在任意时刻t 质心坐标为
(m) 25.05.12
C
t x +=，(m) 1875.0875.12
C
t y +=
故质心C 坐标与时间的函数为：(m) )1875.0875.1()25.05.1(2
2
C
j i r t t +++= （2）作用在系统上的合力是恒力，由质点
系的动量定理，有
p
p p F =-=?0t
所
以
：
)
s m (kg )68()68()(121-??+=+=?+=?=j i j i F F F p t t t t t
10. 一质量为M 的杂技演员，从蹦床上
笔直地以初速v 0跳起。当他上升时，他从高于床面为h 的栖木上，拿走一训练过的质量为m 的猴子。求他和猴子最高可达到多高?
解：演员上升到h 时，速度为： gh 220
1
-=v v
拿走猴子以后的速度v 2为： 2
1
)(v v M m M +=
03动量与角动量习题解答
第三章 动量与动量守恒定律习题 一 选择题 1. 两大小和质量均相同的小球，一为弹性球，另一为非弹性球，它们从同一高度落下与地面碰撞时，则有： （ ） A. 地面给予两球的冲量相同； B. 地面给予弹性球的冲量较大； C. 地面给予非弹性球的冲量较大； A. 无法确定反冲量谁大谁小。 解：答案是B 。 简要提示：)(12v v -=m I 2. 质量为m 的铁锤竖直向下打在桩上而静止，设打击时间为?t ，打击前锤的速率为v ，则打击时铁锤受到的合外力大小应为：（ ） A ． mg t m +?v B ．mg C ．mg t m -?v D ．t m ?v 解：答案是D 。 简要提示：v m t F =?? 3. 质量为20 g 的子弹沿x 轴正向以 500 m ? s –1 的速率射入一木块后，与木块一起仍沿x 轴正向以50 m ? s –1 的速率前进，在此过程中木块所受冲量的大小为：( ) A ． 9 N·s B ．–9 N·s C. 10 N·s D.–10 N·s 解：答案是A 。 简要提示：子弹和木块组成的系统的动量守恒，所以木块受到的冲量与子弹受到的冲量大小相等，方向相反。根据动量定理，子弹受到的冲量为： s N 9)(12?-=-=v v m I 所以木块受到的冲量为9 N·s 。 4. 将一长木板安上轮子放在光滑平面上，两质量不同的人从板的两端以相对于板相同的速率相向行走，则板的运动状况是： （ ） 选择题4图
A. 静止不动； B. 朝质量大的人的一端移动； C. 朝质量小的人的一端移动； D. 无法确定。 解：答案是B 。 简要提示：取m 1的运动方向为正方向，板的运动速度为v '，由系统的动量守恒： 0021='+'+'+v v)-v ()v (v m m m ，得：v v 0 2112m m m m m ++-=' 如果m 2> m 1，则v ′> 0; 如果m 1> m 2，则v ′< 0。 5. 体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是 ( ) A. 甲先到达； B. 乙先到达； C. 同时到达； D. 谁先到达不能确定． 解：答案是 C. 简要提示：两人作为一个系统，受到的合外力为零，所以系统的动量守恒，即两人相对地面的速度大小相同，所以两人同时到达顶点。 6. 一只猴子用绳子拉着一个和它质量相同的石头，在一水平的无摩擦的地面上运动，开始时猴子和石头都保持静止，然后猴子以相对绳子的速度u 拉绳，则石头的速率为： （ ） A. u B. u /2 C. u /4 D. 0 解：答案是B 。 由动量守恒：0v v =+2211m m ，u =-12v v ；得2/2u =v 。 7. 高空悬停一气球，气球下吊挂一软梯，梯上站一人，当人相对梯子由静止开始匀速上爬时，则气球： （ ） A.仍静止； B.匀速上升； C.匀速下降； D.匀加速上升。 解：答案是C 。 简要提示：由质点系的动量守恒，系统的总动量不变。 二 填空题 1. 两个飞船通过置于它们之间的少量炸药爆炸而分离开来，若两飞船的质量分别为1200kg 和1800kg ，爆炸力产生的冲量为600N ?s ，则两船分离的相对速率为 m ? s –1。
大学物理动量与角动量练习题与答案
第三章 动量与角动量 一、选择题 [ A ] 1．（基础训练2）一质量为m 0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上，如图3-11．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将 (A) 保持静止． (B) 向右加速运动． (C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动． 提示：假设斜面以V 向右运动。由水平方向动量守恒得 0(cos )0m V m V v θ+-= ，而0v =，得0V = ［C ］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为 (A) 2mv ． (B) 22)/()2(v v R mg m π+ (C) v /Rmg π． (D) 0． 提示：2T mg I G ?=? ， v R T π2= [ B ]3. （自测提高2）质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图3-15入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开 始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． 提示：对摆线顶部所在点角动量守恒。 2sin 30()mv l M m lV ?=+;其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为 摆线长度。 ［D ］4．（自测提高4）用一根细线吊一重物，重物质量为5 kg ，重物下面再系一根同样的细线，细线只能经受70 N 的拉力.现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为50 N ，则 (A)下面的线先断． (B)上面的线先断． m m 0 图3-11 ? 30v ? 2 图3-15 θ m v ? R 图 3-12
高中物理奥林匹克竞赛专题4.动量和角动量习题
习题 4-1. 如图所示的圆锥摆，绳长为l ，绳子一端固定，另一端系一质量为m 的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。在质点旋转一周的过程中，试求： （1）质点所受合外力的冲量I ； （2）质点所受张力T 的冲量I T 。 解： （1）根据冲量定理：???==t t P P d dt 00 ??P P F 其中动量的变化：0v v m m - 在本题中，小球转动一周的过程中，速度没有变化，动量的变化就为0，冲量之和也为0，所以本题中质点所受合外力的冲量I 为零 （2）该质点受的外力有重力和拉力，且两者产生的冲量大小相等，方向相反。 重力产生的冲量=mgT=2πmg /ω；所以拉力产生的冲量2πmg /ω，方向为竖直向上。 4-2.一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度=4m/s 。已知其中一力F 方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。求：
（1）力F 在1s 到3s 间所做的功； （2）其他力在1s 到s 间所做的功。 解： （1）由做功的定义可知： （2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的总功为零，所以当该F 做的功为125.6J 时，其他的力的功为-125.6J 。 4-3.质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，运动学方程为j i r t b t a ωωsin cos +=，求： （1）质点在任一时刻的动量； （2）从0=t 到ωπ/2=t 的时间内质点受到的冲量。 解：（1）根据动量的定义：(sin cos )P mv m a t b t ωωωω==-+i j （2）从0=t 到ωπ/2=t 的时间内质点受到的冲量等于它在这段时间内动量的变化，因为动量没变，所以冲量为零。 4-4.质量为M =2.0kg 的物体（不考虑体积），用一根长为l =1.0m 的细绳悬挂在天花板上。今有一质量为m =20g 的子弹
第三章 动量与角动量(答案)
一、选择题 ［ A ］1.（基础训练2）一质量为m 0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为 m 的木块轻轻放于斜面上，如图3-11 (A) 保持静止． (B) 向右加速运动． (C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动． 【提示】设m 0相对于地面以V 运动。依题意，m 静止于斜面上，跟着 m 0一起运动。根据水平方向动量守恒，得：00m V mV +=所以0V =，斜面保持静止。 ［ C ］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为 (A) 2m v ． (B) 22)/()2(v v R mg m π+ (C) v /Rmg π (D) 0． 【提示】2 2T G T I mgdt mg ==? ? ， 而 v R T π2= [ B ]3. （自测提高2）质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图 3-15射入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． 【提示】相对于摆线顶部所在点，系统的角动量守恒： 2sin 30()mv l M m lV ?=+；其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为摆 线长度。(或者：系统水平方向动量守恒。) ［ D ］4.（自测提高4）用一根细线吊一重物，重物质量为5 kg ，重物下面再系一根同样的细线，细线只能经受70 N 的拉力。现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为50 N ，则 (A)下面的线先断． (B)上面的线先断． (C)两根线一起断． (D)两根线都不断． 【提示】①下面的细线能承受的拉力大于所施加的最大力，所以下面的细线不断。②因为是“突然向下拉一下”，作用时间极短，上面的细线并没有因此而进一步形变，因此，拉力不变，细线也不断。 二、填空题 1．（基础训练8）静水中停泊着两只质量皆为0m 的小船．第一只船在左边，其上站一 图3-11 图3-15
5.3角动量例题
5.3角动量例题 例1、在一根长为3l的轻杆上打一个小孔，孔离一端的距离为l，再在杆 的两端以及距另一端为l处各固定一个质量为M的小球。然后通过此孔将杆悬挂于一光滑固定水平细轴O上。开始时，轻杆静止，一质量为m 的铅粒以v0的水平速度射入中间的小球，并留在其中。求杆摆动的最大高度。
例2、质量m＝1.1 kg的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动．圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m1＝1.0 kg的物体，如图所示．起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v0＝0.6 m/s匀速上升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向转动． 例3、两个质量均为m的质点，用一根长为2L的轻杆相连。两质点 以角速度ω绕轴转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为θ。试求以 O为参考点的质点组的角动量和所受的外力矩。
例4、小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑块B位于桌 面上的小槽中，两滑块的质量均为m，并用长为L、不可 伸长、无弹性的轻绳相连。开始时，A、B之间的距离为 L/2，A、B间的连线与小槽垂直。突然给滑块A一个冲 击，使其获得平行与槽的速度v0，求滑块B开始运动时 的速度 例5、有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？
例6、一质量为M a，半径为a的圆筒A，被另一质量为M b，半 径为b的圆筒B同轴套在其外，均可绕轴自由旋转。在圆筒A 的内表面上散布了薄薄的一层质量为M o的沙子，并在壁上开了许多小孔。在t＝0时，圆筒A以角速度ω0绕轴匀速转动，而圆筒B静止。打开小孔，沙子向外飞出并附着于B筒的内壁上。设单位时间内喷出的沙子质量为k，若忽略沙子从A筒飞到B筒的时间，求t时刻两筒旋转的角速度。 *例7、如图，CD、EF均为长为2L的轻杆，四个端点各有 一个质量为m的质点，CE、DF为不可伸长的轻绳，CD的 中点B处用一细线悬于天花板A点。突然剪断DF，求剪断 后瞬间，CE、AB上的张力分别是多少？
大学物理动量与角动量练习题与答案
大学物理动量与角动量练习题与答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第三章 动量与角动量 一、选择题 [ A ] 1．（基础训练2）一质量为m 0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上，如图3-11．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将 (A) 保持静止． (B) 向右加速运动． (C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动． 提示：假设斜面以V 向右运动。由水平方向动量守恒得 0(cos )0m V m V v θ+-= ，而0v =，得0V = ［C ］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为 (A) 2m v ． (B) 22)/()2(v v R mg m π+ (C) v /Rmg π． (D) 0． 提示：2T mg I G ?= ， v R T π2= [ B ]3. （自测提高2）质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图3-15入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸 缩．子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． 提示：对摆线顶部所在点角动量守恒。 2sin 30()mv l M m lV ?=+;其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为 摆线长度。 ［D ］4．（自测提高4）用一根细线吊一重物，重物质量为5 kg ，重物下面再系一根同样的细线，细线只能经受70 N 的拉力.现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为50 N ，则 (A)下面的线先断． (B)上面的线先断． (C)两根线一起断． (D)两根线都不断． m m 0 图3-11 ? 30v 2 图3-15 θ m v R
2021年力矩与角动量的关系
在物理学里，作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向，[1]称为力矩（torque）。转动力矩又称为转矩。力矩能够使物体改变其旋转运动。推挤或拖拉涉及到作用力，而扭转则涉及到力矩。 欧阳光明（2021.03.07） 根据国际单位制，力矩的单位是牛顿米。本物理量非能量，因此不能以焦耳（J）作单位； 力矩的表示符号是希腊字母，或。 力矩与三个物理量有关：施加的作用力、从转轴到施力点的位移矢量、两个矢量之间的夹角。力矩以矢量方程表示为 。 力矩的大小为 。 力矩的概念，起源于阿基米德对杠杆的研究。
力矩的定义：力矩等于作用于杠杆的作用力乘以支点到力的垂直距离。假设作用力施加于位置为的粒子。选择原点为参考点，力矩以方程定义为 。 力矩大小为 ； 其中，是两个矢量与之间的夹角。 力矩大小也可以表示为 ； 其中，是作用力对于的垂直分量。 任何与粒子的位置矢量平行的作用力不会产生力矩。 从叉积的性质，可以推论，力矩垂直于位置矢量和作用 力。力矩的方向与旋转轴平行，由右手定则决定。 使1牛顿米的力矩，作用1 全转，需要恰巧焦耳的能量： 。 其中，是能量，是移动的角度，单位是弧度。 力矩有大小方向是矢量，与动量等道理一样，只是一个力学名称。角动量在物理学中是与物体到原点的位移和动量相关的物理量，在经典力学中表示为到原点的位移和动量的叉积，通常写做。角动量是矢量。
其中，表示质点到原点的位移，表示角动量。表示动量。而又可写为： 其中表示杆状系统的转动惯量，ω是角速度矢量。 在不受非零合外力矩作用时，角动量是守恒的。需要注意的 是，由于成立的条件不同，角动量是否守恒与动量是否守恒 没有直接的联系。 角动量在量子力学中与角度是一对共轭物理量。 若物体(或系统)所受外力矩和为零,则物体(系统)的角动量守恒. 例如静电力或万有引力均是径向力. 因此不会产生力矩. 行星运动的相互作用力源自于万有引力.故行星运动满足角动量守恒. 所对应的就是开普勒行星运动定律中的第二定律. 需要特别说明的是：动量, 也就是说动量的方向和速度的方向一致. 角动量守恒定律是指系统所受合外力矩为零时系统的角动量保持不变。当方程式右边力矩为零时，可知角动量不随时间变化。 角动量守恒定律是自然界普遍存在的基本定律之一，角动量的守恒实质上对应着空间旋转不变性。例如，当考虑到太阳系中的行星受到太阳的万有引力这一有心力时，由于万有引力对太阳这个参考点力矩为零，所以他们以太阳为参考点的角动量守恒，这也说明了行
力矩与角动量的关系
而扭转则涉及到力矩。 根据国际单位制，力矩的单位是牛顿米。本物理量非能量，因此不能以焦耳（J）作单位； 力矩的表示符号是希腊字母，或。 力矩与三个物理量有关：施加的作用力、从转轴到施力点的位移矢量、两个矢量之间的夹角。力矩以矢量方程表示为 。 力矩的大小为 。 力矩的概念，起源于阿基米德对杠杆的研究。 力矩的定义：力矩等于作用于杠杆的作用力乘以支点到力的垂直距离。假设作用力施加于位置为的粒子。选择原点为参考点，力矩以方程定义为 。 力矩大小为 ； 其中，是两个矢量与之间的夹角。 力矩大小也可以表示为 ； 其中，是作用力对于的垂直分量。 任何与粒子的位置矢量平行的作用力不会产生力矩。 从叉积的性质，可以推论，力矩垂直于位置矢量和作用力。力矩的 方向与旋转轴平行，由右手定则决定。 使1牛顿米的力矩，作用1 全转，需要恰巧焦耳的能量： 。 其中，是能量，是移动的角度，单位是弧度。 力矩有大小方向是矢量，与动量等道理一样，只是一个力学名称。
角动量在物理学中是与物体到原点的位移和动量相关的物理量，在经典力学中表示为到原点的位移和动量的叉积，通常写做。角动量是矢量。 其中，表示质点到原点的位移，表示角动量。表示动量。而又可写为： 其中表示杆状系统的转动惯量，ω是角速度矢量。 在不受非零合外力矩作用时，角动量是守恒的。需要注意的是，由于成立的 条件不同，角动量是否守恒与动量是否守恒没有直接的联系。 角动量在量子力学中与角度是一对共轭物理量。 需要特别说明的是：动量, 也就是说动量的方向和速度的方向一致. 角动量守恒定律是指系统所受合外力矩为零时系统的角动量保持不 变。当方程式右边力矩为零时，可知角动量不随时间变化。 需要搞懂有心力也就是向心力的作用不能产生力矩。
大学物理动量与角动量练习题与答案
一、选择题 [ A ] 1．（基础训练2）一质量为m 0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上，如图3-11．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将 (A) 保持静止． (B) 向右加速运动． (C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动． 提示：假设斜面以V 向右运动。由水平方向动量守恒得 0(cos )0m V m V v θ+-= ，而0v =，得0V = ［C ］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为 (A) 2m v ． (B) 22)/()2(v v R mg m π+ (C) v /Rmg π． (D) 0． [ B ]3. （自测提高2）质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图3-15入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开始与 摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． 提示：对摆线顶部所在点角动量守恒。 2sin30()mv l M m lV ?=+;其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为 摆线长度。 ［D ］4．（自测提高4）用一根细线吊一重物，重物质量为5 kg ，重物下面再系一根同样的细线，细线只能经受70 N 的拉力.现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为50 N ，则 (A)下面的线先断． (B)上面的线先断． (C)两根线一起断． (D)两根线都不断． 提示：下面的细线能承受的拉力大于所施加的最大力，所以下面的细线不断。 对重物用动量定理： 0' ' ' =--? ?? ++dt T mgdt dt T t t t t t 下上 ' t 为下拉力作用时间，由于' t t >>，因此，上面的细线也不断。 二、填空题 5．（基础训练8）静水中停泊着两只质量皆为0m 的小船．第一只船在左边，其上站一质量为m 的人，该人以水平向右速度v 从第一只船上跳到其右边的第二只船上，然后又以 同样的速率v 水平向左地跳回到第一只船上．此后 (1) 第一只船运动的速度为v 1＝ 02m v m m - + 。 (2) 第二只船运动的速度为v 2＝0 2m v m 。 （水的阻力不计，所有速度都图3-11 图3-15
动量与角动量习题解答(终审稿)
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第三章 动量与动量守恒定律习题 一 选择题 1. 两大小和质量均相同的小球，一为弹性球，另一为非弹性球，它们从同一高度落下与地面碰撞时，则有： （ ） A. 地面给予两球的冲量相同； B. 地面给予弹性球的冲量较大； C. 地面给予非弹性球的冲量较大； A. 无法确定反冲量谁大谁小。 解：答案是B 。 简要提示：)(12v v -=m I 2. 质量为m 的铁锤竖直向下打在桩上而静止，设打击时间为?t ，打击前锤的速率为v ，则打击时铁锤受到的合外力大小应为：（ ） A ． mg t m +?v B ．mg C ． mg t m -?v D ．t m ?v 解：答案是D 。
简要提示：v m t F =?? 3. 质量为20 g 的子弹沿x 轴正向以 500 m s –1 的速率射 入一木块后，与木块一起仍沿x 轴正向以50 m s –1 的速率前 进，在此过程中木块所受冲量的大小为：( ) A ． 9 N·s B ．–9 N·s C. 10 N·s D.–10 N·s 解：答案是A 。 简要提示：子弹和木块组成的系统的动量守恒，所以木块受到的冲量与子弹受到的冲量大小相等，方向相反。根据动量定理，子弹受到的冲量为： s N 9)(12?-=-=v v m I 所以木块受到的冲量为9 N·s 。 4. 将一长木板安上轮子放在光滑平面上，两质量不同的人 选择题4
从板的两端以相对于板相同的速率相向行走，则板的运动状况是： （ ） A. 静止不动； B. 朝质量大的人的一端移动； C. 朝质量小的人的一端移动； D. 无法确定。 解：答案是B 。 简要提示：取m 1的运动方向为正方向，板的运动速度为v ，由系统的动量守恒： 0021='+'+'+v v)-v ()v (v m m m ，得：v v 0 211 2m m m m m ++-= ' 如果m 2> m 1，则v ′> 0; 如果m 1> m 2，则v ′< 0。 5. 体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是 ( ) A. 甲先到达； B. 乙先到达； C. 同时到达； D. 谁先到达不能确定．
力矩和角动量定理
定义1 向量的向量积 设a和b为两个向量，a与b之间的夹角为θ（0 ≤ θ ≤ π），则存在向量c，满足 （1）向量c的模|c| = |a||b|sinθ； （2）向量c与向量a和b分别垂直，c的方向与a和b的方向按照由a转向b的右手螺旋法则确定（图1.1）。 这样规定的向量c定义为向量a和b的向量积（也称叉积或外积），记为 c = a × b 注意，对于两个向量a和b，与a和b的数量积a ? b不同，a和b的向量积a × b也是一个向量，如果向量a和b不平行，则a × b与向量a和b构成的平面垂直，即a × b与a和b都垂直。 向量a和b的向量积a × b满足以下运算性质： （1）反交换律：a × b = ? b × a；图1.1 向量的向量积 （2）分配律：(a + b) × c = a × c + b × c； （3）数乘结合律：(λa) × b = a ×(λb) = λ(a × b)（λ为任意实数）。 根据向量积的定义和运算性质，容易得到（这里0表示零向量）： （1）a × a = 0； （2）设a和b为两个非零向量，则有a × b = 0 ? a∥b。 设i，j，k为空间直角坐标系中的基向量（单位向量），则有 （1）i ? i = j ? j = k ? k = 1，i ? j = j ? k = k ? i = 0； （2）i × i = j × j = k × k = 0； （3）i × j = k，j × k = i，k × i = j，图1.2 基向量之间的关系 j × i = ? k，k × j = ? i，i × k = ? j。 向量积可以根据运算性质计算，设向量a和b在空间直角坐标系中的形式分别为a = axi + ayj + azk = (ax，ay，az)，b = bxi + byj + bzk = (bx，by，bz)，则（运算过程略） a × b = (axi + ayj + azk) × (bxi + byj + bzk) = (aybz ? azby)i + (azbx ? axbz)j + (axby ? aybx)k = (aybz ? azby，azbx ? axbz，axby ? aybx) 向量积也可以用三阶行列式展开成二阶行列式进行形式上的计算：a × b ==i ?j +k
03动量与角动量习题解答
03动量与角动量习题解答
第三章动量与动量守恒定律习题 一选择题 1. 一辆洒水车正在马路上工作，要使车匀速直线行驶，则车受到的合外力：（） A. 必为零； B. 必不为零，合力方向与行进方向相同； C. 必不为零，合力方向与行进方向相反； D. 必不为零，合力方向是任意的。 解：答案是C。 简要提示：根据动量定理，合力F的冲量F d t = d p = d (m v)= m d v+ v d m= v d m。因d m<0，所以F的方向与车行进速度v的方向相反。 2. 两大小和质量均相同的小球，一为弹性球，另一为非弹性球，它们从同一高
度落下与地面碰撞时，则有： （ ） A. 地面给予两球的冲量相同； B. 地面给予弹性球的冲量较大； C. 地面给予非弹性球的冲量较大； A. 无法确定反冲量谁大谁小。 解：答案是B 。 简要提示：) (12 v v -=m I 3. 质量为m 的铁锤竖直向下打在桩上而静止，设打击时间为?t ，打击前锤的速率为v ，则打击时铁锤受到的合外力大小应为：（ ） A ．mg t m +?v B ．mg C ．mg t m -?v D ．t m ?v 解：答案是D 。 简要提示：v m t F =?? 4. 将一长木板安上轮子放在光滑平面 选择题4图 M m 1 v m 2 v
上，两质量不同的人从板的两端以相同速率相向行走，则板的运动状况是： （ ） A. 静止不动； B. 朝质量大的人行走的方向移动； C. 朝质量小的人行走的方向移动； D. 无法确定。 解：答案是B 。 简要提示：取m 1的运动方向为正方 向，由动量守恒： 2211='+-v v v M m m ，得：M m m /)(21 v v --=' 如果m 1> m 2，则v ′< 0。 5. 一只猴子用绳子拉着一个和它质量相同的石头，在一水平的无摩擦的地面上运动，开始时猴子和石头都保持静止，然后猴子以相对绳子的速度u 拉绳，则石头的速率为： （ ） A. u B. u /2
第三章 动量和角动量作业答案
一. 选择题: ［ C ］1、[基础训练3] 如图3－12所示，圆锥摆的摆球质量为 m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为 (A) 2m v ． (B) 2 2)/()2(v v R mg m π+ (C) v /Rmg π． (D) 0． 【提示】重力为恒力，故： I=ν πνπR mg R mg T mg dt T ?=?=?=??222mg 20 ［ C ］2、[基础训练4] 机枪每分钟可射出质量为20 g 的子弹900颗，子弹射出的速率 为800 m/s ，则射击时的平均反冲力大小为 (A) 0.267 N ． (B) 16 N ． (C)240 N ． (D) 14400 N ． 【提示】 N s s P F 240600/m 800kg 02.0900t =-??=??= ） （ ［ B ］3、[自测提高2] 质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图3-17射入一原来静 止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． 【提示】对摆线顶部所在点角动量守恒。 2sin 30()mv l M m lV ?=+;其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为 摆线长度。 ［ C ］4、（自测提高3）体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是 (A)甲先到达． (B)乙先到达． (C)同时到达． (D)谁先到达不能确定． 【提示】取甲乙两人、绳子、滑轮作为系统。该系统对滑轮中心点合外力矩为零，系统对滑轮中心点角动量守恒，12rmv rmv =，所以：12v v =，（其中r 为滑轮半径）故甲乙两人相对地面速度大小在任意时刻均相等。从而两人同时到达顶点。 图3-17
专题六：力矩和角动量
专题六：力矩和角动量 例1．如图所示，一个质量均匀分布的直杆搁置在质量均匀的圆环上，杆与圆环相切，系统静止在水平地面上，杆与地面接触点为A ，与环面接触点为B 。已知两个物体的质量线密度均为ρ，直杆与地面的夹角为θ，圆环半径为R ，所有接触点的摩擦力足够大。求: （1）地给圆环的摩擦力； （2）求A 、B 两点静摩擦因数的取值范围。 例2．有一轻质木板AB 长为L ，A 端用铰链固定在竖直墙上，另一端用水平轻绳CB 拉住。板上依次放着A 、B 、C 三个圆柱体，半径均为r ，重均为G ，木板与墙的夹角为θ，如图所示，不计一切摩擦，求BC 绳上的张力。 例3．有一质量为m =50kg 的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间静摩擦因数μ=0.3，杆的上端由固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角θ=300，如图所示。 （1）若以水平力F 作用在杆上，作用点到地面的距离h 1=2L /5（L 为杆长），要使杆不滑倒，力F 最大不能超过多少？ （2）若将作用点移到h 2=4L /5处时，情况又如何？ 例4．如图所示，矩形板N 上有两个光滑的圆柱，还有三个小孔A 、B 、C ，通 过小孔可以用销钉把此板固定在光滑的水平面M 上。一柔性带按图示方式绕过 两圆柱后，两端被施以拉力T'=T =600 N ，且T'∥T ，相距40 cm ；已知AB = 30 cm ，AC =145 cm ，BC =150 cm 。为了保持物块静止， (1)若将两个销钉分别插入A 、B 中，这两个孔将受受怎样的力？ (2)将两个销钉插入哪两个孔才最省力？此时所插的销钉受力多大？ 例5. 如图所示，质量为 m 的小球 B 放在光滑的水平A B θ
03第三章 动量与角动量作业答案
第三次作业（第三章动量与角动量） 一、选择题 ［A］1.（基础训练2）一质量为m0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m的木块轻轻放于斜面上，如图3-11 (A) 保持静止．(B) 向右加速运动． (C) 向右匀速运动．(D) 向左加速运动． 【提示】设m0相对于地面以V运动。依题意，m静止于斜面上，跟着 m0一起运动。根据水平方向动量守恒，得： m V mV +=所以0 V=， 斜面保持静止。 ［C］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m，速率 为v，圆半径为R，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大 小为 (A) 2m v．(B) 2 2) / ( ) 2(v v R mg mπ + (C) v/ Rmg π(D) 0． 【提示】 2 2 T G T I mgdt mg ==? ? ，而 v R T π2 = ［C ］3．（自测提高1）质量为m的质点，以不变速率v沿图3-16 正三角形ABC的水平光滑轨道运动。质点越过A 点的冲量的大小为 (A) m v．(B) ．(C) ．(D) 2m v． 【提示】根据动量定理 2 1 21 t t I fdt mv mv ==- ? ，如图。 得： 21 I mv mv ∴=-= [ B] 4.（自测提高2）质量为20 g的子弹，以400 m/s的速率沿图 3-17所示的方向射入一原来静止的质量为980 g的摆球中，摆线长度 不可伸缩。子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s．(B) 4 m/s．(C) 7 m/s ．(D) 8 m/s． 【提示】相对于摆线顶部所在点，系统的角动量守恒： 2 sin30() mv l M m lV ?=+ 其中m为子弹质量，M为摆球质量，l为摆线长度。解得：V=4 m/s （解法二：系统水平方向动量守恒： 2 sin30() mv M m V ?=+) 图3-11 图3-17
力矩与角动量的关系
在里，使物体绕着或转动的趋向，称为力矩（torque）。转动力矩又称为转矩。力矩能够使物体改变其。推挤或拖拉涉及到作用力，而扭转则涉及到力矩。 根据，力矩的单位是。本物理量非能量，因此不能以（J）作单位； 力矩的表示符号是，或。 力矩与三个物理量有关：施加的作用力、从转轴到施力点的位移矢量、两个矢量之间的夹角。力矩以矢量方程表示为 。 力矩的大小为 。 力矩的概念，起源于对的研究。 力矩的定义：力矩等于作用于杠杆的乘以到力的垂直。假设作用力施加于位置为的粒子。选择原点为参考点，力矩以方程定义为 。 力矩大小为 ； 其中，是两个矢量与之间的夹角。 力矩大小也可以表示为 ； 其中，是作用力对于的垂直分量。 任何与粒子的位置矢量平行的作用力不会产生力矩。 从叉积的性质，可以推论，力矩垂直于位置矢量和作用力。力矩的 方向与旋转轴平行，由右手定则决定。 使1牛顿米的力矩，作用1 ，需要恰巧焦耳的能量： 。 其中，是能量，是移动的角度，单位是。 力矩有大小方向是矢量，与动量等道理一样，只是一个力学名称。
角动量在中是与物体到原点的和相关的，在中表示为到原点的和的，通常写做。角动量是。 其中，表示质点到原点的位移，表示角动量。表示动量。而又可写为：其中表示杆状系统的，ω是角速度矢量。 在不受非零合外力矩作用时，角动量是守恒的。需要注意的是，由于成立的 条件不同，角动量是否守恒与是否守恒没有直接的联系。 角动量在中与角度是一对。 若物体(或系统)所受外力矩和为零,则物体(系统)的角动量守恒. 例如静电力或万有 引力均是径向力. 因此不会产生力矩. 行星运动的相互作用力源自于万有引力.故行星运动满足角动量守恒. 所对应的就是开普勒行星运动定律中的第二定律. 需要特别说明的是：动量, 也就是说动量的方向和速度的方向一致. 角动量守恒定律是指系统所受合外为零时系统的保持不变。当右边为零时，可知不随时间变化。 角动量守恒定律是普遍存在的之一，角动量的守恒实质上对应着空间旋转。例如，当考虑到中的受到的万有引力这一时，由于对太阳这个参考点力矩为零，所以他们以太阳为参考点的角动量守恒，这也说明了行星绕太阳单位时间内与太阳连线扫过的面积大小总是恒定值的原因。另外，角动量守恒定律也是的原因。 需要注意的是，由于成立的条件不同，角动量是否守恒与是否守恒没有直接的联系。需要搞懂有心力也就是向心力的作用不能产生力矩。
力矩和角动量定理
定义1 向量的向量积 设a和b为两个向量，a与b之间的夹角为θ（0 ≤θ≤π），则存在向量c，满足（1）向量c的模|c| = |a||b|sinθ； （2）向量c与向量a和b分别垂直，c的方向与a和b的方向按照由a转向b的右手螺旋法则确定（图1.1）。 这样规定的向量c定义为向量a和b的向量积（也称叉积或外积），记为 c = a × b 注意，对于两个向量a和b，与a和b的数量积a ? b不同，a和b的向量积a ×b也是一个向量，如果向量a和b不平行，则a ×b与向量a和b构成的平面垂直，即a ×b 与a和b都垂直。 向量a和b的向量积a ×b满足以下运算性质： （1）反交换律：a ×b = ? b ×a；图1.1 向量的向量积 （2）分配律：(a + b) × c = a ×c + b ×c； （3）数乘结合律：(λa) × b = a ×(λb) = λ(a ×b)（λ为任意实数）。 根据向量积的定义和运算性质，容易得到（这里0表示零向量）： （1）a ×a = 0； （2）设a和b为两个非零向量，则有a ×b = 0 ? a∥b。 设i，j，k为空间直角坐标系中的基向量（单位向量），则有 （1）i ? i = j ? j = k ? k = 1，i ? j = j ? k = k ? i = 0； （2）i ×i = j ×j = k ×k = 0； （3）i ×j = k，j ×k = i，k ×i = j，图1.2 基向量之间的关系 j ×i = ? k，k ×j = ? i，i ×k = ? j。 向量积可以根据运算性质计算，设向量a和b在空间直角坐标系中的形式分别为a = axi + ayj + azk = (ax，ay，az)，b = bxi + byj + bzk = (bx，by，bz)，则（运算过程略） a × b = (axi + ayj + azk) × (bxi + byj + bzk) = (aybz ? azby)i + (azbx ? axbz)j + (axby ? aybx)k = (aybz ? azby，azbx ? axbz，axby ? aybx) 向量积也可以用三阶行列式展开成二阶行列式进行形式上的计算： a × b ==i ?j +k = (aybz ? azby)i ? (axbz ? azbx)j + (axby ? aybx)k 计算时可按第一行展开，先去掉三阶行列式中基向量所在的行和列的元素，把余下的二阶行列式（称为余子式）的元素按对角线的乘积相减，然后把结果写成向量形式。 若三个向量a、b、c分别为a = (ax，ay，az)，b = (bx，by，bz)，c = (cx，cy，cz)，则它们的混合积可以按下式进行计算： (a × b) ? c ==cx ?cy +cz 计算方法和向量积相似，把三阶行列式化为二阶行列式，只需把基向量i、j、k换成向量c 的分量cx、cy、cz即可。 定义2 力矩 在确定的参考系中，设有力F和参考点O，力的作用点A相对于参考点O的位移向量为r（由O指向A的向量），则力F对参考点O的力矩M定义为（图2.1）
动量算符和角动量算符
§4.3 动量算符和角动量算符 重点： 动量算符和角动量算符本征值及本征函数的特征 （一）动量算符 动量算符是 （4.3-1）动量的三个投影算符是 （4.3-2） 动量算符的本征值方程为 （4.3-3） 式中P是动量算符的本征值，是属于这个本征值的本征函数，（4.3-3）式的三个发量的本征值方程为 （4.3-4）
它们的解是 （4.3-5） ，可使得动量本征函数归一化为函数。即取 取归一化常数 （4.3-6） 得出（4.3-7）（二）角动量算符 角动量算符 分量式 （4.3-8） 角动量平方算符 （4.3-9） （4.3-11） 的本征值方程为
（4.3-12） 把球极坐标中的表达式（4.3-11）代入（4.3-12）得 （4.3-13） 式中是算符的属于本征值的本征函数。（4.3-13）式正是氢原子 的角量方程（3.4-7），要使波函数 在变化的整个区域内都是有限的，必 须有 （4.3-14） 因此的本征值 （4.3-15） 相应的本征函数 （4.3-16） 本征值方程 （4.3-17） 角动量z分量的本征值方程为 （4.3-18）
容易求得的本征函数和本征值分别为 （4.3-19） （4.3-20） 因为 ，所以也是的本征函数，满足本征值方程 （1）和的本征值都是量子化的（分立值）。的取值由角量子数l唯一地决 定，即的取值由磁量子数m唯一地决定，即 是角动量分量的本征值，所以 ，由于 （的本征值的开方），但是整数，因此。 和有共同的本征函数。我们知道，在一个力学量的本征态下 （2） 测量该力学量，其结果必然是相应的本征值，既然 是和的共同本征态， 态中，和同时有确定的测量值，分别为和。 所在 能够同时满足算符的本征 同理，波函数 态中，都同时有确定值。 值方程，即它是这三个算符的共同本征态，因此在
第三章动量和角动量教案-39页精选文档
第三章动量和角动量 教学要求： * 掌握动量、冲量、质点动量定理，分析解决质点平面运动问题。 * 理解质点系动量定理、动量守恒定律及适用条件。 掌握运用动量守恒定律分析问题思想和方法，分析简单系统平面运动。 * 理解质点的角动量、力矩、冲量矩概念，质点系角动量定理。 * 理解角动量守恒定律及其适用条件。 能应用角动量守恒定律分析、计
算有关问题。 教学内容（学时：4学时）： §3–1 质点的动量定理 §3-2 质点系的动量定理 §3-3 动量守恒定律 §3-4 角动量质点的角动量定理 §3-5 角动量守恒定律 §3-6 质点系的角动量定理教学重点： * 建立动量、角动量的概念； * 掌握力的冲量与动量的变化量的关系； * 理解力矩的冲量矩与角动量的变化量的关系； * 掌握动量守恒定律以及适用
条件； * 理解角动量守恒定律及其适用条件。 教学难点： 动量、动量定理、动量守恒定律的矢量性。 建立角动量的概念。 角动量、角动量定理、角动量守恒定律的矢量性。 作业： 3-01), 3-03), 3-07), 3-09), 3-12) 3-15), 3-16), 3-17), 3-18), 3_19） §3–1 质点的动量定理 1．质点动量定理的微分形式：
dt d P F = 表示：质点所受的合外力等于质点动量对时间的变化率。 力对时间的累积 dt F 称为力的冲量 P F d dt = (3-2) （1）恒力的冲量： （2）变力在dt 时间内的微冲量： 变力在时间t 1～t 2的一个过 程中的冲量： ?=2 1 t t dt F I 1 2P P -= (3-3) 12P P I -= (3式中: P 2为质点在t 2时刻 的动量，P 1为质点在t 1时刻的动量。
物理竞赛：角动量
物理竞赛：角动量
第一节力矩和角动量 【知识要点】 一、力矩的定义 1.对轴的力矩 对轴的力矩可推动物体绕轴转动或改变物体绕轴转动的 角速度.力矩的大小不仅与力的大小和方向有关，而且 与力的作用点有关.当力的作用线在垂直于轴的平面 （π） 上时（图5-1-1),力矩τ的大小与力的作用点P和轴的距离 ρ成正比，与力在垂直于ρ 方向上的分量Fφ成正比，因为力在ρ方向上的分量F ρ 对物体的绕轴转动无作用，于是有 τ=ρFφ=Fρsinθ（5. 1-1) 式中θ是F与ρ的夹角，ρ就是从轴与平面π的交点O'指向P点的矢量，由于在力矩作用下引起的转动有两个可能的方向，力矩也有正、负两种取向.例如，先任意规定轴的正 方向，当逆着轴的正方向去看力矩作用下所引起的物体的转动时，若物体沿逆时针方向转动，对应的力矩就取为正，反之为负.由于ρ sinθ=d就是力的作用线与轴的距离，（5. 1-1)式又可写成 τ = Fd （5. 1-1a) d常称为力臂，这正是大家所熟知的力矩表达式. 当力的作用线不在垂直于轴的平面(π)上时，可将 和垂直于轴的分量F⊥ 力F分解为平行于轴的分量F ∥ 两部分，其中F//对物体绕轴转动不起作用，而F⊥ 就是在垂直于轴的平面（π） 上的投影，故这时F对轴的力矩可写成 τ=ρF⊥sinθ （5. 1-1b) 这里的θ是F⊥与ρ的夹角（图5-1-2).
2.对参考点的力矩 可将上述对轴的力矩的概念推广到对点的力矩.在选定的参照系中，从参考点0 指向力的作用点P 的矢量r 与作用力F 的矢积称为作用力对于参考点0的力矩，即 Τ=r ×F (5-1-2) r 也可称为作用点相对参考点的位矢.当参考点是坐标原点时，r 就是力的作用点的位矢.根据矢积的意义，力矩的大小等于以r 和F 两矢量为邻边所构成的平行四边形的面积，方向与r 、F 所在平面垂直并与r 、F 成右手螺旋。 二、作用于质点的力矩和作用于质点系的力矩 1.作用于质点的力矩 当质点m 受力F 作用时，F 对参考点〇的力矩即为质点受到的力矩，这时力矩表达式(5.1-2)中的r 就是参考点指质点的矢量，当参考点为坐标原点时，r 就是质点的位矢.当质点受F 1、F 2、…、F N N 个力同时作用时，诸力对某参考点的力矩的矢量和等 于合力F=F 1+F 2+…+F N 对同一参考点的力矩，即 r ×F 1+r ×F 2+…+r×F N =r×(F 1+F 2+…+F N )=r×F （5. 1-3) 2. 作用于质点系的力矩 力矩概念也可应用于作用于质点系上的作用力.一般讲来，质点系内各质点受到的作用力有外力和内力的区别，因此应分别考察外力的力矩和内力的力矩 (1)外力的力矩 当质点系受多个外力作用时，若第i 个质点受到的合外力为F i ，该质点相对某一给定参考点的位矢为r i ，则其力矩为τi 外= r i ×F i ，各质点所受力矩的矢量和，即质点系所受的总力矩为∑∑?==i i i i i F r 外外ττ （5.1-4） 由于各外力作用在不同质点上，各质 点的位矢r i 各不相同，因而外力对质点系的总力矩一般不能通过外力矢量和的力矩来计算. 但当质点系处在重力场中时，各质点所受重力与质点的质量成正比，方向又都相同，因而作用于质点系的重力相对某一参考点的力矩，根据(5.1-4)式为 ∑∑?=?=?=i i C i i i i Mg r g r m g m r ）（重力τ （5. 1-5)