第二章 6 非线性系统线性化

线性控制第二章答案

2.1 Consider the memoryless system with characteristics shown in Fig 2.19, in which u denotes the input and y the output. Which of them is a linear system? Is it possible to introduce a new output so that the system in Fig 2.19(b) is linear? Figure 2.19 Translation: 考虑具有图2.19中表示的特性的无记忆系统。其中u 表示输入，y 表示输出。 下面哪一个是线性系统？可以找到一个新的输出，使得图2.19(b)中的系统是线性 的吗？ Answer: The input-output relation in Fig 2.1(a) can be described as: u a y *= Here a is a constant. It is a memoryless system. Easy to testify that it is a linear system. The input-output relation in Fig 2.1(b) can be described as: b u a y +=* Here a and b are all constants. Testify whether it has the property of additivity. Let: b u a y +=11* b u a y +=22* then: b u u a y y *2)(*)(2121++=+ So it does not has the property of additivity, therefore, is not a linear system. But we can introduce a new output so that it is linear. Let: b y z -= u a z *= z is the new output introduced. Easy to testify that it is a linear system. The input-output relation in Fig 2.1(c) can be described as: u u a y *)(= a(u) is a function of input u . Choose two different input, get the outputs: 111*u a y =

线性系统理论大作业小组报告-汽车机器人建模

审定成绩： 重庆邮电大学 硕士研究生课程设计报告 （《线性系统理论》） 设计题目：汽车机器人建模 学院名称：自动化学院 学生姓名： 专业：控制科学与工程 仪器科学与技术 班级：自动化1班、2班 指导教师：蔡林沁 填表时间：2017年12月

重庆邮电大学

摘要 汽车被广泛的应用于城市交通中,它的方便、快速、高效给人们带来了很大便利,这大大改变了人们的生活. 研制出一种结构简单、控制有效、行驶安全的城市用无人智能驾驶车辆,将驾驶员解放出来,是大大降低交通事故的有效方法之一,应用现代控制理论设计出很多控制算法,对汽车进行控制是非常必要的，本文以汽车机器人为研究对象，对其进行建模和仿真，研究了其模型的能控能观性、稳定性，并通过极点配置和状态观测器对其进行控制，达到了一定的性能要求。这些研究为以后研究汽车的自动驾驶和路径导航，打下了一定的基础。 关键字:建模、能控性、能观性、稳定性、极点配置、状态观测器

目录 第一章绪论 (1) 第一节概述 (1) 第二节任务分工 (2) 第二章系统建模 (2) 2 系统建模 (2) 2.1运动学模型 (2) 2.2自然坐标系下模型 (4) 2.3具体数学模型 (6) 第三章系统分析 (7) 3.1 能控性 (7) 3.1.1 能控性判据 (7) 3.1.2 能控性的判定 (8) 3.2 能观性 (10) 3.2.1 能观性判据 (10) 3.2.2 能观测性的判定 (12) 3.3 稳定性 (13) 3.3.1 稳定性判据 (13) 3.3.2 稳定性的判定 (14) 第四章极点配置 (15) 4.1 极点配置概念 (15) 4.2 极点配置算法 (15) 4.3 极点的配置 (16) 4.4 极点配置后的阶跃响应 (17) 第五章状态观测器 (18) 5.1概念 (19) 5.2带有观测器的状态反馈 (20) 5.3代码实现 (21) 5.4 极点配置和状态观测器比较 (23)

信号与线性系统题解 阎鸿森 第二章

信号与线性系统题解 阎鸿森 第二章 习题答案 2.1 (1) 已知连续时间信号()x t 如图P2.1(a)所示。试画出下列各信号的波形图，并加以标 注。 (a) (2)x t - (b) (1)x t - (c) (22)x t + (2) 根据图P2.1(b)所示的信号()h t ，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) (3)h t + (b) (2)2 t h - (c) (12)h t - (3) 根据图P2.1(a)和(b)所示的()x t 和()h t ，画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) ()()x t h t - (b) (1)(1)x t h t -- (c) (2)(4)2 t x h t -+ 图P2.1 解：(1) 各信号波形如下图所示：

(a) (b)(c) 1 2 (2)x t -(1)x t -(22)x t +t t t 22 22111 11210 01 -1-1 -2 -2 -3 5 (2) 各信号波形如下图所示： (a) (b)(c) 12 12 -32 (3)h t +(2)2t h -(12) h t -t t t 00 1 1 1 12468 1-2-3-4-5- (3) 各信号波形如下图所示： ()()x t h t -(1)(1)x t h t --(2)2 t x -(a) (b) (c) t t t ∴(2/2)(4)0 x t h t -+=00 111112 2222 2 1-1-4 6 2 - 2.2 已知信号(52)x t -的波形图如图P2.2所示，试画出()x t 的波形图，并加以标注。 (52) x t -t 3252 1123 图P2.2 解：波形如下图所示：

南航金城信号与线性系统课后答案 第二章 连续系统的时域分析习题解答

X 第二章 连续系统的时域分析习题解答 2-1 图题2-1所示各电路中，激励为f (t )，响应为i 0(t )和u 0(t )。试列写各响应关于激励微分算子方程。 解： . 1)p ( ; )1(1)p ( , 111 , 1 111)( )b (; 105.7)625(3 102 ; )(375)()6253(4) ()()61002.041( )a (0202200 204006000f i p f p u p f p p p u i f p p p p p f t u pf i p pu i t f t u p t f t u p =+++=++?++=+=+++= ++= ?=+??==+?=++-- 2-2 求图题2-1各电路中响应i 0(t )和u 0(t )对激励f (t )的传输算子H (p )。 解：. 1 )()()( ; 11)()()( )b (; 625 3105.7)()()( ; 6253375)()()( )a (22 0 20 40 0 +++==+++== +?==+== -p p p p t f t i p H p p p t f t u p H p p t f t i p H p t f t u p H f i f u f i f u 2-3 给定如下传输算子H (p )，试写出它们对应的微分方程。 . ) 2)(1() 3()( )4( ; 323)( )3(; 3 3)( )2( ; 3)( )1( +++=++=++=+= p p p p p H p p p H p p p H p p p H 解：; 3d d 3d d )2( ; d d 3d d )1( f t f y t y t f y t y +=+=+ . d d 3d d 2d d 3d d )4( ; 3d d 3d d 2 )3( 2222t f t f y t y t y f t f y t y +=+++=+ 2-4 已知连续系统的输入输出算子方程及0– 初始条件为： . 4)(0y ,0)(0y )y(0 ),()2(1 3)( )3(; 0)(0y ,1)(0y ,0)y(0 ),()84() 12()( )2(; 1)(0y ,2)y(0 ),()3)(1(4 2)( )1(---2 ---2 --=''='=++==''='=+++-=='=+++= t f p p p t y t f p p p p t y t f p p p t y f (u 0(t ) (b) u 0(t ) (a) 图题2-1

现代控制理论第2章l

第2章 线性系统理论 线性系统是实际系统的一类理想化模型，通常用线性的微分方程或差分方程描述。其基本特征是满足叠加原理，可分为线性定常系统和线性时变系统。 现代控制理论中，采用状态变量法描述系统，它既能反映系统内部变化情况，又能考虑初始条件，也为多变量系统的分析、综合提供了强有力的工具。 2.1 基本概念 输入：外部施加到系统上的全部激励。 输出：能从外部测量到的来自系统的信息。 状态变量：确定动力学系统状态的最小的一组变量。 状态向量：若n 个状态变量)(1t x ，)(2t x ，…，)(t x n 是向量)(t x 的各个分量，即 )(t x 为状态向量。 状态空间：以各状态变量作为基底组成的n 维向量空间。在特定的时间，状态向量)(t x 在状态空间中只是一个点。 状态轨迹：状态向量)(t x 在状态空间中随时间t 变化的轨迹。 连续时间系统：)(t x 的定义域为某时间域],[f 0t t 内一切实数。 离散时间系统：)(t x 的自变量时间t 只能取到某实数域内的离散值。 状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间动态关系的一阶微分方程

组或一阶差分方程组。一般形式为 或 式中 u ——输入向量； k ——采样时刻。 状态方程表征了系统由输入引起的内部状态的变化。 输出方程：描述输出变量与系统输入变量和状态变量间函数关系的代数方程，具有形式 它是一个代数变换过程。 状态空间表达式：状态方程与输出方程联立，构成对动态系统的完整描述，总称为系统的状态空间表达式，又称动态方程。 线性系统的状态空间表达式具有下列一般形式： 1）连续时间系统 ? ??+=+=)()()()()()()()()()(t t t t t t t t t t u D x C y u B x A x & （2–1） 式中 A (t )——系统矩阵或状态矩阵，n ?n 矩阵； B (t )——控制矩阵或输入矩阵，n ?p 矩阵； C (t )——观测矩阵或输出矩阵，q ?n 矩阵； D (t )——输入输出矩阵，q ?p 矩阵； x ——状态向量，n 维； u ——控制作用，p 维； y ——系统输出，q 维。 2）离散时间系统

信号与线性系统题解第二章

第二章习题答案 收集自网络 2.1 (1) 已知连续时间信号()x t 如图P2.1(a)所示。试画出下列各信号的波形图，并加以标 注。 (a) (2)x t - (b) (1)x t - (c) (22)x t + (2) 根据图P2.1(b)所示的信号()h t ，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) (3)h t + (b) (2)2 t h - (c) (12)h t - (3) 根据图P2.1(a)和(b)所示的()x t 和()h t ，画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) ()()x t h t - (b) (1)(1)x t h t -- (c) (2)(4)2 t x h t -+ 图P2.1 解：(1) 各信号波形如下图所示：

(a) (b)(c) 1 2 (2)x t -(1)x t -(22)x t +t t t 22 22111 11210 01 -1-1 -2 -2 -3 5 (2) 各信号波形如下图所示： (a) (b)(c) 12 12 -32 (3)h t +(2)2t h -(12) h t -t t t 00 1 1 1 12468 1-2-3-4-5- (3) 各信号波形如下图所示： ()()x t h t -(1)(1)x t h t --(2)2 t x -(a) (b) (c) t t t ∴(2/2)(4)0 x t h t -+=00 111112 2222 2 1-1-4 6 2 - 2.2 已知信号(52)x t -的波形图如图P2.2所示，试画出()x t 的波形图，并加以标注。 (52) x t -t 3252 1123 图P2.2 解：波形如下图所示：

线性系统理论基础

《线性系统理论基础》实验指导书 嵇启春 西安建筑科技大学信息与控制工程学院

第一章课程简介，实验内容及学时安排 一、课程简介 线性系统理论基础是自动化类专业的主要专业理论课，是现代控制理论的基础。它将使学生们系统地学习并掌握现代控制理论的基本分析和设计方法，为后续专业课程的学习打下良好的基础。教学目标：熟练掌握现代控制基本理论，能运用所学知识进行系统建模、性能分析和综合设计。 《线性系统理论基础实验》是《线性系统理论基础》课程的重要教学环节，是自动化类专业学生必须掌握的教学内容。其目的主要是使学生学习和掌握控制系统基本的分析、设计方法，加深理解线性系统理论的基本知识和原理，增强学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新意识、创新精神和创新能力，为学生今后从事该领域的科学研究和技术开发工作打下扎实的基础。 二、实验内容及学时安排 本课程的实践环节由必作和选作两类实验构成，对能力较强的学生指导他们课外进行选作实验。目前实验主要基于MATLAB仿真软件进行仿真实验。必作实验为三个，每个实验2学时。要求学生一人一机，独立完成必作的实验，由此使学生得到较全面的基础训练。通过该课程的实验训练，应达到下列要求： 1. 使学生了解MATLAB仿真软件的使用方法，重点掌握MATLAB控制工具箱的使用方法； 2. 通过实验加强对所学理论知识的理解和应用； 3. 实验前预习，实验后按要求撰写实验报告。

第二章 《线性系统理论基础》课程实验 实验一 MATLAB 控制工具箱的应用及线性系统的运动分析 一、实验目的 1、学习掌握MATLAB 控制工具箱中的基本命令的操作方法； 2、掌握线性系统的运动分析方法。 二、实验原理、内容及步骤 1、学习掌握MATLAB 控制工具箱中基本命令的操作 设系统的模型如式(1-1)所示： p m n R y R u R x Du Cx y Bu Ax x ∈∈∈?? ?+=+= (1-1) 其中A 为n ×n 维系数矩阵；B 为n ×m 维输入矩阵；C 为p ×n 维输出矩阵；D 为p ×m 维传递矩阵，一般情况下为0。系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式(1-2)所示： D B A sI C s den s num s G +-== -1)() () (()( (1-2) 式(1-2)中，)(s num 表示传递函数阵的分子阵，其维数是p ×m ；)(s den 表示传递函数阵的分母多项式，按s 降幂排列的后，各项系数用向量表示。 [例1.1] 已知SISO 系统的状态空间表达式为(1-3)式，求系统的传递函数。 (1-3) 程序: %首先给A 、B 、C 阵赋值； A=[0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2];B=[1;3;-6];C=[1 0 0];D=0; %状态空间表达式转换成传递函数阵的格式为[num,den]=ss2tf(a,b,c,d,u) ,631234100010321321u x x x x x x ???? ??????-+????????????????????---=?????????? []?? ??? ?????=321001x x x y

信号与线性系统分析习题答案_(吴大正_第四版__高等教育出版社)

第一章 信号与系统（二） 1-1画出下列各信号的波形【式中)() (t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)(

（3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε=

（5）) t f= r ) (sin (t （7）) f kε = t ) ( 2 (k

（10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5） )2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε

（11）)]7()()[6 sin( )(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为 （1） )2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2） )2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f

（5） )2()2()(t t r t f -=ε （8） )]5()([)(--=k k k k f εε

MATLAB在线性系统理论中的应用

MATLAB在线性系统理论中的应用 第一章传递函数与状态空间表达式 1.1 传递函数与状态空间表达式之间的转换 用ss命令来建立状态空间模型。对于连续系统，其格式为sys=ss(A,B,C,D),其中a,b,c,d 为描述线性连续系统的矩阵。 当sys1是一个用传递函数表示的线性定常系统时，可以用命令sys=ss(sys1)将其转换成为状态空间形式，也可以用命令sys=ss(sys1,’min’)计算出系统sys的最小实现。 example1：系数传递函数到状态空间表达式 >>num=[1 7 24 24];den=[1 10 35 50 24]; g=tf(num,den); sys=ss(g) the answer is： a = x1 x2 x3 x4 x1 -10 -4.375 -3.125 -1.5 x2 8 0 0 0 x3 0 2 0 0 x4 0 0 1 0 b = u1 x1 2 x2 0 x3 0 x4 0 c = x1 x2 x3 x4 y1 0.5 0.4375 0.75 0.75 d = u1 y1 0 Continuous-time model.

example2：由传递函数系数，将离散系统脉冲传递函数模型转换成状态空间表达式 >>num=[0.31 0.57 0.38 0.89];den=[1 3.23 3.98 2.22 0.47]; gyu=tf(num,den,'ts',0.1) the answer is: Transfer function: 0.31 z^3 + 0.57 z^2 + 0.38 z + 0.89 ----------------------------------------- z^4 + 3.23 z^3 + 2.98 z^2 + 2.22 z + 0.47 Sampling time: 0.1 Pzmap(gyu)%绘制零极点分布图 sys=ss(gyu)%将离散系统脉冲传递函数模型转换成状态空间表达式。 The answer is: a = x1 x2 x3 x4 x1 -3.23 -1.49 -1.11 -0.235 x2 2 0 0 0 x3 0 1 0 0 x4 0 0 1 0 b = u1 x1 1 x2 0 x3 0 x4 0 c =

信号与线性系统题解第二章

信号与线性系统题解第二章

第二章习题答案 收集自网络 2.1 (1) 已知连续时间信号()x t 如图P2.1(a)所示。 试画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) (2)x t - (b) (1) x t - (c) (22) x t + (2) 根据图P2.1(b)所示的信号()h t ，试画出下 列各信号的波形图，并加以标注。 (a) (3)h t + (b) (2)2t h - (c) (12) h t - (3) 根据图P2.1(a)和(b)所示的()x t 和()h t ，画 出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) ()() x t h t - (b) (1)(1)x t h t -- (c) (2)(4)2t x h t -+

图P2.1 解：(1) 各信号波形如下图所示： (a)(b)(c) 1 2 (2)x t -(1)x t -(22)x t +t t t 22 22111 11210 01 -1-1 -2 -2 -3 5 (2) 各信号波形如下图所示： (a)(b)(c) 12 12 -32 (3)h t +(2)2t h -(12) h t -t t t 00 1 1 1 12468 1-2-3-4-5- (3) 各信号波形如下图所示：

()()x t h t -(1)(1)x t h t --(2) 2 t x -(a)(b) (c) t t t ∴(2/2)(4)0 x t h t -+=00 111112 2222 2 1-1-4 62 - 2.2 已知信号(52)x t -的波形图如图P2.2所示，试画出()x t 的波形图，并加以标注。 (52) x t -t 3252 1123 图P2.2 解：波形如下图所示： 32 52 (52)x t -(5)x t -(5) x t +()x t t t t t 0001111111 2 2233 456 1-2-3-4-5-6- 2.3 (1) 已知离散时间信号()x n 如图P2.3(a)所 示，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) (4) x n - (b) (21) x n +

线性系统理论_1

第一篇线性系统理论 尽管任何实际系统都含有非线性因素，但在一定条件下，许多实际系统可用线性模型充分地加以描述，加之在数学上处理线性系统又较为方便，因此线性控制系统理论在控制工程学科领域中占有重要地位，是应用最优控制、最优估计与滤波、系统辨识、自适应控制等现代控制理论及构造各类现代控制系统的基础． 众所周知，经典线性控制系统理论以传递函数为主要数学工具，侧重研究系统外部特性，这种方法在分析设计单变量系统时卓有成效，但随着航空航天、工业过程控制等高技术的发展，系统越来越复杂，需要分析与设计多变量系统。5O年代末、60年代初，学者卡尔曼等人将古典力学中的状态、状态空间概念加以发展与推广，用来描述多变量控制系统，并深刻揭示了用状态空间描述的系统的内部结构特性，如可控性与可观测性，从而奠定了现代线性控制系统的理论基础。在此基础上形成了适于多变量系统的状态反馈、输出反馈等新的反馈设计方法，以实现系统闭环极点的任意配置、消除或抑制扰动、稳定并精确地跟踪、解除或削弱交叉耦合影响，达到满足系统的各项动、静态性能指标要求。 本篇将系统介绍现代线性系统理论的基本内容。第一章介绍状态空间分析法一般理论，主要介绍定常连续、时变连续、离散系统状态空间数学模型的建立及其解的特性．第二章介绍系统以状态空间描述后内部结构特性（含稳定性、可控性、可观测性）的分析方法，详细论证了定常系统各种结构特性的判别准则，对时变系统情况只作简介；其中应用李雅普诺夫理论所作的稳定性分析只限于线性系统。第三章着重介绍用状态反馈实现闭环极点任意配置的系统综合方法。 第一章状态空间分析法 经典控制理论中基于传递函数建立起来的如频率特性、根轨迹等一整套图解分析设计方法，对单输入-单输出系统极为有效，至今仍在广泛成功地应用。 - 1 -

信号与线性系统题解——阎鸿森-第二章作业

信号与线性系统题解 阎鸿森 第二章 习题 2.1 (1) 已知连续时间信号()x t 如图P2.1(a)所示。试画出下列各信号的波形图，并加以标 注。 (a) (2)x t - (b) (1)x t - (c) (22)x t + (2) 根据图P2.1(b)所示的信号()h t ，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) (3)h t + (b) (2)2 t h - (c) (12)h t - 图P2.1 2.2 已知信号(52)x t -的波形图如图P2.2所示，试画出()x t 的波形图，给出步骤，并加以标注。 (52) x t -t 3252 1123 图P2.2

2.3 (1) 已知离散时间信号()x n 如图P2.3(a)所示，试画出下列各信号的波形图，并加以标 注。 (a) (4)x n - (b) (21)x n + (c) (),?()30,n x n x n n ??=???其他 (2) 对图P2.3(b)所示的信号()h n ，试画出下列个信号的波形，并加以标注。 (a) (2)h n - (b) (2)h n + (c) (2)(1)h n h n ++-- () x n n () h n n 12 12-32 32 -1 2 (a) (b) 4 -1-1-1-2 -00111 22334 4 21 图P2.3 2.4 画出图P2.4所给各信号的奇部和偶部。 () x t t () x t t (a) (b) 0011 21 12-1-

图P2.4 2.5 已知()x n 如图P2.5所示，设： 12()(2) (/2),()0,y n x n x n n y n n =?=? ?偶奇 画出1()y n 和2()y n 的波形图。 () x n n 4 -1-011 2234 图P2.5 2.7 判断下列各信号是否是周期信号，如果是周期信号，求出它的基波周期。 (a) ()2cos(3/4)x t t π=+ (b) ()cos(8/72)x n n π=+ (c) (1) ()j t x t e π-= (d) (/8) ()j n x n e π-= (j) ()2cos(/4)sin(/8)2sin(/2/6)x n n n n ππππ=+-+ 解：（a ）周期信号 T=2π/3 （b ）周期信号 ∵Ω=8π/7 ∴N=7 （c ）周期信号 T=2 （d ）非周期信号 因为（8-π）是无理数 （j ）周期信号 N=16 2.12 根据本章的讨论，一个系统可能是或者不是：①瞬时的；②时不变的；③线性的；④ 因果的；⑤稳定的。对下列各方程描述的每个系统，判断这些性质中哪些成立，哪些不成立，说明理由。

信号与线性系统分析习题答案吴大正第四版高等教育出版社

精心整理 第一章信号与系统（二） 1-1画出下列各信号的波形【式中)() (t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)(（3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε=（5）)(sin )(t r t f = （7 （2（3（4（5（7（101-2（1(t f （5（11）)]7()(6 sin()(--=k k k f εε（12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5） )2()2()(t t r t f -=ε

（8） )]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()(6sin()(--=k k k k f εεπ （12） )]()3([2)(k k k f k ---=εε 1-3写出图1-3所示各波形的表达式。 1-4 1-5（2)t 解：1-6（1) （7（1（2（5（6） )25.0(-t f （7）dt t df )( （8） dx x f t ? ∞ -)(

1-7已知序列)(k f 的图形如图1-7所示，画出下列各序列的图形。 （1）)()2(k k f ε-（2）)2()2(--k k f ε （3）)]4()()[2(---k k k f εε（4）)2(--k f （5） )1()2(+-+-k k f ε（6）)3()(--k f k f 解： 1-9 (f (t f 了 f 1-10（1（51-121-20写出图1-18各系统的微分或差分方程。 1-23设系统的初始状态为)0(x ，激励为 )(?f ，各系统的全响应)(?y 与激励和初始 状态的关系如下，试分析各系统是否是线性的。 （1）?+ =-t t dx x xf x e t y 0 )(sin )0()(（2）? +=t dx x f x t f t y 0 )()0()()(