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微积分练习题册
第一章 函数
判断题
1. y 1
是无穷小量； x
2. 奇函数与偶函数的和是奇函数；
3. 设 y arcsin u ， u
x 2 2 ，这两个函数可以复合成一个函数
y arcsin x 2 2 ；
4. 函数 y
1
的定义域是 x 1 且 x
10 ；
lg lg x
5. 函数 y e x 2 在 (0,
) 内无界； 6. 函数 y
1
在 (0,
) 内无界；
2
1 x 7. 1 x 2
f ( x)
是奇函数；
cos x
8. f ( x) x 与 g( x) ( x )2 是相同函数 ； 9. 函数 y e x 是奇函数；
10. 设 f ( x) sin x ，且 f [ ( x)] 1 x 2 ，则 ( x) 的定义域是 (0,1) ；
11. y x 与 yx 2 是同一函数；
12. 函数 y x 3 x 1 是奇函数； 13. 函数 y
arcsin
x 1
的定义域是 ( 1,3) ；
2
14. 函数 y cos3 x 的周期是 3 ；
15. y x 与 y
x 2
不是同一个函数；
x
16. 函数 y
x cos x 是偶函数 .
填空题
1. 设 y 3u ,u v 2 , v tan x, 则复合函数为 y f ( x) = _________；
2. cos x x 0
= __________；
设 f ( x)
x ，则 f (0)
x
3. 设 f ( x)
4 x 2 ，则 f ( 2) = _______ ；
2
x
4. 设 f ( x)
1
， g (x) 1
x ，则 f [ g( x)] = _______ ；
x
5. 复合函数 y e (sin x)2 是由 ________, ________, _______ 函数复合而成的；
6. 函数 y 4x 3 的反函数是 _______ ；
7. 已知 f ( 1 1
，则 f (2) __________ ； )
1 x 1 x 8.
x 4 ，其定义域为 __________ ；
y x
1
9. 设函数
f ( x)
x 2
1) = __________；
，则 f (
x 1
10. 考虑奇偶性，函数 y ln( xx 2 1) 为 ___________ 函数 ； 11. 函数 y e 2 x
的反函数是 y
1
ln x , 它的图象与
y e 2x 的图象关于
________ 对称 .
2
选择题
1. 函数 y
x 2 的定义域是 ( )
(A)
x 3 (B)
(2,
)
[2,]
(C) ( ,3) U (3,
) (D)
[2,3) U (3,
)
2. 函数 y x 2 ( x 1)2 在区间 (0,1) 内 ( )
(A) 单调增加
(B) 单调减少 (C) 不增不减 (D) 有增有减 3. 下列函数中，是奇函数的是 ( )
(A) y
x 4 x 2
(B) y x x 2
(C) y
2x 2 x (D) y 2x
2 x
4. 已知函数
f ( x)
ax b x 0
，则 f (0) 的值为 ( )
x 2 1 x 0
(A) a b
(B) b a
(C) 1 (D) 2
第二章 极限与连续
判断题
1. 函数在点 x 0 处有极限，则函数在 x 0 点极必连续；
2. x 0 时， x 与 sin x 是等价无穷小量；
3. 若 f ( x 0
0)
f ( x 0 0) ，则 f ( x) 必在 x 0 点连续；
4. 当 x
0 时， x 2 sin x 与 x 相比是高阶无穷小； 5. 函数 y 2x 1 在 ( , ) 内是单调的函数；
6. 设 f ( x) 在点 x 0
处连续，则 f ( x 0
0) f ( x 0 0) ；
7. 函数
x 2
sin 1
, x 0
0 点连续；
f ( x) x
在 x
0 , x 0
8. x
1 是函数 y
x 2 2 的间断点；
x 1
9. f ( x) sin x 是一个无穷小量；
10. 当 x 0 时， x 与 ln(1 x 2 ) 是等价的无穷小量；
11. 若 lim f ( x) 存在，则 f (x) 在 0 处有定义；
x
x 0
12. 若 x 与 y 是同一过程下两个无穷大量，则 x y 在该过程下是无穷小量；
13. yx 2
2 是一个复合函数； x
14. lim
x 1 ；
x 0
x
sin x
2
15. lim x sin
1
1 ；
x 0
x
16. lim(1 2 ) x
e 2 ；
x
x
17. 数列
1
,0,
1
, 0, 1 , 0, L 收敛 ；
2
4 1 8
18. 函数
y xsin 在 x
0 点连续；
x
19. 当 x 0 时， 1 x
1 x ~ x ；
20. 函数
f ( x) x cos 1
，当 x
时为无穷大； x
21. 当 x 1 时， ln x 与 x 1 是等价无穷小量 ； 22. x 0 是函数 y
ln( x 2) 的间断点；
x
23. 以零为极限的变量是无穷小量； 24. lim sin x
1 ；
x
x
25. lim sin 2x 5 ；
x 0
sin 5x 2
26. 无穷大量与无穷小量的乘积是无穷小量；
27. ln(1 x) ~ x ； 28. lim x sin
1
1 ；
x
x
1
29. lim(1 x)x e 1；
x 0
30. lim tan x 1 .
x 0 x
填空题
1. lim sin x _______ ；
x x
2. lim x7 1 ______ ；
x 1 x 1
3. lim x = _______ ；
x x sin x
x 2
4.函数 y2在_______处间断；
9x
5. lim 3n 2
= _______；
5n 2 2n
n 1
6. 函数 y ln x 是由 ______， ______ ，______复合而成的；
7. y arcsin 1 x 2 1 的定义域是 ______ ；
1 x 2
8. 当 x 0 时， 1 cos x 是比 x ______阶的无穷小量；
______ ；
9. 当 x 0 时，若 sin 2 x 与ax是等价无穷小量，则 a
10. lim x( x x) __________ ；
sin x
x 0
sin 2x
, x 0
连续，则 a _________；
11. 设 f ( x) x
a, x 0
12. lim x h x ___________ ；
h
h 0
13.函数 y x 在点 _________ 连续，但不可导；
14. lim(1 2)x
x x ________；
15. lim ln(1 3x) _________ ；
x 0 sin 3x
1
16. 设 f ( x) e x2 , x 0 在 x 0 处________（是、否）连续；
0, x 0
17. 当 x 0 时， 4 x 2 与 9 x 3 是______（同阶、等价）无穷小量. 选择题
1. 当 x
0 时， y
sin 1 为 ( )
(A)
x
(B)
无穷小量 无穷大量
(C) 有界变量但不是无穷小量
(D) 无界变量 2.
x 1 时，下列变量中为无穷大量的是
( )
1
x 2
1
1
x
1
(A) 3 x 1
(B) (C) (D)
x
1
x
x 2
1
2, x 1
3. 已知函数 f ( x)
x 1,
1 x 0 ，则 lim f ( x) 和
lim
f ( x) (
)
x 2
, 0
x 1
x
1
x 0
1
(A) 都存在 (B) 都不存在
(C) 第一个存在，第二个不存在
(D)
第一个不存在，第二个存在 4.
x
x 1 的连续区间是 (
)
函数 f ( x)
1
2
x 1
(A) (
(B) (1,
(C) (
(D) (
,1)
)
,1) (1,
)
,
)
5. 函数 y 4cos 2x
的周期是 (
)
(A) 4
(B) 2
(C)
(D)
2
6. 设 f (x)
3x 2, x 0 ，则 lim f (x)
(
)
x 2
2,
x 0
x 0
(A) 2
(B) 0
(C)
1
(D)
2
7. 函数 f ( x)
1, x 0 ，在 x
0 处 (
)
1, x 0
(A) 左连续
(B) 右连续
(C) 连续 (D) 左、右皆不连续
8. 当 n
时， n sin
1
是 (
)
(A) 无穷小量
(B)
n
(C)
(D) 有界变量
无穷大量 无界变量
9. lim
2x
(
)
x 0
5arcsin x
2
(A) 0 (B) 不存在
(C)
(D) 1
10.
f ( x)
5
x 0 处连续的 (
)
在点 x x 0
处有定义，是 f (x) 在 x
(A) 必要条件 (B) 充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 无关条件
11. 下列极限存在的有 (
)
(A) lim
x(x
1) 1
1
x 2
1
(B) lim
(C) lim e x
(D) lim
计算与应用题
x 2 3x 2
x
2
, x 2
1. 设 f (x)
在点 x
2 处连续，且 f ( x)
，求 a
a,
x 2
2. 求极限 lim
cosx 1
2x
2 x 0
3. 求极限 lim(
2x
1
) x 1
x
2 x 1
4. lim
x 3 2x 1
x 4
5
x
1
5. lim (1
x
)
x
x 0
4
6. lim (1
1 ) x
2 x
2x
7. 1 cos x
lim
x 2
x 0
8.
求
lim(
1
1
1
2
L
n
)
n
2 2 2
9. 求极限 lim(1
2 )2 n
n
n
x
10. 求极限 lim( ) x
11. 求极限
lim
x 2 1
x 1
ln x
12. e x 1
lim
x
x 0
x 2
13. lim(1
2
) 2x 100
x
x
1 x 3
14.
求 lim
x
8
2
3
x
15. lim(
x
1
)2 x
x
x 1
16. 求 lim(
3 1 )
x 1
1
x 3 1 x
第三章 导数与微分 判断题
1. 若函数 f (x) 在 x 0 点可导，则 f ( x 0 ) [ f ( x 0 )] ；
2. 若 f ( x) 在 x 0 处可导，则 lim f ( x) 一定存在；
x x 0
3. 函数 f ( x) x x 是定义区间上的可导函数；
4.
函数 f ( x) x 在其定义域内可导；
5. 若 f (x) 在 [a,b] 上连续，则 f ( x)
在 (a,b) 内一定可导； 6. 已知 y e f ( x ) , 则 y e f ( x ) f ( x) ；
2 x 2 ,
x 1
7. 函数 f ( x)
ln
x 在 x
1 点可导；
, 0 x 1
4
8. 若 f ( x)
x n , 则 f ( n) (0) n! ；
9. d (ax 2 b) 2ax ；
10. 若 f (x) 在 x 0 点不可导，则 f ( x) 在 x 0 不连续； 11. 函数
f ( x) x x
在点 x 0 处不可导 .
填空题
1.
f (x) ln 1 x 2 ，则 f (0)
_________ ；
2. 曲线 y x 3 在点 (1,1) 处的切线方程是 ________ ；
3. 设 y x e e x ln x e e ，则 y = ______ ；
4. y sin(e x 1) ， dy _______ ；
5. 设 y x 2 2 x e 2 ，则 y = ________ ；
6. 设 y
x n e ，则 y ( n) = ________ ；
7. 曲线 y x e x 在点 (0,1) 的处的切线方程是 _______； 8. 若 u(x) 与 v(x) 在 x
处可导，则 [
u(x)
]
= _________ ；
v( x)
9. (x x ) = _______；
10. 设 f (x)
在 x 0 处可导，且 f ( x 0 )
A ，则 lim f ( x 0 2h) f ( x 0 3h)
h
h 0
用 A 的代数式表示为 _______ ；
11. 导数的几何意义为 ________________________ ；
12. 曲线 y
1
在 (1,1) 处的切线方程是 ___________ ；
x
13. 曲线 y x 3 1 在 ( 1,0) 处的切线方程是 ___________ ；
14. 函数 y x 3 sin( x 2 1) 的微分 dy __________ ；
15. 曲线 y x 2 在点 (0,0) 处切线方程是 _________ ； 16. dyy 的近似值是 _________ ；
17. y x n ( n 是正整数 ) 的 n 阶导数是 ________ .
选择题
1. 设 f ( x) 在点 x 0 处可导，则下列命题中正确的是 ( )
(A) lim f ( x) f ( x 0 ) 存在
(B) lim f ( x) f ( x 0 ) 不存在
x x 0
x x 0
x x 0
x
x 0
(C) lim
f (x)
f ( x 0 )
存在
(D) lim f ( x)
f (x 0 )
不存在
x x 0
x
x 0
x
2. 设 f ( x) 在 点 x 0 处 可 导 且 lim
x
1 ， 则 f ( x 0 ) 等 于
x 0
f (x 0
2x) f (x 0 )
4
(
)
(A) 4 x
2
(B) –4
(C) 2
(D)
–2
3. 设 f (x)
1 ,
1 x 0
，则 f ( x) 在点 x = 0 处 ( )
1
, 0 x 2
(A) 可导 (B) 连续但不可导 (C) 不连续 (D) 无定义
4. 设 y f ( x) 可导，则 f ( x 2h) f (x) = ( ) (A) f ( x)h o(h) (C) f (x)h o(h)
f (x)
5. 设 f (0) 0 ，且 lim
x 0
x
(B) 2 f ( x)h o(h) (D) 2 f ( x)h o(h)
存在，则 lim f ( x) ＝ (
)
x 0
x
(A) f ( x)
(B) f
(0)
(C) f (0)
(D) 1 f (0)
e f ( x) ，则 y"
2
6. 函数 y
( )
(A)
e f ( x)
(B) e f ( x) f " ( x)
(C) e f ( x) [ f '( x)] 2
(D) e f (x ) {[ f '( x)] 2 f " (x)}
7. 函数 f ( x) ( x 1) x 的导数为 ( )
(A) x( x 1) x
(B) (x 1) x
1
(C) x x ln x
(D) ( x 1) x [ x ln( x 1)]
x 1 8. 函数 f ( x) 在 x
x 0 处连续，是 f (x) 在 x 0 处可导的 ( )
(A) 充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
(C) 充分必要条件
(D) 既不充分也不必要条件
9. 已知 y
x ln x ，则 y (10)
(
)
(A)
1 (B) 1
(C) 8!
(D)
8!
x 9
x 9
x 9
x 9
10. 函数 f (x)
x 在 x
0 处 (
)
x
(A)
(B)
连续但不可导 连续且可导
(C) 极限存在但不连续
(D) 不连续也不可导
11. 函数 f (x)
1, x 0
，在 x 0
处 (
)
1, x 0
(A) 左连续 (B) 右连续
(C) 连续 (D) 左、右皆不连续
12. 设 y e x e x ，则 y (
)
(A) e x e x (B) e x e x (C) e x e x
(D)
e x e x
0, x 0
13. 函数 f (x)
1
, x 0 ，在点 x
0 不连续是因为 (
)
(A)
x (B)
f (0 0)
f (0) f (0 0)
f (0)
(C) f (0 0) 不存在
(D) f (0 0) 不存在 14. 设 f ( x 2)
1 ，则 f ( x)
(
)
x 1
1 1
1
1
(A)
(B)
(C) (D)
( x 1)2
( x 1)2
x 1 x 1
15. 已知函数 y ln x 2 ，则 dy
（
）
(A)
2
(B)
2
(C) 1
(D)
1
dx
dx
x
x 2
2
x
x
x cos 1
, x 0
x
16. 设 f ( x)
0, x 0 ，则 f ( x) 在 x
0 处（
）
1
tan x 2 , x 0 x
(A) 极限不存在 (B) 极限存在，但不连续 (C) 连续但不可导 y (10) (D) 可导
17. 已知 y sin x ，则 ( )
(A) sin x (B) cos x (C) sin x (D) cos x
计算与应用题
1. 设 f(x) =
x
2
a
2
a arccos
a
( a 0 ), 求 f ( 2a)
x
2. 设 y
ln( xy) 确定 y 是 x 的函数，求
dy dx
3. 设 y ln 1 cos
1
，求 dy
x x
4. 设y (1 x2 )arctan x 1 cos x ，求 y
2
5. 设e y y ln x 确定y 是 x 的函数，求dy
dx
6.设y ln(ln x) ，求dy
7. y e2x x2 arcsin 1 y , 求y' 及 dy
x
8. y ln tan x
，求y'及dy
2
9.y sin( x y)，求y'及dy
10. y ln 5 cos x21
2，求y 及 dy x
11.y e arctan x，求y及dy
12.y e x xy ，求 y 及 dy
13.已知 y cos2 3x ，求 y
14.设 2 y 2x sin y 0 ，求y
15.求 y e1 3 x cos x 的微分
16. 设y x ln( x 1 x2 ) ，求y
17.设 y e cos 2x，求 dy
18.方程 e y e x xy 0 确定y是x的函数，求 y
19. 设y arctan( 2x 2 ) ，求 y
1 x
20.方程y 2 cosx e y0 确定y 是x的函数，求y
21.y x3 cos x e cos x，求dy
22.y x ln x，求y
23. 已知y ln( x x2a2 ) ，求y
24.设 y x x，求 y
25.已知 f ( x) sin3 x，求 f ( )
2
e2x
26.求y的微分
x
第四章导数的应用
判断题
1. y 轴是曲线y 4( x 1)
x2
2 的铅垂渐近线；
x3
2. 曲线 y x 在 ( ,0) 是下凹的，在 (0, ) 是上凹的；
3. x 1 是 f ( x) 1 x3 x 在 [ 2, 2] 上的极小值点；
3
4. 曲线 y 3 x 在x 0 点没有切线；
5.函数可导，极值点必为驻点；
6. 函数的极值只可能发生在驻点和不可导点；
7. 直线 y
2 是曲线 y
4(x 1) 2 的水平渐近线；
x 2
1
是曲线
1
1
8.
x y
x 3 x 2 的拐点；
9. 2 6 4
若 f (x) 在 [ a, b] 上连续，在 ( a, b) 内可导， a
x 1 x 2 b ， 则至少存在一点 (x 1, x 2 ) ，使得 f (b) f (a) f ( )(b a) ；
10. 若 f ( x 0 )
0 ， f ( x 0 ) 0 ，则 f ( x 0 ) 是 f ( x) 的极大值；
11. 函数 f ( x) ln( 2x 1) 在 [0,2] 上满足拉格朗日定理；
12. 若 x x 0 是函数 f ( x) 的极值点，则 f ' ( x 0 ) 0 ； 13. 函数 f ( x) 在 [a,b] 上的极大值一定大于极小值；
14. 当 x 很小时， ln(1 x) x ；
15. x
sin x
1 ；
lim
3
3
x 0
x
16. 曲线 y x 3 的拐点是 (0,0) ；
17. 函数 y
f ( x) 在 x x 0
点处取得极大值，则 f ( x 0 ) 0 或不存在；
18. f ( x 0 ) 0 是可导函数 y f ( x) 在 x x 0 点处取得极值的充要条件； 19. 曲线 y 1 ln x 没有拐点；
20. 设 f ( x) ( x a) ( x) ，其中函数 ( x) 在 x a 处可导，则 f ( a)(a) ；
21. 因为 y
1 在区间 (0,1) 内连续，所以在 (0,1) 内 y 1 必有最大值；
x
x
填空题
1. 求曲线 y (x 2)
5
的拐点是 ________；
3
2. 求曲线 y
x 2
x
的渐近线为 ________ ；
1
3. lim
x n
0, n 为正整数） = ________ ；
e
ax （ a
x
4. 幂函数 y x （ 为常数）的弹性函数是 _________
；
5. yx 2 2x 1 的单调递增区间为 __________ ；
6. 函数 f ( x)
x
的间断点为 x
______ ；
3
3
x
7. 函数 y
1 的单调下降区间为 ______ ；
x 2
1
8. 设 y
2x 2
ax 3 在点 x 1 处取得极小值，则 a = _______ ；
9. 设 y (x a) 3 在 (1, ) 是上凹的，则 a = ______ ；
10. 若函数 f (x) 在区间 (a, b) 内恒有 f ( x) 0 ，则曲线 y f ( x)
在
(a,b) 内的凹向是_______；
11. 若 f ( x) x 3 ，则曲线y f ( x)的拐点横坐标是______ ；
12.函数 y 3 2x 在 x 3 处的弹性是________；
13.函数 y x3 3x 的单调递减区间是__________；
14.y e x的渐近线为_______；
15. 设需求函数 Q p(8 3 p) ，P为价格，则需求弹性值EQ
_______ ；Ep P 2
16. 函数 y
4 x2
有 ______ 个间断点；(x 1)( x 2)
17. 函数 y x 5 x 在 [0,5] 上满足拉格朗日中值定理的______ ；
18.函数 y(x 1)2的单调递增区间是_________；
19. 函数 y x 2cos x 在区间 [0, ] 上的最大值是__________；
2
20. 曲线y x 的下凹区间是 __________ ；
21. 函数 y 2 x2 x 在 [0,2] 上满足拉格朗日中值定理的__________ ；
22. 函数y x x 在区间 [0,1] 上的最小值是 _________ .
选择题
1. 函数y sin x 在区间 [0, ] 上满足罗尔定理的( )
(A) 0 (B)
4 (C)
2
(D) π
x2
2. 曲线y 的铅垂渐近线的方程是( )
1 x
(A) (B) (C) x 1 (D) x 1
y 1 y 1
3. 函数y f (x) 在点 x x0 处取得极大值，则必有（）
(A) f ( x0 ) 0 (B) f ( x0 ) 0
(C) f ( x0 ) 0 且 f (x0 ) 0(D) f ( x0 ) 0 或不存在
计算与应用题
1. 求极限 lim( x 1 )
x 1 x 1 ln x
2.设某产品价格与销量的关系为P 10Q 5 （ Q 为销量），求：
(1) 销量为30 时的总收益；
(2)销量为 30 时的平均收益；
(3)销量为 30 时的边际收益；
(4)销量为 30 时，销量对价格的弹性。
3.某商品的需求函数为 Q 75 P2（P为价格， Q 为需求量）
(1)求 P 4时的边际需求；
(2)求 P 4 时的需求弹性，说明经济意义；
(3)P 4 时，若价格上涨1%，总收益变化百分之几？
(4)P 为多少时，总收益最大？最大总收益是多少？
4.设某糕点加工厂生产 A 类糕点的总成本函数和总收入函数分别是
C (x) 100 2x 0.02x2
R(x) 7x0.01x2
(1)求边际利润函数；
(2)当产量分别是 200 公斤，250 公斤和 300 公斤时的边际利润，并说
明其经济意义。
P
5.设商品的需求函数为 Q e 4，求：
(1)需求弹性函数；
(2)当 P 4 时的需求弹性，并说明其经济意义。
6. 某商品的成本函数为 C C(Q) 1000 Q 2 ，求：
4
(1)Q 20 时的总成本，平均成本及边际成本；
(2)产量 Q 为多少时，平均成本最小？并求最小平均成本。
7.工厂生产某种产品总成本C ( x) 8x 125 （万元）,其中x为产品件
数，将其投放市场后，所得到的总收入为 R( x) 12 x 0.004 x2（万元）。问该产品生产多少件时，所获得利润最大，最大利润是多少？
8.某工厂生产某种产品 x 吨，所需要的成本 C( x) 5x 200 （万元）,将
其投放市场后，所得到的总收入为 R(x) 10 x 0.01x2（万元）。问该产品生产多少吨时，所获得利润最大，最大利润是多少？
9.某产品的总成本 C （万元）与总收益R（万元）都是产量x（百台）的函
数，其边际成本函数为 C x ，边际收益函数为 R 8 3x ，
(1)产量多大时，总利润最大？
(2)从利润最大的生产量又生产了 100 台，总利润改变了多少？
10.已知某产品的需求函数为P 10Q
，成本函数为 C 20 2Q，求5
产量为多少时利润最大？并验证是否符合最大利润原则。
p
11.设某商品的需求函数 Q e 5，求
(1)需求弹性函数；
(2)P 3, P 5, P 6 时的需求弹性。
第五章不定积分
判断题
1. F ( x)dx F ( x) C ；
2. d
C ；
f ( x)dx f ( x)
dx
3. 若 f ( x) 可导，则df ( x) f (x) ；
4.sin x 是cos x的一个原函数；
5. 若 f ( x) dx x3 C , 则 f (x) x2 ；
6. 设 f (x) 1 且 f (0) 0 , 则 f ( x)dx 1 x2 x C ；
2
7. x cos xdx x sin x 2cos x C ；
填空题
1. 1 dx ______ ；
x 1
2. 设 e x sin x 是 f ( x) 的一个原函数，则 f ( x) = _______；
3. 1 dx _______ ；
xln x
多元函数微分学知识点梳理
第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理
微积分2期末复习提纲答案
2015年6月微积分2期末复习提纲 1、 本学期期末考试考察的知识点如下: 第六章隐函数的偏导数求解P194例9-10，条件极值应用题（例10）求解，约占12% 第七章二重积分（二重积分的概念，比较大小P209课后习题，直角坐标系下的交换积分次序P212例题3&P213习题1（7），直角坐标与极坐标系下的二重积分计算）约占26%; 第八章无穷级数（无穷级数的概念,几何级数，P-级数，正项级数的比较判别法和比值判别法，任意项级数的敛散性，幂级数的收敛半径及收敛域，求幂级数的和函数，间接 展开以 1 ,,ln(1)1x e x x +-为主）约占35%; 第九章微分方程（微分方程及其解的概念，一阶分离变量,齐次和一阶线性微分方程求解(通解和特解），二阶常系数齐次，非齐次微分方程的通解(三角型的不要求）。约占27%. 2、样题供参考（难度、题型） 一、填空题：（14小题） 1、若D ：224x y y +≤，则 D d σ=??4π。(表示求解积分区域D 的面积——圆) ● 或D ：9122≤+≤y x ，则 ??=D dxdy 8π。(表示求解积分区域D 的面积——圆环) ● 或2 2 :4D x y y +≤，将 dxdy y D ??化为极坐标系下的累次积分4sin 20 sin d r dr π θ θθ? ? ． (判断θ的范围作为上下限，判断r 的范围作为上下限，y 用rsin θ代入) 7.3极坐标系下二重积分的计算 2、交换积分次序 1 1 (,)y dy f x y dx = ? ?1 (,)x dx f x y dy ? ?。 （依题得：010<
微积分第一章
高等数学教案 、
第一章 函数、极限与与连续 本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。具体的要求如下： 1． 理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中 逐步加深理解，对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。 2． 掌握极限四则运算法则。 3． 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。 4． 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。能够正确运用等价无穷小求极限。 5. 理解函数在一点连续的概念，理解区间内（上）连续函数的概念。 6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。 7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。 第一章共12学时，课时安排如下 绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1.4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1.4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时 绪论 数学：数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。 关于数学应用和关于微积分的评价： 恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里。 华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。 张顺燕：微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了（《数学通报》数学与文化2001.1.封二） 初等数学与高等数学的根本区别：用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。
微积分试题及答案
微积分试题及答案
5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（， ）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分） 1、2 21x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、 有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim ββαα=∞若，就说是比低阶的无穷小( )4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分）1、1sin x y x =求函数 的导数 2、 21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求 3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求 4、20tan sin lim sin x x x x x →-求 5、31)x x +计算（ 6、21 0lim(cos )x x x + →计算 五、应用题 1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2 )100R x x x =-（，总成本函数为2 ()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分） 2、描绘函数21 y x x =+的图形（12分） 六、证明题（每题6分） 1、用极限的定义证明：设01lim (),lim ()x x f x A f A x + →+∞→==则 2、证明方程10,1x xe =在区间（）内有且仅有一个实数 一、 选择题
1、C 2、C 3、A 4、B 5、D 6、B 二、填空题 1、0x = 2、6,7a b ==- 3、18 4、3 5、20x y +-= 三、判断题 1、√ 2、× 3、√ 4、× 5、× 四、计算题 1、 1sin 1sin 1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )x x x x x x y x e e x x x x x x x x x x x '='='??=-+??? ?=-+（（ 2、 22()112(arctan )121arctan dy f x dx x x x dx x x xdx ='=+-++= 3、 解： 2222)2)22230 2323(23)(23(22)(26) (23x y xy y y x y y x y y x y x y yy y x y --'+'=-∴'=--'----'∴''=-
微积分2习题答案
一、填空题 1．设)(x P 是x 的多项式，且26)(lim 23=-∞→x x x P x ，3) (lim 0=→x x P x ，则=)(x P 2．=-++∞ →))(arcsin(lim 2 x x x x 6 π x x x 3262 3++↑ 3．=?? ? ??-∞ →3 21lim x x x 32 -e 4．设A x x ax x x =-+--→1 4 lim 31，则有=a ，=A 4，－2 5．设x x x x x f sin 2sin )(+=，则=∞→)(lim x f x 2 6．=?+→2 32031 sin sin lim x x x x x 31 7．函数) 2)(1(1+-+=x x x y 的间断点是 1=x 8．为使函数()x x x f tan 1 ?=在点0=x 处连续，应补充定义()=0f 1 9．设函数?????=≠-=00)1(3 x K x x y x 在0=x 处连续，则参数=K 3-e 10．函数???>+≤+=0 10 )(x e x a x x f x 在点0=x 处连续，则=a 2 二、单项选择题 1．设0>n x ，且n n x ∞→lim 存在，则n n x ∞ →lim ② ①0> ②0≥ ③0= ④0< 2．极限=-→1 11 lim x e x ③ ①∞ ②1 ③不存在 ④0 3．=++∞→- →x x x x x x 1 sin lim ) 1(lim 10 ④ ①e ； ②1e -； ③1e +； ④1 1e -+ 4．()() 213 ++-= x x x y 的连续区间是__________________ ② ①()()()+∞----∞-,11,22, ②[)+∞,3 ③()()+∞--∞-,22, ④()()+∞--∞-,11, 5．函数1 2 111 11+----=x x x x y 的不连续点有 ③ ①2个 ②3个 ③4个 ④4个以上 6．下列函数中，.当0→x 时，与无穷小量x 相比是高阶无穷小量的是___________；是等价无穷小量的是__________________ ①，② ①x cos 1- ②2 x x + ③x ④x 2sin
多元函数微分学及应用(隐函数反函数)
习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用 多元复合函数、隐函数的求导法 (1) 多元复合函数 设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续，二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点 ),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数 )),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微，且 ()()()() x y x v v v u f x y x u u v u f x z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00??()()()() y y x v v v u f y y x u u v u f y z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00?? 多元函数微分形式的不变性：设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===，均为连续可微， 则将z 看成y x ,的函数，有 dy y z dx x z dz ??+??= 计算 y v v f y u u f y z x v v f x u u f x z ????+????=??????+????=??,，代人， dv v f du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ??+??= ???? ????+????+???? ????+????=???? ??????+????+??? ??????+????=??+??= 我们将dv v f du u f dy y z dx x z dz ??+??=??+??= 叫做微分形式不变性。 例1 设??? ??=x y xy f x z , 3 ，求y z x z ????,。
高等数学试题及答案
高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
《 高等数学 》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos
(微积分)第一章
第一章 习题1-1 1. 用区间表示下列不等式的解. ⑴ x%9; (2) x — 1 1； (3) (x-1)(x 2) :0; (4) 0 . x 1:: 0.01 解(1)原不等式可化为(x —3)(x+3)苴0 ,其解为—3苴x<3,用区间表示是[-3,3]. (2) 原不等式可化为x—1》1或x—1<—1 ,其解为x》2或x<0 ,用区间表示是 (-8 ,0^(2,+ 8 ). (3) 原不等式的解为—2 e x <1,用区间表示是(-2,1). -0.01 ：x 1 ：0.01 口-1.0 V： x ：-0.99 (4) 原不等式可化为4 即/ x 1=0 x=1 用区间表示是(-1.01,-1) U (-1,-0.99). 2. 用区间表示下列函数的定义域： (1) y =[ - .1 -x2；(2) y = arcsin(1 - x) ig(ig x)； x (3) y = . 6 -5x -x2 ---------- - --- . ln(2 -x) a - x=0 r x = 0 解⑴要使函数有意义，必须｛… 即4 1-x2-0 -1%&1 所以函数的定义域为[-1,0) U (0,1]. (2)要使函数有意义，必须J lg x A 0 即< x A1 x 0 x 0
所以函数的定义域是1 第8章 多元函数微分学及其应用 参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ，求(),f x y ，(),f x y xy -。 解：()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ，故得 ()2 1,1y f x y x y -=+，()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限： 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2 sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。 证明：当2 y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法） 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性： （1）()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解： ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。 微积分试卷及答案Revised on November 25, 2020 2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 2010 年 6 月10日 使用班级 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日 姓 名 班 级 学 号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.2 ln()d x x x =? . 2.cos d d x x =? . 3. 31 2d x x --= ? . 4.函数2 2 x y z e +=的全微分d z = . 5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设()1x f e x '=+，则()f x = ( ). (A) 1ln x C ++ (B) ln x x C + (C) 2 2x x C ++ (D) ln x x x C -+ 2.设 2 d 11x k x +∞=+? ，则k = ( ). (A) 2π (B) 22π (C) 2 (D) 2 4π 3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（ ）. (A) z z a b x y ??=?? (B) z z x y ??= ?? (C) z z b a x y ??=?? (D) z z x y ??=- ?? 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0 y f x y '=成立，则（ ） (A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（ ）． (A) 211(1)n n n ∞ =-∑ (B) 1 (1)n n ∞ =-∑ (C) 1 3(1)2n n n n ∞ =-∑ (D) 11(1)n n n ∞=-∑ 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1.2d x x e x ? 2.4 ? 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分） 中南民族大学06、07微积分（下）试 卷及参考答案 06年A 卷 1、已知22 (,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则= ?∞ +--dx e x x 21 ___________. π =? ∞ +∞ --dx e x 2 3、函数22 (,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=' )0,1(x f ________. 5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________. 二、选择题(每小题3分,共15分) 6 知dx e x p ?∞ +- 0 )1(与 ? -e p x x dx 1 1ln 均收敛, 则常数p 的取值范围是( ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p > 7 数?? ?? ?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222 222y x y x y x x y x f 在原点间断, 是因为该函数( ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8 、若 2211 x y I +≤= ?? , 22212 x y I ≤+≤= ?? , 22324 x y I ≤+≤= ?? ,则下列关系式成立的是( ). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I << 9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+= 10、设∑∞ =12n n a 收敛，则∑∞ =-1) 1(n n n a ( ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 三、计算题(每小题6分,共60分) 微积分期末测试题及答 案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞. 第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31, 31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A 2009 — 2010 学年第 2 学期课程名称微积分B 试卷类型期末A 考试形式闭卷考试时间 100 分钟 命题人 2010 年 6 月10日使用班级 教研室主任年月日教学院长年月日 姓名班级学号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1. . 2. . 3. . 4.函数的全微分 . 5.微分方程的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设，则 ( ). (A) (B) (C) (D) 2.设，则 ( ). (A) (B) (C) (D) 3.设，其中可导，则（）. (A) (B) (C) (D) 4.设点使且成立，则（） (A) 是的极值点 (B) 是的最小值点 (C) 是的最大值点 (D)可能是的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（）． (A) (B) (C) (D) 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1. 2. 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分） 1.设，求 2.设函数，而，求. 3.设方程确定隐函数，求 五、计算二重积分其中是由三条直线所围成的闭区域. (本题10分) 六、（共2小题，每题8分，共计16分） 1.判别正项级数的收敛性． 2. 求幂级数收敛区间（不考虑端点的收敛性）. 七、求抛物线与直线所围成的图形的面积（本题10分） 八、设，求.（本题6分） 徐州工程学院试卷 2009 — 2010 学年第 2 学期课程名称微积分B 试卷类型期末B 考试形式闭卷考试时间 100 分钟 命题人杨淑娥 2010 年 6 月10日使用班级 09财本、会本、信管等 教研室主任年月日教学院长年月日 姓名班级学号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1. . 2. . 3. . 4.函数的全微分 . 5.微分方程的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设，则 ( ). (A) (B) (C) (D) 2.下列广义积分发散的是 ( ). (A) (B) 第四章多元函数微分学一、本章知识脉络框图 二、本章重点及难点 本章需要重点掌握以下几个方面容： ● 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数 与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor 公式. ● 隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换. ● 几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线. ● 极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange 乘数法. 三、本章的基本知识要点 (一)平面点集与多元函数 1.任意一点A 与任意点集E 的关系. 1) 点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?，则称点A 是点集E 的点。 2) 外点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?=?，则称点A 是点集E 的外点。 3) 界点（边界点）. 若在点A 的任何邻域既含有属于E 得的点，又含有不属于E 的点，则称点A 是点集E 的界点。 4) 聚点. 若在点A 的任何空心邻域()o U A 部都含有E 中的点，则称点A 是点集E 的 聚点。 5) 孤立点. 若点A E ∈，但不是E 的聚点，则称点A 是点集E 的孤立点。 2. 几种特殊的平面点集. 1) 开集. 若平面点集E 所属的每一点都是E 的点，则称E 为开集。 2）闭集. 若平面点集E 的所有聚点都属于E ，则称E 为闭集。 3) 开域. 若非空开集E 具有连通性，即E 中任意两点之间都可用一条完全含于E 得有限折线相连接，则称E 为开域。 4）闭域. 开域连同其边界所成的点集称为闭域。 5）区域. 开域、闭域或者开域连同某一部分界点所成的点集，统称为区域。 3.2 R 上的完备性定理. 1) 点列收敛定义：设{}2 n P R ?为平面点列，2 0P R ∈为一固定点。若对任给的正数ε，存在正整数N ，使得当n N >时，有()0,n P U P ε∈，则称点列{}n P 收敛于点0P ，记作 0lim n n P P →∞ = 或 ()0,n P P n →→∞. 微积分试题 (A 卷) 一. 填空题 (每空2分,共20分) 1. 已知,)(lim 1A x f x =+ →则对于0>?ε，总存在δ>0，使得当 时，恒有│?(x )─A│< ε。 2. 已知22 35 lim 2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。 3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→β β α0 lim x x 。 4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f a x 。 5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。 6. 设函数y =?(x )在x 0点可导，则=-+→h x f h x f h ) ()3(lim 000 ______________。 7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。 8. ='? ))((dx x f x d 。 9. 设总收益函数和总成本函数分别为2 224Q Q R -=，52 +=Q C ，则当利润最大时产 量Q 是 。 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。 (A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a (C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设1 1 )(-=x arctg x f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+ -∞ →1 3)11(lim x x x （ ） 。 (A) 1 (B) ∞ (C) 2e (D) 3e 4. 对需求函数5 p e Q -=，需求价格弹性5 p E d - =。当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。 (A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 10 5. 假设)(),(0)(lim , 0)(lim 0 x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外) 存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。 (A) 若a x g x f x x =→) ()(lim 或∞，则a x g x f x x =''→)() (lim 0或∞ (B) 若a x g x f x x =''→)()(lim 0或∞，则a x g x f x x =→) () (lim 0或∞ (C) 若) ()(lim x g x f x x ''→不存在，则)() (lim 0x g x f x x →不存在 (D) 以上都不对 6. 曲线2 2 3 )(a bx ax x x f +++=的拐点个数是（ ） 。 (A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 7. 曲线2 ) 2(1 4--= x x y （ ）。 (A) 只有水平渐近线； (B) 只有垂直渐近线； (C) 没有渐近线； (D) 既有水平渐近线， 又有垂直渐近线 8. 假设)(x f 连续，其导函数图形如右图所示，则)(x f 具有 (A) 两个极大值一个极小值 (B) 两个极小值一个极大值 (C) 两个极大值两个极小值 (D) 三个极大值一个极小值 9. 若?(x )的导函数是2 -x ，则?(x )有一个原函数为 ( ) 。 x 《高等数学（二）》期末复习题 一、选择题 1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?b a ，则=b （ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22 ()D I x y dxdy =+?? ，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ） (A) 2240 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a πθπ=?? (C) 2230 023a d r dr a π θπ=? ? (D) 224001 2 a d r rdr a πθπ=?? 4、 设的弧段为：2 30,1≤≤=y x L ，则=? L ds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 )1(n n n 的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ） （A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1 010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1 010d ),(d x x y x f y (B) ??-1 010 d ),(d y x y x f y (C) ? ?-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ??1 01 0d ),(d x y x f y 第一章 习题1-1 1.用区间表示下列不等式的解 2(1)9;(2)1;1(3)(1)(2)0;(4)00.01 1 x x x x x ≤>--+<<<+ 解 (1)原不等式可化为(3)(3)0x x -+≤,其解为33x -≤≤,用区间表示是[-3,3]. (2)原不等式可化为11x ->或11x -<-,其解为2x >或0x <,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞). (3)原不等式的解为21x -<<,用区间表示是(-2,1). (4)原不等式可化为0.0110.0110x x -<+??>?即0210x x x ≤≤??>??>? 所以函数的定义域是12x <≤,用区间表示就是(1,2]. (3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020x x x x ?--≥?-≠??->?即6112x x x -≤≤??≠?? 高等数学下册复习提纲 第八章 多元函数微分学 本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导（☆☆☆☆☆） 条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆） 无条件极值（☆☆☆☆） 曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆） 一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算（☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆） 1. 多元复合函数高阶导数 例 设),,cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求x y z x z ?????2及. 解 y x e f x f x z +?'+?'=??31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z ++++?''+-?''+'+?''+-?''=???=???])sin ([cos ])sin ([333231312 22析 1）明确函数的结构(树形图) 这里y x e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构 图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一 项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”. 2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构 相同，仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为 z u v w x x y y 微积分期末试卷 选择题(6X2) 1?设f(x) 2cosx,g(x) (1严在区间(0,—)内()。 2 2 A f (x)是增函数，g (x)是减函数 Bf (x)是减函数，g(x)是增函数 C二者都是增函数 D二者都是减函数 2、x 0时，e2x cosx与sinx相比是() A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小D同阶但不等价无价小 1 3、x = 0 是函数y = (1 -sinx)紺勺() A连续点E可去间断点C跳跃间断点D无穷型间断点 4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) n 1 n A X n ( 1)n B X n si n - n n 2 1 1 C X n-(a 1) D X n cos a n 5、若f "(x)在X0处取得最大值，则必有() A f /(X。)o Bf /(X。)o Cf /(X。)0且f''( X o) 1 In x 1 ; 2 y x 3 2x 2 x ;3 y 也厂,?1)^ 4?0) lim (x 1)(x m) 5 解：原式=x 1 (x 1)(x 3) m 7 b limU 」2 x 1 x 3 4 7,a 6 1、 2、 、判断题 无穷多个无穷小的和是无穷小 lim 沁在区间(， X 0 X 是连续函数() 3、 f"(x 0)=0—定为f(x)的拐点 () 4、 若f(X)在X o 处取得极值，则必有 f(x)在X 0处连续不可导( ) 5、 (x) 在 0,1 f '(x) 0令 A f'(0) f'(1),C f(1) f (0),则必有 A>B>C() 1~5 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 x im 0 1 e x2 解：原式=lim x 0 1 x lim e x2 ( 2x x 0 J 2x 3 1 lim e x x 0 2 若 f (x) (x 3 10)4,求f ''(0) 解: 4( x 3 24x f'(x) f ''(x) f ''(x) 0 3 2 2 , 3 10) 3x 12x (x .3 3 2 3 (x 10) 12x 3 (x 10) 3x 10)3 3 . 3 3 4 , 3 2 24x (x 10) 108x (x 10) 4 I o 2 3 求极限 lim(cos x) x x 0多元函数微分学及其应用
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