当前位置：文档库 › 圆锥曲线专题(定点、定值问题)

圆锥曲线专题(定点、定值问题)

圆锥曲线专题——定点、定值问题

定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：

模型一：“手电筒”模型

【例题】已知椭圆C ：13

2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22

3412

y kx m x y =+??+=?得222

(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +->

2121222

84(3)

,3434mk m x x x x k k

-+=-?=++ 222

121212122

3(4)

()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+

以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122

y y

x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222

3(4)4(3)1640343434m k m mk

k k k

--+++=+++，整理得：2

71640m mk k ++=，解得：1222,7

k m k m =-=-

，且满足22

340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；

当27k m =-

时，2

:()7

l y k x =-，直线过定点2(,0)7

综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2

(,0).7

◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直

线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))

(,)((

222022220b a b a y b a b a x +-+-。 ◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。

此模型解题步骤：

Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围；

Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。 ◆迁移训练

练习1：过抛物线M:px y 22

=上一点P （1,2）作倾斜角互补的直线PA 与PB ，交M 于A 、B 两点，求证：直线AB 过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）

练习2：过抛物线M:x y 42

=的顶点任意作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求证：直线AB 过定点。（经典例题，多种解法）

练习3：过122

=-y x 上的点作动弦AB 、AC 且3=?AC AB k k ，证明BC 恒过定点。（本题参考答案：

1,51(-）练习:4：设A 、B 是轨迹C ：2

2(0)y px P =>上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且4

αβ+=

时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。（参考答案

()2,2p p -）

【答案】设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12,0x x ≠，又直线OA,OB 的倾斜角,αβ满足4

αβ+=，

故0,4

αβ<<

，所以直线AB 的斜率存在，否则，OA,OB 直线的倾斜角之和为πAB 方程为

y kx b =+，显然22

12,22y y x x p p ==

，将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，得2

220ky py pb -+=

由韦达定理知121222,p pb

y y y y k k

+=?=

① 由4παβ+=，得1＝tan tan()4

αβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122

122()4p y y y y p +- 将①式代入上式整理化简可得：

212p

b pk

=-，所以22b p pk =+，此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+22p pk +即()(2)20k x p y p +--=

所以直线AB 恒过定点()2,2p p -.

练习5：已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C 的方程;

(Ⅱ)已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.

【答案】解:(Ⅰ) A (4,0),设圆心C

2222,2

),,(EC ME CM CA MN

ME E MN y x +===

，由几何图像知线段的中点为x y x y x 84)422222=?+=+-?（

(Ⅱ) 点B (-1,0),

2121212122118,8,00),,(),,(x y x y y y y y y x Q y x P ==<≠+，由题知设.

080)()(88

811211221212222112211=+?=+++?+-=+?+-=+?y y y y y y y y y y y y x y x y 直线PQ

方程为:)8(1)(2

21112121y x y y y y x x x x y y y y -+=-?---=

1,088)(8)()(122

112112==?=++?-=+-+?x y x y y y y x y y y y y y

所以,直线PQ 过定点(1,0)

练习6：已知点()()1,0,1,0,B C P -是平面上一动点，且满足||||PC BC PB CB ?=?

（1）求点P 的轨迹C 对应的方程；

（2）已知点(,2)A m 在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD AE ⊥，判断：直

线DE 是否过定点？试证明你的结论.

【解】（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-?=?化简得得代入（5分）

).2,1(,14)2,()2(2的坐标为点得代入将A m x y m A ∴== ,044,422=--=+=t mt y x y t my x DE 得代入的方程为设直线

）（（，则设*016)44,4),(),,(221212211>+-=?-=?=+t m t y y m y y y x E y x D

4)(21)()2)(2()1)(1(212121212121++-?+++-=--+--=?∴y y y y x x x x y y x x AE AD

5)(2)4

4(4421212

2212221++-?++-?=y y y y y y y y 5)(242)(16)(212121221221++-?+?-+-?=y y y y y y y y y y

m m t t m t t m t 845605)4(2)4(4

)4(2)4(16)4(2222+=+-=+--+----=化简得

)1(23)1(434849622

22+±=-∴+=-++=+-m t m t m m t t ）即（即 0*,1252>?+-=+=∴）式检验均满足代入（或m t m t 1)2(5)2(+-=++=∴y m x y m x DE 或的方程为直线）不满足题意，定点（（过定点直线21).2,5(-∴DE ）

练习7：已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2

=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l

交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.

（I ）证明: OM OP ?为定值; （II ）若△POM 的面积为

，求向量OM 与OP 的夹角；（Ⅲ）证明直线PQ 恒过一个定点.

解：（I ）设点P y y P y y M ),,4(),,4(22

121、M 、A 三点共线， ,4

414,2

212

1211y y y y y y k k DM AM --=+=∴即 4,142121211=∴+=+y y y y y y 即 .54

4212

21=+?=?∴y y y y OP OM

(II)设∠POM =α，则.5cos ||||=??αOP OM

.5sin ||||,2

5=??∴=

?αOP OM S ROM 由此可得tan α=1. 又.45,45),,0(??=∴∈的夹角为与故向量OP OM απα

(Ⅲ)设点M y y Q ),,4(32

、B 、Q 三点共线，,QM BQ k k =∴ 31332222

331313

3133131311,,41444

(1)()4,40.11y y y y y y y y y y y y y y y y y y -+==-++-∴++=-+++=即即即分

,0444,4,432

322121=+++?∴=

=y y y y y y y y 即即.(*)04)(43232=+++y y y y

432232

32y y y y y y k PQ +=--=

)4(4

2322y x y y y y PQ -+=-∴的方程是直线

即.4)(,4))((32322

2322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即

由（*）式，,4)(43232++=-y y y y 代入上式，得).1(4))(4(32-=++x y y y

由此可知直线PQ 过定点E （1，－4）.

模型二：切点弦恒过定点

例题：有如下结论：“圆222r y x =+上一点),(00y x P 处的切线方程为2

00r y y y x =+”，类比也有

结论：“椭圆),()0(10022

22y x P b a b

y a x 上一点>>=+处的切线方程为12020=+b y y a x x ”，过椭圆C ：

=+y x 的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的两条切线，切点为 A 、B. （1）求证：直线AB 恒过一定点；

（2）当点M 在的纵坐标为1时，求△ABM 的面积。

【解】（1）设M 14),,(),(),)(,33

11221,1=+∈y y x x MA y x B y x A R t t 的方程为则 ∵点M 在MA 上∴13311=+ty x ① 同理可得13

322=+ty x ② 由①②知AB 的方程为)1(3,13

ty x ty x -==+即易知右焦点F （0,3）满足③式，故AB 恒过椭圆C 的右焦点F （0,3）

（2）把AB 的方程0167,14

)1(322

=--=+-=y y y x y x 化简得代入 ∴7167283631||=+?+=AB 又M 到AB 的距离3323

334|=+=d ∴△ABM 的面积21

316||21=??=

d AB S ◆方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以用

本题的书写步骤替换之，大家注意过程。

◆方法总结：什么是切点弦？解题步骤有哪些？

练习1：已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为32

设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.

(Ⅰ) 求抛物线C 的方程;

(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ?的最小值.

【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为2

4x cy =,由

c --=

结合0c >,解得1c =.所以抛物线C 的方程为2

4x y =.

(Ⅱ) 抛物线C 的方程为2

4x y =,即214y x =

,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中22

1212,44x x y y ==), 则切线,PA PB 的斜率分别为11

x ,212x ,

所以切线PA ：()1

112

x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=

因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.

(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ?=++=+++

联立方程0022204x x y y x y

--=??=?,消去x 整理得()222

00020y y x y y +-+=

由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2

120y y y =

所以()2

1212000121AF BF y y y y y x y ?=+++=+-+

又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,

所以2

0000001921225222y x y y y y ?

?+-+=++=++ ??

所以当01

y =-

时, AF BF ?取得最小值,且最小值为92.

练习2：如图,抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C 上,过M 作1

C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )012x =-,切线.MA 的斜率为12

. (I)求p 的值；(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹程.(),,.A B O O 重合于时中点为

【答案】

模型三：相交弦过定点

相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用。但是具体解题而言，相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大，解题过程一定要注意思路，同时注意总结这类题的通法。

例题：如图，已知直线L ：)0(1:122

22>>=++=b a b

y a x C my x 过椭圆的右焦点F ，且交椭圆C 于

A 、

B 两点，点A 、B 在直线2:G x a =上的射影依次为点D 、E 。连接AE 、BD ，试探索当m 变化时，直线AE 、

BD 是否相交于一定点N ？若交于定点N ，请求出N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由。

法一：解：)0,(),0,1(2

a k F = 先探索，当m=0时，直线L ⊥ox 轴，则ABED 为矩形，由对称性知，

AE 与BD 相交于FK 中点N ,且)0,21(2+a N 。

猜想：当m 变化时，AE 与BD 相交于定点)0,21

(2+a N 证明：设),(),,(),,(),,(12

2211y a D y a E y x B y x A ，当m 变化时首先AE 过定点N

2222222

222222

2222212

12121222121

212

2221()2(1)0 (80)

4(1)0(1)

,1122

()2011

()22

(()212(2AN EN AN EN x my a b m y mb y b a b x a y a b a b a m b a y y K K a a my a y y my y K K a a my a y y my y a mb a =+?+++-=?+-=??=+->>--==

----+--==----+--=?-+即分又而这是2222

22222222(1))(1)()0)

b a m m b a m b a mb mb a m b --?+-?-==+

∴K AN =K EN ∴A 、N 、E 三点共线同理可得B 、N 、D 三点共线

∴AE 与BD 相交于定点)0,21

(2+a N

法2：本题也可以直接得出AE 和BD 方程，令y=0，得与x 轴交点M 、N,然后两个坐标相减=0.计算量

也不大。

◆方法总结：方法1采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题一类的通法。这一类题在答题过程中要注意步骤。

例题、已知椭圆C ：2

214

x y +=，若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。

方法1：点A 1、A 2的坐标都知道，可以设直线PA 1、PA 2的方程，直线PA 1和椭圆交点是A 1(-2,0)和M ，通过韦达定理，可以求出点M 的坐标，同理可以求出点N 的坐标。动点P 在直线:(2)l x t t =>上，相当于知道了点P 的横坐标了，由直线PA 1、PA 2的方程可以求出P 点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M 、N 点的坐标，求出直线MN 的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t>2，就可以了，否则就不存在。

解：设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+，由

122

(2)44

y k x x y =+??+=?消y 整理得222

121(14)161640k x k x k +++-= 12x -和是方程的两个根，21121164214k x k -∴-=+则2

12814k x k -=+，1121414k y k =+，

即点M 的坐标为211

11284(,)1414k k k k -++，

同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为222

824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=-

12122

k k k k t -∴

=-+，直线MN 的方程为：121121

y y y y x x x x --=--，

∴令y=0，得211212x y x y x y y -=-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：4

x t

又

2t >，∴402t

椭圆的焦点为

∴

t =

故当t =

时，MN 过椭圆的焦点。方法总结：本题由点A 1(-2,0)的横坐标－2是方程222

121(14)161640k x k x k +++-=的一个根，结合

韦达定理，得到点M 的横纵坐标：2

112

12814k x k -=+，1121414k y k =+；其实由222(2)44y k x x y =-??+=?消y 整理得222

222(14)161640k x k x k +-+-=，得到22222164214k x k -=+，即2

222

28214k x k -=+，2222414k y k -=+很快。不过如果看到：将2112

164

214k x k --=+中的12k k 用换下来，1x 前的系数2用－2换下来，就得点N 的坐标2222222

824(,)1414k k k k --++，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少计算量。本题的关键是看到点P 的双重身份：点P 即在直线1A M 上也在直线A 2N 上，进而得到1

2122

k k k k t

-=-+，由直线MN 的方程121121y y y y x x x x --=--得直线与x 轴的交点，即横截距2112

x y x y x y y -=-，将点M 、N 的坐标代入，化简易得4x t =

，由4

3t =

，到此不要忘了考察3t =是否满足2t >。

◆方法2：先猜想过定点，设弦MN 的方程，得出N A M A 21、方程，进而得出与T 交点Q 、S ，两坐标相减=0.

如下：

时，猜想成立。显然，当韦达定理代入整理

）（

：易得、相较于若分别于得直线方程：）（）（设求出范围；）（联立椭圆方程，整理：设3

4)]

)(43()43(44-[)2)(2(1)

2)(2()

)(43())(3(24)2(2

)2(2))2(2

,(,)2(2,

);2(2

:),2(2:,,,,;01324,3:212

21212121212211221122

1122112221=

--+-++-=+---++-+-=

-----=-------=--=

?=-+++=t y y t t m m

x x x x y y t y y t y my t x y

t x y y y t x y t S t x y t Q S Q l x x y y l x x y y l y x N y x M my y m my x l S Q T N A M A MN

◆方法总结：法2计算量相对较小，细心的同学会发现，这其实是上文“切点弦恒过定点”的一个特例而已。因此，法2采用这类题的通法求解，就不至于思路混乱了。相较法1，未知数更少，思路更明确。

练习1：在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆x 29+y 2

=1的左右顶点为A,B ，右焦点为F ，设过点

T(t,m)的直线TA,TB 与椭圆分别交于点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，其中m>0,y 1>0,y 2<0.

⑴设动点P 满足PF 2－PB 2=4,求点P 的轨迹

⑵设x 1=2,x 2=1

，求点T 的坐标

⑶设t=9,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)

解析：问3与上题同。

练习2：已知椭圆E 中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)A -、(2,0)B 、31,2C ??

???

三点．过椭圆的右焦点F 任做一与坐标轴不平行的直线l 与椭圆E 交于M 、N 两点，AM 与BN 所在的直线交于点Q.

（1）求椭圆E 的方程：

（2）是否存在这样直线m ，使得点Q 恒在直线m 上移动？若存在,求出直线m 方程,若不存在,请说明理由.

解析：（1）设椭圆方程为2

1(0,0),mx my m n +=>> 将(2,0)A -、(2,0)B 、3(1,)2

C 代入椭圆E 的方程，得

41,

m m n =??

?+=??解得11,43m n ==. ∴椭圆E 的方程22143x y += （也可设标准方程，知2=a 类似计分）（2）可知：将直线:(1)l y k x =-

代入椭圆E 的方程22

143

x y +=并整理．得2222(34)84(3)0k x k x k +-+-= 设直线l 与椭圆E 的交点1122(,),(,)M x y N x y ，

由根系数的关系，得212122214(3)

,3434k x x x x k k -+==++

直线AM 的方程为：1111(1)

(2),(2)22

y k x y x y x x x -=

+=+++即由直线AM 的方程为：22(2)2y y x x =

--，即22(1)

(2)2

k x y x x -=-- 由直线AM 与直线BN 的方程消去y ，得

121212122121222(3)2[23()4]34()24

x x x x x x x x x x x x x x x -+-++==+-++-

22222222222

222

8(3)24462443434344846423434k k k x x k k k k k x x k k

????-+-+-+ ???+++????==

=+-+-+++ ∴直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．故这样的直线存在

模型四：动圆过定点问题

动圆过定点问题本质上是垂直向量的问题，也可以理解为“弦对定点张直角”的新应用。

例题 1.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>

2 y x b =+并且直线是抛物线x y 42=的一条切线。（I ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点)3

1,0(-S 的动直线L 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（I ）由0)42(:4222

=+-+???=+=b x b x y x y b

x y 得消去因直线x y b x y 42=+=与抛物线相切04)42(2

=--=?∴b b 1=∴b

222222

1,,2c a b e a b c a a a -===+∴=∴=.12

2=+y x （II ）当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：222

4()31(=++y x

当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：12

=+y x ,由???==??

?=+=++101

)34()31(22222

y x y x y x 解得即两圆相切于点（0，1）

因此，所求的点T 如果存在，只能是（0，1）.事实上，点T （0，1）就是所求的点，证明如下。当直线L 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点T （0，1）

若直线L 不垂直于x 轴，可设直线L ：3

=kx y 由01612)918(:12

312222

=--+???????

=+-=kx x k y y x kx y 得消去记点),(11y x A 、???

????

+-=

+=+9181691812),,(221221

2k x x k k x x y x B 则 1122(,1),(,1),TA x y TB x y =-=-又因为 1212121244

(1)(1)()()33

TA TB x x y y x x kx kx ?=+--=+--所以

916)(34)1(21212++-+=x x k x x k 09

918123491816)1(2

22=++?-+-?+=k k k k k ∴TA ⊥TB ，即以AB 为直径的圆恒过点T （0，1）,故在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件.

◆方法总结：圆过定点问题，可以先取特殊值或者极值，找出这个定点，再证明用直径所对圆周角为直角。

例题2：如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>

的离心率是2

，12,A A 分别是椭圆C 的左、右两个

顶点，点F 是椭圆C 的右焦点。点D 是x 轴上位于2A 右侧的一点，且满足

121122A D A D FD

+==。（1）求椭圆C 的方程以及点D 的坐标；

（2）过点D 作x 轴的垂线n ，再作直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点P ，直线l 交直线n 于点Q 。求证：以线段PQ 为直径的圆恒过定点，并求出定点的坐标。解：（1）12(,0),(,0),(,0)A a A a F c -，设(,0)D x ，

由1211

2A D A D

+=有

112x a x a +=+-，又1FD =，1,1x c x c ∴-=∴=+，于是

211c a c a +=+++-

1(1)(1)c c a c a ?+=+++-

，又22

c a a =

=， 1(1)(1)c c c ∴+=+++-

c ?-=，又0c >，1,1c a b ∴=∴==，椭圆2

2:12

x C y +=，且(2,0)D 。

（2）方法1：(2,2)Q k m +，设00(,)P x y ，由222

()121

y kx m

x kx m x y =+???++=?+=?? 222()2x kx m ?++=222(21)4220k x kmx m ?+++-=，

由于22222222

164(21)(22)021021k m k m k m m k ?=-+-=?-+=?=+（*），

而由韦达定理：*00

222422222121km km km k

x x k k m m ---=?===-++由（）， 20021k y kx m m m m ∴=+=-+=，21

(,)k P m m

∴-，

设以线段PQ 为直径的圆上任意一点(,)M x y ，由0MP MQ ?=有

2221212()(2)()((2))0(2)(2)(1)0k k k

x x y y k m x y x k m y m m m m m +

-+--+=?++-++++-=由对称性知定点在x 轴上，令0y =，取1x =时满足上式，故过定点(1,0)K 。

法2：本题又解：取极值，PQ 与AD 平行，易得与X 轴相交于F （1,0）。接下来用相似证明PF ⊥FQ 。

;22,,0000=+y y x x PQ y x P 切线方程为易得）（设)1,

0(0

y x D -易得 FD PH ⊥设

0090,;1;1;1;=∠??==-=

-==PFQ FDQ PHF FD DQ

PH HF DF y x DQ x HF y PH ，易得相似于固

问题得证。

练习：（10广州二模文）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b

+=>>的右焦点2F 与抛物线2

2:4C y x =的焦点重

合，椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为P ，25

||3

PF =.圆3C 的圆心T 是抛物线2C 上的动点,圆3

C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =. （1）求椭圆1C 的方程；

（2）证明:无论点T 运动到何处,圆3C 恒经过椭圆1C 上一定点.

（1）解法1：∵抛物线2

2:4C y x =的焦点坐标为(1,0)，∴点2F 的坐标为(1,0).

∴椭圆1C 的左焦点1F 的坐标为1(1,0)F -，抛物线2C 的准线方程为1x =-.设点P 的坐标为11(,)x y ，由

抛物线的定义可知211PF x =+,∵253

PF =

,∴1513x +=，解得123x =.由2

11843y x ==，且10y >,

得1y =

∴点P

的坐标为23,? ?. 在椭圆1C :22221(0)x y a b a b +=>>中， 1c =

.122||||4a PF PF =+==

∴2,a b ===∴椭圆1C 的方程为22143

x y +=. 解法2：∵抛物线2

2:4C y x =的焦点坐标为(1,0)，∴点2F 的坐标为(1,0).∴ 抛物线2C 的准线方程为

1x =-.设点P 的坐标为11(,)x y ，由抛物线的定义可知211PF x =+,

∵253

PF =,∴1513x +=，解得123x =.由2

11843y x ==，且10y >

得1y =

∴点P

的坐标为2(3.在椭圆1C :22221(0)x y a b a b +=>>中，1c =. 由222

221424

199c ,a b c ,.

b ?

?=?=+???+=?

解得2,a b ==∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. （2）证法1: 设点T 的坐标为00(,)x y ,圆3C 的半径为r ，

∵ 圆3C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =,∴

||4MN ==.

∴r =

∴圆3C 的方程为222

000()()4x x y y x -+-=+.()*

∵ 点T 是抛物线22:4C y x =上的动点,∴ 2

004y x =(00x ≥).∴20014

x y =

. 把20014

x y =

代入()* 消去0x 整理得:22200(1)2()024x y yy x y +---+=.()**

方程()**对任意实数0y 恒成立，∴2210,220,40.

x y x y ?-=??-=??+-=??

解得2,

0.x y =??=?

∵点(2,0)在椭圆1C :22

143

x y +=上,∴无论点T 运动到何处,圆3C 恒经过椭圆1C 上一定点()2,0. 证法2: 设点T 的坐标为00(,)x y ,圆3C 的半径为r ，

∵ 点T 是抛物线22:4C y x =上的动点,∴ 2

004y x =(00x ≥).

∵ 圆3C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =,∴

||4MN ==.∴

r =

∴ 圆3C 的方程为222

000()()4x x y y x -+-=+.()***

令00x =,则2004y x =0=,得00y =.此时圆3C 的方程为22

4x y +=.

由22224,

1,4

3x y x y

?+=??+=??解得2,0.x y =±??=?∴圆3C :22

4x y +=与椭圆1C 的两个交点为()2,0、()2,0-. 分别把点()2,0、()2,0-代入方程()***进行检验，可知点()2,0恒符合方程()***，点()2,0-不

恒符合方程()***.∴无论点T 运动到何处,圆3C 恒经过椭圆1C 上一定点()2,0.

圆锥曲线中的定值定点问题教学提纲

圆锥曲线中的定值定点问题

2019届高二文科数学新课改试验学案(10) ---圆锥曲线中的定值定点问题 1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 的离心率为2, 点(在C 上. （I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M , 证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值. 2.已知椭圆C ：过点A （2,0），B （0,1）两点. （I ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值. 22 221x y a b +=

3.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12 ，其左焦点到点()2,1P （I ）求椭圆C 的标准方程（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.

<圆锥曲线中的定值定点问题>答案 1.【答案】（I ）22 22184 x y +=（II ）见试题解析试题解析：【名师点睛】本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于22,a b 的两个方程,通过解方程组求出22,a b ,解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题. 2.

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型例题、已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++，整理得：22 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =- 时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)((2 222022220b a b a y b a b a x +-+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”） ◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。此模型解题步骤： Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。

专题3：圆锥曲线中的定值定点问题(解析版)

专题3：圆锥曲线中的定值定点问题（解析版） 1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 的离心率为2 ，短轴一个端点到右焦点F 的 . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点 F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，交y 轴于P 点，设 12,PA AF PB BF λλ==，试判断12λλ+是否为定值？请说明理由．【答案】（1）2 212 x y +=；（2）是定值-4，理由见解析. 【解析】【分析】（1）由题意可得a ， c ，b ，可求得椭的圆方程. （2）设直线l 的方程为()1y k x =-，与椭圆的方程联立整理得： ()2 2 22124220k x k x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由一元二次方程的根与系数的关系可得2122 212241222 12k x x k k x x k ?+=??+?-?=?+? ，再根据向量的坐标运算表示出1111x x λ=-， 2 22 1x x λ= -，代入计算可求得定值. 【详解】（1 ）由题可得a = ，又2 c e a = = ，所以1c = ，1b ==，因此椭圆方程为2 212 x y +=，（2）由题可得直线斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-，由()22 112 y k x x y ?=-??+=??消去y ，整理得：()2222124220k x k x k +-+-=，

设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122 2 1224122212k x x k k x x k ?+=??+?-?=?+? ，又()1,0F ，()0,P k -，则()11,PA x y k =+，()111,AF x y =--，由1PA AF λ=可得()1111x x λ=-，所以1111x x λ=-，同理可得2 22 1x x λ=-，所以 12121211x x x x λλ+= +--()()()12 121212121212 22111x x x x x x x x x x x x x x +-+-==---++2222 22 22 422 2121242211212k k k k k k k k --?++=--+ ++4=-，所以，12λλ+为定值-4. 【点睛】本题考查直线与椭圆的定值问题，关键在于联立方程组，得出交点的坐标的关系，将目标条件转化到交点的坐标上去，属于中档题. 2．已知椭圆C ：()22 2210x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过点31,2??-- ???，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()1,0作直线l 与椭圆相较于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在定点Q ，使得两条不同直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）22 143 x y +=；（2）存在(4,0)Q ，使得两条不同直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称. 【解析】【分析】（1）将点坐标代入方程，结合离心率公式及222a b c =+ ，即可求出2,a b ==，进而可求得椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 的方程为1x my =+，与椭圆联立，可得12y y +，12y y 的表达式，根据

高考圆锥曲线中的定点定值专题(附答案)

高考圆锥曲线中的定点定值问题定点问题是常见的考题形式，解决这类问题的关键就是引进变参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和b 的一次函数关系式，代入直线方程即可类型一：“手电筒”模型例题、已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+?? +=?得222 (34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++，整理得：2 2 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2 :()7 l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)(( 2 222022220b a b a y b a b a x +-+-。 ◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。

圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)

第四讲圆锥曲线中的定点定值问题一、直线恒过定点问题例1. 已知动点E 在直线:2l y =-上，过点E 分别作曲线2 :4C x y =的切线,EA EB ，切点为 A 、 B , 求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标；解：设),2,(-a E )4,(),4,(2 22211x x B x x A ，x y x y 2 1 4'2=∴= , )(21 41121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(2 1 421121x a x x -=--∴整理得：082121=--ax x 同理可得：2 22280x ax --= 8 ,2082,2121221-=?=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程 )2 4,(2+a a AB 中点为可得，又22 12 121212124442 AB x x y y x x a k x x x x - -+====-- 2(2)()22a a AB y x a ∴-+=-直线的方程为，2()2 a y x AB =+∴即过定点0,2. 例2、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012 x x y y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n 则0000001 212022x n m y x n m y x y ?=-?+??-??--=??，解得3200020432 0000 2002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ?+--=?-??+--?=?-? ∴ 直线PN 的斜率为4320000032 00004288 2(34) n y x x x x k m x y x x -++--==---+

高考数学专题复习-圆锥曲线定值定点问题

圆锥曲线问题的解题规律可以概括为： “联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布范围，曲线定义不能忘，引参、用参巧解题，分清关系思路畅、数形结合关系明，选好，选准突破口，一点破译全局活。定点、定直线、定值专题已知直线l ： y=x+，圆O ：x 2+y 2=5，椭圆E ：过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值． 2．过点作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M 、N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由． 3．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2 ）是椭圆，（a ＞b ＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2，O 为坐标原点：（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k 的值；（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． 4．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的倍，且椭圆 C经过点M．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过圆O：上的任意一点作圆的一条切线l与椭圆C交于A、B两点．求证：为定值． 5．已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是k1，k2且．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设直线l：y=kx+m与曲线C交于不同的两点M，N． ①若OM⊥ON（O为坐标原点），证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值 ②若直线BM，BN的斜率都存在并满足，证明直线l过定点，并求出这个定点．

圆锥曲线的定点、定值和最值问题

圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建 . 一、主要知识及主要方法： 1. 形式出现，特殊方法往往比较奏效。 2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。 3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值. 二、精选例题分析【举例1】（05广东改编）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO BO ⊥．（Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程；（Ⅱ）AOB △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【举例2】已知椭圆2 2142x y +=上的两个动点,P Q 及定点1,2M ? ?? ，F 为椭圆的左焦点，且PF ，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ； ()2设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标. 【举例3】（06全国Ⅱ改编）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且 AF FB λ=u u u r u u u r （0λ>）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线（切线斜率分别为0.5x A ，0.5x B ），设其交点为 M 。（Ⅰ）证明FM AB ?u u u u r u u u r 为定值；

圆锥曲线中的定点和定值问题的解题方法

寒假文科强化（四）：圆锥曲线中的定点和定值问题的解答方法【基础知识】 1、对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决. 2、在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效. 题型一：定点问题法一：特殊探求，一般证明；法二：设该直线（曲线）上两点的坐标，利用点在直线（曲线）上，建立坐标满足的方程（组），求出相应的直线（曲线），然后再利用直线（曲线）过定点的知识加以解决。例1 设点A 和B 是抛物线?Skip Record If...?上原点以外的两个动点，且?Skip Record If...?，求证直线?Skip Record If...?过定点。解：取?Skip Record If...?写出直线?Skip Record If...?的方程；再取?Skip Record If...?写出直线?Skip Record If...?的方程；最后求出两条直线的交点，得交点为?Skip Record If...?。设?Skip Record If...?，直线?Skip Record If...?的方程为?Skip Record If...?，由题意得?Skip Record If...?两式相减得 ?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?， ?Skip Record If...?直线?Skip Record If...?的方程为?Skip Record If...?，整理得?Skip Record If...? ① 又?Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...? O A B

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

2017届高三第一轮复习专题训练之圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型例题、（07山东）已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得222 (34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++，整理得：22 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =- 时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)((2 222022220b a b a y b a b a x +-+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”） ◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。（参考优酷视频资料尼尔森数学第一季第13节）此模型解题步骤： Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。 ◆迁移训练练习1：过抛物线M:px y 22 =上一点P （1,2）作倾斜角互补的直线PA 与PB ，交M 于A 、B 两点，求证：直线AB 过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）

(完整版)专题——圆锥曲线定值问题

高三二轮一一圆锥曲线中的“定值”问题概念与用法圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点.解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值?具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值. 基本解题数学思想与方法在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征. 解答此类问题的基本策略有以下两种： 1、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关. 2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关. 题型示例一?证明某一代数式为定值： 1、如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB. 解：由已知条件，得 F(0, 1), Z>O ?设 A(x 1, y 1), B(x 2, y 2).由 AF =入FB , 即得 (一x 1, 1 — y) = ?(X 2, y 2 — 1),所以 —X1=入2 ① 1 — y1 =心2— 1)② 若M 为定点，证明：直线 EF 的斜率为定值; 解：设M (y 0 ,y o ),直线 ME 的斜率为 k(l>0)，直线 MF 的斜率为—k , 直线 ME 方程为y y o k(x y (). ???由 y o k (x yo) ，消 x 得 ky 2 y o (i ky o ) o 解得 y F 1 ky o X F 2 (1 ky o ) 厂；同理 1 ky ,X F 1 ky 2 y E y F X E X F 1 k (1 ky 。) ky o 1 ky o 2 (1 ky °) 2 k 4ky o 2y o (定值) k 2 所以直线EF 的斜率为定值 k 2 ▲利用消元法 2、已知抛物线x 2= 4y 的焦点为 F , A 、B 是抛物线上的两动点, 且AF =入FB B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M .证明FM -AB 为定值

圆锥曲线定点、定直线、定值问题

定点、定直线、定值专题 1、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l :y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为22 221(0)x y a b a b +=>> 3,1a c a c +=-=，2 2,1,3a c b ===22 1.43 x y ∴+ = (II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由2214 3y kx m x y =+?? ?+=??得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +->. 2121222 84(3) ,.3434mk m x x x x k k -?+=-?=++222 2 121212122 3(4) ()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ?=-，1212122 y y x x ∴ ?=---， (最好是用向量点乘来)1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++， 2271640m mk k ++=，解得1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +->. 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =- 时，2:()7l y k x =-，直线过定点2 (,0).7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 2、已知椭圆C 的离心率e = ()1A 2,0-，()2A 2,0。（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线x my 1=+与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S 。试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。

圆锥曲线中的定值定点问题

圆锥曲线中的定值定点问题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

2019届高二文科数学新课改试验学案(10) ---圆锥曲线中的定值定点问题 1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 点(在C 上. （I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M , 证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值. 2.已知椭圆C ：22 221x y a b +=过点A （2,0），B （0,1）两点. （I ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值. 3.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12 ，其左焦点到点()2,1P （I ）求椭圆C 的标准方程（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标. <圆锥曲线中的定值定点问题>答案 1.【答案】（I ）22 22184 x y +=（II ）见试题解析

试题解析：【名师点睛】本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于22,a b 的两个方程,通过解方程组求出22,a b ,解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题. 2.

圆锥曲线专题——定值定点问题(附解析)

第1页（共15页）圆锥曲线专题——定值定点问题 1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1 2 ，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，且2 2OA OB b k k a =-，判断AOB ?的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．【解答】解：（1）椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切， ∴b == 又222a b c =+，1 2 c e a = =，解得24a =，23b =，故椭圆的方程为22 143 x y +=． ()II 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22 14 3y kx m x y =+?? ?+=??化为222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， △22226416(34)(3)0m k k m =-+->，化为22340k m +->． ∴122 834mk x x k +=-+，21224(3)34m x x k -=+． 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+， 3 4 OA OB k k =-，

第2页（共15页） ∴ 121234y y x x =-，12123 4 y y x x =-， 22222 3(4)34(3)34434m k m k k --=- + +，化为22 243m k - =， ||AB = = 又114d = =- = ， 1 ||2 S AB d === 22 === （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过F 作直线l 与椭圆交于A 、B 两点，问：在x 轴上是否存在点P ，使PA PB 为定值，若存在，请求出P 点坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（ 1）由题意知1c =，过F 且与x 轴垂直的弦长为3，则223b a =，即222() 3a c a -=，则2a =，b ∴椭圆E 的标准方程为22143 x y +=；（2）假设存在点P 满足条件，设其坐标为(,0)t ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，当l 斜率存在时，设l 方程为(1)y k x =-，联立22 (1) 3412 y k x x y =-??+=?，整理得：2222(43)84120k x k x k +-+-=，△0>恒成立．

圆锥曲线中的定点,定值问题

圆锥曲线中的定点，定值问题《学习目标》： 1. 探究直线和椭圆，抛物线中的定点定值问题 2. 体会数形结合，转化与化归的思想 3. 培养学生分析问题，逻辑推理和运算的能力活动一根深蒂固：题根：已知AB 是圆O 的直径，点P 是圆O 上异于A,B 的两点，k 1，k 2是直线PA,PB 的斜率，则k 1k 2= -1. 问题1 这是一个师生都很熟悉的结论，这个结论能否类比推广到其它一些圆锥曲线呢？问题2 如图，点P 是椭圆x 2 4＋y 2 ＝1上除长轴的两个顶点外的任一点，A,B 是该椭圆长轴的2个端点，则直线PA,PB 的斜率之积为______. 问题 3 椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 长轴的两个顶点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线斜率之积为______ ．问题4 .证明：设 A 、B 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上关于原点对称的两点，点P 是该椭圆上不同于A,B 的任一点，直线PA,PB 的斜率为k 1，k 2,则k 1k 2 为2 2b a -

活动二根深叶茂：问题5（2012年南通二模卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D.若cos∠F 1BF 2＝725，则直线CD 的斜率为__________．问题6：（2011年全国高考题江苏卷18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆12 42 2=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k 。（1）略（2）略（3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB

圆锥曲线中的定值定点问题

2019届高二文科数学新课改试验学案(10) ---圆锥曲线中的定值定点问题 ??????1?0a?b:C22,C上的离心率为在, 已知椭圆1.. 22yx2 点22ba2C的方程；）求（I lOlCABABM, ,与线段有两个交点,（II）直线中点为不经过原点,且不平行于坐标轴,OMl的斜率乘积为定值证明：直线. 的斜率与直线 22yx??1过点A（2,0），B（0,1）两点已知椭圆2.C：. 22ba）求椭圆C的方程及离心率；（I ，求轴交于点直线轴交于点M，PB与xNyPA上，为第三象限内一点且在椭圆设（Ⅱ）PC直线与. 证：四边形的面积为定值ABNM

????2,1P0a?1b??C:?10，其左焦点到点椭圆3.的距离为的离心率为 22yx1 22ab2C的标准方程I）求椭圆（C A,BA?m,Bl:y?kx AB为直径的圆与椭圆相交于，且以（Ⅱ）若直线不是左右顶点）两点（Cl过定点，并求出该定点的坐标. 过椭圆的右顶点。求证：直线

<圆锥曲线中的定值定点问题>答案22yx 1（II）见试题解析）【答案】（1.I2248 试题解析：

2222b,a,ab,,本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于通过解方程组求出的两个方程【名师点睛】解析几何中的证明问题通常有以下几类：解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,. 证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题 2. c3??e．2a ????的面积为定值．从而四边形再证明定点、定值、定线，解决定值定点方法一般有两种：(1)

从特殊入手，求出定点、【名师点睛】直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线与变量无关；(2)应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的定值、定线.. 运用可有效地简化运算 1c??,0?cF:1:3ce??2??a:b:），设左焦点3.解：（112a 22????1c?10PF???c?20??1?，解得122yx1??3a?2,b???椭圆方程为34??2,0D 1）可知椭圆右顶点（2）由（??????2,0y,y,BDxA,x AB，以设为直径的圆过21210??DB?DA DBDA?DBDA??即 ????y?2,xDA?yx?2,?,DB2211 ???????4?yy?x??x?yy?2????DADBxx2?x2x0①2121211212 y?kx?m?????222??0?8mkx?3?4k43xm?联立直线与椭圆方程： ?22123y?x?4???23m?48mk?x?x??,xx? ??????22mx?mk?kx?mx?k?x?yy?xkx?m 212122?334k4k? 21212211??2234km?22k?mk3m128mk?2???m?，代入到① ??23m4?22k?3m128mkDA?DB??2??4??0 2224k?34k4?3k?3 2224k?34k?34k?32222km12??12?34m16?12?16mk?k??0 ????22?02kkmk?0??7m?m?72?16mk?4 2?34k 2m??2k k???m或72222?????l,0k?l:y?kxx?k?km??恒过当时，????

圆锥曲线中的定点定值问题

第四讲圆锥曲线中的定点定值问题、直线恒过定点问题例1.已知动点E 在直线l : y 2上，过点E 分别作曲线C : x 2 4y 的切线EA, EB ，直线10过P 点与直线I 垂直，点M （ -1 , 0）关于直线10的对称点为 N 直线PN 恒过一定点G 求点G 的坐标。 x ° (y y °) 2y °(x 沧)，即 2y °x x °y ^y 。2 2 解：设 E(a, 2), AX,竺)，B%,^), 4 4 2 x y 4 1 y 1 X 2 2 过点A 的抛物线切线方程为y x1 4 1 X 1(X 2 xj, 切线过E 点, 切点为A 、B ,求证：直线 AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标; 2 X i 1 2 x 1(a x 1),整理得：x 1 2ax 1 8 0 2 4 同理可得： 2 x 2 2ax 2 8 0 2ax 8 0的两根 X 1 2 a, X 1 x 2 8 可得AB 中点为（a, 4 ），又k AB 上 y X 1 x 2 2 X 1 X 1 X | X 2 a 4 2 2 直线AB 的方程为y e 2) 評a ），即y 即2 AB 过定点（0,2 ）. 例1改为：已知A 、B 是抛物线y 2 定点（2p,0）. 2 px （ p 0）上两点，且OA OB ,证明：直线AB 过 x 2 例2、已知点P （x 0,y °）是椭圆E : 一 2 1上任意一点，直线 x °x 的方程为2 解：直线l 0的方程为 x 1, x 2是方程x 2

设M( 1,0)关于直线I 。的对称点 N 的坐标为N (m, n) 2y o x o 2y o 1 X °n 2x 。3 3x o 2 4x o 4 解得直线 x °y ° x o 2 4 2x o 4 4x 。3 4x o 2 8x o 2 2y o (4 x o ) PN 的斜率为 y o x o 4 x o 4x 03 2x 02 8x 0 8 3 2 2y o ( x o 3x o 4) 从而直线 PN 的方程为: y o x 04 4x 03 2x 02 8 x 0 8 (x x o ) 3 2 2y o ( X o 3x o 4) 2y o ( X 。3 3x o 2 4) X o 4 4x o 3 2x o 2 8x 。8 从而直线PN 恒过定点G(1,0) 二、恒为定值问题例3、已知椭圆两焦点 F |、F 2在y 轴上，短轴长为2 2，离心率为一， 2 P 是椭圆在第 UJU UULU 象限弧上一点，且 PF 1 PF 2 1，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线 PA PB 分别交椭圆于A 、B 两点。 (1) 求P 点坐标; (2) 求证直线 AB 的斜率为定值; 解：(1) 2 设椭圆方程为占 a 2 x _ 1，由题意可得 b 2 a 2,b ■ 2, c 2 2 ，所以椭圆的方程为 2 y 4 则 F 1(0, 2),F 2(0, 2)，设 P(x o ,y o )(x o o, y o 0) uju r UULT l U UUT 则 PF 1 (心」2 y o ), PF 2 x o , y o ), UU LU UUU UUUU … … PF 1 PF 2 x 2 (2 y 2) 1 2 Q 点P(X o , y o )在曲线上，则' 2 2 y o 4 1. 2 X o 2 y o

圆锥曲线定值定

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

圆锥曲线问题的解题规律可以概括为： “联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布范围，曲线定义不能忘，引参、用参巧解题，分清关系思路畅、数形结合关系明，选好，选准突破口，一点破译全局活。定点、定直线、定值专题（2012?菏泽一模）已知直线l：y=x+，圆O：x2+y2=5，椭圆E：过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值． 2．（2012?自贡三模）；过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M、N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由． 3．（2013?眉山二模）设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆，（a＞b＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2， O为坐标原点：（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． 4．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的倍，且椭圆C经过点M．（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过圆O：上的任意一点作圆的一条切线l与椭圆C交于A、B两点．求证：为定值． 5．已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是k1，k2且．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设直线l：y=kx+m与曲线C交于不同的两点M，N． ①若OM⊥ON（O为坐标原点），证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值 ②若直线BM，BN的斜率都存在并满足，证明直线l过定点，并求出这个定点． 6．（2011?新疆模拟）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q； 7．已知椭圆Ω的离心率为，它的一个焦点和抛物线y2=﹣4x的焦点重合．（1）求椭圆Ω的方程；（2）若椭圆上过点（x0，y0）的切线方程为． ①过直线l：x=4上点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线AB恒过定点C； ②是否存在实数λ使得|AC|+|BC|=λ?|AC|?|BC|，若存在，求出入的值；若不存在，说明理由．