高中数列知识点大全

高中数列知识点大全

ps：整理不易，点赞支持

已完结的地方：

一、等差数列

二、斐波那契数列

三、数列的通项公式

四、数列的放缩

尚未完结的地方：

一、等比数列的部分例题

二、拓展：提丢斯数列（全国卷考到了）

三、周期数列的部分例题

四、求和

可能要个目录

一、等差数列

1、等差数列的基本概念和基本公式

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列。（1）递推关系：

a_{n+1}-a_{n}=d（常数），或 a_{n}-a_{n-1}=d（n\in

N^\ast且n\geq2)。（2）通项公式：a_{n}=a_1+（n-1）d 。推广形式： a_{n}=a_m+（n-m）d （当 d\ne0 时， a_n 是关于 n 的一次函数）（3）求和公式：

S_{n}=\dfrac{n\left( a_{1}+a_{n}\right) }{2}=na_{1}+\d frac{n\left( n-1\right) }{2}d (当 d\ne0 时， S_n 是关于 n 的二次函数，且常数项为零）

例题：

2011 湖北文 9

2、等差数列的主要性质

等差数列的性质主要包括以下12个方面。

（1）若 n+m=p+q ，则 a_n+a_m=a_p+a_q 。（反之

不一定成立，如常数数列）（2）等差中项：若三个

数 a,b,c 成等差数列，则称 b 为 a 和 c 的等差中

项，即 2b=a+c ，可将这三个数记为：b-d ， b ，

b+d 。

例题一：

例题二

（3） a_k，a_{k+m}，a_{k+2m}，…构成以 md 为

公差的等差数列。（4）在等差数列中依次取出若干

个n项，其和也构成等差数列，即S _ { n } , S _

{ 2 n } - S _ { n } , S _ { 3 n } - S _ { 2

n } , \dots \ldots 也为等差数列，公差为

n^2d ；图示理解：\underbrace { a _ { 1 } , a _

{ 2 } , \cdots , a _ { m } } _ { s _

{ m } },\underbrace { a _ { m + 1 } , a _ { m

+ 2 } , \cdots , a _ { 2 m } } _ { s _ { 2 m }

- s _ { m } },\underbrace { a _ { 2m + 1 } , a _ { 2m + 2 } , \cdots , a _ { 3 m } } _ { s _ { 3 m } - s _ { 2m } },（5）两个等差数列

\left\{ a _ { n } \right\}与\left\{ b _ { n } \right\}的和差的数列 \left\{ a _ { n } \pm b _ { n } \right\} ，\left\{ pa _ { n } \pm qb _

{ n } \right\} 仍为等差数列。（6）数列

\left\{ a _ { n } \right\} 中，若项数成等差数

列，则对应的项也成等差数列。

例题一：

例题二

例题三

（7）若数列 \left\{ a _ { n } \right\} 是等差

数列，前 n 项和为S_n ，则

\left\{ \dfrac{s_{n}}{n}\right\} 也是等差数

列，其首项和 \left\{ a _ { n } \right\} 的首项一样，公差是 \left\{ a _ { n } \right\} 的公差的 \dfrac{1}{2} 。

例题一：

例题二：

例题三

例题四

（8） S _ { 2 n - 1 } = ( 2 n - 1 ) a _

{ n }。（9）等差数列 \left\{ a _ { n }

\right\} ,\left\{ b_ { n } \right\}的前 n 项和分别为 S_n，T_n ,则 \frac { a _ { n } } { b _ { n } } = \frac { S _ { 2 n - 1 } } { T _ { 2 n - 1 } }。证明过程：\frac { a _ { m } } { b _ { m } } = \frac { \frac { a _ { 1 } + a _ { 2m - 1 } } { 2 } } { \frac { b _ { 1 } + b _ { 2m - 1 } } { 2 } } = \frac { \frac { a _ { 1 } +

a _ { 2 m - 1 } } { 2 } \times ( 2 m - 1 ) }

{ \frac { b _ { 1 } + b _ { 2m - 1 } } { 2 }

\times ( 2 m - 1 ) } = \frac { S _ { 2 m -

1 } } { T _ {

2 m - 1 } }

例题一：

例题二

例题三

（10）\left\{ a _ { n } \right\}是等差数列的充要条件是 S_n=An^{2}+Bn 。（ A ， B 可以为零）

（11）若数列\left\{ a _ { n } \right\}的前 n

项和 S_n=An^{2}+Bn+C （A ， B是常数，

C\ne0），则数列 \left\{ a _ { n } \right\} 从

第二项起是等差数列。

例题一

2008 安徽文 15

例题二

（12）设 S_偶与 S_奇分别为该数列的所有偶数项

之和与所有奇数项之和，则有：①若 \left\{ a _

{ n } \right\} 共有 2n-1 项（ a_n 为中间项），

则 S_{2n-1}=(2n-1)a_n ， S_奇-S_偶=a_n ，

\frac {S _ {奇 } } { S _ { 偶 } }=\frac { n }

{n-1} 。②若 \left\{ a _ { n } \right\} 共有

2n 项（ a_n 和 a_{n+1} 为中间项），则

S_{2n}=n(a_n+a_{n+1}) ， S_奇-S_偶=nd ， \frac

{S _ {奇 } } { S _ { 偶 } }=\frac { a_n }

{a_{n+1}} 。

3、等差数列前n项和的最值的求法

从本质上讲，研究数列和的最值问题的方法与研究数列通项最值问题的方法是一致的，当 S_n 的表达式已给出或以求出时，最值问题的研究可采用以下方法。

（1）图像分析法：利用基本初等函数的图像及图像的变换来求解。若 a _ { 1 } , a _ { 2 } , \dots , a _ { m } >

0 , a _ { m + 1 } , a _ { m + 2 } , \ldots < 0 则前 m 项和 S_m 最大；若 a _ { 1 } , a _ { 2 } , \dots , a _ { m } < 0 , a _ { m + 1 } , a _ { m + 2 } , \ldots > 0 则前 m 项和 S_m 最小．（2）函数性质法：如二次函数、指数函数、反比例函数及复合函数等。由上述性质（10）等差数列前n项和 S_n＝An^2＋Bn ( A,B 是常数 n\in N )，则等差数列可按二次函数求最值．设 a_1>0(或a_1<0) ，且

S_p=S_q若 p+q 是偶数，则 n = \frac { p + q } { 2 } 时， S_n 最大（最小）；若 p+q 是奇数，则 n = \frac { p + q \pm 1 } { 2 } 时， S_n 最大（最小）。（3）通项分析法：①若 a_n>0 恒成立，则 S_n 单调递增， S_1 最小；若

a_n<0 恒成立，则 S_n 单调递减， S_1 最大。②若数列

S_n 先增后减，则其有最大值，取到最大值的条件是

\begin{cases}S_{n}\geq S_{n-1}\\ S_{n}\geq

S_{n+1}\end{cases}（n\geq2），即

\begin{cases}a_{n}\geq 0\\ a_{n+1}\leq 0\end{cases}（n\geq2）。若数列S_n 先减后增，则其有最小值，取到最小值的条件是 \begin{cases}S_{n}\leq S_{n-1}\\

S_{n}\leq S_{n+1}\end{cases}（n\geq2），即

\begin{cases}a_{n}\leq 0\\ a_{n+1}\geq 0\end{cases}（n\geq2）。

例题一

例题二

4、等差数列的判断方法

判断等差数列的方法主要有四种:定义法、通项法、中项法、求和法。只有定义法才能解决大问题，后三者才能加快小问题的解决。

（1）定义法： a_{n+1}-a_n=d （常数）；（2）通项法：

a_{n}=a_1+（n-1）d ；（3）中项法：

2a_{n+1}=a_n+a_{n+2} ；（4）求和法：S_n＝An^2＋Bn ( A,B 是常数 n\in N )

例题一：

2016 天津理 18

例题二

例题三

二、等比数列

1、等比数列的基本概念和基本公式

如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项之比等于同一个常数，那么这个数列就叫几何级数。

（1）递推关系\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=q( q\ne0) 或

\dfrac{a_{n}}{a_{n-1}}=q（q\ne0，n\in N^\ast且

n\geq2)。（2）通项公式：a_{n}=a_{1}q^{n-1}（a_1 q\ne0)推广形式：a_{n}=a_{n}q^{n-m} （3）求和公式：

S_{n}=\begin{cases}na_{1},q=1\\ \dfrac{a_{1}(1-

q^{n})}{1-q}=\dfrac{a_{1}-a_nq}{1-q} ,q\ne0且

q\ne1\end{cases}

2、等比数列的主要性质

等差数列的性质主要包括以下12个方面。

（1）若 n+m=k+l=2p ，则

a_n·a_m=a_k·a_l=a_p^{2}。（反之不一定成立，

如非零常数数列）（2）当数列

\left\{ a_{n}\right\}是有穷数列时，则与首末两

项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积，即

a_1·a_n=a_2·a_{n-1}=a_3·a_{n-

2}=…=a_m·a_{n-m+1} 。（3）等比中项：若三个

数a,G,b成等比数列，则称 G 为a和b的等比中项

①由定义知 ab\ne0 ， G^2=ab ，即

G=\pm\sqrt{ab} 。②只有同号的两个数才有等比中

项，等比中项有两个，它们互为相反数。③三个数

a,G,b 成等比数列的一个必要不充分条件是G^2=ab。

例题一：

（4）数列\left\{ \lambda a_{n}\right\}

（ \lambda 为不等于0的常数）仍是公比为 q 的等

比数列；若数列\left\{ b_{n}\right\}是公比为

q’的等比数列，则数列\left\{ a_{n}b_n\right\}

是公比qq’的等比数列；数列

\left\{ \dfrac1{a_{n}}\right\} 是公比

\frac{1}{q} 的等比数列；数列 \left\{\left|

a_n\right|\right\} 是公比 \left| q \right| 的

等比数列。（5）在数列\left\{ a_{n}\right\}

中，每隔 k（k\in N^*) 项取出一项，按原来的顺序

排列，所得数列认为等比数列，且公比为

q^{k+1} 。（7）当数列\left\{ a_{n}\right\}是

各项均为正值的等比数列时，数列\left\{lg

{ a_{n}}\right\}是公差为 lg q 的等差数列。

（8）既是等差数列又是等比数列的数列是非零的常

数列。

例题一：

北京朝阳区2021质量检测

（9）当 q=1 时， \frac{S_n}{S_m} =

\frac{n}{m} ；当 q\ne\pm1 时， \frac{S_n}{S_m} = \frac{1-q^n}{1-q^m} 。（10）在数列

\left\{ a_{n}\right\}中,连续相邻 k 项的和（或

积）构成公比为 q^k （或 q^{k^2} )的等比数列。

（11）当 q\ne-1 ，或q=-1 且 k 为奇数时，S _

{ n } , S _ { 2 n } - S _ { n } , S _ { 3 n }

- S _ { 2 n } , \dots \ldots也为等比数列,公比

为q^{m} ， m\geq2 . 图示理解： \underbrace { a _ { 1 } , a _ { 2 } , \cdots , a _ { n } } _

{ S _ { n } },\underbrace { a _ { n + 1 } , a

_ { n + 2 } , \cdots , a _ { 2 n } } _ {S _

{ 2n } - S _ { n } },\underbrace { a _ { 2n +

1 } , a _ { 2n+

2 } , \cdots , a _ {

3 n} } _

{ S_ { 3 n } -S_ { 2n } }, （12）等比数列

\left\{ a_{n}\right\}的连续 n 项的积构成的数

列：T _ { m } , \frac { T _ { 2 m } } { T _

{ m } } , \frac { T _ { 3 m } } { T _ { 2

m } } , \dots仍为等比数列，公比为 q^{k^2} 。

（13）设S_偶与S_奇分别为该数列的所有偶数项之

和与所有奇数项之和，若项数为 2n ，则\frac {S _ {偶 } } { S _ { 奇} }=q；若项数为 2n+1，则

\frac {S _ {奇 } -a_1} { S _ { 偶 } }=q。

3、等比数列前n项和的最值的求法

等比数列单调性判断方法：

（1）当 q>1,a_1>0 或 0

\left\{ a_{n}\right\}是递增数列；（2）当

q>1,a_1<0 或 00 时，

\left\{ a_{n}\right\}是递减数列；（3）当 q=1 时，\left\{ a_{n}\right\}是常数列；（4）当

q<0 时，\left\{ a_{n}\right\}是摆动数列；

例题一：

河南湘豫名校2021月考

4、等比数列的判定方法

等比数列的判定方法主要有以下几种

（1）定义法： \frac{a_{n+1}}{a_n}=q（q\ne0，

n\in N^*) （常数）；（2）通项法：

a_{n}=a_1q^{n-1} ；（3）中项法：

a_{n+1}^2=a_na_{n+2} ；（4）求和法：S_n＝

Aq^n-A (其中 A=\frac{a_1}{q-1} )

三、斐波那契数列（兔子数列）：

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分

割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo

Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为

“兔子数列”，指的是这样一个数列： 0、1、1、

2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那

契数列以如下被以递推的方法定义： F(0)=0，

F(1)=1,F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n≥ 2，n∈ N*）

在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数

列都有直接的应用，为此，美国数学会从 1963 年起

出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂

志，用于专门刊载这方面的研究成果。

性质：

(1)通项公式： a _ { n } = \frac { \sqrt { 5 } }

{ 5 } \left[ \left( \frac { 1 + \sqrt { 5 } }

{ 2 } \right) ^ { n } - \left( \frac { 1 -

\sqrt { 5 } } { 2 } \right) ^ { n } \right]，

(如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理

数的一个范例。)

证明：

设

得

构造方程

解得

所以：

由(1)、(2)式得：

令： (3)\times\frac{1+\sqrt{5}}{2}-(4)\times\frac{1-\sqrt{5}}{2}

化简可得：

（2）递推关系：从第三项开始，每一项都等于前两

项之和：a _ { n + 2 } = a _ { n + 1 } + a _

{ n }（n\geq3）（3）斐波那契数列的偶数项之和：

a _ { 2 } + a _ { 4 } + a _ { 6 } + \dots +a _

{ 2 n } = a _ { 2 n + 1 } - 1（4）斐波那契数列

的奇数项之和：a _ { 1 } + a _ { 3 } + a _ { 5 } + \dots +a _ { 2 n - 1 } = a _ { 2 n } 即 \sum

_ { i \neq 1 } ^ { n } \alpha _ { 2 i - 1 } =

a _ { 2 n }（5）斐波那契数列的前n项之和：{ S }

_ { n } = a _ { 1 } + a _ { 2 } +a _ { 3 } +

\dots + a _ { n } = a _ { n + 2 } - 1（6）斐波

那契数列的前n项的平方和：a _ { 1 } ^2+ a _

{ 2 }^2 +a _ { 3 }^2 + \dots + a _ { n }

^2=a_na_{n+1}（7）斐波那契数列的第 n+2 项同时

也代表了集合 \{1,2,···,n\} 中所有不包含相邻

相邻正整数的子集。（8）第 3,6,9 等项的数字能被

2 整除；第 4,8,12 等项的数字能被

3 整除；第

5,10,15 等项的数字能被 5 整除；其余以此类推。

例题一：

例题二：

例题三

四、周期性数列

1、周期数列的定义：

对于数列\left\{ a_{n}\right\} ，如果存在一个常数 T

\left( T \in N ^ { + } \right), 使得对任意的正整数

n>n_0 恒有a _ { n + T } = a _ { n } 成立，则称数列

\left\{ a_{n}\right\} 是从第 n_0 项起的周期为 T 的周期数列。若 n _ { 0 } = 1 ，则称数列\left\{ a_{n}\right\} 为纯周期数列，若 n _ { 0 } \geq 2 ，则称数列

\left\{ a_{n}\right\} 为混周期数列， T 的最小值称为最小正周期，简称周期.

2、周期数列的性质

（1）周期数列是无穷数列，其值域是有限集；

（2）周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）；

（3）如果 T 是数列 \left\{ A_{n}\right\} 的周期，则对于任意的 k\in N^* ， kT 也是数列\left\{ A_{n}\right\} 的周期；

（4）如果T是数列\left\{ A_{n}\right\} 的最小正周期，M 是数列\left\{ A_{n}\right\} 的任一周期，则必有 T 整除M ，即 M=kT，k\in N^* ；

（5）已知数列\left\{ A_{n}\right\} 满足 A_{n+t}=A_n （ t 为常数）， S_n、T_n 分别为\left\{ A_{n}\right\}

的前 n 项的和与积，若n=qt+r,0≤r

则 S_n=qS_t+S_r ， T_n=T_t^qT_r ；

3、周期数列的判定方法

（1） a _ { n } + a _ { n - 1 } = s \Rightarrow T = 2

（2） a _ { n } a _ { n - 1 } = s \Rightarrow T = 2

（3） a _ { n + 1 } = \frac { 1 - a _ { n } } { 1 + a _ { n } } \Rightarrow T = 2

特别地， a _ { n + 1 } = \frac { x a _ { n } + y } { k a _ { n } + b } , x = b \Rightarrow T = 2

（4） a _ { n } + a _ { n - 1 } + a _ { n - 2 } = s

\Rightarrow T = 3

（5） a _ { n } \cdot a _ { n - 1 } \cdot a _ { n - 2 } = s \Rightarrow T = 3

（6） a _ { n + 1 } = - \frac { 1 } { 1 + a _ { n } } \Rightarrow T = 3

（7） a _ { n + 1 } = 1 - \frac { 1 } { a _ { n } }

\Rightarrow T = 3

（8） a _ { n + 1 } = \frac { 1 + a _ { n } } { 1 - a _ { n } } \Rightarrow T = 4

（9） a _ { n + 1 } = \frac { 1 - a _ { n } } { 1 + a _ { n } } \Rightarrow T = 2

（10） a _ { n + 1 } = \frac { a _ { n } - 1 } { a _ { n } + 1 } \Rightarrow T = 4

（11） a _ { n + 2 } = a _ { n + 1 } - a _ { n }

\Rightarrow T = 6

（12） a _ { n } = \frac { \sqrt { 3 } a _ { n - 1 } + 1 } { \sqrt { 3 } - a _ { n - 1 } } = \frac { a _ { n - 1 } + \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } } { 1 - \frac

{ \sqrt { 3 } } { 3 } a _ { n } } \Rightarrow T = 6五、数列的通项公式

数列是高考的重要组成部分，数列的递推关系是研究数列性质的基础。所以求数列通式在历届高考中频繁出现。对于广大学生来说，这一块知识是一定要掌握的，高考的这一块考题也要尽量拿满分。

在分享几种求级数通项的方法之前，请允许我重复一下级数通项公式和递推公式的概念。

1.通项公式：数列的第 N 项 a_{n} 与项的序数 n

之间的关系可以用一个公式 a_{n}=f\left( n\right)

来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式特点：

(1）有些数列的通项公式可以有不同形式，即不唯

一；(2）有些数列没有通项公式（如：素数由小到大

排成一列2，3，5，7，11，...）。

2.递推公式：如果数列{ a_{n} }的第 n 项与它前一

项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公

式叫做这个数列的递推公式。特点：(1）有些数列的

递推公式可以有不同形式，即不唯一。(2）有些数列

没有递推公式，即有递推公式不一定有通项公式。

求数列通项的方法主要有公式法、迭代法、构造法、不动点法、特征根法等。

下面我们来介绍一下五种常用的方法：

1、公式法求数列通项

1.若 \left\{ a_{n}\right\} 是等差数列，首项为

a_{1} ，公差为 d ，则其通项公式为

a_{n}=a_{1}+\left( n-1\right) d .

2.若 \left\{ a_{n}\right\} 是等比数列，首项为

a_{1} ，公比为 q ，则其通项公式为

a_{n}=a_{1}q^{n-1} .

3.若数列的前 n 项和为 S_{n} ，则

a_{n}=\begin{cases}S_{1},n=1\\ S_{n}-S_{n-

1},n\geq 2\end{cases} .特别地：当出现 a_{n+1}-

a_{n-1}=d 或 \dfrac{a_{n+1}}{a_{n-1}}=q( n\geq

2) 时，数列通项需要分奇数项和偶数项讨论，结果

可能是分段形式。

例一：

例二

2、迭代法求数列通项

迭代的思想来源于算术差和几何级数的通项问题，其本质是差(商)的思想。

1.已知 a_{1}=b ，

a_{n+1}=a_{n}+f\left( n\right) ，求通项 a_n .

累加法： a_{n}=\left( a_{n-}a_{n-1}\right)

+\left( a_{n-1}-a_{n-2}\right) +\ldots

+\left( a_{2}-a_{1}\right) +a_{1} ；

2.已知 a_{1}=b ， a_{n+1}=f\left( n\right)

a_{n} ，求通项 a_n .累乘法：

a_{n}=\dfrac{a_{n}}{a_{n-1}}\cdot \dfrac{a_{n-

1}}{a_{n-

2}}·…·\dfrac{a_{2}}{a_{1}}·a_1(a_n\neq 0) .例一（累加法）：

例二（累乘法）：

总结：已知 a_1=a，a_{n+1}-a_n=f(n) ,其中 f

（n）可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数

函数、分数函数，求通项 a_n 。若 f（n）是关于

n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和。若 f

（n）是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和。

若 f（n）是关于 n 的指数函数，累加后可转化为

等比数列求和。若 f（n）是关于 n 的分数函数，

累加后可裂项求和

3、构造法求数列通项

1.求形如 a_{n+1}=pa_{n}+q 的递推公式的通项，基

本思路是转化为等差数列或等比数列。（1）若

p=1 ，数列为等差数列；（2）若 q=0 ，数列为等比

数列；（3）若 p\ne 1，数列为线性递推数列，可采

用如下两种方法求数列的通项公式：①待定系数法：

设a_{n} +x =p(a_{n-1} +x)，用待定系数法可求出

x=\dfrac{q}{1-p} ，进而构造新的等比数列

{ { {a_{n} -x} } }，求出通项。其中 x 为方程

x=px+q 的解，被称为数列的不动点。②逐步相减

法：也可由 a_{n+1}=pa_{n}+q 及 a_{n}=pa_{n-

1}+q ，两式相减得 a_{n+1}-a_{n}=p（a_{n}-a_{n-1}），所以 \left\{ a_{n+1}-a_{n}\right\} 是首项 a_{2} -a_1 公比为 p 的等比数列，先求出

a_{n+1}-a_{n} ，再求出 a_{n} 。

例一：

2018湖北八校联考理17

例二

2016 浙江理 13

2形如 a_{n+1}=pa_{n}+kn+b （其中 k，b 是常数，且 k\ne0 ）方法1：逐项相减法（阶差法）方法2：待定系数法通过凑配可转化为 a_n+xn+y=p[a_{n-

1}+x(n-1)+y]；解题基本步骤：（1）确定 f（n）

=kn+b ；（2）设等比数列 b_n=a_n+xn+y ，公比为

p ；（3）列出关系式a_n+xn+y=p[a_{n-1}+x(n-

1)+y]，即 b_n=pb_{n-1} ;（4）比较系数求 x，

y ；（5）解得数列 \left\{ a_n+xn+y\right\} 的

通项公式；（6）解得数列 \left\{ a_n\right\} 的通项公式。

例题一

例题二

3.形如 a_{n+1}=pa_{n}+q^{n}（p\ne0,1，且

q\ne0,1）的递归式，有以下两种方法：（1）等号

两边同除以 p^{n+1} ，再累加求通项。（2）等号两

边同加上xp^{n+1}，再构造等比数列

\left\{ a_{n}+xq^{n}\right\} 。若 p=q ，则只能

采用（1），而用（2）无法求解。

例一：

例二：

例三：

4.形如 a_{n+1}=pa^{q}_n(p>0,a_n>0) 的递归式，

等号两边取对数有 \lg a_{n+1}=q\lg a_{n}+\lg

p ，令 b_n=\lg a_{n} ，则 b_{n+1}=qb_n+\lg p ,

仿方法2.得 b_n，再求 a_n 。

例1：

例2：

4、不动点法求数列通项

求一系列数的通项的定点法，这篇文章会讲得极其详细，读者可以移步它。

上面的待定系数法在不动点法中已经用到，下面主要补充求分式递归数列的方法。

先补充关于不动点的概念：

一般地，数列 \{x_n\} 的递推式可以由公式

x_{n+1}=f(x_n) 给出，因此可以定义递推数列的不

动点：对于递推数列 \{x_n\} ，若其递推式为

x_{n+1}=f(x_n) ，且存在实数 x_0 ，使得

f(x_0)=x_0 ，则称 x_0 是数列 \{x_n\} 的不动

点。

再来看看求分式递推数列的方法：

1.已知a_{n+1}=\frac{aa_n+b}{ca_n+d}（其中 c\ne0，ad-bc\ne0 ），求通项 a_n 。

形如a_{n+1}=\frac{aa_n+b}{ca_n+d}（其中

c\ne0，ad-bc\ne0 ）的递推式，求其通项可采用不

动点法，方程 x=\frac{ax+b}{cx+d} 的根称为上述

数列的不定点。考虑方程

x=\frac{ax+b}{cx+d}\Leftrightarrow cx^2+(d-

a)x-b=0，得到了一个二次方程。①若该数列只有一

个不定点 \lambda ，则可令 \frac{1}{a_{n+1}-

\lambda}=\frac{1}{a_n-\lambda}+A （其中 A 是待

定常数），代入 a_1，a_2 的值可求得 A 的值。这

样数列 \{\frac{1}{a_n-\lambda}\} 是首项为

\frac{1}{a_1-\lambda} ，公差为 A 的等差数列，

于是可求得 a_n 。②若该数列有两个不定点

\lambda 和 \mu ，则可令 \frac{a_{n+1}-

\lambda}{a_{n+1}-\mu}=A·\frac{a_n-

\lambda}{a_n-\mu} （其中 A 是待定常数），代入

a_1，a_2 的值可求得 A 的值。这样数列

\{\frac{{a_n-\lambda}}{a_n-\mu}\} 是首项为

\frac{a_1-\lambda}{a_1-\mu} ，公比为 A 的等比

数列，于是可求得 a_n 。

例题1：

例题2：

例题3（担心有小童鞋看不清楚又补了一道）：

简记：形如a_{n+1}=\frac{aa_n+b}{ca_n+d}（其中

c\ne0，ad-bc\ne0 ）的递推式对应特征方程为

x=\frac{ax+b}{cx+d} ，该方程的解称为上述数列的不定点。（1）若若该数列有两个不定点 \lambda 和\mu，数列 \{\frac{{a_n-\lambda}}{a_n-\mu}\} 是首项为 \frac{a_1-\lambda}{a_1-\mu} ，公比为 A 的等比数列。(2)若该数列只有一个不定点

\lambda ，数列 \{\frac{1}{a_n-\lambda}\} 是首

项为 \frac{1}{a_1-\lambda} ，公差为 A 的等差数列。（3）若该数列只有没有不定点，则数列为周期数列。

a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}+P}{2\cdot a_{n}+Q}，其中

n\in\mathbb{N}^{*} ， P,Q 为常数

显然这个数列的极限是方程

\lambda=\frac{\lambda^{2}+P}{2\cdot \lambda+Q} 的一个根方程

\lambda=\frac{\lambda^{2}+P}{2\cdot \lambda+Q} 有两个不等的根 \alpha,\beta 时a_{n+1}-

\alpha=\frac{a_{n}^{2}+P}{2\cdot a_{n}+Q}-

\alpha=\frac{\left( a_{n}-\alpha

\right)^{2}}{2\cdot a_{n}+Q}a_{n+1}-

\beta=\frac{a_{n}^{2}+P}{2\cdot a_{n}+Q}-

\beta=\frac{\left( a_{n}-\beta

\right)^{2}}{2\cdot a_{n}+Q}显然有

\frac{a_{n+1}-\alpha}{a_{n+1}-

\beta}=\frac{\left( a_{n}-\alpha

\right)^{2}}{\left( a_{n}-\beta \right)^{2}}这样易得 \frac{a_{n}-\alpha}{a_{n}-

\beta}=\left( \frac{a_{1}-\alpha}{a_{1}-\beta} \right)^{2^{n-1}}最后结果为：

高中数学数列知识点

高中数学数列知识点 高中数学数列知识点1 1.定义：如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的`公差，通常用字母d来表示。同样为数列的等比数列的性质与等差数列也有相通之处。 2.数列为等差数列的充要条件是：数列的前n项和S 可以写成S = an^2 + bn的形式(其中a、b为常数)．等差数列练习题 3.性质1：公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd． 4.性质2：公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d． 5.性质3：当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d ＝0时，等差数列中的数等于一个常数． 高中数学数列知识点2

数列的函数理解： ①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N_或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。 ②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a。列表法；b。图像法；c。解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。 通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f（n）来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式（注：通项公式不）。 数列通项公式的特点： （1）有些数列的通项公式可以有不同形式，即不。 （2）有些数列没有通项公式（如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，。。。）。 递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。 数列递推公式特点：

高中数学数列知识点总结(精华版)

一、数列 1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列． ⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念． ⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列 2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =. 3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式. 4.数列的前n 项和与通项的公式 ①n n a a a S +++= 21； ②???≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n . 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列. ①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,. ⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 1、已知*2()156 n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125）； 2、数列}{n a 的通项为1 +=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ） ； 3、已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）； 4、一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （）（答：A ）

高中数列知识点大全

高中数列知识点大全 ps：整理不易，点赞支持 已完结的地方： 一、等差数列 二、斐波那契数列 三、数列的通项公式 四、数列的放缩 尚未完结的地方： 一、等比数列的部分例题 二、拓展：提丢斯数列（全国卷考到了） 三、周期数列的部分例题 四、求和 可能要个目录 一、等差数列 1、等差数列的基本概念和基本公式 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列。（1）递推关系： a_{n+1}-a_{n}=d（常数），或 a_{n}-a_{n-1}=d（n\in N^\ast且n\geq2)。（2）通项公式：a_{n}=a_1+（n-1）d 。推广形式： a_{n}=a_m+（n-m）d （当 d\ne0 时， a_n 是关于 n 的一次函数）（3）求和公式：

S_{n}=\dfrac{n\left( a_{1}+a_{n}\right) }{2}=na_{1}+\d frac{n\left( n-1\right) }{2}d (当 d\ne0 时， S_n 是关于 n 的二次函数，且常数项为零） 例题： 2011 湖北文 9 2、等差数列的主要性质 等差数列的性质主要包括以下12个方面。 （1）若 n+m=p+q ，则 a_n+a_m=a_p+a_q 。（反之 不一定成立，如常数数列）（2）等差中项：若三个 数 a,b,c 成等差数列，则称 b 为 a 和 c 的等差中 项，即 2b=a+c ，可将这三个数记为：b-d ， b ， b+d 。 例题一： 例题二 （3） a_k，a_{k+m}，a_{k+2m}，…构成以 md 为 公差的等差数列。（4）在等差数列中依次取出若干 个n项，其和也构成等差数列，即S _ { n } , S _ { 2 n } - S _ { n } , S _ { 3 n } - S _ { 2 n } , \dots \ldots 也为等差数列，公差为 n^2d ；图示理解：\underbrace { a _ { 1 } , a _ { 2 } , \cdots , a _ { m } } _ { s _ { m } },\underbrace { a _ { m + 1 } , a _ { m + 2 } , \cdots , a _ { 2 m } } _ { s _ { 2 m }

高中数学数列知识点总结(精华版)

一、数列 1. 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列， 数列中的每个数称为该数列的项 ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序” ，而不强调有“规 律”.因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列. ⑵在数列中同一个数可以重复出现. 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法 6. 数列的分类：有穷数列， 有界数列，无界数列. ①递增数列：对于任何 4、一给定函数y f （x ）的图象在下列图中，并且对任意a 1 （0,1）,由关系式a n 1 f （a n ） * 得到的数列｛a n ｝满足a n 1 a n （n N ），则该函数的图象是 （）（答：A ） ⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念. ⑷数列可以看作一个定义域为正整数集 （或它的有限子集）的函数当自变量从小到大依 但函数不一定是数列 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示 f （n ）. a n 的第一项（或前几项） 次取值时对应的一列函数值， 2. 通项公式：如果数列 a n a n 3. 递推公式：如果已知数列 （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示， 即a n .如数列a n a n 1 那么这个式子叫做数列 a n 的递推公式 a n 2a n 1是数列a n 的递推公式. 4.数列的前n 项和与通项的公式 ，且任何一项 f （ a n 1 ）或 a n 中，a 1 1, a n ,那么这个公式叫 a n 与它的前一项 f （a n 2a n 1 , a n 2), 1，其中 ① S n a 1 a 2 a n ； ②a n 3(n 1) S n S n 1(n 2) ② 递减数列：对于任何 N ,均有 a n 1 a n . ③ 摆动数列：例如： ④ 常数数列：例如:6,6,6,6,……. ⑤ 有界数列：存在正数M 使a n M , n N . 1,1, 1,1, 1, ⑥无界数列：对于任何正数 M ，总有项a n 使得|a n * 1 N ） ，则在数列 ｛a n ｝ 的最大项为__（答：25 ）； 2、数列｛a n ｝的通项为a n bn an ，其中a,b 均为正数，则a n 与a . 1的大小关系为 1 a n a n 1 )； 3、已知数列｛a n ｝中，a n n ,且｛a .｝是递增数列，求实数 的取值范围（答: 3); 无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列; N ,均有 a n 1 a n .

高中数学数列知识点精华总结

数列专题 ◆ 考点一：求数列的通项公式 1. 由a n 与S n 的关系求通项公式 由S n 与a n 的递推关系求a n 的常用思路有： ①利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式； 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎨⎧ S 1，n ＝1， S n －S n －1，n ≥2. 当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可 并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示． ②转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 的关系，再求a n . 2.由递推关系式求数列的通项公式 由递推公式求通项公式的常用方法:已知数列的递推关系，求数列的通项公式时，通常用累加、累乘、构造法求解． ◆ 累加法：递推关系形如a n ＋1－a n ＝f(n)，常用累加法求通项； ◆ 累乘法：递推关系形如a n ＋1 a n ＝f(n)，常用累乘法求通项； ◆ 构造法：1）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q(p 、q 是常数，且p ≠1，q ≠0)”的数列求通 项，此类通项问题，常用待定系数法．可设a n ＋1＋λ＝p(a n ＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{a n ＋λ}是一个等比数列； 2）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q n (q ，p 为常数，且p ≠1，q ≠0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以q n 转化为类型(4)，或同除以p n ＋1 转为用迭加法求解． 3） ◆ 倒数变形 3.数列函数性质的应用 数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性． 函数思想在数列中的应用 (1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决．

高中数列知识点归纳总结笔记

高中数列知识点归纳总结笔记数列是高中数学中的一个重要概念，它是由一系列按照特定规律排列的数所组成的。在学习数列的过程中，我们需要掌握一些基本概念和常见的求解方法。本文将对高中数列的知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和应用数列知识。 一、数列基本概念 1. 数列的定义：数列是由一系列按照特定规律排列的数所组成的有序集合。 2. 项数与项：数列中的每一个数称为一个项，数列中的项的个数称为项数。 3. 通项公式：数列中的每一项可以通过一个公式来表示，这个公式称为通项公式。 4. 数列的类型：数列根据项与项之间的关系可分为等差数列、等比数列和等差数列。 二、等差数列 1. 定义：等差数列是指数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差都相等的数列。 2. 通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项的通项公式为an=a₁+(n-1)d。

3. 前n项和公式：等差数列前n项和Sn可表示为Sn=n*[2a₁+(n- 1)d]/2。 三、等比数列 1. 定义：等比数列是指数列中，从第二项开始，每一项与前一项的 比值都相等的数列。 2. 通项公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，则第n项的通项 公式为an=a₁*q^(n-1)。 3. 前n项和公式：等比数列前n项和Sn可表示为Sn=a₁*(q^n- 1)/(q-1)。 四、斐波那契数列 1. 定义：斐波那契数列是指数列中，从第三项开始，每一项都是前 两项的和的数列。 2. 通项公式：设斐波那契数列的首项为a₁，第二项为a₂，则第n 项的通项公式为an=a(n-1)+a(n-2)。 3. 性质：斐波那契数列具有一些独特的数学性质，如黄金分割、递 归性等。 五、数列的应用 1. 几何意义：数列在几何上常常表示随时间推移变化的某一物理量，如位置、速度、温度等。

高中数学数列知识点总结(经典)

数列基础知识点和方法归纳 1.数列的通项 求数列通项公式的常用方法： （1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与 项数n 在变化过程中的联系，初步归纳公式。 （2）公式法：等差数列与等比数列。 （3）利用n S 与n a 的关系求n a ：11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 2. 等差数列的定义与性质 定义：1n n a a d +-=（d 为常数），通项：()11n a a n d =+-()m a n m d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和()()11122 n n a a n n n S na d +-==+ 性质：{}n a 是等差数列 （1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列， 232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2； （3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项， 即：当100a d ><，，解不等式组100 n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由1 00n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值. . （3）{}n ka 也成等差数列；(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.

高中数学数列知识点归纳整理总结

高中数学数列知识点归纳整理总结数列是数学中的重要概念，它是指按照一定规律排列的一系列数的集合。在高中数学中，数列是一个重要的考点，掌握数列的性质和求解方法是学好数学的基础。本文将对高中数学数列知识点进行归纳整理总结，帮助学生更好地理解和掌握这一部分知识。 一、数列的定义和性质 1. 数列的定义：数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的集合，用字母表示一般项，如a₁, a₂, a₃... 2. 数列的一般形式：数列可以是有规律的，也可以是无规律的。有规律的数列可以用以下三种形式表示： - 通项公式：根据数列的规律，得出每一项与项号之间的关系，以求解任意项和通项公式。 - 递推公式：通过前一项与后一项之间的关系，表示出数列中任意一项与它的前一项的关系。 - 递归式：通过前一项与后一项之间的关系，表示出数列中任意一项与它的前一项和初始条件的关系。 二、常见的数列类型 1. 等差数列：等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。等差数列的通项公式为an = a₁ + (n - 1)d，其中a₁为首项，d为公差，n为项号。

- 求和公式：等差数列的前n项和公式为Sn = (n/2)[2a₁ + (n - 1)d]。 2. 等比数列：等比数列是指数列中任意两项之间的比值都相等的数列。等比数列的通项公式为an = a₁ * r^(n-1)，其中a₁为首项，r为公比，n为项号。 - 求和公式：等比数列的前n项和公式为Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)，其中|r| < 1。 3. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中每一项都等于前两项之 和的数列。斐波那契数列的通项公式为an = an-1 + an-2，其中a₁= 1，a₂ = 1。 三、数列求解方法 1. 已知数列的前n项，求通项公式：根据已知的前n项，可以通过 构造方程组求解出通项公式。 - 样例：已知等差数列的前n项和Sn = 3n² - 2n，求该数列的通项 公式。 解：设该数列的首项为a₁，公差为d，则有Sn = n/2[2a₁ + (n - 1)d]。 代入已知条件可得 3n² - 2n = n/2[2a₁ + (n - 1)d]，整理得 6n² - 4n = 2na₁ + n²d - nd。 整理得 6n² - 4n = 2na₁ + n(n - d)，进一步整理得 3n² - 3n = na₁ + n(n - d)。

高中数学数列知识点总结

高中数学数列知识点总结 篇一：高中数学数列知识点总结(经典) 数列根底知识点和方法归纳 1.等差数列的定义与性质 定义：an1and〔d为常数〕，ana1n1d等差中项：某，A，y成等差数列2A某y前n项和n a1annna 2 1 nn1 d2 性质：an是等差数列 〔1〕假设mnpq，那么amanapaq； 〔2〕数列a2n1,a2n,a2n1仍为等差数列，n，2nn，3n2n……仍为等差数列，公差为n2d； 〔3〕假设三个成等差数列，可设为ad，a，ad〔4〕假设an，bn是等差数列，且前n项和分别为n，Tn，那么 am2m1 bmT2m1 〔5〕an为等差数列nan2bn〔a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数〕

n的最值可求二次函数nan2bn的最值；或者求出an中的正、负分界项， an0 即：当a10，d0，解不等式组可得n到达最大值时的n值. a0n1a0 当a10，d0，由n可得n到达最小值时的n值. an10(6)项数为偶数2n的等差数列an ，有 2nn(a1a2n)n(a2a2n1)n(anan1)(an,an1为中间两项) 偶奇nd， 奇偶 an .an1 ，有 〔7〕项数为奇数2n1的等差数列an 1 2n1(2n1)an(an为中间项)，奇奇偶an， nn1 .偶

2.等比数列的定义与性质 定义： an1 q〔q为常数，q0〕，an1ana1qn .等比中项：某、G、y成等比数列G2 某y，或G na1(q1)前n项和： n a11qn〔要注意！〕 1q (q1)性质：an是等比数列 〔1〕假设mnpq，那么am·anap·aq 〔2〕n，2nn，3n2n……仍为等比数列,公比为qn.注意：由n求an 时应注意什么？ n1时，a11； n2时，annn1. 3．求数列通项公式的常用方法〔1〕求差〔商〕法 如：数列a1211 n，a122a2 (2) nan2n5，求an

高中数学数列知识点总结

高中数学数列知识总结 一.数列的定义及表示方法 1．数列的定义 按________________着的一列数叫数列，数列中的______________都叫这个数列的项；在函数意义下，数列是________________________的函数，数列的一般形式为：______________________，简记为{a n }，其中a n 是数列的第____项． 2．通项公式： 如果数列{a n }的______与____之间的关系可以____________来表示，那么这个式子叫做数列的通项公式．但并非每个数列都有通项公式，也并非都是唯一的． 3．数列常用表示法有：_________、________、________. 4．数列的分类： 数列按项数来分，分为____________、__________；按项的增减规律分为________、________、__________和__________．递增数列⇔a n ＋1______a n ；递减数列⇔a n ＋1______a n ；常数列⇔a n ＋1______a n . 5．a n 与S n 的关系： 已知S n ，则a n ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ ，n ＝1， ，n ≥2. 1．一定顺序排列 每一个数 定义域为N *(或它的子集)a 1，a 2，a 3，…，a n ，… n 2.第n 项 n 用一个公式 3.解析法(通项公式或递推公式) 列表法 图象法 4.有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 摆动数列 常数列 > < ＝ 5.S 1 S n －S n －1 二.等差数列及其前n 项和 1．等差数列的有关定义 (1)一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为____________ (n ∈N *，d 为常数)． (2)数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是__________，其中A 叫做a ，b 的__________． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝________，a n ＝a m ＋________ (m ，n ∈N *)． (2)前n 项和公式：S n ＝__________＝____________. 3．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2 n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列的充要条件是其前n 项和公式S n ＝__________. 4．等差数列的性质 (1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有__________，特别地，当m ＋n ＝2p 时，______________. (2)等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． (3)等差数列的单调性：若公差d >0，则数列为____________；若d <0，则数列为__________；若d ＝0，则数列为________． 1．(1)2 差 a n ＋1－a n ＝d (2)A ＝a ＋b 2 等差中项 2．(1)a 1＋(n －1)d (n －m )d (2)na 1＋n (n －1)2d (a 1＋a n )n 2 3.An 2＋Bn 4.(1)a m ＋a n ＝a p ＋a q a m ＋a n ＝2a p (3)递增数列 递减数列 常数列

高考数列所有知识点

高考数列所有知识点 数列是高中数学中一个非常重要的概念，也是高考数学中常考的知识点之一。它不仅在数学中有着广泛的应用，也在其他学科领域中起到重要的作用。本文将系统地总结和介绍高考数列的所有知识点，以帮助考生系统地学习和理解数列的概念和应用。 一、数列的定义和概念 数列是由数按照一定规律排列而成的序列。数列中的每个数称为数列的项，第n个项称为数列的通项，通项可用a_n表示。数列的前n项和称为数列的部分和，通常用S_n表示。 二、等差数列 等差数列是指数列中任意两项之差都相等的数列。其中，公差d等于任意两项之差。等差数列的通项公式为a_n = a_1 + (n - 1)d。等差数列的前n项和公式为S_n = (a_1 + a_n) * n / 2。 三、等比数列 等比数列是指数列中任意两项之比都相等的数列。其中，公比q等于任意两项之比。等比数列的通项公式为a_n = a_1 * q^(n - 1)。等比数列的前n项和公式为S_n = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)。 四、斐波那契数列

斐波那契数列是一个非常特殊的数列，其定义为F_1 = F_2 = 1，之 后的每一项等于前两项之和。这个数列的前几项为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...，其通项公式为F_n = F_(n-1) + F_(n-2)。 五、递推数列 递推数列是指数列中的每一项都是前一项的函数关系。递推数列常 常通过递归关系或递推公式来定义。常见的递推数列有幂等递推数列、反幂等递推数列、线性递推数列等。 六、数列的性质和判断 数列可以根据其性质进行分类和判断。常见的性质有有界性、单调性、周期性等。例如，有界数列是指存在一个上界和下界，使得数列 的所有项都在这个范围内。单调数列是指数列中所有的项都具有递增 或递减的性质。 七、数列的应用 数列在实际生活和其他学科中有广泛的应用。例如，等差数列可以 用来描述等差数列和等差数列等增长的现象。等比数列可以用来描述 复利和指数增长的现象。递推数列可以用来建模和描述很多实际问题，如兔子繁殖问题、植物生长问题等。 八、数列的问题解决 解决数列相关的问题需要掌握数列的相关概念、性质和公式，并且 能够灵活运用。解决数列问题需要注意对问题的分析和转化，找到合

高中数列知识点总结

高中数列知识点总结 漫长的学习生涯中，相信大家一定都接触过知识点吧！知识点也可以理解为考试时会涉及到的知识，也就是大纲的分支。为了帮助大家掌握重要知识点，以下是小编精心整理的高中数列知识点总结，欢迎大家分享。 高中数列知识点总结 1 1、高二数学数列的定义 按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项。 (1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列。 (2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，…。 (4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n。 (5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别。如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合。 2、高二数学数列的分类 (1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列。在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列。 (2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：

高中数列知识点总结(附例题)

高中数列知识点总结（附例题） 知识点1：等差数列及其前n 项 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项 如果 A ＝a ＋b 2 ，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋（n-m ）d ，(n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1) 2d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫a 1－d 2n .数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn ，(A 、B 为常数)． 7．等差数列的最值 在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最 大 值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最 小 值． [难点正本 疑点清源] 1．等差数列的判定 (1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2)； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2. 2．等差数列与等差数列各项和的有关性质 (1)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (2)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (3)S 2n －1＝(2n －1)a n . (4)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝n 2d . 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．

高中数学数列知识点总结精华版

一、数列 1.数列的定义：依据肯定依次排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按肯定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，假如组成两个数列的数一样而次序不同，那么它们就是不同的数列． ⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念． ⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不肯定是数列 2.通项公式：假如数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =. 3.递推公式：假如已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式. 4.数列的前n 项和与通项的公式 ①n n a a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n . 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摇摆数列，常数数列；有界数列，无界数列. ①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摇摆数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,. ⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 1、已知*2()156 n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为（答：125）； 2、数列}{n a 的通项为1 +=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为（答：n a <1+n a ）； 3、已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，务实数λ的取值范围（答：3λ>-）； 4、一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对随意)1,0(1∈a ，由关系式) (1n n a f a =+得到的数列}{n a 满意)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （）（答：A ）

高中数列知识点归纳及习题附答案

第五章 数列 5.1数列基础 5.1.1数列的概念 一、知识点 1. 定义：按照一定顺序排列的一列数成为数列。 2. 项：数列中的每一个数都称为这个数列的项,各项依次称为这个数列的第1项(或首项) ,第2项,…,第n 项 , n a a a a ,......,,321，-1a 首项。 3. 通项：因为数列从首项起,每一项都与正整数对应,所以数列的一般形式可以写成n a a a a ,......,,321…,其中n a 表示数列的第n 项(也称n 为n a 的序号,其中n 为正整数,即n ∈N+),n a 称为数列的通项.此时,一般将整个数列简记为{an} ,这里的小写字母a 也可以换成其他小写英文字母. 4. 通项公式：一般地,如果数列的第n 项n a 与n 之间的关系可以用 n a =f(n) 来表示,其中f (n)是关于n 的不含其他未知数的表达式,则称上述关系式为这个数列的一个通项公式 .不是所有的数列都能写出通项公式,如果数列有通项公式,那么通项公式的表达式不一定唯一. 5. 与函数的关系：数列{n a }可以看成定义域为正整数集的子集的函数,数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.数列也可以用平面直角坐标系中的点来直观地表示. 6. 分类：1）有穷数列：项数有限个 2）无穷数列：项数无限个 3）增数列：从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 4）减数列：从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列 5）常数列：各项都相等 6）摆动数列：时而增大时而减小 二、典型题 典型题一 数列定义的理解 1.有下面四个结论,其中正确的为( ) ①数列的通项公式是唯一的; ②数列可以看成是一个定义在正整数集或其子集上的函数; ③若用图像表示数列,则其图像是一群孤立的点; ④每个数列都有通项公式. A.①② B.②③ C.③④ D.①④

高中数列公式大全基础知识点方法归纳及解题技巧超详细(完整版)

高中数列公式大全基础知识点方法归纳及解题技巧超详细！ （完整版） 1. 等差数列的定义与性质 定义：（为常数）， 等差中项：成等差数列 前项和 性质：是等差数列 （1）若，则 （2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，仍为等差数列，公差为d n 2 ； （3）若三个成等差数列，可设为 （4）若是等差数列，且前项和分别为，则 （5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数） 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项， 即：当，解不等式组可得达到最大值时的值. 当，由可得达到最小值时的值. (6)项数为偶数n 2的等差数列，有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶， 1 += n n a a S S 偶 奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列，有 1n n a a d +-=d ()11n a a n d =+-x A y ，，2A x y ⇔=+n ()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ {}n a m n p q +=+m n p q a a a a +=+；232n n n n n S S S S S --，，……a d a a d -+，，n n a b ，n n n S T ，21 21 m m m m a S b T --={}n a 2 n S an bn ⇔=+a b ，n n S 2n S an bn =+{}n a 100a d ><，10 n n a a +≥⎧⎨≤⎩n S n 100a d <>，10 n n a a +≤⎧⎨ ≥⎩n S n {} n a {} n a