高中数学指数函数复习
第二章 基本初等函数（I ）
课标单元知识
1．理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。
2．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。
3．知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数)1,0(≠>a a . 4．理解幂函数的概念，掌握几种简单的幂函数的图象和性质。
高考命题趋向
在历届高考数学试题中以及各地的模拟试卷中，考查指数函数和对数函数方面的有关内容居多数，这些试题也同时考查了指数和对数方面的运算及性质，然而更多地将考查重点放在了指数函数、对数函数的相关性质以及与其他方面知识点的交汇地方，这一类试题出现在选择题、填空题时难度属于较易题，而出现在解答题中时一般难度较高，应认真对待。对于幂函数的考查，多以选择题、填空题出现，属容易题。
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
一、考点聚焦
1
2．分数指数幂的运算性质 （1）有理数幂的运算性质
有理数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样：
s r s r a a a +=?；
rs s r a a =)(； r r r b a ab =)( 。
式中.,,0,0Q s r b a ∈>>
对于这三条性质，不要求证明，但须记准、记熟、会用、用活。
二、点击考点
［考题1］计算下列各式的值。
（1）33))5((-；（2）44)3(-；（3）44)3(-π； （4）)0(||||)(33332<<-+-++b a b a a b b a ； （5）).3|(|961222<++-+-x x x x x ［解析］（1）.5)5(33-=- （2）.3|3|)3(44=-=-
（3）.3|3|)3(44
-=-=-πππ
（4）原式.3)()()(||||||b a b a a b b a b a a b b a +-=---++-=-+-++= （5）原式.|3||1|)3()1(22+--=+--=x x x x ∵3|| 当31<≤x 时，原式4)3()1(-=+--=x x ； 当13<<-x 时，原式.22)3()1(--=+---=x x x ［点评］当n 为奇数时，a a n n =； 当n 为偶数时，||a a n n =而不是a a n n =，这是大于易错的地方，请留心注意。 ［考题2］化简下列各式： （1）))((2 1 2 101x x x x x - + +--； （2） 3 23 22 23 23 22 2--------- -- + +y x y x y x y x ； （3）)].)(1[())((1443333-----++÷-+a a a a a a a a ［解析］（1）原式=.)()(232 33 213 21 x x x x - =-- - （2）原式= 323 23 323323 23 23 32332)()()()(- --- - --- --- ++y x y x y x y x ])()[()()(232 3 2 322 322 323 2 322 32- -- - - -- - ++-+-=y y x x y y x x . 2) (2) () (3 3 23 43 43 3 43 23 4xy xy xy x y xy y xy x -=-=---+-=-- - 2- - - - （3）原式=)])(1[(])()[(1442323----++÷-a a a a a a . )())(1() 1)(())(1()()(11 212 14444221443232----------+=--= -++++-= -++-= a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ［点评］在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，尽可能地统一成分数指数幂形式，再利用幂的运算性质进行化简。还要注意平方差、立方和、立方差公式的应用。 ［考题3］判断下列命题的真假： （1）*)(N n a a n n ∈=； （2）*),()(N n m a a n m m n ∈=； （3） 10=a ； （4）2 14 2 a a =； （5）),(Q n m a a a n m n m ∈=+ （6）),()(Q n m a a mn n m ∈= （7）),0()(Z n b b a b a n n n ∈≠=； （8）a 的n 次方次根是*)(N n a n ∈. ［分析］判断命题的真假，主要考查命题成立的条件，因此，要对照有关的定义和性质，全面考虑定义和性质的特点，牢记使用范围，才能作出判断。 ［解析］（1）中是开方问题，当n 为正奇数时， a a n n =；当n 为正偶数时， ? ? ?<-≥==),0(), 0(||a a a a a a n n 因此（1）错误。 （2）中当0≥a 时正确，当0 a ，则1)1()1(4 24 2 =-= -，但1)1(2 1 -=-无意义。 （5）只有0>a 时命题正确，当0≤a 时命题不一定成立。例如：6 4 6 2)2()2(-?- 2 2 264 62=?= ，而2)2(6 4 62-= -+，∴6 4 6264 62)2() 2()2(+-≠ --，本例题中的命题错误。 （6）只有在0>a 时正确，0≤a 时不一定成立。例如：2])2[(2 1 2=-，2) 2(2 1 2-=-? ，则 两式不相等。 （7）不妨取1,0-==n a ，则命题不成立。 （8）不妨取2,1=-=n a ，则1-无意义。 由以上可知，题中给出的8个命题都是假命题。 ［点评］（1）要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可。 （2）注意课本内容的讲授，在“根式”部分，a x n =中的a ，根据不同情况，可以取负 值，但在“分数指数幂”部分，n m a 中的a 必须取正数，在这部分的概念和性质中，都有.0>a ［考题4］计算：（1）43 3 33339 1624337+--； （2）3121 31 25.0104 1 027.010])8 33(81[])87(3[)0081.0(?-+??------； （3）13 21215332 3)()(----? ? a a a a ； （4） 3 3 3 23 3 231 3 4 )21(248a a b a ab b b a -÷+ +-； （5）.223410623++- ［解析］（1）原式=4 1 313 23 1 3 1 )33(3 623337?+?-??-?- . 032323 32323633 1313 3 13 23 1 =?- ?= ??-?=?-=2-- （2）原式31 3211 11414])3.0[(10])23(3[)13(])103[(?-+??-=----- .033 1 3103.010)3231(31)103(211=--= ?-+?-=- （3）原式2 113212 15 3 1232 3])() [()(- - -- ???=a a a a .) ()()(22142 12132531 0--- == ??= a a a a a （4） 3 3 3 23 3 23134)21(248a a b a ab b b a a -÷+ +- . 2224) 42)(2(]21[24) 8(3 13 13 13 13 13 1313 13 1313 23 1313 2323 1 313 2 313 1313 13 1313 231313 231a a a a a b a a b a a a b a b b b a a b a a a a b a b a b b a a =??=?- ? - ? + + + + - = ?- ÷+ -= （5）)12(410623223410623+--=+-- . 232611)22(623246623+=+=--=--= ［点评］根式的运算一般都转换成分数指数计算，当式子中含有根式与分数指数幂时应统一为分数指数幂进行计算，当根式中是具体数字时，要考虑运用配方计算，如句子（5）。 ［考题5］（1）已知)(22常数a x x =+-，求x x -+88的值； （2）已知2 12 12121 ,9,12y x y x y x xy y x + -<==+求 且的值。 ［解析］（1）∵2222)22()2()2(442222-=??-+=+=+----a x x x x x x x x ， ∴])2(22)2[()22()2()2(2288223333-------+?-?+=+=+=+x x x x x x x x x x x x .3)12()144)(22(32a a a a x x x x -=--=-++=-- （2）∵ .)(2)() )(()(2 1 212 1212 12 21212 12 12121 y x xy y x y x y x y x y x y x -- += - + - = + - ① 又∵9,12==+xy y x ② ∵y x <，∴36-=-y x ， ③ 将式②③代入式①得 .3 33 692122 1 2 12 12121- =-?-= + -y x y x ［考题6］设0>a ，且x x x x a a x g a a x f a ---=+=≠)(,)(,1，且8)()(=?y f x f ， .4)()(=?y g x g （1）求22)]([)]([x f x g -的值； （2）求)()(y x f y x f -÷+的值； （3）求x a 及y a 的值。 ［解析］（1）.44)2(2)]()()][()([)]([)]([022-=-=-=-+=--a a a x f x g x f x g x f x g x x （2）∵y x y x y x y x y y x x a a a a a a a a y f x f -----+--+++=++=?)())(()()( .8)()(=-++=y x f y x f ① y x y x y x y x y y x x a a a a a a a a y g x g ---+-+--+--=--=?))(()()( ][)()(y x y x y x y x a a a a ---+-++-+= .4)()(=--+=y x f y x f ② 由①②联立，解得2)(,6)(=-=+y x f y x f ， ∴326)()(=÷=-÷+y x f y x f . （3）由②得6)(=+=+--+y x y x a a y x f ， ③ .2)(=+=-+--y x y x a a y x f ④ 令t a y x =-，则.11t t a y x ==-+- 从而由④得.2=1 +t t 由.1,0)(,021 21 221 21 =?==->--t t t t t t 故1=-y x a ，这样就有.y x =把y x =代入③，得.622=+-x x a a 令k a x =2，则有.61 =+k k 即0162=+-k k ，∴.223±=k ∴22)12(223±=±=x a .故12+==y x a a 或.12-==y x a a ［点评］本题巧妙地求出)(y x f +与)(y x f -，再运用方程的思想求解，这种方法在幂的运算中常用到。 三、夯实双基 1．下列命题中正确的个数为（ ） ①－3是81的四次方根； ②正数的n 次方根有两个； ③a 的n 次方根就是n a ； ④).0(≥=a a a n n A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．把根式52)(2---b a 改写成分数指数幂的形式为（ ） A ．5 2)(2- --b a B ．2 5)(2- --b a C ．) (2525 2- ---b a D ．) (2252 5- ---b a 3．下列各式①42)4(n -；②12)4(+-n ；③54a ；④45a （各式的R N ∈∈a n ,）中，有意义的是（ ） A ．①② B ．①③ C ．①②③④ D ．①③④ 4．以下各式的化简中正确的是（ ） A ．1151 3152=-a a a B ．y y x y x y x -=?--- ) )()((32 2 1 324 1314 1 C ．643 296) (b a b a --= D ．ac c b a c b a 5 325154 531214 3 3121-=- - - 5．方程803322=--+x x 的解是（ ） A ．2 B ．2或 2 1 C ．2或－ 2 D ．2或 4 1 6．设25,45==y x ，则=-y x 25 . 7．计算：=-+-+-----0143 2 3 1)12(3256)7 1(027 .0 . 8．比较2,3,535的大小 （用不等式号连起来）. 9．已知32 12 1 =+- a a ，求下列各式的值. （1）1-+a a ；（2）22-+a a ；（3）.2 12 12323- ---a a a a 10．计算：.16])2[()4 3 (064 .075.023 203 1---+-+--解题过程如下： . 2 3 1252)2(14.02)2(1) 4.0(16])2[()43(064 .0331) 75.0(433 1375 .02320 3 1=-=+-+-=+-+-=+-+------?----- 你认为上面的解法正确吗？如果不正确，请改正. 四、感悟高考 1．（2003年全国高考题）设函数??? ??>≤-=-), 0(), 0(12)(21x x x x f x 若1)(0>x f .则0x 的取值范围是 （ ） A ．)1,1(- B ．),1(+∞- C ．),0()2,(+∞--∞ D ．),1()1,(+∞--∞ ［解析］解法一：∵1)(0>x f ，当00≤x 时，1,22,112000>->>---x x x ，∴10- 1210 >x ，∴.10>x 综上，所以0x 的取值范围为).,1()1,(+∞--∞ 解法二：作出函数)(x f 的图象，直线1=y 上方的点即为0x 的取值范围。 解法三：由112>--x ，即,22>-x 得.1- 2．（2004年全国高考题文）如果384,3103==a a ，371 3103])[(-n a a a 。 ［解析］原式.23]128[3])3 384[(33371 3 71 ---?=?==n n n 故应填：.233-?n 夯实双基参考答案： 1．B 2．A 3．B 4．B 5．A 6．8 7．19 8．35325<< 9．（1）7（2）47（3）8 10．略 2.1.2 指数函数及性质 一、考点聚焦 1．指数函数的定义 理解指数函数定义，需注意的几个问题： （1）因为0>a ，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集.R （2）规定底数a 大于零且不等式1的理由： 如果0=a ，???≤>. ,0;0,0无意义当恒等于时x x a x a x 如果0 1 ,41== x x 等，在实数范围内函数值不存在。 如果11,1===x y a ，是一个常量，对它就没有研究的必要。 为了避免上述各种情况，所以规定0>a ，且.1≠a x 3．指数型复合函数的性质 与指数函数有关的复合函数基本上有两类：（1）)1,0()(≠>=a a a y x f 且；（2）).(x a f y =无论是哪一类，要搞清复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a 的取值不定时，要对a 进行分类讨论。 x ka y =)10,(≠>∈a a k 且R 的函数称为指数型函数 4、对称规律 函数x a y =的图象与x a y -=的图象关于y 轴对称，x a y =的图象与x a y -=的图象关于直线x 轴对称，函数x a y =的图象与x a y -=的图象关于坐标原点对称。 一般地，函数)(x f y =的图象与)(x f y -=的图象关于y 轴对称；函数)(x f y =的图象与函数)(x f y -=的图象关于x 轴对称；函数)(x f y =的图象与函数)(x f y --=的图象关于原点对称。 5．幂的大小比较的方法 比较大小常用方法有：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法；要比较A 与B 的大小，先找一个中间值C ，再比较A 与C 、B 与C 的大小，由不等式的传递性得到A 与B 之间的大小。 在比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意： （1）对于底数相同、指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。 （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断。 （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较。 （4）对于三个（或三个以上）数的大小比较，则应先根据值的大小（特别是0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。 6、利用指数函数图象解题 利用函数的图象，能较简捷地解答一些与函数性质有关的问题，如： （1）定点问题 由于x a y =)1,0(≠>a a 且恒经过定点(0,1)，因此指数函数与其他函数复合会产生一些丰富多彩的定点问题，如：)1,0(21≠>-=+a a a y x 的图象恒过定点)1,1(--，实际上就是将定 点(0,1)向左平移1个单位，向下平移2个单位得到。 （2）超越方程解的个数的讨论问题。 ［例］方程22||=+x x 的实根的个数为 。 ［解］由22||=+x x ，得.22||x x -=在同一坐标系中作出||2x y =与 x y -=2的图象；如图可观察到两个函数图象有且仅有2个交点，故 方程有2个实数根。 这类问题如果直接求解是不可能的，而图象则十分直观地体现出了它的交点的个数，若将此题改为求方程)1,0(2≠>-=a a x a x 且的解的个数，你能讨论出来吗？试一试。 二、点击考点 ［考题1］（1）指出下列函数中哪些是指数函数； ①x y 4=；②4x y =；③x y 4-=；④x y )4(-=；⑤x y π=； ⑥2 4x y =；⑦x x y =；⑧).1,,2 1 ()12(≠> -=a a a y x 且 ［解析］①⑤⑧为指数函数；②不是指数函数；自变量不在指数上；③是－1与指数函数 x 4的乘积；④中底数04<-，故不是指数函数；⑥中指数不是自变量x ，而是x 的函数2x ； ⑦中底数x 不是常数，它们都不符合指数函数的定义。 ［点评］指数函数严格限定在)1,0(≠>=a a a y x 且这一结构，②③④⑥⑦均不是指数函 数，不具备指数函数的基本性质。 （2）函数x a a a y )33(2+-=是指数函数，则有（ ） A ．1=a ，或2=a B ．1=a C ．2=a D ．0>a ，且1≠a ［解析］由指数函数的定义.2.1, 0,1332=??? ? ??≠>=+-a a a a a 故选C 。 ［考题2］如图是指数函数①x a y =；②x b y =；③x c y =； ④ x d y =的图象，则d c b a ,,,与1的关系是（ ） A ．d c b a <<<<1 B ．c d a b <<<<1 C ．d c b a <<<<1 D ．c d b a <<<<1 ［解析］可先分两类：③④的底数一定大于1，①②的底数小于1。然后再由③④比较d c ,的大小、由①②比较a 、b 的大小，当指数函数底大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y 轴，当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x 轴，故选B 。 ［点评］本题也可令1=x ，则四个函数所得的函数值分别为d c b a ,,,，从各点处的位置可知答案。 ［考题3］求下列函数的定义域、值域： （1）x y 12=；（2）8 22)2 1(++-=x x y ；（3）8 22) 2 1 (++-=x x y ；（4）.1241++=+x x y ［解析］（1）设x u 1 = ，则0≠x ，0≠u ，由u y 2=知1≠y ， ∴x y 1 2=的定义域为}0,|{≠∈x x x 且R ，值域为}.1,0|{≠>y y y 且 （2）设.822++-=x x u 则.99)1(2≤+--=x u 由u y )21 (=在R 上是减函数得 ,512 1)21()21(9=≥u ∴822)21(++-=x x y 的定义域为R ，值域为}.512 1 |{≥ y y （3）设,822++-=x x u 由0822≥++-x x 得.42≤≤-x 而98202≤++-≤x x ，∴.30≤≤u ∵u y )2 1(=在]3,0[上是减函数， ∴03)21()21()21(≤≤u ，即.18 1 ≤≤y ∴822) 21(++-=x x y 的定义域为}42|{≤≤-x x ，值域为}.1 8 1 |{≤≤y y （4）,)12(122)2(22+=+?+=x x x y ∵,02>x ∴,112>+x ∴,1)12(2>+x ∴1241++=+x x y 的定义域为R ，值域为),1(+∞. ［点评］（1）定义域和对应关系确定值域，因此定义域和值域是密切联系的，要求值域，先看定义域。 （2）复合函数问题可以通过换元法、化繁为简，解决问题，当我们综合解决问题的能力提高了以后，也可以不用换元法，直接将问题解决。 ［考题5］比较下列各题中两个值的大小。 （1）35.27.1,7.1；（2）2.01.025.1,8.0-；（3）1.33.09.0,7.1；（4）.7.3,5.46.31.4 ［解析］（1）由于底数17.1>，所以指数函数x y 7.1=在),(+∞-∞上是增函数，∵35.2<，∴.7.17.135.2< （2）2.02.08.025.1-=，∵18.00<<，∴指数函数x y 8.0=在),(+∞-∞上为减函数，∴ .25.18.02.01.0<- （3）由指数函数的性质得.19.09.0,17.17.101.303.0=<=> ∴.9.07.11.33.0> （4）利用指数函数的单调性知,5.45.46.31.4> 又∵07.3,05.46 .36 .3>>，∴6.36.36.3)7.35.4(7.35.4=，∵17.35.4>，,16.3>∴.1)7 .35.4(6 .3> 从而6.36.37.35.4>，∴.7.35.46.31.4> ［点评］两数比较大小问题，一般方法是将其转化为同一函数的两个函数值的大小比较问题，对于3.07.1与1.39.0，不能直接看成某一指数函数的两个值，所以（3）题无法用（1）、（2）两题的方法来进行比较，可在这两个数值之间找到中间量1，使这两个数值分别与数值1进行比较，进而比较出3.07.1与1.39.0的大小（4）题直接比较大小有困难，可找中间变量.5.46.3 ［考题6］已知函数)1,0()(≠>=a a a x f x 且，根据图象判断 )]()([2 1 21x f x f +与)2 ( 2 1x x f +的大小，并加以证明。 ［解析］对1>a 及10< ))(,()),(,(2211x f x B x f x A 连成线段，其中)]()([2 1 21x f x f +就是这条线段中点M 的函数值， )2(21x x f +就是图象上AB 2 21x x x +=的交点N 的函数值，如图，显然无论哪一 种情形总有点N 在点M 下方，∴)].()([21 )2(2121x f x f x x f +<+ 证明：.)(2)2 (2)()(22222 1212 12121x x x x x x a a a a a x x f x f x f -=-+=+-++ 由21x x ≠，∴2 22 1x x ≠，∴02221≠-x x a a ，∴.0)(2222 1>-x x a a ∴0)2( 2)()(2121>+-+x x f x f x f ，即)].()([2 1 )2(2121x f x f x x f +<+ ［点评］这一函数的性质反映了此类函数的特征，直观上看，图象具备形状如图的函数具有这种不等量关系。显然，开口向上的二次函数也能满足这种不等量关系。 数学上的证明，不能只从图形上看出来，必须用代数方法证明。 ［考题7］假设A 型进口汽车关税率在2001年是100%，在2006年是25%，2001年A 型进口车每辆价格为64万元（其中含32万元关税款），（1）已知与A 型车性能相近的B 型国产车，2001年每辆价格为46万元，若A 型车价格只受关税降低的影响，为了保证2006年B 型车的价格不高于A 型车价格的90%，B 型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？（2）某人在2001年将33万元存入银行，假设银行扣利息税后的年利率为1.8%（五年内不变），且每年按复利计算（例如第一年的利息计入第二年本金），那么五年到期时，这笔钱连本带息是否一定能够买一辆按（1）所述降价后的B 型汽车？ ［解析］（1）因为2006年的关税款为2001年的关税税款的 4 1 ，故所减少的关税税款为244 3 32=? (万元)，所以2006年A 型车价格为64—24=40(万元)，因为5年后B 型车价格不高于A 型车价格的90%，所以有B 型车价格36%9040=?≤(万元)，因为2001年B 型车价格为46万元，故5年中至少要降10万元，所以平均每年至少降低2万元。 （2）根据题意，2001年存入的33万元，5年到期时连本带息可得5%)8.11(33+?(万元)，通过计算器算得08.36%)8.11(335≈+?(万元)。所以到期时，这笔钱连本带息一定能够买一辆（1）所述降价后的B 型汽车。 ［点评］本题是涉及指数函数的应用题，与指数函数相关的应用题较多，如放射性物质的蜕变、人口的增长问题、国民生产总值的增长问题、成本的增长或降低等问题，都属于这一类。 三、夯实双基 1．如果函数f （x ）＝（a 2－1）x 在R 上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．｜a ｜＞1 B ．｜a ｜＜2 C ．｜a ｜＞3 D ．1＜｜a ｜＜2 2．函数y ＝a x －2 ＋1（a ＞0，a ≠1）的图象必经过点（ ） A ．（0，1） B ．（1，1） C ．（2，0） D ．（2，2） 3．函数y ＝a x 在［0，1］上的最大值与最小值和为3，则函数y ＝3ax －1在［0，1］上的最大值是（ ） A ．6 B ．1 C ．3 D ． 2 3 4．设f （x ）＝x )2 1 (，x ∈R ，那么f （x ）是（ ） A ．奇函数且在（0，＋∞）上是增函数 B ．偶函数且在（0，＋∞）上是增函数 C ．函数且在（0，＋∞）上是减函数 D ．偶函数且在（0，＋∞）上是减函数 5．下列函数中值域为正实数的是（ ） A ．y ＝x -215 B ．y ＝x -1) 3 1( C ．y ＝1)2 1 (－x D ．y ＝x 21－ 6．函数y ＝2 －x ＋1 ＋2的图象可以由函数y ＝（ 2 1）x 的图象经过怎样的平移得到（ ） A ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 7．在图中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝（ a b ）x 的图象只可为（ ） 8．若－1＜x ＜0，则不等式中成立的是（ ） A ．5－x ＜5x ＜0.5 x B ．5x ＜0.5x ＜5－x C ．5x ＜5－x ＜0.5 x D ．0.5x ＜5－x ＜5x 9、若2 )(,2)(x x x x e e x g e e x f --+=-=，则)2(x f 等于 （ ） （A ） )(2x f （B ） )]()([2x g x f + （C ） )(2x g （D ）)()(2x g x f ? 10．已知1,10-<< A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．函数)1,0()(≠>=a a a x f x 且，对于任意的实数x 、y 都有（ ） A ．)()()(y f x f xy f = B ．)()()(y f x f xy f += C ．)()()(y f x f y x f =+ D ．)()()(y f x f y x f +=+ 12．如图是指数函数的图象，已知底数a 的值取5 1 ,103,34,2， 则相应于曲线4321,,,C C C C 的底数a 依次为（ ） A ．103 , 51,2,34 B ．51 ,103, 34,2 C ．3 4,2,51,103 D ．2,34 ,103,51 13、若函数1 41 )(++=x a x f 满足)()(x f x f -=-，则=a . 14．函数x e x f -=11)(的定义域是 . 15．函数y ＝－2 －x 的图象一定过____象限． 16．函数f （x ）＝a x －1 ＋3的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是___________． 17．函数y ＝3 －x 与__________的图象关于y 轴对称． 18．已知函数f （x ）＝2 1) 3 1 (x -，其定义域是____________，值域是___________． 19．设x x e a a e x f a += >)(,0在R 上满足)()(x f x f =-， （1）求a 的值； （2）证明：)(x f 在),0(+∞上是增函数. 20．已知.)2 1 121( )(x x f x +-= （1）求函数的定义域； （2）判断)(x f 的奇偶性； （3）求证：.0)(>x f 四、感悟高考 1、函数x a y =在]1,0[上的最大值与最小值的和为3，则a 等于（ ） A ． 2 1 B ． 2 C ．4 D ． 4 1 ［解析］因为x a y =为单调函数，因此必在区间[0,1]的端点处取得最大值和最小值，因此有31=+a ，解得.2=a 故选B 。 2、据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十五”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为（ ） A ．115000亿元 B ．120000亿元 C ．127000亿元 D ．135000亿元 ［解析］首先要明白“到十五”末为4年，其次要理解每年比上年增长7.3%的含义，从而得出解析式“十五”末我国国内年生产总值约为95933×(1+7.3%)4可用计算器计算(1+7.3%)4，故选C 。 3．设5.1348.029.01)2 1 (,8,4-===y y y ，则（ ） A ．213y y y >> B ．312y y y >> C ．321y y y >> D ．231y y y >> ［解析］由题知5.1344.128.112,2,2===y y y ，∵函数x y 2=是单调增函数，又 44.15.18.1>>，∴.231y y y >>故选D 。 4．若集合}1|{},2|{-====-x y y P y y M x ，则P M 等于（ ） A ．}1 |{>y y B ．}1 |{≥y y C ．}0|{>y y D ．}0|{≥y y ［解析］x y -=2的值域为1,0-=>x y y 的值域为0≥y ，因此，其交集为.0>y 故选 C 。 5．设函数??? ??>≤-=-). 0(),0(12)(21x x x x f x 若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是（ ） A ．)1,1(- B ．),1(+∞- C ．),0()2,(+∞--∞ D ．),1()1,(+∞--∞ ［解析］∵1)(0>x f ，当00≤x 时，,2211200>?>---x x ∴10- 10>x ，∴.10>x 综上可得0x 的取值范围为),1()1,(+∞--∞ . 故选D 。 7．函数x e y -=的图象（ ） A ．与x e y =的图象关于y 轴对称 B ．与x e y =的图象关于坐标原点对称 C ．与x e y -=的图象关于y 轴对称 D ．与x e y -=的图象关于坐标原点对称 ［解析］函数x e y -=与x e y =，同一个x 对应的函数值互为相反数，其图象关于x 轴对称，对于函数x e y -=与x e y -=而言，自变量x 取相反数时，对应的函数值y 也为相反数，其图象关于原点对称。 故选D 。 8．已知实数b a ,满足等式,)3 1()2 1(b a =下列五个关系式： ①a b <<0；②0< 其中不可能成立的关系式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 ［解析］函数x y )21(1=与x y )3 1(2=的图象如图： 由b a )3 1()21(=得0< 故选B 9．若直线a y 2=与函数)1,0(|1|≠>-=a a a y x 且的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 。 ［解析］画出a y 2=与函数)1,0(|1|≠>-=a a a y x 且的图象，由图象可知120< 10< 1,0( 10．已知).1(1 2 )(>+-+ =a x x a x f x （1）证明函数)(x f 在),1(+∞-上为增函数； （2）用反证法证明方程0)(=x f 没有负根。 ［解析］证明：（1）取+∞<<<-211x x ，则01,01212>->--x x a x x ，且.01>x a ∴0)1(12112>-=--x x x x x a a a a ，且.01>x a 又∵.01,0121>+>+x x ∴ .01 ))(1() (3121221121122>++-=+--+-x x x x x x x x ∴,01 2 12)()(11221212>+--+-+ -=-x x x x a a x f x f x x 即有)()(21x f x f <，故)(x f 在),1(+∞-上为增函数. （2）设存在00 2 000+-- =x x a x 而010<<-x 且,1>a 得)1,0()1,1(0?∈a a x ，即.11 2 000<+-- 22 1 0< 2 00<+-- x x 显然，1 2 000+-- =x x a x 无解，∴方程0)(=x f 没有负根。 11．设函数|1||1|2)(--+=x x x f ，求使22)(≥x f 的x 的取值范围. ［解析］x y 2=是增函数，22)(≥x f 等价于 .2 3 |1||1|≥--+x x ① （1）当1≥x 时，,2|1||1|=--+x x ∴①式恒成立. （2）当11<<-x 时，x x x 2|1||1|=--+，①式化为232≥x ，即.14 3 <≤x （3）当1-≤x 时，2|1||1|-=--+x x ，①式无解. 综上，x 的取值范围是).,4 3 [+∞ 夯实双基参考答案： 1．解析：由函数f （x ）＝（a 2－1）x 的定义域是R 且是单调函数，可知底数必须大于零且不等于1，因此该函数是一个指数函数，由指数函数的性质可得0＜a 2－1＜1，解得1＜｜a ｜＜2． 答案：D 2．解析：由于函数y ＝a x 经过定点（0，1），所以函数y ＝a x －2 经过定点（2，1），于是 函数y ＝a x －2 ＋1经过定点（2，2）． 答案：D 3．解析：由于函数y ＝a x 在［0，1］上是单调的，因此最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝3a x －1 在［0，1］上是单调递增函数，最大值当x ＝1时取到，即为3． 答案：C 4．解析：因为函数f （x ）＝x )21(＝?? ???≥0 2) 0()21(＜x x x x ，图象如下图． 由图象可知答案显然是D ． 答案：D 5．解析：A 中指数取不到零，因此值域为（－0，1）∪（1，＋∞）；B 的指数可以取到所有实数，故值域是正实数；C 和D 的值域都是［0，＋∞）．因此答案是B ． 答案：B 6．解析：函数y ＝2－x ＋1 ＋2可变形为y ＝（ 2 1）x －1 ＋2． 答案：C 7．解析：本题是一个图形分析型综合题，重在寻找突破口，因为y ＝（a b ）x 是一指数函数，故有a b ＞0，即a 、b 同号，于是二次函数y ＝ax 2＋bx 的对称轴x ＝－a b 2＜0，故B 、D 均错；又由指数函数的图象，得0＜a b ＜1，则0＞－a b 2＞－2 1 ，即二次函数的顶点横坐标 在区间（－2 1 ，0）内，显然C 错．因此答案为A ． 答案：A 8．解析：根据指数函数图象可观察答案是B ． 答案：B 9．D 10．A 11．C 12．B 13．2 1 14．)0,(-∞ 15．解析：y ＝－2－x ＝－（ 21）x ，它可以看作是指数函数y ＝（2 1）x 的图象作关于x 轴对称的图象，因此一定过第三象限和第四象限． 答案：三、四 16．解析：f （x ）＝a x －1 ＋3的图象可以看作把f （x ）＝a x 的图象向右平移一个单位再向上 平移3个单位而得到，且f （x ）＝a x 一定过点（0，1），则f （x ）＝a x －1 ＋3应过点（1,4）． 答案：（1，4） 17．解析：图象与y ＝3 －x 关于y 轴对称的函数为y ＝3x ． 答案：y ＝3x 18．解析：由1－x 2≥0解出定义域［－1，1］，由0≤21x －≤1及函数y ＝x )3 1 (的单调性可知1 )3 1(≤2 1) 3 1(x -≤0 )3 1(，即 3 1 ≤y ≤1． 答案：［－1，1］［ 3 1 ，1］ 19．解答：（1）1=a （2）利用定义解答（略） 20．解答：（1）{} 0≠x x （2）偶函数 （3）略 2.1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次 当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数 时，0a ≥． n a =；当n a =；当n (0)|| (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．② 正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指 数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 指数函数练习 1．下列各式中成立的一项 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．4 343 3)(y x y x +=+ D ． 33 39= 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 题型一 指数数与式的运算 【例1】 求下列各式的值： ⑴ 33(5)-；⑵ 2(3)-； ⑶ 335； ⑷ 2()()a b a b -<； ⑸ 4334(3)(3)ππ---．⑹2 3 8；⑺12 25- ；⑻5 12-?? ???；⑼34 1681- ?? ??? ． 【例2】 求下列各式的值： ⑴ 44100；⑵ 55 (0.1)-；⑶ 2(4)π-；⑷ 66 ()()x y x y ->． 【例3】 用分数指数幂表示下列各式： （1）3 2x （2）43)(b a +（a ＋b ＞0） （3）32 )(n m - （4）4 )(n m -（m ＞n ） （5） 5 6 q p ?（p ＞0） （6）m m 3 典例分析 板块一.指数基本运算 【例4】 用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) （1）43a a ? （2）a a a （3）3 22b a ab + （4）4233)(b a + 【例5】 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中0)a >：3a ；2a ． 【例6】 用根式的形式表示下列各式(a ＞0) 15 a ，34 a ，35 a -，23 a - 【例7】 用分数指数幂的形式表示下列各式： 2 a a ，3 3 2a a ,a a (式中a ＞0) 【例8】 求值：23 8，12 100 -,314-?? ???,3 41681- ?? ??? . 【例9】 求下列各式的值： (1)12 2 （2）1 2 6449- ?? ??? （3）34 10000- （4）23 12527- ?? ??? 指数函数与对数函数（讲义） ? 知识点睛 1. 指数函数及对数函数的图象和性质： 2. 利用指数函数、对数函数比大小 （1）同底指数函数，利用单调性比较大小； （2）异底指数函数比大小，可采用化同底、商比法、取中间值、图解法； （3）同底数对数函数比大小，直接利用单调性求解；若底数为字母，需分类讨论； （4）异底数对数函数比大小，可化同底（换底公式）、寻找中间量（-1，0，1），或借助图象高低数形结合． 3. 换底公式及常用变形： log log log c a c b b a =（a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0） 1 log log a b b a = （a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1） log log m n a a n b b m = （a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1） log a b a b =（a >0，且a ≠1；b >0） ? 精讲精练 1. 若a ，b ，c ∈R +，则3a =4b =6c ，则（ ） A ．b a c 111+= B ． b a c 122+= C ．b a c 221+= D ．b a c 212+= 2. 计算： （1）若集合{lg()}{0||}x xy xy x y =，，，，，则228log ()x y +=_________； （2）设0()ln 0x e x g x x x ?=?>?≤（）， （）则1 (())2g g =_____________； （3）若2(3)6()log 6f x x f x x x + 课时4指数函数 一. 指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n n 次方 根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：n a =；当n 为奇数时， a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等 于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 二.指数函数及其性质（4）指数函数 三.例题分析 1.设a 、b 满足0 高一数学 指数函数平移问题 ⑴y =12+x 与y =22+x . ⑵y =12-x 与y =22-x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x ＋a )的图象;向右平移a 个单位得到f (x －a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )＋a 的图象;向下平移a 个单位得到f (x )－a 的图象. 指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 12x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3，∴值域是≤＜．0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 （1）4 12 -=x y ； （2）|| 2()3 x y =； （3）12 41 ++=+x x y ； 【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A ．a ＜b ＜1＜c ＜d B ．a ＜b ＜1＜d ＜c C ． b ＜a ＜1＜d ＜c D ．c ＜d ＜1＜a ＜b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 及时演练 指数函数① ② 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ). 【例3】比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 358945 12--() 高中数学练习：指数与指数函数 基础巩固(时间：30分钟) 1.函数y=a x-(a>0，且a≠1)的图象可能是( D ) 解析：若a>1时，y=a x-是增函数; 当x=0时，y=1-∈(0，1)，A，B不满足; 若0 高考数学知识点：指数函数、函数奇偶性指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。 可以看到： （1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a 大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 （2）指数函数的值域为大于0的实数集合。 （3）函数图形都是下凹的。 （4）a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。 （5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y 轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 （6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。（7）函数总是通过（0，1）这点。 （8）显然指数函数无界。 奇偶性 注图：（1）为奇函数（2）为偶函数 1．定义 一般地，对于函数f(x) （1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 （2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 （3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。 （4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言 ②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。 （分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论） ③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义 2．奇偶函数图像的特征： 定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象 第四节、指数函数 一、初中根式的概念； 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根； （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示。 ． 式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数。 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）。 由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 思考：n n a =a 一定成立吗？ 结论：当n 是奇数时，a a n n = 当n 是偶数时，???<≥-==) 0()0(||a a a a a a n n 例1、（1）=-+125.08 33-4 1633 （2）7722)(2y x y xy x -+ +-= 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(11 *>∈>==-n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂． 3．有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 无理指数幂：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 对于根式的运算，简单的问题可以根据根式的意义直接计算，一般要将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质来进行计算。 例2、化简（1）=÷?----32 11321 32)(a b b a b a b a （2）=?÷?363342b ab a 分数指数幂 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）5 1a = （2）32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）3 4y x = （2）)0(2>=m m m 3、求下列各式的值 （1）2 325= （2）32 254- ?? ??? = 4、解下列方程 （1）13 1 8 x - = （2）151243 =-x 分数指数幂（第 9份）答案 153 ,a a 2、33 2 22 ,x y m 3、（1）125 （2） 8125 4、（1）512 （2）16 指数函数（第 10份） 1、下列函数是指数函数的是 （ 填序号） （1）x y 4= （2）4 x y = （3）x y )4(-= （4）2 4x y =。 2、函数)1,0(12≠>=-a a a y x 的图象必过定点 。 3、若指数函数x a y )12(+=在R 上是增函数，求实数a 的取值范围 。 4、如果指数函数x a x f )1()(-=是R 上的单调减函数，那么a 取值范围是 （ ） A 、2a C 、21< 5、下列关系中，正确的是 （ ） A 、51 31 )21()21(> B 、2.01.022> C 、2 .01.022--> D 、11 5311()()22 - - > 6、比较下列各组数大小： （1）0.5 3.1 2.3 3.1 （2）0.3 23-?? ? ?? 0.24 23-?? ? ?? （3） 2.52.3- 0.10.2- 7、函数x x f 10)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。 函数x x f 1.0)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。 8、求满足下列条件的实数x 的范围： （1）82>x （2）2.05 高一数学复习讲义09年版 函数部分(1) 重点：1把握函数基本知识（定义域、值域） x（a>0、<0) 主要是指数函数y=a x（a>0、<0),对数函数y=log a 2二次函数（重点）基本概念（思维方式）对称轴、 开口方向、判别式 考点1：单调函数的考查 2：函数的最值 3：函数恒成立问题一般函数恒成立问题(重点讲) 4：个数问题（结合函数图象） 3反函数（原函数与对应反函数的关系）特殊值的取舍 4单调函数的证明(注意一般解法） 简易逻辑(较容易) 1. 2. 3. 4. 启示：对此部分重点把握第3题、第4题的解法（与集合的关系） 问题1：恒成立问题解法及题型总结(必考) 一般有5类：1、一次函数型：形如：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m, n]内恒有f(x)>0(<0) 练习：对于满足0 指数与指数函数 一、指数 （一）n 次方根： 1的3次方根是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．以上都不对 2、若4 a －2＋(a －4)0有意义，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B ．a ≥2且a ≠4 C ．a ≠2 D ．a ≠4 （二）、 n 为奇数，a a n n = n 为偶数,?? ?<-≥==0 ,0 ,a a a a a a n n 1．下列各式正确的是( ) ＝－3 ＝a ＝2 D ．a 0＝1 2、.(a －b )2＋5 (a －b )5的值是( ) A ．0 B ．2(a －b ) C ．0或2(a －b ) D ．a －b 3、若xy ≠0，那么等式 4x 2y 2＝－2xy y 成立的条件是( ) A ．x >0，y >0 B ．x >0，y <0 C ．x <0，y >0 D ．x <0，y <0 4、求下列式子 (1)．33 4433)32()23()8(---+- (2)223223--+ （三）、分数指数幂 1、求值 4 3 52 13 2811621258- --?? ? ????? ??；；； 243 的结果为 A 、5 B 、5 C 、－5 D 、－5 3、把下列根式写成分数指数幂的形式： （1）32ab （2）()42 a - （3） 3432x x x （四）、实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． 1．对于a >0，b ≠0，m 、n ∈N *，以下运算中正确的是( ) 第四课：指数函数（一） 知识点一、指数幂的运算 ??? ?? ???==-r s r s r s r s a a a a 1 该式成立的条件必须是：_________ 反例： ?? ?-=____ , ____ ,为当为当n a n a a n n 正例： 1、字母化简 例1：已知0,0>>b a ,化简： （1） ()6 a - （2）a a a a （3） ??? ? ??-÷--- 32653 14 1412b a b a 练习：（1） 3 4 3 5 3 5 2 3a b b a ? （2）31 31 31 323131323 1 2124)8(a a b a b a b b a a ?????? ??-÷++- 2、例2：（1）63125.132?? （2） 21 4 10 3 101.0168187)064.0(-+?? ? ??+??? ??-- 3、“双重根式”的化简 例3：223- （2）324+ （3）2611- 练习：（1）625+ （2）32- （3）53+ 4、条件求值——整体法 高考必备：立方和（差）公式： 例4：已知()032 12 1>=+-x x x ，求下列各式的值： （1）1-+x x （2）22-+x x （3） 2 32 3-+x x 练习：已知433=--x x ，求下列各式的值： （1）x x 1 - （2）22-+x x （3）x 知识点二、指数函数 1、定义：R x a y x ∈=,. 底数.10≠>a a 且 例:1：下列函数中，哪些是指数函数__________ ; 121)12()8(;)7(;4)6(;)5(;)4()4(;4)3(;)2(;4)1(24?? ? ??≠>-====-=-===a a a y x y y y y y x y y x x x x x x x 且πx x y y -+==8)10(;4)9(1 2、指数函数的图像和性质 3、比较指数幂大小 （1）同底不同指：1.01.075.0_____75.0- 方法一：考查指数函数： 方法二：考查幂函数： 练习： 7.08.03_____3 指数运算和指数函数 要求层次重点难点幂的运算 C ①根式的概念 ②有理指数幂 ③实数指数幂 ④幂的运算 ①分数指数幂的概 念和运算性质 ②无理指数幂的理 解 ③实数指数幂的意 义 指数函数的概念 B 在理解实数指数幂 的意义的前提下理 解指数函数 在理解实数指数幂 的意义的前提下理 解指数函数 指数函数的图象和 性质 C ①对于底数1 a>与 01 a <<时指数函 数的不同性质 ②掌握指数函数的 图象和运算性质 ①对于底数1 a>与 01 a <<时指数函 数的不同性质 ②掌握指数函数的 图象和运算性质 ③掌握指数函数作 为初等函数与二次 函数、对数函数结 合的综合应用问题 板块一：指数,指数幂的运算 （一）知识内容 1．整数指数 ⑴正整数指数幂：n a a a a =???，是n个a连乘的缩写（N n + ∈），n a叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂． ⑵整数指数幂：规定：01(0) a a =≠， 1 (0,) n n a a n a - + =≠∈N． 高考要求 第4讲 指数运算与指数函数 知识精讲 2．分数指数 ⑴ n 次方根：如果存在实数x ，使得n x a =(R,1,N )a n n +∈>∈，那么x 叫做a 的n 次方根． ⑵ 求a 的n 次方根，叫做a 开n 次方，称做开方运算． ① 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．这时， a 的n 表示． ② 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数．正数a 的正、负n 0)a >． ⑶正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根． 负数没有偶次方根．0的任何次方根都是0 0． n 叫做根指数，a 3．根式恒等式： n a =；当n a =；当n ||a a a ?=?-? 0a a <≥． 4．分数指数幂的运算法则 ⑴正分数指数幂可定义为：1(0)n a a > 0,,,)m m n m a a n m n +==>∈N 且 为既约分数 ⑵负分数指数幂可定义为：1(0,,,)m n m n m a a n m n a - += >∈N 且 为既约分数 5．整数指数幂推广到有理指数幂的运算性质： ⑴(0,,Q)r s r s a a a a r s +=>∈ ⑵()(0,,Q)r s rs a a a r s =>∈ ⑶()(0,0,Q)r r r ab a b a b r =>>∈ 6．n 次方根的定义及性质：n 为奇数时 a =，n 为偶数时 a =． 7． m n a = m n a - =（0a >，,*m n N ∈，且1n >） 零的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义． 8．指数的运算性质：r s r s a a a +=，()r r r ab a b =（其中,0a b >，,r s ∈R ） 9．无理数指数幂 ⑴ 无理指数幂(0,a a αα>是无理数）是一个确定的实数． ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 10．一般地，当0a >，α为任意实数值时，实数指数幂a α都有意义． 对任意实数α，β，上述有理指数幂的运算法则仍然成立． 指 数函数 2.1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次 当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数 时，0a ≥． n a =；当n a =；当n (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．② 正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指 数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 2.1指数函数练习 1．下列各式中成立的一项 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．4 3433)(y x y x +=+ D ． 33 39= 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 高中数学指数与指数函数练习题及答案 2019级数学单元同步试题 （指数与指数函数） 姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿ 一、选择题（12*5分） 1．（）4（）4等于（） （A）a16 （B）a8 （C）a4 （D）a2 2．函数f（x）=(a2-1)x在R上是减函数，则a的取值范围是（） （A）（B）（C）a （D）1 3.下列函数式中，满足f(x+1)= f(x)的是( ) (A) (x+1) (B)x+ (C)2x (D)2-x 4．已知ab,ab 下列不等式（1）a2b2,(2)2a2b,(3) ,(4)a b ,(5)( )a( )b 中恒成立的有（） （A）1个（B）2个（C）3个（D）4个 5．函数y= 的值域是（） （A）（- ）（B）（- 0）（0，+ ） （C）（-1，+ ）（D）（- ，-1）（0，+ ） 6．下列函数中，值域为R+的是（） （A）y=5 （B）y=( )1-x （C）y= （D）y= 7．下列关系中正确的是（） （A）（）（）（）（B）（）（）（） （C）（）（）（）（D）（）（）（） 8．若函数y=32x-1的反函数的图像经过P点，则P点坐标是（） （A）（2，5）（B）（1，3）（C）（5，2）（D）（3，1）9．函数f(x)=3x+5,则f-1(x)的定义域是（） （A）（０，＋）（B）（５，＋） （C）（６，＋）（D）（－，＋） 10．已知函数f(x)=ax+k,它的图像经过点（1，7），又知其反函数的图像经过点（4，0），则函数f(x)的表达式是（）(A)f(x)=2x+5 (B)f(x)=5x+3 (C)f(x)=3x+4 (D)f(x)=4x+3 11．已知01,b-1,则函数y=ax+b的图像必定不经过（）(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 12．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为（） （A）na(1-b%) （B）a(1-nb%) （C）a[(1-(b%))n （D）a(1-b%)n 答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题（4*4分） 第四节、指数函数 、初中根式的概念; 如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根； (一)指数与指数幕的运算 1.根式的概念 一般地，如果x" a，那么x叫做a的n次方根，其中n >1,且n € N . 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.此时，a的n次方根用符号n a表示。 .式子R'a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数a 的正的n次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号一：a表示?正的n次方根与负的n 次方根可以合并成土：a ( a>0)。 由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作n0 0 思考：x a n=a 一定成立吗? 结当n是奇数时，n a n a 当n是偶数时，n a n| a | a (a 0) a (a 0) (2) . x2 2xy .(x y)7= 2 ?分数指数幕 正数的分数指数幕的意义 规定： m a n Va m （a 0, m, n N *, n 1） -1 1 * a n r 尸帛 （a °， m,n N ,n 1） a 7 va 0的正分数指数幕等于0, 0的负分数指数幕没有意义 指出：规定了分数指数幕的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理 数指数，那么整数指数幕的运算性质也同样可以推广到有理数指数幕. 3 ?有理指数幕的运算性质 (1) r r a ?a s a (a 0,r,s Q) ； (2) r s (a ) rs a (a 0,r,s Q) ； (3) r (ab) r s a a (a 0,b 0,r 无理指数幕：-般地，无理数指数幕a （a 0,是无理数）是一个确定的 实数?有理数指数幕的运算性质同样适用于无理数指数幕. 对于根式的运算，简单的问题可以根据根式的意义直接计算， 一般要将根式化为 分数指数幕，利用分数指数幕的运算性质来进行计算。 2 例2、化简（1）丰匚（旦 a 2?V b 2 (2) 2?3a a ?2 , x 0 x (, a R ), 若 f[ f ( 1)] 1,则 a=( 2 x ,x 0 例 3 、已知函数 f （ x ） 2 (2) 【例3】比较大小: 高一数学指数函数平移问题 x 1 x 2 x 1 x 2 ⑴y=2 与 y=2 . ⑵y =2 与 y =2 f(x)的图象 向左平移a 个单位得到f(x + a)的图象；向右平移a 个单位得到f(x — a)的图象； 向上平移a 个单位得到f(x) + a 的图象；向下平移a 个单位得到f(x) — a 的图象. 指数函数?经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域： 1 (1)y = 3厂 (2)y = ..2x 2 1 (3)y = .3 3x 1 解 (1)定义域为x € R 且x 丰2 .值域y > 0且沪 1 . ⑵由2x+ 2 — 1 >0,得定义域｛x|x >— 2｝，值域为y 》0. ⑶由 3— 3x-1 > 0,得定义域是｛x|x < 2｝，: 0< 3 — 3x — 1 v 3,二值域是 0 < y V 3 . 及时演练 求下列函数的定义域与值域 (1) y (2) y (|)|x|； 【例2】指数函数y = ax , y = b x , y = c x , y = d x 的图像如图2. 6 — 2所示, 则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A . a v b v 1 v c v d C . b v a v 1 v d v c B . a v b v 1 v d v c D . c v d v 1 v a v b 选(c)，在x 轴上任取一点(x , 0)，则得 b v a v 1 v d v c . J y y=c E r 匪.6-2 及时演练 指数函数①' ②「J —」 满足不等式1’ 一」；「-,则它们的图象是(). (1) 2、3 2、5 4、8 8、 9 16的大小关系是: (2)0.6 3 课题： 指数函数及其性质（一） 课 型：新授课 教学目标： 使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质. 教学重点：掌握指数函数的的性质． 教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：零指数、负指数、分数指数幂是怎样定义的？ 2. 提问：有理指数幂的运算法则可归纳为几条？ 二、讲授新课： 1.教学指数函数模型思想及指数函数概念： ① 探究两个实例： A ．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么？ B ．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？ ② 讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？ ③ 定义：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R . ④讨论：为什么规定a ＞0且a ≠1呢？否则会出现什么情况呢？→ 举例：生活中其它指数模型？ 2. 教学指数函数的图象和性质： ① 讨论：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ ② 回顾：研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． ③ 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： 1 ()2 x y =， 2x y = （师生共作→小结作法） ④ 探讨：函数2x y =与1()2x y =的图象有什么关系？如何由2x y =的图象画出1 ()2 x y =的图 象？根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. → 变底数为3或1/3等后？ ⑤ 根据图象归纳：指数函数的性质 (书P 56) 3、例题讲解 例1：（P 56 例6）已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f -的值. 例2：（P 56例7）比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.73高一数学指数函数知识点及练习题
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