离散数学(屈婉玲版)第一章部分习题
第一章习题
1.1&1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还
是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值.
(1) √2是无理数.
是命题,简单命题.p:√2是无理数.真值:1
(2) 5能被2整除.
是命题,简单命题.p:5能被2整除.真值:0
(3)现在在开会吗?
不是命题.
(4)x+5>0.
不是命题.
(5) 这朵花真好看呀!
不是命题.
(6) 2是素数当且仅当三角形有3条边.
是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.p q真值:1
(7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起.
是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p q 真值:0
(8) 2008年10月1日天气晴好.
是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯一.
(9) 太阳系以外的星球上有生物.
是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一.
(10) 小李在宿舍里.
是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一.
(11) 全体起立!
不是命题.
(12) 4是2的倍数或是3的倍数.
是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p∨q真
值:1
(13) 4是偶数且是奇数.
是命题,复合命题.P:4是偶数.q:4是奇数.p∧q真值:0
(14) 李明与王华是同学.
是命题,简单命题.p: 李明与王华是同学.真值唯一.
(15) 蓝色和黄色可以调配成绿色.
是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:1
1.3 判断下列各命题的真值.
(1)若2+2=4,则3+3=6.
(2)若2+2=4,则3+3≠6.
(3)若2+2≠4,则3+3=6.
(4)若2+2≠4,则3+3≠6.
(5)2+2=4当且仅当3+3=6.
(6)2+2=4当且仅当3+3≠6.
(7)2+2≠4当且仅当3+3=6.
(8)2+2≠4当且仅当3+3≠6.
答案:
设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题.
(1)p→q,真值为1.
(2)p→┐q,真值为0.
(3)┐p→q,真值为1.
(4)┐p→┐q,真值为1.
(5)p q,真值为1.
(6)p┐q,真值为0.
(7)┐p q,真值为0.
(8)┐p┐q,真值为1.
1．4将下列命题符号化，并讨论其真值。
（1）如果今天是1号，则明天是2号。
p:今天是1号。
q:明天是2号。
符号化为：p q
真值为：1
（2）如果今天是1号，则明天是3号。
p:今天是1号。
q:明天是3号。
符号化为：p q
真值为：0
1.5将下列命题符号化。
（1）2是偶数又是素数。
（2）小王不但聪明而且用功。
（3）虽然天气很冷，老王还是来了。
（4）他一边吃饭，一边看电视。
（5）如果天下雨，他就乘公共汽车上班。
（6）只有天下雨，他才乘公共汽车上班。
（7）除非天下雨，否则他不乘公共汽车上班。(意思为：如果他乘公共汽车上班，则天下雨或如果不是天下雨，那么他就不乘公共汽车上班)
（8）不经一事，不长一智。
答案：（1）设p：2是偶数，q：2是素数。符号化为：p∧q （2）设p：小王聪明，q：小王用功。符号化为：p∧q
（3）设p：天气很冷，q：老王来了。符号化为：p∧q
（4）设p：他吃饭,q：他看电视。符号化为：p∧q
（5）设p：天下雨，q：他乘公共汽车。符号化为：p→q
（6）设p：天下雨，q：他乘公共汽上班。符号化为：q→p
（7）设p：天下雨，q：他乘公共汽车上班。符号化为：q→p 或q→p
（8）设p：经一事，q：长一智。符号化为：p→q
1.6设p,q的真值为0；r,s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)
（2）(p?r)∧(?p∨s)
（3）(p∧(q∨r))→(p∨q)∧(r∧s)
（4）?(p∨(q→(r∧?p)) →(r∨?s)
解：（1）p∨(q∧r)
p q r q∧r p∨(q∧r)
00100
p q r s p
r ?
p
?p∨
s
(p r)∧(?p
∨s)
00110110 (3)(p∧(q∨r))→(p∨q)∧(r∧s)
p q r s q∨
r p∧(q
∨r)
p∨
q
r∧
s
(p∨q)∧(r
∧s)
(p∧(q∨r))→
(p∨q)∧(r∧
s)
0011100101
p q r s?
p r∧
?p
q→(r∧
?p)
(p∨(q→(r
∧?p))
(r∨
?s)
?(p∨(q→(r
∧?p)) →
(r∨?s)
0011111111 1．7 判断下列命题公式的类型。
（1）p(p q r)
解： p q
p q r
p (p q
r)
由真值表可知，该命题公式为重言式。 （2）（p → ┑p ）→ ┑ p 由真值知命题公式的类型是：重言式 （3）┐(q →p)∧p
(4)(p →q) →(﹁q →﹁p) 解:
其真值表为:
(5)( ﹁p→q) →(q→﹁p)
解:
其真值表为:
（7）（p∨?p）→((q∧?q) ∧?r)解：
10110000
1101010
1111000
1.7(8)
(p q)→﹁(p∨q).
p q(p q)(p∨q)﹁(p∨q)(p q)→﹁(p
∨q)
0 01011
0 10101
1 00101
1 11100 (9) ((ｐ→ｑ)∧(ｑ→ｒ))→(ｐ→ｒ)
解:
pｑｒｐ→
ｑｑ→
ｒ
（ｐ→ｑ）∧
（ｑ→ｒ）
ｐ→
ｒ
A
00011111 00111111 01010011 01111111 10001001 10101011 11010001 11111111
（10）（（p∨q）→r） s
解：
结论：此命题为非重言式可满足式
1.8 用等值演算法证明下列等值式
（1）（p∧q）∨(p∧﹁q) ?p
证明：
（p∧q）∨(p∧﹁q) （分配律）?p∧(q∨﹁q) （排中律）
?p∧1 (同一律)
p
（3）（p q） ( ( p q ) ( p q ) )
证明：（p q）
( ( p q ) (q p ) )
( ( p q ) ( q p ) )
( p q ) ( q p )
( p q ) ( q p )
( ( p q ) q ) ( (p q ) p )
( ( p q ) ( q q ) ) ( ( p p ) ( q p) )
(( p q ) 1) (1 ( q p) )
( p q ) ( q p)
( p q ) ( p q )
1.9 用等值演算法判断下列公式的类型。
（1）（（p q）p）.
解：（1）（（p q）p）
（（p q）p）蕴含等值式
（（p q））p 德·摩根律
p q p 双重否定律
p p q 交换律
0q 矛盾律
0 零律
即原式为矛盾式.
(2)((p q) (q p))(p q)
解：((p q) (q p))(p q)
(p q) (p q)
((p q) (p q)) ((p q) (p q))
(P q) (p q)
(p q) (p q))
1
即((p q) (q p))(p q)是重言式。
(3) (p→q)→(q→p).
解：(p→q)→(q→p)
((p∨q))∨(q∨p)
(p∧q) ∨(q∨p)
(p∨(p∧q))∧(q∨(q∨p))
( (p∨p)∨q)∧((q∨q)∨p]
(p∨q) ∧(p∨q)
(p∨q)
或(p→q)→(q→p)
((p∨q))∨(q∨p)
(p∧q) ∨(q∨p)
（(p∧q) ∨q）∨p结合律
p∨q 吸收律
结论：该公式为可满足式。
1.12(1)求下面命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值。
(p∨(q∧r))→（p∧q∧r）
?(p∨(q∧r))∨(p∧q∧r)
(?p∧(?q∨?r)) ∨(p∧q∧r)
(?p∧?q) ∨(?p∧?r)∨(p∧q∧r)
((?p∧?q)∧(r∨?r)) ∨((?p∧?r)∧(q∨?q)) ∨(p∧q∧r)
(?p∧?q∧r)∨(?p∧?q∧?r)∨(?p∧?q∧?r) ∨(?p∧q∧?r) ∨(p∧q∧r)
(?p∧?q∧r)∨(?p∧?q∧?r) ∨(?p∧q∧?r) ∨(p∧q∧r)
((?p∧?q∧?r) ∨(?p∧?q∧r)∨(?p∧q∧?r) ∨(p∧q∧r)
m0∨m1∨m2∨m7
∑(0,1,2,7)
故其主析取范式为
(p∨(q∧r))→（p∧q∧r）∑(0,1,2,7)
由最小项定义可知道原命题的成真赋值为
(0,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,1)
成假赋值为(0,1,1)(1,0,0)(1,0,1)(1,1,0)
由主析取范式和主合取范式的关系即可知道主合取范式为
(p∨(q∧r))→（p∧q∧r）∏(3,4,5,6)
（3）（p q）q r
解：（p q）q r
（p q）q r
p q q r
既（p q）q r是矛盾式。（p q）q r的主合取范
式为M
0 M
1
M
2
M
3
M
4
M
5
M
6
M
7，
成假赋值为：000，
001，010，011，100，101，111．
13.通过求主析取范式判断下列各组命题公式是否等值。
（1）①p→(q→r);②q→(p→r).
解：p→(q→r) ﹁p (q→r)
﹁p (﹁q r)
﹁p﹁q r
(﹁p(q﹁q)(r﹁r))((p﹁p)﹁q(r﹁r))((p ﹁p)(q﹁q) r)
(﹁p q r) (﹁p q﹁r) (﹁p﹁q r) (﹁p﹁q ﹁r) (p﹁q r) (p﹁q﹁r) (﹁p q r)
∑(0,1,2,3,4,5,7)
q→(p→r)﹁q (﹁p r)
﹁p﹁q r
∑(0,1,2,3,4,5,7)
所以两式等值。
（2）①p q
?(p∧q)
(p∧(q∨?q))∨(q∧(p∨?p))
(p∧q)∨(?p∧?q) ∨(?q∧p) ∨(?p∧?q)
(?p∧q) ∨(?p∧?q) ∨(p∧?q)
m
1∨m
∨m
2
∑(0,1,2)
(p∧?q)处原为(?q∧p)，不是极小项
②令A = p q
B= ?(p∧q)
C=(?p∧q) ∨(?p∧?q) ∨(p∧?q)
D = p↓q
则B*=?(p∨q) p↓q=D
且A B C
所以D A*C*
C* = (?p∨q)∧(?p∨?q)∧(p∨?q)
∏（0，1，2）∑(3)
所以①!②
1.15某勘探队有3名队员，有一天取得一块矿样，3人判断如下：
甲说：这不是铁，也不是铜；
乙说：这不是铁，是锡；
丙说：这不是锡，是铁；
经实验室鉴定后发现，其中一人两个判断都正确，一个人判对一半，另一个人全错了。根据以上情况判断矿样的种类。
解：p：是铁q：是铜r：是锡
由题意可得共有6种情况：
1)甲全对，乙对一半，丙全错：(﹁p∧﹁q) ∧((﹁p∧﹁r)∨(p∧r)) ∧(r∧﹁p) ①
2)甲全对，丙对一半，乙全错：(﹁p∧﹁q) ∧（（﹁r∧﹁p）∨(r ∧p)）∧(p∧﹁r) ②
3)乙全对，甲对一半，丙全错：（﹁p∧r）∧((﹁p∧q) ∨(﹁q∧p)) ∧(r∧﹁p) ③
4)乙全对，丙对一半，甲全错：（﹁p∧r）∧((﹁r∧﹁p) ∨(r∧p)) ∧(p∧q) ④
5)丙全对，甲对一半，乙全错：(﹁r∧p) ∧( (﹁p∧q) ∨(p∧﹁q)) ∧(p∧﹁r) ⑤
6)丙全对，乙对一半，甲全错：(﹁r∧p) ∧((﹁p∧﹁r)∨(p∧r)) ∧(p∧q) ⑥
则①∨②∨③∨④∨⑤∨⑥1
①(﹁p∧﹁q∧﹁p∧﹁r∧r∧﹁p) ∨(﹁p∧﹁q∧p∧r∧r∧﹁p)
0∨00
②(﹁p∧﹁q∧﹁r∧﹁p∧p∧﹁r)∨(﹁p∧﹁q∧r∧p∧p∧﹁r) 0∨00
③(﹁p∧r∧﹁p∧q∧r∧﹁p) ∨（﹁p∧r∧﹁q∧p∧r∧﹁p）(﹁p∧q∧r) ∨0﹁p∧q∧r
④（﹁p∧r∧﹁r∧﹁p∧p∧q）∨（﹁p∧r∧r∧p∧p∧q）0∨00
⑤(﹁r∧p∧﹁p∧q∧p∧﹁r) ∨(﹁r∧p∧p∧﹁q∧p∧﹁
r)0∨(p∧﹁q∧﹁r) p∧﹁q∧﹁r
⑥(﹁r∧p∧﹁p∧﹁r∧p∧q) ∨(﹁r∧p ∧p∧r∧p∧q)0∨00
所以①∨②∨③∨④∨⑤∨⑥（﹁p∧q∧r）∨（p∧﹁q∧﹁
r）
而这块矿石不可能既是铜又是锡，所以只能是
1.16判断下列推理是否正确，先将命题符号化，再写出前提和结论，让后进行判断。
3如果今天是1号，则明天是5号。今天是1号，所以明天是5号。
p：今天是1号q：明天是5号
解：前提：p→q ,p
结论：q
推理的形式结构为：((p→q)∧p)→q
证明：①p→q 前提引入
②p 前提引入
③q 假言推理
此命题是正确命题
1.16（2）
判断下列推理是否正确，先将命题符号化再写出前提和结论，然后进行判断
如果今天是1号，则明天是5号。明天是5号，所以今天是1号。
解设p: 今天是1号,q: 明天是5号,则该推理可以写为
( (p→q)∧q)→p
前提p→q，q
结论p
判断
证明
( (p→q)∧q)→p ? ( (p→q)∧q)∨p
?( p→q)∨?q∨p
?( ?p∨q) ∨?q∨p
(p∧?q) ∨?q∨p
?q∨p
此式子为非重言式的可满足式，故不可以判断其正确性
所以此推理不正确
1.16（3）如果今天是1号，则明天是5号，明天不是5号，所以今天不是1号。
解：p:今天1号.
q:明天是5号.
((p→q)∧?q)→?p
前提:p→q,?q.
结论: ?p.
证明:①p→q 前提引入
②?q 前提引入
③?p ①②拒取式
推理正确
1.17(1)前提：﹁（p∧﹁q）,﹁q∨r,﹁r
结论：﹁p.
证明：①﹁q∨r 前提引入
②﹁r 前提引入
③﹁q ①②析取三段论
④﹁(p∧﹁q) 前提引入
⑤﹁p∨q ④置换
⑥﹁p ③⑤析取三段论
即推理正确。
（2）前提：p→(q→s),q, p∨﹁r
结论：r →s.
证明：①p∨﹁r 前提引入
②r 附加前提引入
③p 析取三段论
④p→(q→s) 前提引入
⑤q→s 假言推理
⑥q 前提引入
⑦s 假言推理
由附加前提证明法可知，结论正确。
(3): 前提: p→q.
结论: p→(p∧q).
证明: ①p→q. 前提引入
②p 附加前提引入
③q ①②假言推理
④p∧q ②③合取引入规则（4）前提：q p,q s,s t,t r.
结论：p q s r.
证明：1) t r；前提引入
2) t ；1)的化简
3) s t；前提引入
4)（s t）(t s); 3)的置换
5) t s 4)的化简
6) s；2),5)的假言推理
7) q s；前提引入
8) (q s)(s q)；7)置换
9) s q 8)的化简
10) q；6),9)的假言推理
11) q p；前提引入
12) p；10),11)的假言推理
13）r 1)的化简
14) p q s r 6),10),12),13)的合取
所以推理正确。
1．18 如果他是理科学生，他必学好数学。如果他不是文科学生，他必是理科学生。他没学好数学。所以它是文科学生。
判断上面推理是否正确，并证明你的结论。
解：p:他是理科学生q:他学好数学r:他是文科学生前提：p→q ，┐r→p ，┐q
结论：r
①┐p前提引入
②p→q 前提引入
③┐p ①②拒取式
④┐r→p 前提引入
⑤r ③④拒取式
1.19 给定命题公式如下：p(q r)。
求命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值。
解：p(q r)
(( p q q))(r r))((q r)(p p))
p q r)p q r)(p q r)(p q r)(p q r)(p q r)
m
7m
6
m
5
vm
4
m
6
m
2
m
7m
6
m
5
vm
4
m
2 2、4、5、6、7
∴p(q r) 0、1、3
既010、100、101、110、111是成真赋值，
000、001、011是成假赋值
1.20 给定命题公式如下：（p q）r。
求命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值。
解：（p q）r
(p q)r
((p q)(r r))((p p)(q q)r)
(p q r)(p q r)(p q r)(p q r)(p q r) (p q r)
m
7m
6
m
7
m
5
m
3
m
1
m
7m
6
m
5
m
3
m
1 1、3、5、6、7
∴（p q）r 0、2、4
既001、011、101、110、111是成真赋值，
000、010、100是成假赋值。
例题
例1.25 给定命题公式如下，用等值演算判断公式类型
(1)(p∧q) →(p∨q)
解：﹁(p∧q) ∨(p∨q)
﹁p∨﹁q∨p∨q
(﹁p∨p) ∨(﹁q∨q)
1∨1
1
所以为重言式
（2）(p?q) ?((p→q)∧(q→p))
解：(p?q) ?((p→q)∧(q→p))
(p?q) ?(?q)
((p?q)→(p?q))∧((p?q)→(p?q))
(p?q)→(p?q)
?(p?q) ∨(p?q)
?((p→q) ∧(q→p)) ∨((p→q) ∧(q→p))
((?(p→q) ∨? (q→p)) ∨(p→q)) ∧(?(p→q) ∨? (q→
p)) ∨(q→p))
(1∨? (q→p))∧(1∨(q→p))
1 ∧1
1
所以此式是重言式(红色字体部分可删去)
（3） (p→q)∧q
解： (p→q)∧q(p∨q)∧q (p∧q)∧q p∧(q∧q) p∧00
由上使等值演算结果可知：此式为矛盾式。
(4) (p p)q
0q
(0q)(q0)
(0q)(q0)
1q
q
由此结果可得此式为：非重言式的可满足式（5）p(p q);
解：p(p q)
p( p q)
（p p）q
1q
1
所以该命题公式是重言式。
（6）（p∨﹁p）→((q∧﹁q)∧r)
1→（0∧r）
1→0
﹁1∨0
所以为矛盾式
(7)((p→q)→p)p
离散数学答案屈婉玲版第二版 高等教育出版社课后答案
离散数学答案屈婉玲版 第二版高等教育出版社课后答案 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（pr）∧(﹁q∨s) ?（01）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1） (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例）
第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p)
离散数学(屈婉玲)答案说课讲解
离散数学(屈婉玲)答 案
第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)? 0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数 0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除 0 命题符号化为： p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 //最后一列全为1 （5）公式类型为可满足式（方法如上例）//最后一列至少有一个1 （6）公式类型为永真式（方法如上例）// 第二章部分课后习题参考答案
3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1 所以公式类型为永真式 (3) P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r
离散数学屈婉玲版第一章部分习题汇总
第一章习题 1.1&1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还 是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值. (1) √2是无理数. 是命题,简单命题.p:√2是无理数.真值:1 (2) 5能被2整除. 是命题,简单命题.p:5能被2整除.真值:0 (3)现在在开会吗? 不是命题. (4)x+5>0. 不是命题. (5) 这朵花真好看呀! 不是命题. (6) 2是素数当且仅当三角形有3条边. 是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.p?q真值:1 (7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起. 是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p?q真值:0 (8) 2008年10月1日天气晴好. 是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯 一. (9) 太阳系以外的星球上有生物. 是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一. (10) 小李在宿舍里. 是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一. (11) 全体起立! 不是命题. (12) 4是2的倍数或是3的倍数. 是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p∨q 真值:1 (13) 4是偶数且是奇数.
是命题,复合命题.P:4是偶数.q:4是奇数.p∧q真值:0 (14) 李明与王华是同学. 是命题,简单命题.p: 李明与王华是同学.真值唯一. (15) 蓝色和黄色可以调配成绿色. 是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:1 1.3 判断下列各命题的真值. (1)若 2+2=4,则 3+3=6. (2)若 2+2=4,则 3+3≠6. (3)若 2+2≠4,则 3+3=6. (4)若 2+2≠4,则 3+3≠6. (5)2+2=4当且仅当3+3=6. (6)2+2=4当且仅当3+3≠6. (7)2+2≠4当且仅当3+3=6. (8)2+2≠4当且仅当3+3≠6. 答案: 设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题. (1)p→q,真值为1. (2)p→┐q,真值为0. (3)┐p→q,真值为1. (4)┐p→┐q,真值为1. (5)p?q,真值为1. (6)p?┐q,真值为0. (7)┐p?q,真值为0. (8)┐p?┐q,真值为1. 1．4将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）如果今天是1号，则明天是2号。 p:今天是1号。 q:明天是2号。 符号化为：p→q 真值为：1 （2）如果今天是1号，则明天是3号。 p:今天是1号。
屈婉玲版离散数学课后习题答案【2】
第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有错误！未找到引用源。2=(x+错误！未找到引用源。)(x 错误！未找到引用源。). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解： F(x): 错误！未找到引用源。2=(x+错误！未找到引用源。)(x 错误！未找到引用源。). G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为)(x xF ?，在（a ）中为假命题，在(b)中为真命题。 (2)在两个个体域中都解释为)(x xG ?，在（a ）(b)中均为真命题。 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x 能表示成分数 H(x): x 是有理数 命题符号化为: ))()((x H x F x ∧??? (2)F(x): x 是北京卖菜的人 H(x): x 是外地人 命题符号化为: ))()((x H x F x →?? 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x 是火车; G(x): x 是轮船; H(x,y): x 比y 快
命题符号化为: )) F x G x→ ∧ ? ? y y ( )) ( ) , x ((y ( H (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ))) x x F y y→ ?? ∧ ? G (y H ( , ( ) ( ( x ) 9.给定解释I如下: (a) 个体域D为实数集合R. (b) D中特定元素错误！未找到引用源。=0. (c) 特定函数错误！未找到引用源。(x,y)=x错误！未找到引用源。y,x,y D ∈错误！未找到引用源。. (d) 特定谓词错误！未找到引用源。(x,y):x=y,错误！未找到引用源。(x,y):x 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1 所以公式类型为永真式 (3) P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 离散数学(屈婉玲版)第四章部分答案 4.1 （1）设S={1，2}，R 是S 上的二元关系，且xRy 。如果R=Is ，则（A ）；如 果R 是数的小于等于关系，则（B ），如果R=Es ，则（C ）。 （2）设有序对 第一章命题逻辑基本概念 课后练习题答案 1.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1； （2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1； （3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1； （4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0； （5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0. 2.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1； （2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1； （3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； （4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1； （5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； 3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨； （2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；. 4.因为p与q不能同时为真. 5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三： （1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）； （2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）； （3）p q，真值为1； （4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1. 返回 第二章命题逻辑等值演算 本章自测答案 5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11； (2)：0，矛盾式，无成真赋值； (3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值； 7.(1)：∨∨∨∨?∧∧； (2)：∨∨∨?∧∧∧； 8.(1)：1?∨∨∨,重言式； (2)：∨?∨∨∨∨∨∨； (3)：∧∧∧∧∧∧∧?0，矛盾式. 11.(1)：∨∨?∧∧∧∧； 《离散数学1-5章》练习题答案第2，3章(数理逻辑) 1.答：（2），（3），（4） 2.答：（2），（3），（4），（5），（6） 3.答：（1）是，T （2）是，F （3）不是 （4）是，T （5）不是（6）不是 4.答：（4） 5.答：?P ，Q→P 6.答：P(x)∨?yR(y) 7.答：??x(R(x)→Q(x)) 8、 c、P→(P∧(Q→P)) 解：P→(P∧(Q→P)) ??P∨(P∧(?Q∨P)) ??P∨P ? 1 (主合取范式) ? m0∨ m1∨m2∨ m3 （主析取范式） d、P∨(?P→(Q∨(?Q→R))) 解：P∨(?P→(Q∨(?Q→R))) ? P∨(P∨(Q∨(Q∨R))) ? P∨Q∨R ? M0 (主合取范式) ? m1∨ m2∨m3∨ m4∨ m5∨m6 ∨m7 (主析取范式) 9、 b、P→(Q→R)，R→(Q→S) => P→(Q→S) 证明： （1） P 附加前提 （2） Q 附加前提 （3） P→(Q→R) 前提 （4） Q→R （1），（3）假言推理 （5） R （2），（4）假言推理 （6） R→(Q→S) 前提 （7） Q→S （5），（6）假言推理 （8） S （2），（7）假言推理 d、P→?Q，Q∨?R，R∧?S??P 证明、 (1) P 附加前提 （2） P→?Q 前提 （3）?Q （1），（2）假言推理 （4） Q∨?R 前提 (5) ?R （3），（4）析取三段论 (6 ) R∧?S 前提 （7） R （6）化简 （8） R∧?R 矛盾（5），（7）合取 所以该推理正确 10.写出?x(F(x)→G(x))→(?xF(x) →?xG(x))的前束范式。 解：原式??x(?F(x)∨G(x))→(?(?x)F(x) ∨ (?x)G(x)) ??(?x)(?F(x)∨G(x)) ∨(?(?x)F(x) ∨ (?x)G(x)) ? (?x)((F(x)∧? G(x)) ∨G(x)) ∨ (?x) ?F(x) 第一章习题 1.1 &1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还是复合命 题?并将命题符号化，并讨论它们的真值. (1) V 2是无理数. 是命题,简单命题.p:V2是无理数?真值:1 (2) 5能被2整除. 是命题,简单命题.p:5能被2整除?真值:0 (3) 现在在开会吗？ 不是命题. ⑷ x+5>0. 不是命题. (5) 这朵花真好看呀！ 不是命题. (6) 2是素数当且仅当三角形有3条边. 是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.旷q真值:1 (7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起. 是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p q真值:0 (8) 2008 年10月1日天气晴好. 是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯 (9) 太阳系以外的星球上有生物. 是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一. (10) 小李在宿舍里. 是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一. (11) 全体起立！ 不是命题. (12) 4 是2的倍数或是3的倍数. 是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p V q 真值:1 (13) 4 是偶数且是奇数. 是命题,复合命题P:4是偶数.q:4是奇数.p A q真值:0 (14) 李明与王华是同学. 是命题,简单命题.p:李明与王华是同学.真值唯一. (15) 蓝色和黄色可以调配成绿色. 是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:1 1.3 判断下列各命题的真值. (1) 若2+2=4,则3+3=6. ⑵若2+2=4,则3+3工6. (3)若2+2 工4,则3+3=6. ⑷若2+2工4,则3+3工6. ⑸2+2=4当且仅当3+3=6. ⑹2+2=4当且仅当3+3工6. (7) 2+2工4当且仅当3+3=6. (8) 2+2工4当且仅当3+3工6. 答案: 设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题. (1) p -q,真值为1. (2) p q,真值为0. ⑶门p-q,真值为1. ⑷门p-n q,真值为1. (5) p「q,真值为1. (6) p?门q,真值为0. ⑺门p q,真值为0. (8) n p n q,真值为1. 1. 4将下列命题符号化，并讨论其真值。 (1)如果今天是1号，贝V明天是2号。 p：今天是1号。 q:明天是2号。 符号化为：旷q 真值为：1 (2)如果今天是1号，则明天是3号。 离散数学习题答案 习题二及答案：（P38） 5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ?→∧∧ 解：原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧ ()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。 6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： | （2）()()p q p r ∧∨?∨ 解：原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。 7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）()p q r ∧∨ 解：原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧ ()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567m m m m m ?∨∨∨∨，此即主析取范式。 ； 主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。 9、用真值表法求下面公式的主析取范式： （1）()()p q p r ∨∨?∧ 解：公式的真值表如下： , 由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式，故主析取范式 1234567m m m m m m m ?∨∨∨∨∨∨ 习题三及答案：（P52-54） 11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 前提：,,,p q q r r s p ?∨?∨→ 结论：s 证明： ① p 前提引入 ② p q ?∨ 前提引入 — ③ q ①②析取三段论 ④ q r ?∨ 前提引入 ⑤ r ③④析取三段论 ⑥ r s → 前提引入 ⑦ s ⑤⑥假言推理 15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理： （2）前提：()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→ 结论：p u → 证明：用附加前提证明法。 ' ① p 附加前提引入 ② p q ∨ ①附加 ③ ()()p q r s ∨→∧ 前提引入 ………………………………………………最新资料推 荐……………………………………… 1.1．略 1.2．略 1.3．略 1.4．略 1.5．略 1.6．略 1.7．略 1.8．略 1.9．略 1.10．略 1.11．略 1.12．将下列命题符号化,并给出各命题的真值: (1)2+2＝4当且仅当3+3＝6.(2)2+2＝ 4的充要条件是3+3≠6.(3)2+2≠4与 3+3＝6互为充要条件.(4)若2+2≠4, 则 3+3≠6,反之亦然. (1)p?q,其中,p: 2+2＝4,q: 3+3＝6, 真值为 1.(2)p??q,其中,p:2+2＝4,q:3+3＝6,真值为0. (3)?p?q,其中,p:2+2＝4,q:3+3＝6,真值为 0.(4)?p??q,其中,p:2+2＝4,q:3+3＝6,真值为1. 1.13．将下列命题符号化, 并给出各命题的真值:(1) 若今天是星期一,则明天是星期二.(2)只有今天 是星期一,明天才是星期二.(3)今天是星期一当 且仅当明天是星期二. (4)若今天是星期一,则明 天是星期三. 令p: 今天是星期一;q:明天是星期二;r:明天是星期三.(1) p→q ? 1. (2) q→p ? 1. (3) p?q? 1. (4)p→r当p ? 0时为真; p ? 1时为假. 1.14．将下列命题符号化. (1) 刘晓月跑得快,跳得高.(2) 老王是山东人或河北人. (3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小 组. (5)李辛与李末是兄弟. (6)王强与刘威都学过法语. (7)他一面吃 饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨,他就乘 班车上班.(9)只有天下大雨,他才乘班车上 班.(10)除非天下大雨,他才乘班车上班.(11) 下雪路滑, 他迟到了. (12)2与4都是素数,这是不对的. (13)“2或4是素数,这是不对的”是不对的. 6.1(5) 5S =n M (R),+为矩阵加法，则S 是（群） 答：满足封闭性，因为矩阵加法可结合所以为半群，且幺元为e ＝0的矩阵,故为独异点。又因为以任一n 阶矩阵的逆元存在是它的负矩阵，所以是群。 评语：答案太简单 6.2 （1）因为可结合，交换，幺元为1，但不存在逆元 所以是半群 （2）因为可交换，结合，幺元为0，是有限阶群并且是循环群，G 中的2阶元是2，4阶元是1和3 6.4 设Z 为正数集合，在Z 上定义二元运算 ° ，? x,y ∈Z 有 x ° y=x+y-2, 那么Z 与运算 ° 能否构成群？为什么？ 解： 设 ? a,b,c ∈Z （a ° b ）° c = (a+b-2) ° c = a+b- 2+ c-2 =a+b+c-4 a ° ( b ° c) = a ° (b+c-2) =a + b+c-2-2 =a+b+c-4 对2∈Z ，? x ∈Z 有 x ° 2=x+2-2=x=2° x, 可见 , 存在幺元，幺元为2。 对? x ∈Z 有4-x ∈Z,使x ° （4-x ）= (4-x) ° x=2 所以 x-1 = 4-x 所以Z 与运算 ° 能构成群 。 6.7 下列各集合对于整除关系都构成偏序集，判断哪些偏序集是格？ （1）L={1,2,3,4,5}. （2）L={1,2,3,6,12}. （3）L={1,2,3,4,6,9,12,18,36}. （4）L={1,2,2(2),…,2(n)}. （1）L={1,2,3,4,5}. 解：由它的哈斯图可以知道，该偏序集不是格，因为3和4、5和4 、3和5有最大下届是1，但是没有最小上届。 （2）L={1,2,3,6,12}. 解：由它的哈斯图可以知道，该偏序集是格。因为L 中的任意俩个元素都有最大下结和最小上届。 （3）L={1,2,3,4,6,9,12,18,36}. 解：由它的哈斯图可以知道，该偏序集是格。因为L 中的任意俩个元素都有最大下结和最小上届。 （4）L={1,2,2(2),…,2(n)}. 4.1 （1）设S={1，2}，R 是S 上的二元关系，且xRy 。如果R=Is ，则（A ）；如 果R 是数的小于等于关系，则（B ），如果R=Es ，则（C ）。 （2）设有序对 3.6从1到300的整数中 （1）同时能被3、5、和7这3个数整除的数有A个。 （2）不能被3、5，也不能被7整除的数有B个。 （3）可以被3整除，但不能被5和7整除的数有C个。 （4）可被3或5整除，但不能被7整除的数有D个。 （5）只能被3、5和7之中的一个数整除的数有E个。 供选择的答案 A、B、C、D、E：①2；②6；③56；④68；⑤80；⑥102；⑦120；⑧124；⑨138；⑩162。 解：设1到300之间的整数构成全集E，A、B、C分别表示其中可被3、5或7整除的数的集合。文氏图如下图： 在A∩B∩C中的数一定可以被3、5和7的最小公倍数105整除，即 ∣A∩B∩C∣=?300/105?=2，同样可得 ∣A∩B∣=?300/15?=20， ∣A∩C∣=?300/21?=14， ∣B∩C∣=?300/35?=8. 然后将20-2=18，14-2=12，8-2=6分别填入邻近的3块区域. 再计算∣A∣=?300/3?=100， ∣B∣=?300/5?=60， ∣C∣=?300/7?=42. 所以 ∣A∪B∪C∣=162. 所以本题的答案是：A=①2；B=⑨138；C=④68；D=⑦120；E=⑧124. 3.10列元素法表示下列集合。 （1）A={ x | x ∈N ∧x2 ≤7}. （2）A={ x | x ∈N ∧|3-x|<3}. （3）A={ x | x ∈R ∧(x+1)2≤0}. （4）A={ 第一章 命题逻辑基本概念 课后练习题答案 4.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1； （2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e 是无理数,真值为1； （3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1； （4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0； （5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1； （2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1； （3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； （4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1； （5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； 6.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q ：小丽从筐里拿一个梨； （2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p ：刘晓月选学英语，q ：刘晓月选学日语；. 7.因为p 与q 不能同时为真. 13.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三： （1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）； （2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）； （3）p q ，真值为1； （4）p→r，若p 为真，则p→r 真值为0，否则，p→r 真值为1. 16 设p 、q 的真值为0；r 、s 的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p ∨(q ∧r)? 0∨(0∧1) ? （2）（p ?r ）∧(﹁q ∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p ∧?q ∧r ）?(p ∧q ∧﹁r) ?（1∧1∧1） ? (0∧0∧0)?0 (4)（?r ∧s ）→(p ∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0? 1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数 r: 2是无理数 1 s: 6能被2整除 1 t: 6能被4整除 0 命题符号化为： p ∧(q →r)∧(t →s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p →q) →(?q →?p) （5）(p ∧r) ?(?p ∧?q) （6）((p →q) ∧(q →r)) →(p →r) 答： （4） p q p →q ?q ?p ?q →?p (p →q)→(?q →?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 //最后一列全为1 （5）公式类型为可满足式（方法如上例）//最后一列至少有一个1 （6）公式类型为永真式（方法如上例）// 返回 第二章 命题逻辑等值演算 本章自测答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p ∧q →q) (2)(p →(p ∨q))∨(p →r) (3)(p ∨q)→(p ∧r) 答：(2)（p →(p ∨q)）∨(p →r)?(?p ∨(p ∨q))∨(?p ∨r)??p ∨p ∨q ∨r ?1 所以公式类型为永真式 (3) P q r p ∨q p ∧r （p ∨q ）→(p ∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 设解释I为：个体域D I ={-2,3,6},一元谓词F（X）：X≤3，G（X）：X>5,R(X):X≤7。在I下求下列各式的真值。 （1）?x(F(x)∧G(x)) 解：?x(F(x)∧G(x)) ?(F(-2) ∧G(-2)) ∧(F(3) ∧G(3)) ∧(F(6) ∧G(6)) ?((-2≤3) ∧(-2>5)) ∧((3≤3) ∧(3>5)) ∧((6≤3) ∧(6<5)) ?((1 ∧0))∧((1 ∧0)) ∧((0 ∧0)) ?0∧0∧0 ?0 (2) ?x(R(x)→F(x))∨G(5) 解：?x(R(x)→F(x))∨G(5) ?(R(-2)→F(-2))∧ (R(3)→F(3))∧ (R(6)→F(6))∨ G(5) ?((-2≤7) →(-2≤3))∧ (( 3≤7) →(3≤3))∧ (( 6≤7) →(6≤3)) ∨ (5>5) ?(1 →1)∧ (1 →1)∧ (1→0) ∨ 0 ?1∧ 1∧ 0 ∨ 0 ?0 (3)?x(F(x)∨G(x)) 解：?x(F(x)∨G(x)) ?(F(-2) ∨ G(-2)) ∨ (F(3) ∨G(3)) ∨ (F(6) ∨G(6)) ?((-2≤3) ∨ (-2>5)) ∨ ((3≤3) ∨ (3>5)) ∨ ((6≤3) ∨ (6>5)) ?(1 ∨ 0) ∨ (1 ∨ 0) ∨ (0 ∨ 1) ?1 ∨ 1 ∨ 1 ?1 求下列各式的前束范式，要求使用约束变项换名规则。 （1）??xF(x)→?yG(x,y) (2) ?（?xF(x,y) ∨?yG(x,y) ） 解：（1）??xF(x)→?yG(x,y) ???xF(x)→?yG(z,y) 代替规则 ??x?F(x)→?yG(z,y) 定理（2 ） ??x(?F(x)→?yG(z,y) 定理（2）③ ??x?y(?F(x)→G(z,y)) 定理（1）④ （2）?（?xF(x,y) ∨?yG(x,y) ） ??(?zF(z,y) ∨?tG(x,t)) 换名规则 ??(?zF(z,y) )∧?(?tG(x,t) ) ??z?F(z,y) ∧?t?G(x,z) ??z (?F(z,y) ∧?t?G(x,z)) ??z ?t(?F(z,y) ∧?G(x,t)) 求下列各式的前束范式，要求使用自由变项换名规则。（代替规则）（1）?xF(x)∨?yG(x,y) ??xF(x)∨?yG(z,y) 代替规则 ??x（F(x)∨?yG(z,y)）定理（1）① ??x?y（F(x)∨G(z,y)）定理（2）① （2）?x(F(x)∧?yG(x,y,z))→?zH(x,y,z) ??x(F(x)∧?yG(x,y,t))→?zH(s,r,z) 代替规则 ??x?y (F(x)∧G(x,y,t))→?zH(s,r,z) 定理（1）② ??x（?y (F(x)∧G(x,y,t))→?zH(s,r,z)）定理（2）③ ??x?y（(F(x)∧G(x,y,t))→?zH(s,r,z)）定理（1）③ ??x?y?z（(F(x)∧G(x,y,t))→H(s,r,z)）定理（2）④ 构造下面推理的证明。 【最新整理，下载后即可编辑】 第一章习题 1.1&1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还 是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值. (1) √2是无理数. 是命题,简单命题.p:√2是无理数.真值:1 (2) 5能被2整除. 是命题,简单命题.p:5能被2整除.真值:0 (3)现在在开会吗? 不是命题. (4)x+5>0. 不是命题. (5) 这朵花真好看呀! 不是命题. (6) 2是素数当且仅当三角形有3条边. 是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.p q真值:1 (7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起. 是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p q 真值:0 (8) 2008年10月1日天气晴好. 是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯一. (9) 太阳系以外的星球上有生物. 是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯 一. (10) 小李在宿舍里. 是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一. (11) 全体起立! 不是命题. (12) 4是2的倍数或是3的倍数. 是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p∨q真 值:1 (13) 4是偶数且是奇数. 是命题,复合命题.P:4是偶数.q:4是奇数.p∧q真值:0 (14) 李明与王华是同学. 是命题,简单命题.p: 李明与王华是同学.真值唯一. (15) 蓝色和黄色可以调配成绿色. 是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:1 1.3 判断下列各命题的真值. (1)若2+2=4,则3+3=6. (2)若2+2=4,则3+3≠6. (3)若2+2≠4,则3+3=6. (4)若2+2≠4,则3+3≠6. (5)2+2=4当且仅当3+3=6. (6)2+2=4当且仅当3+3≠6. (7)2+2≠4当且仅当3+3=6. (8)2+2≠4当且仅当3+3≠6. 答案: 设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题. (1)p→q,真值为1. (2)p→┐q,真值为0. (3)┐p→q,真值为1. (4)┐p→┐q,真值为1. (5)p q,真值为1. (6)p┐q,真值为0. (7)┐p q,真值为0. (8)┐p┐q,真值为1. 1．4将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）如果今天是1号，则明天是2号。 习题一 1.1．略 1.2．略 1.3．略 1.4．略 1.5．略 1.6．略 1.7．略 1.8．略 1.9．略 1.10．略 1.11．略 1.12．将下列命题符号化, 并给出各命题的真值: (1) 2+2 ＝ 4 当且仅当3+3 ＝ 6. (2)2+2 ＝4 的充要条件是3+3 6. (3)2+2 4 与3+3 ＝ 6 互为充要条 件. (4) 若2+2 4, 则3+3 6, 反之亦然. (1) p q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为 1. (2) p q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为0. (3) p q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为0. (4) p q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为 1. 1.13．将下列命题符号化, 并给出各命题的真值 (1) 若今天是星期一, 则明天是星期二. (2)只有今天是星期一, 明天才是星期二. (3)今天是星期一 当且仅当明天是星期二. (4)若今天是星期一, 则明天是星期三. 令p: 今天是星期一; q: 明天是星期二; r: 明天是星期三 (1) p q 1. (2) q p 1. (3) p q 1. (4) p r 当p 0 时为真; p 1 时为假 1.14．将下列命题符号化. (1) 刘晓月跑得快, 跳得高. (2) 老王是山东人或河北人. (3) 因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小组. (5) 李辛与李末是兄弟. (6) 王强与刘威都学过法语. (7) 他一面吃饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨, 他就乘班车上班. (9) 只有天下大雨, 他才乘班车上班. (10)除非天下大雨, 他才乘班车上班. (11)下雪路滑, 他迟到了. (12)2 与4 都是素数, 这是不对的. (13) “或24 是素数, 这是不对的”是不对的. (1) p q, 其中, p: 刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得高. (2) p q, 其中, p: 老王是山东人, q: 老王是河北人. (3) p q, 其中, p: 天气冷, q: 我穿了羽绒服. (4) p, 其中, p: 王欢与李乐组成一个小组, 是简单命题. (5) p, 其中, p: 李辛与李末是兄弟. (6) p q, 其中, p: 王强学过法语, q: 刘威学过法语. (7) p q, 其中, p: 他吃饭, q: 他听音乐. (8) p q, 其中, p: 天下大雨, q: 他乘班车上班.离散数学屈婉玲版课后习题
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