第四章 多自由度体系(振型叠加法)

工程振动——模态分析、多自由度系统振动响应

1.复习模态分析理论 1.1单自由度系统频响函数（幅频、相频、实频与虚频、品质因子等） 系统的脉冲响应函数h(t)与系统的频响函数H(ω)是一对傅里叶变换对，与系统的传递函数H(s)是一对拉普拉斯变换对。即有： i ()()e d t H h t t ωω-∞ =? -∞ 1i () ( )e d 2π t h t H ωωω -∞ =?-∞ ()()e d 0 st H s h t t -∞ =? 1 i () ( )e d i 2πi st h t H s σωσ+∞=? -∞ 复频率响应的实部 2 1(/)R e [()]22 2 [1(/) ](2/)n H n n ωωωωω ξωω-= -+ 复频率响应的虚部 2/Im [()]22 2 [1(/)](2/) n H n n ξωω ωωω ξωω =- -+ 单自由度系统频响函数的各种表达式及其特征1 (w )2H k m w j k η=-+，对频响函数特征的描述 采用的几种表达式 1）幅频图：幅值与频率之间的关系曲线 2）相频图：相位与频率之间的关系曲线 3）实频图：实部与频率之间的关系曲线 4）虚频图：虚部与频率之间的关系曲线 5）矢端轨迹图（Nyquist 图） 1.2单自由度结构阻尼系统频响函数的各种表达形式 频响函数的基本表达式：11111 ()22222100 H m k k m j k j j ωω ηωωηωη = = ?=? -+-+-Ω+ 频响函数的极坐标表达式：()|()|j H H e ?ωω=，w H （） —幅频特性， a rc ta n 21η?? ? -= ? ? ?-Ω? —相频特性。 频响函数的直角坐标表达式： ()()() R I H H jH ωωω=+， ()() 211()222 1R H k ωη -Ω= ? -Ω+—实频特性， () 1()22 2 1I H k η ωη -=? -Ω+—虚频特性 频响函数的矢量表达式：()()()R I H H ωωω=+H i j 1.3单自由度结构阻尼系统频响函数各种表达式图形及数字特征 幅频特性：1|()|0H k ωη = 固有频率：0D ωω= 阻尼比：00 B A ω ωω ηω ω -?== 相频特性

抗震设计合理振型数研究

第22卷第5期2007年10月 山东建筑大学学报JOURNA L OF SH ANDONG J I ANZH U UNI VERSITY V ol.22 N o.5 Oct.2007 收稿日期:2006-10-31 作者简介:李世翠(1979-),女,甘肃白银人,中国轻工业西安设计工程有限公司助工,硕士,主要从事建筑抗震研究. 文章编号:1673-7644(2007)05-0395-04 抗震设计合理振型数研究 李世翠1 ,聂大亮2 ,孙斌 3 (1.中国轻工业西安设计工程有限公司,陕西西安710048;2.深圳大学建筑设计研究院西安分院,陕西西安 710075;3.西安建筑科技大学建筑学院,陕西西安710043) 摘要:介绍了确定合理振型数的90%准则的来源与机理,给出了有效质量法的证明,并对比了振型参与系数、有效质量系数、振型的有效质量、振型参与质量系数等与振型有关而又极易混淆的几个抗震规范振型系数的概念。结合一规则结构算例对不同阶振型下的周期、累计质量参与系数、楼层剪力和层间位移做了对比。针对规则与不规则结构,结合抗震设计人员对振型数选取的模糊性,提出了不同的程度的修正意见,对规范中振型的选取给出了合理的建议。 关键词:合理振型数;90%准则;有效质量法;有效质量系数;振型的有效质量;振型参与质量系数中图分类号:T U973.31 文献标识码:A The reasonable mode num reseach in the seismic design LI Shi 2cui 1 ,NIE Da 2liang 2 ,S UN 2bin 3 (1.China Light Industry X i ’an Design Engineering C o.Ltd.,X i ’an 710048,China ;2.The Institute of Architectural Design and Research ,Shenzhen University ,X i ’an 710075,China ;3.School of Architecture ,X i ’an University of Architecture and T echnolo 2gy ,X i ’an 710043,China ) Abstract :The origin and mechanism of the 90%criterion in the reas onable m ode num determination have been introduced ,and the effective mass law has been proved.The concept of m odal participating ratio ,effective mass ratio ,m odal effective mass ,m odal participating mass ratio have been contrasted.A regular structure has been used to contrast the period ,the accumulation of m odal participating mass ratios ,story shears and story drifts.C ontraposed to regular and irregular structures ,different levels of amendments have been put forward to help to have a clear choice of m odal num for the seismic designer.A reas onable proposal has been offered to the code about the m ode type selection. K ey w ords :the reas onable m ode num ;90%criterion ;effective mass law ;effective mass ratio ;m odal effec 2tive mass ;m odal participating mass ratio 0　引言 在抗震设计中如何选取合理振型数已有学者作出了一些研究,目前国外一些计算程序中采用质量90%参与准则。美国学者爱德华?L ?威尔逊(Edward L.Wils on )博士开发的ET ABS 程序最为典型。国内 《建筑抗震设计规范》G B50011—2001第五章第二节 中,在进行水平地震作用计算(不考虑扭转)时,书中写到“可只取2～3个振型,当基本周期大于1.5s 或房屋高宽比大于5时,振型个数可适当增加。”考虑

振型分解反应谱法

结构设计系列之振型分解反应谱法 苏义

前言 我国规范对于常规结构设计有两个方法：底部剪力法和振型分解反应谱法。其中，底部剪力法视多质点体系为等效单质点体系，且其地震作用沿高度呈倒三角形分布，当结构层数较高或体系较复杂时，其计算假再用，因部剪时，其计算假定不再适用，因此规范规定底部剪力法仅适用于高度不超过40m、以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构。因此，一般结构均采用振型分解反应谱法。

振型分解反应谱法的基本步骤： 通过体系的模态分析，求出多自由度体系的振型通过体系的模态分析求出多自由度体系的振型向量、参与系数等等；然后把每个振型看作单自由度体系，求出其在规定反应谱的地震加速度作用下产生的地震效应；最后把所有振型的地震效应式进行叠，得到体系震应应按一定方式进行叠加，就会得到体系地震效应的解。 注意 注意： 振型分解反应谱法只适用于弹性分析，对于弹塑性体系，由于力与位移不再具有对应关系，性体系，由于力与位移不再具有一一对应关系， 该法不再适用。

目录 一模态分析二 反应谱分析 三 振型组合方法 四 方向组合方法

一、模态分析 模态分析也被称作振型叠加法动力分析，是线性体系地震分析中最常用且最有效的方法。它最主要的 优势在于其计算一组正交向量之后，可以将大型 整体平衡方程组缩减为相对数量较少的解耦二阶平解阶微分方程，这样就明显减少了用于数值求解这些 方程的计算时间。模态分析为结构相关静力分析 提供相关结构性能，包括结构静力地震作用分析 和静力风荷载分析。 模态分析是其它动力分析的基础，包括反应谱分析和时程分析。

有关振型的基本概念

有关振型的几个概念 振型参与系数：每个质点质量与其在某一振型中相应坐标乘积之和与该振型的主质量（或者说该模态质量）之比，即为该振型的振型参与系数。一阶振型自振频率最小(周期最长),二阶,三阶....振型的自振频率逐渐增大. 地震力大小和地面加速度大小成正比,周期越长加速度越小,地震力也越小。自振振型曲线是在结构某一阶特征周期下算得的各个质点相对位移(模态向量)的图形示意.在形状上如实反映实际结构在该周期下的振动形态.振型零点是指在该振型下结构的位移反应为0。振型越高，周期越短，地震力越大，但由于我们地震反应是各振型的迭代，高振型的振型参与系数小。特别是对规则的建筑物，由于高振型的参与系数小，一般忽略高振型的影响。 振型的有效质量：这个概念只对于串连刚片系模型有效(即基于刚性楼板假定的，不适用于一般结构。）。某一振型的某一方向的有效质量为各个质点质量与该质点在该一振型中相应方向对应坐标乘积之和的平方（(∑mx)2）。一个振型有三个方向的有效质量，而且所有振型平动方向的有效质量之和等于各个质点的的质量之和，转动方向的有效质量之和等于各个质点的转动惯量之和。 有效质量系数：如果计算时只取了几个振型，那么这几个振型的有效质量之和与总质量之比即为有效质量系数。这个概念是由WILSON E.L. 教授提出的，用于判断参与振型数足够与否，并将其用于ETABS程序。 振型参与质量：某一振型的主质量（或者说该模态质量）乘以该振型的振型参与系数的平方，即为该振型的振型参与质量。 此需要一种更为一般的方法，不但能够适用于刚性楼板，也应该能够适用于弹性楼板。出于这个目的，我们从结构变形能的角度对此问题进行了研究，提出了一个通用方法来计算各地震方向的有效质量系数即振型参与质量系数，规范即是通过控制有效质量振型参与质量系数的大小来决定所取的振型数是否足够。（见高规（5.1.13）、抗规(5.2.2)条文说明）。这个概念不仅对糖葫芦串模型有效。一个结构所有振型的振型参与质量之和等于各个质点的质量之和。如果计算时只取了几个振型，那么这几个振型的振型参与质量之和与总质量之比即为振型参与质量系数。 由此可见，有效质量系数与振型参与质量系数概念不同，但都可以用来确定振型叠加法所需的振型数。 我们注意到：ETABS6.1中，只有有效质量系数（effective mass ratio）的概念，而到了ETABS7.0以后，则出现了振型质量参与系数（modal participating mass ratio），可见，振型参与质量系数是有效质量系数的进一步发展，有效质量系数只适用于串连刚片系模型，分别有x方向、y方向、rz方向的有效质量系数。振型参与质量系数则分别有x、y、z、rx、ry、rz六个方向的振型参与质量系数。 注释： 1）这里的“质量”的概念不同于通常意义上的质量。离散结构的振型总数是有限的，振型总个数等于独立质量的总个数。可以通过判断结构的独立质量数来了解结构的固有振型总数。具体地说： 每块刚性楼板有三个独立质量Mx,My,Jz； 根据这两条，可以算出结构的独立质量总数，也就知道了结构的固有振型总数。 2）若记结构固有振型总数是NM，那么参与振型数最多只能选NM个，选参与振型数大于NM是错误的，因为结构没那么多。 3）参与振型数与有效质量系数的关系： 3-1)参与振型数越多，有效质量系数越大； 3-2)参与振型数=0 时，有效质量系数=0 3-3)参与振型数=NM 时，有效质量系数=1.0 4）参与振型数NP 如何确定？ 4-1）参与振型数NP 在1-NM 之间选取。 4-2）NP应该足够大，使得有效质量系数大于0.9。 有些结构，需要较多振型才能准确计算地震作用，这时尤其要注意有效质量系数是否超过了0.9。比如平面复杂，楼面的刚度不是无穷大，振型整体性差，局部振动明显的结构，这种情况往往需要很多振型才能使有效质量系数满足要求。

多自由度系统的振动

第2章多自由度系统的振动 基本要点： ①建立系统微分方程的几种方法； ②固有频率、固有振型的概念以及固有振型关于质量和刚度矩阵的加权正交性； ③多自由度系统运动的解耦—模态坐标变换及运用模态叠加法求解振动系统的响应。 引言 多自由度振动系统的几个工程实例；多自由度系统振动分析的特点；多自由度系统振动分析与单自由度系统的区别与联系。 §2.1多自由度系统的振动方程 ●方程的一般形式：质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和激振力 §2.2建立系统微分方程的方法 ●影响系数：刚度影响系数、柔度影响系数 ●刚度矩阵法、柔度矩阵法及这两种方法的特点；Lagrange方程法 §2.3无阻尼系统的自由振动 ●二自由度系统的固有振动：固有频率、固有振型。 ●二自由度系统的自由振动 ●二自由度系统的运动耦合与解耦 弹性耦合，惯性耦合； 振动系统的耦合取决于坐标系的选择； ●多自由度系统的固有振动 固有振动的形式及条件：特征值、特征向量、模态质量、模态刚度； 固有振型的性质：关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性； 刚体模态； ●运动的解耦：模态坐标变换（主坐标变换）。 ●多自由度系统的自由振动 §2.4无阻尼系统的受迫振动 ●频域分析：动刚度矩阵和频响函数矩阵，频响函数矩阵的振型展开式，系统反 共振问题。 ●时域分析：单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应，模态截断问题，模态加速 度法。 §2.5比例阻尼系统的振动 ●多自由度系统的阻尼：Rayleigh比例阻尼。 ●自由振动 ●受迫振动：频响函数矩阵，单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应。 §2.6一般粘性阻尼系统的振动

●自由振动：物理空间描述，状态空间描述。 ●受迫振动：脉冲响应矩阵，频响函数矩阵，任意激励下的响应。 思考题： ①刚度矩阵和柔度矩阵在什么条件下是互逆的两个矩阵？从物理上和数学两方面加以解 释？ ②为什么说模态质量、模态刚度的数值大小没有直接意义？ ③证明固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性，并讨论其物理意义。 ④在实际的多自由度系统振动分析中，为什么要进行模态截断？ 参考书目 1.胡海岩，机械振动与冲击，航空工业出版社，2002 2.故海岩，机械振动基础，北京航空航天大学出版社，2005 3.季文美，机械振动，科学出版社，1985。（图书馆索引号：TH113.1/1010） 4.郑兆昌主编, 机械振动上册,机械工业出版社，1980。（图书馆索引号： TH113.1/1003-A） 5.Singiresu S R, Mechanical vibrations，Longman Prentice Hall, 2004(图书馆索引 号：TH113.1/WR32)

用模态叠加法求固有频率.

用模态叠加法求固有频率 一、 模态分析法（振型叠加法）原理 对于n 个自由度系统，其在广义坐标系下的运动微分方程为 []{}[]{}{}()M x k x F t += （1-1） 设在t=0时，有初始条件： {}{}(0)0x x = 和 {}{}(0)0x x = 通过求解特征值问题，可得系统的固有频率和振型向量 {},(1,2,,)u i n ni i ω= { }}(1,2,,)u i n i i ?= 以正则振型矩阵[]?作为变换矩阵，令 {}[]{}x z ?= （a ） 代入方程（1-1），并前乘以正则振型矩阵的转置T ?????，得 [][][]{}[][][]{}[]{}()T T T M z k z F t ?????+= （b ） ∵ [][][][]T M I ??= [][][][]21222n T k n nn ωω??ω??????=Λ=???????? 令 {}[]{}()()T P t F t ?= ---- 是正则坐标系下的激励。 则方程（b ）为 {}[]{}{}()z z P t +Λ= （c ） 展开后，得 2()11112()22222()z z P t n z z P t n z z P t n nn n n ωωω?+=??+=???+=? （1-2）

式中 {}{}()()(1,2,,)T P t F t i n i i ?== ，为对应第i 个正则坐标的激励。 对于方程（1-2）是一组n 个独立的方程，每个方程和单自由度系统的强迫振动相同，因此可按单自由度系统中的方法独立地求解每个方程。则由杜哈美积分得方程（1-2）的通解 () 0()cos sin 01()sin ()1,2,,0z i z t z t t i i ni ni ni t P t d i n ni i ni ωωωτωττω=+?+-= 式中0z i 和 0z i 是第i 个正则坐标的初始位移和初始速度。 ∵ {}[]{}x z ?= ∴ {}[]{}00 x z ?= （d ） 和 {}[]{}00 x z ?= （e ） 用 [][]T M ? 前乘以式（d ）两端，得 [][]{}[][][]{}00T T M x M z ???= ∴ {}[][]{}00T z M x ?= 同理，有 {}[][]{}00T z M x ?= 写成分量形式 {}[]{},(1,2,,)00T z M x i n i i ?== {}[]{},(1,2,,)00T z M x i n i i ?== 最后，由方程（a ），将正则坐标的解{}z 变换到原广义坐标{}x ，就得到方程（1-1）的解。 （2）在许多工程问题中系统的自由度很多，要想求出系统的所有固有频率和振型向量，计算成本很大，有时甚至是不可能的。由于激励的高频成分很微弱，或者由于系统的高频振动没有激发出来，总之系统的响应中只有较低的几阶振型分量。因此，使用振型叠加法可以使计算大大地简化。 例如，若系统为n 自由度，且只需考虑前p （p<

Ansys模态叠加法谐响应分析

模态叠加法谐响应分析 Hypermesh中ET types：对于SOLID185单元，需设置单元选项K2=2，即采用增强应变公式方法。这种方法可消除剪切锁定和体积锁定，虽然计算量较大，但可提高计算精度。 对于SOLID186单元，设置单元选项K2=1，即采用完全积分方法。这种方法可消除沙漏模式，但应谨慎用于不可压缩材料（泊松比约为0.5）的模拟，否则可能导致体积锁定。Hypermesh中Materials：一般单位采用mm,N,MPa,ton,s。Material type：MP；Number of temp：1；在Material Prop：EX杨氏模量，NUXY泊松比，DENS密度，在C0栏中输入数值。 三维单元每个节点具有三个自由度，即三个平动自由度。因此约束的时候只需约束dof1，dof2和dof3. Ansys：向ansys中导入.cdb文件以后，在菜单栏中Plot——Elements即可显示三维模型的单元。 谐响应分析师确定一个结构在已知频率的正弦（简谐）载荷作用下的响应特性的技术。 输入：已知大小和频率的谐载荷（力、压力和强迫位移）或同一频率的多种载荷、力和位移可以是同相或不同相的。表面载荷和体载荷的相位角度可以指定为零。 输出：每一个自由度上的谐位移，通常和施加的载荷不同相，也可以是其他多种导出量例如应力和应变等。 模态叠加法（Modal Superpos’n）:从前面的模态分析中得到各模态，再对乘以系数的各模态求和，是三种方法中最快的，但是首先必须进行模态分析。 模态分析：1.Main Menu>Preference>Structural,在Discipline options中点选h-Method。 2.Main Menu>Solution>Analysis Type>New Analysis点选Modal 3.Main Menu>Solution>Analysis Type>Analysis Options一般选用Block lanczos方法。在No.of modals to extract输入要提取的阶数。在NMODE No.of modes to expand中输入要扩展的模态。扩展就是指将振型结果写入结果文件，如果在后处理器中查看振型必须先扩展模态。一般地，无需设置求解频率范围，ANSYS默认将振型相对于质量矩阵归一化。 4.Main Menu>Solution>Solve>Current LS 5.Main Menu>Finish 谐响应分析：1.Main Menu>Solution>Analysis Type>New Analysis点选Harmonic。 2.Main Menu>Solution>Analysis Type>Analysis Options选择Mode Superpos’n,在Mode Sup Harmonic Analysis中Maximum mode number输入模态分析的阶数。 3.Main Menu>Solution>Load Step Opts>Time/Frequenc>Freq and Substps,输入强制激振频率范围和子步数，载荷加载方式分为斜坡和阶跃。一般选用Stepped(Ramped载荷的幅值随各子步逐渐增长) 4.Main Menu>Solution>Load Step Opts>Time/Frequenc>Damping，ALPHAD和BETAD指定的是与和频率相关的阻尼系数，而DMPRAT指定的是对所有频率为恒定值的阻尼系数，一般为2%至2.5%。 5.施加简谐激励载荷，Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structural 6.Main Menu>Solution>Current LS 7.查看结果，Main Menu>TimeHistPostpro即可打开Time History Variables,选择File>Open Results…选择.rfrg结果。单击+号选择要观察的节点。关闭Time History Variables时一定要File>close。导出数据时点击List Data，然后File>Save as… 将数据导入excel，点击F5，删除符合一定条件的行和列。然后将数据导入matlab中对数据进行处理。

第4章 多自由度系统的振动题解

习 题 4-1 在题3-10中，设m 1=m 2=m ，l 1=l 2=l ，k 1=k 2=0，求系统的固有频率和主振型。 解：由题3-10的结果 22121111)(l g m l g m m k k +++ =，2 221l g m k -=，2212l g m k - =，2 2222l g m k k += 代入m m m ==21，021==k k ，l l l ==21 可求出刚度矩阵K 和质量矩阵M ??? ???=m m M 00；?? ?? ??????- - =l mg l mg l mg l mg K 3 由频率方程02=-M p K ，得 0322 =????? ??? ? ?-- - -=mp l mg l mg l mg mp l mg B 0242 2 2224 2 =+-∴l g m p l g m p m l g p ) 22(1-=∴ ，l g p )22(2+= 为求系统主振型，先求出adjB 的第一列 ???? ? ? ? ???-=l mg mp l mg adjB 2 分别将频率值21p p 和代入，得系统的主振型矩阵为 ??????-=112) 1(A ?? ????+=112)2(A 题4-1图

4-2 题4-2图所示的均匀刚性杆质量为m 1，求系统的频率方程。 解：设杆的转角θ和物块位移x 为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。 设0,1==x θ，画出受力图，并施加物体力偶与力 2111,k k ，由平衡条件得到， 222111a k b k k +=， a k k 221-= 设1,0==x θ，画出受力图，并施加物体力偶与力2212,k k ，由平衡条件得到， 12k a k 2-=， a k k 222= 得作用力方程为 ?? ? ???=??????????? ?--++????????????? ?00003122222 2122 1x a k a k a k a k b k x m a m θθ 由频率方程02=-M K p ，得 031 2 22222 212221=----+p m a k a k a k p a m a k b k 4-3 题4-3图所示的系统中，两根长度为l 的均匀刚性杆的质量为m 1及m 2，求系统的刚度矩阵和柔度矩阵，并求出当m 1=m 2=m 和 k 1=k 2=k 时系统的固有频率。 解：如图取21,θθ为广义坐标，分别画受力图。由动量矩定理得到， l l k l l k I 4 34343432 11111θθθ+-= 2 2434343432 2211122l l k l l k l l k I θθθθ--= 整理得到， 016 91692 2112111=-+θθθl k l k I 题4-3图 题4-2图

有关振型的几个概念

振型参与系数：每个质点质量与其在某一振型中相应坐标乘积之和与该振型的主质量（或者说该模态质量）之比，即为该振型的振型参与系数。一阶振型自振频率最小(周期最长),二阶,三阶....振型的自振频率逐渐增大. 地震力大小和地面加速度大小成正比,周期越长加速度越小,地震力也越小。自振振型曲线是在结构某一阶特征周期下算得的各个质点相对位移(模态向量)的图形示意.在形状上如实反映实际结构在该周期下的振动形态.振型零点是指在该振型下结构的位移反应为0。振型越高，周期越短，地震力越大，但由于我们地震反应是各振型的迭代，高振型的振型参与系数小。特别是对规则的建筑物，由于高振型的参与系数小，一般忽略高振型的影响。 振型的有效质量：这个概念只对于串连刚片系模型有效(即基于刚性楼板假定的，不适用于一般结构。）。某一振型的某一方向的有效质量为各个质点质量与该质点在该一振型中相应方向对应坐标乘积之和的平方（(∑mx)2）。一个振型有三个方向的有效质量，而且所有振型平动方向的有效质量之和等于各个质点的的质量之和，转动方向的有效质量之和等于各个质点的转动惯量之和。 有效质量系数：如果计算时只取了几个振型，那么这几个振型的有效质量之和与总质量之比即为有效质量系数。这个概念是由WILSON E.L. 教授提出的，用于判断参与振型数足够与否，并将其用于ETABS程序。 振型参与质量：某一振型的主质量（或者说该模态质量）乘以该振型的振型参与系数的平方，即为该振型的振型参与质量。 振型参与质量系数：由于有效质量系数只实用于刚性楼板假设，现在不少结构因其复杂性需要考虑楼板的弹性变形，因此需要一种更为一般的方法，不但能够适用于刚性楼板，也应该能够适用于弹性楼板。出于这个目的，我们从结构变形能的角度对此问题进行了研究，提出了一个通用方法来计算各地震方向的有效质量系数即振型参与质量系数，规范即是通过控制有效质量振型参与质量系数的大小来决定所取的振型数是否足够。（见高规（5.1.13）、抗规(5.2.2)条文说明）。这个概念不仅对糖葫芦串模型有效。一个结构所有振型的振型参与质量之和等于各个质点的质量之和。如果计算时只取了几个振型，那么这几个振型的振型参与质量之和与总质量之比即为振型参与质量系数。 由此可见，有效质量系数与振型参与质量系数概念不同，但都可以用来确定振型叠加法所需的振型数。 我们注意到：ETABS6.1中，只有有效质量系数（effective mass ratio）的概念，而到了ETABS7.0以后，则出现了振型质量参与系数（modal participating mass ratio），可见，振型参与质量系数是有效质量系数的进一步发展，有效质量系数只适用于串连刚片系模型，分别有x方向、y方向、rz方向的有效质量系数。振型参与质量系数则分别有x、y、z、rx、ry、rz六个方向的振型参与质量系数。 注释： 1）这里的“质量”的概念不同于通常意义上的质量。离散结构的振型总数是有限的，振型总个数等于独立质量的总个数。可以通过判断结构的独立质量数来了解结构的固有振型总数。具体地说： 每块刚性楼板有三个独立质量Mx,My,Jz；

采用振型叠加法 求地震作用下框架结构内力

《结构动力学》 课程设计 采用振型叠加法 求地震作用下框架结构内力 姓名：谢聂强 学号：U200915849 专业班级:土木工程0905班 指导老师：龙晓鸿 完成时间：2012年3月25日

一 、课程大作业任务 某两层钢筋混凝土框架（图1），集中于楼盖和屋盖处的重力荷载代表值为 121350kN,1150kN G G ==（图2），层高 3.9m H =柱截面尺寸为()400400mm b h ?=?， 梁刚度EI =∞,砼强度为40C ,混凝土强度等级423.2510N/mm c E =?，地震设防烈度为7度，地震加速度为0.15g ，场地类别为Ⅱ，第二组。 请采用振型叠加法求解该结构的地震内力，并绘制内力图。 图1 两层框架结构 图二、计算步骤 1.计算截面参数 柱子截面惯性矩： 3394011 400400 2.133310mm 1212 I bh = =??=? 每层刚架侧移刚度： 49627 012333 2424 3.2510 2.13331010N m 2.805110N/m 3.9m c E I k k k H -??????=====? 二层楼板质量： 3 311135010137.755110kg 137.7551t 9.8 G m g ?===?= 屋盖质量： 3 322115010117.346910kg 117.3469t 9.8 G m g ?===?=

其中1 2 1.1739m n m = = ，令2m m =。 2.求出频率和振型 +k 2 图3 由图3（a ）和（b ）可求出结构的刚度系数如下： 11122121222222,,k k k k k k k k k k k k k = +==-=-= -=-== 那么 则两频率分别为 -1 1-1 20.63099.75s 1.717526.55s ωω====== 第一主振型：() () 1 71122723111112 2.8051101 2 2.8051109.75137.755110 1.5332 Y k k m Y ω-?=-=- = -??-?? ()2 11221212121220.851912 1.1739120.39802.9499k k m m k k m m k m k m k m ω??=+ ??????=+? ?????? =?+?????=? ???

第六章多自由度体系地微振动

第六章多自由度体系的微振动 教学目的和基本要求：正确理解线性振动的概念和力学体系平衡的分类；能运用拉格朗日方程初步分析两个自由度保守体系的自由振动问题；理解简正坐标的概念并了解利用简正坐标将复杂振动转化为简正振动的方法和意义。 教学重点：掌握运用拉格朗日方程分析两个自由度保守体系的自由振动问题的方法和简正坐标的物理意义。 教学难点：简正坐标的物理意义。 §6.1 振动的分类和线形振动的概念 振动不仅在宏观领域大量存在（如单摆、弹性振子和地震等），在微观领域也是一种普遍现象（如晶体中晶格的振动、光学中分子的振动等）。振动的种类根据所依据的标准不同可有几种分类方法，下面将简单介绍。 一：振动的分类 1.按能量的转换来划分. 自由振动——系统的能量E为常数，即能量守恒。 阻尼振动——系统的能量E逐渐转化为热能Q。 强迫振动——系统不断从外界吸收能量并将其转化为热能Q。 2.按体系的自由度划分. 单自由度振动——体系的自由度S=1。 有限多自由度振动和无限多自由度振动——体系的自由度为大于1的有限值或无限大值。 3.按体系的动力学微分方程的种类划分. 线性振动——体系的运动微分方程为线性方程。 非线性振动——体系的运动微分方程为非线性方程。 4.本章研究的主要问题. 以上我们按不同的标准将振动进行了归类，实际上这几种标准是相互交叉的，也就是说振动还可以按照以上两个或三个标准进行进一步的归类。如线性振动还可以进一步分为单自由度线性振动、有限多自由度线性振动和无限多自由度线性振动。 表6.1给出了同时按自由度和微分方程的种类对振动进行的分类。我们在本章研究的主

要问题是有限多自由度的线性振动，所以有必要对线性和非线性振动做进一步讨论。 表6.1 二：有限多自由度线性振动 1.定义：体系的自由度为有限多个且体系的运动微分方程为线性方程。 例如：单摆的运动微分方程为0=+θθsin l g ，方程为非线性的。但当θ很小时有θθ≈sin ， 方程变为线性方程0=+θθl g 。如果同时还存在有阻尼θβ -及强迫力)t (f ，则方程可写成 )t (f l g =++θθβθ ，仍为线性方程。 2.应用：一般情况下当力学体系在其平衡位置做微振动时，只要考虑它的最低级近似即可。这样的振动无论是自由振动、阻尼振动还是强迫振动，也无论自由度的个数是多少，其振动的运动微分方程均可看成是线性的，也就是属于线性振动。 三：平衡位置及其分类. 1.平衡位置的定义及判定方法。 （1）定义：如果力学体系在t=0时静止地处于某一确定位置，当∞?→? t 时该体系仍能保持在此位置，那么该位置即为体系的平衡位置，我们说体系处于平衡态。 （2）判定方法：在§2.4节中我们已指出保守力学体系处于平衡位置时，其势能应取极值（见第二章4.2式），即 s ...,i ,q V i i 210==??，这可以做为保守体系平衡位置的判据。 2.平衡位置的分类及其判定方法. （1）平衡位置的分类：平衡位置按其性质不同可分为三类： ○1稳定平衡：力学体系受到扰动偏离平衡位置后将回到平衡位置或者在平衡位置的附近做微振动。

振型叠加法读书报告

振型叠加法 摘要：通过收集有关振型叠加法的资料，对振型叠加法基本原理、应用范围进行介绍，并通过该方法与其他方法的比较总结其优缺点。对模态截断的概念及其具体方法进行阐述，理解模态截断在振型叠加法的应用中的重要性。并对振型叠加法在工程中的应用进行初步分析。 关键词：振型叠加法模态截断固有特性 1.引言 随着科学技术的发展，对机械结构的性能要求越来越严格，结构的强度设计问题也随之深入。在实际工程中，机械结构由于受到动态激励的作用而引起破坏，基于静强度的结构设计准则已不能满足使用要求，使得结构动力学问题更加突出。 目前，结构动态响应的求解方法有很多种，一般可分为直接积分法和间接积分法，但这些方法都有一定的适用范围和局限性。随着计算机和有限元技术的迅速发展，使得很多大型复杂结构在任意激励下的动态响应也可以进行分析。但是考虑到计算机技术的限制和结构的复杂性，在解决具体问题时，选取合适的方法对结构动态响应进行求解尤其重要。主要对求解结构动响应的几种方法进行分析，并比较各自的优缺点和适用范围。 2.几种求解方法的比较 2.1求解动响应的基本方程 在结构动响应的分析中，通常是把结构离散为线性或非线性多自由度系统，然后通过求解多自由度系统得到结构在任意激励下的动态响应。 多自由度系统的振动微分方程如下： (1) 式中：［M］—结构质量矩阵；［C］—结构阻尼矩阵；［K］—结构刚度矩阵； ? ?? u u、｛u｝ 和｛F｝—离散结构各节点的加速度向量、速度向量、位移向量和外加载荷向量。 在外部激励的作用下，系统会呈现一定的振动响应，从数学观点来看，分析结构动响应就是求解多自由度系统的微分方程。 2.2 基于有限元技术的动响应求解方法 在实际结构动响应的分析中，离散结构的自由度很多，运算量很大，求解占用很多计算机资源。采用实用有效的求解方法，能够尽量缩短计算时间，提高计算精度。 2.2.1 直接积分法求解结构动态响应 直接积分法又称逐步积分法，其基本原理是：在时间域内对响应的时间历程进行离散，把运动微分方程分为各离散时刻的方程，设定某个时刻的位移、速度和加速度的近似表达式，并把表达式代入系统运动方程，对耦合的系统运动微分方程进行逐步积分求解，即由前一个或几个时间离散点上的位移、速度和加速度推出下一个时间点上的位移、速度和加速度，从而求出在一系列离散时刻上的响应值。

第七节多自由度系统中的阻尼

第七节 多自由度系统中的阻尼 （教材6.14） 前面介绍了多自由度系统无阻尼系统的振动。对于工程上的各种弹性结构来说，它们振动时总受到各种阻尼力的作用（如材料阻尼、结构阻尼、介质粘性阻尼等等），由于各种阻尼力的机理比较复杂，在分析振动时，常常将各种阻尼力都简化为与速度成正比的粘性阻尼力。而阻尼系数须有工程上的经验公式求出，或由实验数据确定。 有粘性阻尼的n 个自由度系统求响应很困难，其原因在于只有在特定的条件下，用模态分析法才能使运动微分方程解耦。下面分析之。 有阻尼的n 个自由度系统的运动微分方程为 []{}[]{}[]{}{}()M x C x k x F t ++= （5-60） 式中[]C 是阻尼矩阵，为n ×n 对称矩阵。 由无阻尼自由振动微分方程求得固有频率和振型向量，得正则振型矩阵[]Φ。令 {}[]{}x z =Φ 代入方程（5-60）并前乘以[]T Φ，得 [][][]{}[][][]{}[][][]{}[]{} ()T T T T M z C z k z F t ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ=Φ （a ）

因 [][][][]T I M =ΦΦ ------ 单位矩阵 [][][][]T k Λ=ΦΦ {}[]{}()()T P t F t =Φ ∴ {}[][][]{}[]{}{}()T z C z z P t +ΦΦ+Λ= （b ） 而[][][]T C ΦΦ一般不是对角矩阵。因此，模态分析法不能 使式（a ）变成一组独立的微分方程组。例如图示系统，已知 123m m m m ===，1234k k k k k ====。已解出 { }{}{ }12 3111, 0,111u u u ??????? ??===?????????-?? ?? ? ? 阻尼矩阵为 []00 00000 C c ????=?????? ∵ {}[]{}12 00 011 1000000 1T u C u c c ?? ???? ????==-≠?????? ??-???? ??

计算振型个数如何取

计算振型个数如何取？ 作者: sparrow 发布日期: 2006-8-13 查看数: 51 出自: https://www.wendangku.net/doc/c15271663.html, 计算震型个数：这个参数需要根据工程的实际情况来选择。对于一般工程，不少于9个。但 如果 是2层的结构，最多也就是6个，因为每层只有三个自由度，两层就是6个。对复杂、多塔、 平面不 规则的就要多选，一般要求“有效质量系数”大于90%就可以了，证明我们的震型数取够了。这个“有效质量系数”最先是美国的WILSON教授提出来的，并且将它用于著名的ETABS程 序。 《高层建筑混凝土结构技术规程》的5.1.13-2条要求B级高度的建筑和复杂的高层建筑“抗 震计算 时，宜考虑平扭藕连计算结构的扭转效应，振型数不应小于15，对多塔楼结构的振型数不 应少于 塔数的9倍，且计算振型数应使振型参与质量不少于总质量的90%” －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ －－－－ 规范规定要求震型参与质量达到总质量的90%以上 这句话怎么理解？ 一些概念，希望对你有帮助 有关振型的几个概念 振型参与系数：每个质点质量与其在某一振型中相应坐标乘积之和与该振型的主质量（或者说该模态质量）之比，即为该振型的振型参与系数。一阶振型自振频率最小(周期最长),二阶, 三阶....振型的自振频率逐渐增大. 地震力大小和地面加速度大小成正比,周期越长加速度越小,地震力也越小。 自振振型曲线是在结构某一阶特征周期下算得的各个质点相对位移(模态向量)的图形示意.在形状上如实反映实际结构在该周期下的振动形态.振型零点是指在该振型下结构的位移反 应为0。 振型越高，周期越短，地震力越大，但由于我们地震反应是各振型的迭代，高振型的振型参 与系数小。 特别是对规则的建筑物，由于高振型的参与系数小，一般忽略高振型的影响。 振型的有效质量：这个概念只对于串连刚片系模型有效(即基于刚性楼板假定的，不适用于一般结构。）。某一振型的某一方向的有效质量为各个质点质量与该质点在该一振型中相应方向对应坐标乘积之和的平方（(∑mx)2）。一个振型有三个方向的有效质量，而且所有振型平动方向的有效质量之和等于各个质点的的质量之和，转动方向的有效质量之和等于各个质点 的转动惯量之和。

第七节多自由度系统中的阻尼

第七节 多自由度系统中的阻尼 （教材） 前面介绍了多自由度系统无阻尼系统的振动。对于工程上的各种弹性结构来说，它们振动时总受到各种阻尼力的作用（如材料阻尼、结构阻尼、介质粘性阻尼等等），由于各种阻尼力的机理比较复杂，在分析振动时，常常将各种阻尼力都简化为与速度成正比的粘性阻尼力。而阻尼系数须有工程上的经验公式求出，或由实验数据确定。 有粘性阻尼的n 个自由度系统求响应很困难，其原因在于只有在特定的条件下，用模态分析法才能使运动微分方程解耦。下面分析之。 有阻尼的n 个自由度系统的运动微分方程为 []{}[]{}[]{}{}()M x C x k x F t ++= （5-60） 式中[]C 是阻尼矩阵，为n ×n 对称矩阵。 由无阻尼自由振动微分方程求得固有频率和振型向量，得正则振型矩阵[]Φ。令 {}[]{}x z =Φ 代入方程（5-60）并前乘以[]T Φ，得 [][][]{}[][][]{}[][][]{}[]{} ()T T T T M z C z k z F t ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ=Φ （a ）

因 [][] [][]T I M =ΦΦ ------ 单位矩阵 [][][][]T k Λ=ΦΦ {}[]{}()()T P t F t =Φ ∴ {}[][][]{}[]{}{}()T z C z z P t +ΦΦ+Λ= （b ） 而[][][]T C ΦΦ一般不是对角矩阵。因此，模态分析法不能 使式（a ）变成一组独立的微分方程组。例如图示系统，已知 123m m m m ===，1234k k k k k ====。已解出 {}{}{}12 31112, 0,2111u u u ??????? ??===?????????-?? ?? ? ? m 1 m 2m 3 k 3 k 1 2 x 1 x 3 k 2 k 4 c 阻尼矩阵为 []00 00000 C c ????=?????? ∵ {}[]{}12 00011 21000000 1T u C u c c ?? ???? ????==-≠?????? ??-???? ??