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等比数列的有关概念公式与性质

一、知识要点：1．等比数列的概念（1）一个数列{}n a ：若满足1(n n

a q q a +=为常数），则数列{}n a 叫做等比数列

（2）等比数列的证明方法：定义法

1(n n

a q q a +=为常数），其中 0,0n q a ≠≠ 或

n n n

n a a a a +-= (2)n ≥。

（3）等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只

有同号两数才存在等比中项，且有两个由此得非零实数,,a A b 成等比数列?ab A =2

2.等比数列主要公式

（1）等比数列的通项公式：1

11()n n n a a a q

q n N q

-==

?∈；（2）两项之间的关系式：m n m n q a a -=

（3）前n 项的和公式为：11

(1)

,11,1n n a q q S q na q ?-≠?

=-??=?或11,11,1

n n a a q q q S na q -?≠?-=??=?

3.等比数列的性质：

（1）当m n p q +=+时，则有q p n m a a a a ..=，特别地当2m n p +=时，则有2

.p n m a a a =

(2)若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列，公比n

q Q =；当

1q =-，且n 为偶数时，数列232,,n n n n n S S S S S --,…是常数数列各项均为0，它不是等比数列.

(3)若10,1a q >>，则{}n a 为递增数列；若10,1a q <>, 则{}n a 为递减数列；若10,01a q ><< ，则{}n a 为递减数列；若10,01a q <<<, 则{}n a 为递增数列；若0q <，则{}n a 为摆动数列；若1q =，则{}n a 为常数列. (4)当1q ≠时，b aq q

a q q

a S n

n +=-+

--=

1111，这里0a b +=，但0,0a b ≠≠，这是等比数列前n 项和公式特征.

(5) 在等比数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S q S =偶奇；项数为奇数21n -时，1S a q S =+奇偶.

212321--=???n n

n a a a a a

(6)数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列，故常数数列{}n a 仅是此数列既成

等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

(7)若{}n a 是等比数列，则下标成等差数列的子列构成等比数列；

(8)两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n n a b ?、??????n n b a 、?

???n b 1仍为等比数列．

（9）若{}n a 是正项等比数列，则数列{}n c

a log （1,0≠>c c ）为等差数列。

二、典型例题：

例1．（1）在等比数列10

20144117,5,6,}{a a a a a a a n 则中=+=?= （） A ．

332或 B ．2

或 C ．515--或 D ．2

131

或

（2）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则

S S =（）

（A ）11 （B ）5 （C ）8- （D ）11- （3）已知{}n a 是等比数列，4

1252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（）

（A ）16（n

--4

1）（B ）16（n

--2

1）（C ）32（n

--4

1）（D ）

32（n

--2

1）

（4）三个数,,1,,1,

1,12

2成等比数列又成等差数列n m n

的值为则

m n m ++2

2 （）

A ．－1或3

B ．－3或1

C ．1或3

D ．－3或－1

（5）定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a , {()}n f a 仍是等比数列,则称

()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的如下函数:①2()f x x =; ②()2x

f x =;

③()f x =()ln ||f x x =. 则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（） A ．① ②

B ．③ ④

C ．① ③

D ．② ④

（6）已知等比数列{}n a 为递增数列,且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=,则数列的通项公式n a =______________. （7）在等比数列{}n a 中，已知1231a a a ++=，4562a a a ++=-，则该数列前15项的和15S = （8）已知A B C ?

的等比数列,则其最大角的余弦值为_________.

例2．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1234123

411112,32.a a a a a a a a ??

??+=++=+ ? ????? （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2

2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和.n T

例3．（1）已知等比数列{}n a 的公比为1=

q .(1)若31=

a ,求数列{}n a 的前n 项和;(Ⅱ)证明:对任意

k N +∈,+2,,k k k a a a 成等差数列.

（2）设{}n a 的公比不为1的等比数列,其前n 项和为n S ,且534,,a a a 成等差数列.

(1)求数列{}n a 的公比; (2)证明:对任意k N +∈,21,,k k k S S S ++成等差数列.

四、巩固练习

1．在正项等比数列{}n a 中，991,a a 是方程016102=+-x x 的两个根，则605040a a a 的值为（） A ．32 B ．64 C ．±64 D ．256

2.在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m =（）（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12

3.已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ??

????

的前5项和为（）

（A ）

158

或5 （B ）

3116

或5 （C ）

3116

（D ）

158

4．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S 为，若2n S =，314n S =，则4n S 等于（）

.A 80 .B 30 .C 26 .D 16

5. 数列{}n a 的通项22

(cos

sin

n n n a n ππ=-，其前n 项和为n S ，则30S 为（）

A ．470

B ．490

C ．495

D ．510

6. 已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >= ，且25252(3)n

n a a n -?=≥，则当1n ≥时

2123221log log log n a a a -+++=

（）

A. (21)n n -

B. 2(1)n +

C. 2n

D. 2(1)n -

7.设{}n a 是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和。已知241a a =, 37S =,则5S = A ．

152

B ．

314

C ．

334

D ．

172

8.正项等比数列{}n a 满足142=a a ,133=S ,n n a b 3

log

=,则数列{}n b 的前10项和是( )

A ．65

B ．－65

C ．25 D. －25

9.已知数列{}n a 的前n 项和22+?=n

n p S ，{}n a 是等比数列的充要条件是( )

A.1=p B 2=p C.1-=p D.2-=p

11. 满足*

12121,log log 1()n n a a a n +==+∈N ，它的前n 项和为n S ，则满足1025n S >的最小n 值是（）

A ．9

B ．10

C ．11

D ．12 11.在等比数列{}n a 中，若1234158

a a a a +++=

，2398

a a =-

，则

1111a a a a +

+等于( )

A ．53

B ．35

C ．53

- D ．35

12. }{a 为公比1q >的等比数列，若a 和a 是方程2

4830x x -+=的两根，则a a += ．

14.{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，令1(1,2,)n n b a n =+= ，若数列{}n b 有连续四项在集

{}53,23,19,37,82--中，则6q = .15.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则

42931a a a a a a ++++的值为．

16.数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且113,1a b ==，数列{}n

a b 是

公比为64的等比数列，2264b S =.（1）求,n n a b ；（2）求证1

11134

S S S +

18．在等比数列{}n a 中，0n a >（n N *∈），公比(0,1)q ∈，且153528225a a a a a a ++=，

3a 与5a 的等比中项为2。（1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S 当

1212

n S S S n

++???+

最大时，求的n 值。

19.数列的等比数列

公比是首项为4

1,4

1}{1=

q a a n ，设 *)(log 324

1N n a b n n ∈=+，数列n n n n b a c c ?=满足}{

（1）求证：}{n b 是等差数列；（2）求数列}{n c 的前n 项和n S ；（3）若对1412

-+≤m m

c n 一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围。

数列求和问题

一、主要方法：

1．基本公式法：（1）等差数列求和公式：()

()1112

n n n a a n n S na d +-=

（2）等比数列求和公式：()11,

11,11n n

na q S a q q q

=??=-?≠?

-?（3）2)1(4321+=+++++n n n ：6)12)(1(3212

222++=++++n n n n 2．错位相减法：设{}n a 成等差数列，{}n b 成等比数列。则{}n n a b 的前n 项和可采用此法。 3．分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和。

4．裂项相消求和：把一个数列的通项拆成两项差的形式已达到求和目的.

常用裂项形式有：

①111(1)1n n n n =-++； ②)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ； ③一般的有：

1111()()n n k k n n k =-++；

④11k

； ⑤一般的{}n a 是等差数列，则

1(111

++-=

?n n n n a a d a a （d 是公差）

5.倒序相加法：二、典型例题分析：

例1.求下列数列的前n 项和n S

（1）已知数列{}n a 满足52+-=n a n ，求{}n a 的前n 项和n S 。

（2）求+++

1211n S (1)

1-+

n )(+∈N n

例2．求下列数列前n 项和：

（1）已知数列{}n a 的通项公式为n

n n a 2

1)23(+-=, )(+

∈N n ,求其前n 项和n S

（2）数列11，103，1005，…，n

n 1012+- 。求n S （3）9，99，999，…，

999999个n 。求n S

例3．求下列数列前n 项和：（1）已知)

1(4+=n n a n , )(+

∈N n ,求其前n 项和n S （2）数列

113

?，

124

?，

135

?，…，

1(2)

n n + 求n S

（5）已知：

n a =

n S （5）已知：n

a n ++++=

3211

，求n S

例4．求下列数列前n 项和（1）n

n n S 2

= （2）=n S a +22a +33a +…+n na （0)a ≠；

例5. （1）求数列14?，27?，330?，…，()31n n + 的前n 项和。

（2）已知数列{}n a 的通项公式为2

=(2-1)n a n ，求n S 。

（3）已知函数.4

)(x

x f +=则 ①=+)32()31(f f ； ②1232010

()()()()2011201120112011f f f f ++++ .

三、巩固练习

1．在50和350之间所有末位数是1的整数之和是（） A ．5880 B ．5539 C ．5208 D ．4877

2．已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（）

A ．30

B ．45

C ．90

D ．186

3.在数列}{n a 中，9,1

1=++

=n n S n n n a 项和若其前，则项数n 为（）

A.9

B.10

C.99

D.100

4.数列数列 ()()()2

1,12,12

,12

,n -+++++++ 的前n 项和等于（）

A ．n n -+1

B ．221

--+n n C ．12--n n

D ．22--n n

5.设5033171

,)1(4321S S S n S n n ++?-++-+-=-则 =（）

6.数列{n a }的前n 项和=+++-=2

2221,12n n n a a a S 则

（） A ．2)12(-n

B ．

)12(3

1-n

C ．14-n

D ．)14(3

-n

7．设)(x f y =是一次函数，若(0)=1f ，且(1),(4),(13)f f f 成等比数列，则(2)+(4)++(2)f f f n 等于（） A ．n(2n+3)

B ．n(n+4)

C ．2n(2n+3)

D ．2n(n+4)

8. 已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设

n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于

A ．55

B ．70

C ．85

D ．100 9．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项的倒数之和为n T ，则

n T S 的值为（）.

A ．1n a a

B ．

a a 1 C ．1()n n a a D ．1(

)

n n

a a

10．等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为S n ，若

315

10=

S S ,n S =_________ .

11．等差数列{}n a 中，55S =-，1015S =，则数列n S n ??

???

的前n 项和n T = 12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足214n S n n =-，令12n n T a a a =+++ ，则30T = ． 13．已知3

log 1log 23-=

x ，求23n

x x x x

+++鬃?

= ．

14．数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，则S 2002 ． 15．数列)2

112(8

15,413,211

n +

- 的前项和n S = . 16.在数列{}n a 中，121

n a n n =

+++ (1)

n n +

+，又1

2n n n b a a +=

?，则数列{}n b 的前n 项和为

17．已知数列}{n a 的通项公式)

12)(12()

2(2

+-=n n n a n ，则它的前n 项和n S .

18．已知数列{}n a 的通项公式为3221n n

n a n =++-，求数列{}n a 的前n 项和为n S .

19.已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列. （I ）求数列{}n a 的通项；（II ）记2n

a n

b n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S

20．（2012天津）已知{n a }是等差数列,其前n 项和为n S ,{n b }是等比数列,且1a =1=2b ,44+=27a b ,44=10S b -.

(Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式;

(Ⅱ)记1121=+++n n n n T a b a b a b - ,+n N ∈,证明+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈.

21．已知数列{}n a 的前n 项和21()2

n S n kn k N *

+∈,且n S 的最大值为8. (1)确定常数k ,求n a ; (2)求数列92{

a -的前n 项和T n .

22．在等差数列{}n a 中,345984,73a a a a ++==.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;

(Ⅱ)对任意*m N ∈,将数列{}n a 中落入区间2(9,9)m m

内的项的个数记为m b ,求数列{}m b 的前m 项和m S .

数列通项公式的求法（一）

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈，能否顺利求出数列的通项公式是解决数列综合题的关键所在。 1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.

点评：利用定义法求数列通项时，先法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

练一练：1.已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为34,7,24n S a S ==，求数列{}n a 的通项公式；

2.设等比数列{}n a 公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，，求通项公式n a

2.公式法：已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{

11,(1)

,(2)

n n n S n a S S n -==

-≥。

例2．已知下列数列{}n a 的前n 项和n S ，分别求它们的通项公式n a .

⑴n n S n 322+=； ⑵13+=n

n S .

点评：利用公式???≥???????-=????????????????=-2

1n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．

练一练：①已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求n a ；

3.作商法：已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)

(1)

n f n f n a n f n =??

=?≥?-?。

例3．数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2

321n a a a a n = ，则=+53a a ______ ；则=n a

练一练：已知数列{}n a 满足：2

3212

n n a a a a =? ，则n a = =+53a a _________.

4.累加法：若1()n n a a f n +-=求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。

例4.(1) 已知数列{}n a 满足2

11=

a ，n

n a a n n ++

=+2

11，求n a 。

(2)已知数列{}n a 满足11a =，113(2)n n n a a n --=+≥,求n a

练一练：已知数列{}n a 满足11a =，n

n a a n n +

--111(2)n ≥，则n a =________ ；

5.累乘法：已知

1()n n

a f n a +=求n a ，用累乘法：1

2112

n n n n a a a a a a a a ---=

? (2)n ≥。

例5. 已知数列{}n a 满足3

21=

a ，n n a n n a 1

1+=

+，求n a 。

练一练：已知31=a ，n n a n n a 2

3131+-=

+ )1(≥n ，求n a 。

6.构造法：已知a a =1，)0,1,0(1≠≠≠+=+d c c d ca a n n ，求通项n a 的方法

把原递推关系1n n a ca d +=+转化为：1--t)n n a t c a +=（，其中=

1-d t c

，因此新数列?

c d a n 1为等比数列，公比为q =c ，首项为c

d a --

11。

例6. 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .

练一练：已知111,32n n a a a -==+，求n a ；

7.转化法：已知a a =1，)0,1,0(1≠≠≠+=+t c c t ca a n

n n ，求通项n a 的方法解法：在等式两边同除以1

+n t

得

n n n n a a c d

t t t ++=

?+，令n

n n t

a b =，问题转化为类型6即：1n n c d b b t t +=+，再按

类型6的方法求解。例7. 已知数列{}n a 中，6

51=a ,1

1)2

1(31

+++=

n n n a a ，求n a 。

练一练：已知111,32n n n a a a -==+，求n a ；

8.取对数法：已知a a =1，）0,0,0(1≠>>=+m c a ca a n m

n n ，求通项n a 的方法。

两边取相同底的对数得：11,log log 1c n c n c a m a +≠=+若则，令log n c n b a =得11n n b mb +=+，再按类型6的方法求解；()m 1=1log log ,0

例8 .设正项数列{}n a 满足11=a ，2

12-=n n a a ()2≥n .求数列{}n a 的通项公式.

练一练.数列{}n a 满足2112,66().n n n a a a a n N *

+==++∈

(1) 设5log (3)n n C a =+，求证{}n C 是等比数列；(2) 求数列{}n a 的通项公式;

课后作业：

1.已知数列}{n a ；①若满足291=a ，)2(121≥-=--n n a a n n ，则n a

2.已知数列满足1a =1

=，则n a .

3.已知数列}{n a 中，21=a ，且

+-=-n n a a n n ，则n a =________________.

.4.已知数列{}n a 满足11a =，n

n a a n n ++=

--11

1(2)n ≥，则n

a =_______________.

5.已知数列}{n a 前n 项和1322++-=n n S n ，则=n a __________.

6.已知数列{}n a ，11a =，112n n n

a a a +=

+(*n N ∈)，写出这个数列的前4项，并求通项公式

7.已知6)32(2)12(531321+-=-+++++n a n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。

8．在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+．（1）设1

n n n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．

9.设有数列{}n a ，1

a =，若以12,,,n a a a 为系数的一元二次方程2

110

n n a x a x --+=

(*n N ∈，且2)n ≥都有根,αβ

满足331ααβ

β-+=。

（1）求证：数列1{}2

a -

是等比数列；（2）求n a ；（3）求{}n a 的前n 项和n S 。

数列通项公式的求法（二）

9.倒数法：形如11n n

n a a ka b

--=

+的递推数列都可以用取倒数法求通项。

例1. 已知数列{}n a 满足115

a =，且对*n N ∈时，有+1=

4+1

n n n a a a ，（1）求证：数列1{}n

a 为等差数列；

（2）试问12a a 是否是数列{}n a 中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．

例2. 数列{}n a 中，0>n a ，1≠n a ，且1

231+=+n n n a a a （*∈N n ）．若4

31=

a ，计算2a ，3a ，4a 的值，

并求出数列{}n a 的通项公式

10．已知n n a S 与的关系：方法一、采用消和法求解；方法二、采用消项法

例 3.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，对于任意正整数n ，都有等式：n n n S a a 422

=+ 成立，

求{}n a 的通项n a .

例4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11120 (2), 2

n n n a S S n a -+=≥=．

（1）求证：

{}1n

S 是等差数列；（2）求

n a 的表达式。

例5.已知数列{}n a 前n 项和2

14---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .

11. 已知a a =1，b a =2 ，n n n qa pa a +=++12（其中,p q 均为非零常数），求通项。

解法一：(待定系数法)：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中,s t 满足??

?-==+q

st p t s

解法二：构造方程20x px q --=方程，设方程两根为，则,s t 满足??

?-==+q

st p t s

则数列{}1n n a sa +-为等比数列，求出1n n a sa +-转化为前面的类型。例6.已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3

13212+

=++，求n a 。

练习题1.数列{}n a 满足23,5,21221+-==++n n a a a a n a =0，求数列{}n a 的通项公式。

1．已知数列{}n a 满足：1,

3111=+?=

--a a a a n n n ，则数列的通项n a 为_____________________

2．若数列}{n a 的前n 项的和32

3-=n n a S ，那么这个数列的通项公式为（）

A ．132-?=n n a

B ．n n a 23?=

C ．33+=n a n

D ．n n a 32?=

3.数列}{n a 的前n 项和记作n S ，满足1232-+=n a S n n ，)(*N n ∈．

()1证明数列}3{-n

a 为等比数列；（2）求出数列}{n a 的通项公式．

4.已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+== ， ⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列；⑵设数列),2,1(,2

==n a c n

n n ，

求证：数列{}n c 是等差数列；⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。

5．设数列{}n a 的前n 项的和1

4122

n n n S a +=

，1,2,3,n =

（1）求首项1a 与通项n a ；（2）设2

n n

T S =

，1,2,3,n = ，证明：1

i i T =<

∑

6．已知11=a 且5221++=+n S S n n ，求数列{}n a 的通项n a 及n S 。

7.设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知51=a ，13n n n a S +=+，*n ∈N ．（1）设3n n n b S =-，求证数列{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n b 的通项；（3）求数列{}n a 的通项公式。

8.已知数列{}n a 的首项123

a =，121

n n n a a a +=

+，1,2,3,n =…．

（1）证明：数列1{

1}n

a -是等比数列；

（2）求数列{}n a 的通项公式

9.已知数列{}n a 满足*

12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈（1）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n b 满足121

...4

(1)(),n n b b

b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列。

4.已知数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足1(1)2

n n S a =-.

（1）求数列{}n a 的通项公式；(2) 求n S 并证明：12

n S <；

类型1：已知数列{}n a 的前n 项和公式，求{}n a 的通项公式方法：{

11,(1)

,(2)

n n n S n a S S n -==-≥

例1．设数列{}n a 满足2

123333

n n n a a a a -++++=

…，a ∈*N ．（1）求数列{}n a 的通项；

（2）设n n

n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

类型 2 ：)(1n f a a n n +=+ 变形为：1()n n a a f n +-=，用累加法求得：()()()()12211-+-++++=n f n f f f a a n （n 2)3。例2. 已知数列{}n a 满足2

11=a ，n

n a a n n ++

=+2

11，求n a 。

类型3：n n a n f a )(1=+ 变形为：

1()n n

a f n a +=，用累乘法求得：()()()()12211-?-??=n f n f f f a a n （n 2)3。

例3.（1）已知数列{}n a 满足3

21=a ，n n a n n a 1

1+=

+，求n a ；（2）已知31=a ，n n a n n a 2

3131+-=

+ )1(≥n ，求n a 。

类型4：已知a a =1，)0,1,0(1≠≠≠+=+d c c d

ca a n n ，求通项n a 。

方法—构造新数列设存在实数b 使得)()(1b a c b a n n -=-+成立,整理得()c b ca a n n -+=+11。对比已知等式得：

d b -=

1，因此新数列?

c d a n 1为等比数列，公比为q =c ，首项为c d a --11

。例4.在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，该数列的通项n a

练习1. 已知函数2()(2),'()f x x f x =-是函数()f x 的导函数，设11()3,.'()

n n n n f a a a a f a +==-

（I ）证明：数列{2}n a -是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（II ）令,{}n n n b na b =求数列的前n 项和

.n S

类型5：已知a a =1，1((1)(1)0)n

n n a ca dt dct c t +=+--≠，在等式两边同除以1

+n t

得

n n n n a a c d t

t t t

++=

?+，令n

n n t

a b =

，问题转化为类型3 即：1n n c d b b t

，再按类型3的方法求解。

例5.在数列{}n a 中，13a =，1

133n n n a a ++=+．

(1)设3

n n n

a b =．证明：数列{}n b 是等差数列； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S ．

2. 已知数列{}n a 中，6

51=a ,1

1)2

1(31

+++=

n n n a a ，求n a 。

3. 在数列{}n a 中，111111

,(*2)6223n n n

a a a n N n -=

?∈≥且（Ⅰ）证明：是等比数列}3

1{n

n a +

；（Ⅱ）

求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设{}n n a S 为数列的前n 项和，求证2

类型6：已知a a =1，1(0,01,0m

n n n a ca a c m +=>>≠≠且c 的常数），两边取相同底的对数得：

1log log 1c n c n a m a +=+令log n c n b a =得11n n b mb +=+，再按类型3的方法求解。

例6.设正项数列{}n a 满足11=a ，212-=n n a a ()

2≥n .求数列{}n a 的通项公式.

练习1。已知12a =，点1(,)n n a a +在函数2()2f x x x =+的图象上，其中n N *∈

（1）证明数列{}lg(1)n a +是等比数列；（2）设12(1)(1)(1)n n T a a a =+++ ，求n T 及数列{}n a 的通项；

2．数列{}n a 满足2112,66().n n n a a a a n N *

+==++∈

(1) 设5log (3)n n C a =+，求证{}n C 是等比数列；(2) 求数列{}n a 的通项公式;

类型7.已知a a =1，)0,1,0(1≠≠≠++=+t c c b

tn ca a n n ，求通项n a 。

方法—构造新数列：设存在函数)(n f 使得[][])()1(1n f a c n f a n n -=+-+成立,[]的一次函数是关于其中n n f )(, 整理得b tn n cf n f +=-+)()1(,求出)(n f ，因此新数列{})(n f a n -为等比数列，公比为q =c ，首项为)1(1f a -。例7 .(07年天津文)在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．（1）证明数列{}n a n -是等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．

1. 已知数列｛n a ｝中，11122

n n a n a a +=

-、点（、）在直线y x =上，其中n ∈*N

(1)令1b 1n n n a a +=--，求证数列{}n b 是等比数列；（2)求数列{}的通项；n a (3)设分别为数列

、n n T S {}、n a {}n b 的前n 项和,是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+?

???

为等差数列？若存在，试求出λ 若不存在,则说明理由

等差等比数列的性质总结

等差等比数列的性质总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

一、等差数列 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ，首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=．从而m n a a d m n --=； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。（4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.

等差等比数列的性质总结

一、等差数列 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ，首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=．从而m n a a d m n --=； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。（4）数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，

(完整版)等比数列的概念与性质练习题

等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=L 则（A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 4.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（） A.4 B.5 C.6 D.7 8.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=?a a a a ，则 =10 20 a a （） A. 32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（） A. －4 B.4 C. ±4 D. 5 11.等比数列 {}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a +++L ＝ A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋3log 5 12. 设函数()()() * 2 ,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ，最大值为n b ，则2n n n n c b a b =-是( ) A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列 C.常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数c b a ,,成等比数列，且0,>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（） A. ??????3, 0m B. ??????--3,m m C . ??? ??3,0m D. [)?? ? ???-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则 10 429 31a a a a a a ++++的值为． 15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则 =+2 2 1b a a ______．

等差数列、等比数列知识点梳理

等差数列和等比数列知识点梳理第一节：等差数列的公式和相关性质 1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈） 2、等差数列通项公式： 1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差推导过程：叠加法推广公式：()n m a a n m d =+- 变形推广：m n a a d m n --= 3、等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A +=或 b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4、等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1) 2n n na d -=+ 211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ 前N 相和的推导:当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=。（注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，）当然扩充到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。

5、等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a （3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。（4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6、等差数列的证明方法定义法或者等差中项发? {}n a 是等差数列． 7、等差数列相关技巧：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、 n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8、等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0。

等比数列的概念和通项公式(教学设计)

《等比数列》（第1课时）教学设计授课地点：武威八中授课时间：20XX年4月22日授课人：武威六中杨志隆一、教学目标知识与技能 1.理解等比数列的概念； 2.掌握等比数列的通项公式； 3.会应用定义及通项公式解决一些实际问题。过程与方法培养运用归纳类比的方法去发现并解决问题的能力。通过实例，归纳并理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，培养学生严密的思维习惯。情感态度与价值观充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。二、教学重点、难点教学重点：等比数列的概念及通项公式；教学难点：通项公式的推导及初步应用。三、教学方法发现式教学法，类比分析法四、教学过程（一）旧知回顾，情境导入 1. 回顾等差数列的相关性质设计意图：通过复习等差数列的相关知识，类比学习本节课的内容，用熟知的等差数列内容来分散本节课的难点，为等比数列的学习做铺垫。 2.情境展示

情境1：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 情境2：一张纸的折叠问题把以上实例表示为数学问题，并引导学生通过观察、联想，得到两个数列： ① ??????16 1,81,41,21,1 ② 1,2,4,8,16,32,64?????? 设计意图：让学生通过观察，得到两个数列的共同特点：从第二项起，每一项与它前面一项的比都等于同一个常数．由此引入等比数列。（二）概念探究 1．引导学生通过联想并类比等差数列给出该数列的名称：等比数列 2．归纳总结，形成等比数列的概念．一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比（引导学生经过类比等差数列的定义得出）。同时给出等比中项的定义，并和等差中项做比较，加深学生对概念的理解。 3．对等比数列概念的深化理解给出几个数列让学生判断是否是等比数列，以加深对概念的理解。问题1：等比数列的项可以为零吗？问题2：等比数列的公比可以为零吗？问题3：若0>q ，等比数列的项有什么特点？0

等差、等比数列以及数列求和专题(汇编)

§6.2 等差数列一．课程目标 1.理解等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题； 4.了解等差数列与一次函数的关系. 二．知识梳理 1.定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示. 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数). 2.通项公式若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . 3.前n 项和公式等差数列的前n 项和公式：2 2111)() (n n a a n d n n na S +=-+=其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项). 3.等差数列的常用性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和.

(1)通项公式的推广：*),()(N m n d m n a a m n ∈-+= (2)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有q p n m a a a a +=+。特别的，当p n m 2=+时，p n m a a a 2=+ (3)等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列. (4)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (5)若}{},{n n b a 是等差数列，则}{n n qb pa +仍是等差数列. 4.与等差数列各项和相关的性质（1）若}{n a 是等差数列，则}{n S n 也是等差数列，其首项与}{n a 的首项相同，公差为}{n a 的公差的 2 1。（2）数列m m m m m S S S S S 232--,,…也是等差数列. （3）关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质。 a .若项数为n 2，则1 +==-n n a a S S nd S S 偶奇奇偶, 。 b .若项数为12-n ，则n a n n S )(1-=偶，n na S =奇，1 += =-n n S S a S S n 偶奇奇偶, 。（4）若两个等差数列}{},{n n b a 的前n 项和分别为n n T S ,，则 1 21 2--=n n n n T S b a 5.等差数列的前n 项和公式与函数的关系：（1）n d a n d S )(2 212-+= ，数列{a n }是等差数列? S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数). （2）在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.

等比数列的概念与性质

等比数列的概念与性质一、知识归纳 1. ________________________________________________________________ 等比数列的概念：一般的，____________________________________________________________ ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做，公比通常用字母q表示。即 a n J 2. 若a,G,b成等比数列，则G叫做a与b的___________ 。此时G=_____________ . 3. 等比数列的通项公式为： __________________________ 。 4. 首项为正数的等比数列的公比q =1时，数列为 ___________ 数列；当q ：：： 0时，数列为数列；当0 ：：：q ::: 1时，数列为___ 数列；当q时，数列为_______________ 数列。5. 等比数列性质：在等比数列｛a.｝中，若m ? n二P q ,则a m a^a p a q 6. 等比数列的前n项和当q =1 时，S n 二_____________ ；

当q =1 时，S n 二_______________ . 7用函数的观点看等比数列：（1）等比数列的通项公式是 ____________ 二、经典题目 1、判断正误： ① 1，2，4，8，16是等比数列； 1 1 1 ②数列1, — ,,，…是公比为2的等比数列; 2 4 8 a b . ③若，则a,b,c成等比数列； ④若= n n ? N ，则数列On 成等比数列; a n ⑤0,2,4,8,16 是等比数列； 2.判断下列数列玄［是否为等比数列：（1）a n =（-1 厂（W N* ；（3）a n= n 2n,n N* （）（）（）（）（）. ⑵ a n+2 n：N* ；（4）a n 二-1,n N* 思考：如何证明（判断）一个数列是等比数列？

等比数列的概念(教案)

等比数列的概念亳州三中范图江一、教学目标 1、体会等比数列特性，理解等比数列的概念。 2、能根据定义判断一个数列是等比数列，明确一个数列是等比数列的限定条件。 3、能够运用类比的思想方法得到等比数列的定义,会推导出等比数列的通项公式。二、教学重点、难点重点：等比数列定义的归纳及应用，通项公式的推导。难点：正确理解等比数列的定义，根据定义判断或证明某些数列为等比数列，通项公式的推导。三、教学过程 1、导入复习等差数列的相关内容: 定义：*1,()n n a a d n N +-=∈ 通项公式：()*1(1),n a a n d n N =+-∈ 等差数列只是数列的其中一种形式，现在来看这两组数列1、2、4、8……， 1、1 2、14、18 …… 问：这两组数列中，各组数列的各项之间有什么关系 2、探究发现，建构概念问：与等差数列的概念相类比，可以给出这种数列的概念吗是什么 <1>定义：如果一个数列从地2项起，每一项与前一项的比值都等于同一个常数，则称此数列为的不过比数列。这个常数就叫做公比，用q 表示。 <2>数学表达式：*1,()n n a q n N a +=∈ 问：从等比数列的定义及其数学表达式中，可以看出什么也就是，这个公式在什么条件下成立结论1 等比数列各项均不为零，公比0q ≠。带领学生看45P 页的实例，目的是让学生知道等比数列在现实生活中的应用，从而知道其重要性。 3、运用概念例1 判断下列数列是否为等比数列：（1）1、1、1、1、1；（2）0、1、2、4、8；（3）1、11 1124816 -、、-、.

分析（1）数列的首项为1，公比为1，所以是等比数列；（2）等比数列中的各项均不为零，所以不是等比数列；（3）数列的首项为1，公比为12- ，所以是等比数列. 注成等比数列的条件：11;20;30n n n a q a q a +=≠≠. 练习47P 1、判断下列数列是否为等比数列：（1）1、2、1、2、1；（2）-2、-2、-2、-2；（3）11111392781--、、、、；（4）2、1、12、14、0. 分析（1）3122122 a a a a ==，，比值不等于同一个常数，所以不是等比数列；（2）首项是-2，公比是1，所以是等比数列；（3）首项是1，公比是13 -，所以是等比数列；（4）数列中的最后一项是零，所以不是等比数列. 例2 求出下列等比数列中的未知项：（1）2，a ，8；（2）- 4，b ，c ，12 . 分析在做这种题的时候，可以根据等比数列的定义，列出一个或多个等式来求解。（1）8442a a a ==-，解得或；（2）22442,,1122b c b b c b c b c c c b ?=?-?=-=??????=-=????=??化简得解得. 例3等比数列{}n a 中， ①a 3=4，a 5=16，求a n ②a 1=2，第二项与第三项的和为12，求第四项。随堂练习 P23练习题。思考由前面的练习5，等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ， 212321234321, , , a a q a a q a q a a q a q a q ====== …… 以此类推，可以得到n a 用1a 和q 表示的数学表达式吗

等比数列的概念与性质练习题

等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=则（A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 4.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（） A.4 B.5 C.6 D.7 8.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=?a a a a ，则 =10 20 a a （） A. 32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（） A. －4 B.4 C. ±4 D. 5 11.等比数列 {}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a ++ +＝ A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋3log 5 12. 设函数()()() * 2 ,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ，最大值为n b ，则2n n n n c b a b =-是( ) A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列 C.常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数c b a ,,成等比数列，且0,>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（） A. ??????3, 0m B. ??????--3,m m C . ??? ??3,0m D. [)?? ? ???-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则 10 429 31a a a a a a ++++的值为． 15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则 =+2 2 1b a a ______．

等差数列及等比数列的性质总结

等差数列与等比数列总结一、等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用小写字母d 表示；等差中项，如果2 b a A += ，那么A 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数；等差数列}{a n 的通项公式：）N n （d ）1-n （a a 1n *∈+=；等差数列}{a n 的递推公式：）2n （d a a 1n n ≥+=-；等差数列}{a n 的前n 项和公式：n S =2n ）a a （n 1?+=d 2）1-n （n na 1?+ = 中12na n ）2d -a （n ）2d （=?+?；【等差数列的性质】 1、d ）1-n （a a m n += 【说明】n 11m a d ）1-n （a d ）m -n （d ）1-m （a d ）m -n （a =+=++=+ 2、若m 、n 、p 、q *∈N ，且m+n=p+q ，则有q p n m a a a a +=+ 【说明】q p 11n m a a ）2-q p （a 2d ）2-n m （a 2a a +=++=++=+ 3、md 成等差数列，公差为、 a 、a 、a m 2k m k k ??++ 【说明】md a -a a -a m k m 2k k m k =??==+++ 4、k ）1-n （nk k 2k 3k k 2k S -S S -S ，S -S ，S ??成等差数列，公差为d n 2 【说明】d n ）a a a （-）a a a （S -）S -S （2n 21n 22n 1n n n n 2=+??+++??++=++，） a a a （-）a a a （）S -S （-）S -S （n 22n 1n n 32n 21n 2n 2n n 2n 3+??+++??++=++++??=，d n 2 5、数列}{a n 成等差数列Bn An S ，a a a 2， q pn a 2n 1n 1-n n n +=+=+=?+

等比数列概念优秀教案

等比数列的概念教案教学目标 1．理解等比数列的定义，并能以方程思想作指导，理解和运用它的通项公式． 2．逐步体会类比、归纳的思想，进一步培养学生概括、抽象思维等能力． 3．培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展．教学重点和难点重点：等比数列要领的形成及通项公式的应用．难点：对要领的深刻理解．教学过程设计 (一)引入新课师：前面我们已经研究了一类特殊的数列──等差数列，今天我们一起研究第二类新的数列──等比数列． (板书)三等比数列 (二)讲解新课师：等比数列与等差数列在名字上非常类似，只有一字之差，一个是差，一个是比，你能否仿照等差数列，举列说明你对等比数列的理解． (要求学生能主动的用类比思想，通过具体例子说明对概念的理解) 生：数列1，3，9，27，… 师：你为什么认为它是等比数列呢？生：因为这个数列相邻两项的比都是相等的，所以是等比数列． (先引导学生用自己的语言描述等比数列的特征，但暂时不作评论，以防限制其他学生的思维) 师：这是你对等比数列的理解，不过这个例子中的项是一项比一项大，能否再举一个一项比一项小的．

师：你对等比数列的理解呢？生：数列中每一项与前一项的比都是同一个常数．师：他们对等比数列理解基本相同的，能否再换个样子，举一个例子． (若理解没有什么变化，就不必让学生再重复了) 师：下面再举例子又增加点要求，既然要去研究它，说明它一定有实际应用价值，那么能否再举一个生活中的等比数列例子．生：如生物学中细胞分裂问题：1个细胞经过一次分裂变为2个细胞，这两个细胞再继续分裂成为4个细胞．这样分裂继续下去，细胞个数从1到2到4到8，把每次分裂后所得细胞个数排列好可形成一个数列1，2，4，8，16，…这个数列就是等比数列．师：这个例子举得很好，不仅能够发现生活中的数学问题，还能把数学知识应用在其它学科，其实等比数列的应用是非常广泛的，说明它确有很高的研究价值．说了这么多，也发现了等比数列的特征，能否试着给等比数列下个定义呢？生：如果一个数列的每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．师：作为定义这种叙述还有一点不足，为保证这样比都作得出来，这每一项应从数列的第二项起，否则第一项没有前一项，也就做不出这个比，调整之后，再找一位同学准确描述一下等比数列．生：如果一个数列，从第二项起．每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列叫做等比数列．师：好，就把它作为等比数列的定义记录下来． (板书)1．定义如果一个数列，从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，记作q．

等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题(经典版)

等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义：()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式： ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -== =??≠?≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=?=?=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --= = -- 11''11n n n a a q A A B A B A q q = -=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有1 1(0){}n n n n n n a a qa q q a a a ++==≠?或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列（3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若 ()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质：（2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。（3）若* (,,,) m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ?=?。特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ?= 注：12132n n n a a a a a a --?=?=??? 等差和等比数列比较：

等比数列的性质(含解析)

等比数列的性质班级：____________ 姓名：__________________ 1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24 2．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列 3．在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1 D ．a 5＝1 4．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 5．已知数列{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3成等比数列，a 1＝1，则a 2 016＝( ) A ．5 B ．1 C ．0 D ．－1 6．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1

等比数列的概念及基本运算

第37讲等比数列的概念及基本运算 1．(2016·湖北省八校第二次联考)在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝(A) A ．1 B ．±1 C ．2 D ．±2 因为a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，即a 1q 2＝2，所以a 1>0，又a 2a 3a 4＝a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 21·a 1q 6＝a 21· a 7＝8a 21＝8，所以a 1＝1或a 1＝－1(舍去)，故选A. 2．(2015·新课标卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14 ，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝(C) A ．2 B ．1 C.12 D.18 由题意可得a 3a 5＝a 24＝4(a 4－1)，所以a 4＝2，所以q 3＝a 4a 1 ＝8，所以q ＝2. 所以a 2＝a 1q ＝12 . 3．(2017·湖南五市十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的(B) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件若A ＝B ＝0，则S n ＝0，故数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，当q ＝1时，S n ＝A ＋B ，所以a n ＝0(n ≥2)与数列{a n }是等比数列矛盾，所以q ≠1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ，所以A ＝－a 11－q ，B ＝a 11－q ，所以A ＝－B ，因此“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的必要不充分条件． 4．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝33，则 a 11＋a 2011a 17＋a 2017 ＝(D) A.29 B.49 C.23 D.89 依题意知等比数列{a n }的公比q ＝a 3a 2＝332 ，故a 11＋a 2011a 17＋a 2017＝a 11＋a 2011q 6(a 11＋a 2011)＝1q 6＝89 . 5．已知{a n }为等差数列，公差为1，且a 5是a 3与a 11的等比中项，则a 1＝－1 . 因为a 5是a 3与a 11的等比中项，所以a 25＝a 3·a 11.

等差等比数列的运用公式大全

第六讲：等差、等比数列的运用 1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ 性质：{}n a 是等差数列 m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； {}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2； a d a a d -+，， n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则 21 21 m m m m a S b T --= }n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组10 0n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当 100a d <>，，由1 0n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. 项数为偶数n 2的等差数列{} n a ，有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶， 1 += n n a a S S 偶奇. 12-n 的等差数列{} n a ，有 )()12(12为中间项n n n a a n S -=-，

等比数列及其性质

§6.3 等比数列一．课程目标 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式； 2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题； 3.了解等比数列与指数函数的关系. 二．知识梳理 1.等比数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示. 数学语言表达式：a n a n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数)，或a n ＋1a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数). (2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝±ab . 2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式 (1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n － 1；通项公式的推广：a n ＝a m q n － m . (2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q 1－q . 3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)数列}{},{),}({n n n n b a a c a c ?≠?0（}{n b 是等比数列），}{2 n a ，}{ n a 1 等也是等比数列。(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m . (4)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n . (5)等比数列{a n }的单调性：当q ＞1，a 1＞0或0＜q ＜1，a 1＜0时，数列{a n }是递增数列；当q ＞1，a 1＜0或0＜q ＜1，a 1＞0时，数列{a n }是递减数列；当q ＝1时，数列{a n }是常数列. (6)当n 是偶数时，q S S ?=奇偶; 当n 为奇数时，q S a S ?+=偶奇1 三．考点梳理

等比数列的概念-教学设计

《等比数列 (第一课时)》教学设计教学目标︰ 1、通过实例，理解等比数列的概念通过从丰富实例中抽象出等比数列的模型，使学生认识到这一类型数列也是现实世界中大量存在的数列模型;同时经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳等比数列的定义的过程。 2、探索并掌握等比数列的通项公式及等比中项通过等差数列的通项公式的推导过程的类比，探索等比数列的通项公式，探索等比数列的通项公式的图象特征及等比中项。教学重点：理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要的数列模型之一，探索并掌握等比数列的通项公式。教学难点：等比数列通项公式及其应用教学过程：一、复习提问一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示. 1, 3, 5, 7, 9，…; (1)

3, 0, -3, -6, … ; (2) (3) . , , , , 104103102101 ??? 二、创设情境,引入新课在前几节课中,我们学习了等差数列的定义、等差数列的通项公式及等差中项的定义，今天我们就来学习另外一种特殊的数列，首先看实例。 ● 实例分析1：1细胞分裂：1，2，4，8，… ● 实例分析2：公元前5至前3世纪，中国战国时，《庄子》一书中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的关于物质无限可分的观点。你能解释这个论述的含义吗？【学生】思考、讨论，用现代语言叙述。【老师】 (用现代语言叙述后)如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？【学生】发现等比关系，写出一个无穷等比数列：1，，，，，…。【老师】大家知道计算机病毒的传播是非常快的，速度大的惊人，那么让我们看一个这样的实例。 ● 实例分析3：一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄，通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是什么？