概率论与数理统计试卷及答案
模拟试题一
一、填空题（每空3分，共45分）
1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = P( A ∪B) =
2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为
1
9
，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ；
3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；
4、已知随机变量X 的密度函数为：,0
()1/4,
020,2
x Ae x x x x ??
=≤
, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ；
5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ；
6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y, X)= ；
7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，则当k = 时，
~(3)Y t =
；
8、设总体~(0,)
0X U θθ>为未知参数，12,,
,n X X X 为其样本，1
1n
i i X X n ==∑为样本均值，则θ的
矩估计量为： 。 9、设样本129,,
,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%
的置信区间： ；
二、计算题（35分）
1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：
1,
02()2
0,
x x x ??≤≤?=???其它
求：1）{|21|2}P X -<；2）2
Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为
1/4,
||,02,(,)0,
y x x x y ?<<
?其他
1） 求边缘密度函数(),()X Y x y ??； 2） 问X 与Y 是否独立？是否相关？ 3） 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ?；
3、（11分）设总体X 的概率密度函数为：
1,
0(),000
x
e x x x θ?θθ
-?≥?=>??
X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。
1）求参数θ的极大似然估计量?θ
； 2）验证估计量?θ
是否是参数θ的无偏估计量。 三、应用题（20分）
1、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/2。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？ 2．（10分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过0.5‰，假定有害物质含量X 服从正态分布。现在取5份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：
0.530‰，0.542‰，0.510‰，0.495‰，0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)？ 附表：
模拟试题二
一、填空题(45分，每空3分)
1．设()0.5,(|)0.6,()0.1,P A P B A P AB === 则()P B = ()P AB = 2．设,,A B C 三事件相互独立，且()()(P A P B P C =
=，若37
()64
P A B C ??=
，则()P A = 。
3．设一批产品有12件，其中2件次品，10件正品，现从这批产品中任取3件，若用X 表示取出的3件产品中的次品件数，则X 的分布律为 。 4．设连续型随机变量X 的分布函数为 ()arctan(),
F x A B x x R =+∈
则(,)A B = ，X 的密度函数()x ?= 。
5．设随机变量~[2,2]X U -，则随机变量1
12
Y X =+的密度函数()Y y ?= 6．设,X Y 的分布律分别为
X -1 0 1 Y 0 1 P 1/4 1/2 1/4 P 1/2 1/2
且{0}0P X Y +==，则(,)X Y 的联合分布律为 。和{1}P X Y +== 7．设(,)~(0,25;0,36;0.4)X Y N ，则cov(,)X Y = ，1
(31)2
D X Y -+= 。
8．设1234(,,,)X X X X 是总体(0,4)N 的样本，则当a = ，b = 时，统计量
221234(2)(34)X a X X b X X =-+-服从自由度为2的2χ分布。
9．设12(,,
,)n X X X 是总体2
(,)N a σ的样本，则当常数k = 时，2
21
?()n
i i k X X σ
==-∑是参数2σ的无偏估计量。
10．设由来自总体2
~(,0.9)X N a 容量为9的样本，得样本均值x =5，则参数a 的置信度为0.95的置信区间为 。 二、计算题(27分)
1．(15分)设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为
1
(),
02,02(,)8
0,
x y x y x y ??+≤≤≤≤?=???其它
（1） 求X Y 与的边缘密度函数(),()X Y x y ??； （2） 判断X Y 与是否独立？为什么？ （3） 求Z X Y =+的密度函数()Z z ?。 2．(12分)设总体X 的密度函数为
(),()0,
x e x x x θθ?θ
--?≥=?
其中0θ>是未知参数，12(,,
,)n X X X 为总体X 的样本，求
（1）参数θ的矩估计量1?θ； （2）θ的极大似然估计量2
?θ。 三、应用题与证明题(28分)
1．(12分)已知甲，乙两箱中有同种产品，其中甲箱中有3件正品和3件次品，乙箱中仅有3件正品，从甲
箱中任取3件产品放入乙箱后，
（1）求从乙箱中任取一件产品为次品的概率；
（2）已知从乙箱中取出的一件产品为次品，求从甲箱中取出放入乙箱的3件产品中恰有2件次品的概
率。
2．(8分)设某一次考试考生的成绩服从正态分布，从中随机抽取了36位考生的成绩，算得平均成绩66.5x =分，标准差15s =分，问在显著性水平0.05α=下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分，并给出检验过程。
3．(8分)设0()1P A <<，证明：A B 与相互独立?(|)(|)P B A P B A =。
附表：
0.950.9750.950.951.65, 1.96,(35) 1.6896,(36) 1.6883,u u t t ==== 0.9750.975(35) 2.0301,(36) 2.0281,t t ==
模拟试题三
一、填空题（每题3分，共42分） 1．设()0.3,
()0.8,P A P A B =?= 若A B 与互斥，则()P B = ；
A B 与独立，则()P B = ；若A B ?，则()P AB = 。
2．在电路中电压超过额定值的概率为1p ，在电压超过额定值的情况下，仪器烧坏的概率为2p ，则由于电压超过额定值使仪器烧坏的概率为 ；
3．设随机变量X 的密度为34,01
()0,
x x x ??<<=??其它，则使{}{}
P X a P X a >=<成立的常数a = ；{0.5 1.5}P X <<= ；
4．如果(,)X Y 的联合分布律为
则,αβ应满足的若X Y 与独立，α= ，
β= ，(31)E X Y +-= 。
5．设~(,)X B n p ，且 2.4, 1.44,EX DX == 则n = ，p = 。
6．设2
~(,)X N a σ，则3
2
X Y -=
服从的分布为 。 7．测量铝的比重16次，得 2.705,
0.029x s ==， 设测量结果服从正态分布2(,)N a σ，参数2,a σ未知，
则铝的比重a 的置信度为95%的置信区间为 。 二、（12分）设连续型随机变量X 的密度为：
,0()0,
0x ce x x x ?-?>=?≤?
（1）求常数c ； （2）求分布函数()F x ； （3）求21Y X =+的密度()Y y ?
三、（15分）设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合密度为
,01,0(,)0,c x y x
x y ?<<<
其它
（1）求常数c ； （2）求X Y 与的边缘密度(),()X Y x y ??； （3）问X Y 与是否独立？为什么？
（4）求Z X Y =+的密度()Z z ?； （5）求(23)D X Y -。
（2） 参数θ的极大似然估计量2
?θ；
五、（10分）某工厂的车床、钻床、磨床和刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1，当有一台机床需要修理时，求这台机床是车床的概率。
六、（10分）测定某种溶液中的水份，设水份含量的总体服从正态分布2
(,)N a σ，得到的10个测定值给出
0.452,0.037x s ==，试问可否认为水份含量的方差20.04σ=？（0.05α=）
22220.9750.9750.950.95(10)20.483,(9)19.023,(10)18.307,(9)16.919,χχχχ====
模拟试题四
四、（11分）设总体X 的密度为
(1),01
()0,
x x x θθ??+<<=??其它
其中1θ>-是未知参数，1(,
,)n X X 是来自总体X 的一个样本，求
（1） 参数θ的矩估计量1
?θ； 附表：
22220.050.0250.050.05(10) 3.94,(10) 3.247,(9) 3.325,(9) 2.7,χχχχ====
一、填空题（每题3分，共42分）
1、 设A 、B 为随机事件，()0.8P B =，()0.2P B A -=，则A 与B 中至少有一个不发生的概率
为 ；当A B 与独立时，则(())P B A B ?= 2、 椐以往资料表明，一个三口之家患某种传染病的概率有以下规律：()孩子得病P =
0.6，()孩子得病母亲得病P =0.5，()
孩子得病母亲及父亲得病P =0.4，那么一个三口之家患这种传染病的概率为 。
3、设离散型随机变量X 的分布律为：,...)2,1,0(!
3)(===k k a k X P k
，则a =_______=≤)1(X P 。
4、若连续型随机变量X 的分布函数为??
??
???>≤<-+-≤=3,
133,
3arcsin 3,
0)(x x x B A x x F
则常数=A ，=B ，密度函数=)(x ?
5、已知连续型随机变量X
的密度函数为221
8
(),x x f x e x -+-=
-∞<<+∞，则=-)14(X E ，
=2EX 。()=<-21X P 。
6、设X ～]3,1[U ， Y ～)2(P ，且X 与Y 独立， 则)3(--Y X D )= 。
7、设随机变量Y X ,相互独立，同服从参数为分布)0(>λλ的指数分布，令Y
X V Y X U -=+=2,2的相关系数。则=),(V U COV , =V U ,ρ 。 （注：6915.0)5.0(,8143.0)1(=Φ=Φ） 二、计算题（34分）
1、（18分）设连续型随机变量)(Y X ，的密度函数为
,01,01
(,)0,
x y x y x y ????
??+≤≤≤≤=其他
（1）求边缘密度函数)(),(y x Y X ??； （2）判断X 与Y 的独立性；
（3）计算cov(,)X Y ；
（3）求),max(Y X Z =的密度函数)(z Z ?
2、（16分）设随机变量X 与Y 相互独立，且同分布于)10)(,1(<
+?若为偶数，若为奇数
。
（1）求Z 的分布律；
（2）求)(Z X ，的联合分布律；
（3）问p 取何值时X 与Z 独立？为什么？
三、应用题（24分）
1、 （12分）假设一部机器在一天内发生故障的概率是0.2。若一周5个工作日内无故障则可获10万元；
若仅有1天故障则仍可获利5万元；若仅有两天发生故障可获利0万元；若有3天或3天以上出现故障将亏损2万元。求一周内的期望利润。
2、 （12分）将A 、B 、C 三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为0.8，而输出为其它一字母的
概率都为0.1。今将字母AAAA ，BBBB ，CCCC 之一输入信道，输入AAAA ，BBBB ，CCCC 的概率分别为0.5，0.4，0.1。已知输出为ABCA ，问输入的是AAAA 的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的）。
答 案（模拟试题一）
四、填空题（每空3分，共45分）
1、0.8286 ， 0.988 ；
2、 2/3 ；
3、14212661112C C ?，6126
6!12
C ； 4、 1/2, F (x )= 1,
021,0224
1,
2x
e x x
x x ?≤??
?+<≤??>???
， {0.51}P X -<<= 0.53142e --；
5、p = 1/3 ， Z=max(X,Y)的分布律： Z 0 1 2
P 8/27 16/27 3/27；
6、D(2X-3Y)= 43.92 , COV(2X-3Y, X)= 3.96 ；
7、当k
~(3)Y t =；
8、θ的矩估计量为：2X 。 9、 [9.216，10.784] ； 五、计算题（35分）
1、解 1） 9{|21|2}{0.5 1.5}16
P X P X -<=
-<<=
2）
(0()0,01,0440,
X X Y y y y y ???+>=≤?
?≤≤?=???其它
3）45
(21)212133
E X EX -=-=?
-= 2、解：1）1,
02,02()(,)420,0,
x X x
x dy x x x x y dy ??+∞
--∞??<<<
?
??其它
其它
2||11
,
||2
(2||),
||24
()(,)40,
0,
y Y dx y y y y x y dx ??+∞
-∞??<-
?????其它其它 2）显然，(,)()()X Y x y x y ???≠，所以X 与Y 不独立。 又因为EY=0，EXY=0，所以，COV(X,Y)=0，因此X 与Y 不相关。
3）
22()(,)11,04,044280,0,Z z z x z x dx
z dx z z ??+∞
-∞
=-??<<-<
?
??其它
其它
3、解1）1
121
1
1
(,,
,,)n
i
i
i x x n
n n
i L x x x e
e
θ
θ
θθ
θ
=-
-=∑==
∏
12ln (,,,,)ln n nx
L x x x n θθθ
=--
令
2ln 0d L n nx
d θθθ
=-+=
解出：?X θ
= 2）
?E EX EX θ
θ=== ?θ
θ∴是的无偏估计量。 六、应用题（20分）
1解：设事件A1，A2，A3，A4分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机”，其概率分别等于3/10，1/5，1/10和2/5，事件B 表示“迟到”，
已知概率{|},1,2,3,4i P B A i =分别等于1/4，1/3，1/2，0 则4
1
{)()(|)i i i P B P A P B A ==
=
∑23
120
111()(|)9(|)()23P A P B A P A B P B =
=，222()(|)8
(|)()23P A P B A P A B P B ==
333()(|)6(|)()23P A P B A P A B P B =
=，444()(|)
(|)0()
P A P B A P A B P B =
= 由概率判断他乘火车的可能性最大。
2． 解：0:0.5H a ≤（‰），1:0.5H a >
拒绝域为：00.95(4)}x t χ=> 计算0.5184,0.018x s ==
0.952.2857(4)t t =
=>， 所以，拒绝0H ，说明有害物质含量超过了规定。 附表：
答 案（模拟试题二）
一、填空题(45分，每空3分)
1．()0.4,
()0.4P B P AB == 2．1()4
P A =
3． X 0 1 2 P 6/11 9/22 1/22 4．11
(,)(,
)2A B π
=， 21(),(1)x x R x ?π=
∈+
5．1
,
[0,2]()2
0,
[0,2]
Y y y y ??∈?=????
6．
3{1}4
P X Y +==
7．1
cov(,)12,(31)1982
X Y D X Y =-+=
8．11
,20100a b =
=
； 9．1
1
k n =-； 10. (4.412, 5.588)
二、计算题(27分)
1．（1）1
1
(1),
[0,2](1),
[0,2](),
()4
4
0,
[0,2]
0,
[0,2]
X Y x x y y x y x y ????+∈+∈??==????????
（2）不独立
（3）2
1,0281
()(4),
2480,Z z z z z z z ??≤≤???=-≤≤?????
其它
2．（1）计算()
1x EX xe dx θθ
θ+∞
--=
=+?
根据矩估计思想，1x EX θ==+
解出：1
?1X θ=-； （2）似然函数 ())
11,,(,
,,)0,0,i n x nx n i i i n e x e
x L x x θθθθθ---+=?≥?≥??==??
????
∏其它其它 显然，用取对数、求导、解方程的步骤无法得到θ的极大似然估计。用分析的方法。因为(1)x θ≤，所以(1)
x e e
θ
≤，即11(1)(,,,)(,,,)n n L x x L x x x θ≤
所以，当2(1)1?min(,,)n X X X θ==时，使得似然函数达最大。极大似然估计为2?θ。
三、1．解：（1）设i A 表示“第一次从甲箱中任取3件，其中恰有i 件次品”，（i=0,1,2,3） 设B 表示“第二次从乙箱任取一件为次品”的事件；
3211231113333333123313131
1
66666661
()()(|)04n
i i i C C C C C C C C C P B P A P B A C C C C C C C ===?+?+?+?=∑ （2）22()
(|)0.6()
P A B P A B P B =
=
2． 解： 0:70H a =（‰），1:70H a ≠
拒绝域为：00.97570
{|
|36(35)}x t s
χ-=> … 根据条件66.5x =，15s =，计算并比较
0.97536 1.4(35) 2.0301t s
=<= 所以，接受0H ，可以认为平均成绩为70分。
3．(8分)证明：因为(|)(|)P B A P B A = ? ()()()()P AB P A P AB P A =
()[1()][()()]()P AB P A P B P AB P A ?-=- ()()()P AB P B P A ?=
? A B 与相互独立
答 案（模拟试题三）
一、填空题（每题3分，共42分）
1． 0.5 ； 2/7 ； 0.5 。 2． 1p 2
p ； 3；{0.5 1.5}P X <<= 15/16； 4． 01,01,1/3αβαβ≤≤≤≤+=， α= 2/9 ，β= 1/9 ， 17/3 。
5． n = 6 ，p = 0.4 。 6．2
3(,)24
a N σ-。 7． (2.6895, 2.7205) 。
二、解：（1）
()11x
x dx ce
dx c ?+∞
+∞
--∞
=?==??
（2）0
0,
0()()1,0
x
x t x
x F x t dt e dt e x ?---∞≤??
==?=->????
（3）Y 的分布函数1
(){21}{}2
Y y F y P X y P X -=+<=<
112
20
,
11,
10,
1
0,
1y y x e dx y e y y y ----??
??>->==??
??≤≤???
1
21,
1()2
0,1
y Y e y y y ?--?>?∴=??≤?
三、解：（1）1
00
1(,)2
x
c
x y dxdy cdydx ?+∞+∞
-∞
-∞
=
==
??
?
?
， 2c ∴= （2）022,01
()(,)0,
x X dy x x x x y dy ??+∞
-∞
?=<
122(1),01
()(,)0,
y Y dy y y y x y dx ??+∞-∞
?=-<
（3）X Y 与不独立；
（4）/2
1
/2
2,01()(,)22,120,
z z X Y z dy z z z x z x dx dy z z ??+∞+-∞?=<
??
???其它
（5）1
1
2
2
300
2
1
2,
23
2
EX x dx EX x dx ====
?? 1
122
00112(1),2(1)36
EY y y dy EY y y dx =
-==-=?? 22121111
(),()23186318DX DY =-==-=
10012,4x EXY xydydx ==?? 1211
cov(,)43336
X Y EXY EX EY ∴=-?=-?=
7
(23)492cov(2,3)18
D X Y DX DY X Y ∴-=+-=
四、解：（1）101
(1),2EX x x dx θθθθ+=+=+?
令EX x =，即1
2
x θθ+=+
解得1
21
?1X X
θ-=-。
（2）1
1
()(,)(1)(),
01,1,2,...,n n
n
i
i
i i i L x x x i n θθ?θθ===
=+<<=∏∏
1ln ()ln(1)ln n
i i L n x θθθ==++∑，1
ln ()ln 01n
i i L n
x θθθ=?=+=?+∑
解得2
1
?1ln n
i
i n
X
θ==--∑
五、解：设1A ={某机床为车床}，19()15
P A =
； 2A ={某机床为钻床}，21()5P A =
； 3A ={某机床为磨床}，32
()15P A =；
4A ={某机床为刨床}，41
()15P A =；
B ={需要修理}，11(|)7P B A =，22(|)7P B A =，33(|)7P B A =，41
(|)7P B A =
则4
1
22
()()(|)105i
i
i P B P A P B A ==
=∑
111()(|)9(|)()22
P A P B A P A B P B =
=。
六、解：2
201:0.04,
:0.04H H σσ=≠
拒绝域为：2
2/21/2220
(1)(1){
(1)}{(1)}n S
n S
n n ααχχσσ---<->-或
计算得
220
(1)(91)0.0370.27380.04
n s
σ--?==，查表得2
0.025
(9) 2.70.2738χ=> 样本值落入拒绝域内，因此拒绝0H 。 22220.9750.9750.950.95(10)20.483,(9)19.023,(10)18.307,(9)16.919,χχχχ====
答 案（模拟试题四）
一、填空题（每题3分，共42分）
附表：
22220.050.0250.050.05(10) 3.94,(10) 3.247,(9) 3.325,(9) 2.7,χχχχ====
1、 0.4 ； 0.8421 。
2、 0.12 。
3、3e -， 34e -。
4、1/2，1/π， ??
???
<<--=其他
,03
3,91)(2
x x
x π?。
5、3， 5 ， 0.6286 。
6、 2.333 。
7、23/λ, =V U ,ρ 3/5 。 二、1、解 （18分）
（1） ???≤≤+==其他
,01
0,2/1)()(x x x x Y X ??
（2） 不独立。
（3） ?
??≤≤=其他,01
0,3)(2z z z Z ?
2、解 （1）求Z 的分布律；
pq Y X P Y X P Z P 2)0,1()1,0()0(===+==== 2
2
)1,1()0,0()1(q p Y X P Y X P Z P +===+==== （2）)(Z X ，的联合分布律：
（3）当 5.0=p 时，X 与Z 独立。 三、应用题（24分）
1、解：设X 表示一周5个工作日机器发生故障的天数，则X ～)2.0,5(B ，分布律为：
5,...,1,0,8.02.0)(55===-k C k X P k
k k
设Y （万元）表示一周5个工作日的利润，根据题意，Y 的分布律
????
???=≥≥-===========057
.0)3(,3,2205.0)2(,2,0410.0)1(,1,5328.0)0(,0,10)(X P X X P X X P X X P X X f Y
则216.5=EY （万元）。
2、解：设321,,A A A 分别表示输入AAAA ，BBBB ，CCCC 的事件，B ~
表示输出为ABCA 的随机事件。由贝叶斯公式得：∑==
3
1111)~
()()~
()()~
(i i i
A B P A P A B P A P B A P
1.0)(,4.0)(,5.0)(321===A P A P A P 0064.08.01.01.08.0)~
(1=???=A B P
0008.01.01.08.01.0)~(2=???=A B P 0008.01.08.01.01.0)~
(3=???=A B P
10.50.00648
()0.50.00640.00080.40.00080.19
P A B ?=
=?+?+?
概率论与数理统计第4章作业题解
第四章作业题解 4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知 ,X Y 的概率分布如下表所示: 如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？ 解： 11.032.023.014.00)(=?+?+?+?=X E 9.0032.025.013.00)(=?+?+?+?=Y E 因为 )()(Y E X E >，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。 4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X 表示取出的3 个球中的 最大编号，求E (X ). 解：X 的可能取值为3,4,5. 因为1.01011)3(35 == = =C X P ；3.010 3)4(35 2 3== = =C C X P ； 6.010 6)5(3 5 24=== =C C X P 所以 5.46.053.041.03)(=?+?+?=X E 4.3 设随机变量X 的概率分布1 {}(0,1,2,),(1) k k a P X k k a +===+ 其中0a >是个常 数，求()E X 解: 1 1 2 1 1 1 ()(1) (1) (1) k k k k k k a a a E X k k a a a -∞ ∞ +-=== = +++∑∑ ，下面求幂级数11 k k k x ∞ -=∑的和函数， 易知幂级数的收敛半径为1=R ，于是有 1 2 1 1 1()( ),1,1(1) k k k k x k x x x x x ∞ ∞ -==''=== <--∑ ∑
数三概率论与数理统计教学大纲
数三《概率论与数理统计》教学大纲 教材：四川大学数学学院邹述超、何腊梅：《概率论与数理统计》，高等教育出版社出，2002年8月。 参考书：袁荫棠：《概率论与数理统计》（修订本），中国人民大学出版社。 四川大学数学学院概率统计教研室：《概率论与数理统计学习指导》 总学时：60学时，其中：讲课50学时，习题课10学时。 学分：3学分。 说明： 1.生源结构：数三的学生是由高考文科生和一部分高考理科生构成。有些专业全是文科生或含极少部分理科生（如：旅游管理，行政管理），有些专业约占1/4～1/3的理科生（国贸，财政学，经济学），有些专业全是理科生（如：国民经济管理，金融学）。 2.高中已讲的内容：高中文、理科都讲了随机事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率，即教材第一章除条件概率以及有关的内容以外，其余内容高中都讲了。高中理科已讲离散型随机变量的概率分布（包括二项分布、几何分布）和离散型随机变量的期望与方差，统计基本概念、频率直方图、正态分布、线性回归。而高中文科则只讲了一点统计基本概念、频率直方图、样本均值和样本方差的简单计算。 3.基本要求：学生的数学基础差异大，不同专业学生对数学课重视程度的差异大，这就给讲授这门课带来一定的难度，但要尽量做到“分层次”培养学生。高中没学过的内容要重点讲解，学过的内容也要适当复习或适当增加深度。讲课时，既要照顾数学基础差的学生，多举基本例子，使他们掌握大纲要求的基本概念和方法；也要照顾数学基础好的学生，使他们会做一些综合题以及简单证明题。因为有些专业还要开设相关的后继课程（如：计量经济学），将用到较多的概率统计知识；还有一部分学生要考研，数三的概率考研题往往比数一的难。 该教材每一章的前几节是讲述基本概念和方法，习题(A)是针对基本方法的训练而编写的，因此，这一部分内容须重点讲解，并要求学生必须掌握；每一章的最后一节是综合例题，习题(B)具有一定的综合性和难度，可以选讲部分例题，数学基础好的学生可选做(B)题。 建议各章学时分配(+号后面的是习题课学时)： 第一章随机事件及其概率 一、基本内容 随机事件的概念及运算。概率的统计定义、古典定义及公理化定义。概率的基本性质、加法公式、条件概率与乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。事件的独立性，独立随机试验、
概率论与数理统计习题集及答案
* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。
概率论与数理统计知识点总结详细
概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020
《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P
概率论与数理统计练习题
概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望
概率论与数理统计期末考试试题及解答
概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020
一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为
《概率论与数理统计》在线作业
第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数：0.５ 此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题 您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题
您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５ 批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:０.５ 此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题
您的答案：Ａ 题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。 第６题 您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题
您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第８题 您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题
您的答案：C 题目分数：0.５ 此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。 第1１题
您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。 第12题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５ 批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题
概率论与数理统计课程教学大纲
概率论与数理统计课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：概率论与数理统计 所属专业：物理学 课程性质：必修 学分：3 （二）课程简介、目标与任务； 《概率论与数理统计》是研究随机现象规律性的一门学科；它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生掌握概率与数理统计的基本概念，并在一定程度上掌握概率论认识问题、解决问题的方法。同时这门课程的学习对培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题能力也会起到一定的作用。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 先修课程：高等数学。后续相关课程：统计物理。《概率论与数理统计》需要用到高等数学中的微积分、级数、极限等数学知识与计算方法。它又为统计物理、量子力学等课程提供了数学基础，起了重要作用。 （四）教材与主要参考书。 教材： 同济大学数学系编，工程数学–概率统计简明教程（第二版），高等教 育出版社，2012. 主要参考书： 1.浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编，概率论与数理统计（第四版）， 高等教育出版社，2008. 2.J.L. Devore, Probability and Statistics(fifth ed.)概率论与数 理统计（第5版）影印版，高等教育出版社，2004. 二、课程内容与安排 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件； 1.2 事件关系和运算。
第二章事件的概率 2.1概率的概念；2.2 古典概型；2.3几何概型；2.4 概率的公理化定义。第三章条件概率与事件的独立性 3.1 条件概率； 3.2 全概率公式； 3.3贝叶斯公式；3.4 事件的独立性； 3.5 伯努利试验和二项概率。 第四章随机变量及其分布 4.1 随机变量及分布函数；4.2离散型随机变量；4.3连续型随机变量。 第五章二维随机变量及其分布 5.1 二维随机变量及分布函数；5.2 二维离散型随机变量；5.3 二维连续随机变量；5.4 边缘分布； 5.5随机变量的独立性。 第六章随机变量的函数及其分布 6.1 一维随机变量的函数及其分布；6.2 多元随机变量的函数的分布。 第七章随机变量的数字特征 7.1数学期望与中位数； 7.2 方差和标准差； 7.3协方差和相关系数； *7.4大数律； 7.5中心极限定理。 第八章统计量和抽样分布 8.1统计与统计学；8.2统计量；8.3抽样分布。 第九章点估计
概率论与数理统计第四版课后习题答案
概率论与数理统计课后习题答案 第七章参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL
概率论与数理统计必考大题解题索引
概率论与数理统计必考大题解题索引 编制：王健 审核： 题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式： ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有： P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有： 贝叶斯公式： ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地： 当n 2时，有： 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求： （1）恰好取到不合格品的概率； （2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 解：设事件 表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工 厂生产的”（i =123，，）。 则Ω== 3 1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得 （1）∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?=
《概率论与数理统计》课程教学大纲
《概率论与数理统计》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号：450006 课程名称：概率论与数理统计 课程类别：公共基础课（必修） 学时学分：理论48学时/3学分 适用专业：计算机、自动化、经管各专业 开课学期：第一学期 先修课程：高等数学 后续课程： 执笔人： 审核人： 制（修）订时间：2015.9 二、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类本科各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机事件的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。 三、课程教学基本要求 本课程以课堂讲授为主，致力于讲清楚基本的概率统计思想，使学生掌握基本的概率、统计计算方法。注意培养基本运算能力、分析问题和解决实际问题的能力。讲授中运用实例来说明本课程应用的广泛性和重要性。每节课布置适量的习题以巩固所学知识，使学生能够运用概率统计思想和方法解决一些实际问题。 四、课程教学内容及各教学环节要求 （一）概率论的基本概念
1、教学目的 理解随机现象、样本空间、随机事件、概率等概念，掌握事件的关系与运算，掌握古典概犁及其计算、条件概率的计算、全概率公式和贝叶斯公式的应用。 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 概率、条件概率与独立性的概念； ② 加法公式；乘法公式；全概率公式；贝叶斯公式。 （2）教学难点 ① 古典概型的有关计算；② 全概率公式的应用； ③ 贝叶斯公式的应用。 3、教学方法 采用传统教学方式，以课堂讲授为主，课堂讨论、多媒体演示、课下辅导等为辅的教学方法。加强互动教学，学生对课程的某一学术问题通过检索资料、实际调查来提高自学能力和实践应用能力。 4、教学要求 （1）理解随机试验、样本空间、随机事件等基本概念；熟练掌握事件的关系及运算 （2）理解频率和概率定义；熟练掌握概率的基本性质 （3）理解等可能概型的定义性质；,会计算等可能概型的概率 （4）理解条件概率的定义；熟练掌握加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式（5）理解事件独立性概念,掌握应用独立性进行概率计算 （二）随机变量及其分布 1、教学目的 了解随机变量的概念；理解离散型随机变量的分布律和连续型随机变量的概率密度的概念及性质，会利用性质确定分布律和概率密度；理解分布函数的概念及性质，会利用此概念和性质确定分布函数，会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握正态分布、均匀分布、指数分布、0-1分布、二项分布、泊松分布，会求简单的随机变量函数的分布 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 随机变量及其概率分布的概念； ② 离散型随机变量分布律的求法；
(完整版)概率论与数理统计课程标准
《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 （一）课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 （二）先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的
进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 （一）能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 （二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 （三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配
概率论与数理统计试题与答案
概率论与数理统计试题 与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
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