(完整版)数学归纳法典型例题分析
数学归纳法证题步骤与技巧
1.数学归纳法的范围
因此，数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的命题。它能帮助我们判断种种与自然数n 有关的猜想的正确性。 2.数学归纳法两个步骤的关系
第一步是递推的基础，第二步是递推的根据，两个步骤缺一不可。 3.第一、二数学归纳法
第一数学归纳法可以概括为以下三步：(1)归纳奠基：证明n=1时命题成立；(2)归纳假设：假设n=k 时命题成立；(3)归纳递推：由归纳假设推出n=k+1时命题也成立。从而就可断定命题对于从所有正整数都成立 第二数学归纳法的证明步骤是： 1、证明当n=1时命题是正确的；
2、k 为任意自然数，假设n ＜k 时命题都是正确的，如果我们能推出n=时命题也正确，就可以肯定该命题对一切自然数都正确。数学归纳法和第二归纳法是两个等价的归纳法，我们把数学归纳法也叫做第一归纳法。有些命题用第一归纳法证明不大方便，可以用第二归纳法证明。
2.(2012·济南高二检测)用数学归纳法证明1+2+3+…+n 2
=42n n ,2
+则当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加上( )(A)k 2
+1(B)(k+1)2
(C)
()()42
k 1k 12
+++(D)(k 2+1)+(k 2+2)+…+(k+1)2
4.若数列{a n }的通项公式a n =
()
2
1
n 1+(n ∈N *
),记f(n)=(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n )，
试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)为( ) (A)
n 2n 3++ (B)n 22n 2++(C)n 2
2n 1
++ (D)
n
2n 1
+ 5.(2012·徐州高二检测)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n
+y n
能被x+y 整除”，当
第二步假设n=2k-1(k ∈N *
)命题为真时，进而需证n=__________时，命题亦真.
6.(易错题)若f(n)=12+22+32+…+(2n)2
，则f(k+1)与f(k)的递推关系式是______ _____________________________. 7.用数学归纳法证明：21111n n 1n 2n
+++?+++＞1(n ∈N *,n ＞1).
8.求证：()()()()
222n n 112n 13352n 12n 122n 1+++?+=
??-++,(n ∈N *
)
9.用数学归纳法证明a n+1+(a+1)2n-1能被a 2+a+1整除(n ∈*N )
答案解析
2.【解析】选D.当n=k 时，左端=1+2+3+…+k 2
，
当n=k+1时，左端=1+2+3+…+k 2+(k 2+1)+(k 2+2)+…+(k+1)2
,
故当n=k+1时，左端应在n=k 的基础上加上(k 2+1)+(k 2+2)+…+(k+1)2
,故应选D.
4.【解析】选B.∵f(n)=(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n ), f(1)=1-a 1=1-
13,44
= f(2)=(1-a 1)(1-a 2)=f(1)×(1-19)=3824,4936
?== f(3)=(1-a 1)(1-a 2)(1-a 3)=()12155
f 2(1).163168
?-=?=
根据其结构特点可得：f(n)=
()
n 2
.2n 1++故选B.
5.【解析】因为n 为正奇数，且与2k-1相邻的下一个奇数是2k+1，故进而需证n=2k+1时，命题亦真. 答案：2k+1
6.【解题指南】写出f(k)和f(k+1)，采用作差法.
【解析】∵f(k)=12+22+…+(2k)2
,
f(k+1)=12+22+…+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2
，
∴f(k+1)-f(k)=(2k+1)2+(2k+2)2
，
即f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2
.
答案：f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2
7.【证明】(1)当n=2时，左边=
11113.23412
++= 右边=1，不等式成立.
(2)假设当n=k(k ≥2,k ∈N *
)时，不等式成立，即
21111k k 1k 2k
+++?+++＞1. 那么当n=k+1时，
()
()()()()()()
()
2
222222222
22
2
111111
k 1k 2k k 1k 2k 111111111()k k 1k 2k k 1k 2k 2k 1k 1112k 1k 2k 1k
2k 1k k 1k k 111.
k k 1k k 1++?++++?++++++=+++?++++?+-++++++++-
+++-+--=+=+
++＞
∵k ≥2,∴k 2
-k-1＞0,1+
()
22
k k 1k k 1--+＞1.
这就是说，当n=k+1时，不等式也成立.
由(1)和(2)可知，原不等式对任意大于1的正整数n 都成立. 【变式训练】用数学归纳法证明：2221113n 123n 2n 1
+
++?+≥+(n ∈N *
). 【证明】①当n=1时，左边＝1，右边＝1，左边≥右边，结论成立；
②假设n=k 时，不等式成立， 即2221113k 1.23k 2k 1
+
++?+≥+ 当n=k+1时，()()
2222211113k 1
1,23k 2k 1k 1k 1+
++?++≥++++ 下面证：
()()()23k 13k 1,2k 12k 11
k 1++≥++++ 作差得()()()()()()()
223k 1k k 23k 1
0,2k 12k 11k 1k 12k 12k 3+++-=+++++++＞
得结论成立，
即当n ＝k+1时，不等式也成立.
由①和②知，不等式对一切n ∈N *
都成立.
8.(2012·开封高二检测)在数列{a n },{b n }中，a 1=2,b 1=4,且a n ,b n ,a n+1成等差数列，b n ,a n+1,b n+1
成等比数列(n ∈N *
),求a 2,a 3,a 4与b 2,b 3,b 4的值，由此猜测{a n },{b n }的通项公式，并证明你的结论.
8.【解题指南】采用“归纳——猜想——证明”的思想方法. 【解析】由条件得2b n =a n +a n+1,2n 1
a
+ =b n b n+1.
又a 1=2,b 1=4,由此可得a 2=6,b 2=9, a 3=12,b 3=16,a 4=20,b 4=25,
猜测a n =n(n+1),b n =(n+1)2
. 用数学归纳法证明.
①当n=1时，a 1=2,b 1=4,结论成立. ②假设n=k 时结论成立，
即a k =k(k+1),b k =(k+1)2
.那么n=k+1时，
a k+1=2
b k -a k =2(k+1)2
-k(k+1) =(k+1)［(k+1)+1］,
b k+1=2k 1k
a b +=(k+2)2=［(k+1)+1］2
,
∴n=k+1时，结论也成立.
由①和②知，a n =n(n+1),b n =(n+1)2
对一切正整数都成立. 【挑战能力】
【解题指南】此题是式子的整除问题，与正整数n 有关，用数学归纳法解决是较好的选择.
【解析】(1)当n=1时，左边=a 2+(a+1)1=a 2+a+1，可被a 2
+a+1整除；
(2)假设n=k(k ≥1，k ∈N *)时，a k+1+(a+1)2k-1能被a 2
+a+1整除，则当n=k+1时，a k+1+1+(a+1)2(k+1)-1=a k+2+(a+1)2k+1 =aa k+1+(a+1)2(a+1)2k-1 =aa k+1+a(a+1)2k-1+(a 2+a+1)(a+1)2k-1
=a ［a k+1+(a+1)2k-1］+(a 2+a+1)(a+1)2k-1
，
由假设可知a ［a k+1+(a+1)2k-1］能被a 2
+a+1整除.
又(a 2+a+1)(a+1)2k-1也能被a 2+a+1整除，所以a k+2+(a+1)2k+1能被a 2
+a+1整除，即 n=k+1时，命题成立.
由(1)和(2)知，对一切n ∈N *
命题都成立. 【方法技巧】用数学归纳法证明整除问题技巧
应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法.也可以说将式子“硬提公因式”，即将n=k 时的项从n=k+1时的项中“硬提出来”，构成n=k 时的项，后面的式子相对变形，使之与n=k+1时的项相同，从而达到利用假设的目的.
一、选择题(每题4分，共16分)
1.(2011·马鞍山高二检测)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=
()()n 3n 42
++ (n ∈N *
)
时，第一步验证n=1时，左边应取的项是( )(A)1 (B)1+2 (C)1+2+3 (D)1+2+3+4
2.设S k =
1111
k 1k 2k 32k +++?+
+++，则S k+1为( ) (A)S k +12k 2+ (B)S k +12k 1++12k 2+ (C)S k +12k 1+-12k 2+ (D)S k +12k 2+-1
2k 1
+
3.某个命题与正整数n 有关，如果当n=k(k ∈N *
)时，命题成立，那么n=k+1时，命题也成立，
即已知当n=4时该命题不成立，那么可推得( )
(A)当n=5时命题不成立(B)当n=5时命题成立(C)当n=3时命题不成立(D)当n=3时命题成立 4.
*n 1(n N )+∈”的过程如下：
证明：(1)当n=1时，显然命题是正确的；(2)假设n=k
k 1+,则当n=k+1
=
()k 11=++所以当n=k+1时命题是
正确的，由(1)(2)可知对于(n ∈N *
)命题都是正确的.以上证法是错误的，错误在于( ) (A)从k 到k+1的推理过程没有使用归纳假设(B)归纳假设的写法不正确 (C)从k 到k+1的推理不严密(D)当n=1时，验证过程不具体 二、填空题(每题4分，共8分)
5.用数学归纳法证明“n 3+5n ”能被6整除的过程中，当n=k+1时，式子(k+1)3
+5(k+1)应变形为__________________________. 6.在数列{a n }中，a 1=2,a n+1n n a 3a 1
=
+(n ∈N *
)，依次计算出a 2,a 3,a 4后，归纳猜想得出a n 的表
达式为_______________________. 三、解答题(每题8分，共16分)
7.求证：()()()()
222n n 112n 13352n 12n 122n 1+++?+=
??-++,(n ∈N *
) 8.平面上有n(n ≥2)条直线，其中无两条直线平行，也无三线共点，求证：这n 条直线互相分割成n 2
条线段或射线.
【挑战能力】
(10分)在1与2之间插入n 个正数a 1,a 2,a 3,…,a n ，使这n+2个数成等比数列；又在1与2之间插入n 个正数b 1,b 2,b 3,…,b n ，使这n+2个数成等差数列.记A n =
a 1a 2a 3…a n ,B n =
b 1+b 2+b 3+…+b n .试比较A n 与B n 的大小(n ∈N *
)，并证明你的结论.
答案解析
1.【解析】选D.由所给等式可知，当n=1时，左边应有四项，即1+2+3+4.
2.【解析】选C.∵k 111111
S k 11k 122k 2k 12k 2
+=
++?+++
++++++ k 1k k 111S S 2k 12k 2k 111
S .
2k 12k 2
+∴=+
+-
+++=+-++ 独具【易错提醒】在由n=k 到n=k+1的转化过程中，必须搞清式子的结构，即弄清楚增加和减少的项，本题易误选B.
3.【解析】选C.判断其逆否命题,若n=3时，该命题成立，则n=3+1=4时，命题也一定成立.
4.【解析】选A.由推理过程可知，在第二步证明n=k+1的结论时，没有使用归纳假设.
5.【解析】(k+1)3+5(k+1)=k 3+1+3k 2+3k+5k+5=(k 3+5k)+3k 2+3k+6=(k 3
+5k)+3k(k+1) +6
∵k(k+1)为偶数，∴3k(k+1)+6能被6整除.
答案：(k 3
+5k)+3k(k+1)+6 6.【解析】∵a 1=2,3n 12n 1234n 123a a a a 222
a a ,a ,a 3a 13a 173a 1133a 119
+=
∴======++++ ,
于是猜想a n =
2.6n 5- 答案：a n =26n 5
-(n ∈N *
)
7.【证明】(1)当n=1时，左边=
11133=?，右边=121233
?=?, ∴左边=右边.
∴当n=1时，等式成立.
(2)假设当n=k(k ≥1,k ∈N *
)时，等式成立，即
()()()()
222
k k 112k 13352k 12k 122k 1+++?+=
??-++成立, 当n=k+1时，
()()()()()()()()()()22
222
k 1k k 1k 112k 13352k 12k 12k 12k 322k 12k 12k 3+++++?++=+??-++++++ ()()
k(2k 3)2(k 1)(k 1)22k 12k 3+++=+++g
()()()()()()k 1k 2(2k 1)k 1(k 2)22k 12k 322k 3+++++=
=+++ ()()()k 1[k 11].22k 11+++=
++［］
∴当n=k+1时，等式也成立.
由(1)(2)可知，等式对任意n ∈N *
都成立.
8.【证明】(1)当n=2时，两条相交直线互相分割成4=22
条射线，命题成立.
(2)假设当n=k(k ∈N *且k ≥2)时，命题成立，即k 条直线互相分割成k 2
条线段或射线. 则当n=k+1时，第k+1条直线与前k 条直线有k 个交点，这k 个交点把第k+1条直线分成k-1条线段和2条射线，这k 个交点又把它原来所在的线段或射线分成2段，所以线段或射线又增加了k 段.加进第k+1条直线后，共增加了k-1+2+k 条线段或射线，这时有k 2+k-1+2+k=(k+1)2
条线段或射线，所以n=k+1时命题也成立，由(1)(2)可知，结论成立. 【挑战能力】
独具【解题提示】先由等差、等比数列的性质，求出A n 与B n ，再由特殊到一般猜想A n 与B n 的大小，用数学归纳法证明.
【解析】∵1,a 1,a 2,a 3,…,a n ,2成等比数列， ∴a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…=a k a n-k+1=…=1×2=2, ∴2
n A =(a 1a n )(a 2a n-1)(a 3a n-2)…(a n-1a 2)(a n a 1)=2n
,
∴A n =2n 2
.
又1,b 1,b 2,b 3,…,b n ,2成等差数列， ∴b 1+b n =1+2=3, ∴B n =
()1n n b b 3
n 22
+=. 要比较A n 与B n 的大小，只需比较2
n A 与2
n B 的大小，即比较2n
与94
n 2
的大小. 当n=1,2,3,…6时，容易计算出2n
＜
94
n 2
, 当n=7时，27
=128，
94×72=4414
, ∵128＞4414,∴2n
＞94
n 2.
当n=8时，28=256, 94×82
=144,
∵256＞144,∴2n
＞94
n 2.
猜想：当n ≥7时，有2n
＞94
n 2.
以下用数学归纳法加以证明： ①当n=7时，已验证猜想正确.
②假设n=k(k ≥7)时猜想正确，即2k
＞94
k 2
. 那么n=k+1时，2k+1
=2·2k
＞2·
94k 2=94
·2k 2
, 又当k ≥7时，2k 2
-(k+1)2
=k 2
-2k-1=(k-1)2
-2＞0, ∴2k+1
＞
94
(k+1)2
. 即当n=k+1时，猜想也正确.
由①②知，对一切n ≥7(n ∈N *
)，都有2n
＞94
n 2
, 即2n A ＞2
n B ，也即A n ＞B n .
综上，当1≤n ≤6(n ∈N *
)时,A n ＜B n ; 当n ≥7(n ∈N *)时，A n ＞B n .
高考题型归纳：
题型1.证明代数恒等式
例1.归纳法证明下述等式问题：
)1)(1(4
1)()2(2)1(12
222222+-=
-++-?+-?n n n n n n n n Λ. 练习：用数学归纳法证明 ()()()1
14253153
n n n n n ?+?+++=++L
题型2.证明不等式
例2. 用数学归纳法证明下述不等式；
).2,(10931312111≥∈>+++++++*n N n n n n n 且Λ
练习：用数学归纳法证明()1112
1,,22322
n n n N n +++++>∈≥L
题型3.证明整除
练习：用数学归纳法证明2166n --能被7整除
题型4.解决几何问题
例4.有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆将平面分成()2
2f n n n =-+个部分
用数学归纳法证明几何问题，关键在于分析由n ＝k 到n ＝k ＋1的变化情况，即分点(或顶点)增加了多少，直线的条数(或划分区域)增加了几部分等，或先用f(k ＋1)－f(k)得出结果，再结合图形给予严谨的说明，几何问题的证明：一要注意数形结合；二要注意要有必要的文字说明．
(完整版)数学归纳法经典例题详解
例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ． 请读者分析下面的证法： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ． 那么当n =k +1时，有： ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求． 正确方法是：当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k
()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论． 分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3． 故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 例3．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．
北京理工大学2012-2013学年第一学期工科数学分析期末试题(A卷)试题2012-2(A)
1 北京理工大学2012-2013学年第一学期 工科数学分析期末试题(A 卷) 一. 填空题（每小题2分, 共10分） 1. 设?????<≥++=01arctan 01)(x x x x a x f 是连续函数，则=a ___________. 2. 曲线θρe 2=上0=θ的点处的切线方程为_______________________________. 3. 已知),(cos 4422x o bx ax e x x ++=- 则_,__________=a .______________=b 4. 微分方程1cos 2=+y dx dy x 的通解为=y __________________________________. 5. 质量为m 的质点从液面由静止开始在液体中下降, 假定液体的阻力与速度v 成正比, 则质点下降的速度)(t v v =所满足的微分方程为_______________________________. 二. (9分) 求极限 21 0)sin (cos lim x x x x x +→. 三. (9分) 求不定积分?+dx e x x x x )1arctan (12. 四. (9分) 求322)2()(x x x f -=在区间]3,1[-上的最大值和最小值. 五. (8分) 判断2 12arcsin arctan )(x x x x f ++= )1(≥x 是否恒为常数. 六. (9分) 设)ln(21arctan 22y x x y +=确定函数)(x y y =, 求22,dx y d dx dy . 七. (10分) 求下列反常积分. (1);)1(1 22?--∞+x x dx (2) .1)2(1 0?--x x dx 八. (8分) 一垂直立于水中的等腰梯形闸门, 其上底为3m, 下底为2m, 高为2m, 梯形的上底与水面齐平, 求此闸门所受 到的水压力. (要求画出带有坐标系的图形) 九. (10分) 求微分方程x e x y y y 3)1(96+=+'-''的通解. 十. (10分) 设)(x f 可导, 且满足方程a dt t f x x x f x a +=+?)())((2 ()0(>a , 求)(x f 的表达式. 又若曲线 )(x f y =与直线0,1,0===y x x 所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为,6 7π 求a 的值. 十一. (8分) 设)(x f 在]2,0[上可导, 且,0)2()0(==f f ,1sin )(1 21 =?xdx x f 证明在)2,0(内存在ξ 使 .1)(='ξf
数列数学归纳法测试题
数列 数学归纳法测试题 班级 姓名 得分 . 一、选择题： 1、等差数列{n a }中，a 3＋a 7－a 10=8，a 11－a 4=4，则S 13=…………………………………………( ) (A )168 (B ) 156 (C )78 (D ) 152 2、数列{n a }、{n b }都是等差数列，a 1=25，b 1=75，a 100＋b 100=100，则{n a ＋n b }的前100项和为( ) (A )0 (B )100 (C )10000 (D )102400 3、等差数列5，244,3,77 ，第n 项到第n ＋6项的和为T ，则|T|最小时，n=…………………( ) (A )6 (B )5 (C ）4 （D ）3 4、等差数列{n a }满足123101a a a a ++++ =0，则有……………………………………………( ) (A )11010a a +> （B ）21000a a +< （C ）3990a a += （D ）5151a = 5、一个首项为正数的等差数列中，S 3=S 11，则当S n 最大知，n=……………………………………（ ） (A )5 (B ) 6 (C )7 (D ) 8 6、{n a }为等比数列，{n b }是等差数列，b 1=0，n c =n a ＋n b ，如果数列{n c }是1，1，2，…，则{n c }的前10项和为……………………………………………………………………………………（ ） (A ) 978 (B ) 557 (C ) 467 (D )以上都不对 7、若相异三数(),(),()a b c b c a c a b ---组成公比为q 的等比数列，则…………………………（ ） (A )210q q ++= (B ) 210q q -+= (C ) 210q q +-= (D ) 210q q --= 8、{n a }的前n 项和为S n =232n n -，当n ≥2时，有…………………………………………………（ ） (A )n S >n na >1na (B ) n S
数学归纳法典型例习题
欢迎阅读数学归纳法典型例题 一. 教学内容： 高三复习专题：数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 四. ??? ??? （1 ??? （2（）时命题成立，证明当时命题也成立。??? 开始的所有正整数 ??? 即只 称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。 【要点解析】 ? 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。 ??? 用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。
? 2、运用数学归纳法时易犯的错误 ??? （1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。 ??? （2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。 ??? （3）关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。 ? 例1. 时，。 ，右边，左边 时等式成立，即有，则当时， 由①，②可知，对一切等式都成立。 的取值是否有关，由到时 （2 到 本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法，即 ，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。 （3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确 时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系。
数学分析大一上学期考试试题 B
数学分析第一学期期末考试试卷（B 卷） 一、叙述题（每题5分，共10分） 1.上确界； 2.区间套的定义。 二、填空题（每题4分，共20分）1.函数|3|ln 3)(--=x x x f 的全部间断点是. 2.定义在]1,0[区间上的黎曼函数的连续点为. 3.)1ln()(2 x x f +=,已知5 6)2()(lim 000=--→h h x f x f h ,=0x .4.正弦函数x y sin =在其定于内的拐点为.5.点集}1)1({n S n +-=的所有聚点为.三、计算题(每题4分，共28分)（1）求]1 21 11[lim 222n n n n n ++++++∞→ ；（2）求30sin tan lim x x x x -→；（3）求)1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→；（4）求2210)21(e lim x x x x +-→；（5）求)1ln(2x x y ++=的一阶导； （6）求3)(sin )(+=x x x f 的一阶导； （7）求???==; cos ,sin 22t t y t t x 的一阶导。四、讨论题（共12分）1.极限x x 1sin lim 0 →是否存在，说明原因。2.设000)()(=≠?????-=-x x x e x g x f x ,其中)(x g 具有二阶连续导数,且
1)0(,1)0(-='=g g .求)(x f '并讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性. 五、证明题（共30分）1.证明.x x f 2cos )(=在),0[+∞上一致连续. 2.设f 在],[b a 上连续,],[,,,21b a x x x n ∈ ，另一组正数n λλλ,,,21 满足121=+++n λλλ .证明：存在一点],[b a ∈ξ，使得 )()()()(2211n n x f x f x f f λλλξ+++= . 3.设函数)(x f 在[]b a ，上连续,在),(b a 内可导,且0>?b a .证明存在),(b a ∈ξ，使得)()()()(1 ξξξf f b f a f b a b a '-=-.
(完整版)数学归纳法经典例题及答案(2)
数学归纳法（2016.4.21） 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ． 当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．
题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ Λ． 那么当n =k +1时， 11 1 31 21 1++++++k k Λ 1 1 1211 2+++=++ 【关键字】认识、问题、要点 数学归纳法（ 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k ． 当n =k +1时． 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ． 那么当n =k +1时， 这就是说，当n =k +1时，不等式成立． 由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立． 说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是 1211 1 31 21 1+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 1211 2+<++k k k ． 认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标． 题型3.证明数列问题 例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)． (1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值． (2)设b n ＝ a 22n －3，T n ＝ b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3 . 解： (1)当n ＝5时， 原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5 令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243. (2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2 b n ＝a 22 n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2， 右边＝2(2＋1)(2－1)3 ＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立， 即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3 成立 那么，当n ＝k ＋1时， 左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3 ＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)?? ??k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3 ＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立． 综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3 . 数学归纳法例题讲解 例1．用数学归纳法证明： ()() 1 212121 7 515 313 11+= +-+ +?+ ?+ ?n n n n ． 请读者分析下面的证法： 证明：①n =1时，左边3 13 11=?= ，右边3 11 21= += ，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()() 1 212121 7 515 313 11+= +-+ +?+ ?+ ?k k k k ． 那么当n =k +1时，有： ()()()() 32121 12121 7 515 313 11+++ +-+ +?+ ?+ ?k k k k ?? ??????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ??-= 321121121121 7151513131121k k k k 3 22 221321121++? =??? ??+-= k k k ()1 1213 21+++= ++= k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求． 正确方法是：当n =k +1时． ()()()() 32121 12121 7 515 313 11+++ +-+ +?+ ?+ ?k k k k ()() 321211 2+++ += k k k k ()() ()()()() 321211232121 322 ++++= ++++= k k k k k k k k ()1 1213 21+++= ++= k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论． 分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ??? ??=++=+=60 3224 26321 211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3． 故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+… 导数典型例题 导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题 【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 .1002 C ！ 解法一 f ＇(0)=x f x f x ?-?+→?) 0()0(lim = x x x x x ?--?-?-??→?0 )100()2)(1(lim 0 Λ =lim 0 →?x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D. 解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D. 点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解. 【例2】 已知函数f (x )=n n n k k n n n n x c n x c k x c x c c 11212210 ++++++ΛΛ，n ∈N *，则 x x f x f x ??--?+→?) 2()22(lim 0 = . 解 ∵ x x f x f x ??--?+→?) 2()22(lim 0 =2x f x f x ?-?+→?2) 2()22(lim + []x f x f x ?--?-+→?-) 2()(2lim 0 =2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)， 又∵f ＇(x )=1 1 2 1 --+++++n n n k k n n n x c x c x c c ΛΛ， ∴f ＇(2)= 21（2n n n k n k n n c c c c 222221+++++ΛΛ）=21[(1+2)n -1]= 2 1(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如 x m x f x m x f x ?--?-→?-)()(000 lim ，且其定义形式可以是 x m x f x m x f x ?--?-→?) ()(000 lim ，也可以是 00 ) ()(lim x x x f x f x --→?（令Δx =x -x 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关 知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖. 【例3】 如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 . 数学分析1 期末考试试卷（A 卷） 一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ， 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。 （A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（ ）。 （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（ ） 。 （A ）() )(x f e f e x x ----。 （B ）() )(x f e f e x x +---。 （C ） () )(x f e f e x x --- 。 （D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3 π =x 处取得极值，则（ ）。 （A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3 (,1π f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。 *实用文库汇编之数学归纳法（2016.4.21）* 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k ． 当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ． 那么当n =k +1时， 11 1 31 21 1++++++k k 1 1 1211 2+++=++ 2 矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单! 2.1 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1．矩阵的定义 由m×n个数a ij（i 1,2, ,m; j 1,2, , n）组成的m行n 列的矩形数表 a11 a12 a1n a2n a m1 a m2 a mn 称为m×n矩阵，记为 A （a ij ）m n 2．特殊矩阵 （1）方阵：行数与列数相等的矩阵； （2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵； （5）单位矩阵：主对角线上元素全是 1 的对角阵，记为E； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设 A (a ij )mn; B (b ij )mn 若a ij b ij(i 1,2, ,m; j 1,2, ,n)，则称 A 与B相等，记为A=B 2.1.2 矩阵的运算 1．加法 (1)定义：设 A (A ij )mn ,B (b ij ) mn ，则 C A B (a ij b ij )mn (2) 运算规律 ① A+B=B+A ； ②( A+B )+C=A+(B+C ) ③ A+O=A ④ A+(-A ) =0， –A 是 A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 (1)定义：设 A (a ij ) mn , k 为常数，则 kA (ka ij )mn (2)运算规律 ①K (A+B) =KA+KB , ② (K+L )A=KA+LA , ③ (KL) A= K (LA) 3．矩阵的乘法 (1)定义：设 A (a ij )mn ,B (b ij )np .则 n AB C (C ij )mp ,其中 C ij a ik b kj k1 (2) 运算规律 ① (AB)C A (BC) ；② A(B C) AB AC ③ (B C)A BA CA 3)方阵的幂 ①定义：A (a ij ) n ，则 A k A K A ②运算规律： A m A n A m n (A m )n A (4)矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ① AB BA ② AB 0, 不能推出 A 0或B 0; ③ (AB)k A k B k 4．矩阵的转置 (1) 定义：设矩阵 A=(a ij )mn ，将 A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵 A 的转置，记为 A T (a ji )nm ， (2) 运算规律 ①(A T )T A; ②(A B)T A T B T ； ③(kA)T KA T ; ④ (AB)T B T A T 。 A. n －1 B. n ＋1－1 C. n ＋1－2 D. n ＋2－2 高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解 一、选择题 1 1 . 已知a ＝ ，数列{a }的前n 项和为S ，已计算得S ＝ 2－1， S ＝ 3－1，S ＝1， n n ＋1＋ n n n 1 2 3 由此可猜想 S n ＝( ) [答案] B 1 1 1 1 2．已知 S k ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ (k ＝1,2,3，…)，则 S k ＋1 等于( ) k 1 k 2 k 3 2k 1 A. S k ＋ ＋ 2(k 1) 1 1 B. S k ＋ ＋ － ＋ 2k 1 k 1 1 1 C. S k ＋ ＋ － ＋ 2k 1 2k 2 1 1 D. S k ＋ ＋ ＋ ＋ 2k 1 2k 2 [答案] C 1 1 1 1 1 1 1 [解析] S k ＋1＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋ (k 1 1 1 1) 1 1 (k 1) 2 1 2(k 1) 1 1 k 2 k 3 2k 2 k 1 ＋…＋ ＋ ＋ ＋ － ＋ ＋ ＋ ＝S k ＋ ＋ － ＋ . k 2 2k 2k 1 2k 2 k 1 2k 1 2k 2 3. 对于不等式 1°当 n ＝1 时， n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某人的证明过程如下： 12＋1≤1＋1，不等式成立. 2°假设 n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即 k 2＋k 20XX年复习资料 大 学 复 习 资 料 专业： 班级： 科目老师： 日期： 一、填空题（每题4分，共20XX 分） 1. 设 ABC L 是从 (1,0) A 到 (0,1) B -再到 (1,0) C -连成的折线，则曲线积分 d d |||| ABC L x y x y +=+? . 2. 设向量场222(1)(1)(1)A x x z i y x z j z x z k =++-+-，则向量场在点012 1M -（，，）处的旋度A =rot . 3. 若x y xe -=和sin y x =为某四阶常系数齐次线性微分方程的两个解，则该方程是 . 4. 函数(),(),(,)x x f x y ?ψ皆可微，设()(),()z f x y xy ?ψ=+，则 z z x y ??-=?? . 5. 锥面 22 z x y +被圆柱面 222,(0) x y ax a +=>截下的曲面的面积 为 . 二、单项选择题（每题4分，共20XXXX 分） 本题分数 20XX 得 分 本题分数 20XXXX 得 分 （多选不得分） 6．若 ()() 0000,,, x y x y f f x y ????都存在，则(,)f x y 在()00,x y （ ） （A ）极限存在但不一定连续 （B ）极限存在且连续 （C ）沿任意方向的方向导数存在 （D ）极限不一定存在，也不一定连续 7. 12,L L 是含原点的两条同向封闭曲线，若已知122 d d L y x x y K x y -+=+?(常数)， 则222d d L y x x y I x y -+= +?的值 （ ） （A ）一定等于 K （B ）一定等于K - （C ） 与2L 的形状有关 （D ）因为 Q P x y ??=??，所以0I = 8．∑为球面2222x y z a ++=外侧，Ω为球体2222x y z a ++≤，则有 （ ） 实用文档 文案大全数学归纳法典型例题 一. 教学内容： 高三复习专题：数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 数学归纳法的原理及应用 四. 知识分析 【知识梳理】 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察—－归纳—－猜想—－证明”的思维模式，就显得特别重要。 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n = n0时命题成立； （2）（归纳递推）假设n= k（）时命题成立， 证明当时命题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n 都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步 实用文档 文案大全各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。 【要点解析】 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n ＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。 用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。 2、运用数学归纳法时易犯的错误 （1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。 《数学分析》考试题 一、（满分10分，每小题2分）单项选择题： 1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,? n>N 时有≤n a ≤n b n c ， （ ） A. {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛； B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散； C. {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界； D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界； 2、=)(x f ??? ????>+=<,0 ,2.( ,0 ,0, ,sin x x k x k x x kx 为常数） 函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ） A.左连续； B. 右连续 C. 连续 D. 不连续 3、''f （0x ）在点00=x 必 （ ） A. x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 02020 ； B. ' 000)()(lim ??? ? ???-?+→?x x f x x f x ; C. '000)()(lim ???? ???-?+→?x x f x x f x ; D. x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。则 （ ） A. ∈?ξ（b a ,），使0)('=ξf ； B. ∈?ξ（b a ,），使0)('≠ξf ; C. ∈?x （b a ,），使0)('≠x f ； D.当)(b f >)(a f 时，对∈?x （b a ,），有)('x f >0 ； 5、设在区间Ⅰ上有?+=c x F dx x f )()(， ?+=c x G dx x g )()(。则在Ⅰ上有 （ ） A. ?=)()()()(x G x F dx x g x f ； B. c x G x F dx x g x f +=?)()()()( ； C. ?+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ；数学归纳法经典例题及答案精品
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