高等代数期中考试试题

高等代数期中考试试题

一．填空题（每小题4分，共40分）。

1. 设是上的线性变换，,

则下的矩阵为

2. 设的线性变换，其中R是实数域，

，．

3．已知中线性变换在基

矩阵为则在基下的矩阵为

4. 已知矩阵，则A的特征值为 -1 , 5

对应的特征向量分别为，，；，，.

5. 已知矩阵可对角化，则k= .

6．已知三级矩阵A的三个特征值为1，2，3，则的行列式= .

7．已知矩阵A的特征矩阵与矩阵等价，则的标准形及A的Jordan标准形分别为

， .

8．已知矩阵A的Jordan标准形为，则A的有理标准形为

—————————

9．设的特征多项式为，写出A的所有可能的Jordan标准形。

10．设矩阵A的特征多项式为，则A可逆，的特征多项式为。

二．（10分）设V是数域P上的4维线性空间，是V上的线性变换，在基

下的矩阵，试求含的最小不变子空间.三．（10分）设是n维线性空间V上的线性变换，证明：

维维n

即,

的秩+的零度=n

四.（15分）求矩阵的Jordan标准形及A的最小多项式。五．（15分）设3维线性空间V上线性变换在基下的矩阵

，记L（V）为V上线性变换全体，. 1）证明：是L(V)的子空间；

2）求的一组基和维数.

六．(10分) 设A，B为n级实矩阵，证明：若A，B在复数域上相似，则A，B 在实数域上也相似。

参考答案

一．填空题（每小题4分，共40分）。

1. 设是上的线性变换，,

则下的矩阵为

2. 设的线性变换，其中R是实数域，

，．

3．已知中线性变换在基

矩阵为则在基下的矩阵为

4. 已知矩阵，则A的特征值为 -1 , 5

对应的特征向量分别为，，不同时为零且；，，.

5. 已知矩阵可对角化，则k= 1 .

6．已知三级矩阵A的三个特征值为1，2，3，则的行列式= 100 .

7．已知矩阵A的特征矩阵与矩阵等价，则的标准形及A的Jordan标准形分别为

， .

8．已知矩阵A的Jordan标准形为，则A的有理标准形为

—————————

9．设的特征多项式为，写出A的所有可能的Jordan标准形。

10．设矩阵A的特征多项式为，则A可逆，的特征多项式为。

二．（10分）设V是数域P上的4维线性空间，是V上的线性变换，在基下的矩阵，试求含的最小不变子空间.

解：由题意可知，

设含的最小不变子空间.为W，则，因为W是-不变子空间，则，由可知，即，所以，由

，可知，即，而所以。

，再由的最小性可知，因此，证毕。

三．（10分）设是n维线性空间V上的线性变换，证明：

维维n

即,

的秩+的零度=n

证明：见书中定理。

四.（15分）求矩阵的Jordan标准形及A的最小多项式。

解

所以A的不变因子为，。A的初等因子为，。所以矩阵A的Jordan

标准形为：。

A的最小多项式是A的最后一个不变因子，所以是A的最小多项式。五．（15分）设3维线性空间V上线性变换在基下的矩阵

，记L（V）为V上线性变换全体，. 1）证明：是L(V)的子空间；

2）求的一组基和维数.

证明：1）0，，即，，，

，，所以为的子空间。

3）设在下的矩阵为B，则AB=BA。

=所以

=即，，，，，，即======0，即

=，所以的一组基为，，，其中，

，的维数是3。

六．(10分) 设A，B为n级实矩阵，证明：若A，B在复数域上相似，则A，B 在实数域上也相似。

证明：由于A，B在复数域上相似，所以它们有相同的初等因子，因此它们有相同的不变因子，又因为A,B是实系数矩阵，它的不变因子为实系数多项式，所以在实数域上，不变因子相同，两矩阵相似。

高等代数II期末考试试卷及答案A卷

高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分） 1、线性空间[]P x 的两个子空间的交() ()11L x L x -+= 2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是 3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是 4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2 1,,1,λλ λ+ 则其特征矩阵E A λ-的标准形是 5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是： 二、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构： （A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。 2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：

（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。 3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0; A A B A λλ≠是一个非零常数； ()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。 4、（ ）设实二次型 f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为： 222 1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是： ()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。 5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是： ()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---?? ?? ?? ? ? ? --- ? ? ? ? ? ?---?????? ()D 以上各情形皆有可能。 三、 是非题（每小题2分，共10分） （请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（ ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}1 20V V = 则12V V V =⊕。 2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。

高等代数05期中试题(含答案)

《高等代数》05-06年度第一学期期中试题 一、单项选择题 1．对任意n 阶方阵A 、B 总有[ ] A. AB = BA B. | AB | = | BA | C. (AB)T =A T B T D. (AB)2=A 2B 2 2. 在下列矩阵中，可逆的是[ ] A. 000010001?? ? ? ??? B. 110220001?? ? ? ??? C. 110011121?? ? ? ??? D. 100111101?? ? ? ??? 3. 设A 是3阶方阵，且|A| = 2-，则| A -1 |等于[ ]. A. 2- B. 1 2 - C. 12 D. 2 4. 设A 是m n ?矩阵，则齐次线性方程组Ax = 0仅有零解的充分必要条件是[ ]. A. A 的行向量线性无关 B. A 的行向量线性相关 C. A 的列向量线性无关 D. A 的列向量线性相关 5．设有m 维向量组12():,,...,n I ααα，则[ ]. A. 当m < n 时，()I 一定线性相关 B. 当m > n 时，()I 一定线性相关 C. 当m < n 时，()I 一定线性无关 D. 当m > n 时，()I 一定线性无关 6．已知1β、2β是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解，1α、2α是其导出组0Ax =的一个基础解系，1k 、2k 为任意常数，则方程组Ax b =的通解可表成[ ]. A. 12 11212()2 k k ββαββ-+++ B. 12 11212()2 k k ββαββ++++ C. 12 11222 k k ββαα-++ D. 12 11222 k k ββαα+++ 7. 向量组12():,,...,n I ααα,（n>1） 线性无关等价于[ ]. A. 存在一组不全为0的数n k k k ,,,21 ，使其线性组合∑=n k i i k 1 α 不等于0 B. 其中任意两个向量线性无关 C. 任何一个向量均不能用其它向量线性表出 D. 存在一个向量不能用其它向量线性表出 8. 设矩阵11 112 1231A λ?? ? = ? ?+?? 的秩为2，则λ=[ ].

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?

4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分

北京大学高等代数高代II_2014期中试卷

北京大学数学学院期中试题 2013－2014学年第二学期 考试科目高等代数II 考试时间2014年4月28日 姓名学号 一．（24分）在正实数集R+上引入加法, 数乘运算: a⊕b = a b , k b = b k , ? a , b ∈ R+ , ? k∈ Q . 1) 证明: 集合R+ 在以上加法, 数乘运算下构成Q-线性空间; 2) 证明: 在Q-线性空间R+ 中, 由互异的素数p1 , p2, …, p s 组成的向量组一定线性无关; 3) 在Q-线性空间R+ 中, 求向量组6 , 60 , 18/5 ,168, 90/7的 一个极大无关组, 并将向量组每个向量用此无关组线性表出. 二．（16分）已知实矩阵A , B满足条件A 3 = 3 A– I, B = A 2 – 2 A . 1) 证明B可逆并求一个次数≤ 2的多项式g( x ) ∈ R[ x ], 使得B -1 = g( A ) ; 2) 求一个次数≤ 2的多项式h( x ) ∈ R[ x ], 使得A= h( B ) . 三．（12分）设4次齐次对称多项式f ( x1 , x 2, x 3, x 4 ) 在字典排序法下首项为x 12x 22 , 且f ( 0, 1, 1, 1) = 0 , f ( 1, 1, 1, 1) = – 5 . 将f 写成初等对称多项式σ1 , σ2 , σ3 , σ4 的多项式形式.

四．（30分）设A : X AX 是向量空间R 5到自身的线性变换, 这里 A = ∈ M 5, 5 ( R ) . 1) 求 Im A 与Ker A 的维数与基底. 2) 求 Im A + Ker A 与 Im A ? Ker A 的维数与基底. 3) 求商空间 R 5 / Ker A 的维数与一组基. 五．（10分）已知 A 是Q-线性空间V 上的线性变换, 满足条件 A 3 = A 2 . 设 I 是V 上的恒等变换. 证明: V = Ker A 2 ⊕ Ker ( A – I ) . 六.（8分）设p 是素数, f ( x ) = x p – x – 1 是有限域F p 上的多项式. 已知 f ( x ) 在F p 的某个扩域K 上有根 θ , 即存在θ ∈ K , 使得 f ( θ ) = 0 . 1) 证明: f ( x ) 在 K[ x ]中可分解为 f ( x ) = ( x – θ ) ( x – θ + 1 ) ... ( x – θ + p – 1 ) ; 2) 证明: f ( x ) 在 F p [ x ]中不可约. 注: 若域K 包含域F 作为子域, 且F 的乘法单位1F 与K 的乘法 单位1K 相同, 则称域K 是域F 的扩域. ??????? ?????????-----1121021311210001121040222

2016《高等代数(一)》期中考试试题

湖南师范大学XXXX学院 2016-2017学年第一学期数学信统专业2016年级《高等代数(一)》课程期中考试试题课程代码：07031004考核方式：闭卷考试时量：120 分钟试卷类型：D 一、理解题（每小题20分，共20分） 1.陈述一般数域P上的多项式因式分解及唯一性定理，并重点解释你对唯一性 的理解。而后在实数域上再次叙述该定理，并解释此时的不可约多项式有哪些？

二、简答题（下面两题：要求先回答‘对’或‘错’；如果回答‘错’，请给出反举例，如果回答‘对’ 则简单给出理由。每小题10分，共20分） 1. 有人说：对于有理数域上的两个多项式()f x 和()g x ，它们在有理数域上的最大公因式与它们在实数域上的最大公因式是相等的。这种说法对吗？为什么？ 解： 2. 有人说：3级行列式 3 3 3 111a b c a b c 为零的充分必要条件是,,a b c 这3个数中至少有两个相等。这种说法对吗？为什么？ 解：

1. 在有理数域上将多项式 ()(5)(4)(3)(2)1f x x x x x =+++++ 分解为不可约多项式的乘积。 解： 2. 设b c ≠，计算下面n 级行列式 a b b b c a b b c c a b c c c a 解：

1. 设整数,,a b c 两两不同，以及整系数多项式()f x ，证明： ()1() (()())a b f a f b --；()2如果()f a b =，()f b c =，一定有()f c a ≠。 证： 2. 设两个n 级行列式 432323 523 5 235n a = ，423 061 561 5615n b -= 证明：当4n ≥时，有n n a b =。 证：

大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 　求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x

厦门大学《高等代数》期末试题及答案(数学系)

10-11学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷 厦门大学《高等代数》课程试卷 数学科学学院 各 系 2010 年级 各 专业 主考教师：杜妮、林鹭 试卷类型：（A 卷） 2011.1.13 一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分） 1) 设b 为 3 维行向量， 123123 V {(,,)|(,,)} x x x x x x b == ，则____。C A)对任意的b ，V 均是线性空间；B)对任意的b ，V 均不是线性空间；C)只有当 0 b = 时，V 是线性空间；D)只有当 0 b 1 时，V 是线性空间。 2)已知向量组 I ： 12 ,,..., s a a a 可以由向量组 II ： 12 ,,..., t b b b 线性表示，则下列叙述正确的是____。 A A)若向量组 I 线性无关，则s t ￡ ；B)若向量组 I 线性相关，则s t > ； C)若向量组 II 线性无关，则s t ￡ ；D)若向量组 II 线性相关，则s t > 。 3)设非齐次线性方程组AX b = 中未定元个数为 n ，方程个数为m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则____。 D A)当r n < 时，方程组AX b = 有无穷多解； B) 当r n = 时，方程组AX b = 有唯一解；C)当r m < 时，方程组AX b = 有解；D)当r m = 时，方程组AX b = 有解。 4) 设 A 是m n ′ 阶矩阵，B 是n m ′ 阶矩阵，且AB I = ，则____。A A)(),() r A m r B m == ；B)(),() r A m r B n == ；C)(),() r A n r B m == ； D)(),() r A n r B n == 。 5) 设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换j 在基 123 ,, x x x 下的表示矩阵是 111 101 111 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ，则j 在基 123 ,2, x x x 下的表示矩阵是____。C A) 121 202 121 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； B) 1 2 11 22 1 2 11 0 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； C)11 22 121 0 121 ?? ?÷ ? ÷ ?÷ è? ；D) 1 2 1 2 11 202 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? 。 6) 设j 是 V 到 U 的线性映射，dim V ,dim U n m == 。若m n < ，则j ____。B A)必是单射； B)必非单射； C)必是满射；D)必非满射。

本科高等数学下册期中考试试卷

青理工高等数学下册期中测验 一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设,23,2b a n b a m +=-=且,4),(,2||,1||^π ===b a b a 则._______||=? 2.设.________) ( ,2) ( ,3| | ,4| | ====b a b a 则 3.设由方程12+=+z ye xyz xz 确定函数),(y x z z =,则=-)1,2,0(|dz 4.曲线???=+-=++xoy z y x z y x 在1 12222222坐标面上的投影曲线是 5．1=xy xoy 面内的曲线y 绕轴旋转一周生成的旋转曲面方程是 二、.选择题(每小题4分,共24分) 6.已知直线π 22122:-=+= -z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 ( ). (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交. 7．函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数 ),(00y x f x '和),(00y x f y '存在,是),(y x f 在该点连续的( ). (A).充分条件而非必要条件; (B).必要条件而非充分条件; (C).充分必要条件; (D).既非充分条件又非充分条件. 8．函数)ln(2z xy xe u yz +=在点(1,2,1)M =处沿方向}2,1,2{ -=l =M |( ). (A).213 e +; (B).213e -; (C).213e -+; (D).213e --. 9．曲面8=xyz 上平行于平面042=++z y x 的切平面方程是( ). (A).1642=++z y x ; (B).1242=++z y x ; (C).842=++z y x ; (D).442=++z y x . 10．设),2,2(y x y x f z -+=且2 C f ∈，则=???y x z 2( ). (A).122211322f f f --; (B). 12221132f f f ++; (C). 12221152f f f ++; (D). 12221122f f f --. 三、计算 12、求函数(),arctan x f x y y =在点()0,1M 的梯度 11、设函数(),z z x y =由方程,0y z F x x ??= ??? 确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,证明z y z y x z x =??+?? 13. 求二元函数()()22,2ln f x y x y y y =++的极值 14. 已知曲线22220:35 x y z C x y z ?+-=?++=?,求C 上距离xOy 最远的点和最近的点

(完整版)高等代数(下)期终考试题及答案(B卷)

高等代数(下）期末考试试卷及答案（B 卷） 一．填空题（每小题3分，共21分） 1. 22 3[]-2-31,(-1),(-1)P x x x x x 在中,在基下的坐标为 2. 设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλL ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为 . 3.'=n 在数域P 上的线性空间P[x]中,定义线性变换:(,则的值域())()A A f x f x A ()-n P[x]= ,的核(0)= 1A A A 4．已知3阶λ-矩阵A （λ）的标准形为21 0 00 00 0λλλ?? ? ? ?+?? ，则A （λ）的不变 因子________________________； 3阶行列式因子 D 3 =_______________. 5. 若4阶方阵A 的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A 的若当标准形 J= 6.在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηηL 下的坐标是 12(,,,)n x x x L ，那么(,)i ξη＝ 7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是 ． 二. 选择题( 每小题2分，共10 分) 1.( ) 已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间， 则dim(V)为 (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4 2. ( ) 下列哪个条件不是n 阶复系数矩阵A 可对角化的充要条件 (A) A 有n 个线性无关的特征向量； (B) A 的初等因子全是1次的； (C) A 的不变因子都没有重根； (D) A 有n 个不同的特征根； 3．( ) 设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A

北京大学高等代数_I+2016+期中考试题+-+答案

北京大学数学学院期中试题 一．（16分） （1）叙述向量组线性相关, 线性无关, 向量组极大无关组的定义 ; （2）已知向量组α1 , ... , α s 能线性表出β1 , ... , β r , 且α1 , ... , α s 的秩 等于β1 , ... , β r 的秩 . 证明: β1 , ... , β r 也能线性表出α1 , ... , αs . 二．（16分）计算n 级行列式 D = n n 2n 1n n 2221 2n 1211 1b a n b a n b a n b a b a b a b a b a b a +++++++++ 222111. 解：n = 1时，D = 1+ a 1b 1 ；n = 2时，D =（2a 1–a 2 ）（b 1–b 2 ）； n>2时，D = n 1n 21n 11n n 122121 12n 1211 1b a n a b a n a b a n a b a a b a a b a a b a b a b a )()()()2()2()2(111------+++ = 0 . 三．（24分）设矩阵 A 的列向量依次为α1 , ... , α5 . 已知齐次方程组 A X = 0解空间的一组基为 [ 3 1 1 0 0 ] T , [ 5 6 1 2 -1 ] T . 1) 求A 的简化阶梯型矩阵J ; 2) 求A 列向量组的一个极大无关组, 并用此极大无关组表出A 的 每个列向量; 3) 求 A 行空间的一组基, 并判断当a 取何值时， β = [ 1 a 0 3 2a –1 ] 落在A 的行空间里, 写出此时β在 基底下的坐标； 4) 将A 写成BC 的形式，B 是列满秩的矩阵，C 是行满秩的矩阵.

高等代数期末卷及答案

沈阳农业大学理学院第一学期期末考试 《高等代数》试卷(1) 1 ?设 f (x) = x 4 +x ? +4x - 9 ,贝H f (一3) = 69 .. 2?当 t = _2,-2 . 时，f(x)=x 3 —3x+t 有重因式。 3.令f(x),g(x)是两个多项式，且f(x 3) xg(x 3)被x 2 x 1整除，则 f(1)=_0_^ g(1)= 0 . 0 6 2 =23 。 1 1 — -2 0 1 x , 2x 2 2x 3 x 4 二 0 7. 2x 1 x 2 -2x 3 -2x 4 二 0 的一般解为 x( ~'X 2 _'4x 3 ~3x 4 = 0 题号 -一- -二二 -三 四 五 六 七 总分 得分 、填空(共35分，每题5 分) 得分 4.行列式 1 -3 5. ■’4 10" 1 0 3 -1、 -1 1 3 '9 -2 -1 2 1 0 2」 2 0 1 < 9 9 11 <1 3 4 丿 6. z 5 0 0 1 -1 <0 2 1； 0-2 3 矩阵的积

c 亠5 刘=2x3 X4 4 x3, x4任意取值。X2 二-2x^ --x4

、(10分)令f(x),g(x)是两个多项式。求证 当且仅当(f(x) g(x), f(x)g(x))=1。 证：必要性.设(f(x) g(x), f (x)g(x)) =1。(1% 令 p(x)为 f (x) g (x), f (x)g(x)的不可约公因式,(1% 则由 p(x) | f (x)g (x)知 p(x)| f (x)或 p(x) |g(x) o (1%) 不妨设 p(x) | f (x)，再由 p(x)|(f(x) g (x))得 p(x) | g(x)。故 p(x) |1 矛盾。(2%) 充分性.由(f (x) g(x), f (x)g(x)^1知存在多项式u(x), v(x)使 u(x)(f(x) g(x)) v(x)f(x)g(x)=1,(2%) 从而 u(x)f(x) g(x)(u(x) v(x) f(x)) =1,(2%) 故(f (x), g(x)) =1 o (1%) ax 「bx 2 2x 3 =1 ax 1 (2 b -1)x 2 3x 3 =1 ax 1 bx 2 - (b 3)X 3 = 2b _1 有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。 解： a b 2 1 a b 2 1 a 2b -1 3 1 T 0 b —1 1 0 b J* b+3 2b-1 , b+1 2b-2 ‘ (5%) a 2 - b 0 1 0 b -1 1 0 L 0 0 b+1 2b —2 当b =1时，有无穷解：X 3 = 0, X 2 = 1 - a%,人任意取值; 当a =0,b =5时，有无穷解：x 1 = k,x^ --3,x^ 4 ，k 任意取值；(3%) 当b = T 或a =0且b =二1且b = 5时，无解。(4%) 三、(16分)a,b 取何值时，线性方程组 当a(b 2 T) = 0时，有唯一解: 5-b a(b 1) X 2 2 b+1 x3 = 2b -2 b 1 ；4%) (f(x),g(x)) =1

大一下学期高等数学期中考试试卷及答案

大一下学期高等数学期中考试试卷及答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

大一第二学期高等数学期中考试试卷 一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。 1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________ 2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为 3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为 4、2222222(,)(0,0)(1cos())sin lim ()e x y x y x y xy x y +→-+=+ 5、设二元函数y x xy z 3 2+=，则=???y x z 2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。 1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ） （A ）．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成． 2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数. (A).212211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++; (B).32212211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++; (C).32212211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++; (D).322111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++ 3、已知直线π 22122:-=+= -z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ） (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交. 4、下列说法正确的是（ ） (A) 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=； (B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ??,22y z ??在区域D 内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等； (C) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的充分条 件；

高等代数期中模拟题三

一、填空题 （将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1．若23,x b x ax ++则a ,b 满足条件 . 2.当 t 满足 时, ????? ??=0111α, ????? ??-=1312α, ???? ? ??=t 353α 线性相关。 3．设3阶方阵A 满足21,3)A A E O A E -+-=+=则（ 。 4．设123212374D -?? ?=- ? ??? 163154131-=D , A 2j (j = 1, 2, 3)为元素a 2j 的代数余子式,则 3A 21 + 7A 22 + 4A 23 = . 115. 11, ()211a A a R A a a ?? ?== ? ??? 设3阶矩阵若，则= . 二、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案, 将正确答案番号填入题干的括号。每小题2分，共20分) 1. =-0 0000000 000 01 21 n n a a a a ( ) (A) n n n n a a a a 1212) 1()1(--- (B) n n a a a a 121-- (C) n n a a a a 121- (D) 0 123122********* 1223123 123123123 2,,(),()2,23 (C) ,2 (D) ,2322,355A B ααααααααααααααααααααααααααααααα---+++++++++-++-.已知为齐次线性方程组的基础解系,则下列( )仍是该方程组的基础解系. , ,3,3. 设A 为三阶方阵，A *为A 的伴随矩阵，1,2 A =则 12A A -*+=( ). (A) 6 (B) 16 (C) 2 (D) 12

高等代数试题2(附答案)

科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ? ?-----=17 5131 023A 的特征根是 ，特征向量分别为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ） 5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。其中 ),,,()(2 42 32 22 1x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是)(2R M 的 子空间。（ ）

高等代数期末卷1及答案

沈阳农业大学理学院第一学期期末考试 《高等代数》试卷（1） 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 一、填空（共35分，每题5分） 1．设4 2 ()49f x x x x =++-, 则(3)f -= 69_ .. 2．当t = _2,-2 .时, 3()3f x x x t =-+有重因式。 3. 令()f x ,()g x 是两个多项式, 且33()()f x xg x +被21x x ++整除, 则 (1)f = 0_ , (1)g = _0 . 4. 行列式 31021 62 10113201 -=-- 23 。 5. 矩阵的积41010311 1321022 01134?? ? --?? ?= ? ??? ??? 9219911--?? ???。 6. 1 500031021-?? ?= ? ??? 1 05011023?? ? ?- ? ? - ??? 7. 1234123412 342202220430 x x x x x x x x x x x x +++=?? +--=??---=?的一般解为 134234523423x x x x x x ? =+??? ?=--?? , 34,x x 任意取值。 得分 班级： 学号： 姓名： 装 订 线

二、（10分）令()f x ,()g x 是两个多项式。求证((),())1f x g x =当且仅当(()(),()())1f x g x f x g x +=。 证：必要性. 设(()(),()())1f x g x f x g x +≠。（1%） 令()p x 为()(),()()f x g x f x g x +的不可约公因式，（1%）则由()|()()p x f x g x 知 ()|()p x f x 或()|()p x g x 。(1%) 不妨设()|()p x f x ，再由()|(()())p x f x g x +得()|()p x g x 。故()|1p x 矛盾。(2%) 充分性. 由(()(),()())1f x g x f x g x +=知存在多项式(),()u x v x 使 ()(()())()()()1u x f x g x v x f x g x ++=,(2%) 从而()()()(()()())1u x f x g x u x v x f x ++=,(2%) 故((),())1f x g x =。(1%) 三、(16分),a b 取何值时，线性方程组 1231231 2321(21)31(3)21 ax bx x ax b x x ax bx b x b ++=?? +-+=??+++=-? 有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。 解： 21212131011032100122201011000122a b a b a b b a b b b b b a b b b b ???? ? ?-→- ? ? ? ?+-+-???? -?? ?→- ? ?+-?? (5%) 当2 (1)0a b -≠时，有唯一解：1235222 , (1)+11 b b x x x a b b b ---= ==++，； (4%) 当1b =时，有无穷解：3210,1,x x ax ==-1x 任意取值； 当a 0,5b ==时，有无穷解：14 12333,,,x k x x k ==-=任意取值；(3%) 当1b =-或0 1 5a b b =≠±≠且且时，无解。(4%) 得分 得分

大学高数试卷及标准答案

. 农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称： 高等数学Ｉ 课程类别： 必修 考试式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ 等价的无穷小量是： ( ) A. 1 B. ln C. 1- D. 1- 3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题

A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对 二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1 cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 ．极限2 lim n n →∞ ?? + + +=. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=? 在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x =的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln tan y =，则dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线程为 . 三、求下列极限（每小题6分, 共18分） 1. 求极限 1 1sin 1lim 2 --+→x x e x x

《高等代数》(上)期末试卷(A)

《高等代数》（上）期末试卷（A ） 一、填空题（每空3分，共15分） 1．设方阵1112223 3 3b x c A b x c b x c ????=??????，1 112 223 3 3b y c B b y c b y c ?? ??=? ????? ，且2,3A B =-=， 则行列式2A B += . 2.已知A 是一个34?矩阵，且秩()2A =，而102020103B ????=?????? ，则秩()BA = . 3. 多项式2005 20042 322006()(54)31(8112)f x x x x x x ??=--+-+?? 的所有系数之和 ＝ ，常数项＝ . 4. ()f x 为多项式，用1x -除时余式为3，用3x -除时余式为5，则用(1)(3)x x --除时余式为 . 二、选择题（每题3分，共12分） 1．设n 维向量组12345,,,,ααααα的秩为3，且满足135230,ααα+-= 242,αα=则向量组的一个极大无关组为（ ） A ． 125,,ααα； B ． 124,,ααα； C. 245,,ααα； D. 135,,ααα. 2. A 是m n ?矩阵，B 是n m ?矩阵，则（ ） A ． 当m n >时，必有行列式0A B ≠； B ． 当m n >时，必有行列式0AB =； C ． 当n m >时，必有行列式0AB ≠； D ． 当n m >时，必有行列式0AB =. 3．设,A B 都是可逆矩阵，则矩阵0A C B ??????的逆矩阵为（ ） A ． 1 1 10A C B ---?? ????； B ． 1110B C A ---?????? ；

高等代数(II)期末考试试卷及答案(A卷)

高等代数（II ）期末考试试卷及答案(Ａ卷) 一、 填空题(每小题3分，共15分) 1、线性空间[]P x 的两个子空间的交() ()11L x L x -+= 2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是Ｖ 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是 3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵, 则A 与Ｂ的关系是 4、设3阶方阵Ａ的3个行列式因子分别为：()2 1,,1,λλ λ+ 则其特征矩阵E A λ-的标准形是 5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是： 二、 单项选择题（每小题3分，共15分) 1、 ( ）复数域Ｃ作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构： (A)数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间; （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间; （C ）数域Ｐ上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； (D ）复数域Ｃ作为复数域C 上的线性空间。 2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：

（Ａ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B) 的核是Ｖ的充要条件是 是满射 （C) 的值域是零子空间的充要条件是 是满射 (D) 的值域是Ｖ的充要条件是 是满射。 3、( )λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0; A A B A λλ≠是一个非零常数； ()()C A λ是满秩的;()()D A λ是方阵。 4、( ）设实二次型 f X AX '=(A 为对称阵)经正交变换后化为： 222 1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是： ()()1;A B ±全是正数;()C 是A 的所有特征值;()D 不确定。 5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”,则A 的若当 标准形是: ()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---?? ?? ?? ? ? ? --- ? ? ? ? ? ?---?????? ()D 以上各情形皆有可能。 三、 是非题（每小题2分，共10分) (请在你认为对的小题对应的括号内打“√”,否则打“?”） １、（ )设V 1,V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且 {}120V V = 则12V V V =⊕。 ２、( )n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下