第四章扭转(讲稿)

第 四 章 扭 转

I 圆轴扭转时的应力和强度计算 一、外力偶矩、扭矩和扭矩图 1、外力偶矩(T )的计算

n P T p

?

=02.7

KN 〃m (7-1) P p 指轴所传递的功率（马力） n 指轴的转速（转/分、r/min ）

n

P T kW

?

=55.9 KN 〃m (7-2) P kW 指轴所传递的功率（千瓦、Kw ） n 指轴的转速（转/分、r/min ）

2、扭矩（M n ）的确定及其符号规定 （1）M n 的确定 截面法

图4-3

0=∑x M

0=-A n T M 左 A n T M =左

0=∑x M

0=+-B n T M 右 B n T M =右

（2）M n 的符号规定 右手螺旋法则

图4-4

3、扭矩图

扭矩随轴线横截面位置改变而变化的规律图，称为扭矩图。

作法：轴线（基线）x ——横截面的位置

纵坐标—— M n的值

正、负——正值画在基线上侧，负值画在基线下侧。

例题 7-1 一传动轴作每分钟200转的匀速转动，轴上装有5个轮子（7-2,a）。主动轮2输入的功率为60kW,从动轮1，3，4，5依次输出的功率为18kW,12kW,22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。

图4-5

解：（1）代入公式7-2，将计算所得的外力偶矩值标上各轮上。

（2）作扭矩图，见图4-5，b

一、圆轴扭转时横截面上的应力

1、实心圆轴

（1）τ的分布规律

(a) (b) 图4-6

（2）τ的方向

由M n 确定，τ与M n 同向（见图4-6，a ） 注意τ⊥半径 （3）τ的计算

p

n I M ρτρ=

(7-3)

式中M n ---- 横截面上的扭矩；

ρ----指截面上所求应力的点到截面圆心的距离; I p ----指实心圆截面对其圆心的极惯性矩，其计算式为32

4

D I p π=

。

（4）τ计算公式的讨论：

①对于某一根受扭的圆轴而言，max τ一定发生在max n M 所在段； ②在确定的截面上，max τ一定发生在ρmax 处（周边上）； ③I p 的意义

从τ的计算公式讨论I p ：I p 愈大，τ愈小；

从应力分布状况讨I p ：靠近圆心的材料，承受较小的应力。 设想：把实心轴内受应力较小部分的材料移到外层，做成空心，达到充分利用材料、减轻自重的目的。

2、空心圆轴 （1）τ的分布规律 （2）τ的计算

图4-7

计算式与实心圆轴的相同，只是极惯性矩的计算不同 空心圆轴的I p 空计算

()()4

4

4

11.01324

ααπ-≈-=

D D

I p 空

式中的D

d =

α （3）τ的方向

仍旧由扭矩的转向确定，垂直半径。 3、薄壁圆筒 （1） 界限及误差 当9.0≥=

D

d

α时，可用薄壁圆筒公式计算τ，用空心、薄壁计算公式之误差仅为3%左右。

（2） τ的分布规律

图4-8

（3）τ的计算

t

r M n 2

02πτ=

（r 0见图4-8） （7-4）

三、圆轴扭转时斜截面上的应力

横截面上：max τ发生在周边各点，σ=0

圆轴扭转时，轴内的最大应力如何？需要研究任意点、任意截面上的应力情况，即需要研究斜截面上的应力情况。

在任意一点取一微小的正六面体abcdefgh:

图4-9

分析垂直于前后两个面的任一斜截面mn 上的应力： 设斜截面mn 的面积为dA,则mb 面和bn 面的面积：

αcos ?=dA A mb αsin ?=dA A bn

选取参考轴η、ξ 写出平衡方程：

∑=0n

F

0cos )sin (sin )cos (=?'+???+ααταατσαdA dA dA

∑=0ξF 0sin )sin (cos )cos (=?'+???-ααταατταdA dA dA

利用ττ'=，整理上两式，得：

ατσα2sin -= (a)

αττα2cos = (b)

据此(a)(b)两式，可确定单元体内的最大剪应力、最大和最小正应力以及它们所在截面的方位：

（1）由(b)式知，单元体的四个侧面上的剪应力的绝对值最大，且均等于τ。

τττ

αα=?===)0(2cos 01800

ττταα-=?===)90(2cos 027090

（2）由（a ）式知：

ττσα-=-==)45(2sin 0450

τττσα=-?-=-==)1()135(2sin 01350

即：

图4-11

这一结论可以从扭转试验中试件的破坏现象得到验证。

（低碳钢）

（ 铸铁 ）

图4-11

四、圆轴扭转时强度条件

()[]ττ≤=

p

n W M max

max （7-5）----等直圆轴受扭时的强度条件

对于实心圆截面 33

2.016

d d W p ≈=

π

对于空心圆截面 )1(2.0)1(16

4343

ααπ-≈-=

D D W p 空

而 []τ：（1）可通过扭转试验测定：

τS ---塑性材料 τb ---脆性材料

（2）[]][6.05.0στ）（-=

例题4-2 已知：主传动轴AB 由45#钢的无缝钢管制成。外径D=90mm, 壁厚t=2.5mm,[τ]=60MPa,工作时承受M nmax =1.5KN 〃m 试：校核该轴的强度。

图4-12

解：945.090

5902=-=-==

D t D D d α 1、 按薄壁圆管公式计算τ：

[]τππτ<=???-??==

--MPa 50105.210)2

5.290(21500

23

62

2

0t

r M n

2、 按空心圆轴公式计算τ：

3343

4

3

mm 1029)945.01(16

90)1(16

?=-?=

-=

παπD W p 空

[]ττ<=???==-MPa 7.51101029105.19

33max

空p n W M 校核结果：强度足够。 两种计算方法的误差比较：%4.3%10050

50

7.51=?-

例题4-3 若将AB 轴改为实心轴，应力条件相同（即MPa 7.51=τ），试确定实心轴的直径D 1=？并比较空心轴和实心轴的重量。 解：53mm m 053.016

105.1107.5113

1

36

max

==??=??=D D W M p n πτ 两轴长度相等，材料相同，则重量之比=面积之比 则：

()2.38590534

4

2

22

22

2

1

=-=-=

d D D A A π

空心

实心 （用料） ()

31.053

85904

4

2

222

1

2

2

=-=-=D d D A A π

π

实心

空心

（重量） 小结：⑴在载荷相同的条件下，空心轴的重量只为实心轴的31%；

⑵截面如何合理，一方面要考虑强度、刚度因素，同时也要考虑加工工艺和制造成本等因素；

⑶空心圆轴的壁厚也不能过薄，否则会发生折皱而丧失承载能力；

⑷应注意的是：若沿薄壁管轴线方向切开，则其扭转的承载能力将大为降低。

图4-13

Ⅱ、圆轴扭转时的变形计算 1、扭转角与剪切角的概念

图4-14

??

???--的角度。杆表面纵向直线所转过γ截面A转过的角度；扭转角，截面B相对于? 2、圆轴扭转时的变形计算

⑴扭转角的计算

p

n GI l

M =

? （7-6） π

?

180?

=p n GI l M

（7-7）

⑵单位长度扭转角的计算

p

n GI M l ==

?

θ

（7-8） π

?

θ

180?

==p n GI M l

（7-9）

3、扭转时刚度条件

[]

θθ≤=p

n GI M max max

（7-10） []θπ

θ≤?= 180max max

p n GI M

（7-11）

rad （弧度） °（度）

Rad/m

°/m

Rad/m

°/m

例题4-4 某轴AB 段是空心轴，内外径之比8.0==

D

d

α；BC 段是实心轴（其倒角过度忽略不计），承受的外力偶矩及其长度如图示，已知轴材料的[τ]=80MPa 、[θ]=1m 、G=80GPa,试设计D 和d 应等于多少？

图4-15

解：1、作扭矩图

2、根据强度条件设计D 、d AB 段：

MPa 80][)1(16

1146

4

3max =≤-==

ταπτD W Mn p 空 mm 6.491080)8.01(1146

163

6

4=??-??≥πD

BC 段：

MPa 80][16

764

3

max =≤==

τπτd

W Mn p 实

36.5mm m 0365.010

80764

163

6

==???≥πd

3、根据刚度条件设计D 、d AB 段：

m

1][180

)

1(32

10801146

180449

=≤?

-?

?=

?=θπ

απ

π

θD GI Mn p 空

61.1mm m 0611.01801)8.01(108011463244

9==??-????≥π

π

D

BC 段：

m 1][180

=≤?=θπ

θ空p GI Mn

1

18032

10807644

9=??

?π

π

d

48.6mm m 0486.0180

110807643249

==?????≥π

π

d

4 结论：

D=61.1mm – 刚度条件确定。 d=48.1mm – 刚度条件确定。

Ⅲ 扭转超静定

例题4-5 圆轴受力如图4-15 所示。已知：D=3cm ，d=1.5cm, [τ]=50MPa 、[θ]=2.5m 、G=Pa 10809?,试对此轴进行强度和刚度校核。

图4-16

解：①截面的几何性质计算： AC 段：4

884

8

4

4

4

1045.71032

5.11032

332

32

m d D I P ---?=??-

??=

-

=ππππ空

CE 段：4

884

4

1095.71032

332

m D I P --?=??=

=

ππ实

②求约束反力:

解除A 端约束，建立变形协调条件：

图4-17

0=-E A ?，即：

102550010403001015300104010402

2222=??-??+??+??+??=------实

实空实空P P P P A P A E

A GI GI GI GI T GI T ?

将G 、空P I 、实P I 代入上式运算，得 M N 52?-=A T

再由静力平衡方程解出 M N 252?-=E T

③强度校核 BC 段： 3643

4

3

m 1097.4])3

5

.1(1[16

)03.0()1(16

D -?=-?=

-=

παπ空p W

50MPa ][MPa 9.4910

97.4248

6

max ==?==

-ττ 空p n W M

DE 段： 363

3

m 103.516

)03.0(16

D -?=?=

=

ππ实p W

50MPa ][MPa 5.4710

3.5248

6

max ==?==

-ττ 实p n W M

④刚度校核 BC 段： m GI M P n 38.21801045.7108024818089max =????=?=-ππθ空 DE 段： m GI M P n 27.218010

95.7108025218089max

=????=?=-ππθ实 均 m 27.2][=θ

Ⅳ矩形截面杆在自由扭转时的应力和变形。

一、非圆截面杆与圆截面杆在扭转时的区别

（a） (b)

图4-18

圆截面杆受扭：平面假定

非圆截面受扭：截面翘曲—图a所示的纵向线和代表横截面的横向周界线，在杆件受扭后，横向周界线已变为空间曲线（图b）。说明：原平面的横截面在变形后成为凹凸不平的曲面，这一现象称为翘曲。

二、非圆截面杆扭转的两种情况

1、自由扭转

等直杆在两端受扭转力偶矩作用，其截面翘曲不受任何限制，这种情况称为自由扭转。

因截面翘取不受任何限制，所以杆内各个横截面的翘曲程度完全相同，横截面上仍只有剪应力而无正应力。

2、约束扭转

由于约束条件或受力条件的限制，造成杆件各横截面的翘曲程度

不同，这势必引起相邻两截面间纵向纤维的长度改变。于是横截面上除剪应力外还有正应力。这种情况称为约束扭转。 三、非圆截面杆在自由扭转时的应力和变形 1、矩形截面杆

（1）截面上剪应力的分布规律

图4-19

①最大剪应力发生在截面长边的中点处

p n

n W M ht

M ==

2

max ατ 2

ht W p α=

α-与截面尺寸比值（h/t ）的有关系数

max

'νττ=

（短边中点）

ν-与截面尺寸比值（h/t ）的有关系数

式中：α 、υ可按截面尺寸比值从教材提供的表格中查取。 ②截面周边各点处的剪应力方向一定与周围平行（相切）。

③截面凸角点处的剪应力一定为零。 （2）单位长度扭转角θ的计算式

p

n

n GI M Ght M =

=2βθ

3

ht I p β=

β-与截面尺寸比值（h/t ）的有关系数

2、狭长矩形截面杆

当矩形截面的h/t>10时，称为狭长矩形。 （1）截面上的应力分布规律

①最大剪应力发生在截面长边除靠近顶点外的各点。

p n n W M ht M ==

2

max 3τ 2

31ht W p

= 长边上除靠近顶点以外均相等

②长边各点处的剪应力方向均与长边相切。 ③截面凸角点的剪应力为零。

图4-20

（2）单位长度扭转角θ的计算式

p n n GI M Ght

M ==23θ 3

31ht I p =

例题4-6 某柴油机曲轴的曲柄截面I-I 上的τ可近似地按矩形截面杆受扭计算。若t=23mm,h=102mm,M n =26.3mm,求该截面上的τmax =?

截面I-I 图4-21

解：由截面I-I 的尺寸求得

43

.4=t

h

查教材P159表４－１，并利用插入法，求出

α＝０.286

则 MPa 7.123

1022860103.2623

2max

=???==。ht M n ατ

例题4-7 试求由薄板卷成的薄壁圆管的应力和扭角。圆管用两种不同的制作方法；1）开口圆管；2）焊接封闭圆管。请比较两种截面的应力和扭角。

图4-22

解：

t D tD M D t M tA M Dt M Dt t M t h t

M I t M n n

m n n

n n p

n ?=????

??

???=

?

=

==

=

?==2324

22 口：33

131 开口：212

2

22331ττππτππτ闭 2221322

223

3

31434)4(44 口：33131 开口：t D t D G M t D G D M t GA S M Dt G M Dt G M ht G M n n m n n

n n ?

=?

?

??

?????=?=====θθπππθππθ闭

注S —截面中线长度

若D=30cm,t=1cm,则τ1=45τ2 , θ1=675θ2

第四章扭转(讲稿)材料力学教案(顾志荣)

第四章扭转 同济大学航空航天与力学学院顾志荣 一、教学目标与教学内容 1、教学目标 (1)掌握扭转的概念； (2)熟练掌握扭转杆件的内力（扭矩）计算和画扭矩图； (3)了解切应力互等定理及其应用，剪切胡克定律与剪切弹性模量； (4) 熟练掌握扭转杆件横截面上的切应力计算方法和扭转强度计算方法； (5) 熟练掌握扭转杆件变形（扭转角）计算方法和扭转刚度计算方法； (6)了解低碳钢和铸铁的扭转破坏现象并进行分析。 (7)了解矩形截面杆和薄壁杆扭转计算方法。 2、教学内容 (1) 扭转的概念和工程实例； (2) 扭转杆件的内力（扭矩）计算,扭矩图； (3) 切应力互等定理, 剪切胡克定律;

(4) 扭转杆件横截面上的切应力, 扭转强度条件； (5) 扭转杆件变形（扭转角）计算，刚度条件； (6) 圆轴受扭破坏分析； (7) 矩形截面杆的只有扭转； (8) 薄壁杆件的自由扭转。 二、重点和难点 1、重点：教学内容中（1）～（6）。 2、难点：切应力互等定理，横截面上切应力公式的推导，扭转变形与剪切变形的区别，扭转切应力连接件中切应力的区别。通过讲解，多媒体的动画演示扭转与剪切的变形和破坏情况，以及讲解例题来解决。 三、教学方式 通过工程实例建立扭转概念，利用动画演示和实物演示表示扭转时的变形，采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 6学时 五、实施学时 六、讲课提纲

工程实例： 图4-1 **扭转和扭转变形 1、何谓扭转？ 如果杆件受力偶作用，而力偶是作用在垂直于杆件轴线的平面内，则这杆件就承受了扭转。换言之，受扭杆件的受力特点是：所受到的外力是一些力偶矩，作用在垂直于杆轴的平面内。 2、何谓扭转变形？ 在外力偶的作用下，杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。杆件的这种变化形式称为扭转变形。换言之，受扭转杆件的变形

材料力学第四章作业答案

4-1 试作下列各轴的扭矩图。 （a ） (b) 4-4 图示圆截面空心轴，外径D=40mm ，内径d=20mm ，扭矩m kN T ?=1，试计算mm 15=ρ的A 点处的扭矩切应力A τ以及横截面上的最大和最小的扭转切应力。

解：P A I T ρ?= )1(32 44απ-=D I p 又mm 20d = D=40mm 5.0==∴D d α 41244310235500)5.01(32)1040(14.3m I p --?=-???= MPa Pa I T P A 7.63107.6310 23550010151016123 3=?=????==∴--ρτ P W T =max τ 9433431011775)5.01(16 )1040(14.3)1(16--?=-???=-=απD W P a Pa W T P MP 9.84109.8410 11775101693 max =?=??==∴-τ 当2'd =ρ时 MPa Pa I T P 4.42104.4210 23550010101016123 3'min =?=????==--ρτ 4-6 将直径d=2mm ，长l=4m 的钢丝一端嵌紧，另一端扭转一整圈，已知切变模量G=80GPa ，试求此时钢丝内的最大切应力m ax τ。 解：r G ?=τ dx d R r R ?? =∴ R=mm d 12= 3331057.1414.321012101---?=???=??=?=∴l dx d R r R π? MPa Pa r G 6.125106.1251057.11080639=?=???=?=∴-τ （方法二：π?2=， l=4 ，P GI Tl =? ，324d I P π=，r Ip W p = ,l Gd W T P πτ==max ）

第四章扭转的强度与刚度计算.

41 一、 传动轴如图19-5（a ）所示。主动轮A 输入功率kW N A 75.36=，从动轮D C B 、、输出功率分别为kW N kW N N D C B 7.14,11===，轴的转速为n =300r/min 。试画出轴的扭矩图。 解 （1）计算外力偶矩：由于给出功率以kW 为单位，根据（19-1）式： 1170300 75 .3695509550=?==n N M A A (N ·m ) 351300 11 95509550=?===n N M M B C B (N ·m ) 468300 7 .1495509550=?==n N M D D (N ·m ) （2）计算扭矩：由图知，外力偶矩的作用位置将轴分为三段：AD CA BC 、、。现分别在各段中任取一横截面，也就是用截面法，根据平衡条件计算其扭矩。 BC 段：以1n M 表示截面Ⅰ－Ⅰ上的扭矩，并任意地把1n M 的方向假设为图19-5（b ）所示。根据平衡条件0=∑x m 得： 01=+B n M M 3511-=-=B n M M (N ·m ) 结果的负号说明实际扭矩的方向与所设的相反，应为负扭矩。BC 段内各截面上的扭矩不变，均为351N ·m 。所以这一段内扭矩图为一水平线。同理，在CA 段内： M n Ⅱ＋0=+B C M M Ⅱn M = －B C M M -= －702(N ·m ) AD 段：0=D n M M －Ⅲ 468==D n M M Ⅲ(N ·m ) 根据所得数据，即可画出扭矩图[图19－5（e ）]。由扭矩图可知，最大扭矩发生在CA 段内，且702max =n M N ·m 二、 如图19-15所示汽车传动轴AB ，由45号钢无缝钢管制成，该轴的外径 (a ) (c ) C B m (d ) (e ) 图19-5 (b )

第四章扭转

第三部分 扭转 4.1预备知识 一、基本概念 1、扭转变形 扭转变形是杆件的基本变形之一，扭转变形的受力特点是：杆件受力偶系的作用，这些力偶的作用面都垂直于杆轴。此时，截面B 相对于截面A 转了一个角度?，称为扭转角。同时，杆件表面的纵向直线也转了一个角度γ变为螺旋线，γ称为剪切角。 2、外力偶 杆件所受外力偶的大小一般不是直接给出时，应经过适当的换算。若己知轴传递的功率P(kW)和转速n(r/min)，则轴所受的外力偶矩)(9549 Nm n P T =。 3、扭矩和扭矩图 圆轴扭转时，截面上的内力矩称为扭矩，用T 表示。扭矩的正负号，按右手螺旋法则判定。如扭矩矢量与截面外向法线一致，为正扭矩，反之为负；求扭矩时仍采用截面法。扭矩图是扭矩沿轴线变化图形，与轴力图的画法是相似 4、纯剪切 切应力互等定理 单元体的左右两个侧面上只有切应力而无正应力，此种单元体发生的变形称为纯剪切。 在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线、方向到共同指向或共同背离积这一交线，这就是切应力互等定理。 5、切应变 剪切虎克定律 对于纯剪切的单元体，其变形是相对两侧面发生的微小错动，以γ来度量错动变形程度，即称切应变。 当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力τ和切应变γ成正比，即 τ=G γ G 称材料的剪切弹性模量，常用单位是GPa 。 6、圆杆扭转时的应力和强度计算 (1) 圆杆扭转时，横截面上的切应力垂直于半径，并沿半径线性分布，距圆心为ρ处的切应力为 ρτρp I T = 图

式中T 为横截面的扭矩，I p 为截面的极惯性矩。 (2) 圆形截面极惯性矩和抗扭截面系数 实心圆截面324D I p π= ， 163 D W p π=（D 为直径） 空心圆截面)1(324 4a D I p -=π， )1(16 43απ-=D W p （D 为外径，d 为内径，D d /=α） (3)圆杆扭转时横截面上的最大切应力发生在外表面处 t W T = m ax τ 式中W t =I p /R ，称为圆杆抗扭截面系数（或抗抟截面模量）。 圆杆扭转时的强度条件 []ττ≤m ax (4)圆杆扭转时，圆杆各点处于“纯剪切”应力状态，如图3—1所示。其最大拉应力、最大压应力和最大切应力数值相等。 低碳钢材料抗拉与抗压的屈服强度相等，抗剪能力较差，所以低碳钢材料圆杆扭转破坏是沿横截面被剪断的。 铸铁材料抗压能力最强，抗剪能力次之，抗拉能力最差，因而铸铁材料圆杆扭转破坏是沿与杆轴线约成450的斜截面被拉断的。 7、圆杆扭转时的变形和刚度计算 圆杆扭转时的变形用一个横截面相对另一个横截面转过的角度?来度量，称为扭转角。 长度为l 的等截面圆杆承受扭矩M n 时，圆杆两端的相对扭转角 p GI l T = ? （rad ） 式中GI p 称为圆杆的抗扭刚度。 当两截面之间的扭矩或GI p 为变量时则应通过积分或分段计算各段的扭转角，并求其代数和，即为全杆的扭转角。 单位长度扭转角 p GI T l = = ? θ （rad/m ） 把弧度换算为度，圆杆扭转时的刚度条件为 []θπ θ≤= 180 p n GI M （0/m ） 8、非圆截面杆的扭转 (1) 非圆截面杆扭转的概念 非圆截面杆在扭转变形后横截面不再是平面，变成一个曲面并发生翘曲，这是非圆截面杆扭转时的一个重要特征。由于截面的翘曲，平面假设不再成立，因而圆杆的扭转公式不能应用于非圆截面杆。 (2) 矩形截面杆

材料力学作业 扭转

第四章 扭转 一、是非题 1 在单元体两个相互垂直的截面上，切应力的大小可以相等，也可以不等。 （ ） 2 扭转切应力公式P I T ρ τρ= 可以适用于任意截面形状的轴。 （ ） 3 受扭转的圆轴，最大切应力只出现在横截面上。 （ ） 4 圆轴扭转时，横截面上既有正应力，又有切应力。 （ ） 5 矩形截面杆扭转时，最大切应力发生于矩形长边的中点。 （ ） 二、选择或填空 1、．图示的圆轴，用截面法求扭矩，无论取哪一段作为研究对象，其同一截面的扭矩大小与符号（ ）。 a.完全相同 b.正好相反 c ．不能确定 2、两根圆轴，材料相同，受力相同，而直径不同，当d 1=2d 2时，则两轴的最大切应力之比 τ1/τ2和单位扭转角21/φφ 分别为 。 A 1/4，1/16 B 1/8，1/16 C 1/8，1/64 D 8，16 3．下列结论中正确的是（ ）。 A ．圆轴扭转时，横截面上有正应力，其大小与截面直径无关 B ．圆轴扭转时，截面上有正应力，也有切应力，其大小均与截面直径无关 C ．圆轴扭转时，横截面上只有切应力，其大小与到圆心的距离成正比 4．如图所示，圆轴扭转时，下列切应力分布图正确的是（ ）。 A B C D 5．实心圆轴扭转时，横截面上的最小切应力（ ）。 A ．一定为零 B.一定不为零 C ．可能为零，也可能不为零 6．空心圆轴扭转时，横截面上的最小切应力（ ）。 A.一定为零 B ．一定不为零 C ．可能为零，也可能不为零

三、计算题 1一传动轴匀速转动，转速n=200r/min，轴上装有五个 轮子。主动轮Ⅱ输入功率为60kW，从动轮Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ Ⅴ依次输出18 kW，12kW，22 kW和8 kW。试做轴的 扭矩图。 2、图示圆截面空心轴，外径D＝40mm，内径d＝20mm，扭矩T＝1kN·m。试计算ρ＝15mm 的A点处的扭转切应力τA及横截面上的最大和最小扭转切 应力。

材料力学第四章

一、 传动轴如图19-5（a ）所示。主动轮A 输入功率kW N A 75.36=，从动轮D C B 、、输出功率分别为kW N kW N N D C B 7.14,11===，轴的转速为n =300r/min 。试画出轴的扭矩图。 解 （1）计算外力偶矩：由于给出功率以kW 为单位，根据（19-1）式： 1170300 75 .3695509550=?==n N M A A (N ·m ) 351300 11 95509550=?===n N M M B C B (N ·m ) 468300 7 .1495509550=?==n N M D D (N ·m ) （2）计算扭矩：由图知，外力偶矩的作用位置将轴分为三段：AD CA BC 、、。现分别在各段中任取一横截面，也就是用截面法，根据平衡条件计算其扭矩。 BC 段：以1n M 表示截面Ⅰ－Ⅰ上的扭矩，并任意地把1n M 的方向假设为图19-5（b ）所示。根据平衡条件0=∑x m 得： 01=+B n M M 3511-=-=B n M M (N ·m ) 结果的负号说明实际扭矩的方向与所设的相反，应为负扭矩。BC 段内各截面上的扭矩不变，均为351N ·m 。所以这一段内扭矩图为一水平线。同理，在CA 段内： M n Ⅱ＋0=+B C M M Ⅱn M = －B C M M -= －702(N ·m ) AD 段：0=D n M M －Ⅲ 468==D n M M Ⅲ(N ·m ) 根据所得数据，即可画出扭矩图[图19－5（e ）]。由扭矩图可知，最大扭矩发生在CA 段内，且702max =n M N ·m 二、 如图19-15所示汽车传动轴AB ，由45号钢无缝钢管制成，该轴的外径D =90mm ，壁厚t =2.5mm ，工作时的最大扭矩M n ＝1.5kN·m ，材料的许用剪应力][τ＝60MPa 。求（1）试校核AB 轴的强度；（2）将AB 轴改为实心轴，试在强度相同的条件下，确定轴的直径，并比较实心轴和空心轴的重量。 解 （1）校核AB 轴的强度： 944 .090 5.22902=?-=-= =D t D D d α (a ) (c ) m (d ) (e ) 图19-5 (b )

第四章扭转(讲稿)

第 四 章 扭 转 I 圆轴扭转时的应力和强度计算 一、外力偶矩、扭矩和扭矩图 1、外力偶矩(T )的计算 n P T p ? =02.7 KN 〃m (7-1) P p 指轴所传递的功率（马力） n 指轴的转速（转/分、r/min ） n P T kW ? =55.9 KN 〃m (7-2) P kW 指轴所传递的功率（千瓦、Kw ） n 指轴的转速（转/分、r/min ） 2、扭矩（M n ）的确定及其符号规定 （1）M n 的确定 截面法

图4-3 0=∑x M 0=-A n T M 左 A n T M =左 0=∑x M 0=+-B n T M 右 B n T M =右 （2）M n 的符号规定 右手螺旋法则 图4-4

3、扭矩图 扭矩随轴线横截面位置改变而变化的规律图，称为扭矩图。 作法：轴线（基线）x ——横截面的位置 纵坐标—— M n的值 正、负——正值画在基线上侧，负值画在基线下侧。 例题 7-1 一传动轴作每分钟200转的匀速转动，轴上装有5个轮子（7-2,a）。主动轮2输入的功率为60kW,从动轮1，3，4，5依次输出的功率为18kW,12kW,22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。 图4-5 解：（1）代入公式7-2，将计算所得的外力偶矩值标上各轮上。 （2）作扭矩图，见图4-5，b 一、圆轴扭转时横截面上的应力 1、实心圆轴 （1）τ的分布规律

(a) (b) 图4-6 （2）τ的方向 由M n 确定，τ与M n 同向（见图4-6，a ） 注意τ⊥半径 （3）τ的计算 p n I M ρτρ= (7-3) 式中M n ---- 横截面上的扭矩； ρ----指截面上所求应力的点到截面圆心的距离; I p ----指实心圆截面对其圆心的极惯性矩，其计算式为32 4 D I p π= 。 （4）τ计算公式的讨论： ①对于某一根受扭的圆轴而言，max τ一定发生在max n M 所在段； ②在确定的截面上，max τ一定发生在ρmax 处（周边上）； ③I p 的意义 从τ的计算公式讨论I p ：I p 愈大，τ愈小； 从应力分布状况讨I p ：靠近圆心的材料，承受较小的应力。 设想：把实心轴内受应力较小部分的材料移到外层，做成空心，达到充分利用材料、减轻自重的目的。

第四章 扭转

第四章 扭转 4.1 受扭圆轴如图所示。1-1、2-2横截面上的扭矩分别是（ ）。 （A ）13T m =，23T m = （B ）1T m =-，20T = （C ）1T m =，22T m =- （D ）1T m =-，22T m = 4.2圆轴受扭如图所示。1-1横截面上的扭矩是 ，2-2横截面上的扭矩是 ， 3-3横截面上的扭矩是 。 4.3左端固定的等直圆杆受扭转外力偶作用如图所示。正确的扭矩图是（ ）。 图4.3 10kN m ( C ) ( D ) ( A ) 4.4根据切应力互等定理判断，图示各单元体上的切应力正确的是（ ）。（图中应力单位为MPa ） 图4.1 图4.2 图4.4 ( C ) ( B ) ( A ) τ

4.5图示各单元体中，虚线表示受力变形后的情况。他们的切应变分别是 a γ= ， b γ= ， c γ= 。 α α α α α 图4.5 ( a ) ( b ) ( c ) 4.6实心受扭圆轴在弹性变形时，横截面上切应力的分布图是（ ）。图中T 为扭矩。 图4.6 4.7空心受扭圆轴在弹性变形时，横截面上切应力的分布图是（ ）。图中T 为扭矩。 图4.7 4.8空心圆轴的内径为d ，外径D ，0.5d D α= =。当横截面上的扭矩为T 时，最大切应力为τ。若截面上A 点距 外周边的距离为0.1D ，则A 点的切应力是（ ）。 （A ）0.9τ （B ）0.8τ （C ）0.5τ （D ）0.4τ 4.9（1）在扭转试验机上试验时，低碳钢试件扭转破坏 的现象是（ ）。 （A ）沿横截面拉断 （B ）沿横截面剪断 （C ）沿45°螺旋面拉断 （D ）沿45°螺旋面剪断 （2）破坏的原因是 。 4.10（1）在扭转试验机上试验时，灰口铸铁试件扭转破坏的现象是（ ）。 （A ）沿横截面拉断 （B ）沿横截面剪断 图4.8

材料力学讲稿：第4章 扭转

第四章扭转 一、教学目标与教学内容 1、教学目标 (1)掌握扭转的概念； (2)熟练掌握扭转杆件的内力（扭矩）计算和画扭矩图； (3)了解切应力互等定理及其应用，剪切胡克定律与剪切弹性模量； (4) 熟练掌握扭转杆件横截面上的切应力计算方法和扭转强度计算方法； (5) 熟练掌握扭转杆件变形（扭转角）计算方法和扭转刚度计算方法； (6)了解低碳钢和铸铁的扭转破坏现象并进行分析。 (7)了解矩形截面杆和薄壁杆扭转计算方法。 2、教学内容 (1) 扭转的概念和工程实例； (2) 扭转杆件的内力（扭矩）计算,扭矩图； (3) 切应力互等定理, 剪切胡克定律;

(4) 扭转杆件横截面上的切应力, 扭转强度条件； (5) 扭转杆件变形（扭转角）计算，刚度条件； (6) 圆轴受扭破坏分析； (7) 矩形截面杆的只有扭转； (8) 薄壁杆件的自由扭转。 二、重点和难点 1、重点：教学内容中（1）～（6）。 2、难点：切应力互等定理，横截面上切应力公式的推导，扭转变形与剪切变形的区别，扭转切应力连接件中切应力的区别。通过讲解，多媒体的动画演示扭转与剪切的变形和破坏情况，以及讲解例题来解决。 三、教学方式 通过工程实例建立扭转概念，利用动画演示和实物演示表示扭转时的变形，采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 6学时 五、实施学时 六、讲课提纲

工程实例： 图4-1 **扭转和扭转变形 1、何谓扭转？ 如果杆件受力偶作用，而力偶是作用在垂直于杆件轴线的平面内，则这杆件就承受了扭转。换言之，受扭杆件的受力特点是：所受到的外力是一些力偶矩，作用在垂直于杆轴的平面内。 2、何谓扭转变形？ 在外力偶的作用下，杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。杆件的这种变化形式称为扭转变形。换言之，受扭转杆件的变形