材料力学2-第二章 拉伸、压缩及剪切
第二章拉伸、压缩与剪切
§2－1 拉伸与压缩的概念
等直杆的两端作用一对大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的力，这种变形叫轴向拉伸或压缩。
一、工程实例
悬索桥，其拉杆为典型受拉杆件；桁架，其杆件受拉或受压。
二、受力特点
杆件受到的外力或其合力的作用线沿杆件轴线。
三、变形特点
发生轴线方向的伸长或缩短。
§2－2 拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
一、轴力
（1）对于轴向拉伸（压缩）杆件，用截面法求横截面m-m上的内力。
（2）轴力正负规定：拉力为正（方向背离杆件截面）；压力为负（方向指向杆件截面）。
二、轴力图
（1）轴力图：轴力沿轴线方向变化的图形，横坐标表示横截面位置，纵坐标表示轴力的大小和方向。
（2）轴力图作用：通过它可以快速而准确地判断出最大内力值及其作用截面所在位置，这样的截面称为危险截面。轴向拉（压）变形中的内力图称为轴力图，表示轴力沿杆件轴线方向变化的情况。
（3）作下图所示杆件的轴力图
三、横截面上的应力
（1）平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线，只是各横截面间发生沿杆轴的相对平移。
通过对称性原理，平面假设可得以证明。
（2）由平面假设可得，两截面间所有纵向纤维变形相同，且横截面上有正应力无切应力。
（3）由材料的均匀连续性假设，可知所有纵向纤维的力学性能相同。所以，轴向拉压时，横截面上只有正应力，且均匀分布。 即 N A
F dA A σσ==? A
N
F =
σ ， （2-1） 为拉（压）杆横截面上的正应力计算公式。正应力的正负号与轴力正负号相同，拉应力为正，压应力为负。
当轴力与横截面的尺寸沿轴线变化时，只要变化缓慢，外力与轴线重合，外力与轴线重合，如左图，式（2-1）也可使用。 这时某一横截面上的正应力为
()()
x A x x N F =
）（σ （2-2）
例题
一等直杆受力情况如图a 所示，试作杆的轴力图。 解：（1）先求约束力
直杆受力如图b 所示，由杆的平衡方程0F =∑x 得 ()k N k N RA F =+-=50104020 （2）求杆中各段轴力
AB 段：沿任意截面1-1将杆截开，取左段为研究对象，1-1截面上的轴力
为N1F ，设N1F 为正，由左段的平衡方程0F =∑x 得：
σ
()x σ
0F F RA N 1=-, N1RA F F 20kN ==
BC 段：沿任意截面2-2将杆截开，取左段为研究对象，设轴力N2F 为正，
由左段的平衡方程0F =∑x 得：N2RA F F kN 0-+=50， N2F 0kN =-3 结果为负，说明N2F 的指向与所设方向相反，实为压力。
CD 段：沿截面3-3截开，取右端为研究对象，3-3截面上的轴力为N3F ，设为正，由右段的平衡方程0F =∑x 得：N3-F 4kN 0-=0， N3F 4kN =-0（压力）
（3）绘制轴力图
上题中每次求轴力时，都将未知轴力方向假定为拉力。并可得出结论：某横
截面上的轴力值等于所截取部分上所有外力的代数和。
§2－3 拉伸或压缩时斜截面上的应力
一、 应力计算公式
a)
c)
b)
d)
e)
f)
40
设杆件的横截面面积为A ，现将杆沿斜截面k-k 截开，与横截面成α角（规定逆时针为正）的斜截面面积α
αcos A
A =
。取左段为研究对象，横截面上的正应力为σ，则应力αP 可分解成垂直于横截面上的正应力ασ和相切于横截面的切应力ατ。
ασασαα2c o s c o s ==p
ασαταα2s i n 2
1
s i n
==p 二、讨论
（1）特殊截面应力的特点
当 0=α时，ασ达到最大值，且,max σσα= ,00= τ
铸铁拉伸的断裂面为横
截面
当 45=α时，ατ达到最大值，且,2
max 45σ
τσα=
=
低碳钢由于抗剪能力比抗拉能力差，拉伸过程中出现45o 滑移
线
当 90=α时， 09090== τσ，表示在平行于轴线的纵向截面上没有应力。
（2）两个互相垂直截面的切应力关系
()o
o
o sin sin sin ααααστα
σστααττ++=
=
+=-
∴=-0
909022
29022
2
切应力互等定律：过受力物体任一点取互相垂直的两个截面上的切应力等值反
向。 三、例题
图所示轴向受压等截面杆件，横截面面积 A = 400mm 2 ，载荷F = 50kN ，试求横截面及斜截面m -m 上的应力。
解：由题可得
横截面上的正应力N .Pa MPa F A σ--?===-?=-?3
80650101251012540010
斜截面上的正应力o o cos cos .MPa σσα==-?=-2205012550516 斜截面上的切应力o o sin sin().MPa στα-=
=
??=-0
50125
22506162
2
§2－4 材料在拉伸时的力学性能
材料力学性能是指机械性能，是指材料在外力作用下出现的变形、 破坏等方面的特性。
一、低碳钢拉伸时的力学性能
试验规范：金属拉伸试验方法（GB228－87）（一）试验过程
1. 实验装置
变形传感器
2. 试样
（1）形状：圆形截面L 0＝10d 0或 L 0＝5d 0，矩形截面..L L ==00115（2）加工精度：0.8
3. 试验
（1）弹性阶段ob ：加载速度：3～10MPa/s 。从原点至b 点，及卸载后变形可以完全恢复。其中oa 段为直线段，应力σ和应变ε是线性关系，满足胡克定律：
εσE ＝（E 的单位为GPa ）
P σ：比例极限，e σ：弹性极限，两值非常靠近，工程上不严格区分。
（2）屈服阶段：从b 到c 点，应力不增加而应变显著增加，试验中取波浪线中最小纵坐标为屈服点。加载速度：小于15MPa/S 。
s σ：屈服极限，上屈服限和下屈服限。材料屈服时产生塑性变形（残余变形），即卸载后不能恢复变形，塑性变形将影响杆件能否正常工作。试件表面磨光，屈服阶段试件表面出现45o 的滑移线。
缩颈与断裂
滑移线
（3）强化阶段：从c 到e 点，抵抗变形能力增强，横向尺寸明显减小。 （4）局部变形阶段（颈缩阶段）：过e 点后，试样局部横向尺寸急剧缩小称为缩颈。
断口杯口状，拉伸屈服阶段受剪破坏
断口中间材料呈颗粒状，塑性材料三向受拉脆性断裂破坏
低碳钢抗剪能力比抗拉能力差
（二）参数测量
1. 弹性模量（the modulus of elasticity ）E : tan E σ
αε
=
=
2. 屈服强度s σ
3. 抗拉强度b σ
4. 延伸率：％－＝
1001?l
l
l δ δ>5％：塑性材料
5. 断面收缩率：％＝
1001
?-A
A A ψ （三）卸载定律及冷作硬化
1. 卸载定律：应力-应变图中，如果在超过屈服点后的k 点，逐渐卸除拉力，应力和应变关系将沿着近似地平行于Oa 的斜直线k k '回到k '点，即应力和应变按直线规律变化，这就是卸载定律。
2. 冷作硬化：卸载后，重新加载，比例极限提高，屈服现象不再出现，塑性变形和伸长率下降的现象称为冷作硬化。
3. 工程应用：起重机的钢索. 建筑钢材. 钢材喷丸处理
4. 冷作硬化消除：退火、时效。
二、其它塑性材料（中碳钢、高碳钢、铝合金、青铜、黄铜等）拉伸力学性能
工程常用的其他塑性材料（H62黄铜、T10A高碳钢、20Cr合金结构钢）的机械性能
：对于没有明显屈服点的塑性材料(如铝合金)，产生0.2%名义屈服极限
p
2.0
（0.002）塑性应变时的应力。
三、铸铁拉伸时的力学性能
铸铁是一种典型的脆性材料，灰铸铁拉伸时的应力-应变关系是一段微弯曲线，通常取曲线初始部分的割线的斜率作为弹性模量，称为割限弹性模量。
§2.5 材料在压缩时的力学性能
一、低碳钢的压缩试验 H=1.5～3d （1） 试验过程 ①弹性阶段 ②屈服阶段 ③强化阶段
§2.6轴向拉伸和压缩时的强度计算
一、失效与许用应力 1. 极限应力
构件失效前所能承受的最大应力。 塑性材料： s 0σσ=
σ/M P a 灰铸铁ε(%)
塑性材料的σ-ε曲线
脆性材料：b 0
σσ= 2. 许用应力
对于一定材料制成的构件，其工作应力的最大容许值。
[]n
σσ=
二、强度条件
强度校核 ：[]σσ≤=
A
N
F 截面设计 ：[]
σN
F A ≥
许用载荷确定 ：[]σA F N ≤
三、例题
1.图所示变截面由两种材料制成，AE 段为铜质，EC 段为钢质。钢的许用应力[σ]1 = 160MPa ，铜的许用应力[σ]2 = 120MPa ，AB 段横截面面积1000mm2,BC 段的横截面面积是AB 段的一半。外力F = 60kN ，作用线沿杆方向，试对此杆进行强度校核。
解：⑴ 求杆的轴力，作轴力图
AD 段： 02:
01x =+=∑F F F N
解得：12021-=-=F F N kN
DB 段：02:
02x =-+=∑F F F F N
解得：602-=-=F F N kN
BC 段：0:
03x =-=∑F F F N
解得：603==F F N
kN
⑵ 确定危险截面
经分析危险截面在AD 段 ⑶ 强度校核
12010
10101206
23max
-=??-==-AD AD A F σMPa []σ≤ 所以杆件强度满足要求
2.图示钢木桁架，其尺寸及计算简图如图所示。已知F P=16kN ，钢的许用应力[σ]=120MPa 。试选择钢竖杆DI 的直径。
解：求杆DI 的轴力，用截面法取ACI 为研究对象，受力图及坐标系如图所示。建立平衡方程 036:0A =--=∑P N F F M
解得： 8=N F kN 由强度条件可得：[]
σπN
4
4
F d A ≥
=
[]6
3
1012010844????=≥∴
πσπN
F d m=2.9mm
3.图所示桁架，已知两杆的横截面面积均为A = 100mm 2 ，许用拉应力[
σ t]=200MPa ，许用压应力[σc]=150MPa 。试求载荷的最大许用值。
B
F
B F
F
解：(1)求1 、2杆的轴力
以节点B 为研究对象，受力图和坐标系如图。建立平衡方程
045cos :0F 12=?-=∑N N x
F F 045sin :
0F
1=-?=∑F F N y
解得:
F F N 21=（拉) F F N -=2（压)
(2)确定载荷的最大许用值 1杆强度条件 :
[]t N F σA 2F 1==
[]14.142
102001010026
6t =???=
≤
∴
-σA F kN
2杆强度条件
[]C N F σA F 2==
[]0.15101501010066=???=≤∴
-C A F σkN
§2.7 材料在拉伸或压缩时的变形
轴向拉（压）直杆的变形特点是：在轴向拉力作用下，将引起轴向尺寸的
伸长和横向尺寸的缩小；反之，在轴向压力作用下，将引起轴向的缩短和横向的增大。
一、胡克定律（Hooke ，
s law ） 由试验可知； 胡克定律： εσE ＝ 由A N =
σ 和 l
l ?=τ可得： EA
Nl
l ＝
? 这表示：在线弹性范围内，杆件的变形量l ?与拉力F 和杆件的原长度l 成正比，与横截面面积A 成反比，可直接计算杆件的伸长（压缩）量。
对长度相同. 受力相等的杆件，EA 越大则变形越小，EA 称为杆件的轴向刚度刚度（the axial rigidity ）。
当轴力与横截面尺寸沿轴线连续变化时，由)
()()(x EA dx
x F l d N ＝
?积分得：
?
?l N x EA dx
x F l )
()(＝
二、泊松比（Poisson ，s ratio ）
横向应变与纵向应变之比： εμε
'
=- 对同一种材料为一常数。
例题 ：
两根相同的钢杆铰接，作用载荷为F=475kN 如图a 所示，钢杆的横截面面
2。若GPa 200E =
解：取节点B 为隔离体，如图b 所示，未知力均假设为拉力。由静力平衡方程，求得杆AB 的轴力N1F 和杆BC 的轴力N2
F 分别为
N1N2F F Fcos kN()===45336拉力 杆AB 和BC 的变形量为：
1N m BB m mm Pa m
N F l l EA --??=?===?=???33
11962
336103310320010168010为拉伸变形。
由已知的几何简图，即可求出B 点的位移。
'm
BB .mm.cos cos l ?=
==134244545
本题中利用切线法确定变形后节点'B 的位置。
§2.8 拉伸、压缩静不定问题
1. 静定问题：未知力数目等于独立平衡方程数目，未知力可由平衡方程全部求出。
a)
c)
b)
2. 静不定问题：未知力数目多余独立平衡方程数目，未知力不能由平衡方程全部求出。
3. 静不定问题的解法 ：几何关系法 （1）静力方程（静力关系） （2）变形协调方程（变形几何关系） （3）物理方程（物理关系）
4. 例题
图示结构，已知杆 1 、2 的拉压刚度为E 1A 1，长度为l 1，3 杆的拉压刚度为E 3A 3。试求杆1、2、3 的内力。
A
F N2
A
2
3
1
解：以节点A 为研究对象，建立平衡方程
N1N2N N N :sin sin ():
cos cos ()
x y
F F F F
F F F F αααα=-==++-=∑∑12300
100
2
由变形几何关系可得变形协调方程
ΔΔcos l l α=13
由胡克定律可得
α α
材料力学第5章剪切和挤压
第5章剪切和挤压 5.1 剪切的概念和实例 在工程实际中，为了将构件互相连接起来，通常要用到各种各样的连接。例如图5-1中所示的（a）为拖车挂钩的销轴连接；（b）为桥梁结构中常用的钢板之间的铆钉连接；（c）为传动轴与齿轮之间的键块连接；（d）为两块钢板间的螺栓连接；（e）为构件中的搭接焊缝连接。这些起连接作用的销轴，铆钉，键块，螺栓及焊缝等统称为连接件。这些连接件的体积虽然比较小，但对于保证整个结构的牢固和安全却具有重要作用。因此，对这类零件的受力和变形特点必须进行研究、分析和计算。 （a）（b） (c) (d) 图5-1 工程中的连接 现以螺栓连接为例来讨论剪切变形与剪切破坏现象。设两块钢板用螺栓连接，如图5-2（a）所示。当钢板受到横向外力N拉伸时，螺栓两侧面便受到由两块钢板传来的两组力P 的作用。这两组力的特点是：与螺栓轴线垂直，大小相等，方向相反，作用线相距极近。在这两组力的作用下，螺栓将在两力间的截面m-m处发生错动，这种变形形式称为剪切。发生相对错动的截面称为剪切面，它与作用力方向平行。若连接件只有一个剪切面，称为单剪切，若有两个剪切面，称为双剪切。为了进一步说明剪切变形的特点，我们可以在剪切面处取出一矩形簿层来观察，发现在这两组力作用下，原来的矩形将歪斜成平行四边形，如图 5-2b所示。即矩形薄层发生了剪切变形。若沿剪切面m-m截开，并取出如图5-2c所示的脱离体，根据静力平衡方程，则在受剪面m-m上必然存在一个与力P大小相等、方向相反的 内力Q，此内力称为剪力。若使推力P逐渐增大，则剪力也会不断增大。当其剪应力达到材料的极限剪应力时，螺栓就会沿受剪面发生剪断破坏。 (a) (b) (c) 图5-2 螺栓连接的剪切破坏
材料力学习题解答(拉伸、压缩与剪切)
2.1. 试求图示各杆1-1、2-2、3-3截面的轴力， 并作轴力图。 解: (a) (1)求约束反力 kN R R X 500203040 0==-++-=∑ (2)求截面1-1的轴力 kN N N R X 500 011 ==+-=∑ (3)求截面2-2的轴力 kN N N R X 100 40 022 ==++-=∑ (4)求截面3-3的轴力 3 30 200 20X N N kN =--==-∑ (5)画轴力图 (a) (b) 20kN N 2 20kN
(b) (1)求截面1-1的轴力 01=N (2)求截面2-2的轴力 P N P N X 40 4 022 ==-=∑ (3)求截面3-3的轴力 P N P P N X 30 4 033 ==-+=∑ (4)画轴力图 2.3. 作用图示零件上的拉力P=38kN ，试问零件内最大拉应力发生于哪个横截面上？并求其值。 解：(1) 1-1截面上的应力 16 13381067.86(5022)2010P MPa A σ -?= ==-?? (2) 2-2截面上的应力 2 1 3 3
3 26 2381063.332152010 P MPa A σ-?===??? (3) 3-3截面上的应力 3 36 3381045.24(5022)15210P MPa A σ-?===-??? (4) 最大拉应力在1-1截面上 MPa 86.671max ==σσ 2.4. 设图示结构的1和2两部分皆为刚体，钢拉杆BC 的横截面直径为10mm ，试求拉杆内的应力。 解：(1) 以刚体CAE 为研究对象 ∑=?-?+?= 035.15.4 0' P N N m C E A (2) 以刚体BDE 为研究对象 075.05.1 0=?-?=∑B E D N N m (3) 联立求解 kN N N N N N C E E C B 6 ' =∴== N P =7.5kN
第二章 拉伸、压缩与剪切
一、是非题 2.1 使杆件产生轴向拉压变形的外力必须是一对沿杆件轴线的集中力。（） 2.2 轴力越大，杆件越容易被拉断，因此轴力的大小可以用来判断杆件的强度。（） 2.3 内力是指物体受力后其内部产生的相互作用力。（） 2.4 同一截面上，σ 必定大小相等，方向相同。（） 2.5 杆件某个横截面上，若轴力不为零，则各点的正应力均不为零。（） 2.6 δ、 y 值越大，说明材料的塑性越大。（） 2.7 研究杆件的应力与变形时，力可按力线平移定理进行移动。（） 2.8 杆件伸长后，横向会缩短，这是因为杆有横向应力存在。（） 2.9 线应变 e 的单位是长度。（） 2.10 轴向拉伸时，横截面上正应力与纵向线应变成正比。（） 2.11 只有静不定结构才可能有温度应力和装配应力。（） 2.12 在工程中，通常取截面上的平均剪应力作为联接件的名义剪应力。（） 2.13 剪切工程计算中，剪切强度极限是真实应力。（） 二、选择题 2.14变形与位移关系描述正确的是（） A. 变形是绝对的，位移是相对的 B. 变形是相对的，位移是绝对的 C. 两者都是绝对的 D. 两者都是相对的 2.15轴向拉压中的平面假设适用于（） A. 整根杆件长度的各处 B. 除杆件两端外的各处
C. 距杆件加力端稍远的各处 2.16长度和横截面面积均相同的两杆，一为钢杆，一为铝杆，在相同的拉力作用下（） A. 铝杆的应力和钢杆相同，而变形大于钢杆 B. 铝杆的应力和钢杆相同，而变形小于钢杆 C. 铝杆的应力和变形都大于钢杆 D. 铝杆的应力和变形都小于钢杆 2.17一般情况下，剪切面与外力的关系是（）。 A．相互垂直 B．相互平行 C．相互成 45 度 D．无规律 2.18如图所示，在平板和受拉螺栓之间垫上一个垫圈，可以提高（）强度。 A．螺栓的拉伸 B．螺栓的剪切 C．螺栓的挤压 D．平板的挤压 三、计算题 2.19在图示结构中，若钢拉杆BC 的横截面直径为 10 mm ，试求拉杆内的应力。设由BC 联接的 1 和 2 两部分均为刚体。
材料力学习题解答(拉伸、压缩与剪切)复习进程
材料力学习题解答(拉伸、压缩与剪切)
2.1. 试求图示各杆1-1、2-2、3-3截面的轴力， 并作轴力图。 解: (a) (1)求约束反力 kN R R X 500203040 0==-++-=∑ (2)求截面1-1的轴力 kN N N R X 500 011 ==+-=∑ (3)求截面2-2的轴力 kN N N R X 100 40 022 ==++-=∑ (4)求截面3-3的轴力 3 30 200 20X N N kN =--==-∑ (5)画轴力图 (a) (b) 20kN N 2 20kN
(b) (1)求截面1-1的轴力 01=N (2)求截面2-2的轴力 P N P N X 40 4 022 ==-=∑ (3)求截面3-3的轴力 P N P P N X 30 4 033 ==-+=∑ (4)画轴力图 2.3. 作用图示零件上的拉力P=38kN ，试问零件内最大拉应力发生于哪个横截面上？并求其值。 解：(1) 1-1截面上的应力 1613381067.86(5022)2010 P MPa A σ-?===-?? (2) 2-2截面上的应力 2 1 10 3 3
3 26 2381063.332152010 P MPa A σ-?===??? (3) 3-3截面上的应力 3 36 3381045.24(5022)15210 P MPa A σ-?===-??? (4) 最大拉应力在1-1截面上 MPa 86.671max ==σσ 2.4. 设图示结构的1和2两部分皆为刚体，钢拉杆BC 的横截面直径为10mm ，试求拉杆内的应力。 解：(1) 以刚体CAE 为研究对象 ∑=?-?+?= 035.15.4 0' P N N m C E A (2) 以刚体BDE 为研究对象 075.05.1 0=?-?=∑B E D N N m (3) 联立求解 kN N N N N N C E E C B 6 ' =∴== N =7.5kN
材料力学之拉伸、压缩与剪切
.word 版. 第二章 拉伸、压缩与剪切 2-1 求图示各杆指定截面的轴力，并作轴力图。 2-2图示杆的横截面面积为A ，弹性模量为E 。作轴力图，并求杆的最大正应力及伸长。 N(x)=x l P 21l l l ?+?=? =?+l 0lEA Pxdx EA 2Pl =EA Pl .
2-3 图示一正方形截面的阶梯形混凝土柱。设重力加速度g=9.8m/s2, 混凝土的密度为3 3m / kg 10 04 .2? = ρ，P=100kN，许用应力[]MPa 2 = σ。试根据强度条件选择截面宽度a 和b。 选a： 6 2 2 3 3 10 2 a 4 a8.9 10 04 .2 10 100 ? = ? ? ? + ? a=0.2283m. 选b: 6 2 2 3 2 3 3 10 2 b b8.9 10 04 .2 4 2283 .0 8.9 10 04 .2 4 10 100 3 ? = ? ? ? + ? ? ? ? + ? ? b=0.3980m. 2-4 图示一面积为100mm?200mm的矩形截面杆，受拉力P=20kN的作用，试求：（1） 6 π = θ 的斜截面m-m上的应力；（2）最大正应力 max σ和最大剪应力 max τ的大小及其作用面的方位角。 max 3 MPa 1 2.0 1.0 10 20 σ = = ? ? = σ MPa 75 .0 30 cos 1o 6 = ? = σ π MPa 433 .0 60 sin 2 1o 6 = = τ π MPa 5.0 1 2 1 45 max = ? = τ = τ.
.word 版. 2-5 在图示杆系中，AC 和BC 两杆的材料相同，且抗拉和抗压许用应力相等，同为[]σ。BC 杆保持水平，长度为l ，AC 杆的长度可随θ角的大小而变。为使杆系使用的材料最省，试求夹角θ的值。 ;sin P N 1θ - = θ=cot P N 2 材料最省时，两杆可同时达到许用应力 [];cot P A 1σθ= [] σθ= sin P A 2 结构的总体积为 []??? ? ??θθθ+?σ=+=cos sin cos 1Pl l A l A V 22211 0d dV =θ 0cos 2sin 22=θ-θ ∴ o 73.54=θ. 2-6 图示一三角架，在结点A 受P 力作用。设AB 为圆截面钢杆，直径为d ，杆长为l 1,AC 为空心圆管，截面面积为A 2,杆长为l 2，已知：材料的许用应力[]MPa 160＝σ,P=10kN,d=10mm,A 2=26m 1050-?,l 1=2.5m,l 2=1.5m 。试作强度校核。 ;kN 5.12N 1= kN 5.7N 2= []MPa 160MPa 15901.04 105.1223AB =σ<=?π ?=σ []σ<=??=σ-MPa 15010 50105.763AC 满足强度要求。
材料力学2-第二章 拉伸、压缩及剪切
第二章拉伸、压缩与剪切 §2－1 拉伸与压缩的概念 等直杆的两端作用一对大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的力，这种变形叫轴向拉伸或压缩。 一、工程实例 悬索桥，其拉杆为典型受拉杆件；桁架，其杆件受拉或受压。 二、受力特点 杆件受到的外力或其合力的作用线沿杆件轴线。 三、变形特点 发生轴线方向的伸长或缩短。 §2－2 拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 一、轴力 （1）对于轴向拉伸（压缩）杆件，用截面法求横截面m-m上的内力。 （2）轴力正负规定：拉力为正（方向背离杆件截面）；压力为负（方向指向杆件截面）。 二、轴力图 （1）轴力图：轴力沿轴线方向变化的图形，横坐标表示横截面位置，纵坐标表示轴力的大小和方向。
（2）轴力图作用：通过它可以快速而准确地判断出最大内力值及其作用截面所在位置，这样的截面称为危险截面。轴向拉（压）变形中的内力图称为轴力图，表示轴力沿杆件轴线方向变化的情况。 （3）作下图所示杆件的轴力图 三、横截面上的应力 （1）平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线，只是各横截面间发生沿杆轴的相对平移。 通过对称性原理，平面假设可得以证明。 （2）由平面假设可得，两截面间所有纵向纤维变形相同，且横截面上有正应力无切应力。 （3）由材料的均匀连续性假设，可知所有纵向纤维的力学性能相同。所以，轴向拉压时，横截面上只有正应力，且均匀分布。 即 N A F dA A σσ==? A N F = σ ， （2-1） 为拉（压）杆横截面上的正应力计算公式。正应力的正负号与轴力正负号相同，拉应力为正，压应力为负。
当轴力与横截面的尺寸沿轴线变化时，只要变化缓慢，外力与轴线重合，外力与轴线重合，如左图，式（2-1）也可使用。 这时某一横截面上的正应力为 ()() x A x x N F = ）（σ （2-2） 例题 一等直杆受力情况如图a 所示，试作杆的轴力图。 解：（1）先求约束力 直杆受力如图b 所示，由杆的平衡方程0F =∑x 得 ()k N k N RA F =+-=50104020 （2）求杆中各段轴力 AB 段：沿任意截面1-1将杆截开，取左段为研究对象，1-1截面上的轴力 为N1F ，设N1F 为正，由左段的平衡方程0F =∑x 得： σ ()x σ
材料力学之拉伸、压缩与剪切
第二章 拉伸、压缩与剪切 2-1 求图示各杆指定截面的轴力，并作轴力图。 2-2图示杆的横截面面积为A ，弹性模量为E 。作轴力图，并求杆的最大正应力及伸长。 N(x)=x l P 21l l l ?+?=? = ?+l 0lEA Pxdx EA 2Pl = EA Pl .
2-3 图示一正方形截面的阶梯形混凝土柱。设重力加速度g=9.8m/s2, 混凝土的密度为3 3m / kg 10 04 .2? = ρ，P=100kN，许用应力[]MPa 2 = σ。试根据强度条件选择截面宽度a 和b。 选a： 6 2 2 3 3 10 2 a 4 a8.9 10 04 .2 10 100 ? = ? ? ? + ? a=0.2283m. 选b: 6 2 2 3 2 3 3 10 2 b b8.9 10 04 .2 4 2283 .0 8.9 10 04 .2 4 10 100 3 ? = ? ? ? + ? ? ? ? + ? ? b=0.3980m. 2-4 图示一面积为100mm?200mm的矩形截面杆，受拉力P=20kN的作用，试求： （1） 6 π = θ的斜截面m-m上的应力；（2）最大正应力 max σ和最大剪应力 max τ的大小及其作用面的方位角。 max 3 MPa 1 2.0 1.0 10 20 σ = = ? ? = σ MPa 75 .0 30 cos 1o 6 = ? = σ π MPa 433 .0 60 sin 2 1o 6 = = τ π MPa 5.0 1 2 1 45 max = ? = τ = τ.
2-5 在图示杆系中，AC 和BC 两杆的材料相同，且抗拉和抗压许用应力相等，同为[]σ。BC 杆保持水平，长度为l ，AC 杆的长度可随θ角的大小而变。为使杆系使用的材料最省，试求夹角θ的值。 ;sin P N 1θ-= θ=cot P N 2 材料最省时，两杆可同时达到许用应力 [];cot P A 1σθ= [] σθ=sin P A 2 结构的总体积为 []??? ? ??θθθ+?σ=+=cos sin cos 1Pl l A l A V 22211 0d dV =θ 0cos 2sin 22=θ-θ ∴ o 73.54=θ. 2-6 图示一三角架，在结点A 受P 力作用。设AB 为圆截面钢杆，直径为d ，杆长为l 1,AC 为空心圆管，截面面积为A 2,杆长为l 2，已知：材料的许用应力[]MPa 160＝σ,P=10kN,d=10mm,A 2=26m 1050-?,l 1=2.5m,l 2=1.5m 。试作强度校核。 ;kN 5.12N 1= kN 5.7N 2= []MPa 160MPa 15901.04 105.1223AB =σ<=?π?=σ []σ<=??=σ-MPa 15010 50105.763AC 满足强度要求。