线面垂直经典例题及练习题-

创作编号：

GB8878185555334563BT9125XW

创作者： 凤呜大王*

立体几何

1．P 点在则ABC ?所在的平面外，O 点是P 点在平面ABC 内的射影 ，PA 、PB 、

PC 两两垂直，则D

点是则ABC ? （ B ）

(A)重心 (B) 垂心 (C)内心 (D)外心

2．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是 （ A ）

(A)都平行 (B) 都相交 (C) 在两个平面内 (D)至少与其中一个平行

3．若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两平面的位置关系是（ A ）

(A)平行 (B) 相交 (C)平行或相交 (D)垂直 4．在空间，下述命题正确的是 （ B ）

(A)若直线//a 平面M ，直线b a ⊥，则直线⊥b 平面M (B)若平面M //平面N ，则平面M 内任意直线a //平面N

(C)若平面M 与N 的交线为a ，平面M 内的直线a b ⊥，则N b ⊥ (D)若平面N 的两条直线都平行平面M ，则平面N //平面M

5．a 、b 表示两条直线，α、β、γ表示三个平面，下列命题中错误的是 （A ） (A),,αα??b a 且ββ//,//b a ，则βα// (B)a 、b 是异面直线，则存在唯一的平面

与

a

、

b

等距 (C)

,

,,b a b a ⊥?⊥βα则

βα//

(D),,,//,βαβγγα⊥⊥⊥b a 则b a ⊥

6.直线l //平面α，αβ⊥，则l 与平面β的位置关系是 （ D ）

(A) l β? (B) //l β (C) l β与相交 (D ) 以上三种情况均有可能

7．已知直线l ⊥平面α，直线m ?平面β，有以下四个命题：①//l m αβ?⊥②

//l m αβ⊥?③//l m αβ?⊥④//l m αβ⊥?，其中正确的是（D ）

(A) ①② (B) ②④ (C) ③④ (D) ①③

8．αβγδ，，，是四个不同的平面，且αγβγαδβδ⊥⊥⊥⊥，，，，则（ B ） (A) ////αβγδ或 (B) ////αβγδ且

(C) 四个平面中可能任意两个都不平行 (D) 四个平面中至多有一对平面平行

9．已知平面α和平面β相交，a 是α内的一条直线，则（ D ）

(A) 在β内一定存在与a 平行的直线 (B) 在β内一定存在与a 垂直的直线

(C) 在β内一定不存在与a 平行的直线 (D) 在β内一定不存在与a 垂直的直线

10．已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，垂足为A ，连PB PC PD AC BD ，，、，，则互相垂直的平面有（ C ）

(A) 5对 (B) 6对 (C) 7对 (D) 8对

12. 如图9-29，P A ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点． 求证：MN ⊥AB ．

13. 已知：如图，AS ⊥平面SBC ，SO ⊥平面ABC 于O ， 求证：AO ⊥BC ．

15. 已知如图，P ?平面ABC ，PA=PB=PC ，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC ⊥平面PBC

16. 如图：在斜边为AB 的R t △ABC 中，过点A 作PA ⊥平面ABC ，AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F ，（１）求证：BC ⊥平面PAC ；（２）求证：PB ⊥平面AEF.

17. 如图：PA ⊥平面PBC ，AB ＝AC ，M 是BC 的中点，求证：BC ⊥PM.

如图，在正三棱柱111C B A ABC -.中，底面ABC 为正三角形，M 、N 、G 分别是棱CC 1、AB 、BC 的

中点．且AC CC 21=

.

（Ⅰ）求证：CN //平面 AMB 1； （Ⅱ）求证：平面AMG .

创作编号：

GB8878185555334563BT9125XW

创作者： 凤呜大王*

C

F

E

P

B

A

C B

M

P

线面垂直与面面垂直典型例题

线面垂直与面面垂直 基础要点 1、若直线αβ所成的角相等，则平面αβ B ） A 、//αβ B 、α不一定平行于β C 、α不平行于β D 、以上结论都不正确 2、在斜三棱柱111ABC A B C -,90BAC ∠=,又1BC AC ⊥,过1C 作1C H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则H 一定在（ B ） A 、直线AC 上 B 、直线AB 上 C 、直线BC 上 D 、△ABC 的内部 3、如图示，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与两平面,αβ所成的角分别为4π和6 π ，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为,A B ''，则:AB A B ''=（ A ） A 、2:1 B 、3:1 C 、3:2 D 、4:3 4、如图示，直三棱柱11ABB DCC -中，190,4ABB AB ∠==, 12,1BC CC ==DC 上有一动点P ，则△1APC 周长的最小值是 5.已知长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB A A , 若棱AB 上存在点P ，使得PC P D ⊥1,则棱AD 长 的取值范围是 。 题型一：直线、平面垂直的应用 1.（2014，江苏卷）如图，在三棱锥P-ABC 中，D ，E ，F 分别为 PC ，AC ，AB 的中点. 已知,685PA AC PA BC DF ⊥===，，. 求证：(1) PA DEF 平面；(2) BDE ABC ⊥平面平面 . 证明： (1) 因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点， 所以DE ∥PA. 又因为PA ? 平面DEF ，DE ?平面DEF ， 所以直线PA ∥平面DEF. (2) 因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，PA ＝6，BC ＝8，所以DE ∥PA ，DE ＝ 12PA ＝3，EF ＝1 2 BC ＝4. 又因 DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF ＝90°，即DE 丄EF. 又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC. 因为AC∩EF ＝E ，AC ?平面ABC ，EF ?平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC. 线面垂直 线线垂直 面面垂直 B` A` B A α β A B C D 1 B 1 C B 1 1 D A D B A

线面垂直经典例题及练习题-.

立体几何 1．P 点在则ABC ?所在的平面外，O 点是P 点在平面ABC 内的射影 ，PA 、PB 、PC 两 两垂直，则D 点是则ABC ? （ B ） (A)重心 (B) 垂心 (C)内心 (D)外心 2．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是 （ A ） (A)都平行 (B) 都相交 (C) 在两个平面内 (D)至少与其中一个平行 3．若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两平面的位置关系是（ A ） (A)平行 (B) 相交 (C)平行或相交 (D)垂直 4．在空间，下述命题正确的是 （ B ） (A)若直线//a 平面M ，直线b a ⊥，则直线⊥b 平面M (B)若平面M //平面N ，则平面M 内任意直线a //平面N (C)若平面M 与N 的交线为a ，平面M 内的直线a b ⊥，则N b ⊥ (D)若平面N 的两条直线都平行平面M ，则平面N //平面M 5．a 、b 表示两条直线，α、β、γ表示三个平面，下列命题中错误的是 （A ） (A),,αα??b a 且ββ//,//b a ，则βα// (B)a 、b 是异面直线，则存在唯一的平面与a 、 b 等距 (C) ,,,b a b a ⊥?⊥βα则βα// (D),,,//,βαβγγα⊥⊥⊥b a 则b a ⊥ 6.直线l //平面α，αβ⊥，则l 与平面β的位置关系是 （ D ） (A) l β? (B) //l β (C) l β与相交 (D ) 以上三种情况均有可能 7．已知直线l ⊥平面α，直线m ?平面β，有以下四个命题：①//l m αβ?⊥② //l m αβ⊥?③//l m αβ?⊥④//l m αβ⊥?，其中正确的是（D ） (A) ①② (B) ②④ (C) ③④ (D) ①③ 8．αβγδ，，，是四个不同的平面，且αγβγαδβδ⊥⊥⊥⊥，，，，则（ B ） (A) ////αβγδ或 (B) ////αβγδ且 (C) 四个平面中可能任意两个都不平行 (D) 四个平面中至多有一对平面平行 9．已知平面α和平面β相交，a 是α内的一条直线，则（ D ） (A) 在β内一定存在与a 平行的直线 (B) 在β内一定存在与a 垂直的直线 (C) 在β内一定不存在与a 平行的直线 (D) 在β内一定不存在与a 垂直的直线 10．已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，垂足为A ，连PB PC PD AC BD ，，、，，则互 相垂直的平面有（ C ） (A) 5对 (B) 6对 (C) 7对 (D) 8对

直线与平面垂直的典型例题

直线与平面垂直的典型例题 例1 判断题：正确的在括号内打“√”号，不正确的打“×”号． (1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．（ ） (2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．（ ） (3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．（ ） (4)过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于α的平面内．（ ） (5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．（ ） 例2 在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是1BB 的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：⊥OE 平面1ACD 例3 如图，在△ABC 中， 90=∠B ，⊥SA 平面ABC ，点A 在SB 和SC 上的射影分别为N M 、，求证：SC MN ⊥

例4如图，AB 为平面α的斜线，B 为斜足，AH 垂直平面α于H 点，BC 为平面α内的直线，θ=∠ABH ，α=∠HBC ，β=∠ABC ，求证：θαβcos cos cos ?= 例5如图，已知正方形ABCD 边长为4，⊥CG 平面ABCD ，2=CG ，F E 、分别是AD AB 、中点，求点B 到平面GEF 的距离 例6 如图所示，直角ABC ?所在平面外一点S ，且SC SB SA ==． (1)求证：点S 与斜边AC 中点D 的连线SD ⊥面ABC ； (2)若直角边BC BA =，求证：BD ⊥面SAC ．

例7如图所示，?=∠90BAC ．在平面α内，PA 是α的斜线，?=∠=∠60PAC PAB ．求PA 与平面α所成的角． 例8如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：SB AE ⊥，SD AG ⊥． 例9 如图，求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上．

高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结

线面角的求法 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 B M H S C A 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 23 B A D 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1 =V A ﹣BB 1C 1 ∴1／3 S △AB 1C 1 ·h= 1／3 S △BB 1C 1 ·AB，易得h=12／5 ，

线面垂直--经典练习题(精选.)

1.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90BCD ∠=?，AB CD ∥，又1AB BC PC ===，2PB =，2CD =，AB PC ⊥． (Ⅰ)求证：PC ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求PA 与平面ABCD 所成角的大小； (Ⅲ)求二面角B PD C --的大小． 2.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，且AB CD ∥，90BAD ∠=?，2PA AD DC ===，4AB =． (Ⅰ)求证：BC PC ⊥； (Ⅱ)求PB 与平面PAC 所成角的正弦值； (Ⅲ)求点A 到平面PBC 的距离． 3.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB CD ∥，1AB AD ==，12D D CD ==，AB AD ⊥． （Ⅰ）求证：BC ⊥平面1D DB ； （Ⅱ）求1D B 与平面11D DCC 所成角的大小．

9.如图，在三棱锥P －ABC 中，△PAC 和△PBC 是边长为2的等边三角形，AB ＝2，O 是AB 中点． (1)在棱PA 上求一点M ，使得OM ∥平面PBC ； (2)求证：平面PAB ⊥平面ABC . 10.如图所示,三棱锥V -ABC 中,AH ⊥侧面VBC ,且H 是△VBC 的垂心，BE 是VC 边上的高. 求证:VC ⊥AB ; 11.如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，1AB BB =，1AC ⊥平面D BD A ,1为AC 的中点． （1）求证：//1C B 平面BD A 1； （2）求证：⊥11C B 平面11A ABB ； 提示：11A C 中点和1B A 连 D A C B S E F G A 1 B 1 C 1 A B C D

实用文档之线面垂直经典例题及练习题-

实用文档之" 立体几何" 1．P 点在则ABC ?所在的平面外，O 点是P 点在平面ABC 内的射影 ，PA 、 PB 、PC 两两垂直，则D 点是则ABC ? （ B ） (A)重心 (B) 垂心 (C)内心 (D)外心 2．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是 （ A ） (A)都平行 (B) 都相交 (C) 在两个平面内 (D)至少与其中一个平行 3．若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两平面的位置 关系是（ A ） (A)平行 (B) 相交 (C)平行或相交 (D)垂直 4．在空间，下述命题正确的是 （ B ） (A)若直线//a 平面M ，直线b a ⊥，则直线⊥b 平面M (B)若平面M //平面N ，则平面M 内任意直线a //平面N (C)若平面M 与N 的交线为a ，平面M 内的直线a b ⊥，则N b ⊥ (D)若平面N 的两条直线都平行平面M ，则平面N //平面M 5．a 、b 表示两条直线，α、β、γ表示三个平面， 下列命题中错误的是 （A ） (A),,αα??b a 且ββ//,//b a ，则βα// (B)a 、b 是异面直线，则存在唯 一的平面与a 、b 等距 (C) ,,,b a b a ⊥?⊥βα则βα// (D),,,//,βαβγγα⊥⊥⊥b a 则b a ⊥ 6.直线l //平面α，αβ⊥，则l 与平面β的位置关系是 （ D ） (A) l β? (B) //l β (C) l β与相交 (D ) 以上三种情况 均有可能 7．已知直线l ⊥平面α，直线m ?平面β，有以下四个命题：①//l m αβ?⊥②//l m αβ⊥?③//l m αβ?⊥④//l m αβ⊥?，其中正确的是（D ） (A) ①② (B) ②④ (C) ③④ (D) ①③ 8．αβγδ，，，是四个不同的平面，且αγβγαδβδ⊥⊥⊥⊥，，，，则 （ B ）

线面垂直面面垂直知识点总结经典例题及解析高考题练习及答案第次补课

直线、平面垂直的判定与性质 【知识梳理】 一、直线与平面垂直的判定与性质 1、 直线与平面垂直 （1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。 （2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作.//a b b a αα? ?⊥?⊥? （3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。即,//a b a b αα⊥⊥?. 由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。 2、 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角或者直角叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是0 0的角。 3、 二面角的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。如果记棱为l ，那么两个面分别为αβ、的二面角记作l αβ--.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。其作用是衡量二面角的大小；范围：0 0180θ≤≤. 二、平面与平面垂直的判定与性质 1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 2、判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。简述为“线面垂直，则面面垂直”，记作 l l βαβα⊥? ?⊥??? . 3、性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，记作l m m m l αβαββα⊥??=? ?⊥??? ?⊥? I . 【经典例题】 【例1】（2012浙江文）设l 是直线,a,β是两个不同的平面 （ ） A ．若l ∥a,l ∥β,则a ∥β B ．若l ∥a,l ⊥β,则a ⊥β C ．若a ⊥β,l ⊥a,则l ⊥β D ．若a ⊥β, l ∥a,则l ⊥β 【答案】B

线面垂直、面面垂直的知识点地总结、经典例的题目及解析汇报、高考的题目练习及问题详解

直线、平面垂直的判定与性质 【考纲说明】 1、能够认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理。 2、能够运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。 【知识梳理】 一、直线与平面垂直的判定与性质 1、 直线与平面垂直 （1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。 （2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作.//a b b a αα? ?⊥?⊥? （3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。即,//a b a b αα⊥⊥?. 由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。 2、 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是0 0的角。 3、 二面角的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。如果记棱为l ，那么两个面分别为αβ、的二面角记作l αβ--.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。其作用是衡量二面角的大

小；范围：0 0180θ<<. 二、平面与平面垂直的判定与性质 1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 2、判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。简述为“线面垂直，则面面垂直”，记作 l l βαβα⊥? ?⊥??? . 3、性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，记作l m m m l αβαββα⊥??=? ?⊥??? ?⊥? I . 【经典例题】 【例1】（2012浙江文）设l 是直线,a,β是两个不同的平面 （ ） A ．若l ∥a,l ∥β,则a∥β B ．若l ∥a,l ⊥β,则a⊥β C ．若a⊥β,l ⊥a,则l ⊥β D ．若a⊥β, l ∥a,则l ⊥β 【答案】B 【解析】利用排除法可得选项B 是正确的,∵l ∥a,l ⊥β,则a⊥β.如选项A:l ∥a,l ∥β时, a⊥β或a∥β;选项C:若a⊥β,l ⊥a,l ∥β或l β?;选项D:若若a⊥β, l ⊥a,l ∥β或l ⊥β. 【例2】（2012四川文）下列命题正确的是 （ ） A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【答案】C

线面垂直与面面垂直典型例题

线面垂直与面面垂直 基础要点 1、若直线a 与平面,αβ所成的角相等，则平面α与β的位置关系是（ B ） A 、//αβ B 、α不一定平行于β C 、α不平行于β D 、以上结论都不正确 2、在斜三棱柱111ABC A B C -,90BAC ∠=,又1BC AC ⊥,过1C 作1C H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则H 一定在（ B ） A 、直线AC 上 B 、直线AB 上 C 、直线BC 上 D 、△ABC 的内部 3、如图示，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与两平面,αβ所成的角分别为4π和6 π，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为,A B ''，则:AB A B ''=（ A ） A 、2:1 B 、3:1 C 、3:2 D 、4:3 4、如图示，直三棱柱11ABB DCC -中，190,4ABB AB ∠==, 12,1BC CC ==DC 上有一动点P ，则△1APC 周长的最小值是 5.已知长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB A A , 若棱AB 上存在点P ，使得PC P D ⊥1,则棱AD 长 的取值范围是 。 题型一：直线、平面垂直的应用 1.（2014，江苏卷）如图，在三棱锥P-ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点. 已知,685PA AC PA BC DF ⊥===，，. 求证：(1) PA DEF 平面错误！未找到引用源。；(2) BDE ABC ⊥平面平面 错误！未找到引用源。. 线面垂直 线线垂直 面面垂直 B` A` B A α β A B C D 1 B 1 C B 1 C 1 D 1 A 1 D C B A

线段的垂直平分线经典习题及答(精.选)

线段的垂直平分线 一、选择题（共8小题） 1、如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于的2 1 AB 的长为半径画孤，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ， 交BC 于点D ，连接AD ．若△ADC 的周长为10，AB=7，则△ABC 的周长为（ ） A 、7 B 、 14 C 、17 D 、20 第1题 第2题 第3题 2、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC ，ED 垂直平分AB 于D ．若AC=9，则AE 的值是（ ） A 、6 B 、4 C 、6 D 、4 3、如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA=5，则线段PB 的长度为（ ） A 、6 B 、5 C 、4 D 、3 4、如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=20°．线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于（ ） A 、80° B 、70° C 、60° D 、50° 第4题 第 5题 第6题 5、如图，直线CP 是AB 的中垂线且交AB 于P ，其中AP=2CP ．甲、乙两人想在AB 上取两点D 、E ，使得AD=DC=CE=EB ，其作法如下： （甲）作∠ACP 、∠BCP 之角平分线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求； （乙）作AC 、BC 之中垂线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（ ） A 、两人都正确 B 、两人都错误 C 、甲正确，乙错误 D 、甲错误，乙正确 6、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°．AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交BC 于点E ，则下列结论不正确的是（ ） A 、AE=BE B 、AC=BE C 、CE=DE D 、∠CAE=∠B 7、如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A 、△ABC 的三条中线的交点 B 、△AB C 三边的中垂线的交点 C 、△ABC 三条角平分线的交点 D 、△ABC 三条高所在直线的交点 第7题 第8题 8、如图，AC=AD ，BC=BD ，则有（ ） A 、A B 垂直平分CD B 、CD 垂直平分AB C 、AB 与C D 互相垂直平分 D 、CD 平分∠ACB

基础练习：线面垂直经典例题及练习题

线面垂直经典练习 1．P 点在则ABC ?所在的平面外，O 点是P 点在平面ABC 内的射影 ，PA 、PB 、PC 两两垂直，则D 点是则ABC ? （ ） (A)重心 (B) 垂心 (C)内心 (D)外心 2．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是 （ ） (A)都平行 (B) 都相交 (C) 在两个平面内 (D)至少与其中一个平行 3．若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两平面的位置关系是（ ） (A)平行 (B) 相交 (C)平行或相交 (D)垂直 4．在空间，下述命题正确的是 （ ） (A)若直线//a 平面M ，直线b a ⊥，则直线⊥b 平面M (B)若平面M //平面N ，则平面M 内任意直线a //平面N (C)若平面M 与N 的交线为a ，平面M 内的直线a b ⊥，则N b ⊥ (D)若平面N 的两条直线都平行平面M ，则平面N //平面M 5．a 、b 表示两条直线，α、β、γ表示三个平面，下列命题中错误的是 （ ） (A),,αα??b a 且ββ//,//b a ，则βα// (B)a 、b 是异面直线，则存在唯一的平面与a 、b 等距 (C) ,,,b a b a ⊥?⊥βα则βα// (D),,,//,βαβγγα⊥⊥⊥b a 则b a ⊥ 6.直线l //平面α，αβ⊥，则l 与平面β的位置关系是 （ ） (A) l β? (B) //l β (C) l β与相交 (D ) 以上三种情况均有可能 7．已知直线l ⊥平面α，直线m ?平面β，有以下四个命题：①//l m αβ?⊥② //l m αβ⊥?③//l m αβ?⊥④//l m αβ⊥?，其中正确的是（ ） (A) ①② (B) ②④ (C) ③④ (D) ①③ 8．αβγδ，，，是四个不同的平面，且αγβγαδβδ⊥⊥⊥⊥，，，，则（ ） (A) ////αβγδ或 (B) ////αβγδ且 (C) 四个平面中可能任意两个都不平行 (D) 四个平面中至多有一对平面平行 9．已知平面α和平面β相交，a 是α内的一条直线，则（ ） (A) 在β内一定存在与a 平行的直线 (B) 在β内一定存在与a 垂直的直线 (C) 在β内一定不存在与a 平行的直线 (D) 在β内一定不存在与a 垂直的直线

线面垂直习题精选

线面垂直的证明中的找线技巧 ◆ 通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直 1 如图1，在正方体1111ABCD A B C D - 中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD ． 证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥ 1A A ，DB ⊥AC ，1A A AC A =， ∴DB ⊥平面 11A ACC ，而1 AO ?平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ． 设正方体棱长为a ，则22132A O a =，2 234MO a =． 在Rt △11A C M 中，2 21 94 A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1AO OM ⊥． ∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ． 评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明． ◆ 利用面面垂直寻求线面垂直 2 如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面PAC ． 证明：在平面PAC 内作AD ⊥PC 交PC 于D ． 因为平面PAC ⊥平面PBC ，且两平面交于PC ， AD ?平面PAC ，且AD ⊥PC ， 由面面垂直的性质，得AD ⊥平面PBC ． 又∵BC ?平面PBC ， ∴ AD ⊥BC ． ∵PA ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，∴PA ⊥BC ． ∵AD ∩PA =A ，∴BC ⊥平面PAC ． （另外还可证BC 分别与相交直线AD ，AC 垂直，从而得到BC ⊥平面PAC ）． 评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直?线面垂直?线线垂直． 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直???→←???判定性质 线面垂直???→←??? 判定性质 面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明 问题．下面举例说明． 3 如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过 A 且垂直于SC 的平面分别交S B S C S D ，，于 E F G ，，．求证：AE SB ⊥， AG SD ⊥． 证明：∵SA ⊥平面ABCD ， ∴SA BC ⊥．∵AB BC ⊥，∴BC ⊥平面SAB ．又∵AE ?平面SAB ，∴BC AE ⊥．∵SC ⊥平面AEFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面SBC ．∴AE SB ⊥．同理可证AG SD ⊥． 评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化． 4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ， 作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ． 证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC BC =，∴CF AB ⊥． ∵AD BD =，∴DF AB ⊥． 又CF DF F =，∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ?平面CDF ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE AB B =， ∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥． ∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E =， ∴ AH ⊥平面BCD ．

线面垂直、面面垂直知识点总结、经典例题及解析、高考题练习及答案(第4次补课)

直线、平面垂直的判定与性质 二、平面与平面垂直的判定与性质 1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直 【知识梳理】 一、直线与平面垂直的判定与性质 1、直线与平面垂直 (1)定义：如果直线|与平面a 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 叫做 平面a 的垂线，平面 a 叫做直线I 的垂面。如图，直线与平面垂直时 I 与平面a 互相垂直，记作|丄a 直线| ，它 们唯一公共点 (2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 P 叫做垂足。 结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作 a//b (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。即 a ,b a / /b 由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。 2、直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角或者直角叫做这条直线和这个平面所成的 角。 一条直线垂直于 平面，该直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是 00的角。 3、 二面角的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱， 这两个半平面叫做二面角 的面。如果记棱为I ，那么两个面分别为 的二面角记作 I ?在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足, 在两个半平面内分别作垂直于棱的射线， 则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。 其作用是衡量二面角的大 小；范围：00 1800 . 2、判定：一个平面过另一个平面的垂线， 则这两个平面垂直。简述为 线面垂直, 则面面垂直 I ”，记作 | 3、性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，记作 I I m m m I 【经典例题】 【例1】(2012浙江文) 设I 是直线,a,是两个不同的平面 A .若 I // a,I // B 则 a// 3 C .若a 丄3I 丄a 则I 丄3 B .若I // a,I 丄3则a 丄3 D .若a 丄3 , I // a,则I 丄

线线垂直、线面垂直、面面垂直的习题及答案

线线垂直、线面垂直、面面垂直部分习及答案 1．在四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形． (1)求证：BC ⊥AD ； 2如图，在三棱锥S —ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ． （1）求证：AB ⊥BC ； 3.如图，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 为AB 的中点，且PA=AB ． （1）求证：平面PCE ⊥平面PCD ；（2）求点A 到平面PCE 的距离． 4. 如图2-4-2所示，三棱锥S —ABC 中，SB=AB ，SC=AC ，作AD ⊥BC 于D ，SH ⊥AD 于H ， 求证：SH ⊥平面ABC. (第1题)

5. 如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC. 6. 证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D A C 7. 如图所示，直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=1，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M. 求证：CD⊥平面BDM.

8.在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD， 作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD． 9. 如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平 面BSC． 10.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB． (1)求证：平面EDB⊥平面EBC； (2)求二面角E－DB－C的正切值. 11：已知直线PA垂直于圆O所在的平面，A为垂足，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。求证：平面PAC 平面PBC。

必修二立体几何典型例题

必修二立体几何典型例题 【知识要点】 1．空间直线和平面的位置关系： (1)空间两条直线： ①有公共点：相交，记作：a∩b＝A，其中特殊位置关系：两直线垂直相交． ②无公共点：平行或异面． 平行，记作：a∥b． 异面中特殊位置关系：异面垂直． (2)空间直线与平面： ①有公共点：直线在平面内或直线与平面相交． 直线在平面内，记作：a?α ． 直线与平面相交，记作：a∩α ＝A，其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交． ②无公共点：直线与平面平行，记作：a∥α ． (3)空间两个平面： ①有公共点：相交，记作：α ∩β ＝l，其中特殊位置关系：两平面垂直相交． ②无公共点：平行，记作：α ∥β ． 2．空间作为推理依据的公理和定理： (1)四个公理与等角定理： 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． (2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理： ①判定定理： 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行． 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行． 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． ②性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行． 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．垂直于同一个平面的两条直线平行． 如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直． (3)我们把上述判定定理与性质定理进行整理，得到下面的位置关系图： 【例题分析】

直线与平面的平行垂直判定经典例题

、教学目标 1. 巩固直线与平面的平行、垂直判定 二、上课容 1、回顾上节课容 2、直线与平面的平行、垂直判定知识点回顾 3、经典例题讲解 4、课堂练习 三、课后作业 见课后练习 一、上节课知识点回顾 1. 平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面. 2. 直线与直线的位置关系 (1) 位置关系的分类 平行共面直线相交 异面直线：不同在任何一个平面内 3. 直线与平面平行的判定与性质

4.面面平行的判定与性质 二、直线与平面平行、垂直的判定知识点回顾 1. 直线与平面垂直 (1) 判定直线和平面垂直的方法 ①定义法. ②利用判定定理：一条直线和一个平面的两条相交直线都垂直，则该直线和此 平面垂直. ③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也

垂直这个平面. (2 )直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平— ③垂直于同一条直线的两平面平行. 2. 斜线和平面所成的角 斜线和它在平面的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角. 3. 平面与平面垂直 (1) 平面与平面垂直的判定方法 ①定义法. ②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线这两个平面垂直. (2 )平面与平面垂直的性质 两平面垂直，则一个平面垂直于交线的直线垂直于另一个平面. 4. 二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2) 二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面分别作与棱垂直的射线, 则 两射线所成的角叫做二面角的平面角. ［难点正本疑点清源］ 1. 两个平面垂直的性质定理 两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和a垂直的平面B,设pn a= l, 在p作直线a丄l，贝y a丄a

线面垂直及面面垂直典型例题

线面垂直与面面垂直 基础要点 1、若直线αβαβ( B ) A 、//αβ B 、α不一定平行于β C 、α不平行于β D 、以上结论都不正确 2、在斜三棱柱111ABC A B C -,90BAC ∠=o ,又1BC AC ⊥,过1C 作1C H ⊥底面ABC ,垂足为 H ,则H 一定在( B ) A 、直线AC 上 B 、直线AB 上 C 、直线BC 上 D 、△ABC 的内部 3、如图示,平面α⊥平面β,,,A B AB αβ∈∈与两平面,αβ所成的角分别为4π与6 π ,过A 、B 分别作两平面交线的垂线,垂足为,A B '',则:AB A B ''=( A ) A 、2:1 B 、3:1 C 、3:2 D 、4:3 4、如图示,直三棱柱11ABB DCC -中,190,4ABB AB ∠==o , 12,1BC CC ==DC 上有一动点P ,则△1APC 周长的最小值就是 5、已知长方体1111D C B A ABCD -中,21==AB A A , 若棱AB 上存在点P,使得PC P D ⊥1,则棱AD 长 的取值范围就是 。 题型一:直线、平面垂直的应用 1、(2014,江苏卷)如图,在三棱锥P-ABC 中,D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点、 已知,685PA AC PA BC DF ⊥===，，、 求证:(1) PA DEF P 平面;(2) BDE ABC ⊥平面平面 、 证明: (1) 因为D,E 分别为棱PC,AC 的中点, 所以DE ∥PA 、 又因为PA ? 平面DEF,DE ?平面DEF, 所以直线PA ∥平面DEF 、 (2) 因为D,E,F 分别为棱PC,AC,AB 的中点,PA ＝6,BC ＝8,所以DE ∥PA,DE ＝ 12PA ＝3,EF ＝1 2 BC ＝4、 又因 DF ＝5,故DF 2＝DE 2＋EF 2, 所以∠DEF ＝90°,即DE 丄EF 、 又PA ⊥AC,DE ∥PA,所以DE ⊥AC 、 线面垂直 线线垂直 面面垂直 B` A`B A α β C D 1 B 1 C B 1 1 D A D B A

线面垂直与面面垂直垂直练习题

2.3线面垂直和面面垂直 线面垂直专题练习 一、定理填空： 1.直线和平面垂直 如果一条直线和 ，就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理 线面垂直判定定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理1：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么 判定定理2：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么 . 线面垂直性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行. 性质定理1：垂直于同一条直线的两个平面互相平行。 二、精选习题： 1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题： ①M b M a b a ⊥????⊥// ②b a M b M a //????⊥⊥ ③????⊥⊥b a M a b ∥M ④?? ??⊥b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是 ( ) A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 2.如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( ) A.DP ⊥平面PEF B.DM ⊥平面PEF C.PM ⊥平面DEF D.PF ⊥平面DEF 3.设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是 ( ) A.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交 B.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直 C.过a 一定可以作一个平面与b 垂直 D.过a 一定可以作一个平面与b 平行 4.如果直线l ,m 与平面α,β,γ满足:l =β∩γ,l ∥α,m ?α和m ⊥γ,那么必有 ( ) A.α⊥γ且l ⊥m B.α⊥γ且m ∥β C.m ∥β且l ⊥m D.α∥β且α⊥γ 5.有三个命题： ①垂直于同一个平面的两条直线平行； ②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直； ③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直 其中正确命题的个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.3 6.设l 、m 为直线，α为平面，且l ⊥α，给出下列命题 ① 若m ⊥α，则m ∥l ；②若m ⊥l ，则m ∥α；③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则m ⊥α， 第3题图

高中数学必修2立体几何专题线面垂直典型例题的判定和性质

线面垂直 ●知识点 1.直线和平面垂直定义 如果一条直线和一个平面的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理 判定定理：如果一条直线和一个平面的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面. 判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面. 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 3.三垂线定理和它的逆定理. 三垂线定理：在平面的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直. 逆定理：在平面的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直. ●题型示例 【例1】如图所示，已知点S是平面ABC外一点， ∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在直线SB和SC上的 射影分别为点E、F，求证：EF⊥SC. 【解前点津】用分析法寻找解决问题的途径，假设 EF⊥SC成立，结合AF⊥SC可推证SC⊥平面AEF，这样例1题图

SC⊥AE，结合AE⊥SB，可推证AE⊥平面SBC，因此证明 AE⊥平面SBC是解决本题的关键环节.由题设SA⊥平面ABC， ∠ABC=90°，可以推证BC⊥AE，结合AE⊥SB完成AE⊥平 面SBC的证明. 【规解答】 【解后归纳】题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键. 【例2】已知：M∩N=AB,PQ⊥M于Q，PO⊥N于O，OR⊥M于R，求证：QR⊥AB.

【解前点津】由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）a∥b,a⊥c?b⊥c;(2)a⊥α,b?α?a ⊥b;(3)三垂线定理及其逆定理. 由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行. 【解后归纳】处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”. 所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上. 所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，