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高等代数例题

第一章多项式

1．44P 2 （1）m 、p 、q 适合什么条件时，有231x mx x px q +-++

2．45P 7 设3

()(1)22f x x t x x u =++++，3

()g x x tx u =++的最大公因式是一个二次多项式，求t 、

u 的值。

3．45P 14 证明：如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x += 4．45P 18 求多项式3

x px q ++有重根的条件。

5．46P 24 证明：如果(1)()n x f x -，那么(1)()n n x f x -

6．46P 25 证明：如果23312(1)()()x x f x xf x +++，那么1(1)()x f x -，2(1)()x f x - 7．46P 26 求多项式1n

x -在复数域内和实数域内的因式分解。

8．46P 28 （4）多项式1p x px ++ （p 为奇素数）在有理数域上是否可约？

9．47P 1 设1()()()f x af x bg x =+，1()()()g x cf x dg x =+，且0ad bc -≠。求证：

11((),())((),())f x g x f x g x =。

10．48P 5 多项式()m x 称为多项式()f x ，()g x 的一个最小公倍式，如果（1）()()f x m x ，()()g x m x ；（2）()f x ，()g x 的任意一个公倍式都是()m x 的倍式。我们以[(),()]f x g x 表示首项系数为1的那个最

小公倍式。证明：如果()f x ，()g x 的首项系数都为1，那么()()

[(),()]((),())

f x

g x f x g x f x g x =

。

11．设 m 、n 为整数，2()1g x x x =++除33()2m

n f x x

x =+-所得余式为。

12．求证：如果()d x |()f x ，()d x |()g x ，且()d x 是()f x 与()g x 的一个组合，那么()d x 是()f x 与

()g x 的一个最大公因式。

13． 14

4141)g( , 21212321)(23423456

-+--=+--+--

=x x x x x x x x x x x x f 求())(),(x g x f 。

14．设22()(1)

21m

n f x x x x =+--- (m ,n 是正整数),2()g x x x =+ 。证：()g x |()f x 。

第二章行列式

1．96P 5 如果排列12

1n n x x x x -的逆序数为k ，排列121n n x x x x -的逆序数是多少？

2．97P 8 （3）

00100

200

000000n n

3．97P 10 按行列式的定义计算 212111()32

x x f x x

4．97P 12 设 2121

112

111

()1n n n n n n x x x a a a P x a a a ------=

，其中121,,,n a a a -是互不相同的数。

（1）由行列式的定义，说明()P x 是一个(1)n -次多项式；（2）由行列式性质，求()P x 的根。

5．98P 14 11

11111

1122

2b c

c a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++

6．99P 17 （5）1234211

100

200000000220

11n n n n n

n n

-------- 7．100P 18 （3）证明

001

00010

1n n αβ

αβαβ

αβαβαβ

αβ

++++-=

+-+，其中αβ≠

8．100P 18 （5）

12312

1111

111

11111

(1)1

11n

n i i

a a a a a a a a =+++=++∑

，其中120n a a a ≠。

9．设1α、2α、3α为三维列向量，三阶矩阵123()A ααα=的行列式A =5，则行列式

112123()()()αααααα+++ = 。

10．若四阶行列式D 的第二列的元素依次是1- ，2 ，0 ，1 ，它们的余子式分别为5 ，3 ，7- ,4 ，

则D = 。

11．若()f x =

123

2221222333324535

4435743

x x x x x x x x x x x x x

x x x ---------------，则()f x =0的根的个数为【】

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

12．计算行列式D n = 1231

231

n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a λ

λλλ

++++

13．求 D n +1 =

a a a a a a a a n

3211

0001000010

0001 的值。

14．计算n 阶行列式21000001

00012100000001210

n D -----=

---

第三章线性方程组

1．154P 7 （3）解线性方程组123

423412423

2344331733

x x x x x x x x x x x x x -+-=??-+=-?

++=??-++

=-?

2．155P 6 设123,,ααα线性无关，证明12αα+，23αα+，31αα+也线性无关。 3．155P 8 设12,,

,s ααα的秩为r ，12,,,r i i i ααα是12,,

,s ααα中的r 个向量，使得12,,,s ααα中

的每个向量都可以被它们线性表示，证明12,,,r i i i ααα是12,,

,s ααα的一个极大线性无关组。

4．156P 12 证明：如果向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表示，那么（Ⅰ）的秩不超过（Ⅱ）的秩。

5．157

P 19 （1） λ取什么值时下列线性方程组有解，并求解：1

2311

x x x x x x x x x λλλλλ++=??

??+

+=? 6．157

P 22 ,a b 取什么值时，线性方程组1234512

452

34512

132322635433x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x b

++=??++

-=??+++=??+++-=?

有解？在有解的情形，求一般解。

7．159P 1 设向量β可以经向量组12,,

,r ααα线性表示，证明：表示法唯一的充分必要条件是

12,,,r ααα 线性无关。

8．159P 4 已知两向量组有相同的秩，且其中之一可被另一个线性表示，证明：这两个向量组等价。

9．159

P 7 线性方程组111

1221211

22221,11

1,22

1,000

n n n n

n n n n n

a x a x a x a x a x a x a x a x a x ---+

=??+++

=????+

++=?

的系数矩阵为11

1212122

21,11,2

1,n n n n n n a a a a a a A a

a a ---??

= ? ? ???

设i M 是矩阵A 中划去第i 列剩下的(1)(1)n n -?-矩阵的行列式。（1）证明：112(,,

,(1))n n M M M ---是方程组的一个解；

（2）如果A 的秩为1n -，那么方程组的解全是112(,,

,(1))n n M M M ---的倍数。

10．求1α, 2α, 3α,4α 的一个极大线性无关组，并将其它向量用极大线性无关组线性表示： )4,3,2,0,1(1-=α ，)24,15,10,1,6(2-=α, )34,0,12,1,7(3-=α, )1,0,6,4,1(4--=α 11．设四()11,

2,0α=，2(1,2,3)a a α=+-，3(1,22)b a b α=---+，(1,3,3)β=-。

讨论a 、b 为何值时

（1） β不能由1α,2α,3α 线性表示；

（2） β可由1α,2α,3α 唯一地线性表示，并求出表示式；

（3） β可由1α,2α,3α 线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。

12．维向量,23201??????? ??-=α????

? ??--=32112α是非齐次线性方程组AX =B 的两个解，则导出组AX =0的一个非零解为。 13．设1α,2α,…，s α是齐次线性方程组0AX =的基础解系，向量β不是0AX =的解，

即0A β≠。证明：β，1βα+，2βα+，…，s βα+线性无关。 14．若12,,

,s γγγ是非齐次线性方程组AX β=（0β≠）的s 个解，则1122s s t t t γγγ++

+是AX β=

的解的充要条件是121s t t t +++=．

15．设整系数方程组

j i j a

x b ==∑，1,2,,i n =，对任何1b ，2b ，…，n b 均有整数解。

求证：方程组的系数矩阵()ij A a =可逆，且1A =±．

第四章矩阵

1．设A 为3阶矩阵，将A 的第1列与第2列交换得B ，再把B 的第2列加到第3列得C ，

则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为【】

(A) 010100101?? ? ? ??? (B) 010101001?? ? ? ??? (C) 010100011?? ? ? ??? (D) 011100001?? ? ? ???

2．设n （2n >）阶非奇异矩阵A 的伴随矩阵是A *

，则【】 (A) ()A **

n A

A - (B) ()A ** =1

n A

A + (C) ()A ** =2

n A

A - (D) ()A **

n A

A +

3．设n 阶矩阵A 与B 等价（即A 经初等变换可变为B ），则必须【】 (A) 当(0)A a a =≠时，B a = (B) 当(0)A a a =≠时，B a =- (C) 当0A ≠时，0B = (D) 当0A =时，0B =

4．设A 为三阶方阵,|A |a =；B 为二阶方阵,|B |b = (,a b 都不等于零),则

300

2A 等于【】

(A) 6ab - (B) 6ab (C) 72ab - (D) 72ab

5．设A 、B 分别为m n ?和n m ?矩阵，则【】 (A) 当m n >时，必有0AB ≠ (B) 当m n >时，必有0AB = (C) 当n m >时，必有0AB ≠ (D) 当n m >时，必有0AB =

6．设A 为对称矩阵，B 为反对称矩阵，则下列矩阵中为反对称矩阵的是【】

(A) BA AB - (B) 2

)(AB (C) BA AB + (D) BAB

7．设A 、B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵，则必有【】 (A) A 的列向量线性相关，B 的行向量线性相关 (B) A 的列向量线性相关，B 的列向量线性相关 (C) A 的行向量线性相关，B 的行向量线性相关 (D) A 的行向量线性相关，B 的列向量线性相关

8．设α为3维列向量，若111111111αα-??

?'=-- ? ?-??

，则αα'= 。 9．A =010100001-??

? ?-??

， P 为三阶可逆矩阵， 1B P AP -=，则201222B A -= 。

10．设A =201030102?? ? ? ???

，()f x =32

2744x x x -++ ，求()f A

11．设A 为4×3矩阵，102020103B ??

?= ? ?-??

，若()r A =2，则()r AB = 。

12．已知方阵A 满足 0322

=+-E A A ，则=+-1

)

2(E A 。

13．设E 为n 阶单位矩阵，求2n 阶矩阵E

E A E E ??=

?-??

的逆矩阵1

A -。 14．设A 、

B 分别是s n ?和n m ?矩阵，若0AB =，求证()()r A r B n +≤。 15．设n （2n ≥）阶矩阵A 的伴随矩阵是A *

，求证：1

n A A

=。

16．设n （2n ≥）阶矩阵A 的伴随矩阵是A *

，求证：()()1

()10()1

n r A n r A r A n r A n *=??==-??<-?

。 17*

．设A 、B 分别是s n ?和n m ?矩阵，求证()()()r AB r A r B n ≤+-。 18*

．设A 、B 分别是m n ?和n m ?矩阵，m n ≥，λ是非零数，求证：

m n m n E AB E BA

λλλ--=-

。

第五章二次型

1．求三元二次型()112312323102(,,),,020040x f x x x x x x x x ???? ???

=- ??? ???????

的矩阵。

2．两个矩阵的秩相等是它们合同的条件。

3．用配方法求二次型222

1231231213(,,)2726f x x x x x x x x x x =-+-+的标准形。

4. 用初等变换法求下列二次型的标准形，并求非退化的线性变换???

? ??=????? ??321321y y y C x x x ：

（1）22

12311213233(,,)24223f x x x x x x x x x x x =+--+

（2）3221313,2,124)(x x x x x x x x x f -+-=

5. 设A 为n 级实对称矩阵， A 正定的充分必要条件是【】

(A) 存在实n 维列向量0X ≠，使0X AX '> (B) 对任意的所有分量都不为零的实n 维列向量X ，都有0X AX '> (C) A 的主对角线上的元素0ii a > ，1,2,,i n =

(D) 存在n 级正定矩阵C ，使A 2C =

6．矩阵A 是正定的，下列结论错误的是【】 (A) A 的主对角元全为正数 (B) A 的元素全为正数 (C) A 的特征值全为正数 (D) A 的顺序主子式全为正数

1. 在实数域上，下列矩阵中，与132A -??

= ? ?-??

合同的是【】 (A) 21

5??

?- ?

?-?? (B) 13

2??

? ?

??? (C) 132-?? ? ? ??? (D) 132-?? ?- ? ?-??

7．设A =????? ??---122241211 ，B =???

? ??--63132010

1 。A 、B 这两个矩阵中，不正定的是。

8．全体n 元复二次型按等价分类，共分为多少类，全体n 元实二次型按等价分类，共分为多少类？ 9．设A 、B 是两个n 级正定矩阵，求证AB 也正定的充要条件是AB BA =。 10．设A 、B 分别为m 级和n 级正定矩阵。证明：m n +级分块对角矩阵G ＝A B ??

???

正定。 11．判断实二次型123(,,)f x x x =222

123121323222222x x x x x x x x x ++---是否正定。

下述方法：“对实二次型123(,,)f x x x =21x +22x +2

3x -12x x -13x x -23x x 配方后变形为：123(,,)f x x x =222122331()()()x x x x x x -+-+-

由此得到123(,,)f x x x 的规范形：

222

123123(,,)f x x x y y y =++，从而判定123(,,)f x x x 正定” 是否正确（说明理由）？

若不正确，给出正确解答。

11*．设n 为偶数，A *为A 的伴随矩阵。证明：若A *为n 阶正定矩阵，则A 是正定矩阵。 12*

．设

n n

ij i

i j a x x

==∑∑ (,1,)ij ji a a i j n =≤≤为正定二次型，证明：

121

11121122

212221

0(,,

,)n n

n n n

n n nn

y y y y a a a f y y y y a a a y a a a =为负定二次型。

第六章线性空间

1．判断下列命题正确与否：

(1) 设P 是数域，集合121(,,

,)1n

n i i V x x x P

x =?

?=∈=???

∑按照向量的加法和数乘法构成P 上的线性空间。

【】

(2) 设P 是数域，集合121(,,

,)0n

n i i V x x x P x =?

=∈=????

∑按照向量的加法和数乘法构成P 上的线性空间。

【】

(3) 设,R C 分别是实数域和复数域 , ,,,a b V a b c d C c d ????=∈?? ?????

， V 关于矩阵的加法、数乘法构成R 上的线性空间，维

高等代数第6章习题参考答案

第六章线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==I U 。证任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。又因 ,M N M ?I 故M N M =I 。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论哪一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N Y ?所以M N N =U 。 2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =，)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。证 ),(L N M x Y I ∈?则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈，由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。反之，若 )()(L M N M x I Y I ∈，则.L M x N M x I I ∈∈或在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ，得 ),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ? 于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。若x M N L M N L ∈∈∈U I I （），则x ，x 。在前一情形X x M N ∈U ， X M L ∈U 且，x M N ∈U 因而（）I U （M L ）。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以（）（M L ）（N L ）故（L ）=（）（M L ）即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1）次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2）设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法； 3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，）（）k 。（a ，）=（ka ，kb +

高等代数第6章习题解

第六章习题解答习题6.1 1、设2V R =，判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换，哪些不是？（1）,()x x y V f y y αα+????=∈= ? ?????；（2）,()x x y V f y y αα-????=∈= ? ????? ；（3）2,()x y V f y x y αα+????=∈= ? ?+???? ；（4）0,()x V f y αααα??=∈=+ ???，0V α∈是一个固定的非零向量。（5）0,()x V f y ααα??=∈= ???，0V α∈是一个固定的非零向量。解：（1）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有（2）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有（3）不是。因为而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++??????+=+= ? ? ?+++++?????? 所以()()()f f f αβαβ+≠+ （4）不是。因为0()f k k ααα=+，而000()()kf k k k k ααααααα=+=+≠+ 所以()()f k kf αα≠ （5）不是。因为0()f αβα+=，而00002()()f f αβαααα+=+=≠ 2、设n n V P ?=是数域F 上全体n 阶方阵构成的集合，有§4.5，V 是F 上2 n 维线性空间，设A V ∈是固定元，对任意M V ∈，定义 ()f M MA AM =+ 证明，f 是V 的一个线性变换。证明：,,M N V k F ?∈∈，则所以 f 是V 的一个线性变换。 3、设3 V R =，(,,)x y z V α=∈，定义

高等代数试题及答案

中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷

授课教师命题教师或命题负责人签字年月日院系负责人签字年月日共 2 页第 2 页

中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年第X 学期期末考试试卷五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换，且=AB BA .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ?? ??????? O N N O ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==

中国海洋大学 2007-2008学年第2学期期末考试数学科学学院《高等代数》试题(A 卷)答案一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝，4'α＝. 所以正交阵1 212 102610 2 T ?????? ?=??- ?? ???????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 010011 0n E D E -???? ? ??? ??== ????? ?????? O O O ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1 ,,,,n n D D D D E -=L 在P 上线性无关.

高等代数习题及答案(1)

高等代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。（） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。（） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。（） 4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的一个子空间。（） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。（） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。（） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。（） 8、线性变换的属于特征根0 的特征向量只有有限个。（） 9、欧氏空间V 上的线性变换是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。（） 10、若 n ,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且 n i i i x 1 ，那么 n i i x 1 2 。（）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（） ① n n n x g x f x g x f ,, ； ② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ； ③ x g x g x f x g x f ,, ； ④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0 D ，则D 中必有一行全是零； ④若0 D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零；

高等代数北大版习题参考答案

第九章欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，

(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=，因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β==

高等代数北大版习题参考答案

第七章线性变换 1．?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）?在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）?在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）?在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）?在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）?在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）?在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）?把复数域上看作复数域上的线性空间，A ξξ=。 8）?在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk , A ≠ )(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- =A α+A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α，故A 是P 3 上的线性变换。 5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g ，再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ，故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，

高等代数考研习题精选

《高等代数》试题库一、选择题 1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。 A ．零多项式 B ．零次多项式 C ．本原多项式 D ．不可约多项式 2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．以下命题不正确的是（）。 A .若()|(),()|()f x g x f x g x 则； B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域； C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式； D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式 4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的()条件。 A .充分 B .充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。 A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f = B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ± C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈?，有)()()(x h x g x f D .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f 6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号,则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置,则行列式反号”有()。 A .甲成立,乙不成立； B .甲不成立,乙成立； C .甲,乙均成立； D ．甲,乙均不成立 7．下面论述中,错误的是()。 A .奇数次实系数多项式必有实根； B .代数基本定理适用于复数域；

高等代数真题答案

第六章习题册 1. 检验下述集合关于所规定的运算是否构成实数域R 上的线性空间? (a) 集合{()[]deg()}f x R x f n ∈|=关于多项式的加法和数乘. (b) 集合{()}T n A M R A A ∈|=关于矩阵的加法和数乘. (c) 集合0{{}}n n n x x R ∞=|∈关于数列的加法和数乘. 2. 设V 是数域F 上的线性空间, 证明(αβ)αβk k k ?=?, 这里αβV k F ,∈,∈.

3. 下述集合是否是()n M R 的子空间 (a) { ()}T n V A M R A A =∈|=? (b) {()()[]}V f A f x R x =|∈, 这里()n A M R ∈是一个固定方阵. 4. 叙述并证明线性空间V 的子空间1W 与2W 的并12W W ∪仍为V 的子空间的充分必要条件. 5. 设1S 与2S 是线性空间V 的两个非空子集, 证明: (a) 当12S S ?时, 12()()Span S Span S ?. (b) 1212()()()Span S S Span S Span S =+∪. (c) 1212()()()Span S S Span S Span S ?∩∩.

6. 如果123f f f ,,是实数域上一元多项式全体所成的线性空间[]R x 中三个互素的多项式, 但其中任意两个都不互素, 那么它们线性无关.试证之. 7. 设S 是数域F 上线性空间V 的一个线性无关子集, α是V 中一个向量, αS ?, 则{α}S ∪线性相关充分必要条件α()Span S ∈. 8. (a) 证明{|()}ij ji E E i j +≤是()n M F 中全体对称矩阵组成的子空间的一个基. (b). 求3()M F 的子空间{()()[]}f A f x F x |∈ 的一个基和维数, 这里010001000A ???? =?????? 9. 在4 R 中, 求向量ξ在基1234(εεεε),,,下的坐标, 其中 12341210111112εεεεξ0301311014??????????????????????????????=,=,=,=,=????????????????????????????????????????

高等代数习题

高等代数习题第一章基本概念 §集合 1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合．Z是不是X的子集 2、设a是集A的一个元素。记号{a}表示什么 {a} A是否正确 3、设写出和 . 4、写出含有四个元素的集合{ }的一切子集． 5、设A是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个 6、下列论断那些是对的，那些是错的错的举出反例，并且进行改正． (i) (ii) (iii)

(iv) 7．证明下列等式： (i) (ii) (iii) §映射 1、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射，但不是满射． 2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射． 3、是不是全体实数集到自身的映射 4．设f定义如下： f是不是R到R的映射是不是单射是不是满射 5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射 6、设a ,b是任意两个实数且a

7、举例说明，对于一个集合A到自身的两个映射f和g来说，f g与 g f一般不相等。 8、设A是全体正实数所成的集合。令 (i)g是不是A到A的双射 (ii)g是不是f的逆映射 (iii)如果g有逆映射，g的逆映射是什么 9、设是映射，又令，证明 (i)如果是单射，那么也是单射； (ii)如果是满射，那么也是满射； (iii)如果都是双射，那么也是双射，并且 10．判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算: 集合 A 规则1 2 3 全体整数全体整数全体有理数 b a b a+ → |) , (

4 全体实数 §数学归纳法 1、证明: 2、设是一个正整数.证明 ,是任意自然数. 3、证明二项式定理: 是个元素中取个的组合数. 这里， 4、证明第二数学归纳法原理. 5、证明,含有个元素的集合的一切子集的个数等于。 §整数的一些整除性质 1、对于下列的整数 ,分别求出以除所得的商和余数: ; ; ; .

高等代数练习题

1．最小的数环是，最小的数域是。 2．设(),()[]f x g x F x ∈，若(())0,(())f x g x m ?=?=，则(()())f x g x ??= 3.求用2 2x x -+除4()25f x x x =-+的商式为，余式为。 4．把5)(4-=x x f 表成1-x 的多项式是。 5、如果()(()())f x g x h x +，且)()(x h x f ，则____________ 6. ()()()d x f x d x 若是g(x)的最大公因式，则满足而(f(x),g(x))是指__________________. 7、设1)(,143)(23234--+=---+=x x x x g x x x x x f ，则=))(),((x g x f ____________。 8、设[] (),()P x f x g x 中两个多项式互素的充要条件是。 9、若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则它是()f x ' 。 10、()f x 没有重因式的充要条件为。 11、()42243f x x x x =+--有无重因式。 12、()43 23f x x x x =-+-可能的有理根是_________________，全部有理根为。 13、由艾森斯坦判别法，110()n n n n f x a x a x a --=+++ 是一个整系数多项式，当满足 _______________________________________________________________________________ ()f x 在有理数域上是不可约的. 2n x +在有理数域上是否可约 _________________. 14、在n 阶行列式中，1122n n i j i j i j a a a 这一项前的符号为__________________. 15. =---3 81141102 _________________。

高等代数习题及答案

高等代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“V”，错的打“X” ；每小题1分, 共10分） 1、p（x）若是数域F上的不可约多项式，那么p（x）在F中必定没有根。（） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。（） 3、实二次型f（x「X2， ,X n）正定的充要条件是它的符号差为n。（） 4、W x1,X2,X3 X i R,i 1,2,3;x1 x? X3 是线性空间R3的一个子空间。（） 5、数域F上的每一个线性空间都有基和维数。（） 6两个n元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。（） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。（） 8、线性变换的属于特征根°的特征向量只有有限个。（） 9、欧氏空间V上的线性变换是对称变换的充要条件为矩阵。 10、若1, 2, , n是欧氏空间V的标准正交基，且关于标准正交基的矩阵为实对称 n X i i，那么 n 2 X i

、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是( 3、设矩阵A 的秩为r(r >1)，那么( 4、设 f x 1, x 2, ,x n 为 n 元实二次型，则 f x 1,x 2 , ,x n 负定的充要条件为( ① 负惯性指数=f 的秩； ②正惯性指数=0； ③符号差=n ； ④f 的秩 =n o 1 分，共 10 分) ① f n x ,g n n x f x ,g x ; ② f 1, f 2, n 1 f i , f j 1, i j,i, j 1,2, ,n ; f x g x ,g x ; ④若 f x , g x 1 f x g x , f x 2、设 D 是个 n 阶行列式，那么( ① 行列式与它的转置行列式相等； ② D 中两行互换，则行列式不变符号； ③ 若 D 0，则 D 中必有一行全是零； ④ 若 D 0，则 D 中必有两行成比例。 ①A 中每个s(s v r)阶子式都为零; ② A 中每个 r 阶子式都不为零； ③A 中可能存在不为零的 r 1阶子式; ④ A 中肯定有不为零的 r 阶子式。

高等代数例题(全部)

高等代数例题第一章多项式 1．44P 2 （1）m 、p 、q 适合什么条件时，有2 3 1x mx x px q +-++ 2．45P 7 设3 2 ()(1)22f x x t x x u =++++，3 ()g x x tx u =++的最大公因式是一个二次多项式，求t 、 u 的值。 3．45P 14 证明：如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x += 4．45P 18 求多项式3 x px q ++有重根的条件。 5．46P 24 证明：如果(1)()n x f x -，那么(1)()n n x f x - 6．46P 25 证明：如果233 12(1)()()x x f x xf x +++，那么1(1)()x f x -，2(1)()x f x - 7．46P 26 求多项式1n x -在复数域内和实数域内的因式分解。 8．46P 28 （4）多项式1p x px ++ （p 为奇素数）在有理数域上是否可约？ 9．47P 1 设1()()()f x af x bg x =+，1()()()g x cf x dg x =+，且0ad bc -≠。求证： 11((),())((),())f x g x f x g x =。 10．48P 5 多项式()m x 称为多项式()f x ，()g x 的一个最小公倍式，如果（1）()()f x m x ，()()g x m x ；（2）()f x ，()g x 的任意一个公倍式都是()m x 的倍式。我们以[(),()]f x g x 表示首项系数为1的那个最小公倍式。证明：如果()f x ，()g x 的首项系数都为1，那么()() [(),()]((),()) f x g x f x g x f x g x = 。 11．设 m 、n 为整数，2()1g x x x =++除33()2m n f x x x =+-所得余式为。 12．求证：如果()d x |()f x ，()d x |()g x ，且()d x 是()f x 与()g x 的一个组合，那么()d x 是()f x 与 ()g x 的一个最大公因式。 13． 14 3 4141)g( , 21212321)(23423456 -+--=+--+-- =x x x x x x x x x x x x f 求())(),(x g x f 。 14．设22()(1) 21m n f x x x x =+--- (m ,n 是正整数),2()g x x x =+ 。证：()g x |()f x 。

高等代数试题五

向量空间一判断题 (1) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: ,,k k R αα=∈ 作成实数域R 上的向量空间. ( ) . (2) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: 0,,k k R α=∈ 作成实数域R 上的向量空间. ( ). (3) 一个过原点的平面上所有向量的集合是3V 的子空间. ( ). (4) 所有n 阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ). (5) 121 {(,,,)|1,}n n i i i x x x x x R ==∈∑ 为n R 的子空间. ( ). (6)所有n 阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ). (7)11{(,0,,0,)|,}n n x x x x R ∈ 为n R 的子空间. ( ). (8)若1234,,,αααα是数域F 上的4维向量空间V 的一组基, 那么122334,,,αααααα++ 是V 的一组基. ( ). (9)n 维向量空间V 的任意n 个线性无关的向量都可构成V 的一个基. ( ). (10)设12,,,n ααα 是向量空间V 中n 个向量, 且V 中每一个向量都可由12,,,n ααα 线性表示, 则12,,,n ααα 是V 的一组基. ( ). (11) 设12,,,n ααα 是向量空间V 的一个基, 如果12,,,n βββ 与12,,,n ααα 等价, 则 12,,,n βββ 也是V 的一个基. ( ). (12) 3 x 关于基3 3 2 ,,1,1x x x x x +++的坐标为(1,1,0,0). ( ). (13)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++ .若 12dim dim dim s V V V n +++= , 则12s V V V +++ 为直和. ( ). (14)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++ . 若 121230,()0,V V V V V =+= 121,()0,S s V V V V -+++= 则12s V V V +++ 为直和.

高等代数习题集

高等代数习题集苏州大学数学科学学院高等代数组收集 2003, 4,30 1.设X = ，求X。 2.设二次型f(x1, x2,... , x n)是不定的，证明：存在n维向量X0，使X0'AX0 = 0，其中A是该二次型的矩阵。 3.设W = {f (x)| f (x) P[x]4, f (2) = 0}。 a 证明：W是P[x]4的子空间。 b 求W的维数与一组基。 4.在R3中定义变换A：任意 (x1, x2, x3) R3, A(x1, x2, x3) = (2x2 + x3, x -4x2, 3x3)。 1 1，证明：A是Rr3上线性变换， 2，求A在基xi1 = (1, 0, 0), xi2 = (0, 1, 0), xi3 = (1, 1, 1)下的矩阵。 5.设，求正交矩阵T，使T'AT成对角形。 6.设V是数域P上n维线性空间，A是V上可逆线性变换，W是A的不变子空间。证明：W也是A-1的不变子空间。

7.设V是n维欧氏空间，A是V上变换。若任意,V，有 (A, A) = (,)。证明：A是V上线性变换，从而是V上正交变换。 8.设X = ，求X。 9.设A是奇数级的实对称矩阵，且| A| > 0，证明：存在实n维向量X0 0，使X0'AX0 > 0。 10.设A = ，W = {|R4, A = 0}。证明： 1.[1，]W是4的一个子空间。 2.[2，]求W的维数与一组基。 11.设B，C = ，在R2 x 2中定义变换A：任意X R2 x 2, A(X) = BXC。 1，证明：A是R2 x 2上线性变换。。 2，求A在基E11, E12, E21, E22下的矩阵。 12.用正交线性替换，化实二次型f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形。 13.设V为数域P上线性空间，A是V上线性变换，若 (A2)-1(0) = A-1(0)，证明：V = AV.+A-1(0)。 14.设V是n维欧氏空间。A是V上正交变换，W是A的不变子空间。证明： W也是A的不变子空间。 15.设X = ，求X。

高等代数试题(附答案)

科目名称：《高等代数》姓名：班级：考试时间：120分钟考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为。 2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩为，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是，特征向量分别为。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（） 5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。其中 ),,,()(2 4232221x x x x =ξδ。（） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是)(2R M 的子空间。（） 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。

高等代数复习题精选

第一章多项式自测题一、填空题 1. 设()()g x f x ，则()f x 与()g x 的一个最大公因式为． 2. 1110()[]n n n n f x a x a x a x a P x --=++ ++∈,若|()x f x ,则0a = ;若1()x f x =是的根,则012n a a a a +++ += . 3.若((),())1f x f x x '=+,则是()f x 的重根. 4.44x -在有理数域,实数域,复数域上的标准分解式为 , , . 二、选择题(以下所涉及的多项式,都是数域P 上的多项式) 1.设()|(),()|(),()0,()()x f x x g x x g x f x ???≠且与不全为0,则下列命题为假的是( ). A.()|(()()()())x u x f x v x g x ?+ B.deg(())min{deg (),deg(())}x f x g x ?≤（deg 意思为次数） C.若存在(),()u x v x ,使()()()()(),u x f x v x g x x ?+=则((),())()f x g x x ?= D.若|(),x a x ?-则()()0f a g a == 2.若((),())1f x g x =,则以下命题为假的是( ). A.23((),())1f x g x = B.1))()(),((=+x g x f x f C.()|()()g x f x h x 必有()|()g x h x D. 以上都不对 3.下列命题为假的是( ). A.在有理数域上存在任意次不可约多项式 B.在实数域上3次多项式一定可约 C.在复数域上次数大于0的多项式都可约 D.在实数域上不可约的多项式在复数域上没有重根 4.下列命题为真的是( ). A.若2()()p x f x ,则()()p x f x 是二重因式 B.若()(),(),()p x f x f x f x '''是的公因式,则()p x 的根是()f x 的三重根 C.()f x 有重根(),()f x f x ''?有一次因式 D.若()f x 有重根,则()f x 有重因式,反之亦然

高等代数试题库完整

《高等代数》试题库一、选择题 1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。 A ．零多项式 B ．零次多项式 C ．本原多项式 D ．不可约多项式 2．设()1g x x =+是6242 ()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．以下命题不正确的是（）。 A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则； B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域； C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式； D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式 4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。 A . 充分 B . 充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。 A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f = B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ± C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈?，有)()()(x h x g x f D .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f 6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。 A .甲成立, 乙不成立； B . 甲不成立, 乙成立； C .甲, 乙均成立； D ．甲, 乙均不成立 7．下面论述中, 错误的是( ) 。

高等代数习题解答

教材部分习题解答高等代数/高等学校小学教育专业教材作者：唐忠明//戴桂生编出版社：南京大学 ISBN ：7305034797 习题1.1 1．证明两个数域之交是一个数域。证：设A 、B 是两个数域，则0，1∈A ，0，1∈B 0,1A B ?∈I 。又 ,,,,u v A B u v A u v B ?∈?∈∈I 且,u v A u v B ?±∈±∈且所以，u v A B ±∈I ，类似可得,(0)uv A B u v A B v ∈÷∈≠I I 。从而证得A B I 是数域。 2．证明：F={,,}a bi a b Q +∈( i 是虚数单位)是一个数域。证明：000,110, 0,1i i A =+=+∈ ,,,u v A u a bi v c di ?∈?=+=+设 ()(),u v a c b d i A ±=±+±∈ ()()uv ac bd i ad bc =-++,A ∈ 设0,a bi +≠则0,a bi -≠否则，0,a bi a b ===或矛盾！所以 2222()()()()v c di c di a bi ac db ad cb i u a bi a bi a bi a b a b ++-+-===+++-++,A ∈由定义A 是数域。习题1.2 (1) 213123110113213033312042r r r r ----???????????→???????????? …100010001?? ??→?? ???? ()21231 34142(1) 3(1)5(1)12 3 2123212 3 2214103230323231210775077550 62010912010 912r r r r r r r r r ------?????? ??????---? ???? ????→???→?? ???? ----? ?????----?????? 12 32 32422321032123 212 3 21 34032301310131013103230076010 912010912002122r r r r r r r r r r -----?????? ??????--? ?? ?? ????→????→???? ?? --? ????? -?????? u u u u u u u r

完整版高等代数习题解答(第一章)

高等代数习题解答第一章多项式补充题1．当,,a b c 取何值时，多项式()5f x x =-与2()(2)(1)g x a x b x =-++ 2(2)c x x +-+相等？提示：比较系数得6136,,555 a b c =-=-=. 补充题2．设(),(),()[]f x g x h x x ∈ ，2232()()()f x xg x x h x =+，证明： ()()()0f x g x h x ===．证明假设()()()0f x g x h x ===不成立．若()0f x ≠，则2(())f x ?为偶数，又22(),()g x h x 等于0或次数为偶数，由于22(),()[]g x h x x ∈，首项系数（如果有的话）为正数，从而232()()xg x x h x +等于0或次数为奇数，矛盾．若()0g x ≠或()0h x ≠则232(()())xg x x h x ?+为奇数，而2()0f x =或2(())f x ?为偶数，矛盾．综上所证，()()()0f x g x h x ===． 1．用g (x ) 除 f (x )，求商q (x )与余式r (x )： 1）f (x ) = x 3- 3x 2 -x -1，g (x ) =3x 2 -2x +1； 2）f (x ) = x 4 -2x +5，g (x ) = x 2 -x +2． 1）解法一待定系数法．由于f (x )是首项系数为1的3次多项式，而g (x )是首项系数为3的2次多项式，所以商q (x )必是首项系数为13 的1次多项式，而余式的次数小于 2．于是可设 q (x ) =13 x +a , r (x ) =bx +c 根据 f (x ) = q (x ) g (x ) + r (x )，即 x 3-3x 2 -x -1 = (13 x +a )( 3x 2 -2x +1)+bx +c 右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得 2333a -=-, 1123 a b -=-++, 1a c -=+ 解得 79a =- , 269b =- , 29 c =- ，故得

高等代数试题及参考答案

高等代数（一）考试试卷一、单选题（每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中。错选、多选、不选均不给分，6小题，每小题4分，共24分） 1. 以下乘积中（）是4阶行列式ij D a =展开式中取负号的项. A 、11223344a a a a . B 、14233142a a a a . C 、12233144a a a a . D 、23413214a a a a . 2．行列式1 3 4 02324a --中元素a 的代数余子式是（）. A 、 0324-. B 、0324--. C 、14 03 -. D 、1403. 3．设,A B 都是n 阶矩阵，若AB O =，则正确的是（）. A 、()()r A r B n +≤. B 、0A =. C 、A O =或B O =. D 、0A ≠. 4．下列向量组中，线性无关的是（）. A 、{}0. B 、{},,αβ0. C 、{}12,,,r ααα，其中12m αα=. D 、{}12,, ,r ααα，其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合. 5．设A 是n 阶矩阵且()r A r n =<，则A 中（）. A 、必有r 个行向量线性无关. B 、任意r 个行向量线性无关. C 、任意r 个行向量构成一个极大线性无关组. D 、任意一个行向量都能被其它r 个行向量线性表出. 6．n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（）条件. A 、充要. B 、充分非必要. C 、必要非充分. D 、非充分非必要. 二、判断题（正确的打√，错误的打×，5小题，每小题2分，共10分）. 1．若A 为n 阶矩阵，k 为非零常数，则kA k A =. （） 2．若两个向量组等价，则它们包含的向量个数相同. （） 3．对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变. （） 4．正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. （） 5．任何数域都包含有理数域. （）三、填空题（每空4分，共24分）.