高三数学第二轮专题复习系列：(6)不等式
高考数学第二轮专题复习系列(6)
不等式
一、本章知识结构：
实数的性质
二、高考要求
（1）理解不等式的性质及其证明。
（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用。
（3）分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。 （4）掌握某些简单不等式的解法。
（5）理解不等式|a|﹣|b| ≤|a+b|≤|a| +|b|。 三、热点分析
1.重视对基础知识的考查，设问方式不断创新.重点考查四种题型：解不等式，证明不等式，涉及不等式应用题，涉及不等式的综合题，所占比例远远高于在课时和知识点中的比例.重视基础知识的考查，常考常新，创意不断，设问方式不断创新，图表信息题，多选型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青眯，值得引起我们的关注.
2.突出重点，综合考查，在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重.在全面考查函数与不等式基础知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的考查力度，是高考对不等式考查的又一新特点.
3.加大推理、论证能力的考查力度，充分体现由知识立意向能力立意转变的命题方向.由于代数推理没有几何图形作依托，因而更能检测出学生抽象思维能力的层次.这类代数推理问题常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为知识背景，并与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高，有利于高考选拔功能的充分发挥.对不等式的考查更能体现出高观点、低设问、深入浅出的特点，考查容量之大、功能之多、能力要求之高，一直是高考的热点.
4.突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识.
不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点,考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用。高考试题中有以下几个明显的特点：
不等式的性质 均值不等式 不等式的证明 不等式的解法 不等式的应用 比较法 综合法 分析法 其它方法 一元一次不等式 一元二次不等式 分式高次不等式 含绝对值不等式 函数性质的讨论 最值的计算与讨论 实际应用问题
（1）不等式与函数、数列、几何、导数,实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多，单独考查不等式的试题题量很少。 （2）选择题,填空题和解答题三种题型中均有各种类型不等式题，特别是应用题和压轴题几乎都与不等式有关。
（3）不等式的证明考得比得频繁,所涉及的方法主要是比较法、综合法和分析法，而放缩法作为一种辅助方法不容忽视。 四、复习建议
1．力求熟练掌握不等式的性质，以最大限度地减少不等式解题中可能出现的失误。 2．对于不等式的证明，应略高于教材上有关例题和习题的难度。必须重视演练与其它内容综合在一起的证明题，特别是综合教材上的例题与习题、创新题。
3．对于解不等式，一般不需超出教材上的例题和习题的难度，也不要超出教材上的例题和习题所涉及的范围，但对于需要分类求解的不等式应给予充分的注意，而这类习题的分类一般不超过两层。
4．熟练掌握利用平均值不等式求最值的方法及其使用条件，并重视在几何和实际问题中的应用。
5,通过训练,使学生掌握等价转化思想和化归思想,培养学生的代数推理能力,提高学生应用不等式知识解决问题的能力.
6.重视数学思想方法的复习根据本章上述的命题趋向我们迎考复习时应加强数学思想方法的复习.在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习.解不等式的过程是一个等价转化的过程，通过等价转化可简化不等式（组），以快速、准确求解.加强分类讨论思想的复习.在解不等式或证不等式的过程中，如含参数等问题，一般要对参数进行分类讨论.复习时，学生要学会分析引起分类讨论的原因，合理的分类，做到不重不漏.加强函数与方程思想在不等式中的应用训练.不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化.如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法.在不等式的证明中，加强化归思想的复习，证不等式的过程是一个把已知条件向要证结论的一个转化过程，既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力，正因为证不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起我们的足够重视.利用函数f （x ）=x ＋ （a ＞0）的单调性解决有关最值问题是近几年高考中的热点，应加强这方面的训练和指导.
7.强化不等式的应用高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键.因此，在复习时应加强这方面训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力. 如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误. 五、典型例题
不等式的解法 【例1】解不等式：
a x a
->-12
解：原不等式可化为：
2
)
2()1(--+-x a x a ＞0，
即［(a －1)x +(2－a )］(x －2)＞0. 当a ＞1时，原不等式与(x －1
2
--a a )(x －2)＞0同解. 若
12--a a ≥2，即0≤a ＜1时，原不等式无解；若1
2
--a a ＜2，即a ＜0或a ＞1，于是a ＞1
时原不等式的解为(－∞，
1
2
--a a )∪(2，+∞). 当a ＜1时，若a ＜0，解集为(12--a a ，2)；若0＜a ＜1，解集为(2，1
2
--a a ) 综上所述：
当a ＞1时解集为(－∞，
1
2
--a a )∪(2，+∞)； 当0＜a ＜1时，解集为(2，1
2
--a a )； 当a =0时，解集为?； 当a ＜0时，解集为(
1
2
--a a ，2). 【例2】设不等式x 2
－2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ?［1，4］，求实数a 的取值 范围.
解：M ?［1，4］有n 种情况：其一是M =?，此时Δ＜0；其二是M ≠?，此时Δ＞0，分
三种情况计算a 的取值范围.
设f (x )=x 2 －2ax +a +2，有Δ=(－2a )2－(4a +2)=4(a 2
－a －2) (1)当Δ＜0时，－1＜a ＜2，M =
?［1，4］
(2)当Δ=0时，a =－1或2.当a =－1时M ={－1} ［1，4］；当a =2时，m ={2}［1，4］. (3)当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2.设方程f (x )=0的两根x 1，x 2，且x 1＜x 2，那么M =［x 1，
x 2］，M ?［1，4］?1≤x 1＜x 2≤4?
??>?≤≤>>?0,410
)4(,0)1(且且a f f
即????
???>-<>>->+-2
100
7180
3a a a a a 或，解得：2＜a ＜718，
∴M ?［1，4］时，a 的取值范围是(－1，
7
18
). 【例3】解关于x 的不等式：()()()0]
12[log 1log 42>+->-a x a x ．
解：原不等式等价于()()()?????+->->+->-1210120
12
x a x x a x ①，即()()????
???>--->>0
2121x a x a x x .
由于1>a ，所以a 121-<，所以，上述不等式等价于()()??
???
>---
>0
212x a x a
x ② 解答这个含参数的不等式组，必然需要分类讨论，此时，分类的标准的确定就成了解答的关键．如何确定这一标准？
（1）当21< ??? <>- >a x x a x 或212 此时，由于()01122<--=-??? ? ? -a a a a ，所以 a a <-12． 从而21 2><<- x a x a 或． （2）当2=a 时，不等式组②等价于?????≠> 2 23x x 所以22 3 ≠>x x ，且． （3）当2>a 时，不等式组②等价于?? ??? ><- >a x x a x 或212 此时，由于212<-a ，所以，a x x a ><<-或21 2． 综上可知： 当21< ??? ??><<- 21 2x a x a x 或； 当2=a 时，原不等式的解集为??? ??? ≠>22 3x x x ，且； 当2>a 时，原不等式的解集为? ?????><<-a x x a x 或21 2． 【例4】解关于x 的不等式：()102log log 4≠>-<-a a x x a a ， 解：原不等式等价于 ()?????-<->-≥-2 2log log 40 2log 0 log 4x x x x a a a a ???<>≤-≤ >1时，原不等式的解集为{} 43a x a x ≤< 当01< 34a x a x <≤ 【例5】设函数()12--=x ax x f ， （1）当2=a 时，解不等式()1)(f x f ≤； （2）求a 的取值范围，使得函数()x f 在[)+∞,1上为单调函数． 讲解：（1）2=a 时，()1)(f x f ≥可化为：()1122-≤-x x ，等价于： ()?????-≤-≥-1 14012 2x x x ① 或 ?????≥-<-010 12x x ② 解①得 3 5 1≤ ≤x ，解②得 1-≤x ． 所以，原不等式的解集为 ? ?? ? ?? -≤≤≤13 51x x x 或． （2）任取[)+∞∈,1,21x x ，且21x x <，则 ()()()()()???? ? ? ?-+-+- -=-+----=? ? ? ??-----=? ? ? ??---??? ??--=-111 111112 2212121222122212122212122221121x x x x a x x x x x x x x a x x x x a x ax x ax x f x f 要使函数()x f 在[)+∞,1上为单调函数，需且只需： 1 12 22 121-+-+> x x x x a 恒成立，（或1 12 22 121-+-+< x x x x a 恒成立）． 因此，只要求出 1 12 22 12 1-+-+x x x x 在条件“[)+∞∈,1,21x x ，且21x x <”之下的最 大、最小值即可．为了探求这个代数式的最值，我们可以考虑极端情况，如： 1,121→=x x ，容易知道，此时 1 12 22 121-+-+x x x x +∞→；若考虑+∞→<21x x ， 则不难看出，此时 1 12 2212 1-+-+x x x x 1→，至此我们可以看出：要使得函数()x f 为单 调函数，只需1≤a ． 事实上，当1≤a 时，由于011222121>-+->+x x x x 恒成立，所以， 11 12 22 121>-+-+x x x x ．所以，在条件“[)+∞∈,1,21x x ，且21x x <”之下，必有： ()()021>-x f x f ． 所以，()x f 在区间[)+∞,1上单调递减． 当1>a 时，由（1）可以看出：特例2=a 的情况下，存在()?? ? ??=351f f ．由此可以猜想：函数()x f 在区间[)+∞,1上不是单调函数．为了说明这一点，只需找到[)+∞∈,1,21x x ，使得()()21x f x f =即可．简便起见，不妨取11=x ，此时，可求得11 1222>-+= a a x ，也 即：()a a a f f =? ?? ? ??-+=11122，所以，()x f 在区间[)+∞,1上不是单调函数． 另解：()2 1 x f x a x '=- -，对[)1,x ∈+∞，易知： 当1x →时， 2 1 x x →+∞-；当x →+∞时， 2 11 x x →-； 所以当[)1,x ∈+∞时， 2 11 x x >-， 从而只须1a ≤，必有()0f x '<，函数在[)1,x ∈+∞上单调递减。 【例6】已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1，若m 、n ∈［－1，1］， m +n ≠0时 n m n f m f ++) ()(＞0. (1)用定义证明f (x )在［－1，1］上是增函数； (2)解不等式：f (x + 21 )＜f (1 1-x )； (3)若f (x )≤t 2 －2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求实数t 的取值范围. 解：(1)证明：任取x 1＜x 2，且x 1，x 2∈［－1，1］， 则f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)+f (－x 2)=2 121) ()(x x x f x f --+·(x 1－x 2) ∵－1≤x 1＜x 2≤1， ∴x 1+(－x 2)≠0，由已知 2 121) ()(x x x f x f --+＞0，又 x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x )在［－1，1］上为增函数. (2)解：∵f (x )在［－1，1］上为增函数， ∴?? ? ? ? ? ??? -<+≤-≤ -≤+≤-112111111211x x x x 解得：{x |－23≤x ＜－1，x ∈R } (3)解：由(1)可知f (x )在［－1，1］上为增函数，且f (1)=1， 故对x ∈［－1，1］，恒有f (x )≤1， 所以要f (x )≤t 2 －2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立， 即要t 2－2at +1≥1成立，故t 2 －2at ≥0， 记g (a )=t 2 －2at ，对a ∈［－1，1］，g (a )≥0， 只需g (a )在［－1，1］上的最小值大于等于0， g (－1)≥0，g (1)≥0，解得，t ≤－2或t =0或t ≥2. ∴t 的取值范围是：{t |t ≤－2或t =0或t ≥2}. 【例7】给出一个不等式 c c c x c x +≥ +++112 2（x ∈R ）。 经验证：当c=1, 2, 3时，对于x 取一切实数，不等式都成立。 试问：当c 取任何正数时，不等式对任何实数x 是否都成立？若能成立，请给出证明；若不成立，请求出c 的取值范围，使不等式对任何实数x 都能成立。 解：令f (x )= c x c x +++221，设u=c x +2 (u ≥c ) 则f (x )=u u u u 1 12+=+ (u ≥c ) ∴f (x )c u c u c u c c u u c c )1((1)1(1 --=+-+=+- 要使不等式成立，即f (x )－ c c 1+≥0 ∵u ≥c >0 ∴只须u c －1≥0 ∴u 2 c ≥1 u 2 ≥ c 1 ∴x 2 +c ≥c 1 ∴x 2 ≥c 1－c 故当c=2 1时， 原不等式不是对一切实数x 都成立，即原不等式对一切实数x 不都成立 要使原不等式对一切实数x 都成立，即使x 2 ≥c 1 －c 对一切实数都成立。 ∵x 2 ≥0 故 c 1 －c ≤0 ∴c ≥1(c>0) ∴c ≥1时，原不等式对一切实数x 都能成立。 不等式的证明 【例1】已知2>a ，求证：()()1log log 1+>-a a a a 解1：()()() ()1log 1log 1 1log log 1+--= +--a a a a a a a a ()()()()() 1log 1log 1log 1-+?--= a a a a a a ． 因为2>a ，所以，()()01log ,01log >+>-a a a a ，所以， ()()()()()()()[][] 1 4 log 4 1 log 21log 1log 1log 1log 2 22 2 2 =<-= ?? ? ???++-≤+?-a a a a a a a a a a a a 所以，()()01log log 1>+--a a a a ，命题得证． 解2：因为2>a ，所以，()()01log ,01log >+>-a a a a ，所以， ()()()()()()()() 1log 1log 1 1log 1log 1 1log log 1+?-= --=+-a a a a a a a a a a a a ， 由解1可知：上式>1．故命题得证． 【例2】已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1。求证：(a + a 1)( b +b 1 )≥4 25. 证法一：(分析综合法) 欲证原式，即证4(ab )2+4(a 2+b 2)－25ab +4≥0，即证4(ab )2 －33(ab )+8≥0， 即证ab ≤ 4 1 或ab ≥8. ∵a ＞0，b ＞0，a +b =1，∴ab ≥8不可能成立 ∵1=a +b ≥2ab ，∴ab ≤4 1 ，从而得证. 证法二：(均值代换法) 设a =21+t 1，b =2 1 +t 2. ∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴t 1+t 2=0，|t 1|＜21，|t 2|＜2 1 . 425 4 11625412316254 1)45(41)141)(141()21)(21() 141 )(14 1(211)21(211)21(1 1)1)(1(224 2222222222222222112122221122212122=≥-++=--+= -++++++=++++++++=+++?+++=+? +=++∴t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t b b a a b b a a 显然当且仅当t =0，即a =b =2 1 时，等号成立. 证法三：(比较法） ∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤ 4 1 4 25)1)(1(0 4)8)(41(4833442511425)1)(1(2222≥ ++∴≥--=++=-+?+=-++b b a a ab ab ab ab ab b a b b a a b b a a 证法四：(综合法) ∵a +b =1， a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤ 4 1 . 4 251)1(41 16251)1(169)1(43411122 2 ≥+-? ??? ???????????≥≥+-?≥-?=-≥-∴ab ab ab ab ab ab 4 25 )1)(1(≥ ++b b a a 即 证法五：(三角代换法） ∵ a ＞0，b ＞0，a +b =1，故令a =sin 2 α，b =cos 2 α，α∈(0， 2 π ) . 4 25)1)(1(425α2sin 4)α2sin 4(41α2sin 12516α2sin 24.314α2sin 4,1α2sin α 2sin 416 )αsin 4(α 2sin 42 αcos αsin 2αcos αsin )αcos 1α)(cos αsin 1α(sin )1)(1(2222 2222222224422 22≥++≥-???? ?? ≥≥+-=-≥-∴≤+-= +-+= ++=++b b a a b b a a 即得 2 【例3】证明不等式n n 213 12 11<+ ++ + (n ∈N * ) 证法一：(1)当n 等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立； (2)假设n =k (k ≥1)时，不等式成立，即1+ k 13 12 1+ ++ ＜2k ， , 121 1 )1(1 1 )1(21 12113 12 11+=++++< +++= ++ <+++++k k k k k k k k k k 则 ∴当n =k +1时，不等式成立. 综合(1)、(2)得：当n ∈N * 时，都有1+ n 13 12 1+ ++ ＜2n . 另从k 到k +1时的证明还有下列证法： , 1 11 1212212:.121 12,01),1(21)1(2,0)1()1()1(2)1(21)1(22+= +++> ++= -++<++ ∴>++<++∴>+-=+++-=+--+k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k 又如 .121 12+<++ ∴k k k 证法二：对任意k ∈N * ，都有： . 2)1(2)23(2)12(221 31211), 1(21 2 2 1n n n n k k k k k k k =--++-+-+<++++--=-+< += 因此 证法三：设f (n )=),13 12 11(2n n + ++ + - 那么对任意k ∈N * 都有： 1 )1(])1(2)1[(1 1]1)1(2)1(2[111 1 )1(2)()1(2 >+-+= ++-+?+= -+-++=+--+=-+k k k k k k k k k k k k k k k k f k f ∴f (k +1)＞f (k ) 因此，对任意n ∈N * 都有f (n )＞f (n －1)＞…＞f (1)=1＞0， ∴.2131211n n <+ +++ 不等式的应用 【例1】, 03log 7x)2(log 5.020.5M x 的解集为≤已知不等式 ++ .)4 )(log 2(log )(,22 的最大值和最小值函数时∈当求x x x f M x = ,03log 7x)2(log 5.020.5≤解：由++x }.82|{,8221 log 30)3)(log 1log 2(5.05.05.0≤≤∴≤≤≤≤≤x x M x x x x =?--?++? 2 log 3)(log )2)(log 1(log )(),4 )(log 2(log )(2222222 +-=--==x x x x x f x x x f 得由 ]3,2 1 [,41)23(23)( ,log =u 222∈得令u u u u u f x --=+-= 根据复合函数的单调性得： .2)]([,83,41 )]([,2223m ax m in ===-=== x f x u x f x u 时即当时即当 【例2】例2、已知函数}.1220|{,log 2a a a a x y a -<∈=其中 （1）判断函数x y a log =的增减性； （2）若命题|)2(|1|)(:|x f x f p -<为真命题，求实数x 的取值范围. 解：（1）∴<<<+-∴-<∈,102,02012},12120|{22a a a a a a a 即 函数x y a log =是增函数； （2）1|2log ||log ||)2(|1|)(|<+- 1 0,0<<>x x 当时，02lo g lo g < ，不等式化为12log ,12log log <-∴<--x x x a a a ， 故4 1 21,21,12log <<> ∴>x a a x x a 此时；当x x x a a 2log 0log ,141<<<≤时， 不等式化为12log ,12log log <∴<+-a a a x x ，这显然成立，此时14 1 <≤x ； 当1≥x 时，x x a a 2log log 0<≤， 不等式化为12log ,12log log <∴<+x x x a a a 故2 1,2a x a x <≤< 此时； 综上所述知，使命题p 为真命题的x 的取值范围是}.2 21| {a x a x << 【例3】（1994年)已知函数，，且，，，若，，212 12020)(x x x x x tgx x f ≠?? ? ??∈??? ??∈=ππ ?? ? ??+> +2 )]()([2 1 2121x x f x f x f 证明： 解：tgx x f =)( )(2 1 )]()([212121tgx tgx x f x f +=+∴ 212 1212211cos cos 2sin cos cos sin cos sin cos sin 21x x x x x x x x x x +=??? ? ? ?+= ) cos()cos() sin(cos cos 2)sin(2121212121x x x x x x x x x x -+++= += ， ，，，212120x x x x ≠?? ? ??∈π 1)cos(00cos cos 0)sin(2212121<-<>>+∴x x x x x x ，且， )cos(1)cos()cos(0212121x x x x x x ++<-++<∴有 2 )cos(1)sin()(2 12 1 212121x x tg x x x x tgx tgx +=+++> +∴ ??? ? ??+>+2 )]()([2 1 2 121x x f x f x f 即 【例4】(1995年)设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S n 是前项之和。 (1)证明 12 lg 2 lg lg ++<+n n n S S S (2)是否存在常数C>0,使得 )lg(2 ) lg()lg(12C S C S C S n n n -=-+-++成立？并证明你的结论。 证明：(I){}设的公比为，则，a q a q n 1 00>> 12 lg 2 lg lg ++<+n n n S S S 要证 即可即证02 12<-?++n n n S S S 11)1(na S q n ==，则若 0)1()2(2121211212<-=+-+=-?∴++a a n a n na S S S n n n q q a S q n n --= ≠1) 1(1)2(1 ，若 2 2 12 12 2212 1 2) 1()1() 1() 1)(1(q q a q q q a S S S n n n n n n --- ---= -∴++++021<-=n q a 2 12)2)(1(++ 根据对数函数的单调性，可得212lg )lg(++ 即 成立12 lg 2 lg lg ++<+n n n S S S (2)不存在常数C 使等式成立。 证法一：因为要使成立，则有)lg()]lg()[lg(2 1 12C S C S C S n n n -=-+-++ ?????>--=--++0 ) ())((222C S C S C S C S n n n n 212)())((1C S C S C S q n n n ----=++则若 0])1[(])2)[((2 12111<-=-+--+-=a C a n C a n C na 论成立，即不存在正数Ｃ使结212)())((C S C S C S n n n -≠--∴++ 1≠q 若 212)())((C S C S C S n n n ----++ 211211]1)1([]1)1(][1)1([C q q a C q q a C q q a n n n ----------=++ )]1([11q C a q a n ---= 0)1(011=--∴≠q C a q a n 只能有，且 q a C -= ∴11 ；，，001>>a C 10<<∴q ，即不存在在常数 不可能满足时，当00111011>-<--=--< q a q a S q n n n 使结论成立。 0>C 综合上面的证明可见不存在常数，0>C 成立。 使等式)lg()]lg()[lg(2 1 12C S C S C S n n n -=-+-++ 还可以直接用反证法证明： 证法二：假设存在常数C>0，使等式能够成立,则有 ????? ??-=-->->->-++++)4()())(()3(0)2(0 )1(0 2122 1 C S C S C S C S C S C S n n n n n n 由(4)可得：)5()2(122 12++++-+=-n n n n n n S S S C S S S 由平均值不等式可知 )(2)()(21212C S C S C S S S S n n n n n n ---+-=-+++++ 0)(2))((212=----≥++C S C S C S n n n 0>C 0)2(12≥-+∴++n n n S S S C 0)(2 12<-++n n n S S S I 可知而由 不可能成立等式)5(∴ )]lg()[lg(21 02C S C S C n n -+->+，使等式数这个矛盾说明不存在常＝成立。 )lg(1C S n -+ 【例5】(1990年)设n a a n n n x f x x x 是实数，，其中])1(21[1 lg )(+-+++= 是任意给定的自 然数，且2≥n 。 (1)如果］，当1()(-∞∈x x f 时有意义，求a 的取值范围。 (2)如果≠<∈x x f x f a 当，证明，)2()(2]10(0时成立。 解：(I)时有意义， ，当]1()(-∞∈x x f 2]1(0)1(21≥-∞∈>+-+∴n x a n n x x x ，，，＋ ， ]1(121， ，即-∞∈??? ? ??????? ??-++??? ??+??? ??->x n n n n a x x x 上都是增函数，在，，，，－]1()121(-∞-=?? ? ??n K n K x 上也是增函数，， 在]1(121-∞??? ? ??????? ??-++??? ??+??? ??-∴x x x n n n n 时取得最大值，＝故它在1x )1(21) 1(21 121--=--=??? ??-+++n n n n n n n n － )1(21-- >∴n a ；? ?? ???-->∴)1(21|n a a a 的取值范围为 (2)证法一： 根据x x n x a x f x f x f )1(21[ 0]10()2()(2 )(-+++≠∈< 即，，，的定义可知 ＋)1(0]10(])1(21[]2222≠∈+-+++ 下面用数学归纳法证之。 A . 设n=2时若 )21(2)21(22221)21(010222222a a a a a x a x x x x x +<+≤+?+=+≠<<则，，即(1)成立。 若， ，因为，x x a 2101≠≠= 式成立 时，当)1(2)21(22221)21(222=∴+<+?+=+∴n x x x x B. 设x x x x K a K K K K n 2221[])1(21[)2(+<+-+++≥= ，有不等式时 ＋…＋0]11(])1(22≠∈+-x a a K k x x ，且， ，其中 时且则若010≠≤ a K K K a K K x x x x x x x x )1)(21(2)21(])1()21[(22++++++++=+++++ ＋22)1(a K x + 2222)1()1)(21(2)21(a k a K K K K x x x x x x ++++++++++< 2222)1(])1(2)1(22)1(12[)21(a K a K K a K a K K K x x x x x x x x ++++++?++??++++= {} 222222222222)1(])1([)1(2[])1(1[)21(a K a K K a K a K K K x x x x x x x x +++++++++++++++< ])1(21)[1(2222a K K K x x x ++++++= ])1(21)[1(2222a K K K x x K ++++++≤ 也成立。 时，即当)1(1+=K n 成立， ，都有数的证明可知对任意自然，由)1(2≥n B A 成立，，，即0]10()2()(2≠∈ 证法二： 只需证明])1(21[])1(21[ 22222a n n n a n n n x x x x x x +-+++<+-+++≥ 时，，]10(，∈a ，x ≠0， )(2)()(131212 2221221n n n n a a a a a a a a a a a a -+++++++=+++ ++++++++++++++≤)]()[)]()[()(2222322221222122221n n n a a a a a a a a a a a )()]()[(2212222122n n n n n n a a a a a a ++++++---- )(22221n a a a n +++= )()(22221221n n a a a n a a a ++≤+++∴ 时成立。 其中等号当且仅当n a a a === 21 x x a 2101≠≠=∴时，因，当 ])1(21[])1(21[2222x x x x x x n n n n n +-+++<+-+++∴ a a x a <≠<<2010时，因，当 ++<+-+++≤+-+++∴x x x x x x x n a n n n a n n 22222221[])1(21[])1(21[ ])1(22a n n x x +-+ 成立。 ，，，即0]10()2()(2≠∈ 令BD CD AD CD tgB tgA y 22+ =+= ) 2(2 221x x x x x -+= -+= 6 2 8 212 212-+++- =++-= x x x x x D C B A ∵242 8 2≥++ +x x ；当且仅当222,8)2(2-==+x x 时取等号 ∴当222-=x 时，y 取得最小值2 2 236 241+= -- 此时2 12 24222:,224)222(2= --= -=--=DB AD DB 答：取AD:DB=1:2时，y 有最小值 2 2 23+ 【例7】在一容器内装有浓度为r%的溶液a 升，注入浓度为p%的溶液a 4 1升，搅匀后再倒出溶液a 4 1升，这叫做一次操作。 (I)设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n （每次注入的溶液都是p%）， 计算b b b 123，，，并归纳出b n 的计算公式（不要求证明） (II)设)(2q p r p r q p -=->>，且要使容器内溶液浓度不小于q%，问至少要进行上述操作多少次？（已知3010.02lg =） 解：)5154(10014 1004100)(1p r a a p a r a b I +=+ ? +? = ]5451)54[(1001410042212p p r a a p a b a b ++=+ ? + ?= ]545451)54[(10014 100432 2323p p p r a a p a b a b +++=+ ?+ ?= ]5 45451)54[(10011 2p p p r b n n n n -++++=∴ ])54 ()54(541[500)54(100)(12-+++++=n n n p r b II )()54(10011005 41)54 (1500)54(100r p p p r n n n --=--? += 100 )()54(1001100q r p p n ≥ --依题意有： 上式化简得：∴-=-)(2q p r p 2)4 5 (≥n 次。 至少要注入倒出4 103.33010 .0313010 .02lg 312lg ∴≈?-=-≥ ∴n 【例8】某商场经过市场调查分析后得知，2003年从年初开始的前n 个月内，对某种商品需求的累计数)(n f （万件）近似地满足下列关系： 12,,3,2,1,)18)(2(90 1 )( =-+= n n n n n f （Ⅰ）问这一年内，哪几个月需求量超过1.3万件？ （Ⅱ）若在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销，每月初至少要投放多少件商品？（精确到件） 解：（Ⅰ）首先，第n 个月的月需求量＝()()()1, 1 1, 212 f n f n f n n =???--≤≤?? ∵)18)(2(90 1 )(n n n n f -+= ， ∴ ()17 1 1.330 f = <． 当2n ≥时，)19)(1)(1(90 1)1(n n n n f -+-=- ∴ 21 ()(1)(33519)90 f n f n n n --= -++ 令()(1) 1.3f n f n -->，即117193532>++-n n ，解得： 73 14 < 即这一年的5、6两个月的需求量超过1.3万件． （Ⅱ）设每月初等量投放商品a 万件，要使商品不脱销，对于第n 个月来说，不仅有本月投放市场的a 万件商品，还有前几个月未销售完的商品．所以，需且只需：0)(≥-n f na ， ∴ 90 )18)(2()(n n n n f a -+=≥ 又∵9102)18()2(90190)18)(2(2 =??????-++≤-+n n n n ∴ 9 10≥a 即每月初至少要投放11112件商品，才能保证全年不脱销． 【例9】一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d 的平方成正比，与它的长度l 的平方成反比． （Ⅰ）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？ （Ⅱ）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R ）的木材，用 它来截取成长方体形的枕木，木材长度即为枕木规定的长度， 问如何截取，可使安全负荷最大？ 解：（Ⅰ）由题可设安全负荷k l ad k y (221?=为正常数），则翻转90o后，安全负荷2 22da y k l =?． 因为 12y d y a =，所以，当0d a <<时，12y y <．安全负荷变大； a d l 当0a d <<时，12y y >，安全负荷变小． （2）如图，设截取的枕木宽为a ，高为d ，则2 22 2a d R ??+= ??? ，即22244a d R +=． ∵ 枕木长度不变，∴u =ad 2 最大时，安全负荷最大 ∴ () 22222422442u d a d R d d R d ==-=- ()()3 222222223 ++2244223439 d d R d d d R d R ??- ?=??-≤ ? ? ???= 当且仅当222 2d R d -=， 即取R d 36= ，R d R a 3 32222=-=时，u 最大， 即安全负荷最大． 【例10】现有流量均为3002 /m s 的两条河流A 、B 会合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为23 /kg m 和0.23 /kg m ．假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒钟内交换1003 m 的水量，即从A 股流入B 股1003m 水，经混合后，又从B 股流入A 股1003 m 水并混合．问：从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.013 /kg m （不考虑泥沙沉淀）？ 解：本题的不等关系为“两股河水的含沙量之差小于0.013 /kg m ”．但直接建构这样的不 等关系较为困难．为表达方便，我们分别用,n n a b 来表示河水在流经第n 个观测点时，A 水流和B 水流的含沙量． 则1a ＝23 /kg m ，1b ＝0.23 /kg m ，且 ()()11111003001002001312 , 100300441002003 3n n n n n n n n n n a b b a b a b a b a ++++++= =+=+++＝．（＊） 由于题目中的问题是针对两股河水的含沙量之差，所以，我们不妨直接考虑数列 {}n n a b -． 由（*）可得： ()() 1111112221 313333442n n n n n n n n n n n n a b b a b a b a a b a b +++++??????-=+-=-=-+=- ? ????????? 所以，数列{}n n a b -是以11 1.8a b -=为首项，以 1 2 为公比的等比数列． 所以，1 11.82n n n a b -?? -=? ? ?? ． 由题，令n n a b -< 0.01，得1 112180n -?? < ? ?? ．所以，2lg1801log 180lg 2 n ->=． 由7 8 21802<<得27log 1808<<，所以，8n >． 即从第9个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于0.013 /kg m ． 【例11】用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右 图)设容器高为h 米，盖子边长为a 米， (1)求a 关于h 的解析式； (2)设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值(求解本题时，不计容器厚度) 解：①设h ′是正四棱锥的斜高，由题设可得： ??? ??? ?=+='?+12222 4122 14h a a a h a 消去)0(1 1:.2 >+='a h a h 解得 ②由) 1(33 1 22+==h h h a V (h ＞0) 得：21 21) 1(31 =?=+ += h h h h h h V 而 所以V ≤ 61 ，当且仅当h =h 1即h =1时取等号 故当h =1米时，V 有最大值，V 的最大值为6 1 立方米. 六、专题练习 【不等式的解法练习1】 一、选择题 1．不等式)(|1 | +∈>-R a a x ax 的解集是 （ D ） （A ）{a x x 1 |>} （B ）{a x x 21|< } （C ）{a x a x 121| <<} （D ）{a x x x 21 00|< <<或} 2．当x ∈(,)12时，不等式2 1()l o g x a x -<恒成立，则a 的取值范围是 （ B ） （A ）),2[+∞ （B ）（1，2） （C ）]2,1( （D ）（0，1） 3．不等式()() l o g l o g ()()x x x x --->-11232成立的一个充分但不必要条件是 （ B ） （A ）x >2 （B ）x >4 （C ）12 < 1422l o g ,,的大小关系是 （ B ） （A ）20.20.11422l o g << （B ）20.10.214 22l o g << （C ）0.10.222214< < ) {} B A x x x B x x A R I 则，，lg 2012=-=≤+==是 ( B ) A ．{}2 B ．{}1- C ．? D ．{}1-≤x x 6．下列命题中，正确的是 ( C ) A ．若02>>x x x ，则 B ．若x x x >>20，则 C ．若x x x ><20，则 D ．若02<>x x x ，则 7．若a b ，是任意实数，且a b >，则 ( D ) A ．2 2 b a > B ．1 b C ．()0lg >-b a D ．b a ?? ? ?? 8．设01<<+=abab 且，则下列四数中最大的是 ( A ) A ．22b a + B ．2a b C ．a D ． 2 1 9．不等式()()R x x a x a ∈<--+-对042222恒成立，则a 的取值范围为 ( D ) A ．()()∞+--∞，，22 B ．()[)∞+-∞-，，22 C ．()22，- D ．(]22，- 10．不等式051 2.l g x >的解集是 ( B ) A ．()11，- B ．()()1001，， - C ．? D ．?? ? ??∞+??? ? ? -∞-，，2 121 11．当1≤++∈b a b a R b a 时，不等式、 成立的充要条件是 ( C ) A ．a b <0 B ．a b >0 C ．a b 22 0+≠ D ．a b ≠0 12．已知3=+∈b a R b a ，且、，那么b a 33+的最小值是 ( B ) A ．6 B ．63 C ．8 D ．38 第1讲 三角函数与平面向量 A 组 基础达标 1.若点? ????sin 5π 6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为________． 2.已知α∈? ????0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，那么sin α＝________. 3.(2019·榆林模拟)若sin ? ????A ＋π4＝7210，A ∈? ?? ??π4，π，则sin A ＝________． 4.若函数f (x )＝2sin ? ????2x ＋φ－π6(0<φ<π)是偶函数，则φ＝________． 5.已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2)的部分图象如图所示，那 么φ＝________． (第5题) 6.已知sin ? ????α＋π3＝1213，那么cos ? ?? ??π6－α＝________． 7.在距离塔底分别为80m ，160m ，240m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m. 8.(2019·湖北百校联考)设α∈? ????0，π3，且6sin α＋2cos α＝ 3. (1) 求cos ? ????α＋π6的值； (2) 求cos ? ????2α＋π12的值． B 组 能力提升 1.计算：3cos10°－1 sin170°＝________． 2.(2019·衡水模拟改编)设函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)对任意的x ∈R ，都有f ? ????π3－x ＝f ? ????π3＋x ，若函数g (x )＝3sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＋2，则g ? ?? ??π3的值是________． 3.已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的一个对称中心为? ????π2，0，且f ? ?? ? ?π4＝1 2 ，那么ω的最小值为________． 4.已知函数f (x )＝sin ? ????ωx ＋π5(ω>0)，f (x )在[0，2π]上有且仅有5个零点，给出以下四个结论： ①f (x )在(0，2π)上有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极小值点； ③f (x )在? ????0，π10上单调递增； ④ω的取值范围是???? ??125，2910. 其中正确的结论是________．(填序号) 5.(2019·浙江卷)已知函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1) 当θ∈[0，2π)时，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2) 求函数y ＝??????f ? ????x ＋π122＋??????f ? ????x ＋π42 的值域． 6.(2019·临川一中)已知函数f (x )＝M sin (ωx ＋π 6)(M >0，ω>0)的大致图象如图所示， 其中A (0，1)，B ，C 为函数f (x )的图象与x 轴的交点，且BC ＝π. (1) 求M ，ω的值； 高三数学二轮复习重点及策略 高三数学二轮复习时间安排 1：第一阶段为重点知识的强化与巩固阶段，时间为3月1日—3月27日。 2：第二阶段是对于综合题型的解题方法与解题能力的训练，时间为3月28日—4月 16日。 专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点 函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。这些性质通常会综 合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。 一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些 基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向， 与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负， 最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。 不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。 当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的 综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。 专题二：数列。以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式， 通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法， 这些知识点需要掌握。 专题三：三角函数，平面向量，解三角形。三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单 调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定 理是很好的工具。向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还 可以和数学的一大难点解析几何整合。 专题四：立体几何。立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。 另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中， 应该掌握三棱柱，长方体。空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察 的方法为间接证明。 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科） 一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络 其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起 例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。 例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时， 高三数学第二轮专题复习系列(4) 三角函数 一、本章知识结构： 二、高考要求 1.理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。 2.掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式） 3.能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 4.会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图线、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数及Y=Asin(ωχ+φ)的简图、理解A 、ω、 的物理意义。 5. 会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx 表示角。 三、热点分析 1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强. 2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至2002年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题。 3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解. 4.立足课本、抓好基础.从前面叙述可知，我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来，所以在复习中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下，加强了对三角函数性质和图象的考查力度. 四、复习建议 应用 同角三角函数的基本关任意角的概念 任意角的三角诱导公式 三角函数的图象与计算与化简 证明恒等式 已知三角函数值求和角公式 倍角公式 差角公式 弧长与扇形面积公角度制与弧度应用 应用 应用 应用 高三数学第二轮复习教案不等式问题的题型与方法三 （3课时） 一、考试内容 不等式，不等式的基本性质，不等式的证明，不等式的解法，含绝对值不等式 二、考试要求 1．理解不等式的性质及其证明。 2．掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。 3．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。 4．掌握简单不等式的解法。 5．理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。 三、复习目标 1．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力；2．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式； 3．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题； 4．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力； 5．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题． 6．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．四、双基透视 1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰． 2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用． 4．比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)． 5．证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思维等，将会起到很好的促进作用．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的． 6．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点． 7．不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问 专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 . 【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 . 【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 . 高三理科数学二轮复习计划 高三数学一轮复习一般以知识，技能方法的逐点扫描和梳理为主，通过一轮复习，学生大都掌握基本概念、性质、定理及一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题。二轮复习承上启下，是促进知识灵活运用的关键时期，是发展学生思维水平提高学生综合能力的关键时期，对讲练检测要求较高。所以制订高三数学二轮复习计划如下。 根据本学期的复习任务，将本学期的备考工作划分为以下四个阶段： 第一阶段(专题复习)：从2018年2月22日～2018年4月30日完成以主干知识为主的专题复习 第二阶段(选择填空演练)：从2018年3月1日～2018年5月20日完成以选择填空为主的专项训练 第三阶段(综合训练)：从2018年5月～2018年5月26完成以训练能力为主的综合训练 第四阶段(自由复习和强化训练)：从2018年5月27日～2018年6月6日。 高三数学二轮复习计划 第一阶段：专题复习 (一)目标与任务： 强化高中数学主干知识的复习，形成良好的知识网络。强化考点，突出重点，归纳题型，培养能力。 根据高考试卷中解答题的设置规律，本阶段的复习任务主要包括以下七个知识专题： 专题一：集合、函数、导数与不等式。此专题函数和导数以及应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况是在客观题中考查导数的几何意义和导数的计算，属于容易题;二是在解答题中进行综合考查，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等，此题具有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合。 专题二：数列、推理与证明。数列由旧高考中的压轴题变成了新高考中的中档题，主要考查等差等比数列的通项与求和，与不等式的简单综合问题是近年来的热门问题。 专题三：三角函数、平面向量和解三角形。平面向量和三角函数的图像与性质、恒等变换是重点。近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题、一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点。平面向量具有几何与代数形式的双重性，是一个重要的知识交汇点，它与三角函数、解析几何都可以整合。 专题四：立体几何。注重几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算，用空间向量解决点线面的问题是重点。 专题五：解析几何。直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。近几年高考中圆锥曲线问题具有两大特色：一是融综合性、开放性、探索性为一体;二是向量关系的引入、三角变换的渗透和导数工具的使用。我们在注重基础的同时，要兼顾直线与圆锥曲线综合问题的强化训练，尤其是推理、运算变形能力的训练。 不等式选讲 一、绝对值不等式 1．绝对值三角不等式 定理1：如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时，等号成立。 注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当a，b不共线时，|a+b|≤|a|+|b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。 （2）不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，在侧“=”成立的条件是ab≥0，左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≤0，左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|。 定理2：如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。 2．绝对值不等式的解法 （1）含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集 注：|x|以及|x-a|±|x-b|表示的几何意义（|x|表示数轴上的点x到原点O的距离；| x-a |±|x-b|）表示数轴上的点x到点a,b的距离之和（差） （2）|ax+b|≤c(c＞0)和|ax+b|≥c(c＞0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c; ②| ax+b|≥c? ax+b≥c或ax+b≤-c. （3）|x-a|+|x-b|≥c(c＞0)和|x-a|+|x-b|≤c(c＞0)型不等式的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。 学案18 基本不等式及其应用 班级________姓名________ 【导学目标】 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 【知识梳理】 1．基本不等式 ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：____________. (2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥__________(a ,b ∈R )． (2)b a ＋a b ≥____(a ,b 同号). (3)ab ≤? ?? ?? a ＋ b 22 (a ,b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为________，几何平均数为________； 基本不等式可叙述为：________________________________________________. 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当________时，x ＋y 有最____值是________(简记：积定和最小)． (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当________时，xy 有最____值是__________(简记：和定积最大)． 5．一个结论：11 02; 0 2.x x x x x x >+ ≥<+≤-当时，则当时，则 【自我检测】 1．若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________． 2．已知t >0，则函数y ＝ t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 基本不等式 基本不等式知识 1．（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ （2）若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2．（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） （3）若*,R b a ∈，则2 2??? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3．若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 4．若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 5．若,,,+∈R c b a a b c c b a 3333≥++， 33abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取等） 应用一 直接求最值 例1 求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x （3）（理科）已知+∈R y x ,，且满足232x y =，则x y +的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．6 D ．4 （4）已知+∈R c b a ,,且满足132=++c b a ，则c b a 31211++的最小值为 （5）若b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2 ，则y x ,的大小关系是 （6）若,0,0>>b a 且,72=++b a ab 则b a +的最小值是 技巧一 凑项 例1 已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值 1．函数y ＝log 2(x ＋1x －1 ＋5)(x >1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－4 技巧二 凑系数 例2 当40< 2013高三数学二轮复习专题—数列 【高频考点解读】 一、等差数列的性质 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ 推广： d m n a a m n )(-+=． 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或 b a A +=2 （2）数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +（项数为奇数的等差数列的各项和等于项 数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2）数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶ 数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及 n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求 出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 2014届高三数学第二轮复习 第3讲 不等式 一、本章知识结构： 实数的性质 二、高考要求 （1）理解不等式的性质及其证明。 （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用。 （3）分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。 （4）掌握某些简单不等式的解法。 （5）理解不等式|a|﹣|b| ≤|a+b|≤|a| +|b|。 三、热点分析 1.重视对基础知识的考查，设问方式不断创新.重点考查四种题型：解不等式，证明不等式，涉及不等式应用题，涉及不等式的综合题，所占比例远远高于在课时和知识点中的比例.重视基础知识的考查，常考常新，创意不断，设问方式不断创新，图表信息题，多选型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青眯，值得引起我们的关注. 2.突出重点，综合考查，在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重.在全面考查函数与不等式基础知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的考查力度，是高考对不等式考查的又一新特点. 3.加大推理、论证能力的考查力度，充分体现由知识立意向能力立意转变的命题方向.由于代数推理没有几何图形作依托，因而更能检测出学生抽象思维能力的层次.这类代数推理问题常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为知识背景，并与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高，有利于高考选拔功能的充分发挥.对不等式的考查更能体现出高观点、低设问、深入浅出的特点，考查容量之大、功能之多、能力要求之高，一直是高考的热点. 4.突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识. 不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点,考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用。高考试题中有以下几个明显的特点： （1）不等式与函数、数列、几何、导数,实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多，单独考查不等式的试题题量很少。 不等式的解题归纳第一部分含参数不等式的解法 例1解关于x的不等式2x2? kx _ k岂0 例2 .解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0. 2x2+2k x +k 例3、若不等式2x 2 2kx 1 :::1对于x取任何实数均成立，求k的取值范围. 4x +6x +3 例4若不等式ax2+bx+1>0的解集为｛x | -3 1. (2010年高考福建卷)已知函数f(x) = |x —a|. (1)若不等式f(x)w 3的解集为｛x|—K x< 5｝，求实数a的值； ⑵在(1)的条件下，若f(x) + f(x+ 5)> m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围. 2. 设函数f (x) =|x-1| |x-a|, (1 )若a = -1，解不等式f(x)_3 ；(2)如果- x R , f(x) —2，求a的取值范围 3. 设有关于x的不等式lg(j x + 3+|x-7?a 高三数学二轮复习计划 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高三理科数学二轮复习计划 高三数学一轮复习一般以知识，技能方法的逐点扫描和梳理为主，通过一轮复习，学生大都掌握基本概念、性质、定理及一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题。二轮复习承上启下，是促进知识灵活运用的关键时期，是发展学生思维水平提高学生综合能力的关键时期，对讲练检测要求较高。所以制订高三数学二轮复习计划如下。 根据本学期的复习任务，将本学期的备考工作划分为以下四个阶段： 第一阶段(专题复习)：从2018年2月22日～2018年4月30日完成以主干知识为主的专题复习 第二阶段(选择填空演练)：从2018年3月1日～2018年5月20日完成以选择填空为主的专项训练 第三阶段(综合训练)：从2018年5月～2018年5月26完成以训练能力为主的综合训练 第四阶段(自由复习和强化训练)：从2018年5月27日～2018年6月6日。 高三数学二轮复习计划 第一阶段：专题复习 (一)目标与任务： 强化高中数学主干知识的复习，形成良好的知识网络。强化考点，突出重点，归纳题型，培养能力。 根据高考试卷中解答题的设置规律，本阶段的复习任务主要包括以下七个知识专题： 专题一：集合、函数、导数与不等式。此专题函数和导数以及应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况是在客观题中考查导数的几何意义和导数的计算，属于容易题;二是在解答题中进行综合考查，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等，此题具有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合。 专题二：数列、推理与证明。数列由旧高考中的压轴题变成了新高考中的中档题，主要考查等差等比数列的通项与求和，与不等式的简单综合问题是近年来的热门问题。 专题三：三角函数、平面向量和解三角形。平面向量和三角函数的图像与性质、恒等变换是重点。近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题、一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点。平面向量具有几何与代数形式的双重性，是一个重要的知识交汇点，它与三角函数、解析几何都可以整合。 专题四：立体几何。注重几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算，用空间向量解决点线面的问题是重点。 专题五：解析几何。直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。近几年高考中圆锥曲线问题具有两大特色：一是融综合性、开放性、探索性为一体;二是向量关系的引入、三 2019年高考数学一轮复习不等式知识点讲 解 不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。下面是不等式知识点讲解，请考生掌握。 1。解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化。在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一。通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰。 2。整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用。课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学 生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可 记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。 3。在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰。 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编 专题二 万能答题模板——助你解题得高分 数学解答题题型解读 数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力． 针对不少同学答题格式不规范，出现“会而不对，对而不全”的问题，规范每种题型的万能答题模板，按照规范的解题程序和答题格式分步解答，实现答题步骤的最优化． 万能答题模板以数学方法为载体，清晰梳理解题思路，完美展现解题程序，把所有零散的解题方法与技巧整合到不同的模块中，再把所有的题目归纳到不同的答题模板中，真正做到题题有方法，道道有模板，使学生从题海中上岸，知点通面，在高考中处于不败之地，解题得高分． 模板1 三角函数的性质问题 例1 已知函数f (x )＝cos 2????x ＋π12，g (x )＝1＋1 2 sin 2x . (1)设x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，求g (x 0)的值； (2)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )的单调递增区间． 审题破题 (1)由x ＝x 0是y ＝f (x )的对称轴可得g (x 0)取到f (x )的最值；(2)将h (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式． 解 (1)f (x )＝12? ???1＋cos ????2x ＋π6， 因为x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴， 所以2x 0＋π 6＝k π (k ∈Z )， 即2x 0＝k π－π 6 (k ∈Z )． 所以g (x 0)＝1＋12sin 2x 0＝1＋1 2sin ????k π－π6，k ∈Z . 当k 为偶数时，g (x 0)＝1＋12sin ????－π6＝1－14＝34. 当k 为奇数时，g (x 0)＝1＋12sin π6＝1＋14＝5 4. (2)h (x )＝f (x )＋g (x ) ＝12[1＋cos ????2x ＋π6]＋1＋1 2 sin 2x2020版高考数学二轮复习专题汇编全集
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