概率论习题册
第1章 概率论的基本概念
(一)选择题
1．事件表达式B A +的意思是( ).
A.事件A 与事件B 同时发生
B.事件A 发生但事件B 不发生
C.事件A 发生但事件A 不发生
D.事件A 与事件B 至少有一件发生
2．将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为( ).
A.2242
B.2412C C
C.24!2A
D.!
4!
2 3．将3个相同的小球随机地放入4个杯子中，则杯子中球的最大个数为1的概率为( ).
A.3344A
B.3344C
C.4343A
D.434
3
C 4.同时掷3枚均匀硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率为( ). A.1/8 B.1/6 C.1/4 D.1/2
5．设A,B,C 是某个随机试验中的三个事件，则下列说法错误的是( ). A.事件“A,B,C 中至少有一个发生”可表示为：A+B+C ; B.事件“A,B,C 同时发生”可表示为：ABC ；
C.事件“A,B,C 中恰好有一个不发生”可表示为：C B A ++；
D.事件“A 与B 同时发生，且C 不发生”可表示为：C AB
6．某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为3/4，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是( ). A.3
)4
3( B. 41)4
3(2
? C. 43)41(2? D.224)4
1(C (二)填空题
1.已知P(A)=0.6,P(B|A)=0.3,则P(AB)=____ .
2.已知P(A)=0.8,P(A-B)=0.6,P(B)=0.3,则P(A+B)=_____，P(B|A)= ____ .
3.已知8.0)(=A P ，6.0)(=-B A P ，则)(B A P += ,)|(A B P = .
4.设B A ,为随机事件，6.0)(,
5.0)(==B P A P ，2.0)(=-B A P ，求)(B A P + 5.设P (A )=0.3，P (A+B )=0.6 .（1）若A 和B 互不相容，则P (B )= ；（2）若A 和B 相互独立，则P (B )= ；（3）若B A ?，则P (B )= ；（4）若P (AB )=0.2，则P (B )=____ .
6．三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为____ .
7．一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为____ .
8．一批产品，由甲厂生产的占1/3，其次品率为5%，由乙厂生产的占2/3，其次品率为10%，从这批产品中随机取一件，恰好取到次品的概率为____ .
(三)计算题
1.设停车场有12个位置排成一行，现停放8辆车，求恰有4个接连位置空着的概率.
2.对一个5人学习小组考虑生日问题：求（1）5个人的生日都在星期日的概率；（2）5个人的生日都不在星期日的概率（3）5个人的生日不都在星期日的概率 .
3.3个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子有3个黑球5个白球，现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球.求：（1）这个球是白球的概率；（2）已知取出的球为白球，此球属于第二个箱子的概率 .
4. 已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，假设男人女人各占一半 .现随机挑选一人 .（1）此人恰是色盲患者的概率多大？（2）若随机挑选一人，此人不是色盲患者，问他是男人的概率多大？
5．设A,B两厂次品率分别为1%和2%，若已知两厂产品分别占总数的60%和40%，现从中任取一件，发现是次品，求此次品是A厂生产的概率 .
6.有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车来的概率分别为0.5、0.3、0.2，如果他乘火
车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别为1/12,1/4,1/3，求：（1）他迟到的概率；（2）如果他迟到了，则他是乘火车来的概率是多少？
第2章 随机变量及其分布
(一)填空题
1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且3
1
}0{=
=X P ，则=λ____ . 2.若)5,1(~-U X ，则方程04522
=-++X Xx x 有实根的概率为____ .
3.设X ~)2,3(2N ，则=≤<)52(X P .（6915.0)5.0(,8413.0)1(=Φ=Φ）
4.设),3(~2σN X ,且1.0}0{= 5.设随机变量X 的概率密度?? ?≤≤=else x Ax x f 0 1 0)(2, 则常数=A ____ . 6.已知随机变量X 的密度为?? ?<<+=else x b ax x f 0 10)(,且85 }21{=>X P ,则 a =________， b =________. 7.设X 服从概率密度?? ?<<=else x x x f 0 1 02)(，以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事 件}2 1{≤X 出现的次数，则==}2{Y P ____ . (二)选择题 1.设随机变量X 只能取-1,0,1,2四个数值,其相应的概率依次为,c c c c 162,85,43,21,则c 的取值为( ). A.3/2 B. 8/3 C.2 D.3/8 2.设随机变量X 的分布率为)5,4,3,2,1(15 }{== =k k k X P ，则=<<}2521{X P ( ). A.1/5 B.2/5 C.3/5 D.4/5 3.设)4,5.1(~N X ，且894 4.0)2 5.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则{24}P X -<<=（ ）. A 0.8543 B 0.1457 C 0.3541 D 0.2543 4.设X 的密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ，且)()(x f x f -=.那么对任意给定的a 都有（ ） A.?-=-a dx x f a F 0)(1)( B.?-=-a dx x f a F 0 )(21 )( C.)()(a F a F -= D.1)(2)(-=-a F a F 5.设X 的分布函数为)(x F ，则13+=X Y 的分布函数)(y G 为( ). A.)3131 (-y F B.)13(+y F C.1)(3+y F D. 3 1)(31-y F 6.设随机变量X 的概率密度为?? ?≤>=-1 1 )(2 x x kx x f ，则=k ( ). A.1/2 B.1 C.-1 D. 3/2 7.任何一个连续型随机变量X 的概率密度)(x f 一定满足( ). A.1)(0≤≤x f B. 在定义域内单调不减 C.1)(lim =+∞ →x f x D. 1)(=? +∞ ∞ -dx x f (三)计算题 1.已知连续型随机变量X 的分布函数为?????>+≤=- 0)(22x Be A x x F x , 求: (1) 常数A,B 的值; (2) 随机变量X 的密度函数f(x);(3)}22{< 2.服从柯西分布的随机变量X 的分布函数是x B A x F a r c t a n )(+=，求常数}1|{|;, 3.设随机变量X 的概率密度为?? ? ??≤<-<≤=else x x A x Ax x f 021) 2(10)(, 求（1）常数A ；(2)}2 321{≤≤X P ；（3）)(x F . 4.设某种电子元件的寿命服从正态分布)100,40(N ，随机地取5个元件，求恰有两个元件寿命小于50的概率. 5.设随机变量X 的概率密度为?? ?<≥=-0 0)(x x e x f x ， 求：（1）}21{<≤-X P ； （2）随机变量X e Y =的概率密度)(y f Y . 第4章 随机变量的数字特征 （一）选择题 1.已知X ～B (n,p ),且E (X )= 2.4,D (X )=1.44,则n,p 的值为（ ）. A.4,0.6 B.6,0.4 C.8,0.3 D.24,0.1 2.设随机变量X,Y 相互独立，且X ～B (16,0.5)，Y ～P (9)，则D (X-2Y+1）= ( ). A.-14 B.13 C.40 D.41 3.现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，今某人从中随机无放回地抽取3张，则此人得奖的金额的数学期望是（ ）. A.6 B.12 C.7.8 D.9 4.已知X 是随机变量，且4)(,2)(==X D X E ，则=)(2 X E （ ）. A.6 B.8 C.10 D. 不存在 5.设X,Y 为两个随机变量，E (X ), E (Y ), D (X ), D (Y )均存在，下列给出的四个式子哪个是正确的( ). A. E (X+Y )=E (X )+E (Y ) B.D (X+Y )=D (X )+D (Y ) C. E (XY )=E (X )E (Y ) D.D (XY )=D (X )D (Y ) (二) 填空题 1.设离散型随机变量X 的分布律为： X -1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.3 0.4 令Y =X +1,则E (Y )= ____ . 2.设连续型随机变量X 的分布函数为?????≥<≤<=41 404 00 )(x x x x x F , 则=)(X E ____ . 3.设随机变量X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，且每次射击命中目标的概率为 4.0，则______)(2=X E (三)计算题 1.设离散型随机变量X 的分布律为： 求:)(),12(),(2X E X E X E -，)(X D 2.设连续型随机变量X 的概率密度为?? ? ??<≤-<≤-+=else x x a x x x f 010011)( 求(1)常数A ;(2)E (X );(3) D (X ) 3.设连续型随机变量X 的概率密度为?????<<+-=else x x x f 0 201 2 1 )( 求:)1(),2(),(2 +X E X E X E ，)(X D 4.设连续型随机变量X 的概率密度为?? ?<<+=else x bx a x f 0 1 0)(2 ,且6.0)(=X E ，求：常数a,b;D (X ). X -2 1 2 P 0.1 0.2 0.3 0.4 5.设长方形的高（m ）X ～U (0,2)，已知长方形的周长为20（m ），求长方形的面积A 的数学期望. 第5章 大数定律和中心极限定理 (一)填空题 1.设随机变量X 与Y 相互独立，且1)(-=X E ，1)(=Y E ，2)(2 =X E ，3)(2 =Y E ，则由切比雪夫不等式有P {|X +Y |<6}≥____ . 2.设n X X X ,,,21???是n 个相互独立同分布的随机变量，μ=)(i X E ，8)(=i X D ， ),,2,1(n i ???=，对于∑ ==n i i n X X 1 ，则____}{≤≥-εμX P ，≥<-}4{μX P ____ . 3.设 X 的数学期望 E (X )=100，方差D (X )=10，则由切比雪夫不等式P {80 ≥ . 4．设X ～B (200,0.6)，当P {X ≤k }≥0.999时，则k ≥____ . 5．设随机变量10021,,,X X X ???相互独立同分布，且1 ! 1}{-= =e k k X P i ，???=,2,1,0k ，则=<∑=}120{100 1 i i X P ____ . (二)选择题 1.设随机变量X ～),(2σμN ，则随σ的增大，概率}{σμ<-X P 是( ). A. 单调增大 B. 单调减少 C. 保持不变 D. 增减不定 2.设???,,21X X 为独立同分布序列，且i X ),2,1(???=i 服从参数为θ的指数分布，则由独立 同分布的中心极限定理有( ) 其中dt e x t x 22 21)(- ∞ -? = Φπ . A )(}{lim 1 x x n n X P n i i n Φ=≤-∑=+∞ →θ θ B )(}{lim 1 x x n n X P n i i n Φ=≤-∑=+∞ → C )(}{lim 1 x x n X P n i i n Φ=≤-∑=+∞ →θ θ D )(}{lim 1 x x n X P n i i n Φ=≤-∑=+∞ →θ θ 3．设随机变量921,,,X X X ???相互独立同分布，1)(=i X E ，1)(=i X D ，)9,,2,1(???=i ，令∑== 9 1 9i i X S ，则对任意0>ε，从切比雪夫不等式直接可得( ). A. 2 91 1}1{ε ε-><-S P B. 2 99 1}9{ε ε-≥<-S P C. 2 91 1}9{εε-><-S P D. 2911}191{ ε ε-≥<-S P (三)计算题 1．已知正常成人男性血液中，每一毫升含白细胞数平均为7300，均方差为700，试利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200至9400之间的概率. 2．设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5公斤，均方差为0.1公斤.问5000只零件的总重量超过2510公斤的概率是多少？ 3．一部件包括10个部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为2毫米，均方差为0.05毫米.规定总长度为20±0.1毫米时产品合格，试求产品合格的概率. 4．某工厂生产炭末电阻，在正常生产情况下，废品的概率为0.01，今取500个装成一盒，问废品不超过5个的概率是多少？ 5．有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3米，现从木柱中随机取出100根，问其中至少有30根短于3米的概率是多少？ 6.对敌人的防御阵地进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量，其数学期望是2，方差是1.69，求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率. 第6章 样本及抽样分布 (一)填空题 1.设）（1001,,X X 是来自正态总体)20,60(2 N 的样本，X 为样本均值，则X 的分布是____ . 2.设）（1021,,,X X X 和）（1521,,,Y Y Y 是来自正态总体)6,20(N 的两个，X 和Y 为两个样本的均值，则Y X -的分布是____ . 3.设)30(~t t ，则 21 t 的分布是____ . 4.设） （4321,,,X X X X 是来自正态总体),0(2 σN 的样本，则24 23 22 1 3X X X X U ++=的分布 是____ . 5.设总体X 服从正态分布)3,20(2 N ，样本）（2521,,,X X X 来自总体X ，则当 =≤-∑∑==25 17 161 }182{i i i i X X P ____ . (二) 选择题 1.设n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2 σμN 的简单随机样本，其中2 ,σμ未知，则下面不是统计量的是( ). A.i X B.∑==n i i X n X 11 C.∑=--=n i i X X n S 12 2)(11 D. 2 1 2)(11∑=--=n i i X n S μ 2.设n X X ,,1 是来自正态总体),(2 σμN 的样本，则∑=-n i i X 1 22 )(1 μσ服从的分布为( ). A. )(2n χ B.)1(2-n χ C.),(2 n N σμ D.)1(-n t 3.设12,, ,n X X X 是来自总体)1,0(N 的简单随机样本， 则∑=-n i i X X 1 2 )(服从分布为( ). A. )(2n x B. )1(2-n x C. ),0(2n N D. )1 ,0(n N 4.设）（m n n n X X X X X ++,,,,,,121 是来自正态总体),0(2 σN 的样本，则统计量 ∑∑++===m n n i i n i i X n X m U 1 21 2服从的分布是( ). A.F (m,n ) B. F (n-1,m-1) C. F (n,m ) D. F (m-1,n-1) 5 对于给定的正数)10(<<αα，设),(),(),(,212 n n F n t n z ααααχ分别是标准正态分布， )(2n χ分布，)(n t 分布和),(21n n F 分布的上α分位点，则下面的结论不正确的是（ ） A.)()(1n z n z αα-=- B.)()(221n n ααχχ-=- C.)()(1n t n t αα-=- D. ) ,(1 ),(12211n n F n n F αα= - 6.设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从正态分布)3.0(2 N ,设） （921,,,X X X 和） （921,,,Y Y Y 分别是来自两总体的简单随机样本,则统计量∑∑===9 1 29 1i i i i Y X U 服从分布是( ). A.t (9) B. t (8) C.N (0,81) D. N (0,9) 7.设),,,(21n X X X 是来自总体),(2 σμN 的简单随机样本，X 是样本均值，记 2 1 2 1)(11∑ =--=n i i X X n S ， 2 1 2 2 ) (1∑=-=n i i X X n S ， 21 2 3 )(11∑ =--=n i i X n S μ， 21 2 4 )(1∑=-=n i i X n S μ则服从自由度1-n 的t 分布的随机变量是=T （）. A. 1 1 --n S X μ B. 1 2 --n S X μ C. n S X 3 μ- D. n S X 4 μ- (三) 计算题 1.设4321,,,X X X X 是来自正态总体)3,0(2N 的简单随机样本，若随机变量 243221)52()3(X X b X X a X -+-=，试求b a ,的值，使统计量X 服从2χ分布，并求其自 由度. 2.设随机变量X 和Y 相互独立且均服从)4,0(2 N ，而）（1621,,,X X X 和） （1621,,,Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的样本，求统计量∑∑=== 16 1 216 1 i i i i Y X V 服从的分布. 3.假定）（21,X X 是取自正态总体),0(~2 σN X 的一个样本，试求统计量2 212 21) ()(X X X X -+服从的分布. 4.在总体)3.6,52(2 N 中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到53.8之间 的概率. 5.设容量为n 的简单随机样本取自总体N (3.4,36),且样本均值在区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n 至少应取多大？ 6.设某厂生产的灯泡的使用寿命),1000(~2 σN X （单位：小时），随机抽取一容量为9的样本，并测得样本方差2 2 100=S ，试求}1062{>X P . 7.设总体),12(~2 σN X ,抽取容量为25 的样本,求样本均值X 大于12.5的概率. (1)已知2=σ; (2)σ未知,但已知样本方差57.52 =S 第7章 参数估计 (一)选择题 1.下列叙述中正确的是( ). A.若θ?是θ的无偏估计，则() 2 ?θ也是2θ的无偏估计. B.21?,?θθ都是θ的估计，且)?()?(2 1θθD D ≤，则1?θ比2?θ更有效. C.若21?,?θθ都是θ的无偏估计，且22 21)?()?(θθθθ-≤-E E ，则1?θ优于2?θ D.由于0)(=-μX E ，则.μ=X 2.设12,, ,(2)n X X X n ≥为正态总体),(2 σμN 的一个样本,若统计量∑-=+-1 1 2 1)(n i i i X X C 为2 σ的无偏估计,则C 值应为( ). A. 12n B. 121n - C. 122n - D. 11 n - 3.设总体服从参数为θ的指数分布,若X 为样本均值,n 为样本容量,则下列错误的是( ). A. θ=X E B. 2 DX n θ= C. () 22 (1)n E X n θ+= D. () 2 2 1 θ = X E 4. 设） ，（4321,,X X X X 为来自总体X 的样本，下列关于EX 的无偏估计中，最有效的为( ). A. )(2121X X + B. )(3 1 321X X X ++ C. 43214 1 414141X X X X +++ D. 321313232X X X -+ (二)计算题 1.已知灯泡寿命的标准差50=σ小时，抽出25个灯泡检验，得平均寿命500=x 小时，试以%95的可靠性对灯泡的平均寿命进行区间估计（假设灯泡寿命服从正态分布）. 2.设正态总体X 的方差为1，据来自X 的容量为100的简单随机样本，测得均值为5，则 X 的期望的置信度近似等于95.0的置信区间为多少？ 3. 人的身高服从正态分布，从初一女生中随机抽取6名，测其身高如下（单位：cm ）： 149 158.5 152.5 165 157 142 求初一女生平均身高的置信区间)05.0(=α 4.某大学数学测验，抽得20名同学的成绩的平均值为72=x ，样本方差162 =s ，假设测 验成绩服从正态分布，求2 σ的置信度为98%的置信区间. 5.设总体), ,(~2σμN X μ未知,2σ已知,为使总体均值μ的置信度为α-1的置信区间的 长度不大于L,则样本容量n 至少应取值多少? 现实生活中的大数定理及中心值定理的应用 电子工程学院 目录 摘要........................................... 错误！未定义书签。第一章引言...................................... 错误！未定义书签。第二章大数定律 (2) 2.1大数定律的发展历史 (2) 2.2大数定律的定义 (3) 2.3几个常用的大数定律 (3) 第三章大数定律的一些应用 (6) 3.1大数定律在数学分析中的一些应用 (6) 3.2大数定律在保险业的应用 (6) 3.3大数定律在银行经营管理中的应用 9结论 (11) 参考文献 (12) 对于随机现象而言,其统计规律性只有在基本相同的条件下进行大量的重复试验才能显现出来.本文主要是通过大数定律来讨论随机现象最根本的性质——平均结果稳定性的相关内容.大数定律,描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律,是随机现象统计规律性的具体表现. 本文首先介绍了大数定律涉及的一些基础知识,以便于对文中相关知识的理解.通过比较,就不同条件下存在的大数定律做了具体的分析,介绍了几种较为常见的大数定律和强大数定律,总结了大数定律的应用,主要有大数定律在数学分析中的应用,大数定律在生产生活中的应用,大数定律在经济如：保险、银行经营管理中的应用等等,将理论具体化,将可行的结论用于具体的数学模型中,使大家对大数定律在实际生活中的应用价值有了更深的认识. 概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来.在随机事件的大量重复出现中,往往呈现几乎必然的规律,这个规律就是大数定律.大数定律是概率论中一个非常重要的课题,而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带.大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性,证明了在大样本条件下,样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论,通俗地说,这个定理就是在试验不变的条件下,重复试验多次,随机事件的频率以概率为稳定值. 在现实生活中,经常可以见到这一类型的数学模型,比如,我们向上抛一枚硬币,硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的,但当我们向上抛硬币的次数足够多时,达到上万次甚至几十万几百万次之后,我们会发现,硬币向上的次数约占总次数的二分之一,偶然中包含着必然.又如：在分析天平上称重量为a 的物品,若以12,,x x 3,...,n x x 表示n 次重复称量的结果,经验告诉我们,当n 充分大时,它们的算术平均值1 1n i i X n =∑与a 的偏差就越小.这种思想,不仅在整个概率论中起着重要00作用,而且在其他数学领域里面也占据着相当重要的地位. 大数定律的发展与研究也经历了很长一段时间,伯努利是第一个研究这一问题的数学家,他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理.现在,大数定律的相关模型已经被国内外广大学者所研究,特别是应用在实际生活中,如保险业得以存在并不断发展壮大的两大基石的一个就是大数定律.许多学者也已经在此领域中研究出了许多有价值的成果,讨论了在统计,信息论,分析、数论等方面的应用.在许多数学领域中,广大学者对某些具有特定类型的数学模型,都能利用大数定律的思考方式总结其代表性的性质及结论,使得这些类型的数学模型在进行讨论的时候大大简化了繁琐的论证过程,方便了研究.大数定律作为概率论的重要内容,其理论成果相对比较完善,这方面的文章较多,结果也比较完美,但对大数定律的应用问题的推广也是一项非常有价值的研究方向,通过对这些问题的应用推广,不仅能加深对大数定律的理解,而且能使之更为有效的服务于各项知识领域中.下面文中就通过对大数定律的讨论,给出了各大数定律之间的关系,归结出一般性结论.最后列举了一些能用大数定律来解决的实例,希望能通过这些实例,来进一步阐明大数定律在各个分支学科中的重要作用,以及在实际生活中的应用价值,加深大家对大数定律的理解. 概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。 概率论与数理统计习题 集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S：则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤ （1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随 机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）． 习题1解答 1、 写出下列随机试验的样本空间Ω: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、 解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为 {|0,1,2,,100}i i n n Ω==、 (2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=, 或写成{10,11,12,}.Ω= (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、 (3)取直角坐标系,则有22 {(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、 2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件、 (1) A 发生而B 与C 不发生; (2) A 、B 、C 中恰好发生一个; (3) A 、B 、C 中至少有一个发生; (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5) A 、B 、C 中至少有两个发生; (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生、 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） 第一章 随机事件与概率 § 随机试验 随机事件 一、选择题 1. 设B 表示事件“甲种产品畅销”，C 表示事件“乙种产品滞销”，则依题意得A=BC .于是对立事件 {}A B C ==甲产品滞销或乙产品畅销，故选D. 2. 由A B B A B B A AB =?????=Φ，故选D.也可由文氏图表示得出. 二 写出下列随机试验的样本空间 1. {}3,420，， 2 []0,100 3. z y x z y x z y x z y x ,,},1,0,0,0|),,{(=++>>>=Ω分别表示折后三段长度。 三、（1）任意抛掷一枚骰子可以看作是一次随机试验，易知共有6个不同的结果.设试验的样本点 ""1,2,3,4,5,6i i i ω==出点点， ；则{}246,,A ωωω=，{}36,B ωω= （2）{}135,,A ωωω=，{}1245,,,B ωωωω=，{}2346,,,A B ωωωω=，{}6AB ω=， {} 15,A B ωω= 四、（1）ABC ；（2）ABC ；（3）“A B C 、、不都发生”就是“A B C 、、都发生”的对立事件，所以应记为ABC ；（4）A B C ；（5）“A B C 、、中最多有一事件发生”就是“A B C 、、中至少有二事件发生”的对立事件，所以应记为：AB AC BC .又这个事件也就是“A B C 、、中至少有二事件不发生”，即为三事件AB AC BC 、、的并，所以也可以记为AB AC BC . § 随机事件的概率 一、填空题 1. 试验的样本空间包含样本点数为10本书的全排列10！，设{}A =指定的3本书放在一起，所以A 中包含的样本点数为8!3!?，即把指定的3本书捆在一起看做整体，与其他三本书全排，然后这指定的3本书再全排。故8!3!1 ()10!15 P A ?= =。 2. 样本空间样本点7!5040n ==，设事件A 表示这7个字母恰好组成单词SCIENCE ，则因为C 及C, E 及E 是两两相同的，所以A 包含的样本点数是2!2!4A =?=，故 第一章 概率论的基本概念 一、填空题 1．;)3(;)2(;)1(C B A C B A C B A C B A C AB )()4(C B C A B A C B A C B A C B A C B A 或; 2． 2 1 81，； 3．6.0； 4． 733.0，； 5． 8.0,7.0； 6． 87； 7． 85； 8. 996.01211010 12或A -； 9． 2778.0185 6 446==A ；10. p -1. 二、选择题 D ；C ；B ；A ；D ； C ；D ；C ；D ；B . 三、解答题 1.解：).()()()(),((AB P B P AB P A P A B P B A P -=-∴=） 相互独立， 又）B A B A P B P A P ,,9 1 )(),((==∴ .3 2 )(,91)](1[)()()()(22=∴=-===∴A P A P A P B P A P B A P 2.解： 设事件A 表示“取得的三个数字排成一个三位偶数”，事件B 表示“此三位偶数的末 尾为0”，事件B 表示“此三位偶数的末尾不为0”，则: =)(A P )()(B P B P += .125 3 4 1 2123423=+A A A A A 3.解：设A i =“飞机被i 人击中”，i =1,2,3 , B =“飞机被击落”, 则由全概率公式： )()()()((321321B A P B A P B A P B A B A B A P B P ++== ） )()()()()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P ++= (1) 设1H =“飞机被甲击中”，2H =“飞机被乙击中”，3H =“飞机被丙击中”, 则: =)(1A P 321(H H H P 321(H H H P 321(H H H P ) =+)(321H H H P +)(321H H H P )(321H H H P ) 由于甲、乙、丙的射击是相互独立的， 概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分） （2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生 （2）A ，B 都发生，而C 不发生 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 （4）A ，B ，C 都发生 （5）A ，B ，C 都不发生 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生 （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最 大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数 中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9） 6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的 号码。 （1）求最小的号码为5的概率。 （2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺 脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 （2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概 率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球， 今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第 二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P 第一章 随机事件与概率 1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？ 它们的联系与区别是： （1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。 （2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。 （3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。特别地，A A =、?=A A U 、φ=A A I 。 2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？ 两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。我们所说的两个事件相互独立，其实质是事件是否发生不影响A B 、A 事件B 发生的概率。而说两个事件互不相容，则是指事件发生必然导致事件A B 、A B 不发生，或事件B 发生必然导致事件不发生，即A φ=AB ，这就是说事件是否发生对事件A B 发生的概率有影响。 3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？ 所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。其中基本事件也称为样本点。而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作??φ。为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。这是由于事件的性质 随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。条件发生变化，事件的性质也发生变化。例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于3点”，都是随机事件。若同时抛掷4颗骰子，“出现的点数之和为3点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。例如： （1）将一颗骰子连续抛掷三次，观察出现的点数之和，其样本空间为 ?={34}。 518，，，，L （2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ?={012}。 3，，， 在（1）、（2）中同是将一颗骰子连续抛掷三次，由于试验目的不同，其样本空间也就不一样。 4．频率与概率有何联系与区别？ 事件的概率是指事件在一次试验中发生的可能性大小，其严格的定义为： A A 概率的公理化定义：设E 为随机试验，?为它的样本空间，对E 中的每一个事件都赋予一个实数，记为，且满足 A P A () （1）非负性：01≤≤P A ()； （2）规范性：P ()?=1； （3）可加性：若两两互不相容，有。 A A A n 12,,,,L L )P A P A i i i i ()(=∞=∞ =∑11U 则称为事件的概率。 P A ()A 而事件的频率是指事件在次重复试验中出现的次数与总的试验次数n 之比，即A A n n A ()n A n )(为次试验中出现的频率。因此当试验次数n 为有限数时，频率只能在一定程度上反映了事件n A A 发生的可能性大小，并且在一定条件下做重复试验，其结果可能是不一样的，所以不能用频率代替概率。 第一章随机事件与概率 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：Ω={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}； A={（正，反），（正，正）}； B={（正，正），（反，反）}； C={（正，反），（正，正），（反，正）}。 2.设31)(=A P ，2 1)(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）AB =?，（2）B A ?，（3）81)(=AB P 解: （1）5.0)()()()()(==-=-=B P AB P B P AB B P A B P （2）6/13/15.0)()()()()()(=-=-=-=-=A P B P AB P B P AB B P A B P （3）375 .0125.05.0)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P 3.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他 拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少 解: 记H 表拨号不超过三次而能接通。 Ai 表第i 次拨号能接通。 注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。 10 3819810991109101) |()|()()|()()()(2131211211321211=??+?+= ++=∴ ++=A A A P A A P A P A A P A P A P H P A A A A A A H 三种情况互斥 Θ 如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B ）问题变为在B 已发生的条件下，求H 再发生的概率。 ·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i = ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B === 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示 下列事件： 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 第一章概率论基本概念 一、填空 1.（1）AUBUC (2) (3) A B C A B C A B C -- - - -- ??A B B C AC -- -- -- ??2. 0.7 (注释: P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)= P(A)+P(B)-P(A)*P(B|A) ) 3. 3/7 (注释: ) ()()()()1()()()()P A B P A P B P A B P A P B P B P AB - - - ?=+-=-+-+4.77 221A ?- 5. 0.75 (注释: , 此时不能直接用BEYES 公式,因为要得到一个划分.)() (|)() P AB P B A P A = [掌握]二、选择 1.A 2.D 3.B 4.D 5.A 三、计算题 1.全概率公式求解： 设能开门记为事件A ，B0为取到0把能开门的锁，B1为取到一把能开门的锁，B2为取到两把能开门的锁 P(A)=P(B0)P(A|B0)+ P(B1)P(A|B1)+ P(B1)P(A|B1)=8/15 2.设3本一套放在一起记为A ，两套各自放在一起记为B ，两套中至少有一套放在一起记为C (1)13783710 101 ()=15 A A A P A A =(2) 35435410 101 ()=210 A A A P B A =(3) 3847354384735410 102 ()=21 A A A A A A A P C A +-=3.设购买空调记为A,购买电脑记为B,购买DVD 记为C (1) P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=0.15+0.12+0.2+-0.06-0.1-0.05+0.02 =0.28 (2)()()()()-2() P A B B C AC P A B P B C P AC P A B C -- -------- -- --- ??=++ (3)()1() P A B C P A B C --- =-??[掌握]4. 全概率公式求解：设取得正品记为A, 取到的产品来自甲厂记为B1, 取到的产品来自乙厂记为B2, 取到的产品来自丙厂记为B3, ()(1)(|1)(2)(|2)(3)(|3)0.92 P A P B P A B P B P A B P B P A B =++= 《概率论与数理统计》论文题目：正态分布及其应用 学院：航天学院 专业：空间科学与技术 姓名：黄海京 学号：1131850108 正态分布及其应用 摘要：正态分布（normal distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ,正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度,炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态分布，以及确定医学参考值范围，药品规格，用量等。可以说,正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般是一个正态随机变量。 关键词：正态分布， 一、正态分布的由来 正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution）。正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年受次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。 正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ= 0,σ= 1的正态分布。 二、正态分布的特性 1. 正太分布的曲线特征 正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。 （1）集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。 （2）对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。 （3）均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。 第一章 思 考 题 1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？ 2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个 能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？ ３．圆周率ΛΛ1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把 它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表: 67 5844625664686762609876543210出现次数数字 你能说出他产生怀疑的理由吗? 答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等， 或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由. 4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？ ５．两事件A 、B 相互独立与A 、B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不 相容事件又有何区别和联系？ ６．条件概率是否是概率？为什么？ 习 题 1．写出下列试验下的样本空间： （1）将一枚硬币抛掷两次 答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)}Ω=正正，正反，反正，反反 （2）将两枚骰子抛掷一次 答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω== （3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出 答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时， 样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥ 2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： ;A (2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A (3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB (4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A Y Y (5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A Y Y <概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率 为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，概率论大作业讲解
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