数值分析最终作业
第1章题目
2. 某过程测涉及两变量x和y,拟分别用插值多项式和多项式拟合给出其对应规律的近似多项式，已知xi与yi之间的对应数据如下，xi=1,2,…,10
yi = 34.6588 40.3719 14.6448 -14.2721 -13.3570 24.8234 75.2795 103.5743 97.4847 78.2392
(1)请用次数分别为3, 4, 5, 6的多项式拟合并给出最好近似结果f(x)
(2)请用插值多项式给出最好近似结果
下列数据为另外的对照记录,它们可以作为近似函数的评价参考数据。
xi = Columns 1 through 7
1.5000 1.9000
2.3000 2.7000
3.1000 3.5000 3.9000
Columns 8 through 14
4.3000 4.7000
5.1000 5.5000 5.9000
6.3000 6.7000
Colum ns 15 through 17
7.1000 7.5000 7.9000
yi = Columns 1 through 7
42.1498 41.4620 35.1182 24.3852 11.2732 -1.7813 -12.3006
Columns 8 through 14
-18.1566 -17.9069
- ■11.0226 2.0284 19.8549 40.3626
61.0840
Colum ns 15 through 17
79.5688 93.7700 102.3677
3. 用雅格比法与高斯-赛德尔迭代法解下列方程组Ax=b，研究其收敛性，上机验证理论分析是否正确，比较它们的收敛速度，观察右端项对迭代收敛有无影响。
(1) A 行分别为A仁[6,2,-1],A2=[1,4,-2],A3=[-3,1,4] ; b仁[-3,2,4]T, b2=[100,-200,345]T,
(2) A 行分别为A1=[1,0,8,0.8],A2=[0.8,1,0.8],A3=[0.8,0.8,1] ; b1=[3,2,1] T,
b2=[5,0,-10]T,
(3) A 行分别为A仁[1,3],A2=[-7,1] ; b=[4,6]T,
第2章计算过程
2.1第二题
解：(1)设拟合模型为
3 2
y = a i x a2x a3X a4
y = a1x4a2x3a3x2a4x a5
y = a1x5a2x4a3x3a4x2a5x a6
y = a1x6a2x5a3x4a4x3a5x2a6x a7
利用matlab编程，程序见附录1.1 最终计算机运行结果见附录2.1
由于多项式拟合中，多项式的阶数越大，拟合的精度越高，所以，6次多项式为最好的近似结果为：
6 5 4 3 2
f(x)=0.0194x -0.5408X 5.1137x -16.8973x - 0.867x 66.375
(2)解：由题意知，x，y的十个已知点，现给出另外17个x值，利用编程
求出对应这17个点的y值。本文采用三次样条插值法，Matlab编程见附录1.2 最终计算结果见附录2.2
通过与题中所给数据对比来看，所得结果计算差别不大。
2.2第三题
解：当b1 = [-3,2,4]T时，用雅阁比法结合matlab编程计算。首先要编写雅阁比与高斯-赛德尔迭代法的自定义函数，然后通过调用此函数来解题。
雅阁比自定义函数程序见附录1.3。高斯-赛德尔迭代法自定义函数见附录1.4 完成后，把以上程序保存成m文件，以备调用。
现对本题中的三个小题分别利用雅阁比法进行计算，选取x(0) =[0,0,0,0]T，迭代10次。精度选10^
（1）首先用雅阁比法进行计算，当b1=[_3,2,4]T时，程序见附录1.5。当
b2=[100,—200,345]T时，程序见附录1.6。通过计算机计算，当为bl时，见附录2.3，当为b2时，见附录2.4。
现在用高斯-赛德尔法进行计算：当b仁[一3,2,4]丁时，程序见附录1.7, 当
b2=[100,_200,345]T时，程序见附录1.8。通过计算，当b仁[-3,2,4]丁时，计算结果见附录2.5,当为b2时，所得结果见附录2.6。
通过以上对比，为表达清楚，现将总结如下：
用雅阁比法计算b1、b2结果如下：
x b11=[-0.726719 0.809460 0.251958]
X b21 =[36.426331 -2.015201 114.049096]
用高斯-赛德尔法计算结果如下：
x b12=[-0.727247 0.808074 0.252546]
x b22=[36.363673 -2.075136 114.041539]
通过以上计算分析，由结果来看，他们的收敛性都比较好，理论分析
正确，但是从过程来看，通过对b1、b2本身的对比，高斯-赛德尔法的收敛速度要快于雅阁比法，基本上在第五六次迭代过程中，高斯-赛德尔法就已经很接近真实值，而雅阁比法在第七八次迭代过程中才基本接近真实值。
将b1与b2进行对比后得出，在相同计算方法的前提下，右端项对迭代收敛有一定的影响，b2的收敛性要差于b1的收敛性。
（2）仿照（1）中的计算步骤，先对其进行雅阁比法计算，b仁[3,2,1] T时, 程序见附录1.9, b2=[5,0,-10]T时，程序见附录1.10。运算结果，当为b1时, 见附录2.7,当为b2时，见附录2.8。
现对其进行高斯-赛德尔迭代法计算，当b仁[3,2,1]时，程序见附录1.11, 当b2=[5,0,-10]时，程序见附录1.12。运算结果，当为b1时，见附录2.9, 当为b2时，见附录2.10。
通过以上对比，为表达清楚，现将总结如下：
由以上方法得出，当用雅阁比法进行计算时，无论取 bl 还是b2,都没
有收敛性，所得数据过于离散。雅阁比法在本题失效（原因是本题给出的行 列式无法满足雅阁比迭代收敛的条件：
A 既不是行对角占优矩阵也不是列对
a
角占优矩阵，同时E 丄＞1）。但是用高斯-赛德尔法可以取得较好的收敛性。 孚a ii
等式右端项对迭代收敛性没有什么明显的影响。
（3） 同样，由（1）题的计算方法，先用雅阁比进行计算，程序见附录1.13, 运行结果见附录2.11。再用高斯-赛德尔迭代法进行计算，程序见附录 1.14, 运行结果见附录2.12。
由此可得，对于本小题而言，无论是雅阁比法还是咼斯-赛德尔法都已 经失
效，无法得到收敛的数列。因为此题给出的行列式无法满足雅阁比法与 高斯-赛德尔迭代法所给出的收敛条件。A 既不是行对角占优矩阵，也不是列
附录1.1
X=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]
Y=[34.6588 40.3719 14.6448 -14.2721 -13.3570 24.8234 75.2795 103.5743 97.4847 78.2392]
P3=polyfit(X, Y,3) P4=polyfit(X, Y,4) P5=polyfit(X, Y,5) P6=polyfit(X, Y,6)
附录1.2
X=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]
Y=[34.6588 40.3719 14.6448 -14.2721 -13.3570 24.8234 75.2795 103.5743 97.4847 78.2392]
Xi=[1.5 1.9 2.3 2.7 3.1 3.5 3.9 4.3 4.7 5.1 5.5 5.9 6.3 6.7 7.1 7.5 7.9] Yi= interp1(X, Y, Xi,'spline')
对角占优矩阵，且a
i
为
a ij
?1。不满足其充要条件。所以不能用这两种方法计
a H
附录1.3
function tx=jacobi(A,b,imax,xO,tol) del=10A-10;
tx=[xO]; n=length(xO);
for i=1: n
dg=A(i,i);
if abs(dg)< del
disp('diag onal eleme nt is too small'); return
end
end
for k = 1:imax
for i = 1:n
sm=b(i);
for j = 1:n
if j~=i
sm = sm -A(i,j)*xO(j);
end
end %for j
x(i)=sm/A(i,i);
end
tx=[tx ;x];
if no rm(x-xO) return else xO=x ; end end 附录1.4 function tx= gseidel( A,b,imax,xO,tol) del=1OA-1O; tx=[xO]; n=le ngth(xO); for i=1: n dg=A(i,i); if abs(dg)< del disp('diag onal eleme nt is too small'); return end end for k = 1:imax x=xO; for i = 1:n sm=b(i); for j = 1:n if j~=i sm = sm -A(i,j)*x(j); end end x(i)=sm/A(i,i); end tx=[tx;x]; if no rm(x-xO) else x0=x; end end 附录1.5 A=[6 2 -1;1 4 -2;-3 1 4]; b=[-3 2 4]; tol=1.0*10A-6 ; imax =10; x0= zeros(1,3); tx=jacobi(A,b,imax,x0,tol); for j=1:size(tx,1) fprintf('%d %f %f %f\n', j, tx(j,1),tx(j,2),tx(j,3)) end 附录1.6 A=[6 2 -1;1 4 -2;-3 1 4]; b=[100,-200,345]; tol=1.0*10A-6 ; imax =10; x0= zeros(1,3); tx=jacobi(A,b,imax,x0,tol); for j=1:size(tx,1) fprintf('%d %f %f %f\n', j, tx(j,1),tx(j,2),tx(j,3)) end 附录1.7 A=[6 2 -1;1 4 -2;-3 1 4]; b=[-3 2 4]; tol=1.0*10A-6 ; imax =10; x0= zeros(1,3); tx= gseidel (A,b,imax,xO,tol); for j=1:size(tx,1) fprin tf('%d %f %f %f\n', j, tx(j,1),tx(j,2),tx(j,3)) end A=[6 2 -1;1 4 -2;-3 1 4]; b=[100,-200,345]; tol=1.0*10A-6 ; imax =10; x0= zeros(1,3); tx= gseidel (A,b,imax,x0,tol); for j=1:size(tx,1) fprin tf('%d %f %f %f\n', j, tx(j,1),tx(j,2),tx(j,3)) end 附录1.9 A=[1 0.8 0.8;0.8 1 0.8;0.8 0.8 1]; b=[3 2 1]; tol=1.0*10A-6 ; imax =10; x0= zeros(1,3); tx=jacobi(A,b,imax,x0,tol); for j=1:size(tx,1) fprin tf('%d %f %f %f\n', j, tx(j,1),tx(j,2),tx(j,3)) end 附录1.10 A=[1 0.8 0.8;0.8 1 0.8;0.8 0.8 1]; b=[5 0 -10]; tol=1.0*10A-6 ; imax =10; x0= zeros(1,3); tx=jacobi(A,b,imax,x0,tol); for j=1:size(tx,1) fprintf('%d %f %f %f\n', j, tx(j,1),tx(j,2),tx(j,3)) end 附录1.11 A=[1 0.8 0.8;0.8 1 0.8;0.8 0.8 1]; b=[3 2 1]; tol=1.0*10A-6 ; imax =10; x0= zeros(1,3); tx= gseidel (A,b,imax,x0,tol); for j=1:size(tx,1) fprin tf('%d %f %f %f\n', j, tx(j,1),tx(j,2),tx(j,3)) end A=[1 0.8 0.8;0.8 1 0.8;0.8 0.8 1]; b=[5 0 -10]; tol=1.0*10A-6 ; imax =10; x0= zeros(1,3); tx= gseidel (A,b,imax,x0,tol); for j=1:size(tx,1) fprin tf('%d %f %f %f\n', j, tx(j,1),tx(j,2),tx(j,3)) end 附录1.13 A=[1 3;-7 1]; b=[4 6]; tol=1.0*10A-6 ; imax =10; x0= zeros(1,2); tx=jacobi(A,b,imax,xO,tol); for j=1:size(tx,1) fprintf('%d %f %f\n', j, tx(j,1),tx(j,2)) end 附录1.14 A=[1 3;-7 1]; b=[4 6]; tol=1.0*10A-6 ; imax =10; x0= zeros(1,2); tx= gseidel (A,b,imax,x0,tol); for j=1:size(tx,1) fprin tf('%d %f %f\n', j, tx(j,1),tx(j,2)) end 附录2.1 P3 = -1.0326 19.3339 -94.4787 131.7944 P4 = -0.3818 7.3680 -42.1433 73.5334 0.7450 P5 = 0.0981 -3.0789 34.5020 -163.5107 304.7282 -139.5019 P6 = 0.0194 -0.5408 5.1137 -16.8973 -0.8670 66.3750 18.6991 Yi = Colum ns 1 through 11 43.0510 41.6393 34.7861 24.1356 11.3345 -1.6605 -12.2916 -18.0792 -17.8286 -11.0129 2.1296 Colum ns 12 through 17 19.8846 40.3192 61.0680 79.5479 93.6798 102.3680 附录2.3 1 0.000000 0.000000 0.000000 2 -0.500000 0.500000 1.000000 3 -0.500000 1.125000 0.500000 4 -0.791667 0.875000 0.343750 5 -0.734375 0.869792 0.187500 6 -0.758681 0.777344 0.231771 7 -0.720486 0.805556 0.236654 8 -0.729076 0.798448 0.258247 9 -0.723108 0.811392 0.253581 10 -0.728201 0.807567 0.254821 11 -0.726719 0.809460 0.251958 附录2.4 1 0.000000 0.000000 0.000000 2 16.666667 -50.000000 86.250000 3 47.708333 -11.041667 111.250000 4 38.888889 -6.302083 124.791667 5 39.565972 2.673611 116.992187 6 35.274161 -1.395399 115.256076 7 36.341146 -1.190502 113.054470 8 35.905912 -2.558051 113.803485 9 36.486598 -2.074736 113.818947 10 36.328070 -2.212176 114.133632 11 36.426331 -2.015201 114.049096 附录2.5 1 0.000000 0.000000 0.000000 2 -0.500000 0.625000 0.468750 3 -0.630208 0.891927 0.304362 4 -0.746582 0.838826 0.230357 5 -0.74121 6 0.800482 0.243967 6 -0.726166 0.803525 0.254494 7 -0.725426 0.808604 0.253780 8 -0.727238 0.808699 0.252397 9 -0.727500 0.808073 0.252356 10 -0.727298 0.808003 0.252525 11 -0.727247 0.808074 0.252546 附录2.6 1 0.000000 0.000000 0.000000 2 16.666667 -54.166667 112.291667 3 53.437500 -7.213542 128.131510 4 40.426432 3.959147 115.580037 5 34.610291 -0.862554 112.423356 6 35.691411 -2.711174 113.696352 7 36.519783 -2.281770 114.210280 8 36.462303 -2.010436 114.099336 9 36.353368 -2.038674 114.024694 10 36.350340 -2.075238 114.031565 11 36.363673 -2.075136 114.041539 附录2.7 1 0.000000 0.000000 0.000000 2 3.000000 2.000000 1.000000 3 0.600000 -1.200000 -3.000000 4 6.360000 3.920000 1.480000 5 -1.320000 -4.272000 -7.224000 6 12.196800 8.835200 5.473600 7 -8.447040 -12.136320 -15.825600 8 25.369536 21.418112 17.466688 9 -28.107840 -32.268979 -36.430118 10 57.959278 53.630367 49.301455 11 -79.345458 -83.808587 -88.271716 附录2.8 1 0.000000 0.000000 0.000000 2 5.000000 0.000000 -10.000000 3 13.000000 4.000000 -14.000000 4 13.000000 0.800000 -23.600000 5 23.240000 8.480000 -21.040000 6 15.048000 -1.760000 -35.376000 7 34.708800 16.262400 -20.630400 8 8.494400 -11.262720 -50.776960 9 54.631744 33.826048 -7.785344 10 -15.832563 -37.477120 -80.766234 11 99.594683 77.279037 32.647747 附录2.9 1 0.000000 0.000000 0.000000 2 3.000000 -0.400000 -1.080000 3 4.184000 -0.483200 -1.960640 4 4.955072 -0.395546 -2.647621 5 5.434533 -0.229530 -3.164003 6 5.714826 -0.040659 -3.539334 7 5.863994 0.140272 -3.803413 8 5.930513 0.298320 -3.983066 9 5.947797 0.428215 -4.100810 10 5.938076 0.530187 -4.174610 11 5.915538 0.607258 -4.218237 附录2.10 1 0.000000 0.000000 0.000000 2 5.000000 -4.000000 -10.800000 3 16.840000 -4.832000 -19.606400 4 24.550720 -3.955456 -26.476211 5 29.345334 -2.295298 -31.640029 6 32.148261 -0.406586 -35.393340 7 33.639941 1.402719 -38.034128 8 34.305127 2.983201 -39.830662 9 34.477969 4.282155 -41.008099 10 34.380756 5.301875 -41.746104 11 34.155384 6.072577 -42.182368 附录2.11 1 0.000000 0.000000 2 4.000000 6.000000 3 -14.000000 34.000000 4 -98.000000 -92.000000 5 280.000000 -680.000000 6 2044.000000 1966.000000 7 -5894.000000 14314.000000 8 -42938.000000 -41252.000000 9 123760.000000 -300560.000000 10 901684.000000 866326.000000 11 -2598974.000000 6311794.000000 附录2.12 1 0.000000 0.000000 2 4.000000 34.000000 3 -98.000000 -680.000000 4 2044.000000 14314.000000 5 -42938.000000 -300560.000000 6 901684.000000 6311794.000000 7 -18935378.000000 -132547640.000000 8 397642924.000000 2783500474.000000 9 -8350501418.000000 -58453509920.000000 10 175360529764.000000 1227523708354.000000 11 -3682571125058.000000 -25777997875400.00000 西南交通大学硕士研究生数值分析上机试题第14页 二 1求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式 时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，， 4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2） （3）由事后误差估计式，右端为 而左端 这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方 法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵 ，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ， 第一章 1、 在下列各对数中，x 是精确值 a 的近似值。 3 .14,7/100)4(143 .0,7/1)2(0031 .0,1000/)3(1 .3,)1(========x a x a x a x a ππ 试估计x 的绝对误差和相对误差。 解：（1）0132.00416 .01.3≈= ≈-= -=a e e x a e r π （2）0011.00143 .0143.07/1≈= ≈-=-=a e e x a e r （3）0127.000004 .00031.01000/≈= ≈-=-=a e e x a e r π （4）001.00143 .03.147/100≈= ≈-=-=a e e x a e r 2. 已知四个数：x 1=26.3，x 2=0.0250， x 3= 134.25，x 4=0.001。试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算μ1= x 1 x 2 x 3和μ1= x 3 x 4 /x 1的相对误差限。 解：x 1=26.3 ｎ=3 δx 1=0.05 δr x 1=δx 1/∣x 1∣=0.19011×10-2 x 2=0.0250 ｎ=3 δx 2=0.00005 δr x 2=δx 2/∣x 2∣=0.2×10-2 x 3= 134.25 ｎ=5 δx 3=0.005 δr x 3=δx 3/∣x 3∣=0.372×10 -4 x 4=0.001 ｎ=1 δx 4=0.0005 δr x 4=δx 4/∣x 4∣=0.5 由公式：e r （μ）= e （μ）/∣μ∣≦1/∣μ∣Σn i=1∣?f/?x i ∣δx i e r （μ1）≦1/∣μ1∣［x 2 x 3δx 1+ x 1 x 3δx 2 +x 1 x 2δx 3］ =0.34468/88.269275 =0.0039049 e r （μ2）≦1/∣μ2∣［x 3 x 4/ x 21δx 1+ x 4/ x 1δx 3 + x 3 / x 1δx 4］ =0.501937 3、设精确数ａ>0，x 是ａ的近似值，x 的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。 解：设=()u f x ， ()()()()() ()||||||||||()||()|| | |()||()||||r r r x e u df x e x df x e x e u u dx u dx u x df x x df x x e x x dx u dx u δ= ≈==≤ ()||10.2 (())| |()||ln ln ln r r r r df x x x x f x x x dx u x x x x δδδδ==??== 数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若 1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ； 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为 数值分析作业答案 插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。 （2）用Lagrange插值基底。 （3）用Newton基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底 设多项式为: ， 所以： 所以f(x)的二次插值多项式为： （2）用Lagrange插值基底 Lagrange插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： (3) 用Newton基底: 均差表如下： xk f(xk) 一阶均差二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/ 3 5/6 Newton插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。 6、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h应取多少？ 解：以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有 式中 令得 插值点个数 是奇数，故实际可采用的函数值表步长 8、，求及。 解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系： 所以有： 15、证明两点三次Hermite插值余项是 并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。 证明：利用[xk，xk+1]上两点三次Hermite插值条件 知有二重零点xk和k+1。设 确定函数k(x): 当或xk+1时k(x)取任何有限值均可； 当时，，构造关于变量t的函数 显然有 在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理，存在及使得 在，，上对使用Rolle定理，存在，和使得 再依次对和使用Rolle定理，知至少存在使得 而，将代入，得到 推导过程表明依赖于及x 综合以上过程有： 确定误差限： 记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间[xk，xk+1]上有 而最值 进而得误差估计： 16、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。 ￥ 数值分析思考题1 1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。 2、相对误差在什么情况下可以用下式代替 3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。 4、取 ，计算 ，下列方法中哪种最好为什么（1）(3 3-，（2）(2 7-，（3） ()3 1 3+ ，（4） ()6 1 1 ，（5）99- , 数值实验 数值实验综述：线性代数方程组的解法是一切科学计算的基础与核心问题。求解方法大致可分为直接法和迭代法两大类。直接法——指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法，因此也称为精确法。当系数矩阵是方的、稠密的、无任何特殊结构的中小规模线性方程组时，Gauss消去法是目前最基本和常用的方法。如若系数矩阵具有某种特殊形式，则为了尽可能地减少计算量与存储量，需采用其他专门的方法来求解。 Gauss消去等同于矩阵的三角分解，但它存在潜在的不稳定性，故需要选主元素。对正定对称矩阵，采用平方根方法无需选主元。方程组的性态与方程组的条件数有关，对于病态的方程组必须采用特殊的方法进行求解。 数值计算方法上机题目1 1、实验1. 病态问题 实验目的： 算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 $ r e x x e x x ** * ** - == 141 . ≈)61 1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ； 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为 数值计算方法第一次作业及参考答案 1. 已测得函数()y f x =的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1）， （1）用Lagrange 插值求二次插值多项式。（2）构造差商表。（3）用Newton 插值求二次插值多项式。 解：(1)Lagrange 插值基函数为 0(1)(2)1 ()(1)(2)(01)(02)2 x x l x x x +-= =-+-+- 同理 1211 ()(2),()(1)36 l x x x l x x x = -=+ 故 2 20 2151 ()()(1)(2)(2)(1) 23631 i i i p x y l x x x x x x x x x =-==-+-+-++=-+∑ （2）令0120,1,2x x x ==-=，则一阶差商、二阶差商为 011215 5(1) [,]4, [,]20(1) 12 f x x f x x ---= =-= =----- 0124(2) [,,]102 f x x x ---= =- 实际演算中可列一张差商表： （3）用对角线上的数据写出插值多项式 2 2()1(4)(0)1*(0)(1)31P x x x x x x =+--+-+=-+ 2. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x e 的近似值，要使 截断误差不超过6 10-，问使用函数表的步长h 应取多少 解： ()40000(), (),[4,4],,,, 1.x k x f x e f x e e x x h x x h x x th t ==≤∈--+=+≤考察点及 (3) 2000 4 43 4 3 () ()[(()]()[()] 3! (1)(1) (1)(1) 3!3! .(4,4). 6 f R x x x h x x x x h t t t e t h th t h e h e ξ ξ =----+ -+ ≤+??-= ≤∈- 则 4 36 ((1)(1) 100.006. t t t h - -+± << Q在点 得 3.求2 () f x x =在［a,b］上的分段线性插值函数() h I x，并估计误差。 解： 22 22 11 1 111 22 11 11 1 () () k k k k h k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x I x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++ + +++ ++ ++ + --- =+= --- ?-? -=+- - [] 2 11 22 11 ()()()[()] 11 ()() 44 h h k k k k k k k k R x f x I x x x x x x x x x x x x x h ++ ++ =-=-+- =--≤-= 4.已知单调连续函数() y f x =的如下数据 用插值法计算x约为多少时() 1. f x=（小数点后至少保留4位） 解：作辅助函数()()1, g x f x =-则问题转化为x为多少时，()0. g x=此时可作新 的关于() i g x的函数表。由() f x单调连续知() g x也单调连续，因此可对() g x的数值进行反插。的牛顿型插值多项式为 1()0.110.097345( 2.23)0.451565( 2.23)( 1.10) 0.255894( 2.23)( 1.10)(0.17) x g y y y y y y y - ==-+++++ -++- 第一章绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值* x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= == 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -= , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, * 456.430x =,*57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) * * * 124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解： *4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为34 3 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε= 6.4.设??? ? ? ??=5010010a b b a A ，0det ≠A ，用a ，b 表示解线性方程组f Ax =的雅可比迭代与 高斯—塞德尔迭代收敛的充分必要条件。 解 雅可比迭代法的迭代矩阵 ? ??? ??? ? ??----=???? ? ??----????? ??=-050100100100000001010101 a b b a a b b a B J ， ?? ? ?? -=-1003||2ab B I J λλλ，10||3)(ab B J = ρ。 雅可比迭代法收敛的充分必要条件是3 100 || 数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大? 1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （0,1……）产生的序列{}k x 收敛于 2 解： ①迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组，其中：?? ?=13A ?? ?2 2，?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（0,1……）求解，问取什么实数α ，可使 迭代收敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分 西安邮电大学2018级工硕学位课 数值分析第一章作业 1.数值计算方法设计的基本手段是( ). (A) 近似 (B) 插值 (C) 拟合 (D) 迭代 2.为了在有限时间内得到结果,用有限过程取代无限过程所产生的近似解与精确解之间的误差称为( ). (A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 测量误差 (D) 绝对误差 3.由于计算机的字长有限,原始数据在机器内的表示以及进行算术运算所产生的误差统称为( ). (A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 相对误差 (D) 绝对误差 4.数值计算方法研究的核心问题可以概括为( )对计算结果的影响. (A) 算法的稳定性 (B) 算法的收敛性 (C) 算法的复杂性 (D) 近似 5.当N 充分大时,利用下列各式计算121N N dx I x +=+?,等式( )得到的结果最好. (A) arctan(1)arctan()I N N =+- (B) 2arctan(1)I N N =++ (C) 21arctan()1I N N =++ (D) 211I N =+ 6. 计算61), 1.4≈,利用下列哪个公式得到的结果最好?为什么? (B) 3(3- (D) 99-7.计算圆柱体的体积,已知底面半径r 及圆柱高h 的相对误差限均不超过5110-?,则计算所得体积的相对误差限如何估计?. 8.已知近似值0.500x *=的误差限*4()510x ε-≤?,32()21f x x x x =---. ①用秦九韶算法计算()f x *. ②求(())f x ε*,并说明x *及()f x *各有几位有效数字. 9. 分析算法011111,,32,1,2,,k k k y y y y y k +-?==???=-=? 的数值稳定性. 1、 方程组中，，则求解方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代均收敛的a 的范围是___________。 2、，则A 的LDL T 分解中，。 3、，则__________，_______________. 4、已 知，则用复合梯形公式计算求 得，用三点式求得____________. 5、，则_________ ，三点高斯求积公式______________. 6设* 2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则* x 有________位有效数字。 7 3()1,[0,1,2,3]f x x x f =+-=设 则差商(均差)_____________，[0,1,2,3,4]f =________________。 8 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是__________________。 9.梯形求积公式和复化梯形公式都是插值型求积公式_____（对或错）。 10.牛顿—柯特斯求积公式的系数和()0n n k k C ==∑__________________。 11.用二次拉格朗日插值多项式2()sin0.34L x 计算的值。插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。 12.用二分法求方程3()10[1.0,1.5]f x x x =--=在 区间内的一个根，误差限 210ε-=。 13.用列主元消去法解线性方程组 1231231 232346,3525,433032.x x x x x x x x x ++=??++=??++=? 14. 确定求积公式 012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h -≈-++? 。 中待定参数i A 的值(0,1,2)i =，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度。 15、 试求使求积公式的代数精度 尽量高，并求其代数精度。 16.证明区间[a,b]上带权()x ρ的正交多项式(),1,2,n P x n = 的n 个根都是单根，且位于区间(a,b)内。 17.设()()[,],max ()n n a x b f x C a b M f x ≤≤∈=，若取 21cos ,1,2,,222k a b a b k x k n n +--=+= 作节点，证明Lagrange 插值余项有估计式21()max ()!2n n n a x b M b a R x n -≤≤-≤ 18用n=10的复化梯形公式计算时， （1）试用余项估计其误差 （2）用n=10的复化梯形公式计算出该积分的近似值。 19已知方程组AX ＝f,其中 （1）列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。 （2）求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径，SOR 迭代法的最佳松弛参数 和SOR 法 的谱半径(可直接用现有结论) 20试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？ 21证明方程=)(x f x 2-x -3=0在区间(2,3)内有且仅有一个根,并用迭代法求方程在区间(2,3)内的根,精确到小数点后4位。 22设f (1)=2，f (3)=4，f (4)=6，用拉格朗日插值法求f (x )的二次插值多项式P 2(x )，并求f (2)的近似值。 第二章 1. 题目：运用MATLAB编程实现牛顿迭代 2. 实验操作 1、打开MATLAB程序软件。 2、在MATLAB中编辑如下的M程序。 function [p1,err,k,y]=newton(f,df,p0,delta,max) %f 是要求根的方程(f(x)=0); %df 是f(x)的导数； %p0是所给初值,位于x*附近； %delta是给定允许误差； %max是迭代的最大次数； %p1是newton法求得的方程的近似解； %err是p0的误差估计； %k是迭代次数； p0 for k=1:max p1=p0-feval('f',p0)/feval('df',p0); err=abs(p1-p0); p0=p1; k p1 err y=feval('f',p1) if (err p0 = 1.2000 k =1 p1=1.1030 err=0.0970 y=0.0329 k= 2 p1=1.0524 err=0.0507 y=0.0084 k =3 p1=1.0264 err=0.0260 y=0.0021 k =4 p1=1.0133 err=0.0131 y=5.2963e-004 k =5 p1=1.0066 err=0.0066 y=1.3270e-004 k =6 p1=1.0033 err=0.0033 y=3.3211e-005 k =7 p1=1.0017 err=0.0017 y=8.3074e-006 k =8 p1=1.0008 err=8.3157e-004 y = 2.0774e-006 k =9 p1=1.0004 err=4.1596e-004 y =5.1943e-007 k=10 p1=1.0002 err=2.0802e-004 y= 1.2987e-007 k=11 p1=1.0001 err=1.0402e-004 y =3.2468e-008 k=12 p1=1.0001 err=5.2014e-005 y=8.1170e-009 k=13 p1=1.0000 err=2.6008e-005 y= 2.0293e-009 k=14 p1=1.0000 err=1.3004e-005 y=5.0732e-010 k=15 p1 =1.0000 err=6.5020e-006 y=1.2683e-010 k=16 p1 =1.0000 err=3.2510e-006 y=3.1708e-011 k=17 p1 =1.0000 err=1.6255e-006 y =7.9272e-012 k=18 p1 =1.0000 err =8.1279e-007 y= 1.9820e-012 ans = 1.0000 结果说明：经过18次迭代得到精确解为1，误差为8.1279e-007。 昆明理工大学2012级硕士研究生试卷 科目： 数值分析 考试时间： 出题教师： 集体 考生姓名： 专业： 学号： 考试要求：考试时间150分钟；填空题答案依顺序依次写在答题纸上，填在试卷卷面上的不予计分；可带计算器。 一、 填空题（每空2分，共40分） 1．设*0.231x =是真值0.228x =的近似值，则*x 有 位有效数字，*x 的相对误差限 为 。 2．设 133)(47+++=x x x x f ，则=]2,,2,2[710 f ，=]2,,2,2[810 f 。 3. 过点)0,2(),0,1(-和)3,1(的二次拉格朗日插值函数为 )(2x L = ， 并计 算=)0(2L 。 4．设 32()3245f x x x x =+-+在[]1,1-上的最佳二次逼近多项式为 ， 最佳二次平方逼近多项式为 。 5．高斯求积公式 )()()(1101 0x f A x f A dx x f x +≈? 的系数0A = ， 1A = ，节点0x = ， 1x = 。 6．方程组 b Ax =，,U L D A --=建立迭代公式f Bx x k k +=+)()1(，写出雅可比迭代法和 高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵， =Jacobi B ，=-Seidel Gauss B 。 7．0 0100A ??? =? ???，其条件数2()Cond A = 。 8．设?? ? ???=2113A ，计算矩阵A 的范数，1||||A = ， 2||||A = 。 9．求方程 ()x f x =根的牛顿迭代格式是 。 10．对矩阵??? ? ? ??=513252321A 作LU 分解，其L=________________， U= __________________。 二、计算题（每题10分，共50分） 1. 求一个次数不高于4次的多项式P (x ), 使它满足:1)1(,0)0(,0)0('===p p p ,1)1(,'=p ,1)2(=p 并写出其余项表达式（要求有推导过程）。 2. 若用复合梯形公式计算积分 dx e x ? 1 ，问区间[0, 1]应分成多少等分才能使截断误差不超过 5102 1 -?? 若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间[0, 1]应该分成多少等份? 由下表数据，用复合辛普森公式计算该积分的近似值。 3. 线性方程组b Ax =，其中???? ??????=18.04.08.014.04.04.01A ，T b ]3,2,1[=，（1）建立雅可比迭代法和 高斯-赛德尔迭代法的分量形式。（2）问雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法都收敛吗 ? 4. 已知如下实验数据4,,1,0),,( =i y x i i , 用最小二乘法求形如x a a y 10+=的经验公式，并 计算最小二乘法的误差。 5. 用改进的欧拉公式(预估-校正方法)，解初值问题0)0(,10022=+=y y x dx ，取步长,1.0=h 计算到2.0=x （保留到小数点后四位） 。 三、证明题（共10分） 1． 如果 A 是对称正定矩阵，则A 可唯一地写成T LL A =，其中L 是具有正对角元的下三角 阵。 数值分析第一章作业 1.数值计算方法设计的基本手段是( ). (A) 近似 (B) 插值 (C) 拟合 (D) 迭代 2.为了在有限时间内得到结果,用有限过程取代无限过程所产生的近似解与精确解之间的误差称为( ). (A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 测量误差 (D) 绝对误差 3.由于计算机的字长有限,原始数据在机器内的表示以及进行算术运算所产生的误差统称为( ). (A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 相对误差 (D) 绝对误差 4.数值计算方法研究的核心问题可以概括为( )对计算结果的影响. (A) 算法的稳定性 (B) 算法的收敛性 (C) 算法的复杂性 (D) 近似 5.当充分大时,利用下列各式计算N 121N N dx I x +=+∫,等式( )得到的结果最好. (A) arctan(1)arctan()I N =+?N (B) 2arctan(1)I N N =++ (C) 21arctan(1I N N =++ (D) 211I N =+ 6.计算61)?,取 1.4≈,利用下列哪个公式得到的结果最好?为什么? 3(3? (D) 99? 7.计算球体的体积,已知半径的相对误差限不超过3310?×,则计算所得体积的相对误差限如何估计? 8.设,近似值0x >*x 的相对误差限为δ,试估计*ln x 的误差限. 9.计算圆柱体的体积,已知底面半径及圆柱高的相对误差限均不超过r h δ,则计算所得体积的相对误差限如何估计?. 10.用秦九韶算法求32()431f x x x x =?+?在2x =处的值. 11.已知近似值的误差限1.0000x ?=4()110x ε??=×,21()16 f x x = ,求(())f x ε?,并说明x ?及()f x ?的各有几位有效数字. 12.设为非零常数,已知a 0y 的近似值0y ?,由递推式1n n y ay ?=计算序列{}n y 的近似值,分析该算法的稳定性. 5.1.设A 是对称矩阵且011≠a ，经过一步高斯消去法后，A 约化为 ?? ????21 110 A a a T 证明2A 是对称矩阵。 证明 由消元公式及A 的对称性，有 ,,,3,2,,)2(111 11111 )2(n j i a a a a a a a a a a ji i j ji j i ij ij ==-=- = 故2A 对称。 5.2.设n ij a A )(=是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A 约化为 ?? ????21 110 A a a T 其中1)2(2)(-=n ij a A 。证明： (1).A 的对角元素;,,2,1,0n i a ii => (2).2A 是对称正定矩阵。 证明 (1).因为A 对称正定，所以 n i e Ae a i i ii ,,2,1,0),( =>=， 其中T i e )0,,0,1,0,,0( =为第i 个单位向量。 (2).由A 的对称性及消元公式，有 ,,,3,2,,)2(111 11111 )2(n j i a a a a a a a a a a ji i j ji j i ij ij ==-=- = 故2A 也对称。 又由A L A a a T 121110=????? ?，其中 ??? ?????- =? ????? ? ?????????--=-111 1 11111 21101 1011n n I a a a a a a L ， 可见1L 非奇异，因而对任意0≠x ，由A 的正定性，有 ,0),(),(,011111>=≠x AL x L x AL L x x L T T T T 故T AL L 11正定。 由,000110211 111121111 1?? ? ?? ?=????????-??????=-A a I a a A a a AL L n T T T 而011>a ，故知2A 正定 北京航空航天大学 数值分析大作业八 学院名称自动化 专业方向控制工程 学号 学生姓名许阳 教师孙玉泉 日期2014 年11月26 日 一．题目 关于x , y , t , u , v , w 的方程组(A.3) ???? ?? ?=-+++=-+++=-+++=-+++79 .0sin 5.074.3cos 5.007.1cos sin 5.067.2cos 5.0y w v u t x w v u t y w v u t x w v u t (A.3) 以及关于z , t , u 的二维数表（见表A-1）确定了一个二元函数z =f (x , y )。 表A-1 二维数表 t z u 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 0 -0.5 -0.34 0.14 0.94 2.06 3.5 0.2 -0.42 -0.5 -0.26 0.3 1.18 2.38 0.4 -0.18 -0.5 -0.5 -0.18 0.46 1.42 0.6 0.22 -0.34 -0.58 -0.5 -0.1 0.62 0.8 0.78 -0.02 -0.5 -0.66 -0.5 -0.02 1.0 1.5 0.46 -0.26 -0.66 -0.74 -0.5 1. 试用数值方法求出f (x , y ) 在区域}5.15.0,8.00|), {≤≤≤≤=y x y x D （上的近似表达式 ∑∑===k i k j s r rs y x c y x p 00 ),( 要求p (x , y )以最小的k 值达到以下的精度 ∑∑==-≤-=10020 7210)],(),([i j i i i i y x p y x f σ 其中j y i x i i 05.05.0,08.0+==。 2. 计算),(),,(* ***j i j i y x p y x f (i =1,2,…,8 ; j =1,2,…,5) 的值，以观察p (x , y ) 逼 近f (x , y )的效果，其中j y i x j i 2.05.0,1.0**+==。数值分析试卷及答案
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