圆锥曲线基础高考题强化训练含答案

圆锥曲线基础高考题强化训练【1】1—2页

1.若圆0104422

=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是[ ]

A ． ]412[

π

π， B ．]12512[ππ， C ．]36[ππ， D ．]2

0[π

， 解：圆0104422

=---+y x y x

整理为222(2)(2)(32)x y -+-=，∴圆心坐标为(2，2)，半径为

3

2，要求圆上至少有三个不

同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则圆心到直线的距离应小于等于2，∴

22

|22|

2a b a b ++≤，∴ 2()4()1a a

b b ++≤0，

∴

23()23a b ---+≤≤，()a k b

=-，∴ 2323-+≤k ≤，直线l 的倾斜角的取值范围是]12512[π

π，，选B.

2（江苏卷）已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足NP MN MP MN ?+?|||| ＝0，则动点P （x ，y ）的轨

迹方程为[ ]（A ）x y 82

= （B ）x y 82

-= （C ）x y 42

= （D ）x y 42

-= 【思路点拨】本题主要考查平面向量的数量积运算，抛物线的定义.【正确解答】设(,)P x y ，0,0x y >>，(2,0),(2,0)M N -，4MN =

则(2,),(2,)MP

x y NP x y =+=-由0=?+?NP MN MP MN ，则224(2)4(2)0x y x +++-=，化简整理得x y 82-= 所以选B

【解后反思】向量的坐标表示和数量积的性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点.也是高考常常考查的重要内容之一.在平时请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直,既要注意它们联系,也要注意它们的区别. 3、 已知直线l 过点）

，（02-，当直线l 与圆x y x 222

=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是[ ] A ），（2222- B ），（22- C

），（4242- D ），（8

1

81- .C [解析]：直线l 为02=+-k y kx ，又直线l 与圆x y x 222=+有两个交点 故

11

|2|2

<++k k k ∴ 4

2

42<<-

x

4、（北京文

4）椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12

MN F F 2≤，则该椭圆

离心率的取值范围是（ ）Ａ．102?

? ???

，

Ｂ．202?

? ? ??

，

Ｃ．112??????

，

Ｄ．212

??

???

??

，

解析：椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N

，，若2

||2

a MN c

=，12

||2F F c =，

12MN F F 2≤，则22a c c

≤，该椭圆离心率e ≥

22

，取值范围是212??

?????

，，选D 。 5、（湖南理

9）设12F F ，分别是椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，

则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．202??

? ??，

B ．303??

? ??

，

C ．212??

?????

，

D ．313??

?????

，

【答案】D 【解析】由已知P 2(

,)a y c

，所以1F P 的中点Q 的坐标为2(,)22b y

c ，由 1

212

422

2222,,1,2.2F P

QF F P QF cy cy b k k k k y b b b c c ==?=-?=-- 22222113()(3)0(3)0,1.3y a c e e e ∴=-->?->>> 当1

0F P

k =时，2QF k 不存在，此时2F 为中点，232.3a c c e c -=?=综上得3

1.3

e ≤<

6、（湖南文

9）设12F F 、分别是椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的左、右焦点，P

是其右准线上纵坐标为

3c （c 为半焦距）的点，且

122F F F P =，则椭圆的离心率是〔

〕A ．

31

2

- B .

1

2

C.

51

2

- D .

22

【答案】D 【解析】由已知P （c c a 3,2），所以222

)3()(2c c c

a c +-=化简得2

2

0222

==

?=-a c e c a

7、（江西理9文12）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1

e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和

2x ，则点12()P x x ，（

）

Ａ．必在圆2

22x

y +=内

Ｂ．必在圆2

22x

y +=上

Ｃ．必在圆2

22x

y +=外

Ｄ．以上三种情形都有可能

解析：由

1

e 2

=

=

a

c 得a=2c ，b=

c

3，所以

2

1,232121====

+a c x x a b x x ，所以点

12()

P x x ，到圆心（0，0）的距离为

24

7

143

2)(212212

221<=+=

-+=+x x x x x x ，所以点P 在圆内，选A 8.（2004年湖北，6）已知椭圆162x +9

2

y =1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P

到x 轴的距离为

A.

59 B.3 C.779 D.4

9

解析：由余弦定理判断∠P <90°，只能∠PF 1F 2或∠PF 2F 1为直角.由a =4，b =3得c =

7，∴|y P |=

4

9

. 答案：D 9.（2004年全国Ⅰ，7）椭圆4

2x +y 2

=1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|2PF |等于[ ]

A.23

B. 3

C.2

7 D.4

解法一：（如下图）设椭圆的右焦点为F 1，左焦点为F 2，过F 1垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P .

x

y

O

F F P

21

∵42x +y 2=1，∴a =2，b =1，c =3.∴F 1（3，0）.设P （3，y P ）代入42x +y 2=1，得y P =2

1

，

∴P （

3，

21），|PF 1|=21. 又∵|PF 2|+|PF 1|=2a =4， ∴|PF 2|=4－|PF 1|=4－21=2

7.

圆锥曲线基础高考题强化训练【1】3- -4页

解法二：椭圆的左准线方程为x =－c a 2=－3

3

4. ∵

|)3

3

4(3|||2-

-PF =e =

23，∴|PF 2|=2

7. 解法三：由解法一得P （

3，

21），又F 2（－3，0），∴|PF 2|=2

2)021()]3(3[-+--=2

7. 答案：C

评述：解法一和解法三为基本解法.解法二使用第二定义甚为巧妙

10、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是

( )A

22

B

212

- C 22- D 21-

D [解析]：不妨设点P 在 x 轴上方，坐标为),(2

a

b c ,∵△F 1PF 2为等腰直角三角形 ∴|PF 2|=|F 1F 2|，即c a

b 22=，即

e e a c

a

c a

21222

22

=-∴=- 故椭圆的离心率e 是21- 11.已知（4，2）是直线l 被椭圆362x +9

2

y =1所截得的线段的中点，则l 的方程是____________.

解析：设直线l 与椭圆交于P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），将P 1、P 2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l 斜率k =

2121x x y y --=－)

(4212

1y y x x ++= －

2

42

21

21y y x x +?+=－244?=－21

.由点斜式可得l 的方程为x +2y －8=0. 答案：x +2y －8=0

12、已知直线l ：y =tan α（x +2

2）交椭圆x 2+9y 2=9于A 、B 两点，若α为l 的倾斜角，且|AB |的长不小于短轴的长，求α的取值范围.

剖析：确定某一变量的取值范围，应设法建立关于这一变量的不等式，题设中已经明确给定弦长≥2b ，最后可归结为计算弦长求解不等式的问题. 解：将l 方程与椭圆方程联立，消去y ，得（1+9tan 2α）x 2+36

2tan 2α·x +72tan 2α－9=0，∴|AB |=α2tan 1+|x 2－x 1|

=α2

tan 1+·)tan 91(2α+Δ=α

α22tan 916tan 6++. 由|AB |≥2，得tan 2

α≤31， ∴－33≤tan α≤33.

∴α的取值范围是［0，

6π）∪［6

π

5，π）. 评述：对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用.本题由于l 的方程由tan α给出，所以可以认定α≠2π，否则涉及弦长计算时，还应讨论α=2

π

时的情况.

13.若点（x ，y ）在椭圆4x 2+y 2=4上，则2

-x y

的最小值为[ ]

A.1

B.－1

C.－3

2

3 D.以上都不对 解析：2

-x y

的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率.显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线y =k （x －2）代入椭圆方程（4+k 2）

x 2－4k 2x +4k 2－4=0.令Δ=0 ， k =±323. ∴k min =－32

3. 答案：C 14 斜率为1的直线l 与椭圆4

2x +y 2

=1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为( )

A 2

B 5

5

4 C 5104 D 5108

解析 弦长|AB |=55422

t -??≤5

104 答案 C

15、（江苏15）在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ?顶点(4,0)A -和(4,0)C ，顶点B 在椭圆19252

2=+y x 上，则sin sin sin A C B

+= .

解析：利用椭圆定义和正弦定理 得 1052=?=+c a b=2*4=8 sin sin sin A C B +=4

5

810==+b c a

16. 已知F 1、F 2是椭圆4

2x +y 2

=1的两个焦点, P 是该椭圆上的一个动点, 则|PF 1

|·|PF 2

|的最大值是 .

[解析]：由焦半径公式|PF 1|=ex a -，|PF 2|=ex a + |PF 1|·|PF 2|=（ex a -）（ex a +）=222

x e a

-则|PF 1

|·|PF 2

|的最大值是2a =4.

17.已知P 是椭圆上的一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，∠PF 1F 2=90°,∠PF 2F 1=30°,则椭圆的离心率是__________. 解析:因为e =

a c =a c 22=||||221PF PF c +, 于是在△PF 1F 2中，由正弦定理知e =?+??

30sin 90sin 60sin =3

3. 18.点P 在椭圆7x 2+4y 2=28上，则点P 到直线3x －2y －16=0的距离的最大值为[ ] A.

13

12

13

B.

13

1613 C.

13

2413

D.

13

2813

解析:化椭圆方程为参数方程????

?==α

αsin 7,

cos 2y x (α为参数).∴点P 到直线3x －2y －16=0的距离为

d =

13|16sin 72cos 6|--αα=1316|)cos(8|-+?α. ∴d max =1324=1313

24.

19.[2000全国]椭圆92x + 4

2

y =1的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是___.

解析:设P 点横坐标为x 0,则|PF 1|=a +ex 0=3+35x 0,|PF 2|=a －ex 0=3－3

5

x 0.∠F 1PF 2为钝角，当且仅当|F 1F 2|2－|PF 1|2－|PF 2|2>0,解之即得－

53

3. 20．设b a b a

b a +=+∈则,62,,22

R 的最小值是

（ ）

A ．22-

B ．3

3

5-

C ．－3

D ．2

7-

解：a=

6sin α,b=3cos α,则a+b=3sin(α?+),其中2

arctan

2

?=,a b ∴+的最小值为-3.选(C) 21.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足12

0MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是[ C ]

A ．(0,1)

B ．1

(0,

]2

C ．2(0,)2

D ．2[,1)2 C .由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则2222212c b c b a c e

又(0,1)e ∈,所以1

(0,)2

e ∈ 22．已知圆的方程为2

2680x y x y +--=．设该圆过点(35)，的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）

A ．106

B ．206

C ．30

6

D ．406解： 化成标准方程 22(3)(4)25x y -+-=，过点(3,5)的最

长弦为10,AC =最短弦为2225146,BD =-= 1

20 6.

2

S A C B D =

?=

圆锥曲线基础高考题强化训练【1】5- -6页

23.（湖南卷12）已知椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的右焦点为F,右准线为l ,离心率e =5.5过顶点A (0,b )作AM ⊥l ,垂足为M ，则直线FM 的斜率等于 . 1

2【解析】2(

,),a M b c 55,2,5

e a c b c =?==201.2FM

b c k a b c c

-∴=

==-

24.（江苏卷12）在平面直角坐标系中，椭圆22

22x y a b +=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ?? ???

作圆的两切

线互相垂直，则离心率e = ．

22

【解析】本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。如图，切线互相垂直，又

，所以是等腰直角三角形，故，解得。

25.（浙江卷12）已知

21F F 、为椭圆

19

252

2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若

1222=+B F A F ，则

AB

=______________。解析：本小题主要考查椭圆的第一定义的应用。依题直线

AB 过椭圆的左焦点1F ,在2F AB ? 中，

22||||||420F A F B AB a ++==，又22||||12F A F B +=，∴||8.AB

=

26.(2009·江西，6)过椭圆

的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，

则椭圆的离心率为

( )

27.(2009·重庆，15)已知椭圆

的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)．若椭圆上

存在点P 使

则该椭圆的离心率的取值范围为________．

28.（福建卷11) 若双曲线22221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1

、F 2

,若P 为其上一点，且|PF 1

|=2|PF 2

|,则双曲线离心率的取值范围为[ B ]

A.(1,3)

B.

(]1,3

C.(3,+∞)

D.

[)3,+∞

解：如图，设

2PF m =，

12(0)

F PF θθπ∠=<≤，当

P

在右顶点处

θπ

=，

222(2)4cos 254cos 2m m m c

e a m

θθ+-=

==- ∵1cos 1θ-<≤，∴(]1,3e ∈

另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定a 与c 的关系。

29.在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆＋y 2＝1上的一个动点，则S ＝x ＋y 的最大值为

( )

30.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32

a

的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围

是( B ) A.(1,2)

B.(2,+∞)

C.(1,5)

D. (5,+∞)

【答案】B 【解析】

2033,22a ex a e a a a c -=?->+23520,e e ?-->2e ∴>或13

e <-(舍去),(2,],e ∴∈+∞故选B.

31.（全国二9）设1a >，则双曲线2

2

2

2

1(1)

x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ B ）A ．(22)，

B ．(25)，

C ．(25)，

D ．(25)，

【答案】B 【解析】22

2

222)11(1)1()(a

a a a a c e ++=++==，因为

a

1是减函数，所以当1a >时 11

0<<

a

，所以522<

32.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为13

5

，焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2

上的点到椭圆C 1

的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为[ A ]（A ）13

42

2

22

=-y x (B)15132222

=-y x (C)1432222=-y x (D)112

132

2

2

2

=-

y x 解：对于椭圆1C ，13,5,a c ==曲线2C 为双曲线，5,c =4a =，3,b =标准方程为：22

22 1.43x y -=

33.（陕西卷8）双曲线22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30

的直线交双曲线右支于M 点，

若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ） A ．

6

B ．

3

C ．

2

D ．

3

3

解

：

如

图

在

12

Rt MF F 中，

121230,

2M F F

F F c ∠==124

3cos303

c MF c

==∴

，

222tan 3033MF c c =?= 124222333333a MF MF c c c =-=-=∴3c

e a

?==

34.（浙江卷7）若双曲线12

2

22=-b

y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是[ D ] （A ）3 （B ）5 （C ）

3 （D ）5

解析：本小题主要考查双曲线的性质及离心率问题。依题不妨取双曲线的右准线2

a x c =

，则左焦点1F 到右准线的距离为222a a c c c

c

++=，

左焦点1F 到右准线的距离 为2

a c c

-

2

2

c a c

-=，依题22

2222223,2c a c a c c a c a c ++==--即2

25c a =， ∴双曲线的离心率 5.c e a

==

35.（重庆卷(8)已知双曲线22

22

1x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx (k ＞0),离心率e =

5k ,则双曲线方程为[ C ]

（A ）22x a －2

2

4y a =1

(B)22

2215x y a a -= (C)2222

14x y b b -=(D)222215x y b b -=解：5c

e k a

==22

25b k a c k a a b c ?=????=??+=???

， 所以2

24a

b =

36.（海南卷14）过双曲线22

1916

x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。

过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为______

圆锥曲线基础高考题强化训练【1】7- -8页

解：双曲线的右顶点坐标

(3,0)A ，右焦点坐标(5,0)F ，设一条渐近线方程为4

3y x =

，建立方程组22

4(5)3

1916

y x x y ?=-????-=??，得交点纵坐标3215y =-，从而

132********

AFB

S

=??=

37.（湖南卷12）已知椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的右焦点为F,右准线为l ,离心率e =5.5过顶点A (0,b )作AM ⊥l ,垂足为M ，则直线FM 的斜率等于 .

1

2

【解析】2

(,),

a M

b c

5

5,2,5e a c b c =

?== 201

.2FM

b c k

a b c c

-∴=

==-

38.（江苏卷12）在平面直角坐标系中，椭圆22

22

x y a b +=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ?? ???

作圆的两切线互相

垂直，则离心率e = ．22

【解析】本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。如图，切线

互相垂直，又，

所以是等腰直角三角形，故

，解得。

39.（重庆13）直线l 与圆2

2240(3)x

y x y a a ++-+=<相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为（0，1），则直线l 的方程为 .

解：设圆心(1,2)O -，直线l 的斜率为k ， 弦AB 的中点为P ，PO 的斜率为op k ，2110op k -=

--则l PO ⊥，

所以k (1)11op k k k ?=?-=-∴= 由点斜式得

1y x =-

40．(2009·山东临沂一模)已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→

|＝2，则该双

曲线的方程是 ( ) A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 2

9＝1 C.x 23－y 27＝1 D.x 27－y 23

＝1 答案：A 解析：∵MF 1→·MF 2→＝0，∴MF 1→⊥MF 2→.∵||MF 1→|－|MF 2→||＝2a ，∴|MF 1→|2＋|MF 2→|2＝40.∴|MF 1→|·|MF 2→

|＝20－2a 2＝2，∴a 2＝9，

b 2

＝1，∴所求双曲线的方程为x 29

－y 2＝1.

41．(2010·辽宁省东北育才模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的1

4

，则该双曲线的离心率是 ( )

A. 5

B.62 C ．2 D.23

3

答案：D 解析：由已知得b ＝14×2c ＝12c ，∴b 2＝c 2－a 2＝14c 2，∴a 2

＝34c 2，∴c 2a 2＝43，∴e ＝233

，故选D.

42.若曲线x 2－my 2＝1有一条准线方程为x ＝2，则实数m 为____解析：∵x 2－y 2

3

＝1， ∴a ＝1，b ＝3，c ＝2，∴焦点坐标为(±2,0)．

若曲线x 2－my 2

＝1为双曲线，则准线方程x ＝a 2c ＜2，故不符．则曲线为椭圆，m ＜0，a 2＝1，b 2＝－1m ，c 2＝1＋1m ，x ＝11＋

1

m

＝2，∴m ＝－43.

43．(2009·北京宣武)已知双曲线x 2a 2－y 2b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值是答案：5

3解析：

设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由定义得： m －n ＝2a ，由已知m ＝4n ，解得?

????

m ＝8a 3，n ＝2a

3，在△PF 1F 2中，由余弦定理得 (2c )2＝m 2＋n 2－2mn cos ∠F 1PF 2 4c 2＝(8a 3)2＋(2a

3)2－

2·8a 3·2a 3·cos ∠F 1PF 2 整理得：e 2＝179－89cos ∠F 1PF 2，当cos ∠F 1PF 2＝－1时，e 2最大为259，∴e 最大为53

. 44．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) A ．(－153，153) B ．(0，153) C ．(－153，0) D ．(－15

3

，－1)

答案：D 解：联立???

y ＝kx ＋2x 2－y 2＝6

消y 得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，由题意得???

Δ＞0，

x 1＋x 2＞0，

x 1x 2＞0

即

?

??

16k 2＋40(1－k 2)＞0，4k

1－k 2

＞0，－10

1－k 2

＞0，解得－

15

3

＜k ＜－1.故选D. 45．(2009·湖南韶山模拟)双曲线9x 2－16y 2＝144被点P (8,3)平分的弦AB 的直线方程是 ( ) A ．3x －2y －18＝0 B ．3x ＋2y ＋18＝0 C ．2x －3y －18＝0

D ．2x

＋3y ＋18＝0答案：A 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由???

9x 21－16y 2

1＝144，

9x 22－16y 22＝144，

两式相减，得9(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－16(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.

又∵P (8,3)为AB 的中点，∴x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝6. ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝32. ∴直线AB 的方程为y －3＝3

2(x －8)，

46．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线l ：x ＋y ＝1交于M 、N 两点，过原点与线段MN 中点的直线的斜率为

22

，则m n ＝____.答案：22解析：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2) ∴mx 21＋ny 21＝1，① mx 22＋ny 2

2

＝1，② 又y 2－y 1x 2－x 1＝－1，∴①－②得m －n ·y 1＋y 2x 1＋x 2＝0∵y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 1＋y 2

2－0x 1＋x 2

2

－0＝22， ∴m ＝22n ，∴m n ＝22. 47．(2009·山西太原模拟)设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →

＝1，则P 点的轨迹方程是 ( )

A ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)

B ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) D.3

2

x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)

答案：D 解析：设A (a,0)，B (0，b )，由条件BP →＝2P A →?(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )????

x ＝2(a －x )

y －b ＝－2y ??????

a ＝32x ，

b ＝3y ，

由题意a ＞0，b ＞0，故x ＞0，y ＞0，故A (32x,0)，B (0,3y )，从而OQ →·AB

→＝(－x ，y )·(－3x 2，3y )＝1?3

2

x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)，故选D.

48（2009浙江理）过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若1

2

AB BC =，

则双曲线的离心率是 ( ) w.w.w A ．2 B ．3 C ．5 D ．10答案：C 【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，

直线与两渐近线的交点为B ，C ，

22,,(,)a ab a ab

B C a b a b a b a b ??- ?++--??

，则有

2222

2222(

,),,a b a b ab

ab BC AB a b a b a b a b ??=-=- ?--++??

，因222,4,5AB BC a b e =∴=∴=．

49．（福建卷）已知双曲线12

222=-b y a x (a >0,b <0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是[ ] A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)解析：双曲线2

22

21(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o

的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b

a

，∴

b a

≥3，离心率e 2=2

22

2

2

c

a b a a +=

≥4

，∴ e ≥2，选C 50．（湖南卷）过双曲线M:2

2

21y x b

-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( ) A.

10 B.5

C.103

D.

52

解析：过双曲线1:2

22

=-b y x M 的左顶点A (1，0)作斜率为1的直线l ：y=x －1, 若l 与双曲线M 的两条渐近线22

20y x b -=分别相交于点1122(,),(,

)B x y C x y , 联立方程组代入消元得22(1)210b x x -+-=，∴ 1

2

2

1222

111x x b x x b ?+=

??

-?

??=?-?

，x 1+x 2=2x 1x 2，又||||BC AB =,则B 为AC 中点，

2x 1=1+x 2，代入解得121412

x

x ?=???

?=-??，∴ b 2=9，双曲线

M 的离心率e=

10c

a

=，选A. 51．(文)(2010·宁夏联考)若关于x ，y 的方程组???

ax ＋by ＝1

x 2＋y 2＝10有解，且所有的解都是整数，则有序数对(a ，b )所对应的点的个数为( )

A ．24

B ．28

C ．32

D ．36 [答案] C [解析] x 2＋y 2＝10的整数解为：(1,3)，(3,1)，(1，－3)，(－3,1)，(－1,3)，(3，－1)，(－1，－

3)，(－3，－1)，所以这八个点两两所连的不过原点的直线有24条，过这八个点的切线有8条，每条直线确定了唯一的有序数对(a ，b )，所以有序数对(a ，b )所对应的点的个数为32.

52(理)已知直线ax ＋by －1＝0(a ，b 不全为0)与圆x 2＋y 2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有( ) A ．66条

B ．72条

C ．74条

D ．78条

B [解析] 因为在圆x 2＋y 2＝50上，横坐标、纵坐标都为整数的点一共有12个，即：(1，±7)，(5，±5)，(7，±1)，(－1，±7)，(－5，±5)，(－7，±1)，经过其中任意两点的割线有12×(12×11)＝66条，过每一点的切线共有12条，可知与该圆有公共点且公共点的横坐标、纵坐标都为整数的直

线共有66＋12＝78条，而方程ax ＋by －1＝0表示的直线不过原点，上述78条直线中过原点的直线有6条，故符合条件的直线共有78－6＝72条．故选B.