当前位置：文档库 › 利用导数求函数的最值

利用导数求函数的最值

1.3.3运用导数求函数的最大（小）值

一、学习目标

1、结合函数图像，能够求闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值和最小值。

2、掌握导数法求最大值、最小值的方法，并能应用其它函数类型上。

二、学习重难点

重点是求最值的方法和最值的应用。

难点最值与极值的区别及参数问题。

三、知识链接

1、若函数)(x f y =是在闭区间],[b a 上的连续函数，即在闭区间],[b a 上函数)(x f 的图像是一条的曲线，则该函数在闭区间],[b a 上一定能够取得到和。

2、若函数)(x f y =是开区间),(b a 上的可导函数，则该函数在闭区间],[b a 上的最大值与最小值必在或取得。函数的最大值和最小值统称。

四、导学过程

【例1】求函数)(x f 536342

3+-+=x x x ，]2,2[-∈x 的最值。

【例2】已知函数)(x f a x x x +++-=9323

（1）求)(x f 的单调递减区间

（2）若)(x f 在区间]2,2[-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。

变式：已知函数)(x f c bx ax x +++=23在3

=x 与1=x 时都取得极值。（1）求b a ,的值及函数)(x f 的单调区间。（2）若对]2,1[-∈x ，不等式)(x f 2

c <恒成立，求c 的取值范围。

【例3】如图，ABCD 是一块边长为a 2的正方形铁板，剪掉四个小正方形角，沿虚线折叠后焊

接成一个无盖的长方体水箱，若水箱的高度x 与底面边长的比不超过常数)0(>k k 。

(1）写出水箱的容积V 与水箱高度x 的函数表达式。（2）当水箱高度x 为何值时，水箱的容积V 最大，

并求出其最大值。

变式：用长为18的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问

该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大最大体积是多少

五、方法、技巧、规律小结

1、单调函数在闭区间上的最值必在或处取得。

2、求函数的最值与不同的是，在求可导函数的最值时，不需要对各导数为0的左右两侧的函数值判断是或，只需将导数为0的点和处的函数值进行比较即可得到。

3、高考热点恒成立求参问题常转化为求函数的。

六、当堂检测（分A 、B 两个档次）

A ：1、函数x e x y =

在]2,0[上的最大值为 ( ) A 、e 1 B 、21e C 、0 D 、e

21 A ：2、已知93,0,0=+≥≥y x y x ，则y x 2的最大值为 ( )

A 、36

B 、18

C 、25

D 、42

B ：3、若函数a x x x f --=3)(3在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M 、N ，

则M - N 的值为（） A ．2 B ．4 C ．18

D ．20 4、直线a y =与函数x x y 33-=的图像有相异的三个交点，则a 的取值范围

是 .

5、函数2cos y x x =+在区间[0,

]2π上的最大值是

七、针对性练习作业（分A 、B 、C 三个梯度）

一、选择题

A ：1、函数y 5123223+--=x x x 在区间]3,0[上的最大值和最小值分别为( )

A 、5，-15

B 、5，-4

C 、-4，-15

D 、5，-16

B ：2、已知函数)(x f 322+--=x x 在区间]2,[a 上的最大值为

415，则a 等于( ) A 、23- B 、21 C 、21- D 、23-或2

1 C: 3在区间]2,21[上，函数)(x f q px x ++=2与212)(x

x x g +=在同一点取得相同的最小值，那么)(x f 在]2,2

1[上的最大值为 ( ) A 、413 B 、4

5 C 、8 D 、4 二、填空题

B ：4、如果函数)(x f a x x +-=232

3在]1,1[-上的最大值是2，那么)(x f 在]1,1[- 的最小值是 .

B ：5、设函数)(x f 522

123+--=x x x ，若对任意]2,1[-∈x ，都有)(x f m >，则实数m 的取值范围是 .

C ：6、已知0>a ，且函数ax x y -=3在),1[+∞上是单调增函数，则a 的最大值

是 .

三、解答题

7、设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3.

（1）求)(x f 的单调区间和极值；

（2）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围.

（3）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立，求实数k 的取值范围.

利用导数求函数值域

利用导数求函数最值高二苏庭导数是对函数的图像与性质的总结与拓展，导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具，在掌握求函数的极值和最值的基础上学习用导数解决生产生活中的有关最大最小最有效等类似的应用问题广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考题不难，侧重知识之意。导数应用主要有以下三个方面： ①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题， ②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。函数y=f(x)在x=x0处的导数，表示曲线在点P（x0 , y0）处的切线斜率。由导数来求最值问题的方法可知，解这类实际问题需先建立函数关系，再求极值点，确定最值点及最值．在设变量时可采用直接法也可采用间接法．

求函数极值时，导数值为0的点是该点为极值点的必要条件，但不是充分条件。运用导数确定函数单调区间的一般步骤为：（1）求出函数y=f(x)的导函数；（2）在函数定义域内解不等式得函数y=f(x)的单调增区间；解不等式得函数y=f(x)的单调减区间。例题剖析例1、求函数的值域. 分析：求函数的值域以前学过一些方法，也可利用求导的方法，根据函数的单调性求解. 解答：函数的定义域由求得，即x≥－2.

当x>－2时，y′>0，即函数，在（－2，＋∞）上是增函数，又f(－2)=－1，∴所求函数的值域为[－1，＋∞）. 点评：（1）从本题的解答过程可以看到，当单调区间与函数的值域相同时，才可使用此法，否则会产生错误. （2）求值域时，当x=－2，函数不可导，但函数在[－2，＋∞）上是连续的，函数图象是连续变化的，因此在x=－2时，取得最小值. 例2、把长度为16cm的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积之和的最小值为多少？分析：建立面积和与一正方形的周长的函数关系，再求最小值．解答：设一段长为xcm，则另一段长(16－x)cm． ∴面积和 ∴S′＝－2，令S′＝0有x＝8．列表：

(完整版)导数与函数的极值、最值问题(解析版)

【高考地位】导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】类型一利用导数研究函数的极值使用情景：一般函数类型解题模板：第一步计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步求方程'()0f x =的根；第三步判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号；第四步利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值．【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解析】

试题分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值．当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意．所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ．考点：函数的单调性与极值．【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为（） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞U 【答案】B 【解析】考点：函数的极值．【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解析】试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ，所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为

导数与函数极值、最值问题(解析版)

【高考地位】导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大. 【方法点评】类型一利用导数研究函数的极值使用情景：一般函数类型解题模板：第一步计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步求方程'()0f x =的根；第三步判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号；第四步利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值．【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解读】

试卷分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值．当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意．所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ．考点：函数的单调性与极值．【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为（） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞ 【答案】B 【解读】考点：函数的极值．【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解读】试卷分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ，所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为

用导数法求函数的最值的练习题解析

用导数法求函数的最值的练习题解析一、选择题 1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D ．以上都有可能 [答案] A [解析] ∵M ＝m ，∴y ＝f (x )是常数函数 ∴f ′(x )＝0，故应选A. 2．设f (x )＝14x 4＋13x 3＋1 2x 2在[－1,1]上的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－1 D.1312 [答案] A [解析] y ′＝x 3＋x 2＋x ＝x (x 2＋x ＋1) 令y ′＝0，解得x ＝0. ∴f (－1)＝512，f (0)＝0，f (1)＝13 12 ∴f (x )在[－1,1]上最小值为0.故应选A. 3．函数y ＝x 3＋x 2－x ＋1在区间[－2,1]上的最小值为( ) A.22 27 B ．2 C ．－1 D ．－4 [答案] C [解析] y ′＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1) 令y ′＝0解得x ＝1 3或x ＝－1

当x ＝－2时，y ＝－1；当x ＝－1时，y ＝2；当x ＝13时，y ＝22 27；当x ＝1时，y ＝2. 所以函数的最小值为－1，故应选C. 4．函数f (x )＝x 2－x ＋1在区间[－3,0]上的最值为( ) A ．最大值为13，最小值为3 4 B ．最大值为1，最小值为4 C ．最大值为13，最小值为1 D ．最大值为－1，最小值为－7 [答案] A [解析] ∵y ＝x 2－x ＋1，∴y ′＝2x －1，令y ′＝0，∴x ＝1 2，f (－3)＝13，f ? ?? ??12＝34，f (0)＝1. 5．函数y ＝x ＋1－x 在(0,1)上的最大值为( ) A. 2 B ．1 C ．0 D ．不存在 [答案] A [解析] y ′＝1 2x －121－x ＝12·1－x －x x ·1－x 由y ′＝0得x ＝1 2，在? ????0，12上y ′>0，在? ????12，1上 y ′<0.∴x ＝1 2时y 极大＝2，又x ∈(0,1)，∴y max ＝ 2. 6．函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，也有最小值

导数及极值、最值练习题

. .. . 三、知识新授（一）函数极值的概念（二）函数极值的求法：（1）考虑函数的定义域并求f'(x); （2）解方程f'(x)=0，得方程的根x 0(可能不止一个）（3）如果在x 0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x 0)是极大值；反之，那么f(x 0）是极大值题型一图像问题 1、函数()f x 的导函数图象如下图所示，则函数()f x 在图示区间上（）（第二题图） A ．无极大值点，有四个极小值点 B ．有三个极大值点，两个极小值点 C ．有两个极大值点，两个极小值点 D ．有四个极大值点，无极小值点 2、函数()f x 的定义域为开区间()a b ，，导函数()f x '在()a b ，的图象如图所示，则函数()f x 在开区间()a b ，有极小值点（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3、若函数2 ()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象可能为（）

D. C. B. A. x y O x y O x y O O y x 4、设() f x '是函数() f x的导函数，() y f x ' =的图象如下图所示，则() y f x =的图象可能是（）-1 2 1 O y x D. A. 12 12 1 2 2 1x y O x y O x y O O y x 5、已知函数 () f x的导函数() f x ' 的图象如右图所示，那么函数 () f x的图象最有可能的是（） -1 1 f '(x) y x O 6、() f x '是() f x的导函数，() f x '的图象如图所示，则() f x的图象只可能是（） 2x O

专题2.13 利用导数求函数的单调性、极值、最值(解析版)

第十三讲利用导数求函数的单调性、极值、最值【套路秘籍】一．函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减．二．函数的极值 (1)一般地，求函数y ＝f (x )的极值的方法解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时： ①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )； ②求方程f ′(x )＝0的根； ③考查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值．三．函数的最值 (1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值． (2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．【套路修炼】考向一单调区间【例1】求下列函数的单调区间：（1）3 ()23f x x x =-；（2）2 ()ln f x x x =-. （3）)f (x )＝2x －x 2. 【答案】见解析【解析】（1）由题意得2 ()63f x x '=-. 令2 ()630f x x '=->，解得2x <- 或2 x >. 当(,2x ∈-∞- 时，函数为增函数；当)2 x ∈+∞时，函数也为增函数. 令2 ()630f x x '=-<，解得22x - <<.当(22 x ∈-时，函数为减函数.

函数的最值与导数测试题

函数的最值与导数一、选择题 1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D ．以上都有可能 [答案] A [解析] ∵M ＝m ，∴y ＝f (x )是常数函数 ∴f ′(x )＝0，故应选A.. 3．函数y ＝x 3＋x 2－x ＋1在区间[－2,1]上的最小值为( ) A.2227 B ．2 C ．－1 D ．－4 [答案] C [解析] y ′＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1) 令y ′＝0解得x ＝13 或x ＝－1 当x ＝－2时，y ＝－1；当x ＝－1时，y ＝2；当x ＝13时，y ＝2227 ；当x ＝1时，y ＝2. 所以函数的最小值为－1，故应选C. 8．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为154 ，则a 等于( ) A ．－32 B.12 C ．－12 D.12或－32 [答案] C [解析] y ′＝－2x －2，令y ′＝0得x ＝－1. 当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意．当－1

() A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3 B．－30得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1<－20得x>2或x<－2，由f′(x)<0得－2