平面向量的线性运算教学设计

《平面向量的线性运算》复习教学设计

高中数学北师大版

西安交通大学第二附属中学

刘正伟

§ 5.1平面向量的线性运算

【教学目标】

知识与能力；过程与方法；情感、态度、价值观；

1. 掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义；

2. 掌握向量数乘向量的运算及其几何意义，理解向量共线的充要条件；

了解向量共线的含义，理解向量共线判定和性质定理。

【教学重点、难点】

重点：理解并掌握向量的线性运算及向量共线的充要条件；难点：向量的线性运算及向量共线的充要条件的应用。

【教具准备】

多媒体课件

【教学方法】

启发引导式；讲练结合

【教学设计】

（一）.复习导入

问题：前面我们已经复习了的向量的有关概念，知道了向量是既有大小又有方向的量, 物理中既有大小又有方向的量？学生：速度，加速度，位移，力力可以合成也可以分解，那么向量怎么运算那么我们今天一起回顾向量的线性运算一一板书课题

（二）知识要点

1.向量的线性运算

2?向量共线的判定定理

a是一个非零向量，若存在一个实数入，使得b =七，则向量b与非零向量a共线.

3. 【知识拓展】

1?一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终

点的向量，即A7A2 + A l A3 + A3A4+-+ —盂=AA n,特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.

—1 ——

2?若P为线段AB的中点，0为平面内任一点，则0P= 2(OA + OB).

QC(人□为实数)，点A, B, C共线入+尸1.

3.0A = QB +

题型一平面向量的线性运算

命题点1向量的线性运算

例2 (1)在厶ABC中，AB = c, AC= b,若点D满足E3D = 2DC，则AD等于()

A.￡b + 1c

B.2C -2b

1 2 D.3b + 3C

⑵（2015课标全国I ）设D 为仏ABC 所在平面内一点，若BC = 3CD ，则（

）

A.AD = - 1AB + 4AC ~》 4 ~》 1 -> C.AD = AB +：AC

答案(1)A

(2)A

解析 (1) VBD = 2DC ,「.AD — AB = BD = 2DC =2(A C — AD ),

???3AD = 2AC + A 3 ,

T 2 3 13 2 1

「?AD = 3AC + 3AB = §b + 3c.

⑵???EBC = 3CD , A AC — AB = 3(A D — AC),

33 3

3 13

4 3

即 4AC — AB = 3AD , A AD = — 3AB + 3AC.

题型二

根据向量线性运算求参数

1 2 —> —>

例2 (1)设D 、E 分另1」是厶ABC 的边AB 、BC 上的点，AD = 1AB , BE = 2BC.若DE =入AB

2 3

+ ^AC(X i 、枪为实数)，贝U 入+入的值为 ____________ .

⑵在△ ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC = 3CD ,点O 在线段CD 上(与点C ,

D 不重合)，若 A O = X A B + (1 — x)AC ，贝y x 的取值范围是( )

c 1

c 1 A. 0, 2 B. 0， 3 1c 1c C. — 2， 0

D. — 3, 0

1 答案(1)

2 (2)D

2 1 C.R —二

C

B.AD =斑-4AC

解析(1)DE = D B + BE = 1AB + 2EBC

1 T

2 f T 1 T 2 f

=qAB + 3(BA + AC) = —gAB + 3AC,

1 2 1 ?J = — 6, h=3,即卩入 + 说q.

⑵设CO= yBC,

-f -f -f

?/AO = AC+ CO

=AC + yBC = AC + y(AC—AB)

=—yAB+ (1 + y)AC.

??BC= 3CD，点O在线段CD上(与点C, D不重合),

1

???y€ 0, 3 ,

??AO = xAB+ (1 —x)AC, ???x=—y,「.x€ —3 0 .

思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

(1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.

⑵求已知向量的和?一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则; 求首尾相连向量的和用三角形法则.

(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值.

如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB , AD 分别交于E , F 两点，且交对角线 AC 于点

K ，其中，A E = 2A B , A F =

5

1AD , A K =瓜C ，贝y 入的值为（

）

代2

m 2 2

2 B. C. D.；

7 5

3

答案 A

打

r f

2 f f 1 f 解析 ??AE = 5AB , AF = 2AD , ???AB = ；A ! , A D =2A F .

《第一节平面向量的概念及其线性运算》教案

教学过程 课堂导入 以前台胞春节期间来大陆探亲，乘飞机先从台北到香港，再从香港到上海.20XX年7月4日，两岸直航包机启航．若台北到香港的位移用向量a表示，香港到上海的位移用向量b表示，台北到上海的位移用向量c表示．想一想，向量a、b、c有何关系？ 复习预习 1．我们已经学习过位移、速度、力等，你能总结出它们的特点吗？特点为________________________________．

2．在学习三角函数线时，我们已经学习过有向线段了，你还记得吗？ 所谓有向线段就是________________________，三角函数线都是_____________． 知识讲解 考点1 向量的有关概念

考点2 向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a (2)结合律：(a＋b)＋c＝a ＋(b＋c) 减法求a与b的相反向量－b的 和的运算叫做a与b的差 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的运 算 (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a的方向相同； 当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ) a (λ＋μ)a＝λa＋μa λ(a＋b)＝λa＋λb 考点3 共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

例题精析 【例题1】 【题干】设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0； ③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是() A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 【例题2】 【题干】如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝13OB.设OA＝a，OB＝b，用a，b表示向量OC，DC.

平面向量的概念与线性运算知识点

平面向量的概念与线性运算知识点 一.平面向量的有关概念 １．向量：既有大小，又有方向的量． ２．数量：只有大小，没有方向的量． ３．有向线段的三要素：起点、方向、长度． ４．零向量：长度为0的向量． ５．单位向量：长度等于1个单位的向量． ６．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 注：任一组平平行向量都可以平移到同一直线上 ７．相等向量：长度相等且方向相同的向量． ８．相反向量：长度相等且方向相反的向量 二．向量的表示法 １．字母表示法：如：a ，AB 等 ２．几何表示法：用一条有向线段表示向量 ３．代数表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA 的起点Ｏ是坐标原点，终点坐标是（x ，y ），则（x ，y ）称为OA 的坐标，记作：OA ＝（x ，y ） 三．向量的运算 １．向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=． b a C B A a b C C -=A -AB =B

⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． ２．向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． ３．向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． ４．向量共线定理： 向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠共线． 四．跟踪训练 １．=++++（ ） A ． B ．0 C ． D ． ２．给出命题 （1）零向量的长度为零，方向是任意的.（2）若a ，b 都是单位向量，则a ＝b . （3）向量AB 与向量BA 相等.（4）若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线. 以上命题中，正确命题序号是 A.（1） B.（2） C.（1）和（3） D.（1）和（4） ３．在四边形ABCD 中，如果0AB CD =，AB DC =，那么四边形ABCD 的形状是 A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.直角梯形 ４．如图，在△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点 G ，则下列各等式中不正确的是

人教A版高中数学《平面向量的线性运算》教学设计

2．2《平面向量的线性运算》教学设计 【教学目标】 1．掌握向量的加、减法运算，并理解其几何意义； 2．会用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3．通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 4．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算； 5．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行； 6．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想. 【导入新课】 设置情景： 1、 复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、 情景设置： （1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ （2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+ （4）船速为AB ，水速为，则两速度和：AC =+ 新授课阶段 一、向量的加法 A B C A C A B C

O A a a a b b b １．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２．三角形法则（“首尾相接，首尾 连”） 如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定： a + 0-= 0 + a. 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量； （2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且 |a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |. （4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加. 例1 已知向量a 、b ，求作向量a +b . 作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则 问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）； A B C a +b a +b a a b b a ｂ ｂ ａa

平面向量线性运算教案

向量的加法；向量的减法；向量的数乘. 教学目标 通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则， 并能作出已知两向量的和向量。 通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。 教学重点 向量的加减法的运算。 〔 _____________ ! 教学难点 教学过程 」、导入 高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题， 一般难度不 大，属于简单题 二、知识讲解 I 考）向量加量加三法形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。 运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点， 则由第 一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。 0位移的合成可以看 作向量加法三角形法则的物理模型。 知识点 向量的加减法的几何意义 。 【知识导图】

（2）平行四边形法则 以同一点0为起点的两个已知向量 A.B为邻边作平行四边形，则以0为起点的对角线0C就是a与b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。 由于方向反转两次仍法法原来的方向，因此a和-:互为相反向量。 于是-（-a）=a。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. ____________ __ 一「 4 ■+ , 4 4 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a （-a）二（-a）■ a =0。 TH 4 4 H ^4^4 所以，如果a,b是互为相反的向量，那么a二-b,b二-a,a ? b =0。 考点3实数与向量的积的运算律 设■, ^为实数，那么 ⑴，（七）=（」i）a； （2）（I 丄）a 虫；」a ； （3）（a b）八a ■ b. ■.斗、- ,4 _斗屮.4 特别地，我们有（- ’）a = ，a）二’（-a），，（a-b）二’a-'b。 ■H 屮 4 . 向量共线的等价条件是：如果a（a = 0）与b共线，那么有且只有一个实数?，使 ■I J b —■ a。 二、例题精析 类型一平面向量的坐标表示 例题知边长为1的正方形ABCD 中, AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标和 uuiv uuv AB与AD的坐标.

2019高考数学考点突破——平面向量平面向量的概念及线性运算学案

平面向量的概念及线性运算 【考点梳理】 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量 运算定义 法则 (或几何意义) 运算律 加法 求两个向量 和的运算 三角形法则 平行四边形法则(1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法求a与b的相反 向量－b的和的 运算叫做a与b 的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向 量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa的 方向与a的方向相同； λ(μa)＝ λμa； (λ＋μ)a＝λa

当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0 ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb 3.共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 【考点突破】 考点一、平面向量的有关概念 【例1】给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC → ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( ) A ．②③ B ．①② C ．③④ D ．②④ [答案] A [解析] ①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同. ②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC → ，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →|，AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →. ③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c . ④不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件. 综上所述，正确命题的序号是②③.

空间向量及其线性运算(教案)

课 题：空间向量及其线性运算 教学目标： 1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件 教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 教学难点：空间向量的线性运算及其性质。 教学过程： 一、创设情景 1、蚂蚁爬行的问题引入为什么要研究空间向量. 2、平面向量的概念及其运算法则； 二、建构数学 1．空间向量的概念： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图） b a AB OA OB +=+= b a -=-= )(R a ∈=λλ 运算律： ⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3．平行六面体： 平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。 4．共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向 量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //． 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同 一直线，也可能是平行直线． 5．共线向量定理： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，

平面向量的基本概念及线性运算知识点

平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示 （1） 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。 （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况：a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 当a 、b 不共线时，

2020-2021学年新教材数学人教B版必修第二册 6.3 平面向量线性运算的应用 学案

6.3 平面向量线性运算的应用 学习目标 考点学习目标核心素养 几何应用通过本节课学习理解向量 在处理有关平面几何问题 中的优越性并体会向量在 几何和现实生活中的意义 数学抽象、数学建模 物理应用运用向量的有关知识(向 量加减法与向量数量积的 运算法则等)解决简单的 物理问题 数学抽象、数学建模 自主预习 预习教材P168~170的内容,解决以下问题: 1.已知向量a=(-2,m)与向量b=(1-m,1)平行,则实数m的值为() A.-1 B.1 C.2 D.-1或2 2.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于() A.(-1,-2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(1,2) 3.如图,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为. 4.如图,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为N;若用坐标表示合力F,则F=. 课堂探究 一、向量在平面几何中的应用 例1如图所示,MN是中位线,求证:MN∥BC且MN=1 2 BC. 例2如图所示,已知在平行四边形ABCD中,E,F在对角线BD上,并且BE=FD. 求证:四边形AECF是平行四边形.

例3如图所示,已知△ABC中,E,F分别是AB,BC的重点,AF与CE相交于点O,求AO∶OF与CO∶OE的值. 跟踪训练如图,在直角梯形ABCD中,DC????? =1 4AB ????? ,BE ????? =2EC ????? ,且AE ????? =r AB ????? +s AD ????? ,则2r+3s=() A.1 B.2 C.3 D.4 二、向量在物理中的应用 例4如图所示,一个物体被两根轻质细绳拉住,且处于平衡状态,已经物体所受的重力大小为50 N,求每条绳上的拉力大小. 跟踪训练已知船在静水中的速度大小为5 m/s,且船在静水中的速度大小大于水的速度大小,河宽为20 m,船垂直到达对岸用的时间为5 s,试用向量的减法来求水流的速度大小. 课堂练习 1.已知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以ABCD为顶点的四边形是() A.梯形 B.邻边不相等的平行四边形 C.菱形 D.两组对边均不平行的四边形 2.已知作用在点A的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),且A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为() A.(9,1) B.(1,9) C.(9,0) D.(0,9) 3.已知在平行四边形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=FC=1 4 AC,试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形. 核心素养专练 1.人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则人的实际速度为() A.v1-v2 B.v1+v2 C.|v1|-|v2| D.|v1 v2 | 2.已知四边形ABCD各顶点坐标是A(-1,-7 3),B(1,1 3 ),C(-1 2 ,2),D(-7 2 ,-2),则四边形ABCD是()

(完整版)平面向量的线性运算测试题

平面向量的线性运算 一、选择题 1．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式①｜a ｜＞｜b ｜；②a ∥b ； ③｜a ｜＞0；④｜b ｜=±1；⑤a =b ，其中正确的有（ ） A ．①④⑤ B ．③ C ．①②③⑤ D ．②③⑤ 2. O 是ABC ?所在平面内一点，D 为BC 边上中点，02=++OC OB OA ,则（） A ．OD AO = B ．OD AO 2= C ．OD AO 3= D ．OD AO =2 3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ） A ．一条线段 B ．一个圆面 C ．圆上的一群弧立点 D ．一个圆 4．向量（AB +MB ）+（BO +BC ）+OM 化简后等于（ ） A ． BC B ． AB C ． AC D ．AM 5．在四边形ABCD 中，AC =AB +AD ，则（ ） A ．ABCD 是矩形 B ．ABCD 是菱形 C ．ABC D 是正方形 D ．ABCD 是平行四边形 6．已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ,AC =c , BC =b ,则｜a +b +c ｜为（ ） A ．0 B ．3 C ． 2 D ．22 7．如图，正六边形ABCDEF 中，BA uur ＋CD u u u r ＋EF uuu r ＝( ) A ．0 B.BE uu u r C.AD uuu r D.CF u u u r 8．如果两非零向量a 、b 满足：｜a ｜＞｜b ｜,那么a 与b 反向,则（ ） A ．｜a +b ｜=｜a ｜-｜b ｜ B ．｜a -b ｜=｜a ｜-｜b ｜ C ．｜a -b ｜=｜b ｜-｜a ｜ D ．｜a +b ｜=｜a ｜+｜b ｜ 二、填空题

《向量的线性运算》教案(1)

向量的线性运算 【三维目标】： 一、知识与技能 1.理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和。 2.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，表述两个运算律的几何意义，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；培养数形结合解决问题的能力； 3.掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等. 4.初步体会数形结合在向量解题中的应用. 二、过程与方法 教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法。最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力. 三、情感、态度与价值观 通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，感受数学与生活的联系，增强学习数学的兴趣和积极性。 【教学重点与难点】： 重点：如何作两个向量的和向量 难点：对向量加法定义的理解. 【学法与教学用具】： 1. 学法： (1)自主性学习+探究式学习法： (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 2.学法指导 数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法；借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义；结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则；联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律。

高中数学学案：平面向量的有关概念及其线性运算

高中数学学案:平面向量的有关概念及其线性运算 1. 了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义. 2. 掌握向量的加、减运算和数乘运算；理解其几何意义；理解向量共线定理. 3. 了解向量的线性运算性质及其几何意义. 1. 阅读:必修4第59～73 页. 2. 解悟:①向量的相关概念；②向量的线性运算；③第71 页例4中两个不共线的向量OA →,OB →可 以表示平面内任意一向量吗？④第71页例4你能得到什么结论吗？ 3. 践习:在教材空白处,完成第72～73页习题第11、13、14、15、16题. 基础诊断 1. 给出下列命题:①若AB →∥CD →,则AB →与CD →共线；②若AB →＝CD →,则AB →∥CD →；③若AB →＝CD →, 则BA →＝DC →；④若AB →∥BC →,则A,B,C 三点共线.其中,正确的命题是 ①②③④ .(填序号) 解析:①根据向量平行的定义可知,平行即共线,所以若AB →∥CD →,则AB →与CD →共线正确；②根 据相等向量的定义可知,若AB →＝CD →,则AB →与CD →的方向相同,故AB →∥CD →正确；③若AB →＝CD →,则 －AB →＝－CD →,即BA →＝DC →,故③正确；④若均不为零向量,若AB →∥BC →,则A,B,C 三点共线显然成立.若有一个为零向量,则其中有两个点重合,三点共线依旧成立,故④正确.故选①②③④. 2. 化简:AB →－CB →＋EF →－EC →＝ AF → . 解析:原式＝AB →＋BC →＋EF →＋CE →＝AC →＋CF →＝AF →. 3. 若O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|,则△ABC 的形状 是 直角三角形 . 解析:因为|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|,所以|CB →|＝|AB →＋AC →|.以线段AB 和AC 为邻边画出 平行四边形ABDC,则AB →＋AC →＝AD →.因为|CB →|＝|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|,所以平行四边形的两条 对角线相等,所以平行四边形是矩形,所以∠BAC ＝90°,所以△ABC 是直角三角形.

24.7(1)向量的线性运算

24.7向量的线性运算（1） 一、教学目标 1．理解向量的线性运算的意义，会化简线性运算的算式，对简单的线性运算会画图表示结果. 2．知道向量的线性组合，会在较熟悉的几何图形中将一个向量表示为两个给定的不平行向量的线性组合． 二、教学重点及难点 线性运算的意义，线性组合的概念； 线性组合的简单应用. 三、教学用具准备 三角尺、多媒体演示设备 四、学情分析 本节内容是前面所学向量知识的整理和运用.通过对向量的加法、减法以及实数与向量相乘等运算的回顾，类比实数运算的顺序规定，指出了向量的几种运算混合时的运算顺序，归纳了向量的线性运算.在此基础上，引进两个不平行向量的线性组合的概念． 六、教学过程设计 （一） 新课导入 我们已经学习了向量加法、减法以及实数与向量相乘等运算、并且知道，向量的减法可以转化为加法运算；向量加法以及实数与向量相乘，有类似于实数加法和乘法的运算律.这些运算还可以组合起来，如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （二）探索新知 例题1 已知两个不平行的向量.,b a 求作：23+，2-. 解:略

例题2 已知两个不平行的向量.,b a 求作：).22 7()(--+ 揭示概念 向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.如23+，2-、)5(3+等，都是向量的线性运算. 如果,是两个不平行的向量，x 、y 是实数，那么y x +叫做,线性组合.如,两个不平行的向量，向量,23b a OE +=，这时就说OE 可由.,b a 的线性组合表示. 例题3 如图，点M 是△CAB 的边AB 的中点.设CA =a ，b CB =，试用.,b a 的线性组合表示向量CM （三）巩固练习 书本P49 练习24.7（1） （四）课堂小结 （五）作业布置 练习册24.7（1） _ C _ E →a → a →b

平面向量的线性运算教学设计

《平面向量的线性运算》复习教学设计 高中数学北师大版 西安交通大学第二附属中学 刘正伟

§5.1平面向量的线性运算 【教学目标】 知识与能力；过程与方法；情感、态度、价值观； 1.掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义； 2.掌握向量数乘向量的运算及其几何意义，理解向量共线的充要条件； 了解向量共线的含义，理解向量共线判定和性质定理。 【教学重点、难点】 重点：理解并掌握向量的线性运算及向量共线的充要条件； 难点：向量的线性运算及向量共线的充要条件的应用。 【教具准备】 多媒体课件 【教学方法】 启发引导式；讲练结合 【教学设计】 （一）．复习导入 问题：前面我们已经复习了的向量的有关概念，知道了向量是既有大小又有方向的量，物理中既有大小又有方向的量？ 学生：速度，加速度，位移，力 力可以合成也可以分解，那么向量怎么运算 那么我们今天一起回顾向量的线性运算——板书课题 （二）知识要点 1.向量的线性运算

a 是一个非零向量，若存在一个实数λ.，使得 b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线． 3.【知识拓展】 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终 点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ——→＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连 接而成的向量和为零向量． 2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12 (OA →＋OB →)． 3.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，点A ，B ，C 共线 λ＋μ＝1. 题型一 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算 例2 (1)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( )

(统编版)2020高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算知识导航学案新人教A版必修04

2.2 平面向量的线性运算 知识梳理 一、向量加法 1.向量加法的定义 如图2-2-1，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做向量a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC. 图2-2-1 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 对于零向量与任意向量a，仍然有a+0=0+a=a. 2.向量加法的运算律 (1)交换律：a+b=b+a. (2)结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 二、向量减法的定义 与a长度相等且方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a. 求两个向量差的运算叫做向量的减法：a-b=a+(-b)，即向量a减去向量b相当于加上向量b 的相反向量-b. 三、向量数乘 1.向量数乘的定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|=|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反； (3)当λ=0时，λa=0. 2.向量数乘的运算律 设λ、μ是实数，则有： (1)λ(μa)=(λμ)a； (结合律) (2)(λ+μ)a=λa+μa； (第一分配律) (3)λ(a+b)=λa+λb. (第二分配律) 知识导学 要学好本节内容，可从数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，从而顺理成章地接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.减法运算是加法运算的逆运算，应在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形作出减向量.通过探究类比数的运算性质，理解向量的加法交换律和结合律，通过画图验证的实验方法理解向量加法的交换律和结合律.

平面向量的线性运算随堂练习(答案)

§平面向量的线性运算 重难点：灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件． 考纲要求：①掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义． ②掌握向量数乘的运算及其意义。理解两个向量共线的含义． ③了解向量线性运算的性质及其几何意义． 经典例题：如图，已知点,,D E F 分别是ABC ?三边,,AB BC CA 的中点， 求证：0EA FB DC ++=． 当堂练习： 1．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，则 （ ） A ．a 与b 方向相同 B ．a =b C ．a =-b D ．a 与b 方向相反 2．设+++=()()AB CD BC DA a ，而b 是一非零向量，则下列各结论：①//a b ；② +=a b a ；③+=a b b ；④+<+a b a b ，其中正确的是 （ ） A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③ 3．3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于 （ ） A ．O B ．MD 4 C ．MF 4 D ．M E 4 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是 （ ） A ．||||||b a b a -=- B ．||||b a b a -=+ C ．||||||b a b a -=+ D ．||||||b a b a +=+ 5．若a b c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （ ） A ．a B ．b C ．c D ． 以上都不对 6．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP =（ ） A ．().(0,1)AB AD λλ+∈ B ．2 ().(0, )AB BC λλ+∈ C ． ().(0,1)AB AD λλ-∈ D ． 2().(0, )2 AB BC λλ-∈ 7．已知==||||3OA a ，==||||3OB b ，∠AOB=60?，则+=||a b __________。

平面向量线性运算教案

适用
高中数学
适用年级
高一
学科
适用区域 苏教版区域
课时时长（分钟）
2 课时
知识点 向量的加法；向量的减法；向量的数乘.
教学目标
通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。
教学重点 向量的加减法的运算。
教学难点 向量的加减法的几何意义。
【知识导图】
教学过程
一、导入
高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题，一般难度不 大，属于简单题。
二、知识讲解
（考1）点向1量向加量法加的法三法角则形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一 个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。0 位移的合成可以看作 向量加法三角形法则的物理模型。
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（2）平行四边形法则 以同一点 O 为起点的两个已知向量 A.B 为邻边作平行四边形，则以 O 为起点的 对角线 OC 就是 a 与 b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平 行四边形法则。
由考于点方2向反向转量两的次减仍法回法到则原来的方向，因此 a 和 a 互为相反向量。 于是 (a) a 。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a (a) (a) a 0 。 所以，如果 a, b 是互为相反的向量，那么 a= b,b= a, a b 0 。
考点 3 实数与向量的积的运算律 设 ， 为实数，那么 (1) ( a) ()a ； (2) ( )a a a ； (3) (a b) a b . 特别地，我们有 ()a (a) (a) ， (a b) a b 。 向量共线的等价条件是：如果 a(a 0) 与 b 共线，那么有且只有一个实数 ，使 b a。
三 、例题精析 类型一 平面向量的坐标表示
例题 1
已知边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴成 30°角．求点 B 和点 D 的坐标和 AB 与 AD 的坐标．
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最新平面向量的线性运算及练习

平面向量的线性运算 学习过程 知识点一：向量的加法 （1）定义已知非零向量,a b r r ，在平面内任取一点A ，作AB ＝a r ，BC ＝b r ，则向量AC 叫做a r 与b r 的和，记作a b +r r ，即a b +r r ＝AB ＋BC ＝AC ． 求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 说明：①运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点 的向量即为和向量. ②两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定． ③位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型． （2）向量加法的平行四边形法则 以点O 为起点作向量a OA = ，OB b =uu u r r ，以OA,OB 为邻边作OACB Y ，则以O 为起点的对角线所在向量OC uuu r 就是,a b r r 的和，记作a b +r r =OC uuu r 。 说明：①三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适. ②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型． ③对于零向量与任一向量00a a a a +=+=r r r r r r ， （3）特殊位置关系的两向量的和 ①当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； ②当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |， ③当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |. （4）向量加法的运算律 ①向量加法的交换律：a +b =b +a ②向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 知识点二：向量的减法

2019-2020年高中数学 第二章 平面向量 第二节 平面向量的线性运算(第三课时)示范教案 新人教A版必修4

2019-2020年高中数学 第二章 平面向量 第二节 平面向量的线性运算 （第三课时）示范教案 新人教A 版必修4 教学分析 向量的数乘运算，其实是加法运算的推广及简化，与加法、减法统称为向量的三大线性 运算．教学时从加法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系．实数与向 量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，也有方向．特别是方向与已知向量是共线向量，进 而引出共线向量定理．共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛，且容易出错．尤 其是定理的前提条件：向量a 是非零向量．共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行 等几何性质，且与后续的知识有着紧密的联系． 三维目标 1．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实 数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律． 2．理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行． 3．通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能 力和积极进取精神．通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用． 重点难点 教学重点：1.实数与向量积的意义.2.实数与向量积的运算律.3.两个向量共线的等价条 件及其运用． 教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路 1.前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算，这一节，我们将在加法运算基 础上研究相同向量和的简便计算及推广．在代数运算中，a ＋a ＋a ＝3a ，故实数乘法可以看 成是相同实数加法的简便计算方法，那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算． 思路 2.一物体做匀速直线运动，一秒钟的位移对应的向量为a ，那么在同一方向上3 秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a 吗？怎样用图形表示？由此展开新课． 推进新课 新知探究 提出问题 ①已知非零向量a ，试一试作出a ＋a ＋a 和－a ＋－a ＋－a ②你能对你的探究结果作出解释，并说明它们的几何意义吗？ ③引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？怎样理解两向 量平行？与两直线平行有什么异同？ 活动：引导学生回顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证，点拨学生通过作图来进 行．通过学生的动手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义．教师要引导学 生特别注意0·a ＝0，而不是0·a ＝0.这个零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但 又处处存在，稍不注意就会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的 关系．实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如λ＋a ，λ－a 都无法进行．向 量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形 式：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa 和λ(a ＋b )＝λa ＋λb ，数乘运算的关键是等式两边向量的模相 等，方向相同．判断两个向量是否平行(共线)，实际上就是看能否找出一个实数，使得这个 实数乘以其中一个向量等于另一个向量．一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何 中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段． 对问题①，学生通过作图1可发现，OC →＝OA →＋AB →＋BC →＝a ＋a ＋a .类似数的乘法，可把a ＋a ＋a 记作3a ，即OC →＝3a .显然3a 的方向与a 的方向相同，3a 的长度是a 的长度的3倍，