等比数列求和公式推导

等比数列求和公式推倒

数学 2009-03-26 13:21 阅读9481 评论10 字号： 大大 中中 小小 方法一

(1)等比数列：An+1/An=q, n为自然数。
（2）通项公式：An=A1*q^（n－1）；
推广式： An=Am·q^(n－m)；
（3）求和公式：Sn=nA1(q=1)
Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q)
（4）性质：
①若 m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am·an=ap*aq；
②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.
(5）“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.
（6）在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.
注意：上述公式中A^n表示A的n次方。


请认真看完下面这一段！！
一个好的问题情境能够充分调动起学生已有的数学知识或数学背景，从而激发学生在解决问题的同时产生感悟，让学生从数学情境中发现问题，能生成对所发现数学问题自主进行合作与探究学习必要的意识.

案例：等比数列求和公式推导

先看看教材是如何处理的.

提出问题：如何求等比数列前n 项和Sn？

解决方案：观察Sn与qSn的区别与联系，化简(1–q)Sn便得.

教材处理过于精简从而显得突然，忽略了知识发生发展过程，这样只能让学生被动接受所谓“错位相减法”，为什么会想到这样推导？推导过程实际用到了学生已学的哪些数学知识？等等。如果老师能发现这些问题并进一步思考，就可以换一角度设计如下问题情境.

1．1 – q2 = _____________.

2．1 – q3 = _______________.（已有知识）

3．猜想：1 – qn = ______________________.(观察猜想) ①

答案：1 – qn = (1–q)(1+q+q2+……+qn–1).

4．写出等比数列Sn的表达式：___________________________.②

5．对比①和②，你发现了什么？Sn=_____________________，求Sn时要注意什么？如何记忆Sn公式？

6．对于①式，我们只是猜想，如何证明？

7．现在要你推导一次Sn公式，你会吗？

8．把你的推导与教材的推导进行对比，你能知道推导者为什么会这样推导了吗？还有哪些地方可以改进的？

9．深化与应用：已知an为等比数列(q≠1)，定义Tn=a1+2a2+3a3+……+nan，你能根据回答以上问题得到的启发求出Tn的最简式吗？能否把你推导出的结论进行进一步推广？

本设计从学生已有知识入手，设计意图并非只为推导出公式，更重要的是让学生不知不觉学会猜想，观察，对比，发现，证明，应用等，层层深入进行自主探究.

事实上，好的问题情境可以激发探索和创造. 情境往往并不直接揭示所学的数学内容，而需要学生基于自己的实践和思考，从中提炼数学信息，因此，学生的许多富有创造的想法可以从情境中引发出来，在不断地探索和交流中，数学思想得以渐渐突显.

方法二

解;

当 q不等于1时Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
其中a1是第一项;
q是公比;
n是项数;
推导过程如下:考虑太多项,不易逐一计算.
鉴于等比数列公式:an=a1*q^(n-1)
用"倍数抵消法"计算;
Sn=a1+a2+a3+a4+...+a(n-1)+an (1)
（1)式两侧同“*q”
即q*Sn= a2+a3+a4+…… +an +an*q(2)
由(1)-(2) 得(1-q)Sn=a1-a1*q^n
所以求和公式：
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（q不等于1）;
当q=1时，Sn=a1+a1+……+a1=n*a1