点集拓扑学课件
点集拓扑学合肥工业大学数学学院
预备知识
1.点集拓扑的定义
《点集拓扑学》课程是一门现代数学基础课程，属数学与应用数学专业的理论课。是数学与应用数学专业的主干课。点集拓扑学（Point Set Topology），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质。这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。
2.点集拓扑的起源
点集拓扑学产生于19世纪。G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果。1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始。
3.一些参考书籍
（1）《拓扑空间论》，高国士，科学出版社，2000年7月第一版
（2）《基础拓扑讲义》，尤承业，北京大学出版社，1997年11月第一版
（3）《一版拓扑学讲义》，彭良雪，科学出版社，2011年2月第一版
第一章 集合论初步
在这一章中我们介绍有关集合论的一些基本知识．从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识等。
这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，这对大部分读者已经是足够了．那些对集合的理论有进一步需求的读者，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑的读者，建议他们去研读有关公理集合论的专著。
1.1 集合的基本概念
集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体。例如我们常说“正在这里听课的全体学生的集合”, “所有整数的集合”等等．集合也常称为集。
集合（即通常所谓的“集体”）是由它的元素（即通常所谓的“个体”）构成的．例如正在这里听课的全体学生的集合以正在听课的每一个学生为它的元素；所有整数的集合以每一个整数为它的元素．元素也常称为元，点或成员．
集合也可以没有元素．例如平方等于2 的有理数的集合，既大于1 又小于2 的整数的集合都没有任何元素，这种没有元素的集合我们称之为空集，记作φ。此外，由一个元素构成的集合，我们常称为单点集．
用文句来描述一个集合由哪些元素构成（像前面所作的那样），是定义集合的一个重要方式．此外，我们还通过以下的方式
｛x ︱关于x 的一个命题P }
表示使花括号中竖线后面的那个命题P 成立的所有元素x 构成的集合．集合表示方式中的竖线“︱”也可用冒号“: ”或分号“; ”来代替．此外，也常将一个集合的所有元素列举出来再加上花括号以表示这个集合．
我们常用：
N 表示全体正整数构成的集合，称为正整数集；
Z 表示全体整数构成的集合，称为整数集；
Q 表示全体有理数构成的集合，称为有理数集；
R 表示全体实数构成的集合，称为实数集。
我们从前在数学的各种科目中学过诸如函数、偏序、运算以及等价等种种概念，它们的一个共同的特点在于给出了某些给定集合的元素之间的某种联系．为了明确地定义它们，我们先定义“关系”，而为了定义关系，又必需先有两个集合的笛卡儿积这个概念。
定义1.1.1设X 和Y 是两个集合．集合{}
Y y X x y x ∈∈,),(称为X 与Y 的笛卡儿积，记作
Y X ?，
读为X 叉乘Y 。其中),(y x 是一个有序偶，x 称为),(y x 的第一个坐标，y 称为),(y x 的第二个坐标．X 称为Y X ?的第一个坐标集，Y 称Y X ?的第二个坐标集．集合X 与自身的笛卡儿积X X ?称为X 的2 重（笛卡儿）积，通常简单记作2X . （有序偶的定义请参考书本）
1.2 集合的基本运算
（略。。。）
1.3关系
定义1.3.1 设X ，Y 是两个集合，如果R 是X 与Y 的笛卡儿积Y X ? 的一个子集，即Y X R ??，那么就称R 是从X 到Y 的一个关系。如果R y x ∈),(，那么我们称x 与y 是R 相关的，并且记作xRy ．若X A ?，则Y 的子集
(){}R y x A x Y y ∈∈∈,,使得存在
称为集合A 对于关系R 而言的象集，或者简单地称为集合A 的象集，或者称为集合A 的R 象，并且记作)(A R ，()X R 称为关系R 的值域．
关系的概念是十分广泛的，大家很快便会看到，以前在另外的数学学科中学过的函数（映射），等价，序，运算等等概念都是关系的特例．
定义1.3.2 设R 是从集合X 到集合Y 的一个关系，即Y X R ??，这时笛卡儿积X Y ?的子集{}xRy X Y x y ?∈),(是从集合Y 到集合X 的一个关系，我们称它为关系R 的逆，并且
记作1
-R 。如果Y B ?，X 的子集)(1B R -是集合B 的1-R 象，我们也常称它为集合B 对于关系R 而言的原象，或者集合B 的R 原象。特别，关系1-R 的值域)(1Y R -也称为关系R 的
定义域．
定义1.3.3设R 是从集合X 到集合Y 的一个关系，S 是从集合Y 到集合Z 的一个关系，称关系{}ySz xRy Y y X z x 并且使得存在∈?∈Z ),(为关系R 与关系S 的复合或积，记作SOR. 定理1.3.4 设R 是从集合X 到集合Y 的一个关系，S 是从集合Y 到集合Z 的一个关系，T 是从集合Z 到集合U 的一个关系．则
( l )R R =--11)( ；
( 2 )111)(---=S R R S ；
( 3 )R S T R S T )()(=
另外，对于X 的任意两个子集A 和B ，我们有：
（4）)()()(B R A R B A R ?=?；
（5）)()()(B R A R B A R ???；
（6）))(())((A R S A R S = .
定义1.3.5 集合X 中的一个关系R 称为集合X 中的一个等价关系，如果它满足：
（1）自反性，即R x x X x ∈∈?),(,，或者R X ??)(；
（2）对称性，即若R y x ∈),(，则R x y ∈),(，或者R R =-1；
（3）传递性，即若,),(,),(R z y R y x ∈∈则R z x ∈),(，或者R R R ? .
1.4 映射
定义1.4.1 设F 是从集合X 到集合Y 的一个关系．若对于每一个X x ∈，存在唯一的一个Y y ∈使得xFy ，则称F 是从X 到Y 的一个映射，并且记作Y X F →:.
定义1.4.2 设n X X X n 是,,,21 个集合。从笛卡尔集n X X X X ???= 21到它的第i 个坐标集i X 的投射（或称第i 个投射）i i X X P →:定义为对每一个X x x x x n ∈=),,,(21 ，i i x x P =)(.
定义 1.4.3 设R 是集合X 中的一个等价关系．从集合X 到它的商集X ／R 的自然投射R X X p /:→定义为对于每一个R x x p X x ][)(,=∈.
第二章 拓扑空间与连续映射
2.1 拓扑空间与连续映射
从数学分析中读者已经熟知单变量和多变量的连续函数，它们的定义域和值域都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分．在这一章中，我们首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义
度量空间之间的连续映射．然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射．随后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域，闭包，内部，边界，基和子基，序列等等。
2.2 度量空间与连续映射
首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义，一个函数R R f →:被称为在点R x ∈0处是连续的，如果对于任意实数0>ε，存在实数0>δ，使得对于任何R x ∈，当δ<-0x x 时，恒有ε<-)()(0x f x f .在这个定义中只涉及两个实数之间的距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，而与实数的其它性质无关．关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下我们从这一考察出发，抽象出度量和度量空间的概念．
定义2.2.1 设X 是一个集合，R X X →?:ρ是映射．如果对于任何X z y x ∈,,，有
(1) 正定性，0),(≥y x ρ，并且0),(=y x ρ当且仅当y x =；
(2) 对称性，),(),(x y y x ρρ=；
(3) 三角不等式，),(),(),(z y y x z x ρρρ+≤.
则称ρ是X 上的一个度量。
若ρ是集合X 上的一个度量，则称偶对),(ρX 是一个度量空间，或称X 是一个具有度量ρ的度量空间．当度量ρ早有约定时，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们就称X 是一个度量空间．此外，对于任意两点X y x ∈,，实数),(y x ρ称为点x 和点y 之间的距离．
例2.2.2 实数空间R .
对于实数集合R ，定义R R R →?:ρ如下：对于任意R y x ∈,,令
y x y x -=),(ρ
容易验证ρ是R 的一个度量，因此偶对),(ρX 是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或实直线，这里定义的度量ρ称为R 的通常度量，并且常常略而不写ρ，简称R 为实数空间．
例2.2.3 n 维欧式空间n R .
对于实数集合R 的n 重笛卡尔集R R R R n ???= ，定义R R R n
n →?:ρ如下：
对于任意的n n n R y y y y x x x x ∈==),,,(),,,,(2121 ，令
∑=-=n i i i y x
y x 1
2)(),(ρ. 容易验证ρ是n R 的一个度量，因此偶对),(ρn R 是一个度量空间．这个度量空间特别地称
为n 维欧氏空间．这里定义的度量ρ称为n R 的通常度量，并且常常略而不写ρ，而称n R 为n 维欧氏空间．2维欧氏空间通常称为欧氏平面或平面．
例2.2.4 Hilbert 空间
记H 为平方收敛的所有实数序列构成的集合，即：
?
?????∞<∈∈==∑∞=1221,,),,(i i i x N i R x x x x H
定义R H H →?:ρ如下：对任意的H y y y x x x ∈==),,(),,(21,21 ，
∑∞=-=12)(),(i i i y x
y x ρ
容易验证ρ是H 的一个度量，偶对（H ，ρ）是一个度量空间，这个度量空间称为Hilbert 空间。这里定义的度量ρ称为H 的通常度量，并且常常略而不写ρ，而称H 为Hilbert 空间．
例2.2.5 离散的度量空间
设(X, ρ)是一个度量空间．称(X, ρ)是离散的，或者ρ称是X 的一个离散度量，如果对于每一个X x ∈，存在一个实数0>x δ使得对于任何)(,x y X y ≠∈，都有x y x δρ>),(.例如我们假定X 是一个集合，定义ρ使得对于任何X y x ∈,，有：
???=≠=.
,0;,1),(y x y x y x ρ 容易验证ρ是X 的一个离散度量。因此度量空间(X, ρ)是离散的。
离散的度量空间或许是我们以前未曾接触过的一类空间，但今后会发现它的性质是简单的． 定义2.2.6 设(X, ρ)是一个度量空间，对于任意给定的实数0>ε，定义
{}ερε<∈=),(),(y x X y x B
),(εx B 称为以x 为中心，ε为半径的球形邻域，简称为x 的一个ε邻域。
定理2.2.7 度量空间(X, ρ)的球形邻域具有以下基本性质：
（1） 每一点x 至少有一个球形邻域U ，并且点x 属于它的每一个球形邻域；
（2） 对于点x 的任意两个球形邻域U ，V ，存在x 的一个球形邻域W 同时包含于U 与V 中；
（3） 如果y 属于x 的某一个球形邻城U ，那么y 有一个球形邻域U V ?.
证明：（1）设X x ∈，对每一个实数0>ε，),(εx B 是x 的一个球形邻域，这说明x 至少
有一个球形邻域；由于ερ<=0),(x x ，故x 属于它的每一个球形邻域。
（2）设),(),(21εεx B x B 和是x 的两个球形邻域，任意选取实数0>ε，使得},m in{21εεε<，则易见),(),(),(21εεεx B x B x B ??，即),(εx B 满足要求。
（3）设),(εx B y ∈,令),(1y x ρεε-=.显然，01>ε，若),(1εy B z ∈，则
ερερρρ=+<+=),(),(),(),(1x y x y y z x z
所以),(εx B z ∈，这就证明了),(),(11εεx B y B ?.
定义2.2.8 设A 是度量空间X 的一个子集．如果A 中的每一个点都有一个球形邻域包含于A （即对于每个A a ∈，都存在实数0>ε使得A a B ?),(ε，那么称A 是度量空间X 中的一个开集．
例2.2.9 实数空间R 中的开区间都是开集．
设b a R b a <∈且,，则开区间{}
b x a R x b a <<∈=),(是R 中的一个开集。这是因为 如果),,(b a x ∈令},min{x b a x --=ε，则),(),(b a x B ?ε.
同样容易证明无限的开区间),(),,(),,(+∞-∞-∞+∞b a 都是R 中的开集。而闭区间}{],[b x a R x b a ≤≤∈=却不是R 中的开集。因为对于],[b a a ∈以及任何0>ε，],[),(b a a B ?ε都不成立。类似地，半开半闭区间),[],,(b a b a 以及无限区间),[+∞a 和],(b -∞都不是R 中的开集。
定理2.2.10度量空间X 中的开集具有以下性质：
(1)集合X 本身和空集φ都是开集；
(2)任意两个开集的交是一个开集；
(3)任意一个开集族（即由开集构成的族）的并是一个开集．
证明：(1)根据定理2.2.7(1)，X 中每个元素x 都有一个球形邻域，这个球形邻域当然包含在X 中，所以X 满足开集的条件；空集φ中不包含任何一个点，也自然地可以认为它满足开集的条件．
(2)设U 和V 是X 中的两个开集．如果V U x ?∈，那么存在x 的一个球形邻域),(1εx B 包含于U ，同时也存在x 的一个球形邻域),(2εx B 包含于V ．根据定理2.2.7(2)，x 有一个球形邻域),(εx B 同时包含于),(1εx B 和),(2εx B ，因此:
V U x B x B x B ????),(),(),(21εεε
由于V U ?中的每一点都有一个球形邻域包含于V U ?，所以V U ?是一个开集． ( 3 ）设A 是一个由X 中的开集构成的子集族，如果 ∈x A ,那么存在∈0A A 使得0A x ∈．由于0A 是一个开集，所以x 有一个球形邻域包含于0A ，显然这个球形邻域也包含于 A ．这证明 A 是X 中的一个开集．
此外，根据定理2.2.7，每一个球形邻域都是开集．
为了讨论问题的方便，我们将球形邻域的概念稍稍作一点推广.
定义2.2.11 设x 是度量空间X 中的一个点，U 是X 的一个子集．如果存在一个开集V 满足条件：U V x ?∈，那么称U 是点x 的一个邻域．
经过这样的推广以后，邻域就不一定是开集了。比如：实数空间中的区间),[b a ,除了a 点以外，该区间是其中任意一点的邻域。
下面这个定理为邻域的定义提供了一个等价的说法，并且表明从球形邻域推广为邻域是自然的事情．
定理2.2.12 设x 是度量空间X 中的一个点，则X 的子集U 是x 的一个邻域的充分必要条件是x 有某一个球形邻域包含于U .
证明：如果U 是点x 的一个邻域，根据邻域的定义,存在开集V 使得U V x ?∈，又根据开集的定义，x 有一个球形邻域包含于V, 从而这个球形邻域也就包含于U ，这证明U 满足定理的条件．反之，如果U 满足定理中的条件，由于球形邻域都是开集，因此U 是x 的邻域．
现在我们把数学分析中的连续函数的概念推广为度量空间之间的连续映射．
首先回忆一下在数学分析中学过的连续函数的定义：
函数R R f →:称为在R x ∈0处是连续的
?,0,0>?>?δε使得R x ∈?，当δ<-0x x 时，恒有ε<-)()(0x f x f
?,0,0>?>?δε使得R x ∈?，当δδ+<<-00x x x 时，恒有
δε+<<-)()()(00x f x f x f
?,0,0>?>?δε使得),(00δδ+-∈?x x x ，恒有))(,)(()(00εε+-∈x f x f x f ?,0,0>?>?δε使得))(,)((),(0000εεδδ+-?+-x f x f x x f
定义2.2.13 设X 和Y 是两个度量空间，Y X f →:是映射且X x ∈0．若对于)(0x f 的任何球形邻域)),((0εx f B ，都存在0x 的某个球形邻域),(0δx B 使得
)),(()),((00εδx f B x B f ?
则称映射f 在点0x 处是连续的．
若映射f 在X 的每一个点x 处连续，则称f 是一个连续映射．
以上的这个定义是数学分析中函数连续性定义的推广．下面的这个定理是把度量空间和度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的出发点。
定理2.2.14 设X 和Y 是两个度量空间，Y X f →:是映射且X x ∈0．则下述条件(1)和
(2)分别等价于条件*)1( 和*
)2(：
(1) f 在点0x 处是连续的； *)1()(0x f 的每一个邻域的原象是0x 的一个邻域；
(2) f 是一个连续映射；
*)2( Y 中的每一个开集的原象是X 中的一个开集．
证明：(1)? *)1(设(1)成立．令U 为)(0x f 的一个邻域，由定理2.2.12 , )(0x f 有球形邻域)),((0εx f B 包含于U ．由于f 在点0x 处是连续的，故0x 有一个球形邻域),(0δx B ，使得)),(()),((00εδx f B x B f ?．又)())),(((101U f x f B f --?ε，故)(),(10U f x B -?δ 这证明)(1U f -是0x 的一个邻域。
*)1(?(1)设*)1(成立，则对任意给定的)(0x f 的球形邻域)),((0εx f B ，))
),(((01εx f B f -是0x 的一个邻域，根据定理 2.2.12, 0x 有一个球形邻域),(0δx B 包含于))),(((01εx f B f -．因此)),(()),((00δδx f B x B f ?．这证明f 在点0x 处连续．
(2) ?*)2( 设（2）成立．令V 为Y 中的一个开集且)(1V f U -=.U x ∈?，我们有V x f ∈)(．由于V 是一个开集，所以V 是)(x f 的一个邻域．由于f 在每一点处都连续，故根据*
)1(可知道U 是x 的一个邻域．于是有包含x 的某一个开集x U 使得U U x ?，易见 U x x U U ∈=
．由于每一个x U 都是开集，根据定理2.2.10，我们知道U 是一个开集．
*)2(?(2) 设（2）成立．对于任意X x ∈，设U 是)(x f 的一个邻域，即存在包含)(x f 的一个开集U V ?．从而)()(11U f V f
x --?∈．根据*)2(,我们知道)(1V f -是一个开集，所以)(1U f -是x 的一个邻域，因此对于x 而言，*)1(成立，于是f 在点x 处连续。由于点x 是任意选取的，所以f 是一个连续映射．
2.3 拓扑空间与连续映射
从上一节定理2.2.14可以看出：度量空间之间的一个映射是否是连续的，或者在某一点处是否是连续的，本质上只与度量空间中的开集有关（注意，邻域是通过开集定义的）．这就导致我们甩开度量这个概念，参照度量空间中开集的基本性质（定理 2.2.10）建立拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的概念．现在我们遵循这一思路，即从开集及其基本性质（定理2.2.10 ）出发来建立拓扑空间的概念．
定义2.3.1 设X 是一个集合，T 是X 的一个子集族．如果T 满足如下条件：
(1)∈φ,X T ；
(2)∈B A ,T ?∈B A T ；
(3) T 1? T ? {A:A ∈T 1}∈T .
那么称T 是X 的一个拓扑．如果T 是集合X 的一个拓扑，则称偶对（X ，T ）是一个拓扑空间，或称集合X 是一个相对于拓扑T 而言的拓扑空间；或者当拓扑T 早已约定或在行文中已有说明而无须指出时，就称集合X 是一个拓扑空间。此外T 的每一个元素都叫做拓扑空间（X ，T ）中的一个开集．
现在我们可以将上述定义中的三个条件与定理2.2.10的三个结论对照一下，将“U 属于T ”读做“U 是一个开集”，便会发现两者实际上是一样的．
现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴．
定义2.3.2 设（X ，ρ）是一个度量空间．令T
ρ为由X 中的所有开集构成的集族，根据定理2.2.10，T ρ是X 的一个拓扑．我们称T ρ为X 的由度量ρ诱导出来的拓扑，此外我
们约定：如果没有另外的说明，我们提到度量空间（X ，ρ）的拓扑时，指的就是拓扑T
ρ；在称度量空间（X ，ρ）为拓扑空间时，指的就是拓扑空间(X, T ρ).
因此，实数空间R ，n 维欧氏空间n R （特别，欧氏平面2R ) , Hilbert 空间H 都可以叫做拓扑空间，它们各自的拓扑分别是由例2.1.1 , 例2.1.2 和例2.1.3 中定义的各自的度量所诱导出来的拓扑．度量空间是拓扑空间中最为重要的一类．此外，我们还有其它一些拓扑空间的例子．
例2.3.3 平庸空间．
设X 是一个集合．令T ={}φ,X ，容易验证，T 是X 的一个拓扑，称之为X 的平庸拓扑；并且我们称拓扑空间(X, T )为一个平庸空间．在平庸空间(X, T )中，有且仅有两个开集，即X 本身和空集．
例2.3.4离散空间．
设X 是一个集合，令T ＝X 2，即T 是由X 的所有子集构成的族．容易验证T 是X 的一个拓扑，称之为X 的离散拓扑；并且我们称拓扑空间(X, T )为一个离散空间．在离散空间(X, T )中，X 的每一个子集都是开集．
例2.3.5 设X ＝{ a , b , c } ．令
T ＝{φ, {a},{a,b},{a,b,c}}
容易验证T 是X 的一个拓扑，因此(X, T )是一个拓扑空间，这个拓扑空间既不是平庸空间又不是离散空间．
例2.3.6 有限补空间．
设X 是一个集合．对于X 的每一个子集A ，它的补集X-A 我们写为'A ．令
T ={}
{}φ 是有限的':2U U X ∈ 可以验证T 是X 的一个拓扑，称之为X 的有限补拓扑．拓扑空间(X, T )称为一个有限补空间．
例2.3.7可数补空间.
设X 是一个集合．令
T ={}
{}φ 是可数的':2U U X ∈
可以验证T 是X 的一个拓扑，称之为X 的可数补拓扑．拓扑空间(X, T )称为一个可数补空间．
例2.3.8 对于实数集合R 来说，我们可以定义五个拓扑，它们是平庸拓扑T t 、离散拓扑T s 、欧氏拓扑T e 、有限补拓扑T
f 和可数补拓扑T c ．它们的关系是： T t ? T f ? T c （T e ）? T s
一个令人关心的问题是拓扑空间是否真的要比度量空间的范围更广一点？换句话就是问：是否每一个拓扑空间的拓扑都可以由某一个度量诱导出来？
定义2.3.9 设（X ，T ）是一个拓扑空间．如果存在X 的一个度量ρ使得拓扑T 是由度量ρ诱导出来的拓扑，那么称（X ，T ）是一个可度量化空间．
根据这个定义，前述问题即是：是否每一个拓扑空间都是可度量化空间？由2.1节的习题2,3可以知道，事实上每一个只含有限个点的度量空间作为拓扑空间都是离散空间．然而一个平庸空间如果含有多于一个点的话，它肯定不是离散空间，因此它不是可度量化的．由此可见，拓扑空间比度量空间的范围要广泛。进一步的问题是满足一些什么条件的拓扑空间是可度量化的？这是点集拓扑学中的重要问题之一，以后我们将专门讨论。
现在我们来将度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间之间的连续映射．受2.1节中的定理2.2.14的启发，我们能够给出下面定义：
定义2.3.10 设X 和Y 是两个拓扑空间，Y X f →:．如果Y 中每一个开集U 的原象)(1U f -是X 中的一个开集，那么就称f 是从X 到Y 的一个连续映射，或简称映射f 连续．
按这种方式定义拓扑空间之间的连续映射，保证了：当X 和Y 是两个度量空间时，如果Y X f →:是从度量空间X 到度量空间Y 的一个连续映射，那么它也是从拓扑空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射，反之亦然。
下面的这个定理尽管证明十分容易，但所指出的却是连续映射的最重要的性质．
定理2.3.11 设X ，Y 和Z 都是拓扑空间．则
(1）恒同映射X X i X →:是一个连续映射；
(2）如果Y X f →:和Z Y g →:都是连续映射，则Z X f g →: 也是连续映射． 证明:（l ）如果U 是X 的一个开集，则U U i X =-)(1当然也是X 的开集，所以X i 连续．
(2）设Y X f →:和Z Y g →:都是连续映射．如果W 是Z 的一个开集，由于g 连续，
)(1W g -是Y 的开集；又由于f 连续，所以))((11W g f --是X 的开集，因此
))(()()(111W g f
W f g ---=
是X 的开集．这证明f g 连续． 在数学科学的许多学科中都要涉及集合和映射，如在线性代数中我们考虑线性空间和线性变换，在群论中我们考虑群和同态．集合论中的一一映射，线性代数中的（线性）同构，群论中的群同构都是较为特殊的一类映射．类似地，在拓扑中我们也给它们一个特殊名称．
定义2.3.12 设X 和Y 是两个拓扑空间，如果Y X f →:是一个一一映射，并且f 和1-f 都是连续的，则称f 是一个同胚映射或同胚．
定理2.3.13 设X ，Y 和Z 都是拓扑空间．则
(l ）恒同映射X X i X →:是一个同胚；
(2）若Y X f →:是一个同胚，则X Y f →-:1也是一个同胚；
(3）若Y X f →:和Z Y g →:都是同胚，则Z X f g →: 也是一个同胚．
根据定理2.3.13，我们可以说：在任意给定的一个由拓扑空间组成的族中，两个拓扑空间是否同胚这一关系是一个等价关系．因此同胚关系将这个拓扑空间族分为互不相交的等价类，使得属于同一类的拓扑空间彼此同胚，属于不同类的拓扑空间彼此不同胚．
如果某一个拓扑空间具有某种性质P ，那么与其同胚的任何一个拓扑空间也具有性质P ，我们就称此性质P 是一个拓扑不变性质，也就是说，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质．
拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质。
至此我们已经将数学分析中我们熟知的欧氏空间和欧氏空间之间的连续函数的概念，经由度量空间和度量空间之间的连续映射，一直抽象为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射这样一个在数学的历史上经过了很长的一段时期才完成的工作．
2.4 邻域与邻域系
我们在数学分析中定义映射的连续性是从“局部”到“整体”的，也就是说先定义映射在某一点处的连续性，然后再定义这个映射本身的连续性．然而对于拓扑空间的映射而言，先定义映射本身的连续性更为方便，所以我们在2.2节中先定义了整体连续．
在定理2.2.14中我们已经发现，考虑映射在某一点处的连续性的定义，只要有一个适当的称之为“邻域”的概念。而在2.1节中定义度量空间的邻域时只用到“开集”．因此我们先在拓扑空间中建立邻域的概念，然后再给出映射在某一点处的连续性的概念．
定义2.4.1 设（X ，T ）是一个拓扑空间，X x ∈．X 的一个子集U 称为x 的一个邻域，如果存在一个开集V 使得U V x ?∈. 点x 的所有邻域构成的X 的子集族称为点x 的邻域系．易见，如果U 是包含着点x 的一个开集，那么它一定是x 的一个邻域，于是我们称U 是点x 的一个开邻域．
借助于邻域我们可以给出了开集的刻画如下：
定理2.4.2 拓扑空间X 的一个子集U 是开集的充分必要条件是U 是它的每一点的邻域，即只要U x ∈,U 便是x 的一个邻域．
证明： 定理中条件的必要性是明显的．以下证明充分性，设φ≠U ，根据定理中的条件知，对于每一个U x ∈，存在一个开集x V ，使得U V x x ?∈．因此
{}U V x U U x x U x ??=
∈∈
故 U x x V U ∈=，根据拓扑的定义，U 是一个开集．
下面定理概括了邻域系的基本性质：
定理2.4.3 设X 是一个拓扑空间．记x u 为点X x ∈的邻域系，则
(Nl ）φ≠∈?x u X x , 且U x u U x ∈?∈；
(N2）x x u V U u V U ∈?∈ ,；
(N3) x u U ∈且x u V V U ∈??；
(N4）如果x u U ∈，那么存在x u V ∈使得U V ?且V y ∈?，都有y u U ∈．
下面定理表明，我们完全可以从邻域系的概念出发来建立拓扑空间理论，这种做法在点集拓扑发展的早期常被采用，并且这种做法或许还显得自然一点，但不如现在流行的从开集概念出发定义拓扑来得简洁。
定理2.4.4 设X 是一个集合，且对于每一点X x ∈指定X 的一个子集族x u ，并且它们满足定理2.4.3 中的条件（Nl ）一（N4).则X 有唯一的一个拓扑T 使得对于每一点X x ∈，子集族x u 恰是点x 在拓扑空间（X ，T ）中的邻域系．
证明： 令
T {}
x X u x U x U ∈∈?∈=,:2 下面验证T 是X 的一个拓扑.
(1) 显然∈φ,X T ；
(2) 设∈B A ,T ，若B A x ∈，则x x u B u A ∈∈,，由定理2.4.3中的（N2）知，
x u B A ∈ ，因此∈B A T .o
(3) 设T 1? T ，若 ∈x {A:A ∈T 1},则存在U ∈T 1，使得U x ∈.由于∈U T ，所以
x u U ∈；又?U {A:A ∈T 1}，根据定理2.4.3中的（N3），有 {A:A ∈ T 1}x u ∈，这就证明了 {A:A ∈ T 1}∈T .
现记任意一点X x ∈的邻域系为*x u ，下面证明x x u u =*.
设x u U ∈，由定理2.3.4中的（N4）可见存在x u V ∈使得∈V T 且U V ?.由定理2.4.3中的条件（N1）和（N3）得*x u U ∈，因此*x x u u ?.
另一方面，设**x u U ∈，则存在∈*V T 使得**U V ?.由x u V ∈*以及定理2.4.3中的（N3）
知x u U ∈*.这又证明了x x u u ?*.因此x x u u =*
.到此证明了邻域系的唯一性。 现在将度量空间之间在一点处的连续的映射概念推广到拓扑空间之间的映射中。
定义2.4.5设X 和Y 是两个拓扑空间，Y X f →:，X x ∈.如果)(x f 的每一个邻域U 的原象)(1U f -是x 的一个邻域，那么就称f 是一个在x 处连续的映射，或简称映射f 在点x 处连续．
类似于定理2.3.11我们也有下面定理：
定理2.4.6 设X ，Y 和Z 都是拓扑空间．则
(1）恒同映射X X i X →:在每一点处都是连续的；
(2）如果Y X f →:在点X x ∈处是连续的，Z Y g →:在)(x f 处连续，则Z X f g →: 在x 处是连续的．
下面定理建立了“局部的”连续性概念和“整体的”连续性概念之间的联系。
定理2.4.7 设X 和Y 是两个拓扑空间，则映射Y X f →:连续当且仅当它在每个点处连续. 证明：)(?设映射f 连续，X x ∈，
若U 是)(x f 的邻域，则存在开集V ，使得U V x f ?∈)(，于是)()()(111U f V f x f ---?∈，有由于)(1V f -是开集，故)(1U f -是x 的邻域，这就证明了f 在x 处是连续的。
)(?设对于每一个X x ∈，f 在x 处连续。若U 是Y 中的一个开集，则对于每一个点)(1U f x -∈，U 是)(x f 的一个邻域，因此)(1U f -是x 的邻域，所以)(1U f -是开集，这就证明了f 是连续的。
2.5 导集、闭集、闭包
如果在一个拓扑空间中给定了一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同，因此可以对它们进行分类处理．
定义2.5.1 设X 是一个拓扑空间，X A ?．如果点x 的每一个邻域U 中都有A 中异于x 的点，即φ≠-}){(x A U ，则称点x 是集合A 的一个凝聚点或极限点，集合A 的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集，记作d A ，如果A x ∈并且x 不是A 的聚点，即存在x 的一个邻域V ，使得φ=-}){(x A V 那么则称x 为A 的一个孤立点。
在上述定义之中，凝聚点，导集，以及孤立点的定义无例外都依赖于它所在的拓扑空间的那个给定的拓扑，因此，当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而又谈到例如凝聚点时，你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言．
大家可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚定义的这些概念，但绝不要以为对欧氏空间有效的性质，对一般的拓扑空间都有效。以下两个例子可以帮助大家澄清某些不正确的潜在印象。
例2.5.2 离散空间中集合的凝聚点和导集．
设X 是一个离散空间，A 是X 中的一个任意子集。由于X 中的每一个单点集都是开集，因此若X x ∈，则x 有一个邻域｛x ｝使得{}{}φ=-)(x X x ，于是x 不是A 的聚点．这表明φ=d A .
例2.5.3 平庸空间中集合的凝聚点和导集.
设X 是平庸空间，A 是X 中的一个任意子集，我们分三种情形讨论：
1.φ=A ．这时A 显然没有任何一个聚点，亦即φ=d A .
2.A 是一个单点集，令{}0x A =．如果X x ∈且0x x ≠，那么点x 只有唯一的一个邻域X ，这时{}φ≠-)(x A X ，因此d A x ∈. 然而对于0x 的唯一邻域X,有{}φ=-)(0x A X ．于是d A x ?0.所以A X A d -=.
3. A 包含着多于一个点．此时X A d
=.(请同学们自己证明)
有了导集的概念后，我们就可以定义闭集了．
定义2.5.4 设X 是一个拓扑空间，X A 2∈．若A 的每一个聚点都属于A ，即A A d
?，则称A 是拓扑空间X 中的一个闭集．
例如，离散空间中的任何一个子集都是闭集，而平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是闭集．
定理2.5.5 设X 是一个拓扑空间，X A 2∈．则A 是闭集当且仅当A 的补集'A 是开集． 证明：)(?设A 是一个闭集，若'A x ∈，则A x ?，于是x 有一个邻域U 使得{}φ=-)(x A U ，从而φ=A U ．这表明'A U ?, 即'A 是x 的邻域．因此'A 是开集． )(?设'A 是开集．若'A x ∈，则'A 是x 的邻域．由φ='A A 可以知道d A x ?．因此，A A d ?,即A 是闭集．
例2.5.6 实数空间R 中作为闭集的区间．
设b a R b a <∈,,．闭区间[a,b]是实数空间R 中的一个闭集，因为[a,b]的补集
),(),(],['+∞-∞=b a b a 是一个开集．同理，),[],(+∞-∞b a 和都是闭集，R =+∞-∞),(更是一个闭集，其他区间都不是闭集．
定理2.5.7设X 是一个拓扑空间．记F 为所有闭集构成的族．则
(l)∈φ,X F ；
(2）F 对有限并封闭；
(3）F 对任意交封闭．
例2.5.8 Cantor 集是实数空间R 中的一个闭集．
先定义映射：R R f f →:,21使得对于任何R t ∈，有
3
2)(,3)(21t t f t t f +==. 容易验证21,f f 都是同胚映射，因此对于任意开集U ，)(),(21U f U f 都是开集。 下面按照归纳原则定义一系列开集 21,A A 令)3
2
,31(1=A ；对于任何1>n ，定义 )()(1211--=n n n A f A f A
则)98,97()92,91(2 =A ；)27
26,2725()2720,2719()278,277()272,271(
3 =A ；… 令 N
n n A A ∈=，它是可数个开集的并，当然是一个开集。容易验证]1,0[?A ，令 ']1,0[]1,0[A A C =-=
C 称为Cantor 集或标准Cantor 三分集，它是一个闭集。
定义2.5.9 设X 是一个拓扑空间，集合A 与它的导集d A 的并d A A 称为集合A 的闭包，记作-A A 或. 容易看出：A x ∈当且仅当对于x 的任何一个邻域U ，有φ≠A U .
定理2.5.10 拓扑空间X 的子集A 是闭集的充分必要条件是A A =.
证明：集合A 为闭集当且仅当A A d ?当且仅当A A A d
= .
下面定理给出了闭包运算的性质。
定理2.5.11 设X 是一个拓扑空间，则X B A 2,∈?，有
（1）φφ=；
（2）A A ?；
（3）B A B A =；
（4）A A =.
证明：（1）和（2）是显然的。（3）成立，因为 d B A B A B A )()( ==d d B A B A =)()(d d B B A A =B A ；
（4）成立，因为
d d d d d A A A A A A A A )( ====d A A =A .
定理2.5.12 拓扑空间X 的任何一个子集A 的闭包A 都是闭集．
定理2.5.13 设X 是一个拓扑空间，F 是由空间X 中所有闭集构成的族，则对于X 的每一个子集A ，有
=A {∈?∈B B A B X ,:2F }
即集合A 的闭包等于包含A 的所有闭集之交．
给定集合X 的一个拓扑T ，X 的一个子集对应它的闭包可以看作是一个映射，或者是一个
一元运算，它被叫做闭包算子。下面我们考虑拓扑和闭包的关系。
定义2.5.14 设X 是一个集合．映射X X c 22
:→被叫做一个闭包算子，如果它满足下面四个条件：X C B A 2,,∈?,
(l ）φφ=)(c ;
(2) )(A c A ?;
(3）)()()(B c A c B A c =;
(4）)())((A c A c c =.
定理2.5.15设X 是一个集合，X X c 22:→是集合X 的一个闭包算子，则存在X 的唯一一个拓扑T ，使得在拓扑空间(X, T )中，对于每一个X A 2∈，有A A c =)(.
证明：我们证明X 的子集族
T ={}
'')(:2
U U c U X ?∈便是满足定理要求的那个唯一的拓扑。首先验证T 是X 的一个拓扑。
(1)根据(1)我们知道'')()(X c X c ===φφ，因此∈X T ．根据（2）我们知道X X c ?)(，因此'')()(φφ=?=X X c c ，于是∈φT ．
(2)设∈B A ,T ，则'''')()(B B c A A c ??且，再由(3), '''''''')()()()())((B A B A B c A c B A c B A c =?==
因此，∈B A T .
（3）T 1?T ，即X 的子集族T 1满足条件：对任意的A ∈T 1，有'')(A A c ?.于是
∈A A c :{(( T 1}）'）=∈A A c :{(' T 1}）∈?A A c :)({' T 1}
∈?A A :{' T 1}=∈A A :{( T 1}）'
因此，∈A A :{ T 1}∈T .
假设F 是X 的另一个满足定理要求的拓扑，也就是说，任何一个集合A 在拓扑空间(X, F )中的闭包也是c （A)．此时易见，一个集合在拓扑空间（X ，T ）中是闭集当且仅当它在拓扑空间(X, F )中是闭集．这说明T ＝F ．