微分方程数值解试题库2011
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《常分方程数值解法》试题一及答案
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1．用欧拉法解初值问题?
??1=060≤≤0--='2)()
.(y x xy y y ，取步长
h =0.2.计算
过程保留4位小数。
解：h =0.2, f (x )=－y －xy 2.首先建立欧拉迭代公式
),,k )(y x (y .y hx hy y )y ,x (hf y y k k k k k k k k k k k 21042021=-=--=+=+ 当k =0，x 1=0.2时，已知x 0=0,y 0=1，有 y (0.2)≈y 1=0.2×1(4－0×1)＝0.800 0
当k ＝1，x 2=0.4时，已知x 1=0.2, y 1=0.8，有
y (0.4)≈y 2=0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.614 4
当k =2，x 3=0.6时，已知x 2=0.4,y 2=0.614 4，有
y (0.6)≈y 3=0.2×0.614 4×(4－0.4×0.4613)＝0.800 0
2．对于初值问题???1
=0='2
)(y xy y 试用(1)欧拉法；(2)欧拉预报－校正公式；
(3)四阶龙格－库塔法分别计算y (0.2),y (0.4)的近似值.
3．证明求解初值问题的梯形公式是 y k +1=y k +)],(),([2
11+++k k k k y x f y x f h
, h =x k +1－x k
(k =0,1,2,…,n －1)，
4．将下列方程化为一阶方程组
（1）430(0)1,(0)0y y y y y '''-+=??
'==?
（2）2322ln (1)1,(1)0x y xy y x x y y '''?-+=?
'==?
（3）26(0)1,(0)1,(0)2y y y y y y ''''
?=?
'''==-=?
5．取步长h = 0.2再用四阶龙格――库塔方法解初值
??
?=≤≤+=1
)0(1
0'y x y x y
并用前题比较结果。
6．下列各题先用龙格――库塔法求表头，然后用阿当姆斯法继续求以后各值
（1）??
?==≤≤-=1
.03
)1(5
.112'h y x y x y
（2）?????
==≤≤=+1
.01
)1(5.1111'2
h y x x
y x y
7．试确定公式11211()n n n n n
n n y ay by cy h dy ey fy +--+-'''=+++++中的系数,,,,,a b c d e f ，使之成为一个四阶方法．
8.
xy dx
dy
2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得
。
故它的特解为代入得
把即两边同时积分得：e e x
x y c y x x c y c y xdx dy y
2
2
,11,0,ln ,21
2
=====+==
9. 2
.(1)0,dx x dy y ++=并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得：
。
故特解是
时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x
y c y x y x c y c y x y dy dx x y
++=====++=+=+≠=+-
1ln 11
,11,001ln 1
,11ln 0,1112
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《常分方程数值解法》试题二及答案
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1．用欧拉预报－校正公式求解初值问题?
??1=10
=++'2)(sin y x y y y ，取步长
h =0.2,计算 y (0.2),y (0.4)的近似值，计算过程保留5位小数.l
解：步长h =0.2, 此时f (x ,y )=－y －y 2sin x .
欧拉预报－校正公式为：
??
??
?++=+=++++)]
,(),([2
),(111
1k k k k k k k k k k y x f y x f h
y y y x hf y y 校正值预报值
有迭代公式：
????
????
?+--=--+--+=-=--+=++++++++)
sin (1.0)sin 1.09.0()]
sin ()sin [(2
)
sin 2.08.0()
sin (12
111211212
1k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x y y x y y x y y x y y h y y x y y x y y h y y 校正值预报值 当k =0，x 0=1, y 0=1时，x 1=1.2，有
63171
0=11?02-80?1=20-80=0001.)sin .()sin ..(x y y y 71549
0=21631710+63171010-1?1?10-90?1=≈212
1.).sin ..(.)sin ..().(y y 当k =1，x 1=1.2, y 1=0.71549时，x 2=1.4，有
47697
0=21715490?02-80?715490=20-80=1112.)
.sin ..(.)sin ..(x y y y
)
.sin ..(.).sin ...(.).(41476970+47697010-21?715490?10-90?715490=≈412
2
y y
=0.52608
2．试写出用欧拉预报－校正公式求解初值问题??
?1
=00
=+')(y y y 的计算公式，
并取步长h =0.1，求y (0.2)的近似值.要求迭代误差不超过10－5.
3．证明求解初值问题的梯形公式是 y k +1=y k +)],(),([2
11+++k k k k y x f y x f h
, h =x k +1－x k
(k =0,1,2,…,n －1)，
4．求出梯形格式的绝对稳定性区域．
5．取步长h = 0.2再用四阶龙格――库塔方法解初值
??
?=≤≤+=1
)0(1
0'y x y x y
并用前题比较结果。
6．用差分法求方程
??
?===+''1
)1(0
)0(0y y y y
的数值解（h = 0.2）
7
y
xy dx dy x y 32
1++
=
解：原式可化为：
x x y x x y x y
x y
y
x
y
c c c c x dx x dy y y
x y
dx
dy 2
2
2
2
2
2
2
2
3
22
3
2
)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2
1
1
1,0111=++
=++
≠++-=+
+=+≠+
?
+
=+）
故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然
(1)(1)0
110000ln ln ,ln ,ln ;0;0.
x ydx y xdy x y
y x xy dx dy x y
x x y y c xy x y c xy x y c y x ++-=+-==≠==++-=+-==-===8：解：由或是方程的解，当时，变量分离两边积分即故原方程的解为
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《常分方程数值解法》试题三及答案
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1．写出用四阶龙格－库塔法求解初值问题?
??2=03-8=')(y y
y 的计算公式，取
步长h =0.2计算y (0.4)的近似值.计算过程保留4位小数. 解：此处f (x ,y )=8－3y , 四阶龙格－库塔法公式为
)22(6
43211κκκκ++++
=+h
y y k k
其中 κ1=f (x k ,y k )；κ2=f (x n +12
h ，y k +
2
1h κ1)；κ3=f (x k +12
h ，
y n +2
1h κ2)；κ4=f (x k +h ，y k +h κ3)
本例计算公式为：
)(.43211++2+2+6
2
0+
=κκκκk k y y
其中 κ1=8－3 y k ；κ2=5.6－2.1 y k ；κ3=6.32－2.37y k ; κ4=4.208＋1.578y k
)
1,...,2,1,0(5494.02016.1))
578.1208.4()37.232.6(2)1.26.5(238(6
2
.01-=+=-+-+-+-+
=+n k y y y y y y y k k k k k k k 当x 0=0,y 0==2,
4654
2=30042?54940+20161=54940+20161=≈4030042=2?54940+20161=54940+20161=≈201201......).(.....).(y y y y y y
2．对于初值问题???1
=0='2
)(y xy y 试用(1)欧拉法；(2)欧拉预报－校正公式；
(3)四阶龙格－库塔法分别计算y (0.2),y (0.4)的近似值.
3．用E u l e r 法解初值问题(0)0y ax b y '=+??
=?，证明：其截断误差为2
1
()2n n y x y anh -=，这里n x nh =，n y 是Euler 法的近似解.
4．求出梯形格式的绝对稳定性区域．
5．取步长h = 0.2再用四阶龙格――库塔方法解初值
??
?=≤≤+=1
)0(1
0'y x y x y
并用前题比较结果。
6．用差分法求方程
??
?===+''1
)1(0
)0(0y y y y
的数值解（h = 0.2）
7．试确定公式11211()n n n n n
n n y ay by cy h dy ey fy +--+-'''=+++++中的系数,,,,,a b c d e f ，使之成为一个四阶方法．
8.
2
21.
21
11
210,210;,33
112,,'33222212dy x y dx x y x y x y x y dY X Y
x X y Y dX X Y U Y dU U X X dX U U --=
-+--=-+==-=
-=-=+=--+==-解：方程组的解为令则有令，则方程可化为：变量分离
9.
2
252
5,1,1,(7)771772
1
7(5)7.
2(5)dy x y dx x y dy dt x y t dx dx dt t
t dt dx dx t t x c
x y x c t x y -+=
---===--=----=-+--+=-+-+解：令则
原方程化为：变量分离两边积分代回变量
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《常分方程数值解法》试题四及答案
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1．设初值问题1=00=+')(,y y y ，证明用梯形公式求解该问题的近似解为
n
n h h y ??
?
??+2-2=
证明：解初值问题的梯形公式为
)],(),([2
111+++++=k k k k k k y x f y x f h
y y (k =0,1,2,…,n －1)
y y x f -=),(
∴
]y y [h
y y k k k k 112
++--+
= 整理成显式
k k y h h y ??
? ??+-=+221( k =0,1,2,…,n －1)
用k =n ,n －1,n －2,…,1,0反复代入上式，得到
01
23
12
1
22...222222y h h y h h y h h y h h y n n n n n +--+??
? ??+-==??? ??+-=??? ??+-=??? ??+-=
n
n h h y y ??
?
??+-=∴=2210
2．试写出用欧拉预报－校正公式求解初值问题??
?1
=00
=+')(y y y 的计算公式，
并取步长h =0.1，求y (0.2)的近似值.要求迭代误差不超过10－5.
3．将下列方程化为一阶方程组
（1）430(0)1,(0)0y y y y y '''-+=??
'==?
（2）2322ln (1)1,(1)0x y xy y x x y y '''?-+=?
'==?
（3）26(0)1,(0)1,(0)2y y y y y y ''''
?=?
'''==-=?
4．取步长h = 0.2用四阶龙格――库塔方法解
??
?=≤≤+=1
)0(1
0'y x y x y
5．求出梯形格式的绝对稳定性区域．
6．用经典的四阶Rung-Kutta 公式解初值问题
(0)1y x y y '=+??
=? 取0.2h =.
7．用二阶Taylor 展开法求初值问题
22(1)1y x y y '?=+?
=?
的解在 1.5x =时的近似值（取步长0.25h =，小数点后至少保留5位）.
8．1
8)14()1(22+++++=xy y x dx dy
原方程的解。
，是
，两边积分得分离变量，
，所以求导得，则关于令解：方程化为c x y x arctg dx du u u dx du dx du dx dy x u y x y x xy y y x x dx
dy
+=++=++==+=+++++=+++++++=6)38
3232(9
414
9
4141412
)14(1818161222222
9．2
252
622y
x xy x y dx dy +-= 解：，则原方程化为，，令u y x xy x y dx dy x xy y x y dx dy =+-==+-=32
322332322232]2)[(32(2)( 126326322
2
22+-=+-=x
u x u x
xu x u dx du ，这是齐次方程，令
c
x x y x y c x y x y c x x y x y c x z z dx x dz d
z z z z z x y x y z z z z z z z dx dz x dx dz x z z z dx dz x z dx du z x u 15337333533735372233222)2()3(023)2()3,
)2()31
12062312306)1.(..........1261263=+-=-===+-=+-=--+≠---==-===--+--=+=+-+==的解为时。故原方程包含在通解中当或，又因为即（，两边积分的（时，变量分离当是方程的解。
或）方程的解。即是（或，得当，，，，所以，则
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《常分方程数值解法》试题五及答案
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1 选择填空题：
1．取步长h =0.1, 用欧拉法求解初值问题????
?1
=1+='2
)(y y x y y 的计算公式是 答案：1,1,...,2,1,0],)
1.01(1
.01.1[02
1=-=++
=+y n k k y y k k 解答：欧拉法的公式 ),...,,,()
,()(1-210=??
?+=+=≈01+1+n k kh x x y x hf y y x y k
k k k k k
此处y x y
y x f +=
2
),(，迭代公式为
1=210=10+11
0+11=+10+110+=02
21+y k k y y k y y y k k k k k ,...,,,),)
.(..()).((
. 2．对于初值问题?
??1=0='2
)(y xy y 试用(1)欧拉法；(2)欧拉预报－校正公式；
(3)四阶龙格－库塔法分别计算y (0.2),y (0.4)的近似值.
3．证明求解初值问题的梯形公式是 y k +1=y k +)],(),([2
11+++k k k k y x f y x f h
, h =x k +1－x k
(k =0,1,2,…,n －1)，
4．用Euler 法解初值问题(0)0y ax b
y '=+??
=?，证明：其截断误差为2
1
()2n n y x y anh -=，这里n x nh =，n y 是Euler 法的近似解.
5．用改进的Euler 公式
11[(,)(,(,))]
2
n n n n n n n n h y f x y f x y hf x y y ++=+++
求解初值问题0(0)1y y y '+=??=?，证明其近似解为22n
n h y h -??
= ?+??，并证明当0
h →时，它收敛于原初值问题的准确解x
y e -=．
6．取步长h = 0.2用四阶龙格――库塔方法解
??
?=≤≤+=1
)0(1
0'y x y x y
7．用Adams 四步显式公式求解初值问题
32(0)1y x y y '=-??
=? 取步长0.1h =.小数点后至少保留六位.
8. y
y y x x xy x dx dy -+++=3232332
解：原方程化为1
231
32;;;;;)123()132(2
2
22222222-+++=-+++=y x y x dx dy y x y y x x dx dy 令)1.......(1
231
32;;;;;;;;;;;;,22-+++===u v u v dv du v x u y 则
方程组，
，，）；令，的解为（111101230
132+=-=-???=-+=++u Y v Z u v u v 则有???
????
++=
=+=+z y z y dz dy y z y z 23321023032）化为，，，，从而方程（ 令
)2.( (232223322)
，，，，，所以，，则有t
t dz dt z t t dz dt z t dz dt z t dz dy z y t +-=++=++== 当
是原方程的解
或的解。得，是方程时，，即222222)2(1022x y x y t t -=-=±==-当
c x y x y dz z dt t
t t 5
22222
2)2(12223022+-=+=-+≠-两边积分的时，，分离变量得
另外
c x y x y x y x y 522222222)2(2+-=+-=-=原方程的解为，包含在其通解中，故，或
9.
222222
.()1.(1)2(2).2dy dy dy du xy u,x y x
,x y dx dx dx dx
1du du u 11f(u),(f(u)1)(uf(u)u)
y dx dx y(f(u)1)x x (1):x dy
f xy xy u y dx
y x y dx xdy x dy x y y dx x y ===+=+=
-=+==--==+=+=+
证明方程
经变换可化为变量分离方程，并由此求解下列方程（）22
3
3
2
2
42
2
2
2
2
2
2
2
22x dy x 0y 0xy 0s 1y dx
du 1du 1xy u,(2u ),dx dx x x 2u c ,c ,y 022c ,x 0.
2du 1214 (2)xy u ()dx 22y
x u u y u x x u y x y x y
x u u u u x u x ==≠=+==+=+===++==++==+=
--
解令，则原方程化为2
222
21ln 44
u u y x y du dx c u x x -==+分离变量得，两边积分得，这也就是方程的解。
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《常分方程数值解法》试题六及答案
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1．改进欧拉法的平均形式公式是( )
(A)?????????+21=+=+=1+)(),(),(c p k p
k k c k k k p y y y y x hf y y y x hf y y (B)???
?
?????+21=+=+=1+1+1+)
(),(),(c p k p k k c k k k p y y y y x hf y y y x hf y y (C)?????????+2=+=+=1+1+)(),(),(c p k p
k k c k k k p y y h y y x hf y y y x hf y y (D)???
?
?????+21=+=+=1+1+)
(),(),(c p k p k k c k k k p y y y y x hf y y y x hf y y 2．试写出用欧拉预报－校正公式求解初值问题?
??1=00
=+')(y y y 的计算公式，
并取步长h =0.1，求y (0.2)的近似值.要求迭代误差不超过10－5.
3．试证线性二步法
212(1)[(3)(31)]
4n n n n n h
y b y by b f b f +-++--=+++
当1b ≠-时方法为二阶，当1b =-时方法为三阶．
4．取步长h = 0.2用四阶龙格――库塔方法解
??
?=≤≤+=1
)0(1
0'y x y x y
5．用差分法求方程
??
?===+''1
)1(0
)0(0y y y y
的数值解（h = 0.2）
6．用Adams 四步显式公式求解初值问题
32(0)1y x y y '=-??
=? 取步长0.1h =.小数点后至少保留六位.
7．用经典的四阶Rung-Kutta 公式解初值问题
(0)1y x y y '=+??
=? 取0.2h =.
8. 已知f(x)?≠=x
x f x dt x f 0
)(,0,1)(的一般表达式试求函数.
解：设f(x)=y, 则原方程化为?=x
y
dt x f 0
1)( 两边求导得
'12y y y -
=
c
x y y c x dy y dx dx dy y +±==+-==
-21;;;;;121;;;;;;;;;;;;1;;;;;;;;;;233所以两边积分得代入把c
x y +±
=21?=
x
y
dt x f 0
1
)( x
y c c x c c x c x dt c
t x
21,02)2(;;;;;;;;;;2210
±
==+±=-+±+±=+±?
所以得
9.求具有性质 x(t+s)=)
()(1)
()(s x t x s x t x -+的函数x(t),已知x’(0)存在。
解：令t=s=0 x(0)=
)0(1)0()0(x x x -+=)
0()0(1)
0(2x x x - 若x(0)≠0 得x 2=-1矛
盾。 所
以
x(0)=0.
x’(t)=)(1)(0(')
()(1[))
(1)((lim )()(lim 22t x x t x t x t t x t x t t x t t x +=?-?+?=?-?+)
))(1)(0(')(2t x x dt t dx += dt x t x t dx )0(')
(1)
(2=+ 两边积分得arctg
x(t)=x’(0)t+c 所以x(t)=tg[x’(0)t+c] 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以 x(t)=tg[x’(0)t]
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《常分方程数值解法》试题七及答案
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1．求解初值问题???=='00
y x y y x f y )()
,(欧拉法的局部截断误差是( ); 改进欧
拉法的局部截断误差是( ); 四阶龙格－库塔法的局部截断误差是( )
(A)O (h 2) (B)O (h 3) (C)O (h 4) (D)O (h 5)
2．用平均形式改进欧拉法公式求解初值问题??
?0
=0=+')(y x
y y 在
x =0.2,0.4,0.6处的近似值.
3．将下列方程化为一阶方程组
（1）430(0)1,(0)0y y y y y '''-+=??
'==?
（2）2322ln (1)1,(1)0x y xy y x x y y '''?-+=?
'==?
（3）26(0)1,(0)1,(0)2y y y y y y ''''
?=?
'''==-=?
4．取步长h = 0.1用改进欧拉法解初值问题
??
?=≤≤+=1
)0(1
0'y x y x y
试将计算结果与准确解相比较。
5．试建立求解初值问题
00(,)()y f x y y x y '=??
=?
的如下数值解法
1111(4)
3n n n n n h
y y f f f +-+-=+++．
其中(,)i i i f f x y =，（1,,1i n n n =-+）．
6．用Adams 四步显式公式求解初值问题
32(0)1y x y y '=-??
=? 取步长0.1h =.小数点后至少保留六位.
22
7:()()0
,,,111
,111ln(1)ln 2
,,,,y x dy y x dx dy y x y dy du u y ux u x
dx y x x dx dx
du u u u x du dx
dx u x arctgu x c dy x
y dx y dy du
u y ux u x x dx dx
du d dx
u u ++-=-====+++++=-=+++
+=-+=+===+=解：令则变量分离，得：两边积分得：。8：解：令则原方程化为：
2
2
1sgn arcsin sgn ln arcsin sgn ln u x dx x
u x x c
y
x x c
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-
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=?+=?+=
两边积分得：代回原来变量，得另外，也是方程的解。
微分方程数值解习题
习题2 1． 略 2． 略 3． 略 4． 差分格式写成矩阵形式为： n n M n M n n n M n M n n e u u u u r t r r r t r r r t r r r t u u u u +????? ? ?? ?????????? ? ?-?--?--?--?-=???????? ??--+-+-++12211221121212121M O O O M αβαααβαααβαααβ 矩阵的特征值为：)cos(221M j r r t j π ααβλ+-?-=，要使格式稳定，则特征值须满足 t c j ?+≤1λ，即2 1≤r α 5． 利用泰勒展式可以得到古典隐式差分格式的截断误差为)(2 h t O +?。 古典隐式差分格式写成矩阵形式为： n n M n M n n n M n M n n e u u u u u u u u t r r r t r r r t r r r t r +??????? ? ?????????? ? ?=? ? ??? ? ? ? ?????????? ???++--?++--?++--?++--+-+ -++122 112211111121212121M O M O O O βαααβαααβαααβα 特征值为： 1 ))cos( 221(--+?++=M j r r t j πααβλ，即： )(1))2( cos 41(1 2t o M j r t j ?+≤+?++=-παβλ，所以无条件稳定。 6． 由Von-Neumann 方法，令mh i n l n m e u β?=，代入差分格式得到增长因子为： )2 ( sin 41),(2h r i t G βωβ-=?，所以1)]2 ( sin 4[1),(22≥+=?h r t G βωβ，恒不稳定。 7． n m n m u v =+1，则原三层格式等价于： ??=-+=+--+++-+++n m n m n m n m n m n m n m n m u v v u u u u r u 111111)21()2()1(θθθ，令mh i n l n l n m n m e v u βη???? ? ??=???? ??，
偏微分方程数值解期末试题及标准答案
偏微分方程数值解试题(０6B ） 参考答案与评分标准 信息与计算科学专业 一(10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(2 1)(n R x x b x Ax x J ∈-=，)()(0x x J λλ?+=.若0)0('=?，则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定)，求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点，对于任意的n R x ∈,令 ),(2),()()()(2 000x Ax x b Ax x J x x J λλλλ?+-+=+=, （3分) 0)0('=?,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0，则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ，得到b Ax =0． (3分) 反之,若n R x ∈0满足b Ax =0,则对于任意的x ,)(),(2 1)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+??,因此0x 是)(x J 的最小值点. (４分） 评分标准：)(λ?的展开式3分, 每问3分，推理逻辑性１分 二（10分）、 对于两点边值问题:?????==∈=+-=0 )(,0)(),()('b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E 为求解函数空间,检验函数空间．取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (３分) )().(),(v f fvdx dx quv dx dv dx du p v u a b a b a ==+=??,),(1 b a H v E ∈? 即变分问题的Galerkin 形式. （3分)
偏微分方程数值解复习题(2011硕士)
偏微分方程数值解期末复习（2011硕士） 一、考题类型 本次试卷共六道题目，题型及其所占比例分别为： 填空题20%；计算题80% 二、按章节复习内容 第一章 知识点：Euler法、向前差商、向后差商、中心差商、局部截断误差、整体截断误差、相容性、收敛性、阶、稳定性、显格式、隐格式、线性多步法、第一特征多项式、第二特征多项式、稳定多项式、绝对稳定等； 要求: 会辨认差分格式, 判断线性多步法的误差和阶; 第二章 知识点：矩形网格、(正则,非正则)内点、边界点、偏向前(向后,中心)差商、五点差分格式、增设虚点法、积分插值法、线性椭圆型差分格式、极值原理、比较定理、五点差分格式的相容收敛和、稳定性等； 要求: 建立椭圆型方程边值问题的差分格式, 极值原理; 第四章 知识点：最简显格式、最简隐格式、CN格式、双层加权格式、Richardson 格式、网格比、传播因子法(分离变量法) 、传播因子、传播矩阵、谱半径、von Neumann条件、跳点格式、ADI格式、线性椭圆型差分格式、极值原理、比较定理、五点差分格式的相容收敛和稳定性等； 要求: 建立抛物型方程边值问题的差分格式, 计算局部截断误差; 第五章 知识点：左偏心格式、右偏心格式、中心格式、LF格式、LW格式、Wendroff 格式、跳蛙格式、特征线、CFL条件等； 要求: 建立双曲型方程边值问题的差分格式, 计算局部截断误差; 第七章 要求: 会用线性元(线性基)建立常微分方程边值问题的有限元格式
三 练习题 1、 已知显格式21131()22 n n n n u u h f f +++-=-，试证明格式是相容的，并求它的阶。 P39+P41 2、用Taylor 展开原理构造一元函数一阶导数和二阶导数的数值微分公式。 提示：向前、向后和中心差商与一阶导数间关系，二阶中心差商与二阶导数 之间的关系 课件 3、用数值微分方法或数值积分方法建立椭圆型方程 2222(,),(,),u u f x y x y x y ??--=?∈Ω?? :01,01x y Ω≤≤≤≤ 内点差分格式。 P75+课件 4、构造椭圆型方程边值问题的差分格式. P101 (4)题 5、构建一维热传导方程220,(0)u u Lu a a t x ??=-=>??的数值差分格式(显隐格式等)。 参考P132-135相关知识点 6、设有逼近热传导方程22(0)u u Lu a f a const t x ??≡-==>??的带权双层格式 ()()1111111122(1)2k k j j k k k k k k j j j j j j u u a u u u u u u h θθτ++++-+-+-??=-++--+?? 其中[0,1]θ∈，试求其截断误差。并证明当2 1212h a θτ=-时，截断误差的阶最 高阶为24()O h τ+。 P135+P165+课件 7、传播因子法证明抛物型方程22(0)u u Lu a f a const t x ??≡-==>??的最简显隐和六点CN 格式稳定性。 P156+课件 8、对一阶常系数双曲型方程的初边值问题 0,0,0,0,(,0)(),0,(0,)(),0, u u a t T x a t x u x x x u t t t T φψ???+=<≤<<∞>?????=≤<∞??=≤≤?
常微分方程初值问题的数值解法
第七章 常微分方程初值问题的数值解法 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，我了解了常微分方程初值问题的计算方法，对于解决那些很难求解出解析表达式的，甚至有解析表达式但是解不出具体的值的常微分方程非常有用。在这一章里求解常微分方程的基本思想是将初值问题进行离散化，然后进行迭代求解。在这里将初值问题离散化的方法有三种，分别是差商代替导数的方法、Taylor 级数法和数值积分法。常微分方程初值问题的数值解法的分类有显示方法和隐式方法，或者可以分为单步法和多步法。在这里单步法是指计算第n+1个y 的值时,只用到前一步的值，而多步法则是指计算第n+1个y 的值时，用到了前几步的值。通过对本章的学习，已经能熟练掌握如何用Taylor 级数法去求解单步法中各方法的公式和截断误差，但是对线性多步法的求解理解不怎么透切，特别是计算过程较复杂的推理。 在本章的学习过程中还遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易混淆，其次对几种R-K 公式的理解不够透彻，处理一个实际问题时，不知道选取哪一种公式，通过课本里面几种方法的计算比较得知其误差并不一样，，这个还需要自己在往后的实际应用中多多实践留意并总结。 二、本章知识梳理 常微分方程初值问题的数值解法一般概念 步长h ，取节点0,(0,1,...,)n t t nh n M =+=，且M t T ≤，则初值问题000 '(,),()y f t y t t T y t y =≤≤?? =?的数值解法的一般形式是 1(,,,...,,)0,(0,1,...,)n n n n k F t y y y h n M k ++==-
微分方程数值解试题库2011(试题参考)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 《常分方程数值解法》试题一及答案 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1．用欧拉法解初值问题???1 =060≤≤0--='2)() .(y x xy y y ，取步长 h =0.2.计算 过程保留4位小数。 解：h =0.2, f (x )=－y －xy 2.首先建立欧拉迭代公式 ),,k )(y x (y .y hx hy y )y ,x (hf y y k k k k k k k k k k k 21042021=-=--=+=+ 当k =0，x 1=0.2时，已知x 0=0,y 0=1，有 y (0.2)≈y 1=0.2×1(4－0×1)＝0.800 0 当k ＝1，x 2=0.4时，已知x 1=0.2, y 1=0.8，有 y (0.4)≈y 2=0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.614 4 当k =2，x 3=0.6时，已知x 2=0.4,y 2=0.614 4，有 y (0.6)≈y 3=0.2×0.614 4×(4－0.4×0.4613)＝0.800 0 2．对于初值问题? ??1=0='2 )(y xy y 试用(1)欧拉法；(2)欧拉预报－校正公式； (3)四阶龙格－库塔法分别计算y (0.2),y (0.4)的近似值. 3．证明求解初值问题的梯形公式是 y k +1=y k +)],(),([2 11+++k k k k y x f y x f h , h =x k +1－x k (k =0,1,2,…,n －1)，
微分方程数值解--大纲
偏微分方程数值解 （Numerical Methods for Partial Differential Equations） 课程代码：10210801 学位课程/非学位课程：非学位课程 学时/学分：46/3 课程简介： 《偏微分方程数值解》是数学类专业必修的一门专业课。主要内容包括：变分形式和Galerkin有限元法、椭圆型方程的差分方法、抛物型方程的差分方法、双曲型方程的差分方法、离散方程的解法。通过本课程的学习，使学生掌握求解偏微分方程数值解的基本方法，能够根据具体的微分方程使用合适的计算方法。 一、教学目标 1、知识水平教学目标 偏微分方程数值解课程的教学，要使学生掌握椭圆型微分方程、抛物型微分方程、双曲型微分方程等典型方程的差分方法，了解与之相关的理论问题，理解变分原理、有限元方法以及离散方程的解法，理解各种计算方法的收敛条件和收敛速度。 2、能力培养目标 通过偏微分方程数值解课程教学,应注意培养学生以下能力： （1）连续问题离散化能力——掌握科学的思维方法，能够使用差分方法和有限元方法的各种格式对三类典型方程进行离散化处理。 （2）算法分析与设计能力——结合各类偏微分方程的特点，设计各种计算方法，对计算方法的收敛条件和收敛速度等进行分析，具体设计易于上机实现的算法。（3）离散方程组的快速求解能力——理解离散方程组的特点，使用数学软件编程，具体上机实现，进行数值模拟的动手能力。 3、素质培养目标 通过数学物理方程课程教学,应注重培养学生以下素质： （1）具体问题有限化——善于对现实世界中得到的偏微分方程进行有限差分、有限元分析的有限化思想素养。 （2）数值解法定性化——通过学习，引导学生树立偏微分方程数值求解的基本原则，培养学生对数值方法中的稳定性、收敛性和误差等进行定性分析的素质。（3）算法实现程序化——培养学生的创造性和具体实现程序化的思维，使学生学会用数学中算法的观点思考实际问题，用程序和计算机解决数学问题。 二、教学重点与难点 1、教学重点：椭圆型、抛物型、双曲型等微分方程的差分方法，有限元方法。 2、教学难点：各种计算方法的稳定性、收敛性和误差分析，变分形式。 三、教学方法与手段 以教师讲授为主，安排上机实验，辅以习题课、课堂讨论、小论文，注重理论联系实际。 四、教学内容与目标 教学内容教学目标课时分配 （46学时） 1. 边值问题的变分形式 6 二次函数的极值掌握 两点边值问题掌握
偏微分方程数值解试题及答案
偏微分方程数值解试题(06B) 参考答案与评分标准 信息与计算科学专业 一（10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(2 1 )(n R x x b x Ax x J ∈-= ，)()(0x x J λλ?+=.若0)0('=?,则称称0x 是)(x J 的驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点,对于任意的n R x ∈,令 ),(2 ),()()()(2 000x Ax x b Ax x J x x J λλλλ?+ -+=+=, (3分) 0)0('=?,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有 0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若 n R x ∈0满足 b Ax =0,则对于任意的 x ,)(),(2 1 )0()1()(00x J x Ax x x J >+ ==+??,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分) 评分标准:)(λ?的展开式3分, 每问3分,推理逻辑性1分 二（10分）、 对于两点边值问题：????? ==∈=+-=0 )(,0)() ,()(' b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ] ,[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和 Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)(),,(|{11 =∈=a u b a H u u H E 为求解函数空间,检验函数空间.取),(1 b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分) )().(),(v f fvdx dx quv dx dv dx du p v u a b a b a ==+=??,),(1 b a H v E ∈? 即变分问题的Galerkin 形式. (3分) 令?-+=-=b a dx fu qu dx du p u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式
微分方程数值解试卷
中国矿业大学2008～2009学年第 1 学期 《微分方程数值解法》试卷（B ）卷 考试时间：100 分钟 考试方式：半开卷 学院 班级 姓名 序号 1、下面关于Euler 公式的结论哪些是正确的（打√）？哪些是错误的（打×）？ （1）二阶方法；（2）一阶方法；（3）显式公式；（4）隐式公式；（5）是数值稳定的。 2、如果微分方程为,(0)1u tu u '==，则用Taylor 级数法求()u h 时，它的前两项为： 。 3、二阶差商 11 2 2i i i u u u h +--+近似二阶导数()i u x ''局部截断误差为 。 4、算术平均11 2 i i u u +-+近似函数值()i u x 的局部截断误差为 。 5、在课本P98差分方程(3.10)中，第二个方程的局部误差是什么？ 。 6、函数空间0()C I ∞ 中函数满足什么性质？ 。 二、（10分）求解常系数齐次差分方程21120,1,2, 1,1 i i i u u u i u u ++-+==?? =-=?的解。 三、（25分）已知数值解公式21132(2)m m m m m u u u h f f +++-+=- （1）写出与它们对应的特征多项式。 （2）这个多步法相容吗？ （3）利用课本P47公式（2.66）求公式的局部截断误差的主项。 （4）讨论这个算法的零稳定性。 （5）求这个算法的绝对稳定区间。 四、（10分）试利用初值问题的数值解公式 11 11(,) (,)n n n n n n n n u u hf x u u u hf x u ++++=+?? =+? （1）构造一个PECE 预测校正系统；
偏微分方程数值解试题06B答案
专业班级 姓名 学号 开课系室数学与计算科学学院 考试日期
偏微分方程数值解试卷 一（15分）、（1）简述用差分方法求解抛物型方程初边值问题的数值解的一般步骤.(2)写出近似一阶偏导数 n m x u |??的三种有限差分逼近及其误差阶,写出近似 n m x u |22 ??的差分逼近及其误差阶. 评分标准： （1） 7分，三个离散4分，其他步骤3分 （2） 8分，每个格式及误差2分。 二（15分）、（1）以抛物型方程的差分格式为例，解释差分格式的相容性,稳定性和收敛性概念,分析相容性,稳定性和收敛性与误差的关系，简述 Lax 等价性定理。(2) 简述差分格式稳定性分析的Fourier 级数法（或称为Neumann Von 方法，分离变量法）的一般步骤。 （1）8分，解释概念6分，等价关系2分 （2）7分，典型波2分，放大因子与条件3分，其他2分 三（20分）、对于边值问题 ?? ???=?=∈=??+???0 |) 1,0()1,0(),(,92 222G u G y x y u x u （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截 断误差的阶。 （2）取3/1=h ，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式并求解） （3）就取5/1=h 的情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）。 解：（1）7分，离过程与格式
第二页（共五页） 四（20分）、对于初边值问题??? ????≤≤==<<=≤<<
微分方程数值解习题(李立康)
常微分方程习题 《李立康》 习题 1.用Euler 方法求初值问题 ? ? ?=-='0)0(21u tu u 在1=t 时的近似解（取4 1= h ）。 2.初值问题 1 3 00 u u u()??'=? ?=? 有解32 23/u(t )t ?? = ? ?? 。但若用Euler 方法求解，对一切N T ,和H T h = ,都只能得到N t u t ,...,2,1,0==，试解释此现象产生的原因。 3.用Euler 方法计算 ?? ?=='1 )0(u u u 在1=t 处的值，取16 1 和41= h ，将计算结果与精确值e =）1（u 相比较。 4.设),(u t f 满足定理2.1的条件，对改进Euler 法（2.10）式证明： （1）其局部截断误差为)()(12 43 h O t u h -'''- ； （2）当1 ?? ?=='1 )0(u u u 计算公式 m m h h u ??? ? ??-+=22 取4 1 = h 计算)1(u 的近似值，并与习题3的结果比较。 6.就初值问题 ?? ?=+='0 )0(u b at u 分别导出用Euler 方法和改进Euler 法求近似解的表达式，并与真解 bt t a u += 22 相比较。 7.证明改进Euler 法的绝对稳定区域是整个左半平面0)Re( 第四章常微分方程数值解 [课时安排]6学时 [教学课型]理论课 [教学目的和要求] 了解常微分方程初值问题数值解法的一些基本概念，如单步法和多步法，显式和隐式，方法的阶数，整体截断误差和局部截断误差的区别和关系等；掌握一阶常微分方程初值问题的一些常用的数值计算方法，例如欧拉（Euler）方法、改进的欧拉方法、龙贝－库塔（Runge-Kutta）方法、阿达姆斯（Adams）方法等，要注意各方法的特点及有关的理论分析；掌握构造常微分方程数值解的数值积分的构造方法和泰勒展开的构造方法的基本思想，并能具体应用它们导出一些常用的数值计算公式及评估截断误差；熟练掌握龙格－库塔（Ｒ－Ｋ）方法的基本思想，公式的推导，Ｒ－Ｋ公式中系数的确定，特别是能应用“标准四阶Ｒ－Ｋ公式”解题；掌握数值方法的收敛性和稳定性的概念，并能确定给定方法的绝对稳定性区域。[教学重点与难点] 重点：欧拉方法，改进的欧拉方法，龙贝－库塔方法。 难点：R—K方法，预估-校正公式。 [教学内容与过程] 4.1 引言 本章讨论常微分方程初值问题 (4.1.1) 的数值解法，这也是科学与工程计算经常遇到的问题，由于只有很特殊的方程能用解析方法求解，而用计算机求解常微分方程的初值问题都要采用数值方法.通常我们假定(4.1.1)中 f(x,y)对y满足Lipschitz条件，即存在常数L＞0，使对，有 (4.1.2) 则初值问题(4.1.1)的解存在唯一. 假定(4.1.1)的精确解为，求它的数值解就是要在区间上的一组离散点 上求的近似.通常取 ，h称为步长，求(4.1.1)的数值解是按节点的顺序逐步 推进求得.首先，要对方程做离散逼近，求出数值解的公式，再研究公式的局部截 浅谈微分方程数值解法（双语）课堂教学模式 姓名：肖录明 学号：11301010232 摘要：微分方程数值解是高等院校信息与计算科学专业的一门重要专业基础课。这是一门本具有较强实际背景，专门研究科学计算的课程。这门课程理论性较强，公式多而且难记。我们还需要通过一门语言（比如MATLAB语言）来实现我们数值计算算法。由于解微分方程在科学计算中极为常见，故学好这门课程就非常有用且能为以后的学习打下基础。在我国双语教学正在慢慢的被倡导，且益处明显。本文主要探讨该课程的双语教学模式,并对在学习过程中出现的一些问题进行了思考。 关键词：微分方程数值解法双语教学科学计算 1引言 微分方程数值解法在数值分析中占有重要的地位，它以逼近论，数值代数等学科为基础，反过来又推动这些学科的发展。微分方程数值解法就主要研究如何通过离散算法将连续形式的微分方程转化为有限维问题，如代数方程组，进而来求解其近似解[1]。主要包括求解区域网格划分、离散方程的建立、方程性能分析、近似解收敛性分析等环节。微分方程数值解法在科学计算、工程技术等领域有极其广泛的应用，比如在计算物理、化学、流体力学航空航天等很多工程领域都有用到。目前已发展成为一门计算技术学科，其核心理论内容也成为高校计算数学和应用数学等专业的核心基础专业课程之一[2]。 2双语教学的必要性 双语教学主要指中英双语教学，是一种重要的教学模式，具有特殊效果和意义。 1．双语教学可丰富教学模式，转变教学理念，促进教育改革和开放。双语教学提倡用原版教材和国外的教学方式。其语言文字原汁原味，叙述合情合理，注重启发性，内容安排适合学生。这不仅使学生学到专业知识，且有助于提高英语水平，特别是专业英语阅读和写作能力。国外的教学模式以人为本，有助于转变以教师为中心、以学习知识体系为主的教育理念，促进教育改革。 2．双语教学有助于提高学生的人文素质。多学习和运用英语可以让我们发现和扬弃汉语中那些带有落后的人文价值观念和行为方式的词汇和句子，批判地接受一些思想观念和做法，使人的思维灵活有深度，个性得以发展，创新能力不断提高。大范围开展双语教学，有助于培养出具有世界主流人文素质且能很好地参与国际交流和合作的人才。 3．双语教学有助于学生以后在国内外学习、工作、考研和国际合作等带来很多方便。 微分方程数值解法既有数学上严密的逻辑性、独特的理论结构体系，又在各种工程计算中有着重要的应用，因此是联系纯数学理论和工程应用的桥梁和纽带。很多工业应用软件是利用数值方法开发成的，并且大都用英语写成。因此，有必要用双语的形式讲授这门课，让学生在学习专业知识的同时，还掌握专业英语词汇，有助于学生以后的学习和发展。从课程的体系和内容衔接上看，这门课一般安排在大学三年级。这时侯，学生对于数学分析、常微分方程、数学物理方程和计算方法等课程有了很好的基础，其中的很多概念如:导数、定积分、 第七章 常微分方程数值解法 常微分方程中只有一些典型方程能求出初等解(用初等函数表示的解)，大部分的方程是求不出初等解的。另外，有些初值问题虽然有初等解，但由于形式太复杂不便于应用。因此，有必要探讨常微分方程初值问题的数值解法。本章主要介绍一阶常微分方程初值问题的欧拉法、龙格-库塔法、阿达姆斯方法，在此基础上推出一阶微分方程组与高阶方程初值问题的 数值解法；此外，还将简要介绍求解二阶常微分方程值问题的差分方法、试射法。 第一节 欧拉法 求解常微分方程初值问题 ?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy （1） 的数值解，就是寻求准确解)(x y 在一系列离散节点 <<<< 一．填空 1. Euler 法的一般递推公式为 ，整体误差为 ，局部截断误差为： .，改进Euler 的一般递推公式 整体误差为 ，局部截断误差为： 。 2. 线性多步法绝对稳定的充要条件是 。 3.当 ，则单步法1(,,)0,1,2,,n n n n T u u h t u h n h ?+=+= ，稳定。 4. 一个相容，稳定的多步法若绝对稳定，则绝对稳定域在 。 5. 若 ，则多步法是相容的。 6．所有内点，界点的差分方程组成一个封闭的线性代数方程组，其系数矩阵是 。 7.刚性方程是： 8．Runge-Kutta 法的特征值为 ， 相容的充要条件为： 8.二阶常微分方程边值问题：22,(), ()d u Lu qu f a x b dx u a u b αβ?=-+=< 4、一级Runge-Kutta 法的绝对稳定域（-2，0） 5、若差分方程满足相容条件，且按右端稳定，则差分解收敛至波动方程的解。 6、Euler 法非A 稳定。 7．对任意网比0r >，六点对称格式的解有收敛阶22()O h τ+ 8. 对任意网比12 r ≤，向前差分格式的解有收敛阶2()O h τ+。 9、相容，稳定的多步法一定绝对稳定。 三．选择 1.抛物型方程的加权隐式差分格式的稳定性为（） A 绝对稳定 B 无条件稳定 C 条件稳定 D 非条件稳定 2.von Neumann 条件是差分格式稳定的（） A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件 3．实系数二次方程20b c λλ--=的根按模小于或者等于1的充要条件是（） A 12b c ≤-≤ B 1+2b c ≤≤ C 12c b ≤-≤ D 12c b ≤+≤ 4.若线性多步法A 稳定，则有（ ），其中1,2,,i i k λ= （）为()()0h ρλσλ-=的根。 A Re 01,1,2,,i h i k λ= B 1Re 0i h λ≥?≥ C Re 01,1,2,,i h i k λ≤?≤= D 1Re 0i h λ 实验4 常微分方程的数值解 【实验目的】 1．掌握用MATLAB软件求微分方程初值问题数值解的方法； 2．通过实例用微分方程模型解决简化的实际问题； 3．了解欧拉方法和龙格-库塔方法的基本思想和计算公式，及稳定性等概念。 【实验内容】 题3 小型火箭初始重量为1400kg，其中包括1080kg燃料。火箭竖直向上发射时燃料燃烧率为18kg/s，由此产生32000N的推力，火箭引擎在燃料用尽时关闭。设火箭上升时空气阻力正比于速度的平方，比例系数为m，求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点的时的高度和加速度，并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。 模型及其求解 火箭在上升的过程可分为两个阶段，在全过程中假设重力加速度始终保持不变，g=s2。 在第一个过程中，火箭通过燃烧燃料产生向上的推力，同时它还受到自身重力（包括自重和该时刻剩余燃料的重量）以及与速度平方成正比的空气阻力的作用，根据牛顿第二定律，三个力的合力产生加速度，方向竖直向上。因此有如下二式： a=dv/dt=/m=/(1400-18t) dh/dt=v 又知初始时刻t=0，v=0，h=0。记x(1)=h，x(2)=v，根据MATLAB 可以求出0到60秒内火箭的速度、高度、加速度随时间的变化情况。程序如下： function [ dx ] = rocket( t,x ) a=[*x(2)^2)/(1400-18*t)]; dx=[x(2);a]; end ts=0:1:60; x0=[0,0]; [t,x]=ode45(@rocket,ts,x0); h=x(:,1); v=x(:,2); a=[*(v.^2))./(1400-18*t)]; [t,h,v,a]; 数据如下： t h v a 000 微分方程的分类及其数值解法 微分方程的分类： 含有未知函数的导数，如dy/dx=2x 、ds/dt=0.4都是微分方程。 一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。微分方程有时也简称方程。 一、常微分方程的数值解法： 1、Euler 法： 00d (,), (1.1)d (), (1.2) y f x y x y x y ?=???=? 001 (),(,),0,1,,1n n n n y y x y y hf x y n N +=??=+=-? (1.4) 其中0,n b a x x nh h N -=+=. 用(1.4)求解(1.1)的方法称为Euler 方法。 后退Euler 公式???+==+++),,(),(111 00n n n n y x hf y y x y y 梯形方法公式 )].,(),([2 111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y 改进的Euler 方法11(,),(,),1().2p n n n c n n p n p c y y hf x y y y hf x y y y y ++?=+??=+???=+??? 2、Runge-Kutta 方法： p 阶方法 ： 1()O h -=?总体截断误差局部截断误差 二阶Runge-Kutta 方法 ??? ????++==++=+),,(),,(,2212 1211hk y h x f k y x f k k h k h y y n n n n n n 偏微分方程数值解试题 1、考虑一维的抛物型方程： 2200, [0,], 0t T (,), (,)(,0)() x x u u x t x u x t u u x t u u x x ππνπ?==??=∈≤≤??=== （1）导出时间离散是一阶向前Euler 格式，空间离散是二阶精度的差分格式； （2）讨论（1）中导出的格式的稳定性； （3）若时间离散为二阶精度的蛙跳格式， 11 2n n n t t u u u t t +-=?-= ?? 空间离散是二阶精度的中心差分，问所导出的格式稳定吗？为什么？ 2、考虑Poission 方程 2(,)1, (,)0, in AB and AD (,)0, in BC and CD u x y x y u n u x y -?=∈Ω ?=?= 其中Ω是图1中的梯形。 使用差分方法来离散该方程。由于梯形的对称性，可以考虑梯形的一半，如图2， 图2 从物理空间到计算区域的几何变换 图1 梯形 为了求解本问题，采用如下方法：将Ω的一半投影到正方形区域?Ω ，然后在?Ω上使用差分方法来离散该方程。在计算区域?Ω 上用N N ?个网格点，空间步长为1/(1)N ξη?=?=-。 （1）引入一个映射T 将原区域Ω（带有坐标,x y ）变换到单位正方形?Ω（带有坐标,ξη）。 同时导出在新区域上的方程和边界条件。 （2）在变换区域，使用泰勒展开导出各导数项在区域内部和边界点上的差分格式。 3、对线性对流方程0 constant >0u u a a t x ??+=??，其一阶迎风有限体积法离散格式为 1?n j u +=?n j u a t x ?-?（?n j u 1?n j u --） （1）写出0a <时的一阶迎风有限体积法的离散格式； （2）写出a 为任意符号的常数的一阶迎风有限体积法的守恒形式。 （3）使用0 u u u t x ??+=??说明一阶迎风有限体积法不是熵保持的格式。 4、对一维Poission 方程 , (0,1) (0)(1)0 x xx u xe x u u ?-=∈? ==? 将[]01，分成(1)n +等分，写出用中心差分离散上述方程的差分格式，并问： （1）该差分格式与原微分方程相容吗？为什么？ （2）该差分格式稳定吗？为什么？ （3）该差分格式是否收敛到原微分方程的解？为什么？ （4）取(1)6n +=，写出该差分格式的矩阵表示。 5、叙述二重网格方法的执行过程，并对一维常微分方程边值问题 2 25, (0,1) (0)(1)0 xx u x x x u u πππ?-=∈? ==?（sin(5)+9sin(15)） 给出限制算子和延拓算子矩阵（以细网格h ：7n =，粗网格2h ：3n =为例）。 6、对一阶波动方程 01(,0)sin(), (0,1)2(0,)(1,)u u t x u x x x u t u t π???+=???? ? =∈?? =??? （1）写出用中心差分进行空间离散，用一阶向后Euler 进行时间离散的差分格式； 微分方程 初值问题数值解 习题课 一、使用向前欧拉法和改进欧拉法求由如下积分 2 x t y e dt -=? 所确定的函数y 在点x =0.5,1.0,1.5的近似值。 解：该积分问题等价于常微分方程初值问题 2 '(0)0x y e y -?=??=?? 其中h=0.5。其向前欧拉格式为 2 ()100ih i i y y he y -+?=+?? =?? 改进欧拉格式为 22()2(1)10()20 ih i h i i h y y e e y --++? =++???=? 将两种计算格式所得结果列于下表 二、使用4阶4步阿达姆斯显格式求解初值问题 '1(0)1y x y y =-+??=? 00.6 x ≤≤ 取步长h=0.1. 解：4步显式法必须有4个起步值，0y 已知，其他3个123,,y y y 用4阶龙格库塔方法求出。 本题的信息有： 步长h=0.1；结点0.1(0,1, ,6)i x ih i i ===； 0(,)1,(0)1f x y x y y y =-+== 经典的4阶龙格库塔公式为 11234(22)6 i i h y y k k k k +=++++ 1(,)1i i i i k f x y x y ==-+ 121(,)0.05 1.0522 i i i i hk h k f x y x y k =++=--+ 232(,)0.05 1.0522 i i i i hk h k f x y x y k =++=--+ 433(,)0.1 1.1i i i i k f x h y hk x y k =++=--+ 算得1 1.0048375y =,2 1.0187309y =,3 1.0408184y = 4阶4步阿达姆斯显格式 1123(5559379) 24i i i i i i h y y f f f f +---=+-+- 1231 (18.5 5.9 3.70.90.24 3.24)24 i i i i i y y y y y i ---=+-+++ 由此算出 4561.0703231, 1.1065356, 1.1488186y y y === 三、用Euler 方法求 ()'1,0101 x y e y x x y =-++≤≤= 问步长h 应该如何选取，才能保证算法的稳定性？ 解：本题(),1x f x y e y x =-++ (),0,01x y f x y e x λ'==-<≤≤ 本题的绝对稳定域为 111x h he λ+=-< 得02x he <<，故步长应满足 02,00.736he h <<<< 四、 求梯形方法 111[(,)(,)]2 k k k k k k h y y f x y f x y +++=++ 的绝对稳定域。 证明：将Euler 公式用于试验方程'y y λ=，得到 11[]2 k k k k h y y y y λλ++=++ 整理 郑州大学研究生课程（2012-2013学年第一学期）数值分析 Numerical Analysis 习题课 第八章常微分方程数值解法 待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题/* Initial-Value Problem */: ?????=∈=0 )(] ,[),(y a y b a x y x f dx dy 解的存在唯一性（“常微分方程”理论）：只要f (x , y ) 在[a , b ] ×R 1 上连续，且关于y 满足Lipschitz 条件，即存在与x , y 无关的常数L 使 对任意定义在[a , b ] 上的y 1(x ) 和y 2(x ) 都成立，则上述IVP 存在唯一解。 1212|(,)(,)||| f x y f x y L y y ?≤?一、要点回顾 §8.2 欧拉(Euler)法 通常取(常数),则Euler 法的计算格式 h h x x i i i ==?+1?? ?=+=+) (),(001x y y y x hf y y i i i i i =0,1,…,n ( 8.2 ) §8.2 欧拉(Euler)法(1) 用差商近似导数 )) (,()()()()(1n n n n n n x y x hf x y x y h x y x y +=′+≈+?? ?=+=+) (),(01a y y y x hf y y n n n n 差分方程初值问题向前Euler 方法h x y x y x y n n n ) ()()(1?≈ ′+)) (,() ()(1n n n n x y x f h x y x y ≈?+))(,()(n n n x y x f x y =′常微分方程数值解
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郑州大学研究生课程数值分析复习---第八章 常微分方程数值解法