(完整版)立体几何解答题的建系设点问题

(完整版)立体几何解

答题的建系设点问题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2

立体几何解答题的建系设点问题

一、基础知识：

（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴

1、z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z 轴与底面的交点

2、,x y 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：

（1）尽可能的让底面上更多的点位于,x y 轴上

（2）找角：,x y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件

（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点

解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略。 3、与垂直相关的定理与结论： （1）线面垂直：

① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直 （2）线线垂直（相交垂直）：

① 正方形，矩形，直角梯形② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直④ 勾股定理逆定理：若222AB AC BC +=，则AB AC ⊥ （二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类 1、能够直接写出坐标的点

（1） 坐标轴上的点，规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0

（2）底面上的点：坐标均为(),,0x y ，即竖坐标0z =，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考 2、空间中在底面投影为特殊位置的点：

如果()'11,,A x y z 在底面的投影为()22,,0A x y ，那么1212,x x y y ==（即点与投影点的横纵坐标相同）

由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法： 3、需要计算的点

① 中点坐标公式：()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则AB 中点121212,,2

22x x y y z z M +++??

???，图中的,,,H I E F 等中点坐标均可计算

3

② 利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值.

1. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，

1,60AD DC CB ABC ===∠=，AB=2，CF ⊥ 平面ABCD ，且

1CF =，建立适当的直角坐标系并确定各点坐标。(两种方法)

思路：本题直接有一个线面垂直，所以只需在平面ABCD 找过C 的相互垂直的直线即可。由题意，BCD ∠不是直角。所以可以以其中一条边为轴，在底面上作垂线即可构造出两两垂直的条件，进而可以建立坐标系 方案一：（选择BC 为轴），连结AC

可知120ADC ∠= ∴在ADC 中

222

2cos 3AC AD DC AD DC ADC =+-=

AC ∴=

由1,60AC BC ABC ==∠=可解得2,90AB ACB =∠=

AC BC ∴⊥ CF ⊥平面ABCD ,CF AC CF BC ∴⊥⊥

以,,AC CF BC 为坐标轴如图建系：

(

)

)

()10,1,0,,,0,0,0,122B A

D F ??

- ??

?

方案二（以CD 为轴）

过C 作CD 的垂线CM CF ⊥平面ABCD ,CF CD CF CM ∴⊥⊥

∴以,,CD CF CM 为坐标轴如图建系：

（同方案一）计算可得：22

CM AB =

=

()()31,0,,0,0,1,0,0,0,122A B D F ??∴--??????

2.已知四边形ABCD 满足

1

,2

AD BC BA AD DC BC a ===

=∥，E 是BC 中点，将BAE 翻折成1B AE ，使得平面1B AE ⊥平面AECD ，F 为1B D

中点

思路：在处理翻折

问题时，

B

A

A

D

4

首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变，这些都是作为已知条件使用的。本题在翻折时，BAE 是等边三角形，四边形AECD 为60的菱形是不变的，寻找线面垂直时，根据平面

'B AE ⊥平面AECD ，结合'B AE 是等边三角形，可取AE 中点M ，则可证'B M ⊥平面AECD ，再在四边形AECD 找一组过M 的垂线即可建系 解：取AE 中点M ，连结'B M

'B AE 是等边三角形 '

B M AE ∴⊥

平面'B AE ⊥平面AECD

'B M ∴⊥平面AECD ，连结DM '',B M ME B M MD ∴⊥⊥ 四边形AECD 为60的菱形 ADE ∴为等边三角形

DM AE ∴⊥

',,B M MD ME ∴两两垂直

如图建系，设AB 为单位长度

'11333,0,0,,0,0,0,,0,1,,0,0,0,22A E D C B ?

?????????- ? ? ? ? ???????????

F 为'B D 中点 330,,44F ??∴ ???

3.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D 中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB ,

12,5AC

AA AD CD ,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点。建立合适的空间直角坐标系并写

出各点坐标

思路：由1A A ABCD ⊥底面，AB AC ⊥可得1,,AA AB AC 两两垂直，进而以它们为轴建立坐标系，本题中1111,,,A B C D 均可通过投影到底面得到横纵坐标，图中D 点坐标相对麻烦，可作出底面的平面图再根据平面几何知识进行计算。 解： 侧棱1A A ABCD ⊥底面

∴ 11,A A AB A A AC ⊥⊥

AB AC ⊥ 1,,AB AC AA ∴两两垂直

以1,,AB AC AA 为轴建立直角坐标系

M

F

A B'

E

D

C

M

A E D

C

5

底面上的点：()()0,1,0,2,0,0B C 由5AD CD

可得ADC 为等腰三角形，若P

为AC 中点，则

DP AC ⊥

2DP =

=

()1,2,0D ∴-

可投影到底面上的点：()()()()11110,0,2,0,1,2,2,0,2,1,2,2A B C D - 因为M 和N 分别为11C D B D 和的中点

()11,,1,1,2,12M N ??

∴- ???

综上所述：()()()()()()()11110,1,0,2,0,0,1,2,0,0,0,2,0,1,2,2,0,2,1,2,2B C D A B C D --

()11,,1,1,2,12M N ??

- ???

4.已知斜三棱柱1111,90,2,ABC A B C BCA AC BC A -∠===在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥，E 为1BB 靠近点B 的三等分点，建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标 思路：本题建系方案比较简单，1A D ⊥平面ABC ，进而1A D 作z 轴，再过D 引AC 垂线即可。难点有二：一是三棱柱的高未知，进而无法写出上底面点的竖坐标；二是1B 的投影不易在图中作出（需要扩展平面ABC ），第一个问题可先将高设为h

虑利用向量计算得到。 解：过D 作AC 的垂线DM ，

1

A D ⊥平面ABC

11,A D DC A D DM ∴⊥⊥，而DM DC ⊥ ∴以1,,A D DC DM 为轴建立直角坐标系

()()()0,1,0,0,1,0,2,1,0A C B -，设高为h 则()10,0,A h ，设()1,,C x y z

D

1

A

6

则()()110,2,0,,,AC AC x y z h ==-

由11

AC AC =可得：00

220x x y y z h z h ==????

=?=????-==??

()10,2,C h ∴

()()112,1,,0,3,BA h AC h =--=

21111030BA AC BA AC h ∴⊥??=?-+=

，解得h =

(

(11,A C ∴

设(1

,B x y ()11

,,0A B x y ∴=

而()2,2,0AB =且11A B AB = 2

2x y =?∴?=?

(1B ∴

综上所述：()()(

)(

(

(1110,1,0,0,1,0,2,1,0,,,A C B A C B -

5.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B

的中心，11AA C H =⊥平面11AA B B

，

1C H =

思路：1C H ⊥平面11AA B B ，从而1C H 可作z 轴，只需在平面11AA B B 找到过H 的两条垂线即可建系（两种方案），对于坐标只有C 坐标相对麻烦，但由11C C A A =可以利用向量进行计算。 解：方案一：（利用正方形相邻边垂直关系建系） 如图建系：则

)

)()1

1

,,A A B

(

)(1,B C

设(),,C x y z

，则(1

,,C C x y z = (

1

0,A A =由11C C A A =可得：000x x y y z z ==????

=-?=-????-==??0,C ∴-

综上所述：

立体几何高考真题大题

立体几何高考真题大题 1．（2016 高考新课标 1 卷）如图 , 在以 A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中, 面 ABEF为正方形 ,AF=2FD,AFD 90 ,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是 60 ． D C F （Ⅰ）证明：平面ABEF平面EFDC； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 2 19 19 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先证明 F平面FDC ,结合F平面 F ,可得平面F 平面 FDC ．（Ⅱ）建立空间坐标系, 分别求出平面C的法向量 m 及平面 C 的法 向量 n ,再利用 cos n, m n m 求二面角．n m 试题解析：（Ⅰ）由已知可得F DF, F F, 所以F平面 FDC ． 又F平面F,故平面 F 平面FDC ． （Ⅱ）过 D 作DG F ,垂足为 G ,由（Ⅰ）知 DG平面 F ． 以 G 为坐标原点,GF 的方向为 x 轴正方向, GF 为单位长度, 建立如图所示的空间直角坐标系 G xyz ． 由（Ⅰ）知DF为二面角D F的平面角,故DF60,则DF 2, DG3,可得1,4,0 ,3,4,0,3,0,0, D0,0, 3 ． 由已知 ,// F,所以//平面FDC ． 又平面CD平面FDC DC,故//CD , CD// F ． 由//F,可得平面FDC ,所以 C F为二面角 C F 的平面角, C F60 ．从而可得C2,0,3．

设 n x, y, z 是平面C的法向量,则 n C 0, 即x 3z 0, n0 4 y0 所以可取 n3,0, 3 ． 设 m 是平面 m C0 CD 的法向量,则, m0 同理可取 m0, 3, 4 ．则 cos n, m n m 2 19． n m19 故二面角C 219的余弦值为． 19 考点：垂直问题的证明及空间向量的应用 【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明, 空间中线面位置关 系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系, 其中推理论证的关键是结 合空间想象能力进行推理, 要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面, 该类题目难度不 大 , 以中档题为主．第二问一般考查角度问题, 多用空间向量解决． 2 ．（ 2016 高考新课标 2 理数）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD交于点 O ， AB 5,AC 6，点 E, F 分别在 AD,CD 上， AE CF 5 ，EF交BD于点H．将4 DEF 沿 EF 折到 D EF 位置，OD10． （Ⅰ）证明： D H平面 ABCD ； （Ⅱ）求二面角 B D A C 的正弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）295 ．25

立体几何大题练习题答案

立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ； （2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?， 求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E B F

（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC = ，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分 又 平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴ ……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ? 面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．

关于立体几何解答题一题多解与多题一解的探索

关于立体几何解答题一题多解与多题一解的探索 ──从2011年高考数学谈起 贵州省遵义市习水县第一中学袁嗣林 摘要:纵观近年高考数学试题，可以看出，立体几何解答题是历年高考的必考题型。分值一般12分，难度属容易或中档题。学生得分率较高，但失分率也高。本文就2011年高考数学真题为例，对立体几何解答题作一些归类。关于立体几何解答题可以归类为一题多解与多题一解，即一类题有多种解法，多种题型可以用一种解法完成。 关键词：一题多解；多题一解；立体几何 一、一题多解 例1 （安徽理17）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，△OAB，,△，△，△都是正三角形。 （Ⅰ）证明直线∥； （II）求棱锥F—OBED的体积。 分析：本题考查空间直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算等基本知识，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.通常解法是传统法和向量法。 （I）解法一（传统法）：证明：设G是线段DA与EB延长线的交点. 由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以

∥，OG=OD=2， 同理，设是线段DA与线段FC延长线的交点，有 又由于G和都在线段DA的延长线上，所以G与重合. 在△GED和△GFD中，由∥和OC∥，可知B和C分别是GE和GF 的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF. 解法二（向量法）：过点F作，交AD于点Q，连QE，由平面ABED⊥平 面ADFC，知FQ⊥平面ABED，以Q为坐标原点，为轴正向，为y轴正向，为z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系. 由条件知 则有 所以即得BC∥EF. （II）略 评注：向量法和传统法有时可以转换着使用，主要工具是利用三线垂定理及逆定理和面面垂直、线面垂直、线线垂直找出两辆相互垂直的三条直线，进而建立直角坐标系。 例2 （湖北理18）如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，是的中点，动点在侧棱上，且不与点重合．

立体几何大题题库

立体几何解答题题库 1. 如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，P A =AB =AC =3，平面//α平面P AB ，且α与棱PC ，AC ，BC 分别交于P 1，A 1，B 1三点． （1）过A 作直线l ，使得l BC ⊥，11l P A ⊥，请写出作法并加以证明； （2）若α将三棱锥P -ABC 分成体积之比为8:19的两部分（其中，四面体P 1A 1B 1C 的体积更小），D 为线段B 1C 的中点，求四棱锥A 1-PP 1DB 1的体积． 2. 如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示)． (1)求四棱锥P -ABCD 的体积； (2)证明：BD ∥平面PEC ； (3)线段BC 上是否存在点M ，使得AE ⊥PM ？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 3.如图1所示，平面多边形CDEF 中，四边形ABCD 为正方形，EF ∥AB ，AB =2EF =2,沿着AB 将图形折成图2，其中AED ∠90,,AE ED H =?=为AD 的中点. （Ⅰ）求证：EH ⊥BD ；

（Ⅱ）求四棱锥D -ABFE 的体积. 4. 如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形，且平面⊥PAD 底面ABCD ，12 1 == =AD BC AB ，090=∠=∠ABC BAD . （1）证明：：AB PD ⊥； （2）点M 在棱PC 上，且CP CM λ=，若三棱锥ACM D -的体积为3 1 ，求实数λ的值. 5. 已知ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，PD =DC =a ，AD =，M 、N 分别是AD 、PB 的中点。 （Ⅰ）求证：平面MNC ⊥平面PBC ； （Ⅱ）求点A 到平面MNC 的距离。 6. 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB =AC ，E 是BC 的中点. （1）求证：平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1； （2）求证：A 1C ∥平面AB 1E ．

文科立体几何解答题类型总结及其答案

F E C A D B A 1 C 1B 1 B C A D F E A B C M N A 1 B 1 C 1 B C B A 1 C 1 A D C 1 D 1 B 1 A C D A B E 《立体几何》解答题 1.（2008年江苏卷）如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD , AD ⊥BD ，点E , F 分别是AB , BD 的中点. 求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面ACD ； （Ⅱ）平面EFC ⊥平面BCD. 2.（2009年江苏卷）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C 求证：（Ⅰ）EF ∥平面ABC ； （Ⅱ）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C. （第1题） （第2题） （第3题） （第4题） 3. 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，M 、N 分别为A 1B 、B 1C 1的中点. （Ⅰ）求证：BC ∥平面MNB 1； （Ⅱ）求证：平面A 1CB ⊥平面ACC 1A 1． 4. 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1，AC ⊥BC, 点D 是AB 的中点. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面A 1ABB 1； （Ⅱ）求证：AC 1∥平面CDB 1； （Ⅲ）线段AB 上是否存在点M ，使得A 1M ⊥平面CDB 1 5. 如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点，Ｅ为BC 的中点. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面AB 1E ； （Ⅱ）求直线AB 1与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值； （Ⅲ）求三棱锥C －ABD 的体积. 6. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 为AA 1的中点. 求证：（Ⅰ）A 1C ∥平面FBD ； （Ⅱ）平面FBD ⊥平面DC 1B. （第5题） （第6题） （第7题） C 1 D 1 B 1 C D A 1

历年高考立体几何大题试题(卷)

2015年高考立体几何大题试卷 1. 【2015高考新课标2，理19】 如图，长方体ABCD -A1B1C1D1中,AB=16, BC=10, AA = 8，点E , F 分别在AB , C1D1上，A1E =4 .过点E , F的平面:-与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. （1题图） （I ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） （n ）求直线AF与平面〉所成角的正弦值. 2. 【2015江苏高考，16】如图，在直三棱柱ABC—中，已知AC丄BC ,

BC =CC 1，设 AB 1 的中点为 D , BQ BC^ E .求证：（1） DE // 平面 AA 1C 1C ; (2) BC 1 _ AB 1 . （2题图） （3题图） C C 第的题图

3. 【2015高考安徽，理19】如图所示，在多面体 AEDQCBA ，四边形AABB , ADD 1A 1 ,ABCD 均为正方形，E 为Bp 的中点，过 A,D,E 的平面交CD ,于F. (I)证明：EF //BQ ； (□)求二面角E - A ,D - B i 余弦值. 4. 【2015江苏高考，22】如图，在四棱锥P-ABCD 中，已知PA _平面ABCD ，且 四边形 ABCD 为直角梯 形，.ABC =/BAD = —,PA 二 AD =2,AB 二 BC =1 2 (1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值； (2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线 CQ 与DP 所成角最小时，求线段 BQ 的长 (4题图) 5 .【2015高考福建，理17】如图，在几何体 ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB A 平面BEC , BE A EC , AB=BE=EC=2 , G , F 分别是线段 BE , DC 的中点. (I 求证：GF //平面ADE ; (^)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值. 6. 【2015高考浙江，理17】如图，在三棱柱 AB^A 1B 1C 1-中，.BAC =90；, AB = AC=2 , AA = 4 , A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为B 1C 1的中点. (5题图) D

高考立体几何大题20题汇总

(2012省）（本小题满分12分） 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5，BC=42，DE=4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG. （1） 求证：平面DEG ⊥平面CFG ； （2)求多面体CDEFG 的体积。 2012，(19) (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 201220．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直底面 的四棱锥1111ABCD A B C D -中，,AD BC //AD 11,2,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中点，F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。 （Ⅰ）证明：（i） 11;EF A D //ii （）111;BA B C EF ⊥平面 （Ⅱ）求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。 （2010）18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中，点M 是棱'AA 的中点，点O 是对角线'BD 的中点， （Ⅰ）求证：OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线； （Ⅱ）求二面角''M BC B --的大小； (第20题图) F E C 1 B 1 D 1A 1 A D B C

2010文（19）（本小题满分12分） 如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ （Ⅰ）证明：平面11A B C ⊥平面11A BC ； （Ⅱ）设D 是11A C 上的点，且1//AB 平面1B CD ，求11:A D DC 的值。 2012（18）(本小题满分12分) 如图，直三棱柱/ / / ABC A B C -，90BAC ∠=， 2,AB AC ==AA ′=1，点M ，N 分别为/A B 和//B C 的 中点。 (Ⅰ)证明：MN ∥平面/ / A ACC ; (Ⅱ)求三棱锥/ A MNC -的体积。 （椎体体积公式V= 1 3 Sh,其中S 为地面面积，h 为高） 2012，（16）（本小题共14分） 如图1，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，D ，E 分别为 AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE ? 沿DE 折起到1A DE ?的位置，使1A F CD ⊥，如图2． D F D E B C A 1 F E C B A

立体几何测试题带答案解析

姓名____________班级___________学号____________分数______________ 一、选择题 1 ．下列说法正确的是（） A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三 个交点 2 ．若α//β,a//α,则a与β的关系是（） A．a//βB．aβ ?C．a//β或aβ ?D．A a= β I 3 ．三个互不重合的平面能把空间分成n部分，则n所有可能值为（） A．4、6、8 B．4、6、7、8 C．4、6、7 D．4、5、7、8 4 ．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的左视图的面积为 （）A．3 6B．8 C．3 8D．12 5 ．若直线l∥平面α,直线aα ?,则l与a的位置关系是（）A．l∥a B．l与a异面C．l与a相交D．l与a没有公共点 6 ．已知三个球的体积之比为1:8:27,则它们的表面积之比为（） A．1:2:3 B．1:4:9 C．2:3:4 D．1:8:27 7 ．有一个几何体的正视、侧视、俯视图分别如下，则该几何体的表面积为 （）A．π 12B．π 24C．π 36D．π 48 8 ．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（） A．相交B．异面C．平行D．异面或相交 6 5 6 5

9 ．设正方体的棱长为 23 3,则它的外接球的表面积为 （ ） A ．π38 B ．2π C ．4π D ．π3 4 10．已知一个全面积为44的长方体,且它的长、宽、高的比为3: 2:1,则此长方体的外接球 的表面积为 A .π7 B .π14 C .π21 D .π28 11．1l ,2l ,3l 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 （ ） A ．12l l ⊥,23l l ⊥13//l l ? B ．12l l ⊥,23//l l ?13l l ⊥ C ．233////l l l ? 1l ,2l ,3l 共面 D ．1l ,2l ,3l 共点?1l ,2l ,3l 共面 12．如图,正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别为棱AB ,1CC 的中点,在平面11ADD A 内且与平面1D EF 平行的直线 （ ） A ．有无数条 B ．有2条 C ．有1 条 D ．不存在 二、填空题 13．已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成, 根据图中标出的尺寸,计算这个几何体的表面积是______. 14．如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点P 是上底面1111A B C D 内 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E F

专题06 立体几何(解答题) (学生版)

专题06 立体几何（解答题） 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A?MA1?N的正弦值． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1． （1）证明：BE⊥平面EB1C1； （2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．

3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2. （1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B?CG?A的大小. 4．【2019年高考北京卷理数】如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2， BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且 1 3 PF PC =． （1）求证：CD⊥平面PAD；（2）求二面角F–AE–P的余弦值； （3）设点G在PB上，且 2 3 PG PB =．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．

5．【2019年高考天津卷理数】如图，AE ⊥平面ABCD ，, CF AE AD BC ∥∥，, AD AB ⊥1,2AB AD AE BC ====． （1）求证：BF ∥平面ADE ； （2）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （3）若二面角E BD F --的余弦值为 1 3 ，求线段CF 的长． 6．【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ． 求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．

高三立体几何试题及答案

1．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱 AD 上一点，且AP ＝a 3 ，过B 1，D 1，P 的平面交底面ABCD 于PQ ，Q 在直线CD 上，则PQ ＝________. 2．如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，∠ADC ＝90°， 且AA 1＝AD ＝DC ＝2，M ∈平面ABCD ， 当D 1M ⊥平面A 1C 1D 时，DM ＝________. 3．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝2，BC ＝4，E 是PD 的中点． (1)求证：平面PDC ⊥平面PAD ； (2)求点B 到平面PCD 的距离； 4．如图，PO ⊥平面ABCD ，点O 在AB 上，EA ∥PO ，四边形ABCD 为直角梯形，BC ⊥AB ， BC ＝CD ＝BO ＝PO ，EA ＝AO ＝12 CD . (1)求证：BC ⊥平面ABPE ； (2)直线PE 上是否存在点M ，使DM ∥平面PBC ，若存在，求出点M ； 若不存在，说明理由．

分别为DD1、DB的中点． (1)求证：EF∥平面ABC1D1； (2)求证：EF⊥B1C； (3)求三棱锥B1－EFC的体积． 6．如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥ DC，∠BCD＝90° (1)求证：PC⊥BC (2)求点A到平面PBC的距离．

1. 223 a ∵B 1D 1∥平面ABCD ，平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝PQ ，∴B 1D 1∥PQ ， 又B 1D 1∥BD ，∴BD ∥PQ ，设PQ ∩AB ＝M ，∵AB ∥CD ，∴△APM ∽△DPQ ， ∴PQ PM ＝PD AP ＝2，即PQ ＝2PM ， 又△APM ∽△ADP ，∴PM BD ＝AP AD ＝13，∴PM ＝13 BD ， 又BD ＝2a ，∴PQ ＝223 a . 2.[答案] 22 ∵DA ＝DC ＝DD 1且DA 、DC 、DD 1两两垂直，故当点M 使四边形ADCM 为正方形时，D 1M ⊥平面A 1C 1D ，∴DM ＝2 2. (2)过A 作AF ⊥PD ，垂足为F . 在Rt PAD 中，PA ＝2，AD ＝BC ＝4，PD ＝42＋22＝25， AF ·PD ＝PA ·AD ，∴AF ＝2×425 ＝455，即点B 到平面PCD 的距离为455. 4.[解析] (1)∵PO ⊥平面ABCD ， BC ?平面ABCD ，∴BC ⊥PO ， 又BC ⊥AB ，AB ∩PO ＝O ，AB ?平面ABP ，PO ?平面ABP ，∴BC ⊥平面ABP ， 又EA ∥PO ，AO ?平面ABP ，∴EA ?平面ABP ，∴BC ⊥平面ABPE . (2)点E 即为所求的点，即点M 与点E 重合． 取PO 的中点N ，连结EN 并延长交PB 于F ，∵EA ＝1，PO ＝2，∴NO ＝1， 又EA 与PO 都与平面ABCD 垂直，

2017-2019高考文数真题分类解析---立体几何(解答题)

2017-2019高考文数真题分类解析 ----立体几何（解答题） 1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°， E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点. （1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求点C 到平面C 1DE 的距离． 【答案】（1）见解析；（2. 【解析】（1）连结1,B C ME . 因为M ，E 分别为1,BB BC 的中点，所以1 ME B C ∥，且11 2 ME B C =. 又因为N 为1A D 的中点，所以11 2 ND A D = . 由题设知11=A B DC ∥，可得11=BC A D ∥，故= ME ND ∥， 因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ED ∥. 又MN ?平面1C DE ，所以MN ∥平面1C DE . （2）过C 作C 1E 的垂线，垂足为H . 由已知可得DE BC ⊥，1DE C C ⊥，所以DE ⊥平面1C CE ，故DE ⊥CH. 从而CH ⊥平面1C DE ，故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离，

由已知可得CE =1，C 1C =4，所以1C E =，故17 CH = . 从而点C 到平面1C DE 的距离为 17 . 【名师点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用线面垂直找到距离问题，当然也可以用等积法进行求解. 2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上， BE ⊥EC 1． （1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1； （2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积． 【答案】（1）见详解；（2）18. 【解析】（1）由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ?平面ABB 1A 1，

高二数学立体几何试题及答案

【模拟试题】 一. 选择题（每小题5分，共60分） 1. 给出四个命题： ①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱； ②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体； ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； ④长方体一定是正四棱柱。 其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列四个命题： ①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥； ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ③棱锥的所有面可能都是直角三角形； ④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。 正确的命题有________个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3，它的表面积为88，则它的对角线长为（ ） A. 12 B. 24 C. 214 D. 414 4. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm ，深为8cm 的空穴，则该球的半径是（ ） A. 8cm B. 12cm C. 13cm D. 82cm 5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（ ） A. 122+π π B. 144+ππ C. 12+π π D. 142+ππ 6. 已知直线l m ⊥?平面，直线平面αβ，有下面四个命题： ①αβ//?⊥l m ；②αβ⊥?l m //；③l m //?⊥αβ；④l m ⊥?αβ//。 其中正确的两个命题是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③ 7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ） A. 63cm B. 6cm C. 2182 D. 3123

高中数学复习：立体几何解答题

高中数学复习：立体几何解答题 立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深，解决这类题目的原则是建模、建系.建模——将问题转化为平行模型、垂直模型及平面化模型；建系——依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解. 例题：(12分)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点. (1)证明：MN ∥平面C 1DE ； (2)求二面角A －MA 1－N 的正弦值. 切入点：联想线面平行的判定定理，找线线平行. 关键点：建系，求平面AMA 1与平面MA 1N 的法向量. 规范解答 (1)证明 连接B 1C ，ME . 因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点， 所以ME ∥B 1C ，且ME ＝12 B 1 C .(2分) 又因为N 为A 1D 的中点，所以ND ＝12 A 1D . 由题设知A 1 B 1∥D C 且A 1B 1＝DC . 因此，B 1C ∥A 1D 且B 1C ＝A 1D ， 故ME ∥ND 且ME ＝ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形，则MN ∥ED .(4分) 又MN ?平面C 1DE ，ED ?平面C 1DE ， 所以MN ∥平面C 1DE .(5分)

(2)解 由已知可得DE ⊥DA ，以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ， 则A (2，0，0)，A 1(2，0，4)，M (1，3，2)，N (1，0，2)，A 1A →＝(0，0，－4)，A 1M →＝(－1， 3，－2)， A 1N →＝(－1，0，－2)，MN → ＝(0，－3，0).(7分) 设m ＝(x ，y ，z )为平面A 1MA 的一个法向量， 则?????m ·A 1M →＝0，m ·A 1A →＝0， 所以???－x ＋3y －2z ＝0，－4z ＝0， 可得m ＝(3，1，0).(9分) 设n ＝(p ，q ，r )为平面A 1MN 的一个法向量， 则?????n ·MN →＝0，n ·A 1N →＝0， 所以???－3q ＝0，－p －2r ＝0， 可取n ＝(2，0，－1).(10分) 于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝232×5＝155 ，(11分) 则sin 〈m ，n 〉＝105 . 所以二面角A －MA 1－N 的正弦值为 105.(12分) [满分心得] 写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点一 定要写全.如第(1)问中ME ∥B 1C ，且ME ＝12 B 1 C ，MN ∥E D .第(2)问建立空间直角坐标系D －xyz . 写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清 得分关键点，如第(1)问漏掉条件MN ?平面C 1DE ；第(2)问中不写公式cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n | 而

立体几何练习题及答案

数学立体几何练习题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体－A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为 A 1 B 和上 的点，A 1M ＝＝，则与平面1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 2．将正方形沿对角线折起，使平面⊥平面，E 是中点，则AED ∠的大小为（ ） A.45 B.30 C.60 D.90 3．，，是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线 与平面所成的角的余弦值为（ ） A ．12 B 。 3 C 。 3 D 。 6 4．正方体—A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是1与1的中点，则直线与D 1F 所成角的余弦值是 A ．15 B 。13 C 。12 D 。 3 5． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面的中心，E 、 F 分别是1CC 、的中点，那么异面直线和1FD 所成的角的余弦值等于（ ） A ． 5 10 B ．32 C ． 5 5 D ． 5 15 6．在正三棱柱1B 1C 1中，若2，A A 1=1，则点A 到平面A 1的距离

为（ ） A ． 4 3 B ． 2 3 C ． 4 33 D ．3 7．在正三棱柱1B 1C 1中，若1,则1与C 1B 所成的角的大小为 （ ） o B. 90o o D. 75o 8．设E ，F 是正方体1的棱和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对 角线中，与截面A 1成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体－A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱1和1的中点，则 〈CM ，1D N 〉的值为. 10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点， 那么点M 到截面的距离是 . 11．正四棱锥的所有棱长都相等，E 为中点，则直线与截面所成的角为 ． 12．已知正三棱柱1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则 直线与平面B 1所成角的正弦值为 . 13．已知边长为的正三角形中，E 、F 分别为和的中点，⊥面， 且2，设平面α过且与平行，则与平面α间的距离为 ． 14．棱长都为2的直平行六面体—A 1B 1C 1D 1中，∠60°，则对角线 A B M D C

立体几何解答题(详解)

立体几何解答题（详解） 1.在如图所示的多面体中，四边形11ABB A 和11ACC A 都为矩形。 C 1A （Ⅰ）若AC BC ⊥，证明：直线BC ⊥平面11ACC A ； （Ⅱ）设D ，E 分别是线段BC ，1CC 的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线//DE 平面1A MC ？请证明你的结论。 2．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，点F 为侧棱PC 上一点. （1）若PF FC =，求证：//PA 平面BDF ； （2）若BF PC ⊥，求证：平面BDF ⊥平面PBC .

3．如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，若点E ，F 分别是PC ，BD 的中点。 （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PAD ⊥平面PCD 4．如图，长方体1111D C B A ABCD -中，1==AD AB ，21=AA ，点P 为1DD 的中点。 P D 1 C 1 B 1 A 1 D C B A （1）求证：直线1BD ∥平面PAC ； （2）求证：平面PAC ⊥平面1BDD ； A B C D E F P

5．在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA 1=4，点D 在棱AB 上． (1)求证：AC ⊥B 1C ； （2）若D 是AB 中点，求证：AC 1∥平面B 1CD. 6．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥， PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点. （1）求证：AC PB ⊥； （2）求证://PB 平面AEC ； （3）求二面角E AC B --的大小.

立体几何大题训练及答案

1、如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰 直角三角形，2,,45AB AE FA FE AEF ? ===∠= （1）线段CD 的中点为P ，线段AE 的中点为M ， 求证：//PM BCE 平面； （2）求直线CF 与平面BCE 所成角的正切值. 解：（1）取AB 的中点为N ，连MN ,PN ,则//MN EB ,//PN BC ∴面PMN //面EBC ,∴//PM BCE 平面 ………………………5分 (2)先证出FE ⊥面EBC ， ………………………8分 FCE ∴∠为直线CF 与平面BCE 所成角， ………………………11分 tan FE FCE EC ∠= = ………………………14分 2、己知多面体ABCDE 中，DE ⊥平面ACD ，//AB DE ，AC=AD=CD=DE=2，AB =1，O 为CD 的中点. (1)求证：AO ⊥平面CDE ； (2)求直线BD 与平面CBE 所成角的正弦值 A B C D E F P M . . A B C D E O

3、如图，在△ABC 中，?=∠90C ，a BC AC 3==，点P 在AB 上，BC PE //交AC 于 E ，AC P F //交BC 于F ．沿PE 将△APE 翻折成△PE A '，使平面⊥PE A '平面ABC ；沿PF 将△BPF 翻折成△PF B '，使平面⊥PF B '平面ABC ． （1）求证：//'C B 平面PE A '； （2）若PB AP 2=，求二面角E PC A --'的平面角的正切值． 解：（1）因为PE FC //，?FC 平面PE A '，所以//FC 平面PE A '． 因为平面⊥PE A '平面PEC ，且PE E A ⊥'，所以⊥E A '平面ABC ． …2分 同理，⊥F B '平面ABC ，所以E A F B '//'，从而//'F B 平面PE A '． …4分 所以平面//'CF B 平面PE A '，从而//'C B 平面PE A '． …6分 （2）因为a BC AC 3==，BP AP 2=， 所以a CE =，a A E 2='，a PE 2=，a PC 5=． …8分 过E 作PC EM ⊥，垂足为M ，连结M A '． 由（1）知ABC E A 平面⊥'，可得PC E A ⊥'， 所以EM A PC '⊥面，所以PC M A ⊥'． 所以ME A '∠即为所求二面角E PC A --'的平面角，可记为θ． …12分 在Rt △PCE 中，求得a EM 5 5 2= ， B P A F C ' B ' A E P A B F C 'B ' A E （第20题） M

立体几何解答题的常见题型及解题策略.

立体几何解答题的常见题型及解题策略 山东省临沭县第二中学（276700） 刘康平 立体几何作为考查学生的空间想象能力与数学基础知识的综合能力的手断，每年都会有一个解答题，主要是以多面体为载体，考查空间线面关系、空间角的求法以及距离的计算，所以出题重心就落在这三方面，此外，探索型问题也是立体几何中的常见题型，在知识点的交汇处出题也是高考命题的热点。 基本题型 在立体几何的常见题型中，最基本的就是考察三大部分（1）证空间关系（2）求空间角（3）求空间距离。这一基本题型就可以全面考察学生的对立体几何知识的掌握。在证明空间关系中，多以证明线面、面面平行垂直为主，主要考察用概念，公理，判定定理，性质定理进行严格的推理证明的能力；在空间角的求法中异面直线所成的角，线面角，二面角都是考察的重点；在求空间距离中多以点线距离，点面距离为主，其它距离可以转化为这两种距离。 解题策略： 证空间关系：（1）利用概念，公理，判定定理，性质定理进行严格的推理证明。 （2）利用向量法证明垂直平行等线面关系。 求空间角：（1）通过作图把空间角转化为平面角，利用平面几何知识解决。 （2）利用向量法求空间角 求空间距离：（1）通过作图把空间距离转化为平面距离，利用平面几何知识解决。 （2）利用向量法求空间距离。 例1．如图，梯形ABCD 中，AB CD //，AB CB DC AD 2 1 = ==，E 是AB 的中点，将ADE ?沿DE 折起，使点A 折到点P 的位置，且二面角C DE P --的大小为0 120。 （1）求证：PC DE ⊥；（2）求直线PD 与平面BCDE 所成角的正弦值； （3）求点D 到平面PBC 的距离。 解： (1) 连结AC 交DE 于F ，连结PF ，∵ AB CD // ∴ ACD BAC ∠=∠又 ∵ CD AD = ∴ ACD DAC ∠=∠，即CA 平分BAD ∠， ∵ ADE ?是等边三角形 ∴ DE AC ⊥，DE CF ⊥，PCF DE 平面⊥，PC DE ⊥。 (2) 过P 作AC PO ⊥于O ，连接OP ，设a CB DC AD ===，则a AB 2=∵ PCF DE 平面⊥ ∴ PO DE ⊥，BCDE PO 平面⊥ PDO ∠就是直线PD 与平面BCDE 所成的角 ∵ PFC ∠是二面角C DE P --的平面角 ∴ 0 60=∠PFO 在POD Rt ?中 4 3 sin == ∠PD PO PDO (3) ∵ BC DE // DE 在平面PBC 外， ∴ PBC DE 平面//，D 点到平面PBC 的距离即为点F 到平面PBC 的距离，过点F 作PC FG ⊥，垂足为G ，∵ PCF DE 平面// ∴ PCF BC 平面⊥， PCF PBC 平面平面⊥，PBC FG 平面⊥，FG 的长即为点F 到平面PBC 的距离。在菱形ADCE 中 A D E C B P

立体几何高考真题大题

立体几何高考真题大题 １.(2016高考新课标1卷）如图,在以A,Ｂ,Ｃ,Ｄ,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形，ＡF=2FD ， 90AFD ∠=，且二面角D-ＡF-E 与二面角C-BE-F 都是60. (Ⅰ)证明:平面AB ＥF ⊥平面E ＦDC ； (Ⅱ）求二面角E-ＢＣ-A 的余弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）19 - 【解析】 试题分析：（Ⅰ)先证明F A ⊥平面FDC E ,结合F A ?平面F ABE ,可得平面F ABE ⊥平面FDC E .（Ⅱ)建立空间坐标系,分别求出平面C B E 的法向量m 及平面C B E 的法向量n ,再利用cos ,n m n m n m ?= 求二面角. 试题解析：(Ⅰ）由已知可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E . 又F A ?平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E ． （Ⅱ）过D 作DG F ⊥E ,垂足为G ,由（Ⅰ)知DG ⊥平面F ABE . 以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向,GF 为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -. 由(Ⅰ）知 DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角,故DF 60∠E =,则 DF 2=,DG 3=,可得()1,4,0A ,()3,4,0 B -,()3,0,0E -,(D ． 由已知,//F AB E ,所以//AB 平面FDC E ． 又平面CD AB 平面FDC DC E =,故//CD AB ，CD//F E . 由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 为二面角C F -BE -的平面角, C F 60∠E =．从而可得( C -. 所以(C E =,()0,4,0EB =,(C 3,A =--,()4,0,0AB =-． C A B D E F