(高清版)2018年湖南省郴州市中考数学试卷

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湖南省郴州市2018年初中学业水平考试

数 学

(本试卷满分130分,考试时间120分钟)

第Ⅰ卷(选择题共24分)

一、选择题：本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的. 1.下列实数：3,0

,1

2

,2-,0.35,其中最小的实数是 ( )

A .3

B .0

C .2-

D .0.35

2.郴州市人民政府提出：在2 018年继续办好一批民生实事,加快补齐影响群众生活品质的短板,推进扶贫惠民工程,实现12.5万人脱贫,请用科学记数法表示125 000( ) A .51.2510? B .60.12510? C .412.510?

D .61.2510? 3.下列运算正确的是

( )

A .326 a a a =?

B .22

1a a -=-

C .33233-=

D .()()2

224a a a +-=+

4.如图,直线a ,b 被直线c 所截,下列条件中,不能判定a b P ( ) A .24∠=∠ B .14180∠+∠=? C .54∠=∠

D .13∠=∠

5.如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形,它的主视图是

( )

A

B

C

D

6.甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示,下面结论不正确的是( ) A .甲超市的利润逐月减少

B .乙超市的利润在1月至4月间逐月增加

C .8月份两家超市利润相同

D .乙超市在9月份的利润必超过甲超市

7.如图,60AOB ∠=?,以点O 为圆心,以任意长为半径作弧交OA ,

OB 于C ,D 两点；分别以C ,D 为圆心,以大于1

2

CD 的长为半

径作弧,两弧相交于点P ；以O 为端点作射线OP ,在射线OP 上截取线段6OM =,则M 点到OB 的距离为 ( ) A .6

B .2

C .3

D .33

8.如图,A ,B 是反比例函数4

y x

=

在第一象限内的图象上的两点,且A ,B 两点的横坐标分别是2和4,则OAB △的面积是( ) A .4

B .3

C .2

D .1

第Ⅱ卷(非选择题共106分)

二、填空题(每题3分,满分24分,将答案填在答题纸上) 9.计算：()

2

3

-=__________.

10.因式分解：3222a a b ab +-=__________.

11.一个正多边形的每个外角为60?,那么这个正多边形的内角和是__________. 12.在创建“平安校园”活动中,郴州市某中学组织学生干部在校门口值日,其中八位同

学3月份值日的次数分别是：5,8,7,7,8,6,8,9,则这组数据的众数是__________. 13.已知关于x 的一元二次方程260x kx +-=有一个根为3-,则方程的另一个根为__________.

毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________

-------------在

--------------------此--------------------

卷--------------------

上--------------------

答--------------------

题--------------------

无--------------------效----------------

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数学试卷 第4页（共16页）

14.某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨实验,结果如下表所示：

抽取瓷砖数n

100

300

400

600

1000

2000

3000

合格品数m 96

282

382

570

949

1906

2850

合格品频率

m

n

0.960 0.940 0.955 0.950 0.949 0.953 0.950

则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是__________.(精确到0.01) 15.如图,圆锥的母线长为10 cm ,高为8 cm ,则该圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长为__________cm .(结果用π表示)

16.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC 的一个顶点在原点O 处,且60AOC ∠=?,A 点的坐标是()0,4,则直线AC 的表达式是__________.

三、解答题(本大题共10小题,共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分6分)

计算1

2018

12sin4|2|521--?+-（-）-.

18.(本小题满分6分)

解不等式组：()3221 423 2 x x x x ?+-??-≤-??＞①

②并把解集在数轴上表示出来.

19.(本小题满分6分)

如图,在ABCD Y 中,作对角线BD 的垂直平分线EF ,垂足为O ,分别交AD ,BC 于

E ,

F ,连接BE ,DF .求证：四边形BFDE 是菱形.

20.(本小题满分8分)

6月14日是“世界献血日”,某市采取自愿报名的方式组织市民义务献血.献血时要对献血者的血型进行检测,检测结果有“A 型”、“B 型”、“AB 型”、“O 型”4种类型.在献血者人群中,随机

抽取了部分献血者的血型结果进行统计,并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：

血型 A B AB O 人数

10

5

(1)这次随机抽取的献血者人数为__________人,m=__________； (2)补全上表中的数据；

(3)若这次活动中该市有3 000人义务献血,请你根据抽样结果回答：

从献血者人群中任抽取一人,其血型是A 型的概率是多少？并估计这3 000人中大约有多少人是A 型血？ 21.(本小题满分8分)

郴州市正在创建“全国文明城市”,某校拟举办“创文知识”抢答赛,欲购买A 、B 两种奖品以鼓励抢答者.如果购买A 种20件,B 种15件,共需380元；如果购买A 种15件,B 种10件,共需280元.

(1)A 、B 两种奖品每件各多少元？

(2)现要购买A 、B 两种奖品共100件,总费用不超过900元,那么A 种奖品最多购买多少件？

22.(本小题满分8分)

小亮在某桥附近试飞无人机,如图,为了测量无人机飞行的高度AD ,小亮通过操控器指令无人机测得桥头B ,C 的俯角分别为60EAB ∠=?,30EAC ∠=?,且D ,B ,C 在同一水平线上.已知桥30BC =米,求无人机飞行的高度AD (精确到0.01米.参考数据：2 1.414≈,3 1.732≈)

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23.(本小题满分8分)

已知BC 是O e 的直径,点D 是BC 延长线上一点,AB AD =,AE 是O e 的弦,

30AEC ∠=?.

(1)求证：直线AD 是O e 的切线；

(2)若AE BC ⊥,垂足为M ,O e 的半径为4,求AE 的长.

24.(本小题满分8分)

参照学习函数的过程与方法,探究函数()2

0x y x x

-=≠的图象与性质. 因为221x y x x -==-,即21y x =-+,所以我们对比函数2

y x

=-来探究.

列表： x

… 4-

3-

2- 1-

12- 12

1 2 3 4 …

2

y x =- …

1

2 2

3 1 2

4 4- 1- 1 23- 12

- (2)

x y x

-= (32)

53

2 3 5 3- 1- 0 13 12 … 描点：在平面直角坐标系中,以自变量x 的取值为横坐标,以2

x y x

-=相应的函数值

为纵坐标,描出相应的点,如图所示：

(1)请把y 轴左边各点和右边各点,分别用一条光滑曲线顺次连接起来；

(2)观察图象并分析表格,回答下列问题：

①当0x ＜时,y 随x 的增大而__________；(填“增大”或“减小”) ②2x y x -=

的图象是由2

y x

=-的图象向________平移________个单位而得到；

③图象关于点__________中心对称.(填点的坐标)

(3)设()11,A x y ,()22,B x y 是函数2

x y x -=的图象上的两点,且120x x +=,试求

123y y ++的值.

25.(本小题满分10分)

如图1,已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A -,()3,0B 两点,与y 轴交于

C 点,点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P 的横坐标为t .

(1)求抛物线的表达式；

(2)设抛物线的对称轴为l ,l 与x 轴的交点为D .在直线l 上是否存在点M ,使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由. (3)如图2,连接BC ,PB ,PC ,设PBC △的面积为S . ①求S 关于t 的函数表达式；

②求P 点到直线BC 的距离的最大值,并求出此时点P 的坐标.

26.(本小题满分12分)

在矩形ABCD 中,AD AB ＞,点P 是CD 边上的任意一点(不含C ,D 两端点),过点

P 作PF BC ∥,交对角线BD 于点F .

(1)如图1,将PDF △沿对角线BD 翻折得到QDF △,QF 交AD 于点E . 求证：DEF △是等腰三角形；

(2)如图2,将PDF △绕点D 逆时针方向旋转得到''P DF △,连接'P C ,'F B .设旋转角为()0180αα??＜＜.

①若0BDC α?∠＜＜,即'DF 在BDC ∠的内部时,求证：''DP C DF B △∽△. ①如图3,若点P 是CD 的中点,'DF B △能否为直角三角形？如果能,试求出此时

tan 'DBF ∠的值,如果不能,请说明理由.

-------------在

--------------------此--------------------

卷--------------------

上--------------------

答--------------------

题--------------------

无--------------------

效---

-------------

毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________

湖南省郴州市2018年初中学业水平考试

数学答案解析

1．【答案】C

【解析】解：根据实数比较大小的方法，可得

1

00.353

2

＜＜＜，

所以最小的实数是C．

【考点】实数大小比较的方法．

2．【答案】A

【解析】解：5

125000 1.2510

=?，故选：A．

【考点】科学记数法﹣表示较大的数．

3．【答案】C

【解析】解：325

.A a a a

?=，故此选项错误；

B.2

2

1

a

a

-=，故此选项错误；

C.-，故此选项正确；

D.()()2

224

a a a

+-=-，故此选项错误．故选：C．

【考点】同底数幂的乘除运算以及负指数幂的性质以及二次根式的加减运算、平方差公

式，．

4．【答案】D

【解析】解：由24

∠=∠或14180

∠+∠=?或54

∠=∠，可得a b

∥；

由13

∠=∠，不能得到a b

∥；故选：D．

【考点】平行线的判定．

5．【答案】B

【解析】解：从几何体的上面看可得，故选：B．

【考点】简单几何体的三视图．

6．【答案】D

【解析】解：A.甲超市的利润逐月减少，此选项正确；

B.乙超市的利润在1月至4月间逐月增加，此选项正确；

C.8月份两家超市利润相同，此选项正确；

D.乙超市在9月份的利润不一定超过甲超市，此选项错误；故选：D．

【考点】折线统计图．

7．【答案】C

【解析】解：过点M作ME OB

⊥于点E，

由题意可得：OP是AOB

∠的角平分线，

则

1

6030

2

POB

∠=??=?，

1

3

2

ME OM

∴==．故选：C．

【考点】基本作图以及含30度角的直角三角形．

8．【答案】B

【解析】解：A

Q，B是反比例函数4

y

x

=在第一象限内的图象上的两点，且A，B

两点的横坐标分别是2和4，

∴当2

x=时，2

y=，即()

2,2

A，

当4

x=时，1

y=，即()

4,1

B．

如图，过A，B两点分别作AC x

⊥轴于C，BD x

⊥轴于D，

则

1

42

2

AOC BOD

S S

==?=

△△

．

AOB BOD AOC

AODB ABDC

S S S S S

=+=+

Q

△△△

四边形梯形

，

AOB ABDC

S S

∴=

△梯形

，

()()

11

1223

22

ABDC

S BD AC CD

=+?=+?=

Q

梯形

，

3

AOB

S

∴=

△

．故选：B．

【考点】反比例函数

k

y

x

=中k的几何意义．

9．【答案】3

【解析】解：原式3=．

故答案为：3

【考点】二次根式的乘除法．

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10．【答案】()2

a a

b -

【解析】解：原式()

222a a ab b -=+

()2

a a

b =-．

故答案为：()2

a a

b -．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 11．【答案】.720?.

【解析】解：这个正多边形的边数为360660?

=?

， 所以这个正多边形的内角和()62180720=

-??=?．故答案为720?．

【考点】多边形内角与外角． 12．【答案】8

【解析】解：这组数据8出现的次数最多，所以众数为8， 故答案为8．

【考点】本题考查众数的定义，记住在一组数据中次数出现最多的数是这组数据的众数． 13．【答案】2

【解析】解：设方程的另一个根为a ， 则根据根与系数的关系得：36a -=-， 解得：2a =，故答案为：2．

【考点】根与系数的关系和一元二次方程的解． 14．【答案】0.95

【解析】解：由击中靶心频率都在0.95上下波动， 所以这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是0.95， 故答案为：0.95．

【考点】利用频率估计概率的思想． 15．【答案】12π

【解析】解：设底面圆的半径为 cm r ，

由勾股定理得：6r ==，

2πr 2π612π∴=?=， 故答案为：12π．

【考点】圆锥的计算．

16．

【答案】4y x =+

【解析】解：如图，

由菱形OABC 的一个顶点在原点O 处，

A 点的坐标是()0,4，得

4OC OA ==．

又160∠=?Q ，230∴∠=?．

1

sin 22

OD OC ∠=

=， 2CD ∴=．

cos 2cos30OD OC ∠=?=

=

，

OD =

2C ∴（）

． 设AC 的解析式为y kx b =+， 将A ，C 点坐标代入函数解析式，得

2

4

b b ?+=??

=??，

解得4k b ?=???=?

，

直线AC

的表达式是4y =+，

故答案为：4y =+． 【考点】待定系数法求一次函数解析式．

17．

【答案】解()2018

1

12sin45|12--?+﹣-：

120.51=--+- 1.5=-

【考点】实数的运算．

18．【答案】解：解不等式①，得：4x ＞-， 解不等式②，得：0x ≤， 则不等式组的解集为40x -≤＜，

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将解集表示在数轴上如下：

【考点】一元一次不等式组．

19．【答案】证明：Q 在ABCD Y 中，O 为对角线BD 的中点，

BO DO ∴=，EDB FBO ∠=∠，

在EOD △和FOB △中， EDO FBO OD OB

EOD FOB ∠=∠??

=??∠=∠?

， DOE BOF ASA ∴△≌△（）

； OE OF ∴=，

又OB OD =Q ，

∴四边形

EBFD 是平行四边形，

EF BD ⊥Q ，∴四边形BFDE 为菱形．

【考点】菱形的判定，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质． 20．【答案】解：（1）这次随机抽取的献血者人数为510%50÷=（人），

所以10

1002050m =?=；

故答案为50，20；

（2）O 型献血的人数为46%5023?=（人）， A 型献血的人数为501052312---=（人）， 如图，

故答案为12，23；

（3）从献血者人群中任抽取一人，其血型是A 型的概率126

5025

==

， 6

300072025

?=，

估计这3000人中大约有720人是A 型血． 【考点】概率公式、统计图．

21．【答案】解：（1）设A 种奖品每件x 元，B 种奖品每件y 元，

根据题意得：2015380

1510280x y x y +=??+=?

，

解得：164x y =??

=?

． 答：A 种奖品每件16元，B 种奖品每件4元．

（2）设A 种奖品购买a 件，则B 种奖品购买100a -（）

件， 根据题意得：()164100900a a +-≤，

解得：125

3

a ≤

． a Q 为整数，41a ∴≤．

答：A 种奖品最多购买41件．

【考点】一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用． 22．【答案】解：60EAB ∠=?Q ，30EAC ∠=?，

60CAD ∴∠=?，30BAD ∠=?，

tan CD AD CAD ∴=?∠

， BD AD tan BAD =?∠=

30BC CD BD AD ∴=-=

=，

25.98AD ∴=≈．

【考点】直角三角形的应用中的仰角俯角问题． 23．【答案】解：（1）如图，

30AEC ∠=?Q ，30ABC ∴∠=?，

AB AD =Q ，30D ABC ∴∠=∠=?，

根据三角形的内角和定理得，120BAD ∠=?， 连接OA ，OA OB ∴=， 30OAB ABC ∴∠=∠=?，

90OAD BAD OAB ∴∠=∠-∠=?， OA AD ∴⊥，

Q 点

A 在O e 上，

∴直线AD 是O e 的切线；

（2）连接OA ，30AEC ∠=?Q ，

60AOC ∴∠=?， BC AE ⊥Q 于M ，

2AE AM ∴=，90OMA ∠=?，

在Rt AOM △

中， sin 4sin60AM OA AOM =?∠=??=

2AE AM ∴==

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数学试卷 第13页（共16页） 数学试卷 第14页（共16页）

【考点】等腰三角形的性质．

24．【答案】解：（1）函数图象如图所示：

（2）①当0x ＜时，y 随x 的增大而增大； ②2x y x -=

的图象是由2

y x

=-的图象向上平移1个单位而得到； ③图象关于点

()0,1中心对称．（填点的坐标）

故答案为增大，上，1，()0,1

（3）120x x +=Q ，12x x ∴=-， 11,A x y ∴（），22,B x y （）

关于()0,1对称，

122y y ∴+=，1235y y ∴++=．

【考点】反比例函数的性质、中心对称的性质． 25．【答案】解：（1）将()1,0A

-、()3,0B 代入2

y x

bx c =-++，

10930b c b c --+=??

-++=?，解得：2

3b c =??=?

， ∴抛物线的表达式为2

23y x

x =-++．

（2）在图1中，连接PC ，交抛物线对称轴l 于点E ，

Q 抛物线2

y x bx c =-++与x 轴交于

()1,0A -，()3,0B 两点，

∴抛物线的对称轴为直线

1x =．

当2t =时，点C 、P 关于直线l 对称，此时存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边

形．

Q 抛物线的表达式为2

23y x x =-++，

∴点

C 的坐标为()0,3，点P 的坐标为()2,3，

∴点

M 的坐标为()1,6；

当2t ≠时，不存在，理由如下：

若四边形CDPM 是平行四边形，则CE PE =，

Q 点

C 的横坐标为0，点E 的横坐标为0，

∴点P 的横坐标1202t =?-=． 又2t ≠Q ，∴不存在．

（3）①在图2中，过点P 作PF y ∥轴，交BC 于点F ．

设直线BC 的解析式为0y mx n m =+≠（）， 将3,0B （）、0,3C （）

代入y mx n =+， 303m n n +=??

=?，解得：1

3m n =-??=?

， ∴直线BC 的解析式为3y x =-+．

Q 点

P 的坐标为2,23t t t -++（）

， ∴点F 的坐标为

,3t t -+（）， ()222333PF t t t t t ∴=-++-+=-+-，

221393327

222228S PF OB t t t ∴=

?=-+=--+

（）． ②3

02-Q ＜，

∴当33t =时，S 取最大值，最大值为

27

8． Q 点

B 的坐标为()3,0，点

C 的坐标为()0,3，

数学试卷 第15页（共16页） 数学试卷 第16页（共16页）

∴

线段BC

==

P ∴点到直线BC

272

8?=，此时点P 的坐标为315,24?? ???． 【考点】待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的

面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质． 26．【答案】解：（1）由翻折可知：DFP DFQ ∠=∠，

PF BC Q ∥，DFP ADF ∴∠=∠，

DFQ ADF ∴∠=∠，

DEF ∴△是等腰三角形，

（2）①若0BDC α?∠＜＜，即'DF 在BDC ∠的内部时，

P DF PDF ∠''=∠Q ，P DF F DC PDF F DC ∴∠''-∠'=∠-∠'， P DC F DB ∴∠'=∠'，

由旋转的性质可知：

DP F DPF ''△≌△，

PF BC Q ∥，DPF DCB ∴△∽△，

DP F DCB ∴''△∽△，'

'

DC DP DB DF ∴=

， ''DP C DF B ∴△∽△

②当90F DB ∠'=?时，如图所示，

1

2

DF DF BD '==Q ， '1

2

DF BD ∴

=， '1

tan 2

DF DBF BD ∴∠'=

=， 当90DBF ∠'=?，此时DF '是斜边， 即DF DB '＞，不符合题意， 当90DF B ∠'=?时，如图所示，

1

DF DF BD '==

Q ，30DBF ∴∠'=

?

， tan DBF ∴∠'=

【考点】相似三角形的性质与判定，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角

形的性质以及判定．