2020全国中考数学全等三角形(解析版)

一、选择题

10.(2020·宁波)△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角

形ABC内.若求五边形DECHF的周长，则只需知道

A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长

{答案}A

{解析}本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，五边形DECHF的周长为DE＋CE＋CH＋FH ＋DF，∵△ABC和△FGH是两个等边三角形，∴△AFH≌△CHG，∴CH＝AF．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴DE＝FH＝BD＝BE，∴DE＋CE＋CH＋FH＋DF＝BE＋CE＋CH＋BD＋DF＝BC＋BF＋CH＝BC＋BA，∴只需要知道△ABC的周长就可以求得五边形DECHF的周长，因此本题选A．

（2020·四川甘孜州）9．如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE ≌△ACD的是( )

A．AD＝AE B．BE＝CD C．∠ADC＝∠AEB D．∠DCB＝∠EBC

{答案}B

{解析}本题考查了全等三角形的判定．由全等三角形的判定“SAS”、“AAS”、“ASA”可得，添加选项A、C、D都能判定两三角形全等；而添加选项B则不能判定两三角形全等，故选B．

7．（2020·绵阳）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点．若AE＝3，CD＝2，则GH＝（）

A．1 B．2 C．3 D．4

{答案}B

{解析}延长HG交BC于点M．∴DF∥BC，GH⊥DF，∴∠GMC＝∠MGD＝∠C＝90°，∴四边形GMCD为矩形，∴MG＝CD＝2，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，又∴∠A＝∠BMG＝90°，∴△ABE∽△MBG，∴

＝＝，∴BG＝2EG，∴∠HGD＝90°，点E为DH的中点，∴DH＝2EG＝2ED，∴DH＝BG，∴EG＝ED，∴∠EGD＝∠EDG,∴DF∥BC，∴∠EGD＝∠GBM,∴∠EDG＝∠GBM,又∴∠HGD＝∠BMG＝90°，∴△DHG≌△BGM，∴HG＝GM＝2．故选项B正确．

BE

BG

AE

MG

2

3

8．（2020·鄂州）如图，在△AOB 和△COD 中，OA

＝OB ，OC ＝OD ，OA ＜OC ，36AOB COD ?∠=∠=．连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：

①36AMB ?∠=；②AC BD =；③OM 平分AOD ∠；④MO 平分AMD ∠

其中正确的结论个数有（ ）个． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 {答案}B

{解析}本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．由SAS 证明△AOC ≌△BOD ，得到∠OAC ＝∠OBD ，由三角形的外角性质得：∠AMB ＋∠OBD ＝∠AOB ＋∠OAC ，得出∠AMB ＝∠AOB ＝36°，①正确；

根据全等三角形的性质得出∠OCA ＝∠ODB ，AC ＝BD ，②正确；

作OG ⊥AC 于G ，OH ⊥BD 于H ，如图所示：则∠OGC ＝∠OHD ＝90°，由AAS 证明△OCG ≌△ODH （AAS ），得出OG ＝OH ，由角平分线的判定方法得出MO 平分AMD ∠，④正确；

由∠AOB ＝∠COD ，得出当∠DOM ＝∠AOM 时，OM 才平分∠BOC ，假设∠DOM ＝∠AOM ，由△AOC ≌△BOD 得出∠COM ＝∠BOM ，由MO 平分∠BMC 得出∠CMO ＝∠BMO ，推出△COM ≌△BOM ，得OB ＝OC ，而OA ＝OB ，所以OA ＝OC ，而OA OC <，故③错误；即可得出结论． 正确的有①②④； 故选B ．

11．如图，在中，，将绕点C 顺时针旋转得到，使点B 的对应点E 恰好落在边上，点A 的对应点为D ，延长交于点F ，则下列结论一定正确的是（ ）

ABC 90ACB ∠=?ABC DEC AC DE AB

A. B. C.

D.

{答案}D

{解析}本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质，证明过程常用角的互换、直角互余作为解题工具，另外证明题当中反证法也极为常见，需要熟练利用．可通过旋转的性质得出△ABC 与△DEC 全等，故可判断A 选项；可利用相似的性质结合反证法判断B ，C 选项；最后根据角的互换，直角互余判断D 选项． 由已知得：△ABC △DEC ，则AC=DC ，∠A=∠D ，∠B=∠CED ，故A 选项错误； ∵∠A=∠A ，∠B=∠CED=∠AEF ， 故△AEF

△ABC ，则

， 假设

BC=EF ，则有AE=AB ，

由图显然可知AE AB ，故假设BC=EF 不成立，故B 选项错误； 假设∠AEF=∠D ，则∠CED=∠AEF=∠D ，

故△CED 为等腰直角三角形，即△ABC 为等腰直角三角形，

因为题干信息△ABC 未说明其三角形性质，故假设∠AEF=∠D 不一定成立，故C 选项错误； ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°． 又∵∠A=∠D ， ∴∠B+∠D=90°． 故AB ⊥DF ，D 选项正确． 故选：D ．

7．（2020·淄博）如图，若△ABC ≌△ADE ，则下列结论中一定成立的是（ ）

A ．AC ＝DE

B ．∠BAD ＝∠CAE

C ．AB ＝AE

D ．∠ABC ＝∠AED

【解析】∵△ABC ≌△ADE ，

∴AC ＝AE ，AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE ，∠BAC ＝∠DAE ， ∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ，

即∠BAD ＝∠CAE ．故A ，C ，D 选项错误，B 选项正确， 故选：B ．

AC DE =BC EF =AEF D ∠=∠AB DF ⊥?EF AE

BC AB

≠

6.（2020·永州）如图，已知,AB DC ABC DCB =∠=∠．能直接判断ABC DCB △≌△的方法是（ ）

A.

SAS

B.

AAS

C.

SSS

D.

ASA

【答案】A

【详解】在△ABC 和△DCB 中，

AB DC ABC DCB BC CB =??

∠=∠??=?

, ∴ABC DCB △≌△(SAS), 故选：A.

7．（2020·邵阳）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E ,B ,D ,F 在同一条直线上，请添加一个条件使得△ABE ≌△CDF ,下列不正确的是（ ）

A.AE =CF

B.∠AEB =∠CFD

C.∠EAB =∠FCD

D.BE =DF

{答案} A

{解析}本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB =CD ，AB ∴CD ， ∴∴ABD =∴BDC ，

∴∴ABE +∴ABD =∴BDC +∴CDF ， ∴∴ABE =∴CDF ，

A .若添加AE CF =，则无法证明ABE CDF △≌△，故A 错误；

B .若添加AEB CFD ∠=∠，运用AAS 可以证明ABE CDF △≌△，故选项B 正确；

C .若添加EAB FC

D ∠=∠，运用ASA 可以证明AB

E CD

F △≌△，故选项C 正确； D .若添加BE DF =，运用SAS 可以证明ABE CDF △≌△，故选项D 正确．因此本题选A ．

二、填空题 18．（2019·上海）在△ABC 和△A 1B 1C 1中，已知∠C ＝∠C 1＝90°，AC ＝A 1C 1＝3，BC ＝4，B 1C 1＝2，点D 、D 1分别在边AB 、A 1B 1上，且△ACD ≌△C 1A 1D 1，那么AD 的长是 ． {答案}

5

3

{解析}如图，

∵在∴ABC 和∴A1B1C1中，∠C ＝∠C1＝90°，AC ＝A1C1＝3，BC ＝4，B1C1＝2， ∴AB

5，设AD ＝x ，则BD ＝5－x ，

∵△ACD ≌△C1A1D1，∴C1D1＝AD ＝x ，∠A1C1D1＝∠A ，∠A1D1C1＝∠CDA ， ∴∠C1D1B1＝∠BDC ，

∵∠B ＝90°－∠A ，∠B1C1D1＝90°－∠A1C1D1，∴∠B1C1D1＝∠B ，∴△C1B1 D1∽△BCD ，

∴1111BD BC C D C B =，即5x x

-＝2，解得x ＝53.∴AD 的长为53. 13．（2020·黑龙江龙东）如图，Rt∴ABC 和Rt∴EDF 中，BC ∴DF ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使Rt∴ABC 和Rt∴EDF 全等．

{答案} AB ＝ED 答案不唯一．

{解析}本题考查了三角形全等的条件，解：∴Rt∴ABC 和Rt∴EDF 中，∴∴BAC ＝∴DEF ＝90°，∴BC∴DF ，∴∴DFE ＝∴BCA ，∴添加AB ＝ED ，在Rt∴ABC 和Rt∴EDF 中

{∠DFE =∠BCA

∠DEF =∠BAC AB =ED

，∴Rt∴ABC∴Rt∴EDF （AAS ），故答案为：AB ＝ED 答案不唯一． 14．（2020·北京）在△ABC 中，AB =AC ，点D 在BC 上（不与点B ，C 重合）.只需添加一个条件即可证明△ABD ≌△ACD ，这个条件可以是 （写出一个即可）． {答案}答案不唯一，∠BAD =∠CAD 或者BD =CD 或AD ⊥BC

{解析}根据等腰三角形三线合一的性质可得，要使△ABD ≌△ACD ，则可以填∠BAD =∠CAD 或者BD =CD 或AD ⊥BC 均可．

13．（2020·齐齐哈尔如图，已知在△ABD 和△ABC 中，∠DAB ＝∠CAB ，点A 、B 、E 在同一条直线上，若使△ABD ≌△ABC ，则还需添加的一个条件是 ．（只填一个即可） {答案} AD ＝AC （∠D ＝∠C 或∠ABD ＝∠ABC 等）

{解析}利用全等三角形的判定方法添加条件．∵∠DAB ＝∠CAB ，AB ＝AB ， ∴当添加AD ＝AC 时，可根据“SAS ”判断△ABD ≌△ABC ； 当添加∠D ＝∠C 时，可根据“AAS ”判断△ABD ≌△ABC ； 当添加∠ABD ＝∠ABC 时，可根据“ASA ”判断△ABD ≌△ABC ． 故答案为AD ＝AC （∠D ＝∠C 或∠ABD ＝∠ABC 等）．

14．（2020·怀化）如图，在△ABC 和△ADC 中，AB ＝AD ，BC ＝DC ，∠B ＝130°，则∠D ＝ °．

{答案}130

{解析}根据全等三角形的判定定理得出△ABC ≌△ADC ，根据平行线的性质得出∠D ＝∠B ，代入求出即可． 证明：∵在△ADC 和△ABC 中 {AD =AB AC =AC CD =CB

， ∴△ABC ≌△ADC （SSS ）， ∴∠D ＝∠B ， ∵∠B ＝130°， ∴∠D ＝130°， 故答案为：130．

15．（2020·抚顺本溪辽阳）如图，在△ABC 中，M ，N 分别是AB 和AC 的中点，连接MN ，点E 是CN 的中点，连接ME 并延长，交BC 的延长线于点D ，若BC ＝4，则CD 的长为 ．

{答案}2{解析}本题可根据三角形中位线定理，及三角形全等的知识求解．∵M ，N 分别是AB 和AC 的中点，

∴MN ＝1

2BC ＝2，MN ∥BC ．∴∠NME ＝∠D ，∵NE ＝CE ，∠NEM ＝∠CED ，∴△NEM ≌△CED ，∴CD ＝MN ＝2．

E A

D

B

C

M

N

三、解答题

18．（2020·温州）如图,在△ABC和△DCE中,AC＝DE,∠B＝∠DCE＝90° ,点A,C,D依次在同一直线上,且AB// DE.

(1)求证:△ABC≌△DCE.

(2)连结AE,当BC＝5,AC＝12时,求AE的长.

{解析}本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定、勾股定理等知识．（1）由

AB//DE,得到∠BAC＝∠D. 又因为∠B＝∠DCE＝90°,AC＝DE，所以△ABC≌

△DCE(AAS).

（2）由（1）知BC＝CE，从而在Rt△ACE中，利用勾股定理求AE.

{答案}解：(1): AB//DE,∴∠BAC＝∠D. 又∵∠B＝∠DCE＝90°,AC＝DE,∴△ABC≌△DCE(AAS).

(2)由（1）知△ABC≌△DCE,∴CE＝BC＝5.

在Rt△ACE中，∵AC＝12, CE＝5,

22

51213

AE

∴=+=.

21．（2020台州）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O．

（1）求证：△ABD≌△ACE；

（2）判断△BOC的形状，并说明理由．

【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；

（2）由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，可

求∠OBC＝∠OCB，可得BO＝CO，即可得结论．

【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；

（2）△BOC是等腰三角形，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，∴∠OBC＝∠OCB，∴BO＝CO，∴△BOC是等腰三角形．20．（2020·铜仁）如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．

{解析}由已知条件“BF＝EC”结合图形可知：BC＝EF，欲证△ABC≌△DEF，目前已经知道的条件是一边（BF＝EC）、一角（∠B＝∠E），所以可以考虑全等三角形的判定定理AAS、SAS或ASA，再次分析已知条件，发现由AC∥DF可得出∠ACB＝∠DFE，所以考虑由ASA定理证得结果．

{答案}证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE.

又∵BF＝CE，∴BC＝EF.在△ABC和△DEF中，∵，∴△ABC≌△DEF（ASA）．

26．（2020·常德）已知D是RR△RRR斜边AB的中点，∠RRR=90°，∠RRR=30°，过点D作Rt△RRR使∠RRR=90°，∠RRR=30°，连接CE并延长CE到点P，使RR=RR，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．

(1)如图1，当D，B，F共线时，求证：

①RR=RR；

②∠RRR=30°；

(2)如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠RRR+∠RRR=30°．

E

D

C

B

A

{解析} (1)①证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得结论；

②根据同位角相等可得BC//EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE=∠BFE=30°；

(2)如图2，延长DE到Q，使EQ=DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC(SAS)，则PQ=DC=DB，由QE=DE，∠DEF=90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB(SAS)，再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．

{答案}解：证明(1)①∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=90°?30°=60°，同理∠EDF=60°，

∴∠A=∠EDF=60°，∴AC//DE，∴∠DMB=∠ACB=90°，∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC//DM，

∴BM

BC =BD

AB

=1

2

，即M是BC的中点，∵EP=CE，即E是PC的中点，∴ED//BP，∴∠CBP=∠DMB=90°，

∴△CBP是直角三角形，∴BE=1

2

PC=EP；

②∵∠ABC=∠DFE=30°，∴BC//EF，由①知：∠CBP=90°，∴BP⊥EF，∵EB=EP，

∴EF是线段BP的垂直平分线，∴PF=BF，∴∠PFE=∠BFE=30°；

(2)如图2，延长DE到Q，使EQ=DE，连接CD，PQ，FQ，

∵EC=EP，∠DEC=∠QEP，∴△QEP≌△DEC(SAS)，则PQ=DC=DB，

∵QE=DE，∠DEF=90°∴EF是DQ的垂直平分线，∴QF=DF，∵CD=AD，∴∠CDA=∠A=60°，

∴∠CDB=120°，∴∠FDB=120°?∠FDC=120°?(60°+∠EDC)=60°?∠EDC=60°?∠EQP=∠FQP，

∴△FQP≌△FDB(SAS)，∴∠QFP=∠BFD，∵EF是DQ的垂直平分线，∴∠QFE=∠EFD=30°，

∴∠QFP+∠EFP=30°，∴∠BFD+∠EFP=30°．

25．（2020·黔东南州）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．

探究发现

（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．

拓展运用

（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．

（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．

{解析}（1）依据等式的性质可证明∠BCD＝∠ACE，然后依据SAS可证明△ACE≌△BCD；

（2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理计算AE的长，可得BD的长；

（3）如图2，过点A作AF⊥CD于F，先根据平角的定义得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函数可得AF的长（也可以利用含30度角的直角三角形的性质），由三角形面积公式可得△ACD的面积，最后根据勾股定理可得AD的长．

{答案}解：（1）全等.理由是：

∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，

{

CD=CE

∠BCD=∠ACE

BC=AC

，∴△ACE≌△BCD（SAS）；

（2）如图3，由（1）得：△BCD≌△ACE，

∴BD＝AE，∵△DCE都是等边三角形，∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，

∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，

在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，∴AE=√AD2+DE2=√9+4=√13，∴BD=√13；

（3）如图2，过A作AF⊥CD于F，

∵B、C、E三点在一条直线上，∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，

∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，

在Rt△ACF中，sin∠ACF=AF

AC

，∴AF＝AC×sin∠ACF＝1×√3

2

=√3

2

，

∴S△ACD=1

2

×CD×AF=1

2

×2×√3

2

=√3

2

，∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×1

2

=1

2

，

FD＝CD﹣CF＝2?1

2

=3

2

，在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2=(√3

2

)2+(3

2

)2=3，∴AD=√3．

23．（2020·安徽）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD.EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB.

(1)求证：BD⊥EC；

(2)若AB＝1，求AE的长；

(3)如图2，连接AG，求证：EG-DG＝2AG .

图1 图2

{解析}(1)证明△AEF≌△ADB，结合已知条件，等量代换求∠EGB＝90°即可；

(2)证明△AEF∽△DCF，代入已知与等量，转化成方程求解；

(3)以AG为腰构造等腰直角三角形，将EG、DG和2AG转化到同一条直线中求解.

{答案}(1)证明:因为四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，所以∠EAF＝∠DAB＝90°，

又AE＝AD，AF＝AB，所以△AEF≌△ADB，∠AEF＝∠ADB.所以∠GEB＋∠GBE＝∠ADB＋∠ABD＝90°，即∠EGB＝90°，故BD⊥EC.

(2)解:由矩形性质知AE//CD.所以∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF,

G

C

E

D

F

G

C

E B

A

D

F

所以△AEF∽△DCF，AE AF

DC DF

=

，即AE DF＝AF DC.设AE＝AD＝a(a>0)，则有a (a－1)＝1，化简得a2－a－

1＝0，解得a

＝1

2

+

或

1

2 (舍)，所以AE

的长为

1

2

+

.

(3)证明:方法一:如图1，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，在△AEP与△ADG中，

AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，所以△AEP≌△ADG，所以AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，所以∠PAG＝∠PAD＋∠DAG＝∠PAD＋∠EAP＝∠DAE＝90°，△PAG为等腰直角三角形.

于是EG－DG＝EG－EP＝PG

方法二，如图2，过点A作AG的垂线，与DB的延长线交于点Q.在△AEG与△ADQ中，

AE＝AD，∠AEG＝∠ADQ，∠EAG＝90°＋∠DAG＝∠DAQ，所以△AEG≌△ADQ ，

所以EG＝DQ，AG＝AQ，△AGQ为等腰直直角三角形，于是EG－DG＝DQ－DG＝QG

AG.

图1 图2

24．（2020·哈尔滨）已知：在△ABC中，AB＝AC，点D、点E在边BC上，BD＝CE，连接AD、AE.

（1）如图1，求证：AD＝AE；

（2）如图2，当∠DAE＝∠C＝45°时，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°.

{解析}本题考查了全等判定与等腰三角形判定，（1）只需要证明△ABD≌△ACE即可得出结论，（2）根据（1）中的结论知道△ADE中∠DAE＝45°，AD＝AE，所以45°和∠ADE或∠AED的所有相等的角所在三角形为符合条件的三角形．{答案} (1)证明:如图1∵AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB∵BD＝CE ∴△ABD≌△ACE∴AD＝AE

(2)如图2 △ADE △BDF △BAE △CAD

23（2020·江苏徐州）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC，AE与BD交于点F.

（1）求证：AE=BD；

（2）求∠AFD的度数.

（第23题）

{解析} （1）先利用边角边证明△ACE≌△BCD，然后由全等三角形的性质得到AE=BD；

（2）利用全等三角形的性质以及三角形的内角和定理来进行证明.

{答案}解：（1）∵AC⊥CB，CD⊥EC，∴∠ACB=∠ECD=90?,∴∠ACE=∠BCD，

在△ACE和△BCD中，

AC BC

ACE BCD

CE CD

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

,∴△ACE≌△BCD，∴

AE=BD.

A

（2）∵△ACE ≌△BCD ，∴∠A=∠B ，∵∠AGC=∠BGF ，∴∠BFA=∠ACB=90?，∴∠AFD=∠BFA=90?.

26.（2020·苏州）问题1：如图①，在四边形ABCD 中，90B C ∠=∠=?，P 是BC 上一点，PA PD =，90APD ∠=?.

求证：AB CD BC +=.

问题2：如图②，在四边形ABCD 中，45B C ∠=∠=?，P 是BC 上一点，PA PD =，90APD ∠=?.求

AB C

CD

B +的值.

{解析}问题1：证法一：证明ABP PCD ??≌；证法二：根据三角函数求解； 问题2：分别过点A 、D 作BC 的垂线，垂足为E 、F 转化为问题1求解。 {答案}解：问题1：证法一：∵90B ∠=?，∴90APB BAP ∠+∠=?. ∵90APD ∠=?，∴90APB CPD ∠+∠=?.∴BAP CPD ∠=∠.

在ABP ?和PCD ?中，B C BAP CPD PA DP ∠=∠??

∠=∠??=?，∴()ABP PCD AAS ??≌.

∴AB PC =，BP CD =，∴AB CD BP PC BC +=+=. 证法二：由证法一，可设BAP CPD α∠=∠=. 在Rt ABP ?中，sin BP PA α=?，cos AB PA α=?， 在Rt PCD ?中，sin CD PD α=?，cos PC PD α=?，

又∵PA PD =∴AB PC =，BP CD =，∴AB CD BP PC BC +=+=. 问题2：如图，分别过点A 、D 作BC 的垂线，垂足为E 、F . 由（1）可知AE DF

EF +=，在Rt ABE ?和Rt DFC ?中，45B C ∠=∠=?，

∴AE BE =，DF CF =

，

sin 45AE AB ?=

=

，sin 45DF

CD ?

==.

∴

()

2BC BE EF CF AE DF =++=+

，

)

AB CD AE DF +=+.

∴

)2()2AB CD AE DF BC AE DF ++==+.

21．（2020·衡阳）如图，在△ABC 中，∠B =∠C ，过BC 的中点D 作DE ⊥AB ， DF ⊥AC ，垂足分别为点EF . (1)求证：DE =DF ； (2)若∠BDE =40° ，求∠BAC 的度数.

(第21题图)

{解析}本题考查了三角形全等、三角形内角和定理等知识，解题的关键是找到证明线段相等以及求角的途径.（1）借助AAS 证△BED ≌△CFD 即可得出结论；

（2）先借助∠B 与∠BDE 的互余关系求∠B ，再利用三角形内角和定理求∠BAC ． {答案}解：（1）证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED=∠CFD=90°， ∵AB=AC ，∴∠B=∠C （等边对等角）．∵D 是BC 的中点，∴BD=CD ．

在△BED 和△CFD 中，∠BED ＝∠CFD ，∠B ＝∠C ，BD ＝CD ，∴△BED ≌△CFD （AAS ）．∴DE=DF ； （2）由（1）∠BED =90°，∴∠B+∠BDE=90°，又∠BDE =40° ，∴∠B=50°，又∠B=∠C ，∴∠C=50°，△ABC 中，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°． 19．（2020·南京）如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB ＝AC ，∠B ＝∠C. 求证：BD ＝CE.

{解析}运用ASA 判定△ACD 和△ABE 全等得到AD ＝AE ，由此推算结论. {答案}证明：∵∠A ＝∠A ，AC ＝AB ，∠C ＝∠B ，

∴△ACD ≌△ABE. ∴AD ＝AE.

∴AB －AD ＝AC －AE ，即BD ＝CE.

21．（2020·无锡）如图，已知AB ∥CD ，AB =CD ，BE =CF .

求证：（1）△ABF ≌△DCE ；

（2）AF ∥DE

A

B

C D E D

C

E F

B

A

{解析}（1）由等式的性质就可以得出BF =CE ，由平行线的性质就可以得出∴B =∴C ，根据SAS 就可以得出结论； （2）由∴ABF ∴∴DCE 就可以得出∴AFB =∴DEC 就可以得出结论． {答案}证明：∵BE ＝CF ，∴BE －EF ＝CF －EF ，∴BF ＝CE ． ∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C ．

在△ABF 和△DCE 中?????AB ＝CD

∠B ＝∠C BF ＝CE

，∴△ABF ≌△DCE （SAS ）；

（2）∵△ABF ≌△DCE ，

∴∠AFB ＝∠DEC ，∴∠AFE ＝∠DEF ，∴AF ∥DE ．

18．（2020·福建）如图，点,E F 分别在菱形ABCD 的边BC ，CD 上，且=BE DF .

求证：∠=∠BAE DAF .

{解析}本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，根据菱形性质证明≌??ABE ADF ． {答案}证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠=∠B D ，=AB AD .

在?ABE 和?ADF 中，=??

∠=∠??=?

AB AD B D BE DF

∴≌??ABE ADF ，∴∠=∠BAE DAF .

(2020·南充）18.如图，点C 在线段BD 上，且AB ⊥BD,DE ⊥BD ，AC ⊥CE ，BC=DE ，求证：AB=CD.

证明：∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AC ⊥CE ， ∴∠ACE ＝∠ABC ＝∠CDE ＝90°，

∴∠ACB +∠ECD ＝90°，∠ECD +∠CED ＝90°， ∴∠ACB ＝∠CED ．

在△ABC 和△CDE 中，

ACB CED BC DE

ABC =??

=??=?

∠∠∠∠CDE ∴△ABC ≌△CDE （ASA ）， ∴AB ＝CD ．

（2020·德州）24.（12分）问题探究：

小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC 中，AB=6，AC=4，AD 是中线，求AD 的取值范围. 她的做法是：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE ，证明△BED ≌△CAD ，经过推理和计算使问题得到解决. 请回答：（1）小红证明△BED ≌△CAD 的判定定理是 ； （2）AD 的取值范围是 ； 方法运用：

（3）如图2，AD 是△ABC 的中线，在AD 上取一点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ，使AE=EF ，求证：BF=AC. （4）如图3，在矩形ABCD 中，

12AB BC =,在BD 上取一点F ，以BF 为斜边作Rt △BEF ，且1

2

EF BE =,点G 是DF 的中点，连接EG ，CG ，求证：EG=CG.

{解析}（1）根据满足两三角形全等条件回答.

（2）把已知的AB=6，AC=4转化到△ABE 中，根据三角形三边关系解答. （3）仿照（1）（2）提供的解题思路解答.

（4）结合图形，从点G 是DF 的中点联想（3）的证明方法作辅助线，再利用相似三角形证得△CEH 是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求解. {答案}解：（1）∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=CD ， 又DE=AD ，∠ADC=∠EBD ， ∴△BED ≌△CAD （SAS ） 故答案为SAS.

（2）∵△BED ≌△CAD ，∴AC=BE=4，

∵DE=AD ，∴AE=2AD ，

在△ABE 中，,AB BE AD AB BE -+＜＜即1 5.AD ＜＜ 故答案为1 5.AD ＜＜

（3）证明：延长AD 至点A ′，使A ′D=AD ， ∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=CD,

在△ADC 和△A ′DB 中，A D AD

ADC A DB CD BD '=??

'∠=∠??=?

,

∴△ADC ≌△A ′DB,

∴,,CAD A AC A B ''∠=∠= 又∵AE=CE ，∴∠CAD=∠AFE, ∴.A AFE '∠=∠

∵AFE BFD ∠=∠，∴=BFD A '∠∠, ∴BF A B '=, ∵A B AC '=

,∴BF AC =.

（4）证明：延长CG 至点H ，使HG=CG ，连接HF ，CE ，HE ， ∵G 为FD 的中点，∴FG=DG.

在△HGF 和△CGD 中，HG CG HGF CGD FG DG =??

∠=∠??=?

,

∴△HGF ≌△CGD, ∴HF=CD ，∠HFG=∠

CDG.

在Rt△BEF中，∵

1

2

EF

BE

=，∴tan∠EBF=

1

2

.

又矩形ABCD中，

1

2

AB

BC

=，∴

1

2

AB

AD

=,∴tan∠ADB=

1

2

，

∴∠EBF=∠ADB.

又AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC，∴∠EBF=∠ADB=∠DBC.

又∵∠EFD=∠EBF+∠BEF,即∠EFH+∠HFD=∠EBF+90°,

∵∠ADB+∠BDC=90°,∴∠EFH+∠HFD=∠EBF+∠ADB+∠BDC, ∴∠EFH=2∠EBF,即∠EFH=∠EBC.

在△EFH和△EBC中，

1

2

EF

BE

=，

1

2

HF

BC

=，∴

EF HF

BE BC

=.

又∠EBC=∠EFH，∴△EFH∽△EBC,

∴∠FEH=∠BEC，

∴∠HEC+∠CEF=∠BEF+∠CEF,

∴∠HEC=∠BEF=90°,∴△CEH是直角三角形.

∵G是CH的中点，∴EG=CG.

18.（2020·湖北孝感）如图，在ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE=DF.连接EF,分别与BC、AD交于点G、H.

求证：EG=FH.

（第18题图）

{解析}本题考查平行四边形性质和全等三角形的判定.先利用平行四边形的的性质得到AD ∥BC ，进而推出∠FHD=∠EGB,∠E=∠F.结合已知BE=DF.于是可证明△BEG ≌△DFH.从而得到EG=FH. {答案}证明：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB ∥CD, ∠ABC=∠CDA ∴∠E=∠F, ∠EBG=∠FDH.

在△EBG 和△FDH 中，E F BE DF EBG FDH ∠=∠??

=??∠=∠?

∴△EBG ≌△FDH(ASA) ∴EG=FH.

17．（2020·菏泽）如图，在△ABC 中，∴ACB =90°，点E 在AC 的延长线上，ED ⊥AB 于点D ，若BC ＝ED ，求证：CE ＝DB ．

{解析}先证△ABC ≌△AED ，得相关线段相等，再利用相等线段的和差关系得结论． {答案}证明：∴ED ⊥AB ，∴∴ADE =90°． ∴∴ACB =90°，∴∴ACB =∴ADE ．

在△AED 和△ABC 中，??

?

??=∠=∠∠=∠,,

,ED BC A A ADE ACB ∴△AED ≌△ABC ， ∴AE =AB ，AC =AD ，

∴AE －AC =AB －AD ， 即EC =BD ． 20．（2020·南通）（本小题满分5+6=11分）

（1）如图1，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AD ＝AE ，∠B ＝∠C ，求证：AB ＝AC ．

A

B

C

D E

{解析}（1）由角角边可以证明△ABE ≌△ACD 从而证得AB ＝AC ． {答案}解：（1） 在△ABE 和△ACD 中

B C A A AD AE ∠=∠??

∠=∠??=?

， ∴△ABE ≌△ACD （AAS ） ∴AB ＝AC ．

21．（2020·镇江）（本小题满分6分）

如图，AC 是四边形 ABCD 的对角线，∠1=∠B ，点 E 、F 分别在 AB 、BC 上，BE =CD ，BF =CA ，连接 EF ．

（1）求证： ∠D =∠2 ；

（2）若 EF//AC,∠D =78° ，求 ∠BAC 的度数．

{解析}（1）可先证明△BEF ≌△CDA ，然后根据全等得到∠D ＝∠2；（2）先求∠2＝78°，又由EF ∥AC ，∴∠BAC ＝∠2＝78°．

{答案}解： （1）在△BEF 和△CDA 中， 1BE CD B BF CA =??

∠=∠??=?

∴△BEF ≌△CDA ∴∠D ＝∠2．

（2）∵∠D ＝∠2，∴∠2＝78°． ∵EF ∥AC ，∴∠BAC ＝∠2＝78°． 23．（2020·常州）(8分)已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线±－^A //FB ，EA ＝FB ，AB ＝C D ．

（1）求证：∠E ＝∠F ；

（2）若∠A ＝40°，∠D ＝80°，求∠E 的度数．

A B

E

F

C

D

2

1A

B C

D

E

{答案}

,

,

. EA FB

A FBD AC BD

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴△EAC≌△FBD．

∴∠E＝∠F．

（2）∵△EAC≌△FBD，∴∠ACE＝∠D＝80°．

∵∠A＋∠E＋∠ACE＝180°，∴∠E＝60°．

{解析}解析：本题考查了全等三角形的判定和性质，（1）可先证∠A＝∠B，AC＝BD，然后利用SAS来证明两三角形全等；（2）由全等性质，先求出∠ACE＝∠D＝80°，然后利用三角形内角和定理求出∠E的度数．21．（2020?湘西州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．

（1）求证：△BAE≌△CDE；

（2）求∠AEB的度数．

（第21题图）

{解析}本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质．（1）利用等边三角形的性质得到∠AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，利用正方形的性质得到AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，所以∠EAB＝∠EDC＝150°，然后根据“SAS”判定△BAE≌△CDE；

（2）先证AB＝AE，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠ABE的度数．

{答案}解：（1）证明：∵△ADE为等边三角形，∴∠AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，

∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠CDA ＝90°，∴∠EAB ＝∠EDC ＝150°，

在△BAE 和△CDE 中，AB DC EAB EDC AE DE =??

∠=∠??=?

，∴△BAE ≌△CDE （SAS ）；

（2）∵AB ＝AD ，AD ＝AE ，∴AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∵∠EAB ＝150°，∴∠ABE 1

2

=（180°﹣∠EAB ）

1

2

=

（180°﹣150°）＝15°． 23.（2020·株洲）如图所示，

BEF 的顶点E 在正方形ABCD 对角线AC 的延长线上，AE 与BF 交于点G ，

连接AF 、CF ，满足ABF CBE △≌△．

（1）求证：90EBF ∠=?．

（2）若正方形ABCD 的边长为1，2CE =，求tan AFC ∠的值． {答案}（1）见解析；（2

）

2

{解析}（1）已知ABF CBE △≌△，根据全等三角形的对应角相等可得ABF CBE ∠=∠，再由

90ABF CBF ∠+∠=?，可得90CBF CBE ∠+∠=?，即可证得90EBF ∠=?；（2）由ABF CBE △≌△，根据全等三角形的对应角相等可得

AFB CEB ∠=∠，由对顶角相等可得FGA EGB ∠=∠，即可证得

90FAC EBF ∠=∠=?；又因正方形边长为1，2CE =

，可得AC =，2AF CE ==．在Rt △AFC 中，即

可求得tan 2

AFC ∠=

． （1）证明：∵ABF CBE △≌△， ∴ABF

CBE ∠=∠，

∵90ABF CBF

∠+∠=?，

∴90CBF CBE ∠+∠=?， ∴90EBF

∠=?．

全等三角形题型归类及解析

全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型 角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分 线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。 1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ， 连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。 2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ， ?PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系． 3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证：∠ABE=∠C ； (2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。 ． A B C D E P D A C B M N

5、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ） 2 1P F M D B A C E 6、如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ． （1） 若BD 平分∠ABC ，求证CE=1 2 BD ； （2） 若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范围； 若不变，求出它的度数，并说明理由。 8、如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ， 求证：AC=AE+CD ． 二、中点型 由中点应产生以下联想： E D C B A

初三中考数学全等三角形

全等三角形 一、选择题 1. (?年山东东营,第4题3分)下列命题中是真命题的是（） A．如果a2=b2，那么a=b B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．旋转前后的两个图形，对应点所连线段相等 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 考点：命题与定理． 分析：利用菱形的判定、旋转的性质及垂直平分线的性质对每个选项进行判断后即可得到正确的选项． 解答：解：A、错误，如3与﹣3； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题； C、旋转前后的两个图形，对应点所连线段不一定相等，故错误，是假命题； D、正确，是真命题， 故选D． 点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是理解菱形的判定、旋转的性质及垂直平分线的性质． 2．（?四川遂宁，第9题，4分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（） A．3B．4C．6D．5 考点：角平分线的性质． 分析：过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可． 解答：解：如图，过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE=DF， 由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD， ∴×4×2+×AC×2=7， 解得AC=3． 故选A．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．3．（?四川南充，第5题，3分）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（） A．（﹣，1）B．（﹣1，）C．（，1）D．（﹣，﹣1） 分析：过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出 ∠OAD=∠COE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可． 解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E， ∵四边形OABC是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°， 又∵∠OAD+∠AOD=90°，∴∠OAD=∠COE， 在△AOD和△OCE中，，∴△AOD≌△OCE（AAS）， ∴OE=AD=，CE=OD=1，∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（﹣，1）．故选A． 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 二、填空题 1．（?福建福州,第15题4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB， AC的中点，延长BC到点F，使 1 CF BC 2 ..若AB=10，则EF的长是．

人教版八年级上册数学 全等三角形专题练习(解析版)

人教版八年级上册数学全等三角形专题练习（解析版） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将 △DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______． 【答案】363 【解析】 【分析】 分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可； 【详解】 解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45° ∵∠C＝45° ∴∠AME＝∠C 又∵∠AME＞∠C ∴这种情况不成立； ②若AE＝EM ∵∠B＝∠AEM＝45° ∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135° ∴∠BAE＝∠MEC 在△ABE和△ECM中， B BAE CEN AE EII C ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ， ∴△ABE≌△ECM（AAS）， ∴CE＝AB6， ∵AC＝BC2AB＝3

∴BE ＝23﹣6； ③若MA ＝ME 则∠MAE ＝∠AEM ＝45° ∵∠BAC ＝90°， ∴∠BAE ＝45° ∴AE 平分∠BAC ∵AB ＝AC ， ∴BE ＝12 BC ＝3． 故答案为23﹣6或3． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键． 2．如图，ABC ?中，90BAC ∠=?，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 ①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则 ∠C=12 ∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于 ∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误．

全等三角形题型归类及解析

全等三角形题型归类及解析

全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型 角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。 1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ， 连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。 2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ， ?PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系． 3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证：∠ABE=∠C ； (2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5， AC=8，求DC 的长。 A B C D E P D A C B M N

二、中点型 由中点应产生以下联想： 1、想到中线，倍长中线 2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形 3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线 4、三角形的中位线 2、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF AC =； （2）求证：1 2 CE BF =

D A E F C H G B 3、如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关 系，并证明你的结论。 4、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的

2020中考数学 全等三角形与尺规作图(含答案)

2020中考数学全等三角形与尺规作图（含答案） A组基础题组 一、选择题 1.用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如下,则说明∠CAD=∠BAD的依据是( ) A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 2.尺规作图要求:Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线;Ⅱ.作线段的垂直平分线;Ⅲ.过直线上一点作这条直线的垂线;Ⅳ.作角的平分线. 下图是按上述要求排乱顺序的尺规作图: 则正确的配对是( ) A.①—Ⅳ,②—Ⅱ,③—Ⅰ,④—Ⅲ B.①—Ⅳ,②—Ⅲ,③—Ⅱ,④—Ⅰ C.①—Ⅱ,②—Ⅳ,③—Ⅲ,④—Ⅰ D.①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ 3.用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD,以下四个作图中,作法错误的是( ) 4.在△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线段BH的长度为( )

A. B.4 C.2 D.5 5.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,边AB的垂直平分线DE交AB于点E,交BC于点D,CD=3,则BC的长为( ) A.6 B.6 C.9 D.3 6.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,得到下列四个结论:①OA=OD;②AD⊥EF;③当∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形;④AE+DF=AF+DE.其中正确的是( ) A.②③ B.②④ C.①③④ D.②③④ 7.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,某同学在探究筝形的性质时,得到如下结论: ①AC⊥BD;②AO=CO=AC;③△ABD≌△CBD. 其中正确的结论有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、填空题 8.如图,OC为∠AOB的平分线.CM⊥OB,OC=5,OM=4.则点C到射线OA的距离为.

全等三角形压轴题及分类解析

B O D C E 图8 七年级下三角形综合题归类 一、 双等边三角形模型 1. （1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三 角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小； （2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 2. 已知:点C 为线段AB 上一点，△ACM,△CBN 都是等边三角形，且AN 、BM 相交于O. ① 求证：AN=BM ② 求 ∠AOB 的度数。 ③ 若AN 、MC 相交于点P ，BM 、NC 交于点Q ，求证：PQ ∥AB 。 （湘潭·中考题） 同类变式： 如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 图c 3. 如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点，易证： CD BE ，△AMN 是等边三角形． C B O D 图7 A E A B C M N O P Q

（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD BE =是否仍然成立？若成立,请证 明；若不成立，请说明理由； （2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请 给出证明，若不是，请说明理由． 同类变式：已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =， BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =； （2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 4. 如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ． （1）证明：△ABG ≌△ADE ； （2）试猜想∠BHD 的度数，并说明理由； 图9 图10 图11 图① 图②

中考数学全等三角形的复习课教学设计

全等三角形的复习（第1课时） 一、教材分析： 本节课是全等三角形的全章复习课，首先协助学生理清全等三角形全章知识脉络，进一步了解全等三角形的概念，理解性质、判定和使用；其次对学生所学的全等三角形知识实行查缺补漏，再次通过拓展延伸以的习题训练，提升学生综合使用全等三角形解决问题的水平，并对中考对全等三角形考察方向有一个初步的感知，为以后的复习指明方向。在练习的过程中，要注意强调知识之间的相互联系，使学生养成以联系和发展的观点学习数学的习惯. 二、学情分析 在知识上，学生经历全等三角形全章的学习，对全等三角形性质、判定以及应用基本掌握，初步具有整体理解，但因为间隔时间有点长所以遗忘较多，全等三角形是学习初中几何的基础和工具也是中考必考内容。对全等三角形的综合应用以及全章知识脉络的形成正是以上各种水平的综合体现，教学中要充分发挥学生的主体作用，通过复习学生在全等三角形的计算、证明对学生的推理水平、发散思维水平和概括归纳水平将有所提升. 三、教学目标 1.进一步了解全等三角形的概念，掌握三角形全等的条件和性质；会应用全等三角形的性质与判定解决相关问题. 2.在题组训练的过程中，引导学生总结出全等三角形解题的模型，培养学生归纳总结的水平，使学生体会数形结合思想、转化思想

在解决问题中的作用. 3.培养学生把已有的知识建立在联系的思维习惯，并鼓励学生积极参与数学活动，在活动中学会思考、讨论、交流与合作。 四、教学重难点 重点：全等三角形性质与判定的应用. 难点：能理解使用三角形全等解题的基本过程。 五、教法与学法 以“自助探究”为主，以小组合作、练习法为辅；在具体的教学活动中，要给予学生充足的时间让学生自主学习，先形成自己的全等三角形知识认知体系，尝试完成练习；给予学生充足的空间展示学习结果，通过讨论交流、学生互评、教师最后点评方式实现本节课的教学目的. 六、教具准备 多媒体课件， 七、课时安排 2课时 八、教学过程 本节课是全等三角形全章的复习课，本节课我主要采用学生“练后思”的模式，协助学生搜整《全等三角形》全章知识脉络，建构知识网络，通过基础训练、概念变式练习、典例探究、拓展应用等活动实行查缺补漏和拓展延伸；借助“基础了题目-变式题目-典型题目-拓展题目”五个梯次递进的教学活动达成教学目标，使用多媒体课件

全等三角形练习题及解析.doc

全等三角形练习题 一．选择题（共 3 小题） AD⊥BC 于点D，若∠ BAC=128°，∠C=36°，则∠ DAE的度数是（）1．（2012?梧州）如图，AE是△ ABC的角平分 线， A． 10°B．12°C． 15°D．18° 2．（ 2011?随州）如图，在△ ABC 中 E 是 BC上的一点， EC=2BE，点 D是 AC的中点，设△ ABC，△ ADF，△ BEF 的面积 分别为 S△ABC， S△ADF， S△BEF，且S△ABC=12，则 S△ADF﹣ S△BEF=（） A． 1 B．2 C． 3 D．4 3．（ 2009?内江）如图，小陈从O点出发，前进 5 米后向右转20°，再前进 5 米后又向右转20°，，这样一直走 下去，他第一次回到出发点O时一共走了（） A．60米B． 100米C．90米D． 120米 二．填空题（共 4 小题） 4．（ 2009?黔东南州）如图，某村有一块三角形的空地（即△ABC），其中 A 点处靠近水源，现村长准备将它分给甲、 乙两农户耕种，分配方案规定，按每户人口数量来平均分配，且甲、乙两农户所分土地都要靠近水源（即A点），已知甲农户有 1 人，乙农户有 3 人，请你把它分出来．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）．_________ ．

5．（ 2007?资阳）如图，对面积为 1 的△ ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB， BC， CA至点 A1，B1，C ，使得 A B=2AB， B C=2BC， C A=2CA，顺次连接 A ，B ， C ，得到△A B C ，记其面积为S ；第二次操作，分别延长 1111111 1 1 1 1 A1B1， B1C1，C1A1至点 A2，B2， C2，使得 A2B1=2A1B1， B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2， B2， C2，得到△A2B2C2，记其 面积为S2；；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5= _________ ． 6．（ 2012?通辽）如图，△S= _________．△CAO ABC 的三边AB、BC、CA长分别 为 40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO： 7．（ 2012?通辽）如图，梯形 ABCD中， AD∥BC， DC⊥BC，将梯形沿对角线处，若∠ A′BC=15°，则∠ A′BD的度数为_________．BD折叠， 点 A 恰好落在DC边上的 点 A′ 三．解答题（共 5 小题） 11．（2012?牡丹江）如图①，△ ABC H．易证 PE+PF=CH．证明过程如下： 中． AB=AC， P 为底边BC上一点， PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、 如图①，连接AP． ∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH． 又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC， ∴AB?PE+AC?PF=AB?CH． ∵AB=AC， ∴PE+PF=CH． （ 1）如图②， P 为 BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、 CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加 以证明： （ 2）填空：若∠ A=30°，△ ABC 的面积为49，点 P 在直线 BC上，且 P 到直线 AC的距离为PF，当 PF=3时，则 边上的高CH= _________．点P到AB边的距离PE= _________． AB 12．（ 2012?云南）如图，在△ ABC 中，∠ C=90°，点 D 是 AB边上的一点， DM⊥AB，且 DM=AC，过点 M作 ME∥BC 交AB于点 E． 求证：△ ABC≌△ MED．

中考数学专项复习之全等三角形的相关模型总结

全等的相关模型总结 一、角平分线模型应用 1.角平分性质模型： 辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC （1）例题应用： ①如图1，在中ABC ?，,cm 4,6,900 ==∠=∠BD cm BC CAB AD C 平分，那么点D 到直线AB 的 距离是 cm. ②如图2，已知，21∠=∠，43∠=∠.BAC AP ∠平分求证：. 图1 图2 ①2 （提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E ） ②21∠=∠ ，PN PM =∴，43∠=∠ ，PQ PN =∴，BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分,.

(2).模型巩固： 练习一：如图3，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=CD ，BD 平分BAC ∠. .求证：?=∠+∠180C A 图3 练习二：已知如图4，四边形ABCD 中， ..,1800BAD AC CD BC D B ∠==∠+∠平分求证： 图4 练习三：如图5，,,900 CAB AF D AB CD ACB ABC Rt ∠⊥=∠?平分，垂足为，中，交CD 于点E ， 交CB 于点F. (1)求证：CE=CF. (2)将图5中的△ADE 沿AB 向右平移到' ' ' E D A ?的位置，使点' E 落在BC 边上，其他条件不变，如图6所示，是猜想：' BE 于CF 又怎样的数量关系？请证明你的结论.

图5 图6 练习四：如图7，90A AD BC =?，∠∥，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC ． 求证：CP 平分∠DCB ． 图7 练习五：如图8，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ．求证：BE=CF ． 图8 练习六：如图9所示，在△ABC 中，BC 边的垂直平分线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于点D ，F 为垂足，DE ⊥AB 于E ，并且AB>AC 。求证：BE －AC=AE 。 A D E C B P 2 1 4 3

全等三角形专项训练及答案解析

初中数学专项训练：全等三角形 一、选择题 1．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是 A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC 2．如图，在△ABC和△DEB中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC，不能添加的一组条件是 A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D 3．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=? 60，CP2 =，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是 A．2 B．2 C．3D．3 2 4．如图，在四边形ABCD中，对角线AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有【】 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 5．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（） A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD 6．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（） A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC 7．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三 条直线l 1，l 2 ，l 3 上，且l 1 ，l 2 之间的距离为1 , l 2 ，l 3 之间的距离为2 , 则AC的长是（）

A ．26 B ．52 C ．24 D ．7 二、填空题 8．如图，已知∠C=∠D ，∠ABC=∠BAD ，AC 与BD 相交于点O ，请写出图中一组相等的线段 ． 9．如图，在Rt△ABC 中，∠A=Rt ∠，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD=3，BC=10，则△BDC 的面积是 。 10．如图，已知BC=EC ，∠BCE=∠ACD ，要使△ABC≌△DEC ，则应添加的一个条件为 ．（答案不唯一，只需填一个） 11．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于E ，交BC 的延长线于F ，若∠F=30°，DE=1，则BE 的长是 ． 12．如图，△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF ⊥AE 于F ，AB=5，AC=2，则DF 的长为 ． 13．如图，在△ABC 和△DEF 中，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，BF = CE ，AC ∥DF ，请添加一个条件，使△ABC ≌△DEF ，这个添加的条件可以是 ．（只需写一个，不添加辅助线） 14．如图，点O 是△ABC 的两条角平分线的交点，若∠BOC ＝118°，则∠A

2018人教版中考数学《全等三角形》专项练习

全等三角形 一、选择题 1、（2018 苏州二模）如图,ABC ?和EFG ?均是边长为2的等边三角形,点D 是边BC 、EF 的中点,直线AG 、FC 相交于点M .当EFG ?绕点D 旋转时,线段BM 长的最小值是 （ ） A. 211- 答案：D 2、（2018青岛一模）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=5cm ，AC=4cm ，点D 在AC 上，将△BCD 沿着BD 所在直线翻折，使点C 落在斜边AB 上的点E 处，则DC 的长为（ ） A ． cm B ． cm C ．2cm D ． cm 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【分析】首先由勾股定理求出BC ，由折叠的性质可得∠BED=∠C=90°，BE=BC=3cm ，得出AE=AB ﹣BE=2cm ，设DC=xcm ，则DE=xcm ，AD=（4﹣x ）cm ，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：∵∠C=90°，AB=5cm ，AC=4cm ， ∴BC= =3cm ， ∵将△BCD 沿着直线BD 翻折，使点C 落在斜边AB 上的点E 处， ∴△BED ≌△BCD ， ∴∠BED=∠C=90°，BE=BC=3cm ， ∴AE=AB ﹣BE=2cm ， 设DC=xcm ，则DE=xcm ，AD=（4﹣x ）cm ， 由勾股定理得：AE 2+DE 2=AD 2 ， 即22+x 2=（4﹣x ）2 ， 解得：x=． 故选：B ． 3．(2018·新疆乌鲁木齐九十八中·一模)如图，边长为2a 的等边三角形ABC 中，M 是高CH 所在直线上的一个动点，连接MB ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接HN ．则在点M 运动过程中，线段HN 长度的最小值是（ ）

初二数学之全等三角形及解析

初二数学之全等三角形 及解析 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

初二数学的全等三角形一．选择题（共5小题） 1．（2016春?龙口市期末）如图，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．（2016春?永新县期末）如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的一点，若△ADE≌△CFE，则下列结论中不正确的是（） A．AD=CF B．AB∥CF C．AC⊥DF D．E是AC的中点 3．（2016?黔东南州）如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，点O是AB的中点，且AB=，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD+CE=（） A．B．C．2 D． 4．（2016?铜仁市）如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于（） A．1 B．2 C．4 D．8 5．（2016?湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（） A．8 B．6 C．4 D．2 二．填空题（共2小题） 6．（2016?南京）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论：

①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC． 其中所有正确结论的序号是______． 7．（2016?潮州校级一模）如图，AB∥CF，E为DF的中点，AB=10，CF=6，则 BD=______． 三．解答题（共5小题） 8．（2016?湖北襄阳）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F． （1）求证：AB=AC； （2）若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长． 9．（2016?宜宾）如图，已知∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC． 求证：BC=AD． 10．（2015秋?增城市校级期中）如图，在△ABC中，∠1=∠2，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：∠B=∠C． 11．（2014秋?上饶校级月考）已知如图，AC=AE，AD=AB，∠ACB=∠DAB=90°，AE∥CB，AC、DE交于点F． （1）求证：∠DAC=∠B； （2）猜想线段AF、BC的关系． 12．（2015?陕西）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE． 初二数学的全等三角形 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题）

中考数学专题复习(含答案)-全等三角形

2014中考数学专题复习全等三角形 一、选择题 1.（2010 年河南模拟）如图，给出下 列四组条件： ①AB DE BC EF AC DF ，，； === ②AB DE B E BC EF ，，； =∠=∠= ③B E BC EF C F ，，； ∠=∠=∠=∠ ④AB DE AC DF B E ，，． ==∠=∠ 其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（） A．1组B．2组C．3组D．4组 答案：C 2.（2010年河南中考模拟题3）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E 是斜边BC上两点，且∠DAE=450，将△ADC绕点A顺时针旋转900后，得到△AFB，连接ＥＦ，下列结论：（１） △ＡＥＤ≌△ＡＥＦ；（２）△ＡＢＥ∽ △ＡＣＤ；（３）ＢＥ＋ＤＣ＝ＤＥ；（４） ＢＥ２＋ＤＣ２＝ＤＥ２．其中正确的是 （） A．（2）（4） B．（1）(4) C．(2) (3) D．(1) (3) 答案：B 1 / 12

2 / 12 二、填空题 1.（2010年山东新泰）如图，在△ABC 和△ADE 中， 有以下四个论断：① AB＝AD ，② AC＝AE ，③ ∠C ＝∠E，④ BC＝DE ，请以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出一个真命题（用序号“?????”的形式写出）： ． 答案：①②④?③，或 ②③④?①； 2.（2010年浙江杭州）在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8， BC ＝10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为 ． 答案：2.4 三、解答题 1.（2010年 河南模拟）已知：如图，已知：D 是 △ABC 的边AB 上一点，CN ∥AB ，DN 交AC 于，若 MA=MC ， 求证：CD=AN. 证明：如图，因为 AB ∥CN 所以 21∠=∠ 在AMD ?和CMN ?中 ?????∠=∠=∠=∠CMN AMD CM AM 21 第1题 第1题 第1题图

最新人教版中考数学专题复习全等三角形讲义与习题练习(含答案)

全等三角形 ◆课前热身 1.已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ） A.72° B.60° C.58° D.50° 2.一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ） A ．7 B ．9 C ．12 D ．9或12 3.如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 ABC ADC △≌△的是（ ） A ．C B CD = B ．BA C DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠ D ．90B D ==?∠∠ 4.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝DC ，AC 、BD 交于点O ，则图中全等三角形共有（ ） A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对 【参考答案】 1. D 2. C 分析：等腰三角形有两种情况：（1）2、2、5；（2）5、5、2；（1）不满足三角形三边关系，所以只有5、5、2；周长=12 3. C 4. B ◆考点聚焦 知识点 全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定 大纲要求 1.了解全等形，全等三角形的概念和性质，逆命题和逆定理的概念； 2.理解全等三角形的概念和性质。掌握全等三角形的判定公理及其推论，并能应用他们进行简单的证明和计算。 A D O A B C D

3.学会演绎推理的方法，提高逻辑推理能力和逻辑表达能力，掌握寓丁几何证明中的分析，综合，转化等数学思想。 考查重点与常见题型 论证三角形全等，线段的倍分，常见的多为解答题 ◆备考兵法 1．证边角相等可转化为证三角形全等，即“要证边相等，转化证全等．?”全等三角形是证明线段、角的数量关系的有力工具，若它们所在的三角形不全等，可找中间量或作辅助线构造全等三角形证明．在选用ASA 或SAS 时，一定要看清是否有夹角和夹边；要结合图形挖掘其中相等的边和角（如公共边、公共角和对顶角等），若题目中出现线段的和差问题，往往选择截长或补短法． 2．本节内容的试题一改以往“由已知条件寻求结论”的模式，?而是在运动变化中（如平移、旋转、折叠等）寻求全等．对全等三角形的考查一般不单纯证明两个三角形全等，命题时往往把需要证明的全等三角形置于其他图形（如特殊平行四边形）中，或与其他图形变换相结合，有时也还与作图题相结合；解题时要善于从复杂的图形中分离出基本图形，寻找全等的条件． ◆考点链接 1．全等三角形:____________、______________的三角形叫全等三角形. 2. 三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定除以上的方法还有________. 3. 全等三角形的性质：全等三角形___________，____________. 4. 全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等. ◆典例精析 例1（山西太原）如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则A C A '∠的度数为A ．20° B ．30° C ．35° D ．40° 【解析】本题考查全等三角形的性质，ACB A C B '''△≌△， ∴∠ACB=∠A′CB′， ∴ACA '∠=BCB ∠'=30°，故选B ． 【答案】B 例2（河南）如图所示，∠BAC ＝∠ABD ,AC ＝BD ，点O 是AD 、BC 的交点，点E 是AB 的中点. C B B ' A '

全等三角形—知识讲解及典型例题解析

中考总复习：全等三角形—知识讲解及典型例题解析 【考纲要求】 1.掌握全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素； 2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式； 3. 善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等，灵活选择适当的方法判定两个三 角形全等. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、基本概念 1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2.全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等； （2）全等三角形对应角相等. 要点诠释： 全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等. 3.全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)； （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)； （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)； （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL). 考点二、灵活运用定理 三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点： 1. 条件充足时直接应用判定定理 要点诠释：在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等． 2. 条件不足，会增加条件用判定定理 要点诠释：此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索

2020年中考数学全等三角形专题复习讲义(含答案)

2020年中考数学全等三角形专题复习讲义 一、基础达标训练 1. 下列说法正确的是() A. 全等三角形是指形状相同的两个三角形 B. 全等三角形是指面积相等的两个三角形 C. 两个等边三角形是全等三角形 D. 全等三角形是指两个能完全重合的三角形 2. 如图，在△AB C和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，补充下列哪一条件后， 能应用“SAS”判定△ABC≌△DEF() 第2题图 A. ∠A＝∠D B. ∠ACB＝∠DFE C. AC＝DF D. BE＝CF 3.如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠F AB ＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠F AC，其中正确结论的个数是() 第3题图第4题图 4.如图，EF过?ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若?ABCD的

周长为18，OE ＝1.5，则四边形EFCD 的周长为( ) A. 14 B. 13 C. 12 D. 10 5.如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，已知FB ＝CE ，AC ∥DF ，请你添加一个适当的条件________使得△ABC ≌△DEF . 第5题图 第6题图 6. 如图，Rt △ABC ≌Rt △DCB ，两斜边交于点O ，如果AC ＝3，那么OD 的长为________． 7.△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD 是△ABC 的中线，设AD 长为m ，则m 的取值范围是________． 第8题图 8. 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，下列结论中：①∠ABC ＝∠ADC ；②AC 与BD 相互平分；③AC ，BD 分别平分四边形ABCD 的两组对角；④四边形ABCD 的面积S ＝1 2AC ·BD . 正确的是__________．(填写所有正确结论的序号) 9.如图，点E 、C 在线段BF 上，BE ＝CF ，AB ＝DE ，AC ＝DF . 求证：∠ABC ＝∠DEF .

八年级全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)

八年级全等三角形（培优篇）（Word版含解析） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，已知等边ABC ?的边长为8，E是中线AD上一点，以CE为一边在CE下方作等边CEF ?，连接BF并延长至点,N M为BN上一点，且5 CM CN ==，则MN的长为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】 作CG⊥MN于G，证△ACE≌△BCF，求出∠CBF=∠CAE=30°，则可以得出 1 2 4 CG BC ==，在Rt△CMG中，由勾股定理求出MG，即可得到MN的长． 【详解】 解：如图示：作CG⊥MN于G， ∵△ABC和△CEF是等边三角形， ∴AC=BC，CE=CF，∠ACB=∠ECF=60°， ∴∠ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE， 即∠ACE=∠BCF， 在△ACE与△BCF中 AC BC ACE BCF CE CF = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△ACE≌△BCF（SAS）， 又∵AD是三角形△ABC的中线 ∴∠CBF=∠CAE=30°， ∴ 1 2 4 CG BC ==， 在Rt△CMG中，2222 543 MG CM CG =-=-， ∴MN=2MG=6，

故答案为：6． 【点睛】 本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ACF ≌△BCF ． 2．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____． 【答案】10 【解析】 利用正多边形的性质，可得点B 关于AD 对称的点为点E ，连接BE 交AD 于P 点，那么有PB=PF ，PE+PF=BE 最小，根据正六边形的性质可知三角形APB 是等边三角形，因此可知BE 的长为10，即PE+PF 的最小值为10. 故答案为10. 3．如图，在01A BA △中，20B ∠=?，01A B A B =，在1A B 上取点C ，延长01A A 到2A ，使得121A A AC =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…，按此做法进行下去，第n 个等腰三角形的底角n A ∠的度数为__________．

中考数学专题复习全等三角形压轴题分类解析

. 三角形综合题归类 考点：利用角相等证明垂直 1. 已知 BE ，CF 是△ABC 的高，且 BP=AC ，CQ=AB ，试确定 AP 与 AQ 的数量关系和位置关系 Q A F D E P B C 2. 如图，在等腰 △R t ABC 中，∠ACB =90°，D 为 BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为 E ，过点 B 作 BF ∥AC 交 DE 的延长线于点 F ，连接 CF ．(1)求证：CD=BF ；(2)求证：AD ⊥CF ；(3)连接 AF ， 试判断△ACF 的形状. 拓展巩固：如图 9 所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是 BC 边上的中线， 过 C 作 AD 的垂线，交 AB 于点 E ，交 AD 于点 F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ． C F D A 图 9 E B 3. 如图1，已知正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 DEFG 的边 DE 上，连接 AE ， GC . （1）试猜想 AE 与 GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论； （2）将正方形 DEFG 绕点 D 按顺时针方向旋转，使 E 点落在 BC 边上，如图2，连接 AE 和 GC .你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由 A F E B D C

4.如图 1， ?ABC 的边 BC 在直线 l 上， AC ⊥ BC , 且 AC = BC , ?EFP 的边 FP 也 在直线 l 上，边 EF 与边 AC 重合，且 EF = FP （1） 在图 1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出 AB 与 AP 所满足的 数量关系和位置关系； （2） 将 ?EFP 沿直线 l 向左平移到图 2 的位置时， EP 交 AC 于点 Q ,连接 AP , BQ .猜想并写出 BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将 ?EFP 沿直线 l 向左平移到图 3 的位置时， EP 的延长线交 AC 的延长 线于点 Q,连结 AP , BQ ,你认为（2）中所猜想的 BQ 与 AP 的数量关系和位置关系和位置 关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由. A (E) E A E A Q F P B C B C (F) P (3) l Q (1) B F (2) C P l 等腰三角形（中考重难点之一） 考点 1：等腰三角形性质的应用 1. 两个全等的含 30 ，60 角的三角板 ADE 和三角板 ABC ，如图所示放置，E, A, C 三点在 一条直线上，连结 BD ，取 BD 的中点 M ，连结 ME, MC ．试判断 ?EMC 的形状，并说 明理由． M B D l E A C 压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知 Rt ?ABC 中， AC = BC ， ∠C = 90? ， D 为 AB 边 的中点， ∠EDF = 90? ， ∠EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC 、 CB （或它们的延长线） 于 E 、 F ．