当前位置：文档库 › 数理统计与随机过程复习题

数理统计与随机过程复习题

数理统计与随机过程复习资料

第一章抽样与抽样分布

1.设母体),N(~2

σμX ，),,...,,(0n 21X X X X 是来自母体的一个子样，若

X X Y X X S X X 02n 1i i 2

n 1i i )(n 1n 1-=-==∑∑==，，

问C 为何值时，CY 服从t 分布，并给出其自由度。

2.设母体)1,0N(~X ,),,,,,(654321X X X X X X 是来自母体的一个容量为6的子样，设

26542321)()(X X X X X X Y --+++=，求常数C ，使CY 服从2χ分布。

3.设11,,,n n X X X + 是来自总体2(,)N μσ的简单样本，记2

,n X S 为前n 个样本的均值和方

差，试求证：1(1)1n n

X X

n T t n n S +-=-+ 。

第二章参数估计

1.设母体p),B(~μX （二项分布），其中：N 已知，p 是未知参数。求p 的最大似然估计量。并确定所得估计量的无偏性和相合性。

2.设母体p),B(~μX （二项分布），求参数N ，p 的矩估计量。

3.设21,X X 为母体),N(2

σμ的一个子样，21X X Y βα+=，当βα、为何值时，Y 为μ的无偏估计量且方差最小。

4.设n 21,...,,X X X 为母体),N(2

σμ的一个子样，∑==n

i i

i X

Y λ，当n 21,...,,λλλ满足什么条

件时，Y 为μ的无偏估计量，并求方差。

5.设n 21,...,,X X X 为母体),N(2

σμ的一个子样，求常数C ，使2

-n 1

i 1i )(X X

C ∑=+-为2σ的无偏估计。

6.设母体X 的密度函数为

???∈-=),(,0),(,1

)(p b a x b a x a

b x a 与b 为参数，求a 与b 的矩估计。

7.设母体),N(~2σμX （正态分布），其中：μ和2σ为参数。求μ和2

σ的最大似然估计量。并确定所得估计量的无偏性；若是有偏，进行修正。

8.设母体X 的分布密度为

???<<=其他

,010,x )(f 1-x x θθ，其中0>θ，求参数θ的最大似然估计量。

9.设母体),0U(~θX （均匀分布），θ为参数，n 21,...,,X X X 为母体的一个子样，50n ≥，求参数θ的置信概率α-1的置信区间。

10.设母体),N(~2σμX （正态分布），其中2

σ为未知参数，）（n 21,...,,X X X 为母体的一个子样，求母体平均数μ的置信概率为α-1的置信区间。

11.两台机床加工同一种零件，分别抽取6个和9个零件，测量其长度计算得到

357.0245.02*2

2*1

==S S ，.。假定各台机床零件长度服从正态分布。求两个母体方差比2

1σσ的置信区间（α-1=0.95）。

12.设()1,,n X X 是取自总体X 的一个样本，总体X 的密度函数为

()(),;0,

x e x f x θθ

θ--?≥=?

?其余（1）求θ的矩估计和极大似然估计；

（2）θ的矩估计和极大似然估计是否为无偏的。

第三章假设检验

1.设母体),N(~2

x x σμX 和),N(~2

y y σμY ，）（m 21,...,,X X X 和）（n 21,...,,Y Y Y 分别是来自母体X 和母体Y 的独立子样。给定显著水平10<<α，检验假设，

2x 02y 2x 0::σσσσ≠=H H ，

2.设）（m 21,...,,X X X 和）

（n 21,...,,Y Y Y 分别是来自母体1Z 和母体2Z 的独立子样，且 50n ,50m ,,;,2222112211≥≥====σσμμDZ DZ EZ EZ 。给定显著水平10<<α，检验

假设，

210210::μμμμ≠=H H ，

第四章方差分析

1.下表给出某种化工过程在三种浓度、四种温度水平下的得率数据：

取显著水平05.0=α，在不考虑交互作用的条件下，检验浓度和温度对得率是否有显著影响？

浓度（%）温度（℃） 10 24 38 52

2 10 11 9 10 4 7 8 7 6 6

13 12

2.在一元方差分析中，)r ...,21i ;...n 21j (i ij i ij ，，，，

==++=εαμX ，而0n i

i i =∑=α

，试求i

α的无偏估计量及其方差。

3.在一元方差分析中，)r ...,21i ;...n 21j (i ij i ij ，，，，==++=εαμX ，证明0n i

i i =∑=α

。

4.一元方差分析中，证明

0)X X )(X (X

r 1i i i n 1

j ij

=--∑∑==。

第五章回归分析

1.现观测x 与y 的观测值如下

i x 1 2 5 10 15 i y 3 10 17 25 30

求y 与x 的经验回归直线方程。

2.某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量与消光系数的结果如下：尿汞含量i x 2 4 6 8 10

消光系数i y 64 138 205 285 360

1)..求y 与x 的经验回归直线方程；

2)..取05.0=α，检验y 与x 的线性关系是否显著？

第一章随机过程基本概念第二章二阶矩过程及随机分析

1.若{}0),(≥=t t X X T 是参数为1的维纳过程，随机过程0t du )u ()t (0

≥=

?，t

X Y ，求

)53()53(，，，XY Y R R 。

2.设随机过程{}+∞<<-∞=t t X X T ),(的均值函数和自相关函数分别为： )cos()t ,s (,t sin )t (m 2X t s R X -== 1).确定该随机过程的均方可导性、均方连续性和均方可积性。 2).若)()('

t X t Y =，求)t ,s (),t (m Y Y R . 3).若du )u ()t (0

X Z ，求)t ,s (),t (m

Z Z

R 。

4).求)t ,s (),t ,s (XZ XY R R 。

3.设随机过程{}]U[0,2~,),(cos )(πφφω+∞<<-∞+=t t t X ，ω为非负参数，求该随机过程的均值函数和自相关函数。

4.设)()('

t X t Y =，2

)(X )t ,s (,sint )t (m t s X e R --==，求随机过程)(t Y 的均值函数和自相关函数。

5.给定随机过程{}0),(≥=t t X X T ，)cos()t ,s (,t cos )t (m X t s R X -==，求随机过程

du )u ()t (0

?=t

X Z 的均值函数和自相关函数。

6.设{},...2,1n ,n =X 是相互独立的随机变量序列，各随机变量的分布律为：

{}{}2

n 2

n /110,/1n n X P n X P -====

确定该序列是否均方收敛？

第三章马尔可夫过程

1.设{}321，，=E ,一步转移概率矩阵为：

14121412141401434P ??

?= ? ???

初始分布为12312,13,16,p p p ===

(1) 试求{(0)1,(2)3}P X X == ，{(2)2}P X = ; (2) 此链是否具有遍历性? 若是，求平稳分布。

2.设马尔可夫链的状态空间为{}54,321，，，=E ，一步转移概率矩阵为：

???

????

????????=6.004.00

000107.003.000

08.000

2.000

010

1).画出状态传递图，确定该马尔可夫链的闭集； 2).计算33n

3311n

11f f f f ，，，；），（...2,1n =； 3).确定该马尔可夫链状态的分类及周期性。

3.设马尔可夫链的状态空间为{}54,321，，，=E ，一步转移概率矩阵为：

???????

?????????=5.00005.005.0005.09.01.00008.02.000000

7.03.00P

1).该马尔可夫链否具有遍历性? 若有，求平稳分布，并求个状态的平均返回时间。 2).若{}()())(i )0(i

-53

21-i 321-i 4

E i C X P ∈==，计算{}4)3(,2)2(,1)1(===X X X P 。

概率论与数理统计复习题带答案

;第一章一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=, P(B) = , 则 P(A－B)=（）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击中敌机的概率为．求敌机被击中的概率为（）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为 ++）。（AB AC BC 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为，，，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（AB AC BC）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=, P(B) = , 则 P(A|B)=（）； 9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击中敌机的概率为．求敌机被击中的概率为（）； A-)=（）10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=, P(B) = , 则 P(B 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为，，，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（）。 A)=（）; 12.若事件A?B且P（A）=, P(B) = , 则 P(B A)=（） 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=, P(B) = , 则 P(B 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B=（ S ） 15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为 ++）（ABC ABC ABC

中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案

（1）设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。解：由定义，有： )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D （2）试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马尔可夫过程。证明：我们要证明： n t t t <<<≤? 210，有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有： } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立，结果成立。（3）设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程，且对每个0>t ，),(~2t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？解：任取n t t t <<<≤? 210，则有： n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=-

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

随机过程习题答案A

随机过程习题解答（一）第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。（a）分别写出随机变量和的分布密度（b）试问：与是否独立？说明理由。解：（a）（b）由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。（a）试求和的相关系数；（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。解：（a）利用的独立性，由计算有：（b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中：

式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。（a）求的均值、方差和相关函数；（b）若与独立，求与Y的互相关函数。解：（a）（b）第二讲作业： P33/2．解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有：反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中由题意可知，的联合概率密度为：

利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：因此有：且V和相互独立独立。（2）典型样本函数是一条正弦曲线。（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。（4）由于：所以因此当时，当时，由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有：

P37/10. 解：（1）当i =j 时；否则令，则有第三讲作业： P111/7．解：（1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。（2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：（2）由齐次马氏链的性质，有：（2）

期末随机过程试题及标准答案

《随机过程期末考试卷》 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-t t 则 {(5)6|(3)4}______P X X === 9．更新方程()()()()0t K t H t K t s dF s =+-?解的一般形式为。 10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分） 1.设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式： P(BC A)=P(B A)P(C AB)。 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1

随机过程习题

2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-

求（1）{}X(t),t (,)∈-∞+∞的样本函数集合；（2）一维分布函数F(x;0),F(x;1)。解：（1）样本函数集合为{}cos t,t ,t (-,+)π∈∞∞；（2）当t=0时，{}{}1 P X(0)=0P X(0)=12 == ，故0x<01F(x;0)=0x<12x 11???≤??≥??；同理0 x<-11F(x;1)=1x<12x 11 ??? -≤??≥?? 3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为α，而今天无雨明天有雨的概率为β；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设 0.7,0.4αβ==，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为00 011011p p 0.70.3P=p p 0.40.6???? =? ???? ???，于是(2) 0.610.39P PP=0.520.48??=????，四步转移概率矩阵为(4)(2)(2) 0.57490.4251P P P 0.56680.4332??==???? ，从而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为(4) 00P 0.5749=。 4.一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1和3是两个反射壁，当质点处于2时，下一时刻处于1,2,3是等可能的。写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。解：一步转移概率矩阵010111P=333010????? ????? ?? ， 111333 (2)271 199911133 3,????==?????? P P (2)ij p 由>0知，此链有遍历性；(),,ππππ123设极限分布=， 1 1

随机过程试题及答案

一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-

随机过程习题和答案

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。解：当时，＝＝ 1.2 设离散型随机变量X 服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解：所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。解：（1）

与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。试求它们的互协方差函 2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？ 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分

钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。解：法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ---- 1 2 2 121 2 1 11221 11222100 12()exp() exp()(1)! (1)! N N t N N N N P T T dt t t t t dt N N λλλλ∞ --<=----??

概率论与数理统计复习题

概率论与数理统计复习题一、填空题 1．若()0.4,()0.5,()0.4,P A P B P A B ===则 ()____P A B =U . 2．设2(),(),E X D x μσ==由切比雪夫不等式知{}22P X μσμσ-<<+≥ . 3．设总体),(~2 σμN X ，2σ未知，检验假设00:μμ=H 的检验统计量为。 4．已知，A , B 两个事件满足条件)()(B A P AB P Y =，且p A P =)(，则=)(B P 。 5．设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，如果已知A 至少出现一次的概率等于27 19 ，则事件A 在一次试验中出现的概率为。 6．同时抛掷3枚硬币，以X 表示出正面的个数，则X 的概率分布为。 7．设随机变量X 的概率密度为? ??<<=,,0, 10,2)(其他x x x f 用Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件? ?? ? ??≤21X 出现的次数，则{}==2Y P 。 8．设随机变量X ～),2(2 σN ，且{}3.042=<>=+-,, 0,1,1,),(21其他y x x e y x f y 则=)(x f X 。 12．设随机变量X 的分布律为 =)(2X E 。 13．设随机变量X 的概率密度为 ?????+∞<<=其他, 01,)(3 x x A x f 则A = 。 14．设)4,1(~N X ，则=)(X E ，=)(X D 。

随机过程习题和答案

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。解：当时，＝＝ 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解：

所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。解：（1）

为多少？ 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。以小时为单位。则((1))30E N =。 40 30 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。解：法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= --

随机过程复习试题及答案

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。证明：当12n 0t t t t <<< <<时， 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1

概率论与数理统计复习题

概率论与数理统计复习题九、最大似然估计例：设总体X 的概率密度为 ?? ?<<+=其他 ,0 1 0,)1()(x x x f θθ 其中未知参数θ1->，n X X X ,,21是取自总体的简单随机样本，用极大似然估计法求θ的估计量。解：设似然函数),,2,1;1 0()1()(1 n i x x L i n i i =<<+=∏=θ θθ 对此式取对数，即： ∑=++=n i i x n L 1ln )1ln()(ln θθθ且∑=++=n i i x n d L d 1 ln 1ln θθ 令 ,0ln =θ d L d 可得∑=--=n i i x n 1 ln 1?θ ，此即θ的极大似然估计量。例：设总体X 的概率密度为 )0,0(,0,00,)(1>>?? ???≤>=--a x x e ax x f a x a λλλ 据来自总体X 的简单随机样本),,,(21n X X X ，求未知参数λ的最大似然估计量。（同步39页三、3）解：由?? ???≤>=--0,00 ,)(~1x x e ax x f X a x a λλ 得总体X 的样本),,,(21n X X X 的似然函数 ∑∑∑=-=-=--==n i a i n i a i n x n i a i n x x a e ax x x x L a i 1 11 1 121]exp[)(),,,,(λλλλλ 再取对数得： ∑∑==-+-=n i i n i a i x a x a n L 1 1 )ln()1()ln(ln λ λ

再求L ln 对λ的导数：∑=-=n i a i x a an d L d 1ln λλ 令0ln 1 =-=∑=n i a i x a an d L d λλ，得∑== n i a i x n 1 λ 所以未知参数λ的最大似然估计量为 ∑=n i a i x n 1 。练习：设总体X 的密度函数为 )0(01 0),(1???><<=-ααααothers x x x f X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的一组样本，求参数α的最大似然估计（同步52页三、5）十、区间估计总体X 服从正态分布N (μ,σ2), X 1,X 2,…,X n 为X 的一个样本 1：σ2已知,求μ的置信度为1-α置信区间 2：σ2未知,求μ的置信度为1-α置信区间 3：求σ2置信度为1-α的置信区间例：设某校学生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽查10名女生，测得数据经计算如下：43.18,67.1622 ==s x 。求该校女生平均身高的95％的置信区间。解： )1(~--= n t n S u X T ,由样本数据得05.0,43.18,67.162,102====αs x n 查表得：t 0.05(?)=2.2622,故平均身高的 95％的置信区间为 (X u X u α α -+))1(,) 1((n S n t X n S n t X -+--αα) S )1n (,S )1n (() 1n (2 122 ) 1n (2 22-----ααχ χ

学期数理统计与随机过程(研)试题(答案)

北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷学号姓名成绩注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》浙江大学盛骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2009年12月31日一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？解：这是单个正态总体 ),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ，计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝 0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语成绩为85分.

050.= 解：由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p

随机过程复习题(含答案)

随机过程复习题一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ，，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ?????? ?? ????????? ?=434 103 13131043 411)(P ，则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P

???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ，则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2

概率论与数理统计复习题答案

概率论与数理统计复习题一．填空题 1．设, , A B C 为三个事件,用, , A B C 的运算关系式表示下列事件： , , A B C 都发生_____________；, , A B C 中不多于一个发生______________. 解：ABC ； AB BC AC ABC ABC ABC ABC ??=??? 2.一副扑克牌共52张，无大小王，从中随机地抽取2张牌，这2张牌花色不相同的概率为解：2114131325213 17C C C p C ==或者124132 5213117 C C p C =-= 3.同时掷甲、已两枚骰子，则甲的点数大于乙的点数的概率为解：155 {(,)|,1,,6},{},()3612 S i j i j A i j P A ===>= =L 4.设随机事件A 与B 相互独立，()0.5,()0.6P A P B ==，则()P A B -＝，()P A B ?＝。解：()()()()0.2P A B P AB P A P B -===, ()()()()()0.8P A B P A P B P A P B ?=+-= 5.已知6 1 )(,31)|(,41)(=== B P A B P A P ，则()P A B ?=______________. 解：111()()(|)4312P AB P A P B A ==?=，1 ()()()()3 P A B P A P B P AB ?=+-= 6.已知()0.6,()0.3P A P AB ==,且,A B 独立,则()P A B ?= . 解：()()()0.3()0.5()0.5P AB P A P B P B P B ==?=?= ()()()()()()()()0.8P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-= 7.已知 P(A)=,P(B)=,且A,B 互不相容，则()_____,()_____P AB P AB ==. 解：()()()0.3,()()()0.3P AB P B P AB P AB P A P AB =-==-= 或()()1()()0.3P AB P A B P A P B =?=--= 8.在三次独立的实验中，事件B 至少出现一次的概率为19/27，若每次实验中B 出现的概率均为p, 则p=_______________ 解：设X 表示3次试验中事件B 出现的次数，则(3,)X B p :， 3191{1}1{0}1(1),273 P X P X p p ≥=-==--= ∴= 9.设(),0X P λλ>:，则X 的分布律为

随机过程习题答案

1、已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx 和my ，它们的自相关函数分别为Rx()和Ry()。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。答案：（1）[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== ：独立的性质和利用（2）[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +?+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。答案：（1）该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω +=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为： ()2 20212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数： ()??∞ ∞-Ω∞ ∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)( R C 电压：y(t) 电压：x(t) 电流：i(t)

数理统计与随机过程复习题

最新随机过程考试试题及答案详解1

概率论与数理统计复习题带答案

最新随机过程考试真题

中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

随机过程习题答案A

期末随机过程试题及标准答案

随机过程习题

随机过程试题及答案

随机过程习题和答案

概率论与数理统计复习题

随机过程习题和答案

随机过程复习试题及答案

概率论与数理统计复习题

学期数理统计与随机过程(研)试题(答案)

随机过程复习题(含答案)

概率论与数理统计复习题答案

随机过程习题答案