选址问题数学模型

选址问题数学模型

选址问题数学模型

摘要

本题是用图论与算法结合的数学模型，来解决居民各社区生活中存在三个的问题：合理的建立3个煤气缴费站的问题；如何建立合理的派出所；市领导人巡视路线最佳安排方案的问题。通过对原型进行初步分析，分清各个要素及求解目标，理出它们之间的联系.在用图论模型描述研究对象时，为了突出与求解目标息息相关的要素，降低思考的复杂度。对客观事物进行抽象、化简，并用图来描述事物特征及内在联系的过程.建立图论模型是为了简化问题，突出要点，以便更深入地研究问题

针对问题1：0-1规划的穷举法模型。该模型首先采用改善的Floyd-Warshall算法计算出城市间最短路径矩阵见附录表一；然后，用0-1规划的穷举法获得模型目标函数的最优解，其煤气缴费站设置点分别在Q、W、M社区，各社区居民缴费区域见表7-1，居民与最近的缴费点之间平均距离的最小值11.7118百米。

针对问题2：为避免资源的浪费，且满足条件，建立了以最少分组数为目标函数的单目标最优化模型，用问题一中最短路径的Floyd算法，

运用LINGO软件编程计算,得到个社区之间的最短距离，再经过计算可得到本问的派出所管辖范围是2.5千米。最后采用就近归组的搜索方法，逐步优化，最终得到最少需要设置3个派出所，其所在位置有三种方案，分别是：（1）K区，W区，D区；（2）K区，W区，R区；（3）K区，W区，Q区。最后根据效率和公平性和工作负荷考虑考虑，其第三种方案为最佳方案，故选择K区，W区，Q区，其各自管辖区域路线图如图8-1。

针对问题3：建立了双目标最优化模型。首先将问题三转化为三个售货员的最佳旅行售货员问题，得到以总路程最短和路程均衡度最小的目标函数，采用最短路径Floyd算法，并用MATLAB和LINGO软件编程计算，得到最优树图，然后按每块近似有相等总路程的标准将最优树分成三块，最后根据最小环路定理，得到三组巡视路程分别为11.8 、11 和12.5 ，三组巡视的总路程达到35.3 ，路程均衡度为12%,具体巡视路线安排见表9-1和图9.2 。

关键词Floyd-Warshall算法穷举法最小生成树最短路径

1问题重述

1.1问题背景

这是一个最优选址问题，是一种重要的长期决策，它的好坏直接影响到服务方法，服务质量，服务效率，服务成本，所以选址问题的研究有着重大的经济社会和军事意义。

1.2问题的提出

实际问题：某城市共有24个社区A，B，C、、、、、、Y，任何两个社区之间都是相通的，只是有的社区是有道路直接相连，有的是通过其他社区联系在一起，各个社区对应人口（单位：千人）如表1-1：

表1-1

编号 A B C D E F G H

I J K L

人口10 12 18 6 10 15 4 8 7 11 13 11

编号M N P Q R S T U V W X Y

人口11 8 9 22 14 8 7 10 15 28 18 13

各社区的的道路连接如图1.1

图1.1

（注：横线上的数据表示相邻社区之间的距离，单位：百米）

1.3本文具体需要解决的问题

(1)为了方便社区居民缴纳煤气费，煤气公司现拟建三个煤气缴费站，问煤气缴费站怎样选址才能使得居民与最近煤气站之间的平均距离最小。

(2) 市公安局拟在该城区建立若干个派出所，请为派出所分配管辖范

围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有警察（警车的时速为50km/h）到达事发地，问设置多少个派出所比较合理，位置选在哪？

(3) 社区W是市政府所在地，市领导从W出发巡视，分三组巡视所有社区，为了尽快完成巡视，合理的安排巡视路线

2模型假设

(1) 不考虑各社区的实际尺度，简化为点处理；

(2) 每个社区的居民都去缴费站缴费；

(3) 只在社区拟建三个煤气缴费站；

(4) 每个社区的居民只能到离该社区最近的煤气缴费站缴费；

(5) 若与某些社区最近的缴费站有若干个，即其可能与若干个缴费点的距离相同且最邻近，为保证各缴费点工作负担波动不大，该社区的居民只能到最邻近的其中一个纳税点缴税；

(6) 假设路况相同，警车到达个社区途中按照规定的速度匀速行使；3符号说明

表3-1

符号符号意义

第个社区的居民人口数

社区间可行的最短路径长度

社区是否到社区缴费是否在社区设置缴费站均衡度

赋权连通图

子图中的最佳回路

边的边权

点的点权

的各边权之和

的各点权之和

；；；

4问题分析

4.1问题1的分析

此题主要考虑居民平均最短距离，解决的是多源选址问题，找到三个煤气缴费站最佳选址。当考虑到社区人口数量和和各社区之间的距离时，人口量是影响平均最短距离的首要因素，尽可能把煤气缴费站建在人口密集的区域。

本问题的目标是从24个社区组成区域内中，选出一定3个社区设置煤气缴费站, 建立缴费点网络，实现居民与最近的缴费点之间平均距离最小。

对于每个社区缴费点的建立与否只有两种可能，所以可以通过计算社区间的最短路径，然后充分利用社区的居民以及道路信息，采用合适的方法搜索缴费点；再确定各缴费点管辖的区域，直到求得最优解。本问题重点要解决如何选择缴费点和如何划分缴费区域，即建立合理的最优缴费点搜索和区域划分模型。

4.2问题2的分析

此问题是突发事件应急救援设施选址决策模型，首先要求派出所分配管辖范围覆盖所有的区域, 在考虑具体目标时,一是从

快速反应或者公平性考虑, 要求派出所至需求点的最大距离最小化; 二是从应急救援设施的使用效率出发, 要求派出所至需求区的总加权距离为最小。最后, 在建立应派出所时还要考虑相关的成本资金问题，最少的派出所能在满足所有要求的情况下覆盖所有区域。

4.3问题3的分析

要求分三组（路）巡视，得到总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线，可转化为三个售货员的最佳旅行售货员问题。先用MATLAB软件编程计算得到加权网络图的最小生成树，按每块近似有相等总路程的标准将最小生成树分成三块，每一块都转化为一个最佳旅行售货员问题。即在给定的加权网络图中寻找从给定点W出发，行遍所有顶点至少一次，使得总权（路程）最小.解决此类问题的一般方法是不现实的，本题可使用近似算法来求得近似最优解.

再确定总路程最短且满足各组尽可能均衡的路线的目标函数，最后对目标函数适当改进，得到最终的双目标最优化模型。

5数据的分析

根据图1.1和表1-1可以看出24个社区人口密度不同，各社区之间的

距离也不同，得出如下道路信息表：

表5-1道路信息表

社区编号从该社区出发的道路数与该社区直接相连的社区编号及道路长度(百米)

A 3 C(24)，S(20)，X(16)

B 3 I(28)，W(22)，X(18)

C 5 A(24)，D(11)，E(9)，T(10)，W(15)

D 3 C(11)，Q(9)，S(8)

E 4 C(9)，F(8)，T(6)，U(9)

F 6 E(8)，L(10)，U(14)，W(11)，G(11)，Y(11)

G 3 F(11)，I(10)，W(15)

H 4 M(15)，P(19)，K(11)，Y(8)

I 4 B(28)，P(19)，G(10)，Y(25)

J 3 L(8)，N(6)，U(8)

K 3 M(12)，H(11)，P(23)

L 4 F(10)，J(8)，Y(10)，M(9)

M 4 N(6)，L(9)，H(15)，K(12)

N 2 M(6)，J(6)

P 3 H(19)，I(19)，K(23)

Q 3 R(7)，D(9)，V(10)

R 2 S(12)，Q(7)

S 3 A(20)，D(8)，R(12)

T 3 C(10)，E(6)，V(7)

U 4 E(9)，F(14)，J(8)，V(15)

V 3 Q(10)，T(7)，U(15)

W 5 B(22)，C(15)，F(11)，G(15)，X(8)

X 3 A(16)，B(18)，W(8)

Y 4 F(11)，H(8)，I(25)，L(10)

若将24社区个之间的的道路网络图，社区看作一个图的顶点，各社区的公路看作此图对应顶点间的边，各条公路的长度看作对应边上的权，所给各社区的的道路连接如图就转化为加权网络图。利用图论中的一些算法对问题一，二三进行简答。

同时根据个社区人口居住情况可以得出如下人口统计图：

图5.1

根据表5.1和图5.1可以看出W，Q两个社区人口量最多，且从该社区出发的道路数比较多，很可能是煤气缴费站的设置点，同时也是派出所设置点；K社区人口量也比较多，且连接各道路距离比较大，因此，K点可能是派出所设置点。这些是从图形和图标表面直观得出的，需要建模去验证。

6求最短路径

问题一、二、三均需要计算出两社区间距离矩阵，记录对应

的最短路径，以便分区时作为参考条件。最短路径算法主要由改善的floyd-warshall算法实现，最后获得由任意两城市间距离矩阵和对应的最短路径。算法具体原理如下：

1）利用社区间道路信息，构造邻接矩阵。

若城市和间无直接连通的道路，则令元素为正无穷大；否则为和直接连通的道路长度。

社区间道路信息可知是24，根据社区间道路信息表可以得出邻接矩阵为，见附录1。

2) 获得两社区间距离矩阵。

、的元素分别表示为、，对于所有的城市、和，如果，则令，（表示从城市到要经过城市，若，表示两城市可直达）。经过matlab和lingo软件编程计算的出矩阵和，见附录2

其流程图如下：

图6.1 改善的floyd-warshall算法流程图

7问题1的解答

7.1模型的建立

该模型首先采用改善的Floyd-Warshall算法计算出城市间最短路径矩阵；然后，用0-1规划的穷举法获得模型目标函数的最优解。

1) 目标函数的确立：

为使得居民与最近煤气站之间的平均距离最小，只要各社区居民在满足区域要求的条件下，在各个社区的每个居民都去煤气缴费站的情况下，居民的平均路径最短，因此只要求出所有居民到离社区附近的缴费站的总路程最小，然后除以个社区居民所有人数。故目标函数为：

2)约束条件的确立

(1)若表示社区j不到社区i缴费，表示社区j到社区i缴费，根据模型假设（4）可知，每个社区的居民只能到附近最近的一个缴费站缴费，因此可有约束条件：，j=1,2,…24。

(2)若表示不在社区i设置煤气缴费站，表示在社区i设置煤气缴费站，根据模型假设（3）可知，只能在社区设置3个煤气缴费站，所以有约束条件为：

(3)只有在社区i设置缴费点，社区j的居民才有可能去社区i缴费；如果不在社区i设置缴费点，社区j的居民不可能去社区i缴费。因此，；, 或者，即存在约束条件：。

3）模型流程图如下：

7.2综上所述得到最优化模型

(1)目标函数

(2)约束条件

7.3求解与结果分析

该模型为线性规划模型，我们采用Matlab和LINGO程序求解（见附录三，模拟程序一），用实现0-1规划法求得缴费点、对应的各缴费区域，求得最小距离加权和，并求出其平均距离，其结果如下表：表7-1

缴费站位置缴费社区

Q D，Q，R，S，T，V

W A，B，C，E，F，G，I，W，X

M H，J，K，L，M，N，P，V，Y

最小距离加权和是337.3千米，目标函数的最优解，即居民与最近的缴费点之间平均距离的最小值11.7118百米。

8问题2的简答

8.1问题推断

根据上面求最短路径求出的任意两点的最短距离矩阵,可以看出到的最短距离最长，百米，要使能

在3分钟内有警察（警车的时速为50km/h）到达事发地，则公安局最大行驶的路程为：

为需要设置派出所的个数，要使派出所能够在满足要求的情况下覆盖整个区域，则

当时，可以随意的选取多种方案，但是很多社区可以可以同时满足两个或者三个派出所，且个别排除所管辖范围很小，甚至只有一个社区，造成成本和资源的浪费，因此可以推断需要设置三个派出所，但这需要下面模型的验证。

8.2模型的建立

模型建立的方法是在问题1中改进而来的，只是目标函数发生改变，为：

增加了一个约束条件：，即保证警察在3分钟内到达事发地。

8.3综上所述,我们得到问题一的模型

目标函数：

约束条件为：

8.4模型的求解与分析

8.4.1求解结果

用MATLAB软件编程计算（见附录三，模拟程序二）应设派出所三个，有三种设置方案。

方案一：派出所位置应设在社区K，D，W；其管辖范围为：

表8-1 派出所管辖范围

派出所位置管辖范围管辖人口数（千人）总路程（单位：千米）D D，Q，R，V，T，C,S,E 100 361

W A，B，F，G，I，L，X, W, U 115

K H，J，K，M，N，P，Y 73

方案二：派出所位置应设在社区K，R，W；其管辖范围为:

表8-2派出所管辖范围

派出所位置管辖范围管辖人口数（千人）总路程（单位：千米）R D，Q，R，V，T，S 72

368

W A，B，C,F，G，I，X, W, U,E 132

K H，J，K，M，N，P，Y,L 84

方案三：派出所位置应设在社区K，Q，W；管辖范围如下表所示：

表8-3 派出所管辖范围

派出所位置管辖范围管辖人口数（千人）总路程（单位：千米）Q D，Q，R，S，T，V，C，U 100 357

W A，B，E，F，G，I，X，W 104

K H，J，K，L，M，N，P，Y 84

8.4.2结果分析和最佳方案选择

根据以上三种方案的表8-1、8-2、8-3对比可以看出：

（1）方案一和方案二其管辖范围的人口分布量不均匀；

（2）尤其是方案二的派出所设置点在W区，管辖范围的人口量较大，给W区派出所带来较大的工作负荷，影响工作效率。而R区的管辖范围的人口量较小，工作量较少；

（3）方案一，二，三其人口均衡度分别是36.52%、45.45%、19.23%，故第三种方案的均衡度最好；

（4）根据每种方案的其总路程来看，其第三种方案的总路程最小，使总体效率得到提高。

根据以上分析可以确定方案三为最佳方案，派出所的位置分别设置在Q区、W区、K区，其管辖范围图如下：

图8.1

9问题3的简答

9.1模型的建立

(1)均衡度分析

实际路程均衡度:

为最大容许均衡度，显然0≤≤1，越小，说明分组的均衡度越好。

(2)目标函数的确定

将社区公路示意图抽象为一个赋权连通图，再把图分

成三个子图（=1,2,3）,在每个子图中寻找最佳回路（=1,2,3），为回路的各边权之和。要使总路程最短且各组又尽可能均衡的巡视路线，要使总路程最短，可以尽量让每个子图的边权之和最小，确定目标函数：

易知，上式两个目标函数相互矛盾，不可能同时达到。然而，要使总路程最短，可以尽量让每个子图的边权之和最小，又边权为，n为每个子图中社区的总数，则有：

9.3综上所述,我们得到问题一的模型

9.4模型的求解与分析

根据prim算法，用MATLAB软件编程计算得到图的最小生成树（见附录三，模拟程序三），如下图所示：

图9.1最小生成树模型

由于在最优树上,各边权接近,要使最优树分解时, 分解结果尽量均衡，则各子图包含的顶点就应尽量接近（24/3=8）8个，由此得到最优树的分解原则如下：

（1）分解点为W点或尽可能接近W点；

（2）分解所得的三个子图包含的顶点数尽可能接近8个；

（3）尽量使分解所得的子图为连通图；

（4）尽量使子图与W的最短路上的点在该子圈内，尽量使各子图内部形成环路。

根据以上原则，选取与W点相近的F点作为分解点，得到分解后的结果图如下图所示：

图9.2 分解后的结果图

通过增环、扩环、换枝等方法，对子图内部进行适当调整优化，寻找出最佳巡视回路，运用LINGO软件编程计算得到结果如下表：

表9-1三组巡视路线

小组路线路程之和总路程

一W,F,G,I,B,X,A,X,W 118 353

二W,C,T,V,U,Q,R,Q,S,D,C,W 110

三W,F,L,J,N,M,K,P,H,Y,F,W 125

根据上表数据，得到分组路程均衡度为，所以这种分法的均衡性较好。

10模型的评价、改进以及推广

10.1模型的评价

1）模型的优点

(1）运用了图论的建立寻优模型，建模的方法简单易懂，尽管建模过程中应用了图论的最短路程理论，但仍可以用初等数学的方法解决的问题；

(2)本问题的算法具有普遍性，对更普遍的这一类问题都能用本文的算法解决，只需更改相应的参数值；

(3)模型一采用穷举法，结果可靠；

(4) 建立的规划模型能与实际紧密联系，结合实际情况对问题进行求解，使得模型具有很强的通用性和推广性；

(5) 模型的计算采用专业的数学软件，可信度较高。

2）模型的缺点

（1）因为本题村庄个数较小，之间距离较短，应用历遍的方法仍能应用人工与计算机的结合在短时间内求出解。然而对于复杂的实际问题如果点数很大，间距很大的情况可能耗时很大；

(2)模型和算法的选取比较单一，未能用到更多、更好的优化模型，缺乏与其他模型的对比性；

(3) 其中的穷举法针对本题比较简单，但对实际其他较复杂问题不具有通用

性。

10.2模型的改进

模型一可以采用分区模型，大大提高了程序的空间和时间复杂度；也可以用简化模型，用最近邻法大致确定最优解的区域，然后再用穷举法进行求解，相比单纯的穷举法简化了问题规模，又使所做出的模型答案具有信服力。

10.3 模型的推广

本文所用的三个模型可以应用的范围较广，在图形数据处理及简化方面均可运用该模型均作为参考。

这个模型不仅仅适用于居民缴费站的最佳选址问题，它对规划问题的求解都可以起到指导作用。本题的求解是一个典型的规划问题，我们的模型的使用范围非常广泛，这一解决问题的模型可以推广到其他服务性行业的选址中的方案的确定，例如旅行售货员问题，只不过需要考虑的约束条件和追求的目标有所不同。

参考文献

[1]赵希男. 主成分分析法评价功能浅析[ J] . 系统工程, 1995, 13( 2) :24~ 27.

[2]王丽.图论在算法设计中的应用[J]. 系统工程理论与实践,2007

[3]徐权智，杨晋浩，数学建模[M]，北京：高等教育出版社，2004

数学建模 学校选址问题模型

学校选址问题 摘 要 本文针对某地新开发的20个小区建设配套小学问题建立了0-1规划模型和优化模型。为问题一和问题二的求解，提供了理论依据。 模型一： 首先：根据目标要求，要建立最少学校的方案列出了目标函数： ∑==16 1i i x s 然后：根据每个小区至少能被一所学校所覆盖，列出了20个约束条件; 最后：由列出的目标函数和约束函数，用matlab 进行编程求解，从而得到，在每个小区至少被一所学校所覆盖时，建立学校最少的个数是四所，并且一共有22种方案。 模型二： 首先：从建校个数最少开始考虑建校总费用，在整个费用里面，主要是固定费用，由此在问题一以求解的条件下，进行初步筛选，得到方案1,4,8的固定成本最少。 然后：在初步得出成本费用最少时，对每个这三个方案进一步的求解，求出这三个方案的具体的总费用，并记下这三套方案中的最小费用。 其次：对这三套方案进行调整，调整的原则是：在保证每个小区有学校覆盖的条件下，用多个固定成本费用低的备选校址替换固定成本费用高的备选校址。在替换后，进行具体求解。 再次：比较各种方案的计算结果，从而的出了如下结论： 选用10,11,13,15,16号备选校址的选址方案，花费最少，最少花费为13378000元。 最后：对该模型做了灵敏度分析，模型的评价和推广。 关键字：最少建校个数 最小花费 固定成本 规模成本 灵敏度分析

1. 问题重述 1.1问题背景： 某地新开发的20个小区内需要建设配套的小学，以方便小区内居民的的孩子上学。但是为了节省开支，建造的学校要求尽量的少，为此，设备选定的16个校址提供参考，各校址覆盖的小区情况如表1所示： 表1-1备选校址表 备选校址 1 2 3 4 5 6 7 8 覆盖小区 1,2,3, 4,6 2,3,5,8, 11,20 3,5,11,20 1,4,6,7, 12 1,4,7,8,9,11,13, 14 5,8,9,10 11,16,20 10,11,1516,19, 20 6,7,12, 13,17, 18 备选校址 9 10 11 12 13 14 15 16 覆盖小区 7,9,13, 14,15, 17,18, 19 9,10,14,15,16, 18,19 1,2,4,6, 7 5,10,11, 16,20, 12,13，14,17, 18 9,10,14, 15 2,3,,5, 11,20 2,3,4,5,8 1.2 问题提出： 问题一、求学校个数最少的建校方案，并用数学软件求解（说明你所使用的软件并写出输入指令）。 问题二、设每建一所小学的成本由固定成本和规模成本两部分组成，固定成本由学校所在地域以及基本规模学校基础设施成本构成，规模成本指学校规模超过基本规模时额外的建设成本，它与该学校学生数有关，同时与学校所处地域有关。设第i 个备选校址的建校成本i c 可表示为 ?? ???-??+=，　否则，　若学生人数超过学生人数0600 )600(50 1002000i i i c βα 其中i α和i β由表1-2给出： 表1-2 学校建设成本参数表（单位：百万元） 备选校址 1 2 3 4 5 6 7 8 i α 5 5 5 5 5 5 5 3.5 i β 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.1 备选校址 9 10 11 12 13 14 15 16 i α 3.5 3.5 3.5 3.5 2 2 2 2 i β 0.1 0.1 0.1 0.1 0.05 0.05 0.05 0.05 考虑到每一小区的学龄儿童数会随住户的迁移和时间发生变化,当前的精确数据并不能作为我们确定学校规模的唯一标准，于是我们根据小区规模大小用统计方法给出每个小区的学龄儿童数的估计值，见表1-3： 表1-3.各小区1到6年级学龄儿童数平均值（样本均值） 小区 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 学龄儿童数 120 180 230 120 150 180 180 150 100 160

数学建模学校选址问题

学校选址问题 摘要 本文为解决学校选址问题，建立了相应的数学模型。 针对模型一 首先，根据已知信息，对题目中给出的数据进行处理分析。在保证每个小区,学生至少有一个校址可供选择的情况下，运用整数规划中的0-1规划法，列出建校方案的目标函数与其约束条件，通过LINGO软件，使用计算机搜索算法进行求解。得出建立校址的最少数目为4个。再运用MATLAB软件编程，运行得到当建校的个数为4个时，学 首先，对文中给出的学校建设成本参数表和各校区1到6年级学龄儿童的平均值（样本均值）进行分析，可知20个小区估计共有4320个学龄儿童，当每个学校的平均人数都小于600时，至少需要建设8个学校；其次，模型一得到最少的建校数目为4个，运用MATLAB软件编程，依次列出学校个数为4、5、6、7、8时的最优建校方案，分别算出其最优建校方案下的总成本；最后，通过对比得出，最低的建校总成本为1650万，即选取校址10、11、13、14、15、16建设学校。 最后，我们不但对模型进行了灵敏度分析，，保证了模型的有效可行。 关键词：MATLAB灵敏度 0-1规划总成本选址 1 问题重述

当代教育的普及，使得学校的建设已成为不得不认真考虑的问题。 1.1已知信息 1、某地新开发的20个小区需要建设配套的小学，备选的校址共有16个，各校址覆盖的小区情况如表1所示： 2、在问题二中，每建一所小学的成本由固定成本和规模成本两部分组成，固定成本由学校所在地域以及基本规模学校基础设施成本构成，规模成本指学校规模超过基本规模时额外的建设成本，它与该学校学生数有关，同时与学校所处地域有关。设第i 个备选校址的建校成本i c 可表示为 （单元：元）学生人数)600-(50100200010? ?? ???+=i i i c βα，若学生人数超过600人，其中 i α和i β由表2给出： 并且考虑到每一小区的学龄儿童数会随住户的迁移和时间发生变化，当前的精确数据并不能作为我们确定学校规模的唯一标准，于是我们根据小区规模大小用统计方法给出每个小区的学龄儿童数的估计值，见表3： 1.2提出问题 1、要求建立数学模型并利用数学软件求解出学校个数最少的建校方案。 2、求出总成本最低的建校方案。 2 问题假设与符号说明

数学建模 学校选址问题模型

学校选址问题 摘要 本文针对某地新开发的20个小区建设配套小学问题建立了0-1规划模型和优化模型。为问题一和问题二的求解，提供了理论依据。 模型一： 首先：根据目标要求，要建立最少学校的方案列出了目标函数： 然后：根据每个小区至少能被一所学校所覆盖，列出了20个约束条件; 最后：由列出的目标函数和约束函数，用matlab进行编程求解，从而得到，在每个小区至少被一所学校所覆盖时，建立学校最少的个数是四所，并且一共有22种方案。 模型二： 首先：从建校个数最少开始考虑建校总费用，在整个费用里面，主要是固定费用，由此在问题一以求解的条件下，进行初步筛选，得到方案1,4,8的固定成本最少。 然后：在初步得出成本费用最少时，对每个这三个方案进一步的求解，求出这三个方案的具体的总费用，并记下这三套方案中的最小费用。 其次：对这三套方案进行调整，调整的原则是：在保证每个小区有学校覆盖的条件下，用多个固定成本费用低的备选校址替换固定成本费用高的备选校址。在替换后，进行具体求解。 再次：比较各种方案的计算结果，从而的出了如下结论： 选用10,11,13,15,16号备选校址的选址方案，花费最少，最少花费为13378000元。 最后：对该模型做了灵敏度分析，模型的评价和推广。 关键字：最少建校个数最小花费固定成本规模成本灵敏度分析 1.问题重述 1.1问题背景： 某地新开发的20个小区内需要建设配套的小学，以方便小区内居民的的孩子上学。但是为了节省开支，建造的学校要求尽量的少，为此，设备选定的16个校址提供参考，各校址覆盖的小区情况如表1所示： 1.2 问题一、求学校个数最少的建校方案，并用数学软件求解（说明你所使用的软件并写出输入指令）。 问题二、设每建一所小学的成本由固定成本和规模成本两部分组成，固定成本由学校所在地域以及基本规模学校基础设施成本构成，规模成本指学校规模超过基本规模时额外的建设成本，它与该学校学生数有关，同时与学校所处地域有关。设第i个备选校址的建校成本 c可表示为 i

数学建模论文__物流与选址问题

物流预选址问题 (2) 摘要 .............................................................................................. 错误！未定义书签。 一、问题重述 (3) 二、问题的分析 (3) 2.1 问题一：分析确定合理的模型确定工厂选址和建造规模 (4) 2.2 问题二：建立合理的仓库选址和建造规模模型 (4) 2.3 问题三：工厂向中心仓库供货的最佳方案问题 (5) 2.4 问题四：根据一组数据对自己的模型进行评价 (5) 三、模型假设与符号说明 (5) 3.1条件假设 (5) 3．2模型的符号说明 (5) 四、模型的建立与求解 (6) 4.1 问题一：分析确定合理的模型为两个工厂合理选址并确定建造规模 (6) 4.1.1模型的建立 (7) 4.2 问题二：建立合理模型确定中心仓库的位置及建造规模 (10) 4.2.1 基于重心法选址模型 (10) 4.2.2 基于多元线性回归法确定中心仓库的建造规模 (12) 4.3 问题三：工厂向中心仓库供货方案 (13)

4.4 问题四：选用一组数据进行计算 (14) 五、模型评价 (21) 5.1模型的优缺点 (21) 5.1.1 模型的优点 (21) 5.1.2 模型的缺点 (21) 六参考文献 (21) 物流预选址问题 摘要 在物流网络中，工厂对中心仓库和城市进行供货，起到生产者的作用，而中心仓库连接着工厂和城市，是两者之间的桥梁，在物流系统中有着举足轻重的作用，因此搞好工厂和中心仓库的选址将对物流系统作用的发挥乃至物流经济效益的提高产生重要的影响。 本论文在综述工厂和中心仓库选址问题研究现状的基础上，对二者选址的模型和算法进行了研究。对于问题一二，通过合理的分析，我们采用了重心法选址模型找到了工厂和中心仓库的大致位置并给出了确定工厂和中心仓库建造规模的参数和公式，通过用

数学建模--物流配送中心选址模型

物流配送中心选址模型 姓名：莫米菊学号：200900709044 班级：物流管理092班 摘要：在现代物流网络中，配送中心不仅执行一般的物流职能，而且越来越多地执行指挥调度、信息处理、作业优化等神经中枢的职能，是整个物流网络的灵魂所在。因此，发展现代化配送中心是现代物流业的发展方向。文章首先使用重心法计算出较为合适的备选地，再考虑到各项配送中心选址的固定成本和可变成本，从而使配送中心选址更加优化和符合实际。 关键词：物流选址；选址；重心法；优化模型； 1．背景介绍 1．1 研究主题 如下表中，有四个零售点的坐标和物资需求量，计算并确定物流节点的位置。 1.2 前人研究进展 1.2.1国内外的研究现状： 国外对物流配送选址问题的研究已有60余年的历史，对各种类型物

流配送中心的选址问题在理论和实践方面都取得了令人注目的成就，形成了多种可行的模型和方法。归纳起来，这些配送中心选址方法可分为三类：（1）应用连续型模型选择地点； （2）应用离散型模型选择地点； （3）应用德尔菲（Delphi）专家咨询法选择地点。 第一类是以重心法为代表，认为物流中心的地点可以在平面取任意点，物流配送中心设置在重心点时，货物运送到个需求点的距离将最短。这种方法通常只是考虑运输成本对配送中心选址的影响，而运输成本一般是运输需求量、距离以及时间的函数，所以解析方法根据距离、需求量、时间或三者的结合，通过坐标上显示，以配送中心位置为因变量，用代数方法来求解配送中心的坐标。解析方法考虑影响因素较少，模型简单，主要适用于单个配送中心选址问题。解析方法的优点在于计算简单，数据容易搜集，易于理解。由于通常不需要对物流系统进行整体评估，所以在单一设施定位时应用解析方法简便易行。 第二类方法认为物流中心的各个选址地点是有限的几个场所，最适合的地址只能按照预定的目标从有限个可行点中选取。 第二类方法的中心思想则是将专家凭经验、专业知识做出的判断用数值形式表示，从而经过分析后对选址进行决策。 国内在物流中心选址方面的研究起步较晚，只有10余年历史，但也有许多学者对其进行了较深入的研究，在理论和实践上都取得了较大的成果。北方交通大学鲁晓春等对配送中心的重心法地址做出了深入的研究，认为原有的重心法存在着问题，并把原有的计算公式用流通费用偏微分方程来取代。

《数学建模》选题.

《数学建模》选题(一) 1、选址问题研究 在社会经济发展过程中, 经常需要在系统中设置一个或多个集散物质、传输信息或执行某种服务的“中心”。在设计和规划商业中心、自来水厂、消防站、医院、飞机场、停车场、通讯系统中的交换台站等的时候,经常需要考虑将场址选在什么位置才能使得系统的运行效能最佳。选址问题, 是指在指定的范围内, 根据所要求的某些指标,选择最满意的场址。在实际问题中,也就是关于为需要设置的“设施”选择最优位置的问题。选址问题是一个特殊类型的最优化问题,它属于非线性规划和组合最优化的研究范围。由于它本身所具有的特点,存在着单独研究的必要性和重要性。 1.1“中心”为点的情形 如图1，有一条河，两个工厂P 和Q位于河岸L（直线）的同一侧，工厂 P 和 Q 距离河岸L分别为8千米和10千米，两个工厂的距离为14千米，现要在河的工厂一侧选一点R，在R处建一个水泵站，向两工厂P、Q 输水，请你给出一个经济合理的设计方案。 图1 图2 （即找一点 R ，使 R 到P、Q及直线l的距离之和为最小。） 要求和给分标准： 提出合理方案，建立坐标系，分情况定出点R的位置，0分——70分。 将问题引申： （１）、若将直线 L缩成一个点（如向水库取水），则问题就是在三角形内求一点R，使R到三角形三顶点的距离之和为最小（此点即为费尔马点）。 （２）、若取水的河道不是直线，是一段圆弧（如图2），该如何选点？ 对引申问题给出给出模型和讨论30分——50分。 抄袭者零分；无模型者不及格；无程序和运行结果扣20-30分；无模型优缺点讨论扣10分。 1.2“中心”为线的情形

在油田管网和公路干线的设计中提出干线网络的选址问题： 问题A ：在平面上给定n 个点n P P P ,,,21 ，求一条直线L ，使得 ∑=n i i i L P d w 1 ),( （1） 为最小，其中i w 表示点i P 的权，),(L P d i 表示点i P 到第直线L 的距离。 问题B ：平面上给定n 条直线n L L L ,,,21 , 求一点X , 使 ∑=n i i i L X d w 1 ),( （2） 为最小，其中i w 表示直线i L 的权，),(i L X d 表示点X 到第直线i L 的距离。 问题C ：在平面上给定n 个点n P P P ,,,21 ，求一条直线L ，使得 ),(max 1L P d w i i n i ≤≤ （1） 为最小，其中i w 表示点i P 的权，),(L P d i 表示点i P 到第直线L 的距离。 问题D ：平面上给定n 条直线n L L L ,,,21 , 求一点X , 使 ),(max 1i i n i L X d w ≤≤ （2） 为最小，其中i w 表示直线i L 的权，),(i L X d 表示点X 到第直线i L 的距离。 参考文献 【1】林诒勋, 尚松蒲. 平面上的点—线选址问题[J]. 运筹学学报,2002,6(3):61—68. 【2】尚松蒲, 林诒勋. 平面上的min-max 型点—线选址问题[J]. 运筹学学报,2003,7(3):83—91. 要求和给分标准： 选择问题A 和B(或者C 和D)进行研究：根据文献重述模型（10分），提出自己的算法(30分)，计算机仿真验证算法的正确性（40分，含如何在平面上随机产生n 个点，对每个点随机赋权，按照算法编程实现求干线的程序，并将寻得的干线和点在平面上图示，建议用MATLAB 编程）。 将问题引申： 如果同时确定两条、三条干线，应该如何讨论？其他情形的讨论？ 对引申问题给出给出模型和讨论20分——30分。 抄袭者零分；无模型者不及格；无程序和运行结果扣20-30分；无模型优缺

机场选址问题数学建模论文

机场选址问题 摘要 针对机场选址问题，文章共建立了三个模型用以解决该类问题。为了计算出任意两城市之间的距离，我们利用公式（1）将利用题目中所给的大地坐标得出了任意两点之间的距离，见附录2。 对于问题1，我们主要利用0-1变量法，从而对问题进行了简化。我们设了第i个 y以及第i个城市是否是以第j个支线机场为最近机场的()j i x,。城市是否建支线机场的 i 然后将任意两点之间的距离与该城市的总人数之积，再乘以0-1变量()j i x,，最后得出每一个所有城市到最近机场的距离与该城市人口的乘积，然后利用LINGO进行编写程序，进行最优化求解，最后得出的结果见表1和表2，各大城市以及支线机场的分布见图2。 对于问题2，该问题是属于多目标规划的问题，目标一是居民距离最近机场的距离最短，目标二是每个机场覆盖人口数尽可能相等。我们在第一题的基础上，又假设了一些正、负偏差变量，对多个目标函数设立优先级，把目标函数转化为约束条件，进而求得满足题目要求的结果。 对于问题3，我们分析到影响客流量的因素是GDP跟居民人数，所以通过所搜集的资料分析我们给予这两个因素以不同的权重。然后同样采取问题2中所给的反求机场覆盖的方法，求的各个机场所覆盖的客流量，再让其在平均客流量水平上下浮动。通过LINGO程序的运行得到的六个机场的坐标见表6，六个机场的分布见图7。 针对论文的实际情况，对论文的优缺点做了评价，文章最后还给出了其他的改进方向，以用于指导实际应用。 关键词：选址问题；多目标规划；LINGO；0-1变量法；加权

1．问题的重述 近年来，随着我国经济社会的迅猛发展，公共交通基础设施日趋需要进一步完善与提高。支线机场作为我国交通运输体系的有机组成部分，对促进欠发达地区经济社会的发展具有基础性的作用。现某区域有30个城市，本区域计划在未来的五年里拟建6个支线机场。 任务1，确定6个支线机场的所在城市，建立居民到最近机场之间的平均距离最小的数学模型。 任务2，在任务一基础上，确定6个支线机场的所在城市，建立使得每个支线机场所覆盖的居民人数尽可能均衡的数学模型。 任务3，在任务一基础上，根据近一年每个城市的GDP 情况，确定6个支线机场的所在城市，建立使得每个支线机场的客流量尽量均衡的数学模型。 2．问题的分析 2．1 问题1 题目要求是建立居民到最近机场之间的平均距离最小的数学模型，该问题其实就是利用的0-1变量建立的模型。首先我们设两个0-1变量，一个是控制某个城市是否为支线机场的i y ，一个是控制某个城市的最近机场是哪一个的ij x 。针对于上述两个0-1变量，我们分别设立了约束条件。同时又为了满足问题所要求的使局面平均距离最小，我们将某一个城市到离它最近的机场的距离与该城市的人口乘积作为目标函数，在LINGO 软件中，通过设立一约束条件，最后将目标函数进行最优化求解。 2．2 问题2 该问题可以归结为多元目标线性规划的问题，所以我们在第一问的基础上又增加了一个目标函数，最后利用加权的方法将两个目标函数转化成了一个目标函数，将另一个目标函数作为约束条件。同时我们又引入了正负偏差变量，通过控制该变量达到覆盖居民人数均衡以及居民到城市之间的平均距离尽量小。 2．3 问题3 该问题要求的是客流量尽量均衡，经过分析可以知道，城市的GDP 越高，说明该城市经济越繁荣，货币流通越快，从而反映出客流量越大。另一方面城市越大、人口越多，也在一定程度上反映出了该城市客流量越大。基于上述两点，我们对GDP 跟城市人口分别给予了不同的权重来反映其对客流量的影响大小。按照第二问的方法，我们依然利用多元目标线性规划的只是进行求解。通过LINGO 编写程序，最中求得可行解。

数学建模报告选址问题

长沙学院数学建模课程设计说明书 题目选址问题 系(部) 数学与计算机科学 专业(班级) 数学与应用数学 姓名 学号 指导教师 起止日期 2015、6、1——2015、6、5

课程设计任务书 课程名称：数学建模课程设计 设计题目：选址问题 已知技术参数和设计要求： 选址问题（难度系数1.0） 已知某地区的交通网络如下图所示，其中点代表居民小区，边代表公路，边上的数字为小区间公路距离（单位：千米），各个小区的人数如下表所示，问区中心医院应建在哪个小区，可使离医院最远的小区居民人均就诊时所走的路程最近？ 各阶段具体要求： 1．利用已学数学方法和计算机知识进行数学建模。 2．必须熟悉设计的各项内容和要求，明确课程设计的目的、方法和步骤。 3．设计中必须努力认真，独立地按质按量地完成每一阶段的设计任务。 4．设计中绝对禁止抄袭他人的设计成果。 5．每人在设计中必须遵守各组规定的统一设计时间及有关纪律。 6．所设计的程序必须满足实际使用要求，编译出可执行的程序。 7．要求程序结构简单，功能齐全，使用方便。 设计工作量： 论文：要求撰写不少于3000个文字的文档，详细说明具体要求。 1v 5

工作计划： 提前一周：分组、选题；明确需求分析、组内分工； 第一天：与指导老师讨论，确定需求、分工，并开始设计；第二~四天：建立模型并求解； 第五天：完成设计说明书，答辩； 第六天：针对答辩意见修改设计说明书，打印、上交。 注意事项 ?提交文档 长沙学院课程设计任务书（每学生1份） 长沙学院课程设计论文（每学生1份） 长沙学院课程设计鉴定表（每学生1份） 指导教师签名：日期： 教研室主任签名：日期： 系主任签名：日期：

数学建模论文--物流与选址问题

物流预选址问题 (2) 摘要............................................................................................................. 错误!未定义书签。 一、问题重述 (2) 二、问题的分析 (3) 2.1 问题一：分析确定合理的模型确定工厂选址和建造规模 (3) 2.2 问题二：建立合理的仓库选址和建造规模模型 (3) 2.3 问题三：工厂向中心仓库供货的最佳方案问题 (3) 2.4 问题四：根据一组数据对自己的模型进行评价 (4) 三、模型假设与符号说明 (4) 3.1条件假设 (4) 3．2模型的符号说明 (4) 四、模型的建立与求解 (5) 4.1 问题一：分析确定合理的模型为两个工厂合理选址并确定建造规模 (5) 4.1.1模型的建立 (5) 4.2 问题二：建立合理模型确定中心仓库的位置及建造规模 (7) 4.2.1 基于重心法选址模型 (8) 4.2.2 基于多元线性回归法确定中心仓库的建造规模 (10) 4.3 问题三：工厂向中心仓库供货方案 (10) 4.4 问题四：选用一组数据进行计算 (11) 五、模型评价 (16) 5.1模型的优缺点 (16) 5.1.1 模型的优点 (16) 5.1.2 模型的缺点 (16) 六参考文献 (16)

物流预选址问题 摘要 在物流网络中，工厂对中心仓库和城市进行供货，起到生产者的作用，而中心仓库连接着工厂和城市，是两者之间的桥梁，在物流系统中有着举足轻重的作用，因此搞好工厂和中心仓库的选址将对物流系统作用的发挥乃至物流经济效益的提高产生重要的影响。 本论文在综述工厂和中心仓库选址问题研究现状的基础上，对二者选址的模型和算法进行了研究。对于问题一二，通过合理的分析，我们采用了重心法选址模型找到了工厂和中心仓库的大致位置并给出了确定工厂和中心仓库建造规模的参数和公式，通过用数据进行实例化分析，我们确定了工厂和中心仓库位置和建造规模。对于问题三我们运用LINGO软件简单的解决了工厂对中心仓库的供货情况。问题四我们选用了一组数据通过求解多元线性规划对问题进行了实例化分析。为中心仓库的选址问题做了合理说明。最后我们对模型进行了评价和分析。 关键词：物流网络重心法选址模型多元线性规划 一、问题重述 某公司是生产某种商品的省知名厂家。该公司根据需要,计划在本省建设两个生产工厂和若干个中心仓库向全省所有城市供货。根据市场调研,全省有m个城市，每个城市单位时间需要该公司的物资量是已知的，有关运费的信息也是确定的，工厂和中心仓库

4.第17讲 应急设施的优化选址问题(数学建模)要点

第17讲应急设施的优化选址问题 问题（AMCM-86B题）里奥兰翘镇迄今还没有自己的应急设施。1986年该镇得到了建立两个应急设施的拨款，每个设施都把救护站、消防队和警察所合在一起。图17-1指出了1985年每个长方形街区发生应急事件的次数。在北边的L形状的区域是一个障碍，而在南边的长方形区域是一个有浅水池塘的公园。应急车辆驶过一条南北向的街道平均要花15秒，而通过一条东西向的街道平均花20秒。你的任务是确定这两个应急设施的位置，使得总响应时间最少。 图17-1 1985年里奥兰翘每个长方街区应急事件的数目（I）假定需求集中在每个街区的中心，而应急设施位于街角处。 （II）假定需求是沿包围每个街区的街道上平均分布的，而应急设施可位于街道的任何地方。 §1 若干假设 1、图17-1所标出的1985年每个长方形街区应急事件的次数具有典型代表性，能够反映该街区应急事件出现的概率的大小。 2、应急车辆的响应时间只考虑在街道上行驶时间，其他因纱（如转弯时间等）可以忽略不计。 3、两个应急设施的功能完全相同。在应急事件出现时，只要从离事件发生地点最近的应急设施派出应急车辆即可。 4、执行任何一次应急任务的车辆都从某一个应急设施出发，完成任务后回到原设施。不出现从一个应急事件点直接到另一事件点的情况。（这是因为，每一个地点发生事件的概率都很小，两个地点同时发生事故的概率就更是小得可以忽略不计）。

§2 假定（I ）下的模 在假定（I ）下，应急需求集中在每个街区中心。我们可以进一步假定应急车辆只要到达该街区四个街角中最近的一个，就认为到达了该街区，可以开始工作了。按假定（I ），每个应急设施选在街角处，可能的位置只有6×11=66个。两个应急设施的位置的可能的组合至多只有66×65/2=2145个。这个数目对计算机来说并不大，可用计算机进行穷举，对每种组合一一算出所对应的总响应时间，依次比较得出最小的响应时间及对应的选址方案。具体算法是： 建立直角坐标系，以该镇的西北角为原点，从北到南为X -轴正方向，从西到东为Y -轴正方向，在南北、东西方向上分别以一个街区的长作为单位长，则街角的坐标),(Y X 是满足条件50,100≤≤≤≤Y X 的整数。而每个街区中心的坐标具有形式)5.0,5.0(++j i ，其中j i ,是满足条件：40,90≤≤≤≤j i 的整数。如果不考虑障碍和水塘的影响，同应急车辆从设在),(Y X 点的应急设施到以)5.0,5.0(++j i 为中心的街区的行驶时间等于 )5.05.0(20)5.05.0(15),,,(---+---=j Y i X j i Y X t )5.17)5.0(20)5.0((15-+-++-=j Y i X 秒 记),(j i p 为以)5.0,5.0(++j i 为中心的街区的事故发生频率（即在图上该街区所标的数字）。如果应急设施设在),(),,(2211Y X Y X 这两点，总不妨设21X X ≤，则该设置方案的总响应时间为 ),,,(2211Y X Y X T ∑∑===904 02211)},,,(),,,,(min{),(i j j i Y X t j i Y X t j i p 让1X 取遍0—10，2X 取遍101-X ，21,Y Y 分别独立地取遍0—4。依次对四数组),,,(2211Y X Y X 的每一个值算出对应的总响应时间的最小值及对应的四数组。 以上算法不难用计算机编程实现。由于数组的个数不算多（只有两千多个），计算机可很快得出答案。答案是： 两个应急设施分别设在点（2，3），（6，3）时最优。 这是在不考虑L 形障碍区域和水塘的影响的假定下得出的最优解，但从这两个点到

选址问题数学模型

选址问题数学模型 摘要 本题是用图论与算法结合的数学模型，来解决居民各社区生活中存在三个的问题：合理的建立3个煤气缴费站的问题；如何建立合理的派出所；市领导人巡视路线最佳安排方案的问题。通过对原型进行初步分析，分清各个要素及求解目标，理出它们之间的联系.在用图论模型描述研究对象时，为了突出与求解目标息息相关的要素，降低思考的复杂度。对客观事物进行抽象、化简，并用图来描述事物特征及内在联系的过程.建立图论模型是为了简化问题，突出要点，以便更深入地研究问题 针对问题1：0-1规划的穷举法模型。该模型首先采用改善的Floyd-Warshall 算法计算出城市间最短路径矩阵见附录表一；然后，用0-1规划的穷举法获得模型目标函数的最优解，其煤气缴费站设置点分别在Q、W、M社区，各社区居民缴费区域见表7-1，居民与最近的缴费点之间平均距离的最小值11.7118百米。 针对问题2：为避免资源的浪费，且满足条件，建立了以最少分组数为目标函数的单目标最优化模型，用问题一中最短路径的Floyd算法，运用LINGO软件编程计算,得到个社区之间的最短距离，再经过计算可得到本问的派出所管辖范围是2.5千米。最后采用就近归组的搜索方法，逐步优化，最终得到最少需要设置3个派出所，其所在位置有三种方案，分别是：（1）K区，W区，D区；（2）K区，W区，R区；（3）K区，W区，Q区。最后根据效率和公平性和工作负荷考虑考虑，其第三种方案为最佳方案，故选择K区，W区，Q区，其各自管辖区域路线图如图8-1。 针对问题3：建立了双目标最优化模型。首先将问题三转化为三个售货员的最佳旅行售货员问题，得到以总路程最短和路程均衡度最小的目标函数，采用最短路径Floyd算法，并用MATLAB和LINGO软件编程计算，得到最优树图，然后按每块近似有相等总路程的标准将最优树分成三块，最后根据最小环路定理，得到三组巡视路程分别为11.8km、11km和12.5km，三组巡视的总路程达到35.3km，路程均衡度为12%,具体巡视路线安排见表9-1和图9.2 。 关键词Floyd-Warshall算法穷举法最小生成树最短路径 1问题重述 1.1问题背景 这是一个最优选址问题，是一种重要的长期决策，它的好坏直接影响到服务方法，服务质量，服务效率，服务成本，所以选址问题的研究有着重大的经济社

选址问题数学模型

选址问题数学模型 摘要： 本题是用算法和代数相结合来进行数学模型，来解决1.高中应该建立在哪个乡镇上，才能够使得最远的乡镇的学生上学最近；2.应该建立在哪个乡镇上，使学生往返学校的平均距离最短。通过对原型进行初步分析，分清各个要素及求解目标，理出它们之间的联系.在用算法模型描述研究对象时，为了突出与求解目标息息相关的要素，降低思考的复杂度。对客观事物进行抽象、化简，并用矩阵描述事物特征及内在联系的过程.建立代数模型是为了简化问题，突出要点，以便更深入地研究问题。 针对问题1：我们要通过建立矩阵模型，分别求出高中建立在每一个乡镇，此时到该高中的最远乡镇，然后将这些最远的乡镇相互比较，得出就近的。这个问题也就解决了。 针对问题2：这个问题和第一个问题类似的处理手法，都是分别将数据列出来，然后进行比较。也是要先分别求出高中建立在每一个乡镇上，此时学生往返学校的平均值，然后再将这25组数据进行比较，得出其中平均距离最短的一组。确定高中应该建立在哪个乡镇上。 关键词：最远最近平均距离最短矩阵 max min 1.问题的重述 1.1问题的背景 某行政区有25个乡镇，每个乡镇的具体位置（用平面坐标系x，y表示）及高中生人数t，如表1，假设乡镇之间均有直线道路相连，现在一个乡镇上建立一所高中，然后我要要开始选址了。 1.2问题的提出 1.高中应该建立在哪个乡镇上，才能够使得最远的乡镇的学生上学最近； 2.高中应该建立在哪个乡镇上，使学生往返学校的平均距离最短。 附有表格 （便于表格的完整性，放到了下一页）

表1：各乡镇的位置及高中生人数 2.模型假设 （1）各个乡镇之间的路都是一样的，没有难行和不好行的区别 （2）各个乡镇之间的交通设置都是一样的 （3）各个乡镇之间不受地形等天然因素的影响 3.符号说明 X：乡镇距离x轴的距离；y：乡镇距离y轴的距离；t：每个乡高中生的人数；max(d)：距离高中最远乡镇的数据；min(max(d))：最远数据中的最近 乡镇；sum(t)：平均到高中的距离；min(a)：平均距离当中的最小值。

数学建模物流配送中心选址模型

数学建模物流配送中心 选址模型 文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]

物流配送中心选址模型 姓名：学号：班级： 摘要：在现代络中，配送中心不仅执行一般的职能，而且越来越多地执行指挥调度、信息处理、作业优化等神经中枢的职能，是整个络的灵魂所在。因此，发展现代化配送中心是现代业的发展方向。文章首先使用重心法计算出较为合适的备选地，再考虑到各项配送中心选址的固定成本和可变成本，从而使配送中心选址更加优化和符合实际。 关键词：物流选址；选址；重心法；优化模型； 1．背景介绍 1．1 研究主题 如下表中，有四个零售点的坐标和物资需求量，计算并确定物流节点的位置。 1.2 前人研究进展 1.2.1国内外的研究现状：

国外对物流配送选址问题的研究已有60余年的历史，对各种类型物流配送中心的选址问题在理论和实践方面都取得了令人注目的成就，形成了多种可行的模型和方法。归纳起来，这些配送中心选址方法可分为三类： （1）应用连续型模型选择地点； （2）应用离散型模型选择地点； （3）应用德尔菲（Delphi）专家咨询法选择地点。 第一类是以重心法为代表，认为物流中心的地点可以在平面取任意点，物流配送中心设置在重心点时，货物运送到个需求点的距离将最短。这种方法通常只是考虑运输成本对配送中心选址的影响，而运输成本一般是运输需求量、距离以及时间的函数，所以解析方法根据距离、需求量、时间或三者的结合，通过坐标上显示，以配送中心位置为因变量，用代数方法来求解配送中心的坐标。解析方法考虑影响因素较少，模型简单，主要适用于单个配送中心选址问题。解析方法的优点在于计算简单，数据容易搜集，易于理解。由于通常不需要对进行整体评估，所以在单一设施定位时应用解析方法简便易行。 第二类方法认为物流中心的各个选址地点是有限的几个场所，最适合的地址只能按照预定的目标从有限个可行点中选取。 第二类方法的中心思想则是将专家凭经验、专业知识做出的判断用数值形式表示，从而经过分析后对选址进行决策。 国内在物流中心选址方面的研究起步较晚，只有10余年历史，但也有许多学者对其进行了较深入的研究，在理论和实践上都取得了较大的成果。北方交通大学鲁晓春等对配送中心的重心法地址做出了深入的研究，认为原有的重心法存在着问题，并把原有的计算公式用流通费用偏微分方程来取代。中国矿业大学周梅

选址问题及最佳巡视路线的数学模型 (1)

本科14组 许泽东，邹志翔，陈佳成 选址问题及最佳巡视路线的数学模型 摘 要 本文解决的问题是缴费站、派出所选址和最佳巡视路线的确定。合理设置缴费站，可以为居民缴费节省大量时间和精力。派出所位置和数量的不同选择，会产生不同的建设成本和管理经费。而最佳巡视路线的确立，可以让领导在最短时间内巡视完所有社区。为解决以上问题，我们建立的三个最优化模型。 针对问题一，我们先用floyd 算法求出各社区间的最短路，然后用计算机枚举出所有选址方案。对每一种选址方案都会产生一个平均距离S ，我们以此为指标对方案进行评估。经过合理化推导，我们得出最优解11712S .=（百米），且此时应该在M,Q,W 三社区设置煤气缴费站。 针对问题二，我们在问题一求出的最短路基础上，建立了0-1线性规划模型。然后借助matlab 软件求得最优解3=X （即应该设置3个派出所），并给出了各派出所管辖范围。这样既满足了每个社区在3分钟内至少能得到一个派出所服务，也为派出所的建设管理节省了不少成本。具体结果如下表3： 构建了社区网络的完全图，然后考虑到最优哈密顿圈的求解极其困难，我们连续使用30次模拟退火的方法求得连接各社区的近似最优哈密顿圈。其中，我们对每次求出的哈密顿圈都进行了合理划分，产生了三个子圈，即三组巡视路线。最终得到近似最优解128，见表4。接着，我们还对哈密顿圈划分方法进行了改进，求得近似最优解125（具体结果见表5）。 1.问题重述 问题背景 社区已是现代都市的的基础，随着城市社会经济的飞速发展，社区与人们生活的联系越来越密切，人们需要在社区解决日常生活涉及的各种利益和需要，因而人们对社区社会生活服务提出更高的要求，而政府也希望能够更好的指导和管理城市社区，社区生

数学建模学校选址问题模型

数学建模学校选址问题 模型 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-

学校选址问题 摘要 本文针对某地新开发的20个小区建设配套小学问题建立了0-1规划模型和优化模型。为问题一和问题二的求解，提供了理论依据。 模型一： 首先：根据目标要求，要建立最少学校的方案列出了目标函数： 然后：根据每个小区至少能被一所学校所覆盖，列出了20个约束条件; 最后：由列出的目标函数和约束函数，用matlab进行编程求解，从而得到，在每个小区至少被一所学校所覆盖时，建立学校最少的个数是四所，并且一共有22种方案。 模型二： 首先：从建校个数最少开始考虑建校总费用，在整个费用里面，主要是固定费用，由此在问题一以求解的条件下，进行初步筛选，得到方案1,4,8的固定成本最少。 然后：在初步得出成本费用最少时，对每个这三个方案进一步的求解，求出这三个方案的具体的总费用，并记下这三套方案中的最小费用。

其次：对这三套方案进行调整，调整的原则是：在保证每个小区有学校覆盖的条件下，用多个固定成本费用低的备选校址替换固定成本费用高的备选校址。在替换后，进行具体求解。 再次：比较各种方案的计算结果，从而的出了如下结论： 选用10,11,13,15,16号备选校址的选址方案，花费最少，最少花费为13378000元。 最后：对该模型做了灵敏度分析，模型的评价和推广。 关键字：最少建校个数最小花费固定成本规模成本灵敏度分析 1.问题重述 1.1问题背景： 某地新开发的20个小区内需要建设配套的小学，以方便小区内居民的的孩子上学。但是为了节省开支，建造的学校要求尽量的少，为此，设备选定的16个校址提供参考，各校址覆盖的小区情况如表1所示： 表1-1备选校址表

数学建模选址问题

摘要 目前，社区的优化管理和最佳服务已经成为一种趋势，并且为城市的发展作出了一定的贡献。本文针对在社区中选址问题及巡视路线问题，分别建立了多目标决策模型、约束最优化线路模型，并分别提供了选址社区和巡视路线。 对于问题一，我们建立了单目标优化模型，考虑到各社区居民到收费站点的平均距离最小，我们使用floyd 算法并通过matlab 编程，算出任意两个社区之间的最短路径，并以此作为工具，使用0－1变量列出了目标函数。在本题中，我们根据收费站数、超额覆盖等确定了约束条件，以保证收费站覆盖每个社区，同时保证居民与最近煤气站之间的平均距离最小,最终利用lingo 软件求得收费站建在M、Q、W三个社区。 对于问题二，同样是单目标优化模型，较之问题一不同的是，问题二不需要考虑人口问题，但需要确定选址的个数。接下来的工作分了两步，第一步，我们通过0－1变量列出目标函数，以超额覆盖等确定约束条件，用lingo 软件编程求出最小派出所站点的个数;第二步，我们利用第一步中求出的派出所个数作为新的约束条件，建立使总距离最小的优化模型，最终利用lingo 软件求得三个派出所分别建在W、Q、K社区。 对于问题三，我们建立了约束最优化线路模型，根据floyd 算法求得的任意两个社区之间的最短路径，建立了以w 点为树根的最短路径生成树，并据此对各点的集中区域进行划分，再利用破圈法得到最短回路。在本题中，我们初定了两种方案，并引入均衡度α对两种方案进行比较，最终采用了方案二。最后，我们用matlab编程求解方案二中各组的巡视路线为113百米，123百米，117百米，均衡度α＝8.13%。具体路线见 关键词：最短路径 hamilton圈最优化 floyd算法

选址问题数学模型

选址问题数学模型 Prepared on 22 November 2020

选址问题数学模型 摘要 本题是用图论与算法结合的数学模型，来解决居民各社区生活中存在三个的问题：合理的建立3个煤气缴费站的问题；如何建立合理的派出所；市领导人巡视路线最佳安排方案的问题。通过对原型进行初步分析，分清各个要素及求解目标，理出它们之间的联系.在用图论模型描述研究对象时，为了突出与求解目标息息相关的要素，降低思考的复杂度。对客观事物进行抽象、化简，并用图来描述事物特征及内在联系的过程.建立图论模型是为了简化问题，突出要点，以便更深入地研究问题 针对问题1：0-1规划的穷举法模型。该模型首先采用改善的Floyd-Warshall算法计算出城市间最短路径矩阵见附录表一；然后，用0-1规划的穷举法获得模型目标函数的最优解，其煤气缴费站设置点分别在Q、W、M社区，各社区居民缴费区域见表7-1，居民与最近的缴费点之间平均距离的最小值百米。 针对问题2：为避免资源的浪费，且满足条件，建立了以最少分组数为目标函数的单目标最优化模型，用问题一中最短路径的Floyd算法，运用LINGO 软件编程计算,得到个社区之间的最短距离，再经过计算可得到本问的派出所管辖范围是2.5千米。最后采用就近归组的搜索方法，逐步优化，最终得到最少需要设置3个派出所，其所在位置有三种方案，分别是：（1）K区，W区，D 区；（2）K区，W区，R区；（3）K区，W区，Q区。最后根据效率和公平性和工作负荷考虑考虑，其第三种方案为最佳方案，故选择K区，W区，Q 区，其各自管辖区域路线图如图8-1。 针对问题3：建立了双目标最优化模型。首先将问题三转化为三个售货员的最佳旅行售货员问题，得到以总路程最短和路程均衡度最小的目标函数，采用最短路径Floyd算法，并用MATLAB和LINGO软件编程计算，得到最优树图，然后按每块近似有相等总路程的标准将最优树分成三块，最后根据最小环路定理，得到三组巡视路程分别为km、11km和km，三组巡视的总路程达到km，路程均衡度为12%,具体巡视路线安排见表9-1和图。 关键词Floyd-Warshall算法穷举法最小生成树最短路径 1问题重述 问题背景

数学建模作业5数学规划模型----供应与选址的问题

数学建模作业5数学规划模型----供应与选址的问题

一、问题提出 某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐标系(a，b)表示，距离单位：km）及水泥日用量d（吨）由下表给出。目前有两个料场位于A(5,1)，B(2,7)，日储量各有20吨。 工地位置（a，b）及水泥日用量d 1 2 3456 a 1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25 b 1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.75 d 3 5 4 7 6 11 （1）试制定每天的供应计划，即从A，B两料场分别向各工地运送多少水泥，可使运输费用（总的吨千米数）最小，并求出吨千米数。 ( 注：先画图，在坐标上标出各工地位置（用蓝色*标示）和料场位置（用红色o标示）) （2）目前公司准备建立两个新的料场，日储量各为20吨，为使运输费用最省，问新的料场应建在何处，并算出两料场分别向工地运输多少吨水泥和费用。 （注：初始值取x0=[3 5 4 7 1 0 0 0 0 0 5 11 5 4 7 7]’） 二、问题分析 对于问题（1），确定用A，B两料场分别向各工地运送水泥，使运输费用 （总的吨千米数）最小，即要知道两点间线段最小，料场到工地的路线是直的，而要满足六个工地的需求，又要考虑到A、B两个料场的供应量，即在各工地用量必须满足和各料场运送量不超过日储量的条件下，使总的吨千米数最小，这是线性问题。。 对于问题（2），需要重新改建六个新的料场，使得在在各工地用量必须 满足和各料场运送量不超过日储量的条件下，使总的吨千米数最小，则需要确定新的料场的具体位置，这是非线性问题。 三、模型假设 1、假设料场和建筑工地之间都可以由直线到达； 2、运输费用由“吨千米数”来衡量； 3、两料场的日存储量够向各建筑工地供应；