勾股定理的应用专题训练题共4套

勾股定理的应用专题测试题

1.直角三角形两条直角边的长分别是3和4，则斜边上的高是多少？

2．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是多少？

3．△ABC中，AD是高，AB=17，BD=15，CD=6，则AC的长是多少？

4．如果直角三角形有一直角边是11，另外两边长是连续自然数，那么它的周长是多少？

二、填空题（每小题5分，共40分）

5．求下列直角三角形中未知边的长度：

b=______ c=______．

7．△ABC中，∠C=90°，c+a=9.8，c-a=5，则b为多少？8．如图1，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸减去了

一角，量得AB=3cm，CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为

多少？

图1 图2 图3

9．王师傅在操场上安装一副单杠，要求单杠与地面平行，杠与

两撑脚垂直，如图2所示，撑脚长AB、DC为3m，两撑脚间的距

离BC为4m，则AC=____m就符合要求．

10．如图2，一架云梯长10米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离

地面6米，要使梯子顶端离地面8米，则梯子的底部在水平面方

向要向左滑动_____米．

11．如图4是一长方形公园，如果某人从景点A走到景点C，则

至少要走_____米．

图4 图5

12．一个等腰直角三角形的面积是8，则它的直角边长为多少？

13．如图5，以直角三角形的三边为直径作三个半圆，则这三个

半圆的面积S1、S2、S3之间的关系是______．

14．如图6，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际

上岸地点C偏离了想要达到的B点140米，（即BC=140米），其

结果是他在水中实际游了500米（即AC=500米），求该河AB处

的宽度．

图6

15．如图7，根据图上条件，求矩形ABCD的面积．

图7

16．如图8，一艘轮船以16海里/时的速度离开港口O，向东南

方向航行，另一艘船在同样同时同地以12海里/时的速度向东北

方向航行，它们离开港口半小时分别到达A、B，求A、B两点的

距离?

图8

17．为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区在如图9

所示AB所在的直线上建一图书阅览室，本社区有两所学校所在

的位置在点C和D处．CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，

CA=15km，DB=10km，试问：阅览室E应建在距A多少㎞处，才能

使它到C、D两所学校的距离相等？

图9

参考答案：

一、1．D 2．A 3．B 4．C 5．B

二、6．12，26;7． 7; 8．20cm(提示:延长AB，DC构成直角三角形);9．5; 10．2 ; 11．370; 12．4; 13．S1+S3=S2．三、14．解：在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，

所以AB2+1402=5002，

解得AB=480．

15．解：在Rt△ADE中，

AD2=AE2+DE2=82+152=172，

所以AD=17，

所以矩形的面积是17×3=51(cm2)．

16．AB2=OA2+OB2=82+62=100，所以AB=10．

17．解：设阅览室E到A的距离为x㎞．连结CE、DE．

在Rt△EAC和Rt△EBD中，CE2=AE2+AC2=x2+152，

DE2=EB2+DB2=（25-x）2+102．因为点E到点CD的距离，

所以CE=DE．所以CE2=DE2．

即x2+152=(25-x)2+102．所以x=10．

因此，阅览室E应建在距A10km处．

120

90 1、如图，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km 的B 处有一可疑船只正在向东方向8km 的C 处行驶.我边防海警即刻派船前往C 处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h ，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C 处将可疑船只截住？

2、将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm ， 在无风的天气里，彩旗自然下垂，如右图.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm ）.

3、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？

4、有一只小鸟在一棵高4m 的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高20m 的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s 的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？

5、已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥DC ， AB ⊥AC ，∠B=60°CD=1cm ，求BC 的长。

6、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70 km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30 m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50 m ，这辆小汽车超速了吗？

7、如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10m 的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的C 处有一筐水果，一只猴子从D 处上爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳AC ，滑到C 处，另一只猴子从D 处滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两猴子所经路程都是15m ，求树高AB.

8、如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.求小明到达的终止

点与原出发点的距离.

9、如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，

要从A 点爬到B 点，则最少要爬行多少cm ？

10、已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=

3 ，求线段AB 的长。

11、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：ABCD 的面积。

12、有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高.

13、圆柱形玻璃容器，高18 cm ，底面周长为60 cm ，在外侧距下底1 cm,点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm 的点F 处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度．

8km C A B 6km O A B B D A

A 小汽车 小汽车

B

C 观测点 A B 10 40 20 出发点 C

A B

C D E

A D .

14、有一个长方体盒子，它的长是70cm ，宽和高都是50cm ．在A 点处有一只蚂蚁，它想吃到B 点处的食物．，那么它爬行的最短路程是多少

15、三角形的三边长分别为22b a +，ab 2，2

2b a -（b a ,都是正整数），试判断三角形的形状

16、一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

17. 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB=4，CE= BC ，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问△AEF 是什么三角形？请说明理由.

18．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西 40°，问：甲巡逻艇的航向？

19．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90。

20、已知在△ABD 中，AB=13， BC=10，BC 边上的中线AD=12，求证：AB= AC

21、如图，南北向MN 为我国领域，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B.已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？ 分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：（1）△ABC 是什么类型的三角形？

（2）走私艇C 进入我领海的最近距离是多少？

（3）走私艇C 最早会在什么时间进入？

22、，已知等腰△ABC 的底边BC=20cm ，D 是腰AB 上一点，且CD=16cm ，BD=12cm ，求△ABC 的周长.

23、如图，已知在△ABC 中，∠C=90°,D 为AC 上一点，AB 2

-BD 2

与AC 2

-DC 2

有怎样的关系？试证明你的结论。

2．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m ，高3m ，长20m ，

棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.

3.如图:是直角三角形三边上的三个半圆,已知两直角边上的半

圆面积分别是

2

9

∏,8∏,求斜边的长.

D

C A B E

N

A

B

C

A M

E C

B

3m 4m

20m

A

B

C

19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？

20. 如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.

21. 如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？22. 如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，

BC=36m，求这块地的面积。

C

A

D

B

23. 如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，

这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿

墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？

A1

B

A

四、综合探索

24.（12分）如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正

南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速

度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中

心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的

圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游

人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？

25.△ABC中，BC a

=，AC b

=，AB c

=，若∠C=90°，如图（1），

根据勾股定理，则2

2

2c

b

a=

+，若△ABC不是直角三角

形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想2

2b

a+

与2

c的关系，并证明你的结论.

26.作长为、、的线段。

27. 已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,

且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.

28. 若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。

A

B

C D

L 第21题图A

B

C

D

第24题

(完整版)八年级数学勾股定理的应用练习题

13.11勾股定理的应用练习（1） 第1题. 如图，△ABC 中，∠ACB =90o，CD 为AB 边上的高，若∠A =30o，AB =16，则BC =______，BD =______，CD =______． 答案：8，4 ， 第2题. 如图是一种“牛头形”图案，其作法是：从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别 向外作正方形2，以此类推，若正方形1的边长为64cm ，则正方形7的边长为_________cm ． 答案：8． 第3题. 甲、乙两人从同一地点出发，甲往东走了4km ，乙往南走了3km ，这时，甲、乙两人相距______． 答案：5km 第4题. 如果梯子底端离建筑物9m ，那么15m 长的梯子可达到建筑物的高度是______． 答案：12m 第5题. 如图，一扇宽为4米，高为3米的栅栏门，需要一根长______米的木条像图中那样固定． 答案：5 第6题. 一块土地的形状如图所示，90,20,15,7,B D AB BC CD ∠=∠=?===米米米求这块土地的面积? 答案：234平方米 第7题. 某菜农修建一个塑料大棚（如图），若棚宽a =4m ，高b =3m ，长d =35m ，求覆盖在顶上的塑料薄膜的面积． A B C D 4 4 3 3 2 2 1 3 A B C D a b c d

答案：175m 2 第8题. 一游泳池长48cm ，小方和小朱进行游泳比赛，从同一处出发，小方平均速度为3m/秒，小朱为3.1m/秒．但小朱一心想快，不看方向沿斜线游，而小方直游，俩人到达终点的位置相距14m ．按各人的平均速度计算，谁先到达终点，为什么？ 答案：小朱用16.13秒,小方用16秒,小方先到达终点 第9题. 如图，正方形ACDE 的面积为25cm ，测量出AB =12cm ，BC =13cm ，问E 、A 、B 三点在一条直线上吗？为什么？ 答案：在一条直线上，理由略 第10题. 从A 到B 有两种路线，一种走直线由A 到B ，另一种走折线，先从A 直线到C ，再由C 直线到B ，其中ACB ∠成直角，已知A 到C 为600m ，C 到B 为800m ，问从A 到B 走直线比走折线少走多少米？ 答案：400米 第11题. 如图，△ABC 中，90C ∠=o ，量出AC 、BC 的长，计算出AB （保留两个有效数字） 答案：略 第12题. 已知一个三角形的三边长分别是12cm ，16cm ，20cm ，你能计算出这个三角形的面积吗？ 答案：96平方厘米 第13题. 某住宅小区的形状是如图所示的直角三角形，直角边AC ，BC 的长分别为600米、800米，DE 为小区的大门，大门宽5米，小区的周围用冬青围成了绿化带，问绿化带有多长？ 答案：2395米 B A B C A D B E

(完整版)勾股定理应用题专项练习(经典)

勾股定理应用题 1.为了庆祝国庆，八年级（1）班的同学做了许多拉花装饰教室，小玲抬来一架 2.5米长的 梯子，准备将梯子架到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离是（ ） A.0.6米 B.0.7米 C.0.8米 D.0.9米 2.如图1所示，有一块三角形土地，其中∠C ＝90°，AB ＝39米，BC ＝36米，则其面积 是（ ） A.270米2 B.280米2 C.290米2 D.300米 2 3.有一个长为40cm ，宽为30cm 的长方形洞口，环卫工人想用一个圆盖盖住此洞口，那么 圆盖的直径至少是（ ） A.35cm B.40cm C.50cm D.55cm 4.下列条件不能判断三角形是直角三角形的是 （ ） A.三个内角的比为3:4:5 B.三个内角的比为1:2:3 C.三边的比为3:4:5 D.三边的比为7:24:25 5.若三角形三边的平方比是下列各组数，则不是直角三角形的是（ ） A. 1:1:2 B. 1:3:4 C. 9:16:25 D. 16:25:40 6.若三角形三边的长分别为6，8，10，则最短边上的高是（ ） A.6 B.7 C.8 D.10 7.如图2所示，在某建筑物的A 处有一个标志物，A 离地面9米，在离建筑物12米处有一 个探照灯B ，该灯发出的光正好照射到标志物上，则灯离标志物____米 8.小芳的叔叔家承包了一个长方形鱼塘，已知其面积是48平方米， 其对角线长为10米.若要建围栏，则要求鱼塘的周长，它的周长 是____米. 9.公园内有两棵树，其中一棵高13米，另一棵高8米，两树相距 12米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，则小鸟至少 要飞_____米. 10.若把一个直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的3倍，则斜边扩大到原来的____倍. 11.若△ABC 的三边长分别是2,2,2===c b a ，则∠A =____，∠B =____，∠C =____. 12.某三角形三条边的长分别为9、12、15，则用两个这样的三角形所拼成的长方形的周长 是______，面积是_____. 13.如图4所示，AB 是一棵大树，在树上距地面10米的D 处有两只猴子，它们同时发现C 处有一筐桃子，一只猴子从D 往上爬到树顶A ，又沿滑绳AC 滑到C 处，另一只猴子从D 处下滑到B ，又沿B 跑到C ，已知两只猴子所通过的路程均为15米，求树高AB . C B 图1 B C 图4 A C 图3

勾股定理的应用举例

勾股定理的应用举例 （一）教学目标 1．知识目标 (1)了解勾股定理的作用是“在直角三角形中已知两边求第三边”；而勾股逆定理的作用是由“三角形边的关系得出三角形是直角三角形”. (2)掌握勾股定理及其逆定理，运用勾股定理进行简单的长度计算. 2．过程性目标 (1)让学生亲自经历卷折圆柱. (2) 让学生在亲自经历卷折圆柱中认识到圆柱的侧面展开图是一个长方形（矩形）. (3)让学生通过观察、实验、归纳等手段，培养其将“实际问题转化为应用勾股定理解直角三角形的数学问题”的能力. (二)教学重点、难点 教学重点：勾股定理的应用. 教学难点：将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题”. 原因分析： 1.例1中学生因为其空间想像能力有限，很难想到蚂蚁爬行的路径是什么，为此通过 制作圆柱模型解决难题. 2.例2中学生难找到要计算的具体线段.通过多媒体演示来启发学生的思维. 教学突破点：突出重点的教学策略： 通过回忆复习、例题、小结等，突出重点“勾股定理及其逆定理的应用”，（三）、教学过程

部分 答案：c=5. 例2、在Rt△ABC中，一直角边分别为5，斜边为 13，求另一直角边的长是多少？ 答案：另一直角边的长是 12. 小结：在上面两个小题中，我们应用了勾股定理： 在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则 c2= a2+b2 . 加深定理的记忆理解，突出定理的 作用. 新 课 讲 解 勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在 现实生活和数学中有着广泛的应用． 例1如图14.2.1，一圆柱体的底面周长为20cm， 高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点 A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的 最短路程． 分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬 行．大家用一张白纸卷折圆柱成圆柱形状，标出A、 B、C、D各点，然后打开，蚂蚁在圆柱上爬行的距离， 与在平面纸上的距离一样．AC之间的最短距离是什 么？根据是什么？（学生回答） 通过动手作模型，培养学生的动 手、动脑能力，解决“学生空间想像能 力有限，想不到蚂蚁爬行的路径”的难 题，从而突破难点.

勾股定理练习题及答案

勾股定理课时练（1） 1. 在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2 2 2AC BC+ +的值是（） 2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是______ cm（结果不取近似值）. 3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 4.一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高多少m？ 5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米. 6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米? 7. 如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度. 8. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。求CD的长. 9. 如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的长. 10. 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米 12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相 距多远？还能保持联系吗？

(完整版)八年级数学勾股定理的应用测试题附答案

勾股定理的应用 基础检测姓名 1.分别以下列四组为一个三角形的三边的长：①6、8、10；②5、12、13；③8、15、17；④7、 8、9，其中能构成直角三角形的有（）. A.4组 B.3组 C.2组 D.1组 2.要从电杆离地面5m处向地面拉一条长为13m的电缆，则地面电缆固定点与电线杆底部的距离应为（）. A.10m B.11m C.12m D.13m 3.现有两根木棒,长度分别为44㎝和55㎝.若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，所需最短的木棒长度是（）. A.22㎝ B.33㎝ C.44㎝ D.55㎝ 4.等腰三角形ABC的面积为12㎝2，底上的高AD＝3㎝，则它的周长为㎝。 5.轮船在大海中航行，它从A点出发，向正北方向航行20㎞，遇到冰山后，又折向东航行15㎞，则此时轮船与A点的距离为㎞。 6. 如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域. （1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ E B A

7．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？ ●拓展提高 1.如图，已知S1、 S2和 S3分别是 RtΔABC的斜边AB及直角边BC和AC为直径的半圆的面积，则S1、 S2和 S3满足关系式为（）. A. S1< S2 +S3 B. S1= S2+ S3 C. S1> S2+ S3 D. S1= S2 S3 第1题第2题第3题 2.如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少m？ 3.如图，为测湖两岸A、B间的距离，小兰在C点设桩，使△ABC为直角三角形，并测得BC ＝12m，AC＝15m，则A、B两点间的距离是多少 m？

《勾股定理的应用》专项训练题及答案

八年级数学暑期集训练习 勾股定理的应用 1．一旗杆在其的B处折断，量得AC=5米，则旗杆原来的高度为（） A．米B．2米C．10米D．米 第1题第2题第3题 2．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（） A．60海里B．45海里C．20海里D．30海里 3．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（） A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m 4．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（） A．25海里B．30海里C．40海里D．50海里 第4题第5题 5．如图，学校有一块长方形花坛，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花坛内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（）步，却踩伤了花草（假设2步为1米） A．2 B．4 C．5 D．6

6．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）米． A．5 B．7 C．8 D．12 7．如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是（牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计）（） A．5≤a≤12 B．12≤a≤3C．12≤a≤4D．12≤a≤13 8．小红在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如图）拉到岸边，花柄正好与水面成60°夹角，测得AB长1m，则荷花处水深OA为（） A．1m B．2m C．3m D．m 9．如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（） A．4米B．3米C．5米D．7米 10．如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=60cm，AB=100cm，a，b，c…是在△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行．若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72cm，则这样的矩形a、b、c…的个数是（）

勾股定理的应用

卓邦教育勾股定理应用练习 1.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（） A、3 B、5 C、4.2 D、4 1题2题3题4题 2.如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（） A、10米 B、6米 C、7米 D、8米 3．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺． A、10 B、12 C、13 D、14 4.如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树断裂之前的高度为（） A、10米 B、16米 C、15米 D、14米 5.如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA=10km，CB=15km．DA⊥AB 于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（）km． A、5 B、10 C、15 D、25 6．如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB=8m，AD=6m，CD=24m，BC=26m，又已知∠A=90°．求这块土地的面积． 7.如图，某地方政府决定在相距50km的两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且C、D两村到点E的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？

人教版数学八年级下册：《勾股定理》应用题专题测试卷及解析

勾股定理 应用题 一．解答题（共21小题） 1．如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q 在上底面的棱上，AQ=2，一只蚂蚁从P 点出发沿木箱表面爬行到点Q ，求蚂蚁爬行的最短路程． Q P A 2．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的点A 沿纸箱外表面爬到点B ，那么它所行的最短路线的长是多少？ B A 3．有一圆柱形油罐，如图所示，要从A 点环绕油罐建梯子到B 点，正好B 点在A 点的正上方，已知油罐的周长为12m ，高AB 为5m ，问：所建梯子最短需多少米？ B A 4．吴老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长． 图3 图2 图1 A 1 B 1 C 1 D 1 D 1 C 1 B 1 A 1 D D B B A A C C C B A （1）如图（1）正方体的棱长为5cm ，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A 沿正方体表面爬到点C 1处； （2）如图（2）长方体底面是边长为5cm 的正方形，高为6cm ，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A 沿长方体表面爬到点C 1处； （3）如图（3）是底面周长为10cm ，高为5cm 的圆柱体，一只蚂蚁欲从圆柱体底面上的点A 沿圆柱体表面爬到点C 处． 5．有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm ，高AB=60cm ，水深为AE=40cm ，在水面上紧贴内壁G 处有一鱼饵，G 在水面线EF 上，且EG=60cm ；一小虫想从鱼缸外的A 点沿壁爬进鱼缸内G 处吃鱼饵．

（1）小动物应该走怎样的路线才使爬的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注． （2）求小动物爬行的最短路线长？ G F E B A C 6．我国古代有这样一道数学问题： “枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？ 7 ．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？ 8．如图，长方体的底面边长为4cm和宽为2cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长为多少cm？ 9．如图所示是一段楼梯，已知AC=5m，CD=7m，楼梯宽BD=5m，一只蚂蚁要从A点爬到B点，求蚂蚁爬行的最短路程．

勾股定理的应用专项训练题及答案

勾股定理的应用专项训练 题及答案 Prepared on 24 November 2020

八年级数学暑期集训练习 勾股定理的应用 1．一旗杆在其的B处折断，量得AC=5米，则旗杆原来的高度为（） A．米 B．2米 C．10米 D．米 第1题第2题第3题 2．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（） A．60海里 B．45海里 C．20海里 D．30海里 3．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（） A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m 4．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（） A．25海里 B．30海里C．40海里 D．50海里 第4题第5题 5．如图，学校有一块长方形花坛，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花坛内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（）步，却踩伤了花草（假设2步为1米） A．2 B．4 C．5 D．6 6．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 （）米． A．5 B．7 C．8 D．12 7．如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是（牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计）（）A．5≤a≤12 B．12≤a≤3C．12≤a≤4D．12≤a≤13 8．小红在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如图）拉到岸边，花柄正好与水面成60°夹角，测得AB长1m，则荷花处水深OA为（） A．1m B．2m C．3m D． m

勾股定理及其应用

勾股定理及其应用 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

第五次课勾股定理及其应用 本章知识要点 A. 勾股定理及其逆定理。 B. 验证、证明勾股定理及其依据（面积法）。 C. 勾股数组、基本勾股数组及勾股数的推算公式。 D. 勾股定理及其逆定理的应用。 E. 感受“方程”思想、“数形结合”思想、“化归与转化”思想等数学思想。 重点知识勾股定理的验证

（美）伽菲尔德总统拼图 如右图，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，所以 ()()22121221 c ab b a b a +?=+? +，即222c b a =+ 赵爽弦图 如右图，用四个全等的直角三角形可得到一个以()a b -为边长的小正方形和一个边长为c 的大正方形，因为大正方形的边长为c ，所以面积为2c ，又因为大正方形被分割成了四个全等的直角边长分别为b a ,的直角三角形和一个边长为()a b -的正方形，所以其面积为 ()2 2 14a b ab -+?所以()2 22 14a b ab c -+?=，从而222b a c +=. 刘徽：青朱出入图 如右图，通过拼图，以c 为边长的正方形面积等于分别以b a ,为边长的两个正方形的面积之和 名师提示 用拼图法验证勾股定理的思路：①图形经过割补拼接后，只 要没有重叠、没有空隙，那么面积就不会改变；②根据同一种图形面积的不同表示方法（简称面积法）列出等式，推导勾股定理 重点知识 确定几何体上的最短路线 描述 示意图 9 E D B A C F 7 D A E B C F 展开 5 甲 F D E F

《勾股定理》练习题及答案

《勾股定理》练习题及答案 测试1 勾股定理(一) 学习要求 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长． 课堂学习检测 一、填空题 1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______．2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边． (1)若a＝5，b＝12，则c＝______； (2)若c＝41，a＝40，则b＝______； (3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______； (4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______． 3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C 所走的路程为______． 4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______． 5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．二、选择题 6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )． (A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算 7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )． 2 (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )．(A)150cm2 (B)200cm2 (C)225cm2 (D)无法计算 三、解答题 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c． (1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b； (2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；

(完整版)勾股定理的实际应用题

18．如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？ 19．（2007?义乌市）李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长． （1）如图1，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处； （2）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处； （3）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A． 20．（2013?贵阳模拟）请阅读下列材料： 问题：如图1，圆柱的底面半径为1dm，BC是底面直径，圆柱高AB为5dm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线： 路线1：高线AB+底面直径BC，如图1所示．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图2所示．（结果保留π） （1）设路线1的长度为L1，则=_________．设路线2的长度为L2，则=_________．所以选择路线_________（填1或2）较短． （2）小明把条件改成：“圆柱的底面半径为5dm，高AB为1dm”继续按前面的路线进行计算．此时，路线1：= _________．路线2：=_________．所以选择路线_________（填1或2）较短． （3）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2dm，高为hdm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短．

勾股定理练习测试题及参考答案精选

《勾股定理》练习题及答案 测试1勾股定理(一) 学习要求 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长． 课堂学习检测 一、填空题 1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______． 2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边． (1)若a＝5，b＝12，则c＝______； (2)若c＝41，a＝40，则b＝______； (3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______； (4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______． 3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______． 4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______． 5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______． 二、选择题 6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为()． (A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算 7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于()． 2 (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG 的面积和为()．(A)150cm2 (B)200cm2(C)225cm2(D)无法计算 三、解答题 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．

初二数学勾股定理的应用测试题

14.2.2勾股定理的应用 ◆随堂检测 1、在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝15，AC＝17，以AB为直径作半圆，则此半圆的面积为__________ 2、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为__________． 3、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要 __________元． 4、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙 根O的距离等于3m．同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（）． A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m 5、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）． A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm 6、如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得树顶端A的仰角为30°，已知侧角仪高DC＝1.4m，BC＝30米，请帮助小明计算出树高AB．（取1.732，结果保留三个有效数字）

◆典例分析 如图1，一个梯子AB长2.5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5m，梯子滑动后停在DE的位置上，如图2，测得BD长为0.5m，求梯子顶端A下落了多少米． 解法指导：直角三角形中，已知一直角边和斜边是勾股定理的重要应用之一．勾股定理：a2＋b2＝c2的各种变式：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2．应牢固掌握，灵活应用． 分析：先利用勾股定理求出AC与CE的长，则梯子顶端A下落的距离为AE＝AC－CF． 解：在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2 ∴2.52＝AC2＋1.52，∴AC＝2（m）． 在Rt△EDC中，DE2＝CE2＋CD2，∴2.52＝CE2＋22 ∴CE2＝2.25，∴CE＝1.5（m）， ∴AE＝AC－CE＝2－1.5＝0.5（m） 答：梯子顶端A下落了0.5m． ◆课下作业

《勾股定理的应用》专项训练题及参考答案

八年级数学暑期集训练习勾股定理的应用 1．一旗杆在其的B处折断，量得AC=5米，则旗杆原来的高度为（） A ．米B．2米C．10米D ．米 第1题第2题第3题 2．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段 ）A．60 3，现将梯子的底端BB′（） A．小于 4 A A．25 5 走了（ A．2 6）米．A．5 7 盒内部分a的长度范围是（牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计）（） A．5≤a≤12 B．12≤a≤3 C．12≤a≤ 4D．12≤a≤13 8．小红在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如图）拉到岸边，花柄正好与水面成60°夹角，测得AB长1m，则荷花处水深OA为（） A．1m B．2m C．3m D ．m 9．如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m 及5m以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（）A．4米B．3米C．5米D．7米 精心整理

10．如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=60cm，AB=100cm，a，b，c…是在△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行．若各矩形在AC 上的边长相等，矩形a的一边长是72cm，则这样的矩形a、b、c…的个数是（） A．6 B．7 C．8 D．9 11．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°， ∠MBC=30°，则警示牌的高CD为______米（结果精确到0.1 米，参考数据：=1.41 ，=1.73）． 12．如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC 长m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到 AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′ 为m，则鱼竿转过的角度是______． 13． 文）：“15里处 步而见木． 14米．15“能”或“不能” 16 后停在 17 18 从港口A 19 拉长了 20 角顶点间加一个加固木板，这条木板需______m长． 参考答案 1-10DDACBBDDAD 11-202.9；15度；3.5；4；能；0.5；根号41；40海里；2；1.5 精心整理

最新北师大版八年级数学上册《勾股定理的应用》同步练习题及答案解析

八上1.3勾股定理的应用 一．选择题（共10小题） 1．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（） A．5m B．12m C．13m D．18m 2．如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于（） A．195cm B．200cm C．205cm D．210cm 3．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵树高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（） A．8米B．10米C．12米D．14米 4．如图，一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（）

A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm 5．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 6．已知蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方形纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（） A．8 B．10 C．12 D．16 7．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一颗大树，在一次强风中，这课大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（） A．一定不会 B．可能会 C．一定会D．以上答案都不对 8．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水而1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（） A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺

《勾股定理》专题总结及应用

《勾股定理》专题总结及应用 本章概述 本章主要学习勾股定理、勾股定理的逆定理及它们的应用.通过从特殊到一般的探索过程过程验证了直角三角形三边之间的数量关系——勾股定理，又由生活实例及三角形全等方法验证由三边关系得到直角三角形——勾股定理的逆定理.学习时应注意区分并把它们运用到实际问题中，同时了解定理、互逆命题、互逆定理的相关内容． 本章学习重难点 【本章重点】会灵活运用勾股定理进行计算及解决一些实际问题；掌握勾股定理的逆定理的内容及其证明过程，并会应用其解决一些实际问题. 【本章难点】掌握勾股定理探索过程，并掌握其适用范围；理解勾股定理及其逆定量． 【学习本章注意的问题】 在学习本章内容的过程中，主要注意勾股定理及其逆定理的应用.在解决实际问题的过程中常用下列方法：（1）直接法；（2）转化法；（3）构造图形法（即构造直角三角形以达到解题的目的）； （4）图形结合法；（5）数形结合法；（6）方程的思想方法. 中考透视 本节知识在中考中以考查已知直角三角形的两边求第三边，运用勾股定理解决实际问题为主.其中定理在实际生活中的应用是热点，一般以选择题、填空题或解答题的形式出现，有时也与其他知识一起综合命题． 知识网络结构图 一、知识性专题 专题1 勾股定理及其逆定理的应用 【专题解读】要证明以三条线段（或线段所在的直线）为边的三角形是直角三角形，应设法求出三边的长或关系式，利用勾股定理的逆定理证明. 例1 如图18-69所示，在等腰直角三角形ABC 的斜边上取两点M ，N ， 使∠MCN =45°，设AM=a ,MN=x,BN=b ,判断以x,a,b 为边长的三角形的形状. 分析 要判断三角形的形状，就应设法将x,a,b 放到一个三角形中，由于 ∠MCN =45°，因此可过点C 作CD ⊥MC ，截取CD=CM ，这样就可以得到 全等的三角形，并把x,a,b 放到一个三角形中，进而利用勾股定理的逆定理 判断三角形的形状. 解：作CD ⊥CM ，且CD=CM ，连接ND ，BD ， ∵AC ⊥BC ，CD ⊥CM ，∴∠ACB =∠MCD =90°.∴∠ACM =∠BCD . 又∵AC=BC ，CM=CD ，∴△CAM ≌△CBD . ∴∠CBD=∠A =45°,AM=BD=a . ∴CM=CD ,∠MCN =∠DCN =45°,CN=CN , ∴△MCN ≌△DCN . ∴ND=MN=x . 直角三角形 勾股定理 拼图法验证 应用 勾股定理的逆定理 判断直角三角形 勾股数 应用

勾股定理的实际应用习题

17.1勾股定理提升练习 1.如图18-29所示,有一块直角三角形纸片,两直角边AB=6,BC=8,将△ABC折叠,使AB落在斜边AC上,折痕为AD,则BD的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.如图18-30所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为10 cm,正方形A的边长为6 cm,B的边长为5 cm,正方形C的边长为5 cm,则正方形D的边长为( ) A.14cm B.4 cm C.15cm D.3 cm 3.如图18-31所示,把矩形纸条ABCD沿EF,GH同时折叠,B,C两点恰好落在AD边的P点处,若∠FPH=90°,PF=8,PH=6,则矩形ABCD的边BC的长为( ) A.20 B.22 C.24 D.30 4.如图18-32所示,四边形ABCD为长方形纸片,把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边的中点E处,折痕为AF.若CD=6,则AF等于( ) A.43 B.33 C.42 D.8 5.如图18-33所示,直线l是一条河,P,Q两地相距8千米,P,Q两地到l的距 离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（如图18-34所示）( )

6.如图18-35所示,已知半圆A的面积是3，半圆B的面积是4，则半圆C的面积是. 7.若直角三角形的斜边长为25 cm，一条直角边的长为20 cm，则它的面积 为cm2,斜边上的高为cm. 8.若直角三角形的两条直角边长分别为8，15，则它的周长为. 9.如图18-36所示,P是△ABC内任意一点,PD⊥AB,垂足为D,PE⊥BC,垂足为E,PF⊥AC,垂足为F,则AD2+BE2+CF2=AF2+BD2+CE2成立么？说明理由. 10.一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行,另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行,则一个半小时后,两船相距多少海里? 11.将一根长24 cm的筷子置于底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形透明玻璃杯中,如图18-37所示,设筷子露在杯子外面的长为h cm,求出h的取值范围. 12.如图18-38所示,探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数),连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数:当n=2时,钉子板上所连线段的不同长度值只有1与2,所以不同长度值的线段只有2种,若用S表示不同长度值的线段种数,则S=2;当n=3时,钉子板上所连线段的不同长度只有1, 2,2,5,22五种,比n=2时增加了3种,即S=2+3=5.

勾股定理及其应用

第五次课勾股定理及其应用 本章知识要点 A. 勾股定理及其逆定理。 B. 验证、证明勾股定理及其依据（面积法）。 C. 勾股数组、基本勾股数组及勾股数的推算公式。 D. 勾股定理及其逆定理的应用。 E. 感受“方程”思想、“数形结合”思想、“化归与转化”思想等数学思想。

重点知识 勾股定理的验证 验证方法 验 证 过 程 （美）伽菲尔德总统拼图 如右图，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，所以 ()()22 121221 c ab b a b a +?=+?+，即222c b a =+ 赵爽弦图 如右图，用四个全等的直角三角形可得到一个以()a b -为边长的小正方形和一个边长为c 的大正方形，因为大正方形的边长为c ，所以面积为2c ，又因为大正方形被分割成了四个全等的直角边长分别为b a ,的直角三角形和一个边长为()a b -的正方形，所以其面积为 ()2 214a b ab -+?所以()22214a b ab c -+?=， 从而222b a c +=. 刘徽：青朱出入图 如右图，通过拼图，以c 为边长的正方形面积等于分别以b a ,为边长的两个正方形的面积之和 名师提示 用拼图法验证勾股定理的思路：①图形经过割补拼接后，只要 没有重叠、没有空隙，那么面积就不会改变；②根据同一种图形面积的不同表示方法（简称面积法）列出等式，推导勾股定理 重点知识 确定几何体上的最短路线

描述 示意图 几 何 体 的 侧 面 展 开 图 长方体 将长方体相邻侧面展开，转化成一个长方形 圆柱 圆柱的侧面展开图是一个长方形 名师提示 (1)对于长方体相邻两个面的展开图，一定要注意打开的是哪一个侧面，比较三种打开方式的路径长度，得到最短路径. (2)勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，是数形结合的一个典范 (3)直角三角形的判别条件可以应用到实际生活中，也就是把一些实际问题转化为数学问题来解决。 例1 两个全等的长方形如图1-1-1放置，可验证勾股定理.连接AC,C A '，C C '，设AB=a ，BC=b ，AC=c ，请利用四边形D C BC ''的面积验证勾股定理222c b a =+. 9 E D B A C F 7 D A E B C F 展开 5 甲 A E F D 丙 D A E B F 乙 B A B A 展开

1.3勾股定理的应用同步练习题

＝_______． 2 3 C 1.3 勾股定理的应用 基础导练 1．斜边长 25cm ，一条直角边长 7cm ，这个直角三角形的面积为 ． 2．轮船在大海中航行，它从 A 点出发，向正北方向航行 20km ，遇到冰山后折向正 东方向航行 15km ，则此时轮船与 A 点的距离为 ． 3．欲登 12 米高的建筑物，梯子底端离建筑物 5 米，梯子的长度至少 米． 4．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1 米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花 朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为 2 米，问这里水深是 米． 5．在直线 l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面 积分别是 1、 、 ，正放置的四个正方形的面积依次是 S 、S 、S 、S ，则 S +S +S +S 1 2 3 4 1 2 3 4 5 题图 6．一只蚂蚁沿直角三角形的边爬行一周需 2 秒，如果将直角三角形的边扩大 1 倍， 那么这只蚂蚁再沿边爬行一周需（ ） A ．2 秒 B ．4 秒 C ．6 秒 D ．8 秒 7．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环 境，已知这种草皮每平方米售价 a 元，则购买这种草皮至少需要（ ） A ．450a 元 B ．225a 元 C ．150a 元 D ．300a 元 A E D 20m 30m 150° 第 7 题图 B F 第 8 题图 8．已知，如图长方形 ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝9cm ，将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF △，则 ABE 的面积为（ ） A ．6cm 2 B ．8cm 2 C ．10cm 2 D ．12cm 2