第1章概率论与数理统计基础

第1章概率论与数理统计基础

1.1概率论基础

一、随机事件与概率

1.随机事件－－简称事件

自然界中的事件可分为必然事件、不可能事件和随机事件三种：○1必然事件（U）：指在一定条件下必然发生的事件，如“1atm下水加热至100℃时沸腾”是必然事件。

○2不可能事件（V）：指在一定条件下不发生的事件，如“1atm下水加热至50℃时沸腾”是不可能事件。

○3随机事件（A、B……）：指一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件。

2.概率与频率

对每一次试验而言，随机事件是否发生是带有偶然性的。但在大量重复试验下，并把这些试验结果综合在一起，就可以看出支配这些偶然性的某种必然规律性来。实践证明，随机事件发生的可能性大小是它本身所固有的属性，不随人们的主观意愿而转移，并且这种属性可以通过大量试验来认识。

为便于研究，我们将随机事件A发生的可能性的大小用一个数值p来表示，并把这个数值p叫做事件A的概率。记作：

P（A）＝p

为了确定事件A的概率p，首先必须说明频率的概念。

设A为某试验可能出现的随机事件，在同样条件下，该试验重复做n次，事件A出现了m次（0≤m≤n），则称m为A在这n次试验中出现的频数，称m/n为A在这n次试验中出现的频率。（见书上表1-1）

频率m/n本身不是常数，它与试验次数n有关，随着试验次数n的增加，频率总是在某一常数附近摆动，而且n愈大，频率与这

个常数的偏差往往愈小，这种性质叫做频率的稳定性。这个常数是客观存在的，与所做的若干次具体试验无关，它反映了事件本身所蕴含的规律性，反映了事件出现的可能性大小。

因此，这个常数（p）就是事件A的概率。即事件A的概率就是事件A发生的频率的稳定值（p）。

P（A）＝p

抛掷硬币试验

试验者投掷次数 n 出现正面次数 m 出现正面频率 m/n

蒲丰4040 2048 0.5069

皮尔逊12000 6019 0.5016

皮尔逊24000 12012 0.5005

维尼30000 14994 0.4998

3.概率的基本性质

○1 0≤P（A）≤1 即任何事件的概率都介于0和1之间

○2 P(U)=1 即必然事件的概率为1

○3 P(V)=0 即不可能事件的概率为0

二、随机变量及其概率分布

1.随机变量的概念

有些随机事件有数量标识，如射击时命中的环数，掷一枚骰子所出现的点数等等。但也有些随机事件无数量标识，如掷一枚硬币时，试验结果为“正面朝上”或“反面朝上”，而不是数量。这会使我们感到不太方便，能否用量来代替事？这就促使我们引入随机变量的概念。事实上，很多事都和量有关。例如，掷硬币时“正面朝上”或“反面朝上”这两件事，我们可以分别记为“0”或“1”。经这样规定后，随机事件就可以用一个数来表示了。

试验结果能用一个数ξ(希腊字母，读“克西”)来表示，这个数ξ随试验结果不同而变化，我们称ξ为随机变量。

随机变量与一般实变量不同，它是随机的，即它的取值有一定的概率。掷硬币试验时，随机变量ξ的取值为0或1。

随机变量分为离散型和非离散型两类。离散型随机变量取值为有限个或无限可列个。非离散型随机变量的取值不能一一列举出来，情况比较复杂，其中最重要的，在实际中最常见的是连续型随机变量。

2.随机变量的概率分布

（1）离散型随机变量

掌握离散型随机变量的变化规律，除了要了解它的取值以外，更重要的是还要了解它取各可能值的概率是多少。

例如，要检验一批产品的质量，从中任意抽取5件，仅仅知道次品数ξ的可能取值（0，1，2，3，4，5）还不够，还应当知道“次品数为0”的概率有多大，“次品数为1”的概率有多大，……，“次品数为5”的概率有多大，只有这样才能对产品中的次品情况有一个较全面的了解。

设离散型随机变量ξ的所有可能取值为x0，x1，……，x k，……，ξ取各个可能值的概率为

P(ξ＝x k)＝p(x k) (k=0,1,2……) （1-1）则称式（1－1）为离散型随机变量ξ的概率分布或分布律（也称概率函数），若将其用表格形式表示，则为

ξ

x0 x1 ……x k ……

p p(x0) p(x1 ) ……p(x k ) ……

若用图形表示，则如课本上的图1-1所示。

（1-2）

由概率的基本性质可知，概率分布具有以下性质： （i ） 0≤p(x k )≤1 (k=0,1,2……) （ii ）∑∞

=0)(k k x p ＝1

这两条性质可以作为检验一张表能否成为一个离散型随机变量的分布律的条件。

（2） 连续型随机变量的分布密度

离散型随机变量的概率分布的变化规律可以用分布律来描述，但是这种方法不适用于连续型随机变量，因为后者的取值无法一一列举出来，因此不能用分布律的形式来描述。对这类随机变量的概率分布规律的描述通常是以研究“随机变量在某个区间上取值的概率”来实现的。为此，我们引入概率分布密度函数的概念。

定义：若随机变量ξ的分布函数F （x ）恰好是某个非负函数p （x ）在（-∞，x ）上的积分，即

F(x)＝dx x p x

?∞

-)(

则称ξ为连续型随机变量，称p （x ）为ξ的概率分布密度函数（简称为分布密度或密度函数）。称ξ的分布为连续型分布。

分布密度函数p （x ）具有以下性质： （i ） p （x ）≥0

（ii ） 1)(=?+∞

∞

-dx x p

这两条性质可以作为判断一个函数是否可以作为一个连续型随机变量的分布密度的条件。

（iii ） P （a<ξ≤b）==?dx x p b

a

)( F(b)- F(a)

显然，一旦知道了分布密度p （x ），即可求出ξ在任何实数区间（a ，b]上取值的概率，即（a<ξ≤b ）这件事的概率等于分布密度函数p （x ）从a 到b 的积分。注意，对连续型随机变量，任一点的概率均为零，因为p （x ）在任一点上的积分为零。因此，概率为零

的事件未必不发生，而概率为1的事件未必发生！

（iv ） 在p （x ）的连续点处，有F ′(x)＝p(x)。 概率分布密度函数p （x ）的图形如图1－2所示。

3. 随机变量的分布函数

若ξ是一个随机变量，x 是任意实数，函数

F （x ）＝P(ξ≤x)

称为随机变量ξ的概率分布函数，简称分布函数。

对离散型随机变量ξ，分布函数为

F （x ）＝P （ξ≤x ）＝∑≤x

x k x P k )(，(k=0,1,2,……;-∞

如图1-3所示。

对连续型随机变量ξ，p(x)为其分布密度，则分布函数为

F （x ）＝P （ξ≤x ）＝dx x p x

?∞

-)( （－∞

如图1-4所示。

连续型随机变量的分布函数的几何意义是，分布函数等于位于x 左方的分布密度曲线下的面积。

根据定义，随机变量的分布函数F（x）具有以下性质：

（i）F(x)是一个非减函数，即若x1

（iii） F(-∞)＝)

(

lim x

F

x-∞

→＝0, F(+∞)＝)

(

lim x

F

x+∞

→

＝1

（iv）对任意实数a和b（a

P(a<ξ≤b)＝P(ξ≤b）-P(ξ≤a）＝F(b)– F(a)

三、正态分布（Gauss 高斯分布）

1.正态分布的定义

随机变量的分布形式有多种，但最重要，最常用的是所谓的正态分布。自然界中许多随机变量的分布均服从正态分布。此外，还有许多随机变量近似服从正态分布。正态分布的数学表达式首先由高斯（Gauss）给出，所以也叫高斯分布。

设随机变量ξ的分布密度函数为

p(x

2

2

()

2

2

xμ

σ

σπ

-

-

（-∞

其中μ和σ都是常数，且σ>0，则称ξ服从参数为μ和σ2的正态分布，记作N（μ，σ2）。为方便起见，常把随机变量ξ服从参数为μ和σ2的正态分布简记为ξ～ N（μ，σ2）。

正态分布的分布函数为

F（x）＝

2

2 () 2

2

t

x

e dt

μ

σ

σπ

-

-

-∞

?（-∞

?（x）＝2

2

2

1x

e-

π

(-∞

相应地，分布函数用Φ（x）表示，即

Φ（x）＝dt

e

t

x

2

2

2

1-

∞

-

?

π

(-∞

正态分布是一种十分重要的分布，在实际上也是最常见的一种分布，如产品的质量指标、人的身高、体重及测量的误差等一般认为是服从正态分布的。

（面相、手相、算命等传统民间文化，实质上就是把人的一生的命运按概率分布函数进行计算和推测！可是，这些分布密度函数---经验公式的适用条件是什么？？？）

2.正态分布密度函数的特点

（i ） p(x ）≥0；

（ii ）

1)(=?+∞

∞

-dt t p ；

（iii ） p(x)的图形对称于x ＝μ； （iv ） 当x ±∞→时 p(x)0→； （v ） 在x ＝μ处，p(x ）有极大值

π

σ21

。 μ和σ是正态分布的两个重要参数,决定着正态分布密度曲线的位置和形状。μ决定位置，σ决定形状。

3.正态分布的概率计算

标准正态分布函数Φ(x ）＝

dt e

t x

2

221-

∞

-?

π

在实际工作中广泛应用，

但它难以直接进行积分运算，通常是查表，参见书后的附表1。

若ξ～N(0，1)，对任意a

dt e

t b

a

2

221-

?

π

＝Φ(b)－Φ(a)

Φ(b ）和Φ(a ）可从附表1中查得。

若ξ～N(μ，σ2)，对任意α<β，有 P （α<ξ≤β）＝()()βμαμ

σσ

--Φ-Φ

四、随机变量的数字特征（数学期望、方差）

我们知道，随机变量的分布函数（或分布密度、分布律）能很好地描述随机变量的统计特征，但对于一个实际的问题要找出一个随机变量的分布函数（或分布密度、分布律）不是一件很容易的事；另外，在实际上有时也并不要求出随机变量的分布函数，而只要知道随机变量的某些特征就可以了。它能部分地描述分布函数的特征。反映随机变量的分布情形的某些特征数字，我们称为随机变量的数字特征。最常用且最重要的两种数字特征是数学期望和方差。 1．数学期望（均值） （1）数学期望的概念

例：设对某食品的水分进行了n 次测量，其中有m 1次测得结果为x 1，有m 2次测得结果为x 2，……，有m k 次测得结果为x k ，则测定结果的平均值为

(1

n =ξx 1m 1+x 2m 2+……+x k m k )=n m x i

k

i i ∑=1

其中n=m 1+m 2+……+m k ＝∑=k

i i m 1

，m i 为x i 出现的频数，

n

m i

为x i 出现的频率。

因此，所求平均值为得到的诸量值以其出现的频率为权的加权平均。由于频率具有偶然性，所以我们用频率的稳定值——概率代替频率，就消除了偶然性，从本质上反映了随机变量的平均值。习惯上，我们把这个平均值称为随机变量ξ的数学期望或均值。数学期望的意思是通过大量观察，可以期望这个随机变量取这个值。下面分别讨论离散型和连续型两种随机变量的数学期望的定义及其性质。 （2）离散型随机变量的数学期望

定义：设ξ为离散型随机变量，其分布率为

如果级数i i i p x ∑=1

绝对收敛，则称级数i i i p x ∑=1

为随机变量ξ的数学期望

（或均值）并记作E （ξ），即

E （ξ）＝i i i p x ∑∞

=1

显然，对于分布已经确定的随机变量来说，随机变量的数学期望是一个常数。如果级数i i i p x ∑∞

=1发散，则称ξ的期望不存在。

数学期望是算术平均值概念的拓广，说得明确些，就是概率意义下的平均，因而也称数学期望为均值。 （3） 连续型随机变量的数学期望

定义：设连续型随机变量ξ的分布密度为p （x ），若广义积分

?+∞

∞

-dx x xp )(绝对收敛，则

E （ξ）＝?+∞

∞

-dx x xp )(

称为连续型随机变量ξ的数学期望。 例：设ξ～N （μ，2σ），求E （ξ）

解：E （ξ）＝?+∞

∞

-dx x xp )(＝dx e

x

a x 2

22)(21

σπ

σ--

+∞

∞

-?＝a

∴正态分布N （μ，2σ）中的参数μ就是ξ的数学期望。 （4） 数学期望的性质

（i ） 若C 为常数，则E （C ）＝C （ii ） 若ξ为一随机变量，C 为常数，则

E （C ξ）＝C E(ξ)， E （C ＋ξ）＝E （ξ）＋C

（iii ） 若ξ1和ξ2为两个同类随机变量(同为离散型或连续型随机

变量)则

E （ξ1+ξ2）＝E （ξ1）+E （ξ2）

（iv ） 若ξ和η为相互独立的随机变量，则

E （ξ?η）＝E （ξ）? E （η）

2.方差

（1）方差的概念

随机变量ξ的数学期望E （ξ）反映了随机变量取值的平均水平，

但在许多实际中，只知道ξ的数学期望是不够的，还要知道ξ的取值偏离期望的程度。为此，引进方差的概念。

定义：设ξ为一随机变量，如果其数学期望E（ξ）存在，则称[ξ-E（ξ）]为随机变量的ξ的离差。离差的平方的数学期望称为随机变量ξ的方差，记作

D（ξ），即

D（ξ）＝E{[ξ-E（ξ）]2}

显然，对任意随机变量有D（ξ）≥0。[ξ-E（ξ）]2是随机变量ξ的函数，是一个新的随机变量，它的期望表示这个新的随机变量取值的平均情况。D（ξ）大，则ξ与E（ξ）的偏差也大，离散程度越大。故D（ξ）定义域很好地反映了方差是描述随机变量ξ与E（ξ）的偏离情况，也便于数学上的分析。

方差的算术平方根)

D(ξ称为ξ的标准差或均方差，记作σ（ξ）＝)

D(ξ.与数学期望一样，对有确定分布的随机变量来说，方差也是一个常量。

（2）离散型随机变量的方差

设离散型随机变量ξ的分布律为Array

则D（ξ）＝E{[ξ-E（ξ）]2}＝∑∞

[x k-E（ξ）]2 p（x k）

k

=1

（3）连续型随机变量的方差

若ξ为连续型随机变量，p（x）为分布密度，则

[x-E（ξ）]2 p（x）dx D（ξ）＝E{[ξ-E（ξ）]2}＝?+∞

∞

-

方差D（ξ）表示ξ取值对E（ξ）的偏离程度，即ξ取值的发散程度，D（ξ）越大，表示ξ取值越发散，反之，表示ξ取值越集中在E（ξ）的附近。

例：设ξ～N（μ，2σ），求D（ξ）.

解：∵E （ξ）＝μ

∴D （ξ）＝E{[ξ-E （ξ）]2}

＝?+∞

∞-[x-E （ξ）]2 p （x ）dx

＝22

()2

2()x x dx μσμ-+∞

--∞

-?

＝2σ

即D （ξ）＝2σ

（4）方差的性质

（i ）C=常数， D （C ）＝0 （ii ）D （C ξ）＝C 2 D （ξ） D （C+ξ）＝D （ξ）

（iii ）ξ和η相互独立 D （η+ξ）＝D （η）+D （ξ） （iv ）D （ξ）＝E （ξ2）- [E （ξ）]2

1.2 统计量及其分布

一．基本概念

1、总体与样本

（1）总体与个体

在数理统计学中，我们把研究对象的全体称为总体，把构成总体的每一个个别对象称为个体。我们可以把一个总体看作某一随机变量ξ全部取值的集合。

如果一个总体ξ服从正态分布，即ξ～N（μ，2 ），则称ξ为正态总体。

（2）样本与样本容量

从总体中抽取一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量。

从总体中随机地抽取n个个体（ξ1、ξ2……ξn），则（ξ1、ξ2……ξn）为总体的一个样本。样本中个体数目n为样本容量。由于（ξ1、ξ2……ξn）是从总体中随机抽取的，所以ξ1、ξ2……ξn分别为n 个随机变量。在一次实际抽取之后，样本（ξ1、ξ2……ξn）得到一组具体的数值（x1、x2……x n），称为样本（ξ1、ξ2……ξn）值，即样本（ξ1、ξ2……ξn）的一个观察值。

（3）简单随机样本

样本通常只占总体的很小部分，因此，可以认为每次抽取一个个体之后，总体的分布并不会发生改变。这说明，样本（ξ1、ξ2……ξn）都是与总体ξ同分布的；其次，如果样本的抽取是随机进行的，并不掺杂人的主观倾向造成的偏差，那么每个个体被抽到的机会都是均等的（即ξ1、ξ2……ξn相互独立）。符合上述2个条件的抽样方法称为简单随机抽样，所获得的样本成为简单随机样本。显然简单随机样本具有2个性质：

○1代表性；○2独立性

2、统计量

当我们得到了总体ξ的一个样本（ξ1、ξ2……ξn）时，为了推得总体的一些性质，往往需要对所取得样本做一些运算，即构成样本

的某种函数，这种函数称为统计量。因为样本是随机变量，所以作为样本的函数的统计量也是一个随机变量。

在数理统计中，常用的统计量是样本均值、样本方差和极差，它们都是样本的数字特征。

若（ξ1、ξ2……ξn ）为总体ξ的一个样本，如果样本的函数f （ξ1、ξ2……ξn ）不包含其它未知参数，则称f （ξ1、ξ2……ξn ）为总体的一个统计量。又若（x 1，x 2，……x n ）为样本（ξ1、ξ2……ξn ）的一组观测值，则函数值

f （x 1、x 2……x n ）为统计量f （ξ1、ξ2……ξn ）的一个观测值。 设从总体中随机抽取一个容量为n 的样本，样本值为x 1、x 2……x n ，则称

∑==n

i i x n x 1

1 为样本均值，称

∑=--=n

i i x x n S 1

22

)(11 为样本方差（S 称为样本均方差或样本标准差），称

R ＝max （x 1、x 2……x n ）－min （x 1、x 2……x n ）

为样本极差。

样本均值是描述数据的平均状态或集中位置的，样本方差是描述数据的波动情况或离散程度的，极差则是表示数据离散程度的最简单方法。

二．统计量的分布 1.样本均值（ξ）的分布

设（ξ1、ξ2……ξn ）为来自正态总体ξ～N （μ，2σ）的一个

样本，样本均值为∑==n

i i n 1

1ξξ，则可证明

ξ～N （μ，2σ/n ）

2

U n

ξσ

-≡

～N （0，1）

这说明样本均值ξ的取值比总体ξ的取值更紧密地集中在总体均值μ的周围，集中的程度与样本容量n 的大小有关。 2.2χ分布

若（ξ1、ξ2……ξn ）为来自正态总体ξ～N （μ，2σ）的一个容量为n 的样本，又若2σ为已知，可以证明，由样本方差S 2构造的统计量

(n －1)S 2/2σ

是自由度为n-1的2χ变量，即(n －1)S 2/2σ服从自由度为n-1的2χ分布，记作

2χ=(n －1)S 2

/2σ～2χ（n －1）

其中∑=--=n

i i n S 1

22

)(11ξξ 随机变量的分布密度

???

????<≥-Γ=-----)0(0)

0()

2

1(21

)(212121

1x x e x n x p x

n n n

3. t 分布

设（ξ1、ξ2……ξn ）为来自正态总体ξ～N （μ，2σ）的样本，可以证明统计量

/t S n

ξ-≡

服从自由度为n －1的t 分布，记作

/t S n

ξ-≡

～t （n －1）

随机变量t 的分布密度为

)()

11()2

1()1()2

()(2

21+∞<<-∞-+-Γ-Γ=--x n x n n n x p n

n π

自由度f ＝n －1

t 变量用于对正态总体均值的估计和检验。

定理：设（ξ1、ξ2……ξn ）为来自正态总体N （μ1，2σ）的一个样本，(η1、η2……ηn )为来自正态总体N （μ2，2σ）的一个样本，且这两个样本相互独立，则统计量

1212(2)12

~11n n w t s n n ξη+-+

式中 ∑==n

i i n 11ξξ ∑==n i n 1

i 1ηη

2)1()1(2122

22112-+-+-=

n n s n s n s w

∑=-=-=1

12121

)(11n i i n s ξξ

∑=-=-=2

12222

)(11n i i n s ηη

该定理主要用于两个正态总体的期望值有无差异的推断，或估计它们的期望值之差的场合。 4． F 分布

设（ξ1、ξ2……ξn ）与(η1、η2……ηn )是分别取自两个相互独立的正态总体ξ～N （μ1，21σ）和η～N （μ2，22σ）的样本，则统

计量22

222

121//σσs s 服从第一自由度f 1＝n 1－1，第二自由度f 2＝n 2－1的F 分

布，记作

22

222

121//σσs s F =～F(n 1－1，n 2-1)

其分布密度为

????

?????≤>+-+ΓΓ+Γ=-)0(0)

0(221)1()()2()2()2()(211222

12121),(1121x x n n x n n x n n n n n n x p n

n f f

f 1=n 1-1, f 2=n 2-1 特别地,若2221σσ= 则有

22

2

1s s F =～F(n 1-1,n 2-1)

F 变量用于两个正态总体方差异同的检验。

1.3 参数估计

数理统计的基本任务是以样本为依据来推断总体的统计规律性。在实际工作中，我们会遇到两个方面的问题：

1.通过实践或理论上的推导，大体上掌握了总体ξ的分布类型，但其中的分布参数未知，因而需要根据样本对参数进行估计；

2.有些实际问题不要求掌握总体ξ的分布，只需知道总体ξ的数学期望和方差等数字特征。这都需要我们去探讨如何根据样本的数据对总体ξ的未知参数作出科学的估计，这就是参数估计问题。

参数估计通常有两种方法，即点估计（以样本的某一函数的某一函数值作为总体中未知参数的估计值）和区间估计（将总体的数字特征按照一定的概率确定在某一范围之内）。

一、参数的点估计

1、问题的提出：

前面讨论统计量时，提到样本均值和样本方差的概念。那么是否可用样本均值和样本方差去估计总体均值和总体方差呢？理论上可证明：当样本容量n无限增大时，样本均值和总体均值之比及样本方差和总体方差之比皆无限趋近于1。因此，可以用样本均值和样本方差去估计总体均值和总体方差。

点估计是在样本上进行的，设F(x,θ)为总体ξ的分布函数，其中x为变量，θ为参数，(ξ1、ξ2、…ξn)是来自总体的一个样本，现用样本函数θ)(ξ1、ξ2、…ξn)去估计θ，我们称θ)为参数θ的一个点估计量，而称θ为待估参数。若（x1、x2、...、x n）为一个样本值，代入估计量θ)中，就得到θ的具体数据，这个数据称为参数θ的估计值。

由于统计量是随机变量，对于不同的样本值，待估参数θ的估计值θ)也不同。我们总是希望统计量能够尽可能准确的表达参数的真值。为了这个目的，我们规定了一些评价估计值优劣的标准，来衡量包括点估计在内的估计方法的优劣。

2、估计量的评价

（1）估计的无偏性：

估计值θ)与参数真值θ可能不同，但我们有理由要求θ)

应该围绕着待估参数θ摆动，即应有E(θ)

)＝θ。符合这个条件的估计量θ)

称为参数θ的无偏估计量。

例1-5 证明样本均值ξ是总体ξ数学期望E(ξ)的无偏估计量

证：E(ξ)＝E （

∑=n

i i n

1

1

ξ）＝∑=n

i i E n 1)(1ξ＝)(1ξE n n ??＝E(ξ) 即样本均值ξ的数学期望E(ξ)等于总体ξ的数学期望E(ξ)，根据定义，所以ξ是总体ξ数学期望E(ξ)的无偏估计量。

例1-6 证明S 2

＝∑=--n

i i

n 1

)(11ξξ2

是D(ξ)的无偏估计量； S*2

＝∑=-n

i i n 1

)(1ξξ2不是D(ξ)的无偏估计量。

证明过程见p26～27。

E(S 2)＝D （ξ），E(S*2)＝

n

n 1

-D （ξ）。 所以：用S 2比用S*2估计总体方差更好些。 （2）估计的有效性

无偏性是估计量好坏的评价标准之一。但是一个总体参数的无偏估计量并不是唯一的，换言之，同一个总体参数可能有两个或者两个以上的无偏估计量。如果要比较同一参数的两个无偏估计量的好坏，自然应该在样本容量相同的条件下，看哪一个估计量摆动更小，这就是有效性的概念。

设θ)1和θ)2是同一参数θ的无偏估计量，如果D(θ)1)< D(θ)

2)，就说θ)

1比θ)

2更有效。

例1-7 比较正态总体均值E(ξ)的两个估计量ξ＝

n

1∑=n

i i

1

ξ

和1ξα=的有

效性。

解：因为D(ξ)＝D （

n

1

∑=n

i i 1

ξ)= 21

n ∑=n

i i D 1

(ξ)= 21n n 2

σ=n 2σ 又因D(α)=D(1ξ)=2σ 所以D(ξ)

全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案

全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二） 课程代码：02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量 （X ，Y ）的概率密度为 则称 （X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布，

数三概率论与数理统计教学大纲

数三《概率论与数理统计》教学大纲 教材：四川大学数学学院邹述超、何腊梅：《概率论与数理统计》，高等教育出版社出，2002年8月。 参考书：袁荫棠：《概率论与数理统计》（修订本），中国人民大学出版社。 四川大学数学学院概率统计教研室：《概率论与数理统计学习指导》 总学时：60学时，其中：讲课50学时，习题课10学时。 学分：3学分。 说明： 1.生源结构：数三的学生是由高考文科生和一部分高考理科生构成。有些专业全是文科生或含极少部分理科生（如：旅游管理，行政管理），有些专业约占1/4～1/3的理科生（国贸，财政学，经济学），有些专业全是理科生（如：国民经济管理，金融学）。 2.高中已讲的内容：高中文、理科都讲了随机事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率，即教材第一章除条件概率以及有关的内容以外，其余内容高中都讲了。高中理科已讲离散型随机变量的概率分布（包括二项分布、几何分布）和离散型随机变量的期望与方差，统计基本概念、频率直方图、正态分布、线性回归。而高中文科则只讲了一点统计基本概念、频率直方图、样本均值和样本方差的简单计算。 3.基本要求：学生的数学基础差异大，不同专业学生对数学课重视程度的差异大，这就给讲授这门课带来一定的难度，但要尽量做到“分层次”培养学生。高中没学过的内容要重点讲解，学过的内容也要适当复习或适当增加深度。讲课时，既要照顾数学基础差的学生，多举基本例子，使他们掌握大纲要求的基本概念和方法；也要照顾数学基础好的学生，使他们会做一些综合题以及简单证明题。因为有些专业还要开设相关的后继课程（如：计量经济学），将用到较多的概率统计知识；还有一部分学生要考研，数三的概率考研题往往比数一的难。 该教材每一章的前几节是讲述基本概念和方法，习题(A)是针对基本方法的训练而编写的，因此，这一部分内容须重点讲解，并要求学生必须掌握；每一章的最后一节是综合例题，习题(B)具有一定的综合性和难度，可以选讲部分例题，数学基础好的学生可选做(B)题。 建议各章学时分配(+号后面的是习题课学时)： 第一章随机事件及其概率 一、基本内容 随机事件的概念及运算。概率的统计定义、古典定义及公理化定义。概率的基本性质、加法公式、条件概率与乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。事件的独立性，独立随机试验、

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

《概率论与数理统计》讲义#(精选.)

第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜

色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？

概率论与数理统计第三章课后习题答案

习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+

ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12(34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k

概率论与数理统计第二版_课后答案_科学出版社_参考答案_

习题2参考答案 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 解：根据 1)(0 ==∑∞ =k k X P ，得10 =∑∞ =-k k ae ，即111 1 =---e ae 。 故 1-=e a 解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2, 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2, (1)两人投中的次数相同 P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}= 1 1 2 2 020********* 2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ?+?+?=(2)甲比乙投中的次数多 P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}= 1 2 2 1 110220022011222222 0.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ?+?+?=解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155 ++= (2)P{

解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++L =11[1()] 14 41314 k k lim →∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=111 1244 --= 解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，2 12341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719 ???= 1123412342341234{1}{}{}{}{} 2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795 P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=???+???+???+???= 12323 {2}1{0}{1}1199595 P X P X P X ==-=-==- -= 解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4, 34 314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5, 3 4 5 324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++= （1）X ～P(λ)=P ×3)= P 0 1.51.5{0}0! P X e -=== 1.5 e - （2）X ～P(λ)=P ×4)= P(2) 0122 222{2}1{0}{1}1130!1! P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-

概率论与数理统计考研复习资料

概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1

概率论与数理统计课程教学大纲

概率论与数理统计课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：概率论与数理统计 所属专业：物理学 课程性质：必修 学分：3 （二）课程简介、目标与任务； 《概率论与数理统计》是研究随机现象规律性的一门学科；它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生掌握概率与数理统计的基本概念，并在一定程度上掌握概率论认识问题、解决问题的方法。同时这门课程的学习对培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题能力也会起到一定的作用。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 先修课程：高等数学。后续相关课程：统计物理。《概率论与数理统计》需要用到高等数学中的微积分、级数、极限等数学知识与计算方法。它又为统计物理、量子力学等课程提供了数学基础，起了重要作用。 （四）教材与主要参考书。 教材： 同济大学数学系编，工程数学–概率统计简明教程（第二版），高等教 育出版社，2012. 主要参考书： 1.浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编，概率论与数理统计（第四版）， 高等教育出版社，2008. 2.J.L. Devore, Probability and Statistics(fifth ed.)概率论与数 理统计（第5版）影印版，高等教育出版社，2004. 二、课程内容与安排 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件； 1.2 事件关系和运算。

第二章事件的概率 2.1概率的概念；2.2 古典概型；2.3几何概型；2.4 概率的公理化定义。第三章条件概率与事件的独立性 3.1 条件概率； 3.2 全概率公式； 3.3贝叶斯公式；3.4 事件的独立性； 3.5 伯努利试验和二项概率。 第四章随机变量及其分布 4.1 随机变量及分布函数；4.2离散型随机变量；4.3连续型随机变量。 第五章二维随机变量及其分布 5.1 二维随机变量及分布函数；5.2 二维离散型随机变量；5.3 二维连续随机变量；5.4 边缘分布； 5.5随机变量的独立性。 第六章随机变量的函数及其分布 6.1 一维随机变量的函数及其分布；6.2 多元随机变量的函数的分布。 第七章随机变量的数字特征 7.1数学期望与中位数； 7.2 方差和标准差； 7.3协方差和相关系数； *7.4大数律； 7.5中心极限定理。 第八章统计量和抽样分布 8.1统计与统计学；8.2统计量；8.3抽样分布。 第九章点估计

概率论与数理统计教程习题(第二章随机变量及其分布)(1)答案

概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它

天津理工大学概率论与数理统计同步练习册标准答案详解

天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解

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第一章 随机变量 习题一 1、写出下列随机试验的样本空间 (1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和 Ω= { }1843,,,Λ (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数 Ω= { }Λ,,1110 (3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”， 如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。 Ω={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,} (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 Ω= }|),{(122<+y x y x (5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度 Ω=},,,|),,{(1000=++>>>z y x z y x z y x 其中z y x ,,分别表示第一、二、三段的长度 (6 ) .10只产品中有3只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间U = “在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U = 解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。} 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 …、 10 ( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… } 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 … 2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系 (1)δ<-||a x 与δ≥-||a x 互不相容 (2)20>x 与20≤x 对立事件 (3)20>x 与18x 与22≤x 相容事件 (5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品 互不相容 (6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品 对立事件

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量

probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律

《概率论与数理统计》课程教学大纲

《概率论与数理统计》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号：450006 课程名称：概率论与数理统计 课程类别：公共基础课（必修） 学时学分：理论48学时/3学分 适用专业：计算机、自动化、经管各专业 开课学期：第一学期 先修课程：高等数学 后续课程： 执笔人： 审核人： 制（修）订时间：2015.9 二、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类本科各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机事件的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。 三、课程教学基本要求 本课程以课堂讲授为主，致力于讲清楚基本的概率统计思想，使学生掌握基本的概率、统计计算方法。注意培养基本运算能力、分析问题和解决实际问题的能力。讲授中运用实例来说明本课程应用的广泛性和重要性。每节课布置适量的习题以巩固所学知识，使学生能够运用概率统计思想和方法解决一些实际问题。 四、课程教学内容及各教学环节要求 （一）概率论的基本概念

1、教学目的 理解随机现象、样本空间、随机事件、概率等概念，掌握事件的关系与运算，掌握古典概犁及其计算、条件概率的计算、全概率公式和贝叶斯公式的应用。 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 概率、条件概率与独立性的概念； ② 加法公式；乘法公式；全概率公式；贝叶斯公式。 （2）教学难点 ① 古典概型的有关计算；② 全概率公式的应用； ③ 贝叶斯公式的应用。 3、教学方法 采用传统教学方式，以课堂讲授为主，课堂讨论、多媒体演示、课下辅导等为辅的教学方法。加强互动教学，学生对课程的某一学术问题通过检索资料、实际调查来提高自学能力和实践应用能力。 4、教学要求 （1）理解随机试验、样本空间、随机事件等基本概念；熟练掌握事件的关系及运算 （2）理解频率和概率定义；熟练掌握概率的基本性质 （3）理解等可能概型的定义性质；,会计算等可能概型的概率 （4）理解条件概率的定义；熟练掌握加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式（5）理解事件独立性概念,掌握应用独立性进行概率计算 （二）随机变量及其分布 1、教学目的 了解随机变量的概念；理解离散型随机变量的分布律和连续型随机变量的概率密度的概念及性质，会利用性质确定分布律和概率密度；理解分布函数的概念及性质，会利用此概念和性质确定分布函数，会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握正态分布、均匀分布、指数分布、0-1分布、二项分布、泊松分布，会求简单的随机变量函数的分布 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 随机变量及其概率分布的概念； ② 离散型随机变量分布律的求法；

概率论与数理统计基本知识

概率论与数理统计基本知识点 一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件： （1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性 若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥 则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。 的度量 对应区域的度量 对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式： 设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率） 乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式： （全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。 （贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性： 两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。 二、随机变量和分布函数:

(完整版)概率论与数理统计课程标准

《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 （一）课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 （二）先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的

进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 （一）能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 （二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 （三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配

概率论与数理统计课后习题答案

习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图：

自考概率论与数理统计基础知识.

一、《概率论与数理统计（经管类）》考试题型分析： 题型大致包括以下五种题型，各题型及所占分值如下： 由各题型分值分布我们可以看出，单项选择题、填空题占试卷的50%，考查的是基本的知识点，难度不大，考生要把该记忆的概念、性质和公式记到位。计算题和综合题主要是对前四章基本理论与基本方法的考查，要求考生不仅要牢记重要的公式，而且要能够灵活运用。应用题主要是对第七、八章内容的考查，要求考生记住解题程序和公式。结合历年真题来练习，就会很容易的掌握解题思路。总之，只要抓住考查的重点，记住解题的方法步骤，勤加练习，就能够百分百达到过关的要求。二、《概率论与数理统计（经管类）》考试重点说明：我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级，即一级重点、二级重点、三级重点，其中，一级重点为必考点，本次考试考查频率高；二级重点为次重点，考查频率较高；三级重点为预测考点，考查频率一般，但有可能考查的知识点。第一章随机事件与概率 1．随机事件的关系与计算 P3-5 （一级重点）填空、简答事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念 2．古典概型中概率的计算 P9 （二级重点）选择、填空、计算记住古典概型事件概率的计算公式 3. 利用概率的性质计算概率 P11-12 （一级重点）选择、填空 ,（考得多）等，要能灵活运用。 4. 条件概率的定义 P14 （一级重点）选择、填空记住条件概率的定义和公式： 5. 全概率公式与贝叶斯公式 P15-16 （二级重点）计算记住全概率公式和贝叶斯公式，并能够运用它们。一般说来，如果若干因素（也就是事件）对某个事件的发生产生了影响，求这个事件发生的概率时要用到全概率公式；如果这个事件发生了，要去追究原因，即求另一个事件发生的概率时，要用到贝叶斯公式，这个公式也叫逆概公式。 6. 事件的独立性（概念与性质） P18-20（一级重点）选择、填空定义：若，则称A与B 相互独立。结论：若A与B相互独立，则A与，与B 与都相互独立。 7. n重贝努利试验中事件A恰好发生k次的概率公式 P21（一级重点）选择、填空在重贝努利试验中，设每次试验中事件的概率为（），则事件A恰好发生。第二章随机变量及其概率分布 8．离散型随机变量的分布律及相关的概率计算 P29，P31（一级重点）选择、填空、计算、综合。记住分布律中，所有概率加起来为1，求概率时，先找到符合条件的随机点，让后把对应的概率相加。求分布律就需要找到随机变量所有可能取的值，和每个值对应的概率。 9. 常见几种离散型分布函数及其分布律 P32-P33（一级重点）选择题、填空题以二项分布和泊松分布为主，记住分布律是关键。本考点基本上每次考试都考。 10. 随机变量的分布函数 P35-P37（一级重点）选择、填空、计算题记住分布函数的定义和性质是关键。要能判别什么样的函数能充当分布函数，记住利用分布函数计算概率的公式：①；②其中；③。 11. 连续型随机变量及其概率密度 P39（一级重点）选择、填空重点记忆它的性质与相关的计算，如①；；反之，满足以上两条性质的函数一定是某个连续型随机变量的概率密度。③；④ 设为的

《概率论与数理统计》课程重点与难点要记

《概率论与数理统计》课程重点与难点要记 第一章：随机事件及其概率 题型一：古典概型 1．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码，求最小号码为5的概率，及最大号码是5的概率。 2．设袋中有5个白球，3个黑球，从袋中随机摸取4个球，分别求出下列事件的概率： 1）采用有放回的方式摸球，则四球中至少有1个白球的概率； 2）采用无放回的方式摸球，则四球中有1个白球的概率。 3．一盒子中有10件产品，其中4件次品，每次随机地取一只进行检验， 1）求第二次检验到次品的概率； 2）求第二才次检验到次品的概率。 4．在1－2000的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除 的概率是多少？（合理的设置事件，通过概率的性质解题也很重要） 课后习题：P16：2，3，4，5， 7，9，10，11，12，13，14 P30：8，9，10，16 题型二：利用条件概率、乘法公式及事件的独立性计算事件的概率 1。3人独立去破译一个密码，他们能译出的概率分别为1/5、1/4、1/3，问能将此密码译出的概率。 2。设口袋有2n-1只白球，2n 只黑球，一次取出n 只球，如果已知取出的球都是同一种颜色，试计算该颜色是黑色的概率。 3。设袋中装有a 只红球，b 只白球，每次自袋中任取一只球，观察颜色后放回，并同时放入m 只与所取出的那只同色的球，连续在袋中取球四次，试求第一、第二次取到红球且第三次取到白球，第四次取到红球的概率。 课后习题：P23：1，2，3，4，6，10，11 P28：1，2，4，5，6，7，9，10，12， 13 题型三：全概率与贝叶斯公式 1．在一个每题有4个备选答案的测验中，假设有一个选项是正确的，如果一个学生不知道问题的正确答案，他就作随机选择。知道正确答案的学生占参加测验者的90%，试求： （1）学生回答正确的概率； （2）假如某学生回答此问题正确，那么他是随机猜出的概率。 2．一通讯通道，使用信号“0”和“1”传输信息。以A 记事件收到信号“1”，以B 记事件发出信号“1”。已知()0.4,(/)0.95,(/)0.90P B P A B P A B ===。 1）求收到信号“1”的概率？ 2）现已收到信号“1”，求发出信号是“1”的概率？ 课后习题：P23：7，8，9，12 P31：19，26，27，28 第二章：随机变量及其分布 题型一：关于基本概念：概率分布律、分布函数、密度函数 1．一房间有三扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了