全等三角形证明经典50题(含答案)
1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD
解:延长AD 到E,使AD=DE
∵D 是BC 中点
∴BD=DC
在△ACD 和△BDE 中
AD=DE
∠BDE=∠ADC
BD=DC
∴△ACD ≌△BDE
∴AC=BE=2
∵在△ABE 中
AB-BE <AE <AB+BE
∵AB=4
即4-2<2AD <4+2
1<AD <3
∴AD=2
2. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12
CD AB
延长CD 与P ,使D 为CP 中点。连接AP,BP
∵DP=DC,DA=DB
∴ACBP 为平行四边形
又∠ACB=90
∴平行四边形ACBP 为矩形
A
D B
C
∴AB=CP=1/2AB
3. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2
证明:连接BF 和EF
∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF
∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)
∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF
连接BE
在三角形BEF 中,BF=EF
∴ ∠EBF=∠BEF 。
∵ ∠ABC=∠AED 。
∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF
∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC
过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G
CG ∥EF ,可得,∠EFD =CGD
DE =DC
∠FDE =∠GDC (对顶角)
B A
C
D
F
2
1 E
∴△EFD≌△CGD
EF=CG
∠CGD=∠EFD
又,EF∥AB
∴,∠EFD=∠1
∠1=∠2
∴∠CGD=∠2
∴△AGC为等腰三角形,
AC=CG
又EF=CG
∴EF=AC
5.已知:AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠C
A
证明:延长AB取点E,使AE=AC,连接DE
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠CAD
∵AE=AC,AD=AD
∴△AED≌△ACD (SAS)
∴∠E=∠C
∵AC=AB+BD
∴AE=AB+BD
∵AE=AB+BE
∴BD=BE
∴∠BDE=∠E
∵∠ABC=∠E+∠BDE
∴∠ABC=2∠E
∴∠ABC=2∠C
6. 已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB ,∠B+∠D=180°,求证:
AE=AD+BE
证明:
在AE 上取F ,使EF =EB ,连接CF
∵CE ⊥AB
∴∠CEB =∠CEF =90°
∵EB =EF ,CE =CE ,
∴△CEB ≌△CEF
∴∠B =∠CFE
∵∠B +∠D =180°,∠CFE +∠CFA =180°
∴∠D =∠CFA
∵AC 平分∠BAD
∴∠DAC =∠FAC
∵AC =AC
∴△ADC ≌△AFC (SAS )
∴AD =AF
∴AE =AF +FE =AD +BE
7. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD
解:延长AD 到E,使AD=DE
∵D 是BC 中点
∴BD=DC
在△ACD 和△BDE 中
A
D B
C
AD=DE
∠BDE=∠ADC
BD=DC
∴△ACD≌△BDE
∴AC=BE=2
∵在△ABE中
AB-BE<AE<AB+BE ∵AB=4
即4-2<2AD<4+2
1<AD<3
∴AD=2
8.已知:D是AB中点,∠ACB=90°,求证:
1
2 CD AB
9. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2
证明:连接BF 和EF 。
∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。
∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。
∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 。
连接BE 。
在三角形BEF 中,BF=EF 。
∴ ∠EBF=∠BEF 。
又∵ ∠ABC=∠AED 。
∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中,
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。
∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
10. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC
过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G
CG ∥EF ,可得,∠EFD =CGD
DE =DC
∠FDE =∠GDC (对顶角)
∴△EFD ≌△CGD
B A
C
D
F
2
1
E
EF =CG
∠CGD =∠EFD
又EF ∥AB
∴∠EFD =∠1
∠1=∠2
∴∠CGD =∠2
∴△AGC 为等腰三角形,
AC =CG
又 EF =CG
∴EF =AC
11. 已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠C
证明:延长AB 取点E ,使AE =AC ,连接DE
∵AD 平分∠BAC
∴∠EAD =∠CAD
∵AE =AC ,AD =AD
∴△AED ≌△ACD (SAS )
∴∠E =∠C
∵AC =AB+BD
∴AE =AB+BD
∵AE =AB+BE
∴BD =BE
∴∠BDE =∠E
∵∠ABC =∠E+∠BDE
∴∠ABC =2∠E
∴∠ABC =2∠C
12. 已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB ,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE
C
D B A
在AE上取F,使EF=EB,连接CF
∵CE⊥AB
∴∠CEB=∠CEF=90°
∵EB=EF,CE=CE,
∴△CEB≌△CEF
∴∠B=∠CFE
∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°
∴∠D=∠CFA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC=∠FAC
又∵AC=AC
∴△ADC≌△AFC(SAS)
∴AD=AF
∴AE=AF+FE=AD+BE
12. 如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD
上。求证:BC=AB+DC。
在BC上截取BF=AB,连接EF
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠FBE
又∵BE=BE
∴⊿ABE≌⊿FBE(SAS)
∴∠A=∠BFE
∵AB//CD
∴∠A+∠D=180o
∵∠BFE+∠CFE=180o
∴∠D=∠CFE
又∵∠DCE=∠FCE
CE 平分∠BCD
CE=CE
∴⊿DCE ≌⊿FCE (AAS )
∴CD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD
13.已知:AB//ED ,∠EAB=∠BDE ,AF=CD ,EF=BC ,求证:∠F=∠C
AB ‖ED ,得:∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度,
∵∠EAB=∠BDE ,
∴∠AED=∠ABD ,
∴四边形ABDE 是平行四边形。
∴得:AE=BD ,
∵AF=CD,EF=BC ,
∴三角形AEF 全等于三角形DBC ,
∴∠F=∠C 。
14. 已知:AB=CD ,∠A=∠D ,求证:∠B=∠C
证明:设线段AB,CD 所在的直线交于E ,(当AD AD>BC 时,E 点是射线AB,DC 的交点)。则: △AED 是等腰三角形。 ∴AE=DE 而AB=CD ∴BE=CE (等量加等量,或等量减等量) ∴△BEC 是等腰三角形 ∴∠B=∠C. D C B A F E 15.P是∠BAC平分线AD上一点,AC>AB,求证:PC-PB 在AC上取点E, 使AE=AB。 ∵AE=AB AP=AP ∠EAP=∠BAE, ∴△EAP≌△BAP ∴PE=PB。 PC<EC+PE ∴PC<(AC-AE)+PB ∴PC-PB<AC-AB。 16.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证:AC-AB=2BE 证明: 在AC上取一点D,使得角DBC=角C ∵∠ABC=3∠C ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C; ∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C; ∴AB=AD ∴AC – AB =AC-AD=CD=BD 在等腰三角形ABD中,AE是角BAD的角平分线, ∴AE垂直BD ∵BE⊥AE ∴点E一定在直线BD上, P D A C B 在等腰三角形ABD 中,AB=AD ,AE 垂直BD ∴点E 也是BD 的中点 ∴BD=2BE ∵BD=CD=AC-AB ∴AC-AB=2BE 17. 已知,E 是AB 中点,AF=BD ,BD=5,AC=7,求DC ∵作AG ∥BD 交DE 延长线于G ∴AGE 全等BDE ∴AG=BD=5 ∴AGF ∽CDF AF=AG=5 ∴DC=CF=2 18.如图,在△ABC 中,BD =DC ,∠1=∠2,求证:AD ⊥BC . 解:延长AD 至BC 于点E, ∵BD=DC ∴△BDC 是等腰三角形 ∴∠DBC=∠DCB 又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2 即∠ABC=∠ACB ∴△ABC 是等腰三角形 ∴AB=AC 在△ABD 和△ACD 中 {AB=AC ∠1=∠2 BD=DC ∴△ABD 和△ACD 是全等三角形(边角边) ∴∠BAD=∠CAD ∴AE 是△ABC 的中垂线 ∴AE ⊥BC ∴AD ⊥BC F A E D C B 19.如图,OM 平分∠POQ ,MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ,A 、B 为垂足,AB 交OM 于点N . 求证:∠OAB =∠OBA 证明: ∵OM 平分∠POQ ∴∠POM =∠QOM ∵MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ∴∠MAO =∠MBO =90 ∵OM =OM ∴△AOM ≌△BOM (AAS ) ∴OA =OB ∵ON =ON ∴△AON ≌△BON (SAS ) ∴∠OAB=∠OBA ,∠ONA=∠ONB ∵∠ONA+∠ONB =180 ∴∠ONA =∠ONB =90 ∴OM ⊥AB 20.(5分)如图,已知AD ∥BC ,∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ,CE 的连线 交AP 于D .求证:AD +BC =AB . 做 BE 的延长线,与AP 相交于F 点, ∵PA//BC ∴∠PAB+∠CBA=180°,又∵,AE ,BE 均为∠PAB 和∠CBA 的角平分线 ∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB 为直角三角形 在三角形ABF 中,AE ⊥BF ,且AE 为∠FAB 的角平分线 ∴三角形FAB 为等腰三角形,AB=AF,BE=EF 在三角形DEF 与三角形BEC 中, ∠EBC=∠DFE,且BE=EF ,∠DEF=∠CEB , ∴三角形DEF 与三角形BEC 为全等三角形,∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC 21.如图,△ABC 中,AD 是∠CAB 的平分线,且AB =AC +CD ,求证:∠C =2∠B P E D C B A D C B A 延长AC到E 使AE=AC 连接ED ∵AB=AC+CD ∴CD=CE 可得∠B=∠E △CDE为等腰 ∠ACB=2∠B 22.(6分)如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M. (1)求证:MB=MD,ME=MF (2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?若成立请给予证明;若不成立请说明理由. (1)连接BE,DF. ∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F, ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF, 在Rt△DEC和Rt△BFA中, ∵AF=CE,AB=CD, ∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL), ∴DE=BF. ∴四边形BEDF是平行四边形. ∴MB=MD,ME=MF; (2)连接BE,DF. ∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F, ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF, 在Rt△DEC和Rt△BFA中, ∵AF=CE,AB=CD, ∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL), ∴DE=BF. ∴四边形BEDF是平行四边形. ∴MB=MD ,ME=MF . 23.已知:如图,DC ∥AB ,且DC =AE ,E 为AB 的中点, (1)求证:△AED ≌△EBC . (2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC 外,请再写出两个与△AED 的面积 相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明): 证明: ∵DC ∥AB ∴∠CDE =∠AED ∵DE =DE ,DC =AE ∴△AED ≌△EDC ∵E 为AB 中点 ∴AE =BE ∴BE =DC ∵DC ∥AB ∴∠DCE =∠BEC ∵CE =CE ∴△EBC ≌△EDC ∴△AED ≌△EBC 24.(7分)如图,△ABC 中,∠BAC =90度,AB =AC ,BD 是∠ABC 的平分线,BD 的延长 线垂直于过C 点的直线于E ,直线CE 交BA 的延长线于F . 求证:BD =2CE . 证明: ∵∠CEB=∠CAB=90° ∴ABCE 四点共元 ∵∠AB E=∠CB E O E D C B A F E D C B A ∴∠ECA=∠EAC 取线段BD 的中点G ,连接AG ,则:AG=BG=DG ∴∠GAB=∠ABG 而:∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等) ∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB 而:AC=AB ∴△AEC ≌△AGB ∴EC=BG=DG ∴BE=2CE 25、如图:DF=CE ,AD=BC ,∠D=∠C 。求证:△AED ≌△BFC 。 F E D C B A 证明:∵DF=CE , ∴DF-EF=CE-EF , 即DE=CF , 在△AED 和△BFC 中, ∵ AD=BC , ∠D=∠C ,DE=CF ∴△AED ≌△BFC (SAS ) 26、(10分)如图:AE 、BC 交于点M ,F 点在AM 上,BE ∥CF ,BE=CF 。 求证:AM 是△ABC 的中线。 M F E C B A ∵BE ‖CF ∴∠E=∠CFM ,∠EBM=∠FCM ∵BE=CF ∴△BEM ≌△CFM ∴BM=CM ∴AM 是△ABC 的中线. 27、(10分)如图:在△ABC 中,BA=BC ,D 是AC 的中点。求证:BD ⊥AC 。 D C B A ∵△ABD 和△BCD 的三条边都相等 ∴△ABD=△BCD ∴∠ADB=∠CD ∴∠ADB=∠CDB=90° ∴BD ⊥AC 28、(10分)AB=AC ,DB=DC ,F 是AD 的延长线上的一点。求证:BF=CF F D C B A 在△ABD 与△ACD 中 AB=AC BD=DC AD=AD ∴△ABD ≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC 在△BDF与△FDC中 BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF ∴△FBD≌△FCD ∴BF=FC 29、(12分)如图:AB=CD,AE=DF,CE=FB。求证:AF=DE。 F E D C B A ∵AB=DC AE=DF, CE=FB CE+EF=EF+FB ∴△ABE=△CDF ∵∠DCB=∠ABF AB=DC BF=CE △ABF=△CDE ∴AF=DE 30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上. 证明:连接EF ∵AB∥CD ∴∠B=∠C ∵M是BC中点 ∴BM=CM 在△BEM和△CFM中 BE=CF ∠B=∠C BM=CM ∴△BEM≌△CFM(SAS) ∴CF=BE 31.已知:点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.求证:△ABE≌△CDF. ∵AF=CE,FE=EF. ∴AE=CF. ∵DF//BE, ∴∠AEB=∠CFD(两直线平行,内错角相等) ∵BE=DF ∴:△ABE≌△CDF(SAS) 32.已知:如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证:AE=AF。 D E A F 连接BD; ∵AB=AD BC=D ∴∠ADB=∠ABD ∠CDB=∠A BD;两角相加,∠ADC=∠ABC; ∵BC=DC E\F是中点 ∴DE=BF; ∵AB=AD DE=BF ∠ADC=∠ABC ∴AE=AF。 33 .如图,在四边形ABCD 中,E 是AC 上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6. 6 54321 E D C B A 证明: 在△ADC ,△ABC 中 ∵AC=AC ,∠BAC=∠DAC ,∠BCA=∠DCA ∴△ADC ≌△ABC (两角加一边) ∵AB=AD ,BC=CD 在△DEC 与△BEC 中 ∠BCA=∠DCA ,CE=CE ,BC=CD ∴△DEC ≌△BEC (两边夹一角) ∴∠DEC=∠BEC 34.已知AB ∥DE ,BC ∥EF ,D ,C 在AF 上,且AD =CF ,求证:△ABC ≌△DEF . ∵AD=DF ∴AC=DF ∵AB //DE ∴∠A=∠EDF 又∵BC //EF ∴∠F=∠BCA ∴△ABC ≌△DEF (ASA ) 35.已知:如图,AB =AC ,BD ⊥AC ,CE ⊥AB ,垂足分别为D 、E ,BD 、CE 相交于点F ,求证:BE =CD . 证明: ∵BD ⊥AC ∴∠BDC=90° ∵CE ⊥AB ∴∠BEC=90° ∴∠BDC=∠BEC=90° ∵AB=AC ∴∠DCB=∠EBC ∴BC=BC ∴Rt △BDC ≌Rt △BEC (AAS) ∴BE=CD 36、如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F 。 求证:DE =DF . 证明: ∵AD 是∠BAC 的平分线 ∴∠EAD=∠FAD ∵DE ⊥AB ,DF ⊥ AC A C D E F