高考数学复习重点知识点
高考数学复习重点知识点
一． 集合
1.已知集合A 、B ，当?=?B A 时，你是否注意到“极端”情况：?=A 或?=B ；求
集合的子集时是否忘记?？
2.对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为
，n 2，12-n ，12-n .22-n
反演律：B C A C B A C I I I ?=?)(，B C A C B A C I I I ?=?)(。 “p 且q ”的否定是“非p 或非q ”；“p 或q ”的否定是“非p 且非q ”。 命题的否定只否定结论；否命题是条件和结论都否定。 （1）.你是否掌握了“p ?”形式时常用的否定词语
（2.）反证法的一般证明过程（否定结论矛盾） （3.）命题的充要性证明①证必要性②证充分性 （4.）数学归纳法 ①证明n 取第一个值
n 时结论正确
②假设n=k （*
k N ∈）时结论正确 证明n=k+1时结论也正确 则命题对于从
n 开始的所有正整数n 都成立
二． 函数
1． 函数的几个重要性质：
①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+，那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称?()y f x a =+是偶函数；
②若都有()()x b f x a f +=-，那么函数()x f y =的图象关于直线2
b
a x +=
对称；函数
()x a f y -=与函数()x b f y +=的图象关于直线2
b
a x -=
对称； ③函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称；函数()x f y =与函数
()x f y -=的图象关于直线0=y 对称；函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标
原点对称；
④若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是增函数；若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是减函数； ⑤函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数()a x f y +=()0(a 的图象是把()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的；函数()x f y =+a )0( a b a f =?=-原函数与反函数图象 的交点不全在y=x 上（例如：x y 1 =）；()1 y f x a -=+只能理解为()x f y 1 -= 在x+a 处的函数值。 4． 原函数()x f y =在区间[]a a ,-上单调递增，则一定存在反函数，且反函数() x f y 1 -=也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调．判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？ 10．一定要注意“()' f x >0(或()'f x <0)是该函数在给定区间上单调递增（减）的必要条件。 11．你知道函数()0,0>>+ =b a x b ax y 的单调区间吗？（该函数在(] ab - ∞-,或 [ )+∞,ab 上单调递增；在[)0,ab -或(] ab ,0上单调递减）这可是一个应用广泛的 函数！ 12．切记定义在R 上的奇函数y=f(x)必定过原点。 13．抽象函数的单调性、奇偶性一定要紧扣函数性质利用单调性、奇偶性的定义求解。同时， 要领会借助函数单调性利用不等关系证明等式的重要方法：f(a)≥b 且f(a)≤b ?f(a)=b 。 14．对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且 不等于1）字母底数还需讨论。 三． 数列 四． 数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（b b a b b a n a c c a n log log ,log log log == ） 五． 你还记得对数恒等式吗？（b a b a =log ） 六． “实系数一元二次方程02 =++c bx ax 有实数解”转化为“042 ≥-=?ac b ”， 你是否注意到必须0≠a ；若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？例如：()()02222 <-+-x a x a 对一切 R x ∈恒成立，求a 的取值范围，你讨论了a ＝2的情况了吗？ 七． 等差数列中的重要性质：()n m a a n m d =+-；若q p n m +=+，则 q p n m a a a a +=+；n n n n n S S S S S 232,,--成等差。 八． 等比数列中的重要性质：n m n m a a q -=；若q p n m +=+，则q p n m a a a a ?=?； n n n n n S S S S S 232,,--成等比。 九． 你是否注意到在应用等比数列求前n 项和时，需要分类讨论．（1=q 时，1na S n =； 1≠q 时，q q a S n n --= 1) 1(1） 十． 等差数列的一个性质：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，{}n a 为等差数列的充要条件 是 bn an S n +=2（a, b 为常数），其公差是2a 。 十一． 你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若n n n b a c =，其中{}n a 是等 差数列，{}n b 是等比数列，求{}n c 的前n 项的和） 十二． 用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，a n 一般是分段形式对吗？你注意到1 1S a =了吗？ 十三． 你还记得裂项求和吗？（如 1 1 1)1(1+-=+n n n n ） 叠加法：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ 叠乘法： 1 223322111a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ???=----- 四．三角函数 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函 数的有界性了吗？在△ABC 中，sinA>sinB ?A>B 对吗? 一般说来，周期函数加绝对值或平方，其周期减半．（如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π， 但 x x y cos sin +=及 x y tan =的周期为2π ,） 函数 x y x y x y cos ,sin ,sin 2===是周期函数吗？（都不是） 正弦曲线、余弦曲线、正切曲线的对称轴、对称中心你知道吗？ 在三角中，你知道1等于什么吗？（x x x x 2 2 2 2 tan sec cos sin 1-=+= ====?=0cos 2 sin 4 tan cot tan π π x x 这些统称为1的代换)，常数“1”的种种代换有 着广泛的应用． 在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．（如,)(αβαβ-+=,)(αβαβ+-= ??? ??--??? ??-=+βαβαβα222等） 你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值的式子，一定要算出值来） 你还记得三角化简的通性通法吗？（从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有：切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次） 你还记得某些特殊角的三角函数值吗？ （ 41 518sin ,42615cos 75sin ,42675cos 15sin -=?+=?=?-= ?=?） 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？( lr S r l 21 ,= =扇形α) 辅助角公式： ()θ++=+x b a x b x a sin cos sin 2 2(其中θ角所在的象限由a, b 的符号确定，θ角的值由 a b = θtan 确定)在求最值、化简时起着重要作用. 在用反三角函数表示直线的倾斜角、两向量的夹角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？ ①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是； ] ,0[],2,0[,2,0πππ??? ?? ②直线的倾斜角、1l 到2l 的角、1l 与2l 的夹角的取值范围依次是 ] 2,0[),,0[),,0[π ππ； ③向量的夹角的取值范围是[0，π] ④异面直线公垂线长度即为两异面直线距离 ⑤点到面距离即过该点向面引垂线，垂线段长度即为点到面距离 ⑥用向量求二面角借助 1212 cos n n n n θ= （或其补角）解决其中 12 ,n n 为两个面法向量 ⑦用向量法求距离借助PA n d n = 来解决其中点A 在平面内点P 在平面外，n 为该平面法 向量 若 11(,)a x y =，22(,)b x y =，则//，a b ⊥的充要条件是什么？ 如何求向量的模？a 在b 方向上的投影为什么？ 若a 与b 的夹角θ，且θ为钝角，则cos θ<0对吗？（必须去掉反向的情况） 你还记得平移公式是什么？（这可是平移问题最基本的方法）；还可以用结论：把y=f(x)图象向左移动|h|个单位，向上移动|k|个单位，则平移向量是a =(-|h|，|k|)。 五．不等式 不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式） 分式不等式()()() 0≠>a a x g x f 的一般解题思路是什么？（移项通分） 含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(两边平方或分类讨论) 利用重要不等式ab b a 2≥+ 以及变式 2 2? ?? ??+≤b a ab 等求函数的最值时，你是否注意到a ，b + ∈R （或a ，b 非负），且“等号成立”时的条件？ 在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底10<a ）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解是……． 解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．” 恒成立不等式问题通常解决的方法：借助相应函数的单调性求解，其主要技巧有数形结合法，分离变量法，换元法。 六．解析几何与立体几何 教材中“直线和圆”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是用代数的方法研究图形的几何性质。（04上海高考试题） 直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式．以及各种形式的局限性，（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，所以设方程的点斜式或斜截式时，就应该先考虑斜率不存在的情形）。 设直线方程时，一般可设直线的斜率为k ，你是否注意到直线垂直于x 轴时，斜率k 不存在 的情况？（例如：一条直线经过点??? ?? --23,3，且被圆 252 2=+y x 截得的弦长为8，求此弦所在直线的方程。该题就要注意，不要漏掉x+3=0这一解.） 简单线性规划问题的可行域求作时，要注意不等式表示的区域是相应直线的上方、下方，是否包括边界上的点。利用特殊点进行判断）。 对不重合的两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ?? ?≠=?1221122121//C A C A B A B A l l ； 0212121=+?⊥B B A A l l ． 直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0。 直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为1 =+b y a x ，但不要忘记当a=0时，直 线y=kx 在两条坐标轴上的截距都是0，也是截距相等。 处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别式法。一般来说，前者更简捷。 处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系。 在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形。 定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及λ值可要搞清）在利用定比分点解题时，你注意到1-≠λ了吗？ 曲线系方程你知道吗？直线系方程？圆系方程？共焦点的椭圆系，共渐近线的双曲线系？ 两圆相交所得公共弦方程是两圆方程相减消去二次项所得。x0x+y0y=r2 表示过圆x2+y2=r2上一点（x0，y0）的切线，若点（x0，y0）在已知圆外，x0x+y0y=r2 表示什么？（切点弦） 椭圆方程中三参数a 、b 、c 的满足a2+b2=c2对吗？双曲线方程中三参数应满足什么关系？ 椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形。 椭圆和双曲线的焦半径公式你记得吗？ 在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合。 15．在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？ 16．在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为 零？判别式0≥?的限制．（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在0>?下进行）。 17．通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦。 18．过抛物线y 2=2px(p>0)焦点的弦交抛物线于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则2 21p y y -=， 4 221p x x =，焦半径公式|AB|=x 1+x 2+p 。 19．若A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)是二次曲线C ：F(x,y)=0的弦的两个端点，则F(x 1,y 1)=0 且 F(x 2,y 2)=0。涉及弦的中点和斜率时，常用点差法作F(x 1,y 1)-F(x 2,y 2)=0求得弦AB 的中点坐标与弦AB 的斜率的关系。 20．作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线定理法、垂面法） 21．求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积变换法、向量法） 22．求两点间的球面距离关键是求出球心角。 23．立体几何中常用一些结论：棱长为a 的正四面体的高为a h 36=，体积为V=3 12 a 。 24．面积射影定理S S ' = ?cos ，其中S '表示射影面积，S 表示原面积。 25．异面直线所成角利用“平移法”求解时，一定要注意平移后所得角是所求角或其补角。 26．平面图形的翻折、立体图形的展开等一类问题，要注意翻折、展开前后有关几何元素 的“不变量”与“不变性”。 27．棱体的顶点在底面的射影何时为底面的内心、外心、垂心、重心？ 28．解排列组合问题的规律是：元素分析法、位置分析法——相邻问题捆绑法；不邻问题 插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法。 29．二项式定理中，“系数最大的项”、“项的系数的最大值”、“项的二项式系数的最大值” 是同一个概念吗？ 30．求二项展开式各项系数代数和的有关问题中的“赋值法”、“转化法”，求特定项的“通 项公式法”、“结构分析法”你会用吗？ 31．注意二项式的一些特性（如1 1-++=m n m n m n C C C ；n n n n n C C C 210=+++ ）。 32．公式P （A+B ）=P （A ）+P （B ），P （AB ）=P （A ）P （B ）的适用条件是什么？ 33．简单随机抽样和分层抽样的共同点是每个个体被抽到的概率相等。 4.统计的几个重要知识点 ①常用抽样方法：简单随机抽样、分层抽样、系统抽样，及其适用总体的特点 ②用样本估计总体与变量相关性 A 频率分布直方图画法步骤及用其估计样本数字特征 B 频率分布折线图 C 总体密度曲线（函数式不要求） D 茎叶图画法及优点 E 会用样本众数、中位数、平均数、极差、方差、标准差估计总体特征 F 了解变量相关性，会画散点图，并利用散点图认识变量相关关系 G 了解最小二乘法思想，能建立线性回归方程^ ^ y a b x =+且过(,)x y - - 点（为样本点中心） H 函数关系与相关关系区别 5\ 有关统计性质及规律 （1）若12n x x x x n +++=— ……，则12n m ,m ,m x a x a x a +++……，平均数为m x a +— （2）12n x x x ，，……，与1122n n a a a x x x x x x '''+++=，=，……，=的方差相等。即 222 1n 1s [(]x x x x n '''''-++-—— （)=）……（） （3）12n x x x ，，……，方差为2 s ，则12n a ,a x x x ，……，a 方差为22 a s 2 2 112212211112212211211222()()()()() n n n n n n n n n n n n n χ-= ++++ 临界值3.841与6.635 2 3.841χ> 95%把握A 与B 有关 2 6.635χ> 99%把握A 与B 有关 2 3.841χ≤ A 与B 无关 （5）回归方程^ y bx a =+ ^ 1 12 22 1 1 ()()(() (n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---= = --∑∑∑∑ （6）样本相关系数r 1r ≤，r 越接近1，线性相关越高，r 越接近0，线性相关越低 （7）正态曲线具有以下性质 ①曲线在x 轴上方，并且关于直线x μ=对称 ②x μ=时，曲线处于最高点，呈现“中间高，两边低”形状 ③参数σ越大，曲线越矮胖；σ越小，曲线越高瘦6,离散型随机变量()i i p x x p == 称为离散型随机变量x 的概率分布 （1） 二点分布 （2） 超几何分布 （3） 若随机变量~(,)X B n p ，则()E X np =，()(1)D X np p =- （4） 若随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，则()nM E X N = 7\对立事件，互斥事件，相互独立事件区别与联系 8.解决概率问题的“三步” 第一步确定性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复实验（归类） 第二步判断事件运算：和事件、积事件、至少一个发生还是同时发生 第三步运用公式 古典概型：()n P A m = 互斥概型：()()()P A B P A P B =+ 条件概型：() (|)() P AB P A B P A = 独立概型：()()()P AB P A P B = N 次独立重复试验：()(1)k k n k n n P k C p p -=- 0 ()'0f x =0是函数y=f(x)在x=x 0处有极值的必要不充分条件。 1 注意曲线上某点处的导数值就是切线的斜率。（导数的几何意义） 2 你还能掌握算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件分支结构、循环结构，并能通过框图理解算法吗？ 3 会有算法求最大公约数吗？能用秦九韶算法求高次多项式函数在某一点处的值吗？（选 择、填空或利用框图给出解答题条件式） 4 选秀4—1 4—4 4— 5 只需掌握基本公式、基本方法即可得10分 5、选做题会那道题就做哪道题，否则首选平面几何，次选极坐标、参数方程、再选不等式。10分必拿 6 解直答题（选择题和填空题）的特殊方法是什么？(直接法，数形结合法，特殊化法，推 理分析法，排除法，验证法，估算法等等) 7 解答应用型问题时，最基本要求是什么？（审题、找准题目中的关键词，设未知数、列 出函数关系式、代入初始条件、注明单位、做答） 求轨迹方程的常用方法有：直接法、待定系数法、定义法、转移法（相关点法）、参数法等。