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第25讲：数列创新题-苏深强

数列创新题

数列大题在高考中一般属于难题，历来也是得分较低的题目。题型多变、条件繁琐、规律易找难推导难表达等等都是失分的原因。本讲义就从分段数列，新定义数列，两个数列的综合考查，一个数列的项的抽取和插入，数列与函数、解几、向量、不等式、排列组合、算法等等的交汇，数阵和数表，数列的递推、求和、最大最小项、最大最小和、三个字母、无法求和等等常规性问题一共七个方面进行了归纳总结，难免挂一漏万，还请大家批评指正。

一、分段数列

（一）通项公式前后分段

例1.1如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，

，即（），我们称其为“对称数列”. 例如数列与数列都是“对称数列”.

（1）设是7项的“对称数列”，其中b

1,b

是等差数列，且，．依

次写出的每一项；

（2）设是项的“对称数列”，其中c

25,c

………c

是首项为，公比为的等

比数列，求各项的和；

（3）设是项的“对称数列”，其中d

51,d

………d

100

是首项为，公差为的

等差数列．求前项的和．

练习1：数列中，则数列的极限值________

练习2：设m 个不全等的正数12,,,(7)

m a a a m ≥ 依次围成一个圆圈，若2009m =，

且

121005

,,,a a a 是公差为d 的等差数列，而

1200920081006

,,,a a a a 是公比为q d =的等比数

列，数列

12,,,m

a a a 的前n 项和

n S ()

n m ≤满足：3

20092007

115,12S S S a

==+，求通项

()

n a n m ≤.

（二）通项公式奇偶分段例1.2在数列中，

=0，且对任意k

，

成等差数列，其公差

为2k.（1）证明

成等比数列；（2）求数列

的通项公式；

（三）递推公式前后分段

例1.3已知以为首项的数列满足：

．

（1）当时，求数列

的通项公式；（2）当，

，

时，试用

表示数列

前100项的和.

（四）递推公式奇偶分段

例1.4设数列{a

n }的首项a

=a≠，且,记，

（1）求a

2，a

；

（2）判断数列{b

}是否为等比数列，并证明你的结论；

（3）求．

练习：已知数列满足：（m为正整数），若

，则m所有可能的取值为__________

（五）递推公式和通项公式的奇偶分段

例1.5将边长分别为1、2、3、4、…、n、n+1、…（）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形.由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、……、

第n个阴影部分图形.设前n个阴影部分图形的面积的平均数为.记数列满足

（1）求的表达式；

（2）写出的值，并求数列的通项公式.

二、新定义的数列

（一）考查对数列基本特征的认识和理解例2.1如果存在常数a 使得数列{}n a 满足：若x 是数列{}n a 中的一项，则a x -也是数

列

{}n a 中的一项，称数列{}n a 为“兑换数列”

，常数a 是它的“兑换系数”.

（1）若数列：1,2,4,(4)m m >是“兑换系数”为a 的“兑换数列”，求m 和a 的值；（2）若有穷递增数列

{}n b 是“兑换系数”为a 的“兑换数列”，求证：数列{}n b 的前n

项和2n n S a

?；

（3）已知有穷等差数列

{}n c 的项数是00

(3)

n n ≥，所有项之和是B ，试判断数列

{}n c 是

否是“兑换数列”？如果是的，给予证明，并用0

n 和B 表示它的“兑换系数”；如果不是，

说明理由.

练习1：定义：对于任意*

n ∈N ，满足条件2

n n n a a a +++≤且

n a M

≤（M 是与n 无关

的常数）的无穷数列

{}

a 称为T 数列．（1）若

9n a n n

=-+(*

n ∈N )，证明：数列

{}

a 是T 数列；

（2）设数列{}n b 的通项为

3502n

n b n ??

=- ?

??，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围；

（3）设数列

n p c n =

-(*n ∈N ，1p >)，问数列{}n c 是否是T 数列？请说明理由．

练习2：如果无穷数列{}n a 满足下列条件：①

++≤+n n n a a a ；②存在实数M ，使

a n ≤．其中*

∈N n ，那么我们称数列{}n a 为Ω数列．

（1）设数列{}n b 的通项为n

n b

5-=，且是Ω数列，求M 的取值范围；

（2）设{}n c 是各项为正数的等比数列，n S

是其前项和，

,4133=

S c 证明：数列

{}n S 是Ω数列；

（3）设数列{}n d 是各项均为正整数的Ω数列，求证：1

+≤n n

d d ．

练习3：我们知道，如果定义在某区间上的函数()f x 满足对该区间上的任意两个数1x

、

x ，总有不等式

1212

()()

(

)

f x f x x x f ++≤成立，则称函数()f x 为该区间上的上凸函数.

类比上述定义，对于数列{}

n a ，如果对任意正整数n ，总有不等式：

n n n a a a +++≤成立，

则称数列

{}

n a 为向上凸数列（简称上凸数列）. 现有数列

{}

n a 满足如下两个条件：

（1）数列

{}

n a 为上凸数列，且

1101,28

a a ==；（2）对正整数n （*

,101N n n ∈<≤），都有20

n n a b -≤，其中

610

n b n n =-+.

则数列

{}

n a 中的第五项5

a 的取值范围为 ________

（二）考查研究数列的方法

例 2.2已知数列

12:,,,n n

A a a a .如果数列

12:,,,n n

B b b b 满足

b a =，

k k k k b a a b --=+-，其中2,3,,k n = ，则称n B 为n A

的“生成数列”.

（1）若数列

41234

:,,,A a a a a 的“生成数列”是

4:5,2,7,2

B -，求

A ；

（2）若n 为偶数，且n A 的“生成数列”是n B ，证明：n

B 的“生成数列”是

A ；

（3）若n 为奇数，且n

A 的“生成数列”是

B ，

B 的“生成数列”是n

C ，….依次将

数列n

A ，

B ，

C ，…的第(1,2,,)i i n = 项取出，构成数列:,,,i i i i a b c Ω .证明：i Ω

是

等差数列.

练习1：设数列{}

n a ，

131,n n a a n ++=+11

a =，求：

a 及其前n 项和

S .

练习2：若数列{}

n a 满足：

112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q

++===+是常数），则称数

列

{}

n a 为二阶线性递推数列，且定义方程

x px q

=+为数列

{}

n a 的特征方程，方程的根称

为特征根；数列

{}

n a 的通项公式

a 均可用特征根求得：

①若方程

x px q

=+有两相异实根,αβ，则数列通项可以写成12n n

n a c c αβ=+，（其中

12,c c 是待定常数）；

②若方程2

x px q =+有两相同实根α，则数列通项可以写成12()n

n a c nc α=+，（其中12

,c c 是待定常数）；再利用

1122,,

a m a m ==可求得

,c c ，进而求得

a ．

根据上述结论求下列问题：

（1）当125,13a a ==，2156n n n

a a a ++=-时，求数列{}n a 的通项公式；（2）当121,11a a ==，21234n n n a a a ++=++时，求数列{}n a 的通项公式；

（3）当121,1a a ==，21n n n a a a ++=+时，记1

12n

n n n n n S a C a C a C =+++ ，求n S

三、两个简单数列的综合考查

（一）公共项问题（求两个数列的公共项，求两个等差数列的公共项常用整除讨论的方法；求等差数列与等比数列的公共项常用到二项式定理）

例3.1已知两个等差数列：5，8，11，……； ① 3，7，11，……； ② 它们的项数均为100项，试问他们有多少个彼此具有相同数值的项。

例3.2设A n 为数列{a n }的前n 项和，A n =23

(a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n =4n+3; (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)把数列{a n }与{b n }的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列{d n }，证明：数列{d n }的通项公式为d n =32n+1

;

(3)设数列{d n }的第n 项是数列{b n }中的第r 项，B r 为数列{b n }的前r 项的和；D n 为数列

{d n }的前n 项和，T n =B r －D n ，求

lim

∞

→n 4

)(n n a T .

练习1：在［1000，2000］内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？

练习2：数列}

{n a 的前n 项和为)

10,()1(,≠>∈-=-*

p p N n pa p S p S n n n 且且，

数列

}

{n b 满足

n a b log 83+=.

（1）分别求}{n a 和

}

{n b 的通项公式；（2）当

p 时，设

}

{n a 和

}

{n b 的公共项按原顺序组成的数列为

}

{n c ，求数列

}

{n c 的通项公式以及前n 项和.

n T .

练习3：已知数列{}

n a 和

{}

n b 的通项公式分别为

n a n =+，

n b n =+（*)n N ∈.

将集合

{,*}{,*}

n n x x a n N x x b n N =∈=∈ 中的元素从小到大依次排列，构成数列

123,,,,,n c c c c

（1）写出

1234

,,,c c c c ；

（2）求证：在数列{}

n c 中，但不在数列

{}

n b 中的项恰为

242,,,,n a a a

；

（3）求数列{}

n c 的通项公式.

（二）项相加减

例3.3(1)已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a(a>0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3，若数列{a n }唯一，求a 的值；

(2)是否存在两个等比数列{a n }，{b n }，使得b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成公差不为0的等差数列？若存在，求{a n }，{b n }的通项公式；若不存在，说明理由．

（三）项相乘除例3.4已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列。

（1）若

31n a n =+，是否存在*

m k N ∈、，有

m m k a a a ++=说明理由；

（2）找出所有数列{}n a 和{}n b ，使对一切*n N ∈,

n n

a b a +=,并说明理由；

（3）若115,4,3,

a d

b q ====试确定所有的p ，使数列{}n a 中存在某个连续p 项的

和是数列{}n b 中的一项，请证明。

四、一个数列的项的抽取和插入

例4.1已知数列{}n a 是首项为2的等比数列，且满足1

2()

n n a pa n N *

+=+∈

（1）求常数p 的值和数列{}n a 的通项公式；

（2）若抽去数列中的第1项，第4项，第7项．．．．．．．第32n -项，．．．．．．余下的项按原来的顺序组成一个新的数列

{}n b ，试写出数列{}n b 的通项公式；

（3）在（2）的条件下，设数列

{}n b 的前n 项和为n T ，

是否存在正整数n ，使得

1113

n n

T T +=？

若存在，试求所有满足条件的正整数n 的值，若不存在，请说明理由。

练习1：已知：数列

{}n a 是首项,21=a 公差是d 的等差数列。数列{}n b 是等比数列，

且2211,a b a b ==。问：是否存在自然数d ，使得数列{}n b 是数列{}n a 的子数列？如存在，

试求出d 的一切可能值.

练习2：设等比数列}

{n a 的前n 项和为

S ，已知*

122()n n a S n N +=+∈.

(1)求数列}

{n a 的通项公式；

(2)在

a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列(如：在1a

与

2a 之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为1d ；在2a 与3a 之间插入2个数构成第二

个等差数列，其公差为

d ，…以此类推)，设第n 个等差数列的和是

A . 是否存在一个关于

n 的多项式()g n ，使得()n n A g n d =对任意*n N ∈恒成立？若存在，求出这个多项式；若

不存在，请说明理由；

五、数列与函数、解几、向量、不等式、排列组合、算法等等的交汇

(一)数列与函数、不等式（单调性，周期性，恒成立、递推、和或积的其他性质等等为主要的交汇点）

例5.1 已知函数

444

(1)(1)()(1)(1)

x x f x x x ++-=

+--（0x ≠）。

（1）若()f x x =且x ∈R ，则称x 为()f x 的实不动点，求()f x 的实不动点；

（2）在数列{}n a 中，12a =，1()n n a f a +=（n *

∈N ），求数列{}n a 的通项公式。

练习1：二次函数

()()0,()2(1)1

f x f x f x x f ≥≤=符合且恒成立，

（1）求(0)f 并求()f x 的解析式；

（2）若(1)(2)()1,,

n n n

f f f n a b n

a =

+++

求数列{}.n n b n S 前项和并求lim .n n S →∞

（3）若

1112(),2,...,

n n n n c f c c T c c c +===???且记求符合

2008

n T >最小自然数n ．

练习2：已知函数

()()

R x x f x

∈+=

41，点()111,y x P ，()222,y x P 是函数()x f 图像上

的两个点，且线段21P P 的中点P 的横坐标为21

．

⑴求证：点P 的纵坐标是定值；

⑵若数列{}n

a 的通项公式为

()

m n N m m n f a n ,,2,1, =∈?

??=，求数列

{}n a 的前

m 项的

和m

S ；

练习3：设f 1(x)=x +12

，定义f n+1 (x)= f 1［f n (x)］，a n =2

)0(1

)0(+-n n f f （n ∈N*）.

(1) 求数列｛a n ｝的通项公式；

(2) 若n n na a a a T 23212232++++= ，Q n =14442

+++n n n

（n ∈N*），求T 2n .

（二）数列与向量（向量几乎可以与任何一章都有联系，但仅限于外形，处理掉向量仍是简单的向量方法）

例5.2 记数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知向量cos sin ,133n n a ππ??=+ ?

?? （*N n ∈）和

,cos sin 33n n n b a ππ??

=- ??? （*

N n ∈）满足//a b . （1）求数列{}

n a 的通项公式；

（2）求3n

S ；

（3）设2n

n n

b a =，求数列

{}n b 的前n 项的和为n T ．

练习：已知数列

{}

n a 的首项

1213

a a ==，，前n 项和为

S ，且

n S +、n S 、1n S

-（n ≥2）

分别是直线l 上的点A 、B 、C 的横坐标，

21n

a AB BC

a +=

，设

11b =，12log (1)n n n

b a b +=++．

⑴ 判断数列

{1}

n a +是否为等比数列，并证明你的结论；

⑵ 设111

n b n n n n c a a +-++=

，证明：1

<∑=n

k k

．

（三）数列与解几（坐标里面的点列为数列与解析几何的主要交汇点）例5.3在直角坐标平面中，已知点()(

)()()n

n P P P P 2,,,2,3,2

,2,2,13

21 ，其中n 是正

整数，对平面上任一点

A ，记1A 为

A 关于点1P 的对称点，2A 为1A 关于点2P 的对称点，．．．，

A 为

-n A 关于点

P 的对称点. （1）求向量2

0A A 的坐标；

（2）当点

A 在曲线C 上移动时，点2A 的轨迹是函数)(x f y =的图象，其中)(x f 是以

3为周期的周期函数，且当(]3,0∈x 时，x x f lg )(=.求以曲线C 为图象的函数在(]4,1上的解析式；

（3）对任意偶数n ，用n 表示向量n

A A 0的坐标

练习1：设P 1(x 1 ,y 1), P 2(x 2, y 2),…, P n (x n , y n ) (n≥3 ,n ∈N) 是二次曲线C 上的点, 且a 1=

OP 2

, a 2=

OP 2

, …, a n =

OP 2

构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列, 其中O 是坐

标原点. 记S n = a 1+ a 2+ … + a n .

（1）若C 的方程为251002

=1,n=3. 点P 1(10,0) 及S 3=255, 求点P 3的坐标； (只需

写出一个)

（2）若C 的方程为1

2=+

y a

(a>b>0). 点P 1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d

变化时, 求S n 的最小值；（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线C 及C 上的一点P 1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件,并说明理由.

练习2：如图，在y 轴的正半轴上依次有点

12n A A A

、、、、，其中点

1(0,1)

A 、

2(0,10)

A ，且

||3||11+-=n n n n A A A A )

,4,3,2( =n ，在射线)0(≥=x x y 上依次有点

12n B B B

、、、、,点1B 的坐标为（3，3），且22||||1+=-n n OB OB )

,4,3,2( =n .

（1）求

|1+n n A A （用含n 的式子表示）；

（2）求点

A 、

B 的坐标（用含n 的式子表示）；

（3）设四边形

n n n n A B B A ++面积为

S ，问

{}

n S 中是否存在不同的三项恰好成等差数

列？若存在，求出所有这样的三项，若不存在，请说明理由.

（四）数列与排列组合（整除、组合数、分类分步原理是数列与排列组合的常见交汇点）例5.4用n 个不同的实数

a a a ,,,21 可得到n ！个不同的排列，每个排列为一行，写

成一个n ！行的数表，对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记in n

i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=

（!,,2,1n i =）

例如1，2，3可得数表如图12

132312231321，由于此数表中每一列数之和均为12，所以

2412312212621-=?-?+-=+++b b b 。那么在用1，2，3，4，5形成的数表中，

+++12021b b b _____________

（五）数列与算法（以程序框图的形式给出数列递推公式是考查算法的常见形式，所需要注意的就是项数）

例5.5已知数列

{}

n a 是仅从1,0,1-这三个整数中取值所得到的数列，λ为常数，经

过右框图中的程序处理，输出S 和T .

（1）若输入50n =及一个确定的λ值，且输出的S 和T 分别满足50S =-λ，34T =.试求总体

12,,,n

a a a

的标准差；

（2）若输入10n =，1=λ，且输出的S 和T 分别满足6S =，

30T =.试求满足条件的数列{}n a 的个数；

（3）已知数列

{}

n a 中恰有54项的值为0，且输出的S 的值

为20，若对于任意的4<λ都有106>T 恒成立，试求数列{}n

a 的项数n 的最小值.

六、数阵和数表

（一）三角形数表

例6.1将全体正整数排成一个三角形数表： 1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

．．．．．．．

按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为．

练习：将数列｛a n ｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a 1

a 2 a 3

a 4 a 5 a 6

a 7 a 8 a 9 a 10

．．．．．．．

记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为｛b n ｝,b 1=a 1=1. S n 为数列｛b n ｝的前n

项和，且满足

n n n

S S b b -＝1（n ≥2）.

（1）证明数列｛

S 1

｝成等差数列，并求数列｛b n ｝的通项公式；

（2）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比

为同一个正数.当914

81-

=a 时，求上表中第k(k ≥3)行所有项和的和.

（二）方形数表

例6.2下表给出一个“等差数表”：

其中每行、每列都是等差数列，a ij 表示位于第i 行第j 列的数.

（1）写出

a 的值；

（2）写出a ij 的计算公式；

（3）写出2008这个数在等差数表中所在的一个位置。

（三）回形数表

例6.3将自然数排成如下的螺旋状

第一个拐弯处的数是2，第二个拐弯处的数是3，第20个及第25个拐弯处的数分别是__________和__________

练习：已知数列{}

n a 中，

()

n a n n N *

=∈，把它的学各项依次排列成右图所示的三角

形状：第1行 1

第2行 234

,a a a 第3行

56789

a a a a a

…………………………

（第一行一项，第二行3项，第三行5项……每行依次比上一行多两项）。若

2009

a 被排在第

s 行的第t 项（从左到右）的位置，则s = _________，t =_________.

七、数列的递推、求和、最大最小项、最大最小和、数学归纳法、三个字母、无法求

和等等常规性问题

例7.1数列

{}

n a 的各项均为正数，,1p a =0>p ，*N k ∈,()n

k n n p

k p f a a ?=++,，

（1）当,1=k ()k p k p f +=,，5=p 时，求32,a

a ；

（2）若数列{}

n a 成等比数列，请写出()k p f ,满足的一个条件，并写出相应的通项公式

（不必证明）

（3）当,1=k ()k p k p f +=,时，设1321222++++++=n n n a a a a a T ，求n T

例7.2（1）设

a a a ,......,21是各项均不为零的n 项（4≥n ）等差数列，且公差0≠d ，

若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列. ①当4=n 时求d a 1

的数值；②求n 的所有可能值．

（2）求证：对于给定的正整数)4(≥n n ，存在一个各项及公差均不为零的等差数列

b b b ,......,21，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．

练习1：已知数列

{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满

足221n n a S -=,n *N ∈．数列{}n b 满足

1n n n b a a +=

?,n *

N ∈，n T 为数列

{}n b 的前n 项和．

（1）求数列

{}n a 的通项公式n a 和数列{}n b 的前n 项和n T ；

（2）若对任意的n *

N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+?-恒成立，求实数λ的取值范围；

（3）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．

练习2：在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令,lg n n a T =1n ≥.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设

1tan tan ,

n n n b a a +=?求数列

{}

n b 的前n 项和

S .

高中数学数列专题大题训练

高中数学数列专题大题组卷一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．

高考理科数学《数列》题型归纳与训练

高考理科数学《数列》题型归纳与训练【题型归纳】等差数列、等比数列的基本运算题组一等差数列基本量的计算例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S n ＋2?S n =36，则n = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】D 【解析】解法一：由题知()21(1) 2 1n S na d n n n n n n ==+-=-+，S n ＋2=(n ＋2)2，由S n ＋2?S n =36得，(n ＋2)2?n 2=4n ＋4=36，所以n =8. 解法二：S n ＋2?S n =a n ＋1＋a n ＋2=2a 1＋(2n ＋1)d =2＋2(2n ＋1)=36，解得n =8.所以选D ．【易错点】对S n ＋2?S n =36，解析为a n ＋2，发生错误。题组二等比数列基本量的计算例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若28641,2a a a a ==+，则a 6的值是________．【答案】4 【解析】设公比为q (q ≠0)，∵a 2=1，则由8642a a a =+得6422q q q =+，即42 20q q --=，解得q 2=2， ∴4 624a a q ==. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路： (1)设基本量a 1和公差d (公比q )． (2)列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．

数列测试题及标准答案

必修5《数列》单元测试卷一、选择题（每小题3分,共33分） 1、数列?--,9 24,7 15,5 8,1的一个通项公式是 A ．1 2)1(3++-=n n n a n n B ．1 2) 3()1(++-=n n n a n n C ．1 21 )1()1(2--+-=n n a n n D ．1 2) 2()1(++-=n n n a n n 2、已知数列｛a n ｝的通项公式)(43*2N n n n a n ∈--=,则a 4等于( ). A 1 B 2 C 3 D 0 3、在等比数列}{n a 中,,8,1641=-=a a 则=7a ( ) A 4- B 4± C 2- D 2± 4、已知等差数列}{n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于( ) A 4- B 6- C 8- D 10- 5、等比数列｛a n ｝的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（） A ．－2 B ．1 C ．－2或1 D ．2或－1 6、等差数列}a {n 中，已知前15项的和90S 15=，则8a 等于（）． A ． 2 45 B ．12 C ． 4 45 D ．6 7、已知等比数列{a n } 的前n 项和为S n ，若S 4=1，S 8=4，则a 13+a 14+a 15+a 16=（）． A ．7 B ．16 C ．27 D ．64 8、一个三角形的三个内角A 、B 、C 成等差数列，那么()tan A C +的值是 A B ．C ．D ．不确定 9、若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边数为 A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 10、在等比数列{a n }中，4S =1，8S =3，则20191817a a a a +++的值是

17-18版第5章第1节数列的概念与简单表示法

第五章数列 [深研高考·备考导航] 为教师授课、学生学习提供丰富备考资源[五年考情]

1．从近五年全国卷高考试题来看：数列一般有两道客观题或一道解答题，其中解答题与解三角形交替考查，中低档难度． 2．从知识上看：主要考查等差数列、等比数列、a n与S n的关系、递推公式以及数列求和，注重数列与函数、方程、不等式的交汇命题． 3．从能力上看：突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的考查，加大对探究、创新能力的考查力度． [导学心语] 1．重视等差、等比数列的复习，正确理解等差、等比数列的概念，掌握等差、等比数列的通项公式、前n项和公式，灵活运用公式进行等差、等比数列基本量的计算． 2．重视a n与S n关系、递推关系的理解与应用，加强由S n求a n，由递推关系求通项，由递推关系证明等差、等比数列的练习． 3．数列是特殊的函数，要善于用函数的性质，解决与数列有关的最值问题，等差(比)数列中共涉及五个量a1、a n、S n、d(q)、n，“知三求二”，体现了方程思想的应用．一般数列求和，首先要考虑是否能转化为等差(比)数列求和，再考虑错位相减、倒序相加、裂项相消、分组法等求和方法．重视发散思维、创新思维，有意识地培养创新能力．第一节数列的概念与简单表示法 ————————————————————————————————[考纲传真] 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．

1．数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类

高考数学《数列》大题训练50题含答案解析

一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，

（1）写出c1，c2，c3，c4；（2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；（3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值；（2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5．（I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．

高中数学论文数列创新题的基本类型及求解策略

数列创新题的基本类型及求解策略高考创新题，向来是高考试题中最为亮丽的风景线。这类问题着重考查观察发现，类比转化以及运用数学知识，分析和解决数学问题的能力。当然数列创新题是高考创新题重点考查的一种类型。下举例谈谈数列创新题的基本类型及求解策略。一、创新定义型例1、已知数列)}({*N n a n ∈满足：)()2(log *1N n n a n n ∈+=+，定义使 . _________ ]20051[)(......* 321=∈???M ，，N k k a a a a k 内所有企盼数的和则区间叫做企盼数为整数的数解： )2(l )2(l . 4l 3l . ),() 2(log 2 132321* 1 +=+?=∴∈+=++k k a a a a N n n a k k n n 要使 )2(l o g 2 +k 为正整数，可设 )(912 00522 1)(22 )(,2 2)(* 1 * 1 1 N n n ，N n n k n k n n n ∈≤≤?≤-≤∈-==++++令即 2056 ,2056181 2)12(292)2.......222() 22 (.......)22 ()22()22 ()22 ()(]20051[9 2 10 43 2 10 4 32 9 1 1 9 1 ==---=?+++++=-++-+-+-=-== ∑∑=+=M n k M ，n n n 内所有企盼数的和则区间评析：准确理解企盼数的定义是求解关键。解题时应将阅读信息与所学知识结合起来，侧重考查信息加工能力。二、性质探求型例2、已知数列)}({* N n a n ∈满足： _________ ) 7() 65,4,3,2,1(2005* 3 =? ? ?∈≥-==+a ，N n n a ，n n a n n 则且。解：由, 6,)6(636* 3 ++++=≥=-=∈≥-=n n n n n n n a a n a a a N n n a a 时有从而知当知且于是知 11163342005===+?a a a 。评析：本题主要通过对数列形式的挖掘得出数列特有的性质，从而达到化归转化解决问题的目的。其中性质探求是关键。三、知识关联型例3、设F 是椭圆 16 7 2 2 =+ y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i （i=1，2，3，…），使|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为 . 解析：由椭圆第二定义知 ||||| |||/ / i i i i i i P P e F P e P P F P =?=，这些线段长度的最小值为右焦点到右顶点的距离即|FP1|=17-，最大值为右焦点到左顶点的距离即|FP21|=17+，故若公差d>0,则 , 1010,2112,)1(1717≤ <∴≥+> ∴-+-= +d d n d n 同理

第六章 6.3数列

§6.3等比数列及其前n项和 1．等比数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为 a n ＋1 a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项?a ，G ，b 成等比数列?G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n － 1. (2)前n 项和公式： S n ＝???? ? na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1). 3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n － m (n ，m ∈N *)． (2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k . (3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，???? ??1a n ，{a 2n }，{a n · b n }，???? ?? a n b n (λ≠0)仍然是等比数列． (4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k . 4．在等比数列{a n }中，若S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列(n 为偶数且q ＝－1除外)．概念方法微思考

数列练习题(含答案)

数列测试题（答案在底部） (本测试共18题,满分100分,时间80分钟) 日期姓名得分一、填空题:(共十小题,每题4分,共40分) 1. 数列{n a }的通项公式是41n a n =-，n s 为前几项和，若数列为等差数列，则实数t=__________. 2.。的等比中项为和_______27log 4log 89 3．223233(33)(333)(3333)_____________n n n S S =+++++++++++=L L 已知，则。 4.在等差数列n a {}中，当()r s a a r s =≠时，n a {}必定是常数数列，然而在等比数列n a {}中，对某些正整数r 、s (r s ≠)时，当r s a a =时，数列n a {}不是常数列的一个例子是__________________________________________________。 5. 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列{n a }是等和数列且1a =2，公和为5，那么这个数列的前n 项和的计算公式为n S =__________________。 6.设数列{n a }的通项公式是2n a n c =+（c 是常数），且2468102 30,a a a a a ++++=则{n a }的前n 项和的最小值为_________. 7．数列2,5,11,20，x ,47,…中x 等于___________。 8.在100以内能被3整除但不能被7整除的所有自然数的和等于_________。 9.某流感病毒是寄生在宿主的细胞内的，若该细胞开始时2个，记为02a =，它们按以下规律进行分裂，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，,3小时后分裂成10个并死去1个，……记n 小时后细胞的个数为n a ,则n a =___________(用n 表示)。 10.已知一个数列n a {}的各项是1或3两个数值。首项为1，且在第K 个1和第K+1个1之间有（2K-1）个3，即1,3,1,3,3,3，1,3,3,3,3,3,1,…….则第12个1为该数列的第_________项。二、选择题：（共四小题，每题4分，共16分） 11．等差数列等于，则中，若8533 5,53}{S S S a n ==（）

竞赛数列训练题

竞赛数列专题训练（1） 1．（2009年全国联赛）使不等式1111200712213 a n n n +++<-+++ 对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为． 2.正整数n 使得2 2005n +是完全平方数, ________． 3.（2008年全国联赛）设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1 (1) n n n S a n n -+= +，1,2,n = ，则通项 n a =________． 4.（2007年全国联赛）已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。若a 1=d ，b 1=d 2 ，且3 212 32221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________． 5.已知数列}{n a 满足,01=a ),2,1(1211 =+++=+n a a a n n n ，则n a =___ ． 6.已知数列n x ，满足n x x n n n +=++1)1(, 且21=x ，则2013x = ． 7.（2007年湖北竞赛改编）若数列{}n a 满足：112,3n n a a a += -==2010a ____． 8.（2009年全国联赛）一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示） 9.设4012 2N = ，求不超过 1 N n = 10.（2007年全国联赛）设∑=-+=n k n k n k a 1) 1(1 ，求证：当正整数n ≥2时，a n +1