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怎样解题波利亚

波利亚的《怎样解题》

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波利亚指出：解题的价值不是答案的本身，而在于弄清“是怎样想到这个解法的？”、“是什么促使你这样想，这样做的？”这就是说，解题过程还是一个思维过程，是一个把知识与问题联系起来思考、分析、探索的过程。波利亚认为“对你自己提出问题是解决问题的开始”，“当你有目的地向自己提出问题时,它就变成你自己的问题了”，“怎样解题表”是《怎样解题》一书的精华。波利亚的“怎样解题表”将解题过程分成了四个步骤，具体步骤如下：

第一，弄清问题

未知数是什么？已知数据（指已知数、已知图形和已知事项等的统称）是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

画张图。引入适当的符号。

把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来？

第二，拟定计划

找出已知数与求知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。你应该最终得出一个求解的计划。

你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？

你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？

看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。

这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能应用它吗?

你能不能利用它？你能利用它的结果吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？

你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？

回到定义去。

如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数和数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？

你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？

第三，实现计划

实现你的求解计划，检验每一步骤。

你能否清楚地看出这一步是正确的？你能否证明这一步是正确的？第四，回顾反思

你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能否一下子看出它来？

你能不能把这结果或方法用于其它的问题？

下面举个例子来说明波利亚《怎样解题》的应用。

【高考例题】：已知函数f (x )＝cos 2(x ＋π12)，g (x )＝1＋12

sin 2x . (1)设x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，求g (x 0)的值；

(2)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )的单调递增区间．

第一步：弄清问题。已知条件是什么？如本题中，

已知两个三角函数，可化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式或y ＝

A cos(ωx ＋φ)＋h 的形式．由已知推出：f (x )＝12[1＋cos(2x ＋π6

)]，h (x )＝12sin(2x ＋π3)＋32

. 第二步：制订计划。建立条件与结论之间的联系。如本题中，

因为x ＝x 0是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴，所以2x 0＋π6

＝k π(k ∈Z )，即2x 0＝k π－π6

(k ∈Z )．所以g (x 0)＝1＋12sin 2x 0＝1＋12sin(k π－π6

)．当k 为偶数时，g (x 0)＝1＋12sin(－π6)＝1－14＝34

；当k 为奇数时，g (x 0)＝1＋12sin π6＝1＋14＝54

第三步：实现计划。如本题中，由sin x 、cos x 的单调性，将“ωx ＋φ”看作一个整体，转化为解不等式问题．即：

h (x )＝f (x )＋g (x )

＝12[1＋cos(2x ＋π6)]＋1＋12

sin 2x

＝12[cos(2x ＋π6)＋sin 2x ]＋32

＝12(32cos 2x ＋12sin 2x )＋32

＝12sin(2x ＋π3)＋32

. 当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12

(k ∈Z )时，函数h (x )＝12sin(2x ＋π3)＋32

是增函数．故函数h (x )的单调递增区间是[k π－5π12，k π＋π12

](k ∈Z ).

第四步：反思回顾．检验反思，查看关键点、易错点及解题过程每一步是否合理、充分，书写是否规范．

如本题中，由x 0求g (x 0)时，由于x 0中含有变量k ，应对k 的奇偶进

行讨论.

波利亚解题四步骤

波利亚解题四步骤 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

第一，弄清问题? 未知数是什么已知数据（指已知数、已知图形和已知事项等的统称）是什么条件是什么满足条件是否可能要确定未知数，条件是否充分或者它是否不充分或者是多余的或者是矛盾的画张图。引入适当的符号。把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来？第二，拟定计划? 找出已知数与求知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。你应该最终得出一个求解的计划。你以前见过它吗你是否见过相同的问题而形式稍有不同你是否知道与此有关的问题你是否知道一个可能用得上的定理看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能应用它吗你能不能利用它你能利用它的结果吗为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素你能不能重新叙述这个问题你能不能用不同的方法重新叙述它回到定义去。如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题一个更普遍的问题一个更特殊的问题一个类比的问题你能否解决这个问题的一部分仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知能确定到什么程度它会怎样变化你能不能从已知数据导出某些有用的东西你能不能想出适合于确定未知数的其它数据如果需要的话，你能不能改变未知数和数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近你是否利用了所有的已知数据你是否利用了整个条件你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念第三，实现计划? 实现你的求解计划，检验每一步骤。你能否清楚地看出这一步是正确的你能否证明这一步是正确的第四，回顾反思? 你能否检验这个论证你能否用别的方法导出这个结果你能否一下子看出它来你能不能把这结果或方法用于其它的问题？下面举个例子来说明波利亚《怎样解题》的应用。【高考例题】：已知函数f(x)＝cos2 (x＋π12)，g(x)＝1＋12 sin2x. (1)设x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值；(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．第一步：弄清问题。已知条件是什么如本题中，已知两个三角函数，可化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式或y＝ Acos(ωx＋φ)＋h的形式．由已知推出：f(x)＝12[1＋cos(2x＋π 6 )]，h(x) ＝12sin(2x＋π3)＋32

波利亚怎样解题表

波利亚怎样解题表集团企业公司编码：（LL3698-KKI1269-TM2483-LUI12689-ITT289-

践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用．他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效．尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义．着名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”(1952年2月2日)．２怎样解题表波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上．波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”．２．１“怎样解题”表的呈现弄清问题第一，你必须弄清问题未知是什么已知是什么条件是什么满足条件是否可能要确定未知，条件是否充分或者它是否不充分或者是多余的或者是矛盾的画张图，引入适当的符号．把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来拟定计划第二，找出已知数与未知数你以前见过它吗你是否见过相同的问题而形式稍有不同你是否知道与此有关的问题你是否知道一个可能用得上的定理

波利亚怎样解题实例分析

怎样解题一、熟悉问题 1、未知是什么？ 2、已知是什么？ 3、你能复述它吗？二、寻找解题方法 1、以前做过类似的题吗？可以仿照以前的解题过程写出此题吗？ 2、与未知已知相关的定理、公式、法则、概念都有什么？这道题是相关的定理、公式、法则、概念的直接应用吗？ 3、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？ 4、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？ 5、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？若不能解题，可考虑： 1、已知条件都用上了吗？ 2、能不能得到一个比较特殊的情况？三、书写过程 1、你能按步骤写出你的分析过程吗？ 2、你所写的步骤都正确吗？四、总结与回顾 1、以前做过同类型的题吗？它与同类型的其它题有什么异同？ 2、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？ 3、解题过程能简化吗？例1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC 求证：∠B=∠C

分析：问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：∠B=∠C 问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：在三角形ABC中，AB=AC 问题3、以前做过类似的题吗？答：似乎没有。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：似乎没有。不能直接用定理解出此题。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：此题条件只有一个，似乎不能直接重新分组。问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：似乎不能。问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？

波利亚的怎样解题表

波利亚的怎样解题表１乔治·波利亚乔治·波利亚(George Polya，1887～1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法)现代研究的先驱．由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ＩＣＭＥ（国际数学教育大会）聘为名誉主席．作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容．作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与似真推理》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名著上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域．波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的，而在尔后的著作中有所发展，也在“解题讲习班”中对教师现身说法．他的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用．他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效．尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义．著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”(1952年2月2日)．２怎样解题表波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上．波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”．２．１怎样解题”表的呈现弄清问题未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知，条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的? 画张图，引入适当的符号．把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来?

波利亚的怎样解题表

波利亚的怎样解题表怎样解题第一步：弄清条件第一：你必需弄清问题未知是什么？已知是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？画张图，引入适当的符号。把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来。怎样解题第二步：拟定计划第二：找出书籍数与未知数之间的联系，如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。表中列出了了若干辅助问题，在遇到困境时你可以逐一把这些问题搜索一遍，每个问题的解决都可能是朝向胜利的关键一步！你应该最终得出一个求解的计划。你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与些有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题？这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去。如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？

你能不能想出适合于确定未知数的其他数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使尊长未知数和新数据彼此更接近？你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的必要的概念？怎样解题第三步：实现计划第三：实行你的计划实现你的求解计划，检验每一步骤。你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？怎样解题第四步：回顾第四：验算所得到的解验算所得到的解。你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？现在你能不能一下了看出它来？你能不能把这一结果或方法用于其他的问题？若条件或结论做些改变，又将如何解决？

波利亚的怎样解题表(修改版)

波利亚的怎样解题表陕西师范大学罗增儒罗新兵１乔治·波利亚乔治·波利亚(George Polya，1887～1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法)现代研究的先驱．由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ＩＣＭＥ（国际数学教育大会）聘为名誉主席．作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容．作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与似真推理》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名著上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域．波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的，而在尔后的著作中有所发展，也在“解题讲习班”中对教师现身说法．他的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用．他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效．尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义．著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”(1952年2月2日)．２怎样解题表波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上．波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”．

波利亚的解题过程

波利亚的解题过程 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-

答：满足上述条件（1）能成立。但不能求出AD的长，如果要求出AD的长那么我们还有加上一下条件即可： OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4 5．要确定未知数，条件是否充分？答：要确定未知数，如上所述是充分的。 6．是否需要引入适当的符号？如果需要，分别有哪些？有什么含义答：一般情况下做这些几何类型的题目为了方便书写和理解我们都会适当引入符号，但这题相对比较简单易懂，就不需要引入了，如果在很多线，很复杂的图形中就必须得引入。 7．把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来？答：能。AB是⊙O的直径AD是弦，∠DBC＝∠A OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4 （1）已知：AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．求证：BC与⊙O相切．（2）已知：AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．BC与⊙O相切，OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4 求解：AD的长效果：通过以上的审题和分析已知条件，使学生弄清了题意并数学化，同时大脑中有了一个平面模型，更清晰地了解题目。 (二)通过探求解题方法,培养学生拟定解题计划的习惯

从波利亚怎样解题

从波利亚《怎样解题》谈数学学习的习惯培养沈斌摘要：运用波利亚的“怎样解题”表来指导数学教学，揭示解题过程的思维训练全貌, 暴露数学学习核心问题的本质，以增进教学效果，同时, 在解题的过程中，也使学生的思维受到良好的训练。久而久之，不仅提高解题能力，而且养成有益的思维习惯，进而形成了良好的数学学习习惯，而这是比任何具体的数学知识重要得多的东西。关键词：怎样解题表职业中学学习习惯正文：一、中等职业学校学生学习现状当前的职校数学教学面临着一种困境，学生生源质量差且参差不齐，经常听到有教师怨言：“这些学生怎么教呵！”学生基础比较差这是事实，是不是学生智质差？不是，学生也聪明，活泼好动，究其原因是职业中学学生大多,数学学习习惯不好，学习被动等，他们不懂得怎样去思考问题, 怎样将己知未知联系起来, 甚至搞不清已知是什么,总之他们不会学习或者说解题不知从何入手。对于教师而言，面对着一个班级里有许多学习目的不明确、学习习惯不好、基础不扎实的学生，如何上好课的确是一大难题，如果沿用传统的课堂教学目标和模式，其结果只能造成师生互怨。二、波利亚《怎样解题》的启示美籍匈牙利数学家乔治·波利亚（George Polya,1887~1985）致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张“怎样解题”表。这张表包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程。波利亚把他本人数十年的教学与科研经验集中具体地表现在他的”怎样解题”表上。在这张表中, 他按照逻辑思维的顺序和出现可能性大小的顺序搜集了一系列公式化了的指导性意见, 提出的方式也十分灵活, 有时用建议的口气, 有时则用引导性问题的办法, 尽量顺乎自然, 使学生感到这些意见真是说到他们的心坎上了, 这就是他们自己所要说的话。波利亚说: “教师最重要的任务之一是帮助学生”。“教师对学生应当设身处地，应当了解学生情况，应当弄清学生正在想什么，并且提出一个学生自己可能会产生的问题，或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤”。波利亚的《怎样解题》教学思想使我受到启示，在课堂教学中尝试“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤，使学生逐步养成了良好的数学学习习惯。三、在职校数学教学中应用《怎样解题》思想培养学生学习习惯 (一) 通过审题, 弄清问题, 培养学生分析已知条件的习惯审题过程就是要审清题目数量关系，知道该道题讲的是什么，并能找出已知条件，使题目的条件、问题及其关系在学生头脑中建立起完整的印象，为正确分析数量关系和解答问题创造良好的前

波利亚《怎样解题》读后感

《怎样解题》读书笔记 “学习难，学习数学更难”，许多人对数学望而生畏，大有谈虎色变的趋势。大家都有这样的经历：一道题，自己总也想不出解法，而别人却轻而易举地给出了一个绝妙的解法，这时你最希望知道的是“你是怎么想出这个解法的？为什么我没有想到呢？”有这么一个人，为了改变数学在公众心目中的形象，致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，很早就开始探索数学中的发明创造，他利用在大学任教的机会，通过与学生的交流和对学生的细致观察，认真研究了人们解题的过程，通过和一批数学大家的交流，花了整整三十年的时间，终于完成一篇著作，这本书指导了人们不仅仅是在数学中，乃至在任何其他领域中怎样进行正确思维，引导了一代又一代读者在学习中走上正确的道路。这个人就是著名数学家乔治?波利亚，这本著作就是《怎样解题》。波利亚(1887-1985)是美国著名的数学家和数学教育家。上中学时，他就是一个很有上进心的学生，但每当遇较难的数学题时，他也时常感到困惑：“这个解答好像还行，他看起来是正确的，但怎样才能想到这样的解答呢？这个结论好像还行，他看起来是个事实，但别人是怎样发现这个事实的？我自己怎样才能想出或发现他们呢？”为了解决这个困惑，波利亚经过多年教学经验的累计以及与一批数学大家的交流，最终著出《怎样解题》这本书，一经出版，畅销全球。在这本书中，波利亚表达了这样的观点：解题的价值不是答案的本身，而在于弄清“是怎样想到这个解法的？”、“是什么促使你这样想，这样做的？”这就是说，解题过程还是一个思维过程，是一个把知识与问题联系起来思考、分析、探索的过程。波利亚认为“对你自己提出问题是解决问题的开始”，“当你有目的地向自己提出问题时，它就变成你自己的问题了”，“怎样解题表”是《怎样解题》一书的精华，这张表是波利亚在分解解题的思维过程得到，表中所述看似很平常的解题步骤或方法，其实已包含几代人的智慧结晶和经验总结。“怎样解题”表将解题过程分成了四个步骤，包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾反思”，在这其中，对第二步

波利亚的解题过程

波利亚解题“怎样解题”思路剖析例题例题：如图11所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A． (1)求证：BC与⊙O相切． (2)若OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4，求AD的长． (一)通过审题, 弄清问题, 培养学生分析已知条件的习惯审题过程就是要审清题目数量关系，知道该道题讲的是什么，并能找出已知条件，使题目的条件、问题及其关系在学生头脑中建立起完整的印象，为正确分析数量关系和解答问题创造良好的前提条件。对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义，对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义。讲解第一步、弄清问题： 1．（1）问中求证的是什么？（2）中未知数是什么?你能复述它吗？答：（1）中求证BC与⊙O相切，（2）中要求我们求AD的长。 2．已知数据是什么？你能复述它吗？可以用数学语言来叙述题意吗? 可以画张图吗? 答：已知：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A．则我们由图可知∠ADB是⊙O的圆周角，等于90°，那么∠A+∠ABD=90°。（2）中已知OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4 3．条件是什么？答：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A 4．满足上述条件（1）是否可能成立？能否求出AD的长? 答：满足上述条件（1）能成立。但不能求出AD的长，如果要求出AD的长那么我们还有加上一下条件即可： OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4 5．要确定未知数，条件是否充分？答：要确定未知数，如上所述是充分的。 6．是否需要引入适当的符号？如果需要，分别有哪些？有什么含义? 答：一般情况下做这些几何类型的题目为了方便书写和理解我们都会适当引入符号，但这题相对比较简单易懂，就不需要引入了，如果在很多线，很复杂的图形中就必须得引入。 7．把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来？

波利亚, 怎样解题表

波利亚对数学解题的过程进行了深入的研究，认为整个解题过程分为四个阶段，即：弄清问题、拟定计划、实现计划、反思回顾，并给出了具有启发性的“怎样解题”表弄清问题拟定计划实现计划回顾

弄清问题未知是什么？已知是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？画张图，引入适当的符号，把条件的各个部分分开，你能否把它写下来？拟定计划你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数，试想出一个具有相同未知数或者相似未知数的熟悉的问题。这是有一个与你现在的问题相关，且早已解决的问题。你能不能利用它们？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能够利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能够重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？如果你不能解决提出的问题，可先解决一些有关的问题，你能否想出一个更容易着手的有关的问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或者数据，或者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？你是否利用了所有已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的必要概念？实现计划实现你的求解计划，检验每一步骤。你能否清楚看出这一步骤的正确性？你能否证明这一步骤的正确性？回顾反思你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出它来？你能不能将这一结果或方法用于其他问题？作者简介：乔治·波利亚(George Polya，1887～1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法)现代研究的先驱．由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ＩＣＭＥ（国际数学教育大会）聘为名誉主席．作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容．作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与似真推理》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名著上，涉及“解题理论”、“解

波利亚解题心得体会

波利亚解题心得体会一道题，自己总也想不出解法，而老师却能给出了一个绝妙的解法，这时你最希望知道的是“老师是怎么想出这个解法的?”如果这个解法不是很难时，“我自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢?” 有人听到“数学”就会头痛，为什么又会有人热衷于解题呢？在解答这道或那道不涉及物质利益的题目的愿望背后，也许有着一个更深切的好奇心，一个要求理解解答的各种途径和方法、动机和步骤的愿望，当我们绞尽脑汁想的题突然被我们解答出来，那种心情只有真正经历过的人才懂。不管是我们自己或者我们去帮助别人，我们不仅要尽力去理解这道或那道题目的解答，而且要理解这个解答的动机和步骤，并尽力向别人解释这些动机和步骤。在老师上课的时候，为什么很多学生能听懂例题却不能独立思考得出问题的答案，总是要等到提示、点拨后才恍然大悟呢？这是因为学生不懂得思考的方法，大多数老师讲题总是“头痛医头，脚痛医脚”，只有实战经验，没有形成方法论。但是学生要的不应该是一道道具体的题目，而是面对任何一道题目时的思维方法。这也就是波利亚要告诉我们的。波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题》表。在这张包括“弄清问题”，即未知

量是什么？已知数据是什么？条件是什么？条件有可能满足吗？条件是否足以确定未知量？或者它不够充分？或者多余？或者矛盾？“拟定计划”，找出已知数据与未知量之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。“实现计划”和“回顾”，我自己认为回顾在解题中是很重要的一个步骤，很多同学却不以为然，你能检验这个结果吗？你能检验这个论证吗？你能以不同的方式推导这个结果吗？你能一眼就看出它来吗？你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？回顾能让我们更加理解这一类题目的解题方法。解答其实也是一种创造，当找到一个方法解决了一道题目，我们同时也应该思考“你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？”有时我们要举一反三，改造一道题目。基本的方法有：普遍化、特殊化、类比、分解和重组等。大二的时候修了初等数论这一门课程，它主要研究整数最基本的性质，是一门基础课程，蕴含了丰富的数学思想方法（整体化、转化、构造、反证），上这门课时，老师讲的都能听懂，课后解题却不知所措。还有一些需要证明的习题也是今后能够用到的结论，却不懂得如何运用和解答。自己不去反思、去领悟、去归纳，纵使心中方法无数，下笔也只能低头苦思。“好题目和某种蘑菇有点相似之处：它们都成串生长。找到一个以后，我们应该四处看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的。”

波利亚与《怎样解题表》

波利亚与《怎样解题表》 1、乔治·波利亚乔治·波利亚(1887—1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法（指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法）现代研究的先驱。由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ICME （国际数学教育大会）聘为名誉主席。作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容。作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》（1945年）、《数学与似真推理》（1954年）、《数学的发现》（1962年）三部世界名著上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域，波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的，而在尔后的著作中有所发展，也在“解题讲习班”中对教师现身说法．他的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用．他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效．尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义。著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”（1952年2月2日）． 2、怎样解题表波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上．波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”。 2．1 “怎样解题”表的呈现第四，验算所得到的解．实现你的计划实现你的求解计划，检验每一步骤。你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的? 拟订计划你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同? 你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理? 看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题．这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题．你能不能利用它? 你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素? 你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它? 回到定义去．如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题．你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分。这样对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确定未知数的其他数据?如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近? 你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的必要的概念? 第二，找出已知数与未知数之间的联系．如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题．你应该最终得出一个求解的计划第三，实行你的计划回顾你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出它来? 你能不能把这一结果或方法用于其他的问题? 弄清问题未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?需要确定未知，条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的? 画张图，引入适当的符号．把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来? 第一，你必须弄清问题

波利亚解题表

波利亚的怎样解题表怎样解题表波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上．波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”．２．１“怎样解题”表的呈现弄清问题第一，你必须弄清问题未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知，条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的? 画张图，引入适当的符号．把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来? 拟定计划第二，找出已知数与未知数之间的联系．如果找不出直接的联系，你可能不你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同? 你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理? 看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题．这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题．你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素? 你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?

得不考虑辅助问题．你应该最终得出一个求解的计划回到定义去．如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题．你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分．这样对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确定未知数的其他数据?如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近? 你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的必要的概念? 实现计划第三，实行你的计划实现你的求解计划，检验每一步骤．你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的? 回顾第四，验算所得到的解．你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出它来? 你能不能把这一结果或方法用于其他的问题? 下面是实践波利亚解题表的一个示例，能够展示波利亚解题风格的心路历程，娓娓道来，栩栩如生．２．２ “怎样解题”表的实践例1 给定正四棱台的高h，上底的一条边长a和下底的一条边长b，求正四棱台的体积F．(学生已学

波利亚解题——案例分析

波利亚解题——案例分析例题：给定正四棱台的高h ，上底的一条边长a 和下底的一条边长b ，求正四棱台的体积V ．(学生已学过棱柱、棱锥的体积) 波利亚解题：一、弄清问题（理解题目的未知和已知条件）本题的已知条件有哪些？本题的未知是什么？ ①正四棱台的高h ； ②上底边长a ；？正四棱台的体积V ． ③下底边长b 二、拟定计划（找到已知条件和未知之间的联系） 1）怎样才能求得V ？由于我们已经知道棱柱、棱锥的体积公式，而棱台的几何结构（棱台的定义）告诉我们，棱台是“用一个平行于底面的平面去截棱锥”，从一个大棱锥中截去一个小棱锥所生成的．如果知道了相应两棱锥的体积1V 和2V ，我们就能求出棱台的体积21V V V -=。① 这样我们就引入两个新的符号1V 和2V ，同时也找到了V 、1V 、2V 三个量之间的联系，这就把求V 转化为求1V 和2V ． 2）怎样才能求得1V 和2V ？据棱锥的体积公式（Sh V 3 1=），底面积可由已知条件直接求得，关键是如何求出两个棱锥的高。并且，一旦求出小棱锥的高x ，大棱锥的高也就求出，为h x +．我们再次引入了一个新符号x ，于是根据棱锥的体积公式就有x a V 2231=，)(3 121h x b V +=，这样，问题就由求1V 和2V 转化为了求x 。 3）怎样才能求得x ？为了使未知数x 与已知数a 、b 、h 联系起来，建立起一个等量关系．我们调动处理立体几何问题的基本经验，进行“平面化”的思考．用一个通过高线以及底面一边上中点（如下图蓝

色线条所示）的平面去截两个棱锥，在这个截面上有两个相似三角形能把a 、b 、h 、x 联系起来（转化为平面几何问题），由三角形相似的性质得： h x x b a += ② 这就将一个几何问题最终转化为代数方程的求解．解上述方程，便可由a 、b 、h 表示x ，至此，我们已在V 与已知数a 、b 、h 之间建立起了一个不中断的联络网，解题思路全部沟通．三、实现计划（利用找到的联系进行解题）作辅助线，由相似三角形的性质可得，h x x b a +=，解得a b ah x -=。所以两椎体的体积分别为有： () a b h a a b ah a x a V -=-?==331313222， () a b h b h a b ah b h x b V -=??? ??+-?=+=331)(313221，所以棱台的体积： ()()()()() 333322333321h b ab a a b h a b a b h a a b h b V V V ++=--=---=-=。 ③ 四、回顾（1）正面检验每一步，推理是有效的，演算是准确的。再作特殊性检验，令0→a ，由③可得正四棱锥体的体积公式；令b a →，由③可得正四棱柱体的体积公式。这既反映了新知识与原有知识的相容性，又显示出棱台体积公式的一般性；这既沟通了三类几何体极限状态间的知识联系，又可增进三个体积公式的联系记忆。

波利亚怎样解题实例分析

怎样解题一、熟悉问题 1、未知是什么？ 2、已知是什么？ 3、你能复述它吗？二、寻找解题方法 1、以前做过类似的题吗？可以仿照以前的解题过程写出此题吗？ 2、与未知已知相关的定理、公式、法则、概念都有什么？这道题是相关的定理、公式、法则、概念的直接应用吗？ 3、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？ 4、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？ 5、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？若不能解题，可考虑： 1、已知条件都用上了吗？ 2、能不能得到一个比较特殊的情况？三、书写过程 1、你能按步骤写出你的分析过程吗？ 2、你所写的步骤都正确吗？四、总结与回顾1、以前做过同类型的题吗？它与同类型的其它题有什么异同？ 2、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？ 3、解题过程能简化吗？例 1 、已知：如图，在△ ABC中, AB=AC 求证：/ B=Z C

分析：冋题1、未知是什么？你能复述它吗？答：/ B=Z C 冋题2、已知是什么？你能复述它吗？答：在三角形ABC中，AB=AC 问题3、以前做过类似的题吗？答：似乎没有。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：似乎没有。不能直接用定理解出此题。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：此题条件只有一个，似乎不能直接重新分组。问题6你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：似乎不能。问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？答：1、未知是求/ B=Z C,在以前学过的定理中有根据平行线证角相等、禾U用角平分线证角相等、利用度数证角相等、利用全等三角形证角相等。由于这些都没有出现，是不是能引入辅助元素？观察/ B、/ C所处的位置，平行线、角平分线都不合适、角的度数没有出现，考虑运用全等三角形来解此题。但此题中/ B、 /C处在同一个三角形中，需要将此两角放入到两个不同的三角形中，需引入一

读波利亚的《怎样解题》

读波利亚的《怎样解题》波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了数学解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题》表。波利亚的“怎样解题表”将解题过程分成了四个步骤，只要解题时按这四个步骤去做，必能成功。怎样解题第一步：你必须弄清问题。 1.已知是什么？未知是什么？要确定未知数，条件是否充分？ 2.画张图，将已知标上。 3.引入适当的符号。 4.把条件的各个部分分开。第二步：找出已知与未知的联系。 1.你能否转化成一个相似的、熟悉的问题？ 2.你能否用自己的语言重新叙述这个问题？ 3.回到定义去。 4.你能否解决问题的一部分？ 5.你是否利用了所有的条件？第三步：写出你的想法。 1.勇敢地写出你的方法。 2.你能否说出你所写的每一步的理由？第四步：回顾。 1.你能否一眼就看出结论？ 2.你能否用别的方法导出这个结论？ 3.你能否把这个题目或这种方法用于解决其他的问题？在这张包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过

程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。”他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。波利亚感叹：“学数学是一种乐趣！”教师如果能在平时的解题教学过程中不断实践和体会该表，必能很快地会发出这样一种感叹：“教会学生善解数学题目是学数学的乐趣的根本。” 1、教师最重要的任务之一是帮助学生。学生解题时应当有尽可能多的独立的思考时间。但是如果让他独自面对问题而得不到任何帮助或者帮助得不够，那么他很可能没有进步。但若教师对他帮助过多，那么学生却又无事可干，教师对学生的帮助应当不多不少，恰好能使学生有一份合理的思考过程。如果学生不太能够独立思考解题，那么教师也至少应当使他感觉自己是在独立思考。为了做到这一点，教师应当考虑周到地、不显眼地帮助学生，对学生的帮助最好是顺乎自然，教师对学生应当设身处地，应当了解学生情况，应当弄清学生正在想什么，并且提出一个学生自己可能会产生的问题，或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤。 2、所提问题应该是具有建议性的，能有助于学生的思维活动在打算对学生进行有效、不显眼而又自然的帮助时，教师不免一而再，再而三地提出一些相同的问题，指出一些相同的步骤。这样，在大量的问题中，可以问：未知数是什么?可以变换提法，以各种不同的方式提问同一个问题：要求什么?你想找到什么?你假定求的是什么?这类问题的目的是把学生的注意力集中到未知数上。有时，教师用一条建议：看着未知数，来更为自然地达到同一效果。问题与建议都以同一效果为目的：即企图引起同样的思维活动。从波利亚看来，在与学生讨论的问题中，收集一些典型的有用问题和建议，并加以分类是有价值的。前面这张表就包含了这类经过仔细挑选与安排的问题和建议；它们对于那些能独立解题的人也同样有用。教师充分熟悉这张表并且看出在建议之后所应采取的行动