15.1.1 从分数到分式
一、学习目标:
1、了解分式的概念;
2、能正确说出分式有意义、无意义、值为零的条件,并能用上述条件解题。
二、复习回顾:
1、填空:
(1)长方形的面积为10cm 2,长为7cm ,则宽为cm (保留分数形式);
(2)长方形的面积为20,长为acm ,则宽为cm ;
(3)一辆汽车行驶s 千米用了t 小时,则汽车的平均速度是千米/时;
(4)一艘轮船顺流航行90千米,速度为(30+v )千米/时,则它用的时间为小时;
三、新课学习:
(一)、(1)式子,,,…这样的式子属于整式; (2)式子,,,,…这样的式子属于分式; 你能发现分式和整式的不同之处吗?和你的小伙伴们交流一下彼此的看法吧!并尝试在老师讲解之前完成例1。
例1:下列各式中,哪些是整式?哪些是分式?(把编号写在横线上)
(1); (2); (3); (4). 解:整式有:;分式有:。
从例题中可以看出,分式与整式的最大区别..........
是。 请完成P 3练习A 组第1、2题
(二)、当x=2时,下列分式的值是多少?
(1)(2) (3) 从上面的题目中,我们可以看到:
在分式中,分母的值不能是。如果分母的值是零,则分式意义。
2cm 10710
S 52y x -20a s t 1a b -9030v
+x 12x y
x xy +233y x -241x x --82+-x x 12
x x +-
. 专题一 与分式有关的规律探究题 1.一组按规律排列的式子:25811 234,,,b b b b a a a a --,…(ab ≠0),其中第7个式子是______,第n 个式子是______(n 是正整数). 2.已知a ≠0,12S a =,212S S =,32 2S S =,…,201020092S S =,则2010S = (用含a 的代数式表示). 3.给定下面一列分式:3579 234,,,,x x x x y y y y --…,(其中x ≠0) (1)把任意一个分式除以前面一个分式,你发现了什么规律? (2)根据你发现的规律,试写出给定的那列分式中的第7个分式. 专题二 分式的求值 4. 已知a +b =3,a -b =5,求22 22 1684a ab b a b ab -+-的值. 5. 已知11x x -=,则2421x x x ++的值为_______. 6.已知y =123x x --,x 取哪些值时:
. (1)y的值是正数; (2)y的值是负数; (3)y的值是零; (4)分式无意义. 参考答案
. 1. 20 7 b a - 31 (1) n n n b a - -解析:观察已知式子可以发现,“-”号是间隔的,即奇数项为负, 偶数项为正,再观察分式的分子上字母都是b,其指数分别是2=3×1-1,,5 =3×2-1,8=3×3-1,11=3×4-1,…,3n-1;各个分式的分母上字母都是a,而其指数与项数相同,分别是1,2,3,4,…,n,由此可求解. 2.1 a 解析:根据题意可得 1 2 S a =, 2 1 S a =, 3 2 S a =, 4 1 S a =,…,2a与1 a 交替出现, 奇数项为2a,偶数项为1 a ,所以 2010 1 S a =. 3.解:(1)任意一个分式除以前面一个分式,都等于 2 x y -;(2)第7个分式是 15 7 x y . 4.解:解 3, 5. a b a b += ? ? -= ? 得 4, -1. a b = ? ? = ? 222 22 1684)4 = 4(4) a a b b a b a b a b ab ab a b ab -+-- = -- ( . 当a=4,b=-1时,原式= 17 4 -. 5.解: 2 42 22 2 111 = 11 14 1()3 x x x x x x x == ++++-+ . 6.解:(1)由题意得: 1 23 x x - - >0,∴ 1, 23. x x ->0 ? ? ->0 ? 或 1, 23. x x -<0 ? ? -<0 ? ∴2 3
17.2.2 分式的加减法(1) 同步练习 一、请你填一填(每小题4分,共36分) 1. 异分母分式相加减,先________变为________分式,然后再加减. 2. 分式xy 2,y x +3,y x -4 的最简公分母是________. 3. 计算:222321xyz z xy yz x +-=_____________. 4. 计算:)1 1(1x x x x -+-=_____________. 5. 已知22y x M -=2222y x y xy --+y x y x +-,则M=____________. 6. 若(3-a )2与|b -1|互为相反数,则b a -2 的值为____________. 7. 如果x <y <0,那么x x | |+xy xy | |化简结果为____________. 8. 化简y x y x --2 2 的结果为____________. 9. 计算22+-x x -22 -+x x =____________. 二、判断正误并改正: (每小题4分,共16分) 1. a b a b a a b a a b a --+=--+=0( ) 2. 11 )1(1 )1(1)1()1(1)1(22222-=--=---=-+-x x x x x x x x x ( ) 3. )(21 21 21 2222y x y x +=+( ) 4.222b a c b a c b a c +=-++( ) 三、认真选一选:(每小题4分,共8分) 1. 如果x >y >0,那么x y x y -++11的值是( ) A.零 B.正数 C.负数 D.整数
九年级数学 分式 辅导讲义 教学内容 分式和分式的性质; 分式的运算; 分式方程及分式方程的运用; 教学目标 1.了解分式的意义及分式的基本性质; 2.会利用分式的基本性质进行约分和通分; 3.会进行简单的分式加、减、乘、除运算; 4.会解可化为一元一次方程的分式方程; 5.能够根据具体问题中的数量关系,用可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题; 教学重点 分式概念和性质;分式的运算; 教学难点 分式方程的应用; 教学过程 知识详解 【知识点 1】分式的概念: 1、 分式的定义:一般地,如果A 、B 表示两个_____________,并且___________中含有字母,那么代数式 __________叫做分式。 2、分式有意义的条件:____________________; 3、分式为0的条件:______________________; 【例】1、下列各式:π 8,11,5,21,7,322x x y x b a a -++中,分式有_______________ 2、一件工作,甲单独做a 小时完成,乙单独做b 小时完成,则甲、乙合作 小时完成 3、若分式1 12+-x x 的值为0,则x 的取值为_________________ 4、当x 时,分式3 1-+x x 有意义,当x 时,分式32-x x 无意义。 【知识点 2】分式的基本性质: 1、分式的基本性质:分式的__________________都乘以(或除以)_______________________, 分式的值____________ 用式子表示就是:A A M =B B ( ),A A =B B ÷÷( )( ) (其中,M 是___________________) 2、分式的约分:根据_____________,把分式的_____________分别______它们的___________,叫做分式的约分。 通常把分式约成_____________; 3、分式的通分:同分母的分式通分:___________________________________. 异分母的分式通分:___________________________________.
分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义: 例:下列式子中,y x +15、8a 2 b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、 y x +3、m a 1 +中分式的个数为( ) (A ) 2 (B ) 3 (C ) 4 (D) 5 练习题:(1)下列式子中,是分式的有 . ⑴275x x -+; ⑵ 123 x -;⑶25a a -;⑷22x x π--;⑸22b b -;⑹22 2xy x y +. (2)下列式子,哪些是分式? 5a -; 234x +;3 y y ; 78x π+;2x xy x y +-;145b -+. 2、分式有,无意义,总有意义: 例1:当x 时,分式 51 -x 有意义; 例2:分式x x -+212中,当____=x 时,分式没有意义 例3:当x 时,分式112-x 有意义。 例4:当x 时,分式1 2+x x 有意义 例5:x ,y 满足关系 时,分式 x y x y -+无意义; 例6:无论x 取什么数时,总是有意义的分式是( ) A . 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5 x x - 例7:使分式2 +x x 有意义的x 的取值范围为( )A .2≠x B .2-≠x C .2->x D .2 分式的混合专题练习 3234)1(x y y x ? x y xy 22 63)3(÷ a a a a 21 22)2(2+? -+ 41441)4(222--÷+--a a a a a 5、x y x y x y -+- 6、a a a 31211++ 7、4 )223(2 -÷+-+x x x x x x 8、44212-+-m m 9、423)231(--÷--m m m 10、2 2 22x xy y xy xy y x ---- 11、224+--a a 12、112+-+x x x 13、1 )111(-÷ -+-a a a a a 14、 1 1 12112--+--x x x 15、m m -+-329122 16、a+2-a -24 17、2 2221106532x y x y y x ÷? 18、ac a c bc c b ab b a -+-++ 19、2 22 24421y xy x y x y x y x ++-÷ +-- 20、224)2222(x x x x x x -?-+-+- 21、262--x x ÷ 443 2+--x x x 22、 1?? ? ???÷ ÷a b b a b a 324923 23、m n n n m m m n n m -+-+--2 24、1 111-÷? ?? ??--x x x 25、( ﹣)÷ 26、( 22+--x x x x )2 4-÷x x ; 27、??? ? ??++÷--ab b a b a b a 22222 28、??? ??--+÷--13112x x x x 。 29、、() 2 211n m m n m n -??? ? ??-÷??? ??+; 30、16842 2+--x x x x ,其中x =5、 31、已知2 1)2)(1(12++-=+-+x B x A x x x ,求A 、 B 的值。 32、先化简,再求值2 2 )11(y xy y x y y x -÷-++,其中2-=x ,1=y 、 33、3,3 2 ,1)()2(2 22222-==+--+÷+---b a b a a b a a b ab a a b a a 其中 第十二章分式 1.分式与整式不同的是:分式的分母中含有字母,整式的分母中不含字母 对于任意一个分式,分母不能为零,分式有意义 对于任意一个分式,分母为零,分式无意义 4.分式的值为零含两层意思:分母不等于零;分子等于零。 5.平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积 6.完全平方公式a2+2ab+b2 = (a+b)2a2-2ab+b2=﹙a-b﹚2两个数的平方和,加上(或者减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或者差)的平方 7.常见的恒等变形如x-y=-(y-x),(x-y)2=(y-x)2, (x-y)3= -(y-x)3. 8.约分:把一个分式中相同的因式约去的过程叫做约分 9.最简分式:如果一个分式中没有可约的因式,则为最简分式 10.通分:把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分 11.通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形,其共同点是保持分式的值不变. 12分式的基本性质:分式的分子和分母乘(或除以)同一个不等于0的整式,分式值不变。 通分的关键:确定几个分式的最简公分母。通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母。求最简公分母时,首先要因式分解,将所有的表达式都化成积的形式,然后,再定最简公分母. 解分式方程的一般步骤:(1)去分母,方程两边同乘各分母的最简公分母,将分式方程转化为整式方程; (2)解整式方程;(3)验根:可把整式方程的根分别代入最简公分母,如果使最简公分母为0,那么这个根叫分式方程的增根,必须舍去;如果使最简公分母不为0,那么这个根是原分式方程的根;(4)写出方程的解. 15、用分式方程解应用题常见的等量关系 一.工程问题 1.工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作效率=工作时间 工作总量÷工作时间=工作效率 设工作总量为“1”的公式:1÷单独完成的工作时间=工作效率;1÷工作效率=单独完成的工作时间。 2.完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1 二.营销问题 1.商品总利润=商品总售价一商品总成本价= 商品单件利润×销售量 2.商品单件利润=商品单件售价一商品单件成本价 3.商品利润率=商品总利润/商品总成本价×100%=商品单件利润/商品单件成本价×100% 4.商品销售额=商品单价×商品销售量 5、折扣=实际售价÷原售价×100%(折扣<1) 三.行程问题 1.路程=速度×时间,速度=路程/ 时间 2.在航行问题中,其中数量关系是(同样适用于航空):顺水速度=静水速度+水流速度 逆水速度=静水速度-水流速度 增长率问题原来量×(1 增长率)=现在量 第十三章全等三角形 1、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 2、全等三角形的性质: (1)全等三角形的对应角相等,对应边相等. (2)全等三角形中的对应线段相等.即对应的角平分线,对应的中线,对应的高线相等。 一、分式方程计算: (1) 21)2(11+-?+÷-x x x x (2)32232)()2(b a c ab ---÷ (3)2323()2()a a a ÷- (4)0142)3()101( )2()21(-++-----π (5)222)()()(b a a b ab ab b a b a b -?-+-÷- (6 )(3103124π--????-?-÷ ? ????? (7)2211y x xy y x y x -÷???? ??++- 二、分式方程 1、(1)3513+=+x x ; (2) 11322x x x -+=--- (4)512552x x x =--- (5) 25231x x x x +=++. (6) (7) (8) 三、1、先化简,再求值)1121(1 222+---÷--x x x x x x ,其中31-=x 1 211422+=+--x x x x x 233321122--=++-x x x x x x x x 231392---++ 2、若使 互为倒数,求x 的值。 3、若分式方程 3234=++x m mx 的解为1=x ,求m 的值。 2 3223+---x x x x 与 四、二元一次方程组 解方程组: 五、可化为一元二次方程的分式方程、二元二次方程组 56556--=--x x x 22(1)(5)2511 x y x y ?++-=?+=? 226232x x x x +---=0 |a + b + 7| + a 2b 2–10ab + 25=0 2123x x x ++-+2226x x x -+-=2632x x x --+ 15 . 1分式 第 1 课时从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课一课一名师( 设计者:) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h,它沿江以最大船速顺流航行100 km所用时间, 与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ● 自主学习指向目标 1.自学教材第 127 至 128 页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一分式的概念 S V10060 活动一:阅读教材思考问题:式子a ,S以及式 子20+ v 和 20- v 有什么共同特点?它们与 分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果 A,B 表示两个 ________( 整式 ) ,并且 B 中含有 ________( 字母 ) ,那么式A 子B叫做分式. 小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别?八年级数学上册分式混合计算专题练习80题
冀教版八年级上册数学知识点总结
初二下册数学分式计算题题目
(完整版)人教版八年级数学上分式教案.docx